中学数学作业分层设计案例
双减初中八年级数学上册分层作业设计案例因式分解
初中八年级数学分层作业设计案例14.3因式分解（复习巩固性作业）【作业内容】课堂知识归纳（2分钟）1.因式分解的定义：把一个多项式化成_______________________2.因式分解的方法：（1）提公因式法，系数的_________,__________字母（式子）的__________；（2）公式法:_____________________________,_____________________________.A 组知识巩固（8分钟）1.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（）A.2245(2)9a a a --=-- B.(23)(3)9a a a +-=-C.245(4)5a a a a --=-- D.22()()a b a b a b -=+-2.分解因式（注意检查是否分解到不能再分解为止）（1）2233ay ax -（2）23244x y y xy --+3.如图1，将边长为x 的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（）A.2221(1)x x x -+=-B．21(1)(1)x x x -=+-C．2221(1)x x x ++=+D．2(1)x x x x -=-B 组变式提升（13分钟）4.（教材拓展题）将214x +添一项变成完全平方式，请你写出不同的添加方法：____________________________________________5.（第4题变式）已知m、n 为有理数，且2226100m m n n ++-+=，则_____n m =.6.已知3133x y x y -=⎧⎨+=-⎩，则代数式229x y -的值为_________.7.分解因式（注意检查是否分解到不能再分解为止）（1）()22214a a +-（2）()()241m n m n +-+-完成A 组、B 组后尝试完成！相信你能行！若有需要，可与你的同伴交流.C 组链接考题（7分钟）8.（2017云南）观察下列各个等式的规律：第一个等式：2221112--=；第二个等式：2232122--=；第三个等式：2243132--=；………………………………………（1）直接写出第四个等式；（2）猜想第n 个等式（用含n 的代数式表示），并证明你猜想的等式是正确的.【作业答案】课堂知识归纳1.几个整式的积的形式；2.（1）最大公约数、相同、最低次数；A 组知识巩固1.D2.（1）解:原式=()223a y x -（2）解：原式=()2244y x y xy -+-=()()3a y x y x +-=()22y x y --3.BB 组变式提升4.添加4x ，构成()221x +；添加4x -，构成()221x -；添加44x ，构成()2221x +.5.-16.-37.(1)解:原式=()()221212a a a a +++-(2)解:原式=()()244m n m n +-++=()()2211a a +-=()22m n +-C 组链接考题8.（1）2254142--=；（2）猜想：()22112n n n +--=解法1：解法2：解法3：左边=222112n n n ++--左边=()()1112n n n n +++--左边=()()22112n n +-+=22n =n =2112n +-=n =22n =n右边=n右边=n右边=n∴左边=右边∴左边=右边∴左边=右边即等式成立即等式成立即等式成立【案例分析】·课程标准解读因式分解是解析式的一种恒等变形，在解方程以及数学学科其他问题和科学研究中有及其重要。
数学作业、练习分层设计方案
数学作业、练习分层设计方案直滩初级中学任兴瑞《义务教育数学课程标准（2011年版）》中明确指出：“数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标，要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。
”初中数学作业如何设计才能体现数学课程这一基本理念？为了实现数学课程这一基本理念，我们必须改变传统的作业设计方式，进行作业设计的改革。
其中实施初中数学作业分层设计是一种有效的方式，有利于贯彻这一基本理念。
“作业分层设计”是指教师在设计、布置作业（练习）时，根据不同阶段学生数学学习的特点，按照不同类型学生的认知规律和个性心理特征，设计出不同的、适合各类学生的作业，从而帮助、促使不同层次的学生都能有效地完成作业，通过不同层次的练习达到好的学习效果。
一、作业分层设计的必要性首先，《义务教育数学课程标准》指出：数学教育面向全体学生，实现人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。
由于每个学生的先天素质、教育影响和主观努力程度不一定相同，这就要求教师应从实际出发，实施有差异的分层教学。
每个学生都存在自己的“最近发展区”。
只有学习任务处于最近发展区时，学生的兴趣才能激发，学习才有效率。
分层布置作业就是贴近每个学生的实际来布置作业，让每个同学在自己的“最近发展区”进行数学练习。
其次，我国大教育家孔子说：“中人以上，可以语上也；中人以下，不可以语上也。
”即孔子教人，因材施教。
现代教育学认为在共同的培养目标下，根据受教育者的能力、特长、性格、原有的基础等具体情况不同，提出不同的要求，给予不同的教育，这就说明教师应该根据学生的具体情况布置作业。
二、作业分层设计的类型1.书写型：这类作业的选取内容：（1）教科书；（2）配套练习册。
2.体验型：数学学习不能完全依赖课堂，还可以将学习范围延伸到学生力所能及的社会生活和各项活动之中。
作业不要求规范，重在感受和体验，感受数学来源于实践又反作用于实践，体验数学的应用价值。
新课程标准视域下初中数学分层作业的设计研究——以“一元二次方程”为例
新课程标准视域下初中数学分层作业的设计研究以 一元二次方程 为例罗志山(江苏省海安市角斜镇老坝港初级中学ꎬ江苏南通２２６６３４)摘㊀要:在初中数学学习过程中ꎬ学生在知识水平㊁智力和接受能力上存在差异.为确保学习的有效性ꎬ以及每位学生都能得到充分全面的发展ꎬ教师可以采用作业分层设计与实施的策略ꎬ根据不同学生的水平和需求ꎬ有针对性地安排作业ꎬ让每位学生都能通过作业获得进步.除此之外ꎬ分层作业还有助于优化初中数学教学流程ꎬ提高教学效果.关键词:初中数学ꎻ新课程标准ꎻ分层作业ꎻ一元二次方程中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３５－００６８－０３收稿日期:２０２３－０９－１５作者简介:罗志山(１９６６.３－)ꎬ男ꎬ江苏省南通人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事初中数学教学研究.基金项目:本文系南通市教育科学 十四五 规划课题 新课标视域下分层作业的实践研究 的阶段研究成果(课题编号:ＧＨ２０２２０２４)㊀㊀分层教学的核心观点是根据学生的能力和学习风格进行个性化的教学ꎬ强调将学生置于学习的中心ꎬ通过关注每个学生的特点和需求ꎬ为其提供有针对性的学习环境.这个理论认为ꎬ每个学生都有不同的学习风格㊁兴趣和能力ꎬ因此需要根据这些差异设计个性化的学习计划.然而ꎬ现行的分层作业策略在实施过程中ꎬ往往只是根据学习成绩划分学习小组ꎬ根据题目难易安排作业ꎬ未能提供实质的个性化指导.教师应该在认识学生间不同的学习风格和认知差异后ꎬ从多样化的角度出发进行作业设计ꎬ进而满足不同学生需求ꎬ切实提升学习效果[１].本文以 一元二次方程 为例ꎬ探讨新课程标准视域下分层作业的实践.１按照任务难度设计分层作业认知负荷理论认为ꎬ学习过程中存在着认知负荷ꎬ即学生需要投入一定的认知资源处理信息和执行任务.如果任务难度超过学生的认知能力ꎬ学生可能会感到压力过大ꎬ无法有效学习.相反ꎬ如果任务过于简单ꎬ可能会导致学生的兴趣和动机下降.因此ꎬ通过合理划分任务难度ꎬ可以更好地调整学生的认知负荷ꎬ使其处于适度挑战的学习状态.在设计 一元二次方程 的单元作业时ꎬ对于理解较好的学生ꎬ教师可以设置一些挑战性的高阶思维题目ꎬ来拓展学生的数学思维能力.同时ꎬ对于掌握程度较低的学生ꎬ可以设置一些基础练习题ꎬ帮助学生夯实基础知识.通过合理设计作业难度ꎬ教师能够更好地满足学生的学习需求ꎬ促进个体的全面发展.在学习 一元二次方程 时ꎬ教师可以将作业按照难度进行划分ꎬ这有助于学生在学习过程中逐步提升解题能力和理解深度.这种划分可以形成一个渐进的学习过程ꎬ帮助学生有序地掌握和巩固一元二次方程的基本概念和解题方法.[作业设计案例(一)]基础题:考查对一元二次方程基本概念的理解和应用能力.学生通过观察方程的形式ꎬ识别各项系数ꎬ并计算一元二次方程的根的判别式.这些基本概８６念和技能是学习和解决更复杂的一元二次方程问题的基础.题１㊀已知一元二次方程２ｘ２＋３ｘ－５＝０ꎬ请回答以下问题:(１)方程的二次项系数是多少? (２)方程的一次项系数是多少? (３)方程的常数项是多少?(４)求出方程的根的判别式.进阶题:在掌握基础知识的基础上ꎬ进一步要求学生应用配方法求解方程的根ꎬ并思考判别式的含义.学生需要将变量ａ代入方程ꎬ利用配方法求解方程的根ꎬ并得出结论.同时ꎬ学生还需通过计算判别式来判断方程的根的个数ꎬ并给出其含义.通过这道题目的练习ꎬ学生可以更深入地理解一元二次方程解的情况和判别式的意义.题２㊀已知一元二次方程ｘ２＋(ａ－１)ｘ＋ａ＝０ꎬ其中ａ是实数.请回答以下问题:(１)当ａ＝４时ꎬ求出该方程的两个根. (２)当ａ取什么值时ꎬ方程只有一个实数根? (３)给出该方程的判别式ꎬ并解释其含义.挑战题:要求学生综合运用一元二次方程的知识ꎬ进行变形和化简ꎬ并且加入了条件限制ꎬ增加了解题的难度.学生需要利用给定的方程和条件进行化简ꎬ然后通过配方法求解方程的根.同时ꎬ学生还需推导出判别式的表达式ꎬ并解释其含义.这道题目能够提高学生的综合运用能力和思考问题的能力.题３㊀解方程ｘ２＋(ｋ＋１)ｘ－２ｋ＝０ꎬ其中ｋ是满足条件的实数.请回答以下问题: (１)当ｋ＝－２时ꎬ求出该方程的两个根. (２)当ｋ取什么值时ꎬ方程有相等的两个根? (３)写出该方程的根的判别式ꎬ并解释其含义.这种分层作业的设计ꎬ不仅有助于调整学生的认知负荷ꎬ让学生处于适当的学习挑战中ꎬ还提供了个性化的学习体验.学生可以根据自己的实际情况选择合适的题目ꎬ并在适度挑战中提升自己的数学能力.２根据认知方向设计分层作业根据克鲁捷茨基提出的数学气质理论ꎬ不同能力结构的学生在数学思维上会有不同的倾向.其中包括分析型㊁几何型㊁调和型等不同类型的数学气质.在设计数学作业时ꎬ可以采用一种灵活的方式ꎬ通过设置引导性提示语将题目改编成逐渐递进的问题串.这样的作业设计能够为班级中不同思维层次的学生提供充分的思考空间.由于题目是逐步拾级而上的ꎬ学生可以根据自己的能力水平逐步解决问题ꎬ从而培养学生的数学思维能力.其次ꎬ这种设计能够满足不同数学气质的学生的需求.由于问题串是逐步加深难度的ꎬ学生可以在不同的时间段重复进行思考和解答ꎬ从而在不断的学习中提高解题能力[２].一元二次方程 的学习涉及多个方面的知识和技能ꎬ如代数运算㊁图像分析㊁逻辑推理等.通过按思维方式划分作业ꎬ可以鼓励学生综合运用不同的认知方式ꎬ培养其多元智能ꎬ并提升其比较与抉择的能力.同时ꎬ对于不同认知方式的学生来说ꎬ使用适合的学习方式能够更直观地理解概念和解题步骤ꎬ从而提高学习效果.[作业设计案例(二)]小明正在设计一个游乐园的过山车.过山车的轨道呈抛物线形状ꎬ顶点坐标为(０ꎬ１０).已知过山车从顶点出发ꎬ经过点Ａ(４ꎬ６)和点Ｂ(８ꎬ２).请找出抛物线的方程ꎬ并回答以下问题:(１)抛物线的开口方向是向上还是向下? (２)求出过山车在ｘ轴上的最高点的坐标. (３)过山车在运动过程中是否与ｘ轴有交点?如果有ꎬ请求出交点的坐标.分析型思维:表达式使用一元二次方程的一般形式来表示抛物线的.通过观察已知点的坐标ꎬ利用方程和变量之间的关系ꎬ推导出抛物线的表达式.几何型思维:绘制坐标系ꎬ并在图中标出顶点和经过的点Ａ㊁Ｂ的位置.通过直观地观察图形ꎬ探索抛物线的特点ꎬ如开口方向㊁对称性等.从几何的角度来理解和推导抛物线的方程.调和型思维:利用给定的三个点的坐标ꎬ建立一个方程组ꎬ其中未知系数为抛物线的方程参数.通过求解方程组ꎬ求得抛物线的表达式.这种方法可以综合运用代数和几何知识ꎬ进行推理和变式训练.９６通过设置引导性提示语ꎬ将题目改编成逐渐递进的问题串ꎬ可以为不同思维层次和数学气质的学生提供充分的思考空间ꎬ并让能力水平较低的学生在不同时期回看作业时ꎬ仍能够获得新的提升.这种作业设计有助于学生全面发展ꎬ并为将来面对复杂问题时具备更强的解决能力.３建立分层评估与辅导体系分层评估与辅导是分层作业设计中重要的一环ꎬ它旨在根据学生个体差异提供有针对性的作业和指导ꎬ从而实现个性化教育的目标.通过分层评估ꎬ教师可以了解学生的学习状况ꎬ为学生提供适合难度的作业和个性化反馈ꎬ促进学生学习进步ꎬ学生也能在适合自己的学习水平上进行学习ꎬ避免了 一刀切 的教学模式.因此ꎬ将个性化评估与辅导纳入分层作业设计ꎬ可以更好地满足学生的学习需求ꎬ推动学生在适合自己的学习水平上取得更好的发展[３].一元二次方程 是初中数学中的一个重要内容ꎬ对学生来说可能存在一定的难度ꎬ在教学过程中需要教师给予重视.分层评估可以根据学生的理解程度和能力水平ꎬ识别学生理解和掌握程度的差异ꎬ以便更好地针对每个层次的学生提供适当的教学和辅导ꎬ这样可以确保学生在不过大压力的情况下ꎬ逐步提高对一元二次方程的理解与应用能力.[作业设计案例(三)]一辆汽车从高速公路Ａ出发ꎬ匀速行驶.已知从起点到终点的距离为１００ｋｍꎬ行驶时间为ｔ小时.假设车辆的加速度为－２ｍ/ｓ２ꎬ求在ｔ小时内ꎬ汽车行驶的距离与时间的关系式ꎬ并计算在２小时内汽车行驶的距离.基础水平学生的评估要点:能正确列出汽车行驶距离和时间的关系式并计算简单运算.辅导方案:引导学生回顾直线运动的相关知识ꎬ帮助学生建立起汽车行驶距离与时间的关系式ꎬ并指导学生代入数值ꎬ完成简单的运算.对于２小时的情况ꎬ直接将时间代入公式计算得出结果.中等水平学生的评估要点:能正确列出汽车行驶距离和时间的关系式ꎬ并应用公式计算具体数值.辅导方案:复习直线运动的相关知识ꎬ并通过例题帮助学生建立汽车行驶距离与时间的关系式.引导学生代入数值ꎬ计算出具体的行驶距离.对于２小时的情况ꎬ应用公式计算得出结果ꎬ并提醒学生解释数值的物理意义.优秀水平学生的评估要点:能正确列出汽车行驶距离和时间的关系式ꎬ并应用公式解决复杂问题.辅导方案:通过复习直线运动的相关知识ꎬ让学生建立起汽车行驶距离与时间的关系式.先引导学生代入数值ꎬ计算行驶距离ꎬ再让学生思考并解决与时间㊁距离㊁速度等有关的复杂问题ꎬ例如ꎬ求出最初速度或加速度的大小等.在分层评估时ꎬ教师也需要灵活调整难度ꎬ并给予不同层次学生适当地指导和帮助ꎬ避免给其带来歧视和过大的压力ꎻ鼓励学生积极参与ꎬ重视每个学生的个体差异ꎬ在评估中强调要注重学习过程而非仅仅关注结果ꎻ尊重学生的不同思维方式和解题方法ꎬ以此帮助学生在实际应用中理解和运用一元二次方程知识ꎬ提高学生的学习效果和兴趣.数学学科的学习对学生的学习能力要求较高ꎬ教师在教学中运用分层教学非常适合.传统 一刀切 的教学方式难以满足所有学生的需要ꎬ而分层教学能够充分考虑学生个体的客观差异ꎬ并为每个学生设置符合其实际情况的教学目标和评价标准.初中阶段是学生建立学习习惯㊁培养能力的关键时期ꎬ因此ꎬ教师在初中数学教学中应加强对分层教学方法的研究与应用ꎬ切实提高课堂教学效果ꎬ提升学生的核心素养.参考文献:[１]李明洋ꎬ于彬.初中数学分层作业设计的探索与解读[Ｊ].数学教学通讯ꎬ２０２３(８):８－１０.[２]成囡. 双减 政策下数学发展性分层作业的设计策略[Ｊ].数理化学习(教研版)ꎬ２０２２(９):１０－１２.[３]李铭娇.分层作业在初三数学教学的实践研究[Ｄ].上海:华东师范大学ꎬ２０２２.[责任编辑:李㊀璟]０７。
初中数学分层布置作业案例
初中数学分层布置作业案例案例1：整式加减是在学习了“有理数运算”基础上的提高。
在布置做教科书“整式加减”课后的“综合运用”和“拓广探索”题时，我在教室内进行巡视和个别指导，大半节课后，基础好的同学已经做完了所有的题，开始没有事干了；而基础差的同学一节课就在一个题上磨蹭，丝毫没有进展。
我看了很着急，问他们是怎么回事，他们说：“不会做”。
原来是他们不会分析，时间一分一秒的过去，可他们却完全没有收获。
他们每天的作业不是抄别人的就是不做，我也知道他们没办法，因为问题欠得太多了。
案例分析：在义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展。
在数学教学中，差生的得来，除了很少部分是智力因素外，大部分就是无效学习造成的。
的确，我们在教学中没有承认学生中存在的个体差异，教学中教师总想让学生多学一点东西，怕学生因为少做题而影响成绩，因此就喜欢用一个标准或一个尺码去衡量学生。
然而，这样做的效果恰好适得其反。
他们在学习中不仅没有尝到成功的快乐，反而还被一次次失败所打击。
他们学习上失去了信心，也就没有战胜困难的勇气。
因此可见，教学中的“吃大锅饭”和“一把尺子”量到底，使学生在学习上产生恶性循环。
为了解决这部分学生的学习问题，首先要解决他们的信心问题。
教学中不但要关注他们的课堂表现，更要关注他们知识的掌握和巩固即作业完成的情况。
作为教师应该从作业布置中承认他们的差异，努力减轻他们学习上的压力，让优生吃得饱，差生吃得了，给他们尝试成功的机会，让他们树立自信心，给他们学习上的快乐，才能收到良好的教学效果。
分层布置作业针对学生的实际，把学生分成三个组。
其中成绩好的为A组，成绩中等的为B组，成绩较差的为C组。
在分组时便给学生讲清分组的目的和重要性，以消除学生思想中的消极心理，让他们积极配合我的工作。
在教学中我根据各组成绩情况布置相应的作业。
每天的作业采用优化的弹性作业结构设计：分基本作业、提高性作业、探索性作业。
分层教学的实践案例(3篇)
第1篇一、案例背景随着我国教育改革的不断深入，新课程改革的理念逐渐深入人心。
新课程改革强调“以人为本”，关注学生的个性发展，倡导因材施教。
分层教学作为一种有效的教学方法，旨在满足不同层次学生的学习需求，提高教学质量。
本文以某中学八年级数学教学为例，探讨分层教学的实践案例。
二、分层教学实施过程1. 分层教学设计（1）分析学生情况首先，对八年级学生的数学学习情况进行全面分析，包括基础知识掌握程度、学习习惯、学习态度、学习方法等方面。
通过问卷调查、课堂观察、与任课教师沟通等方式，了解学生的个体差异。
（2）确定分层标准根据分析结果，将学生分为三个层次：A层（优秀层）、B层（中等层）、C层（后进层）。
A层学生基础知识扎实，学习能力强；B层学生基础知识较好，但学习积极性不高；C层学生基础知识薄弱，学习困难。
（3）制定分层教学目标针对不同层次的学生，制定相应的教学目标。
A层：提高数学思维能力，培养创新意识；B层：巩固基础知识，提高学习兴趣；C层：掌握基本概念，提高学习信心。
2. 分层教学实施（1）课堂分层教学在课堂教学中，教师针对不同层次的学生，采用不同的教学策略。
A层：注重培养数学思维能力，引导学生进行探究性学习，鼓励学生提出问题、解决问题。
B层：巩固基础知识，通过课堂练习、小组合作等方式，提高学生的学习兴趣。
C层：关注基础知识，通过讲解、示范、练习等方式，帮助学生掌握基本概念。
（2）课后分层辅导针对不同层次的学生，教师进行课后分层辅导。
A层：鼓励学生自主学习，提高解题能力；B层：帮助学生巩固基础知识，解决学习中的困难；C层：辅导学生完成作业，提高学习信心。
3. 分层教学评价（1）过程性评价关注学生在分层教学过程中的表现，包括课堂参与度、作业完成情况、学习态度等。
（2）结果性评价关注学生在分层教学后的学习成绩，包括考试成绩、作业质量等。
三、分层教学效果分析1. 提高了学生的学习兴趣通过分层教学，教师关注到每个学生的需求，激发了学生的学习兴趣，使学生在课堂上更加积极主动。
初中数学作业分层实施策略研究——以苏教版八年级下册“反比例函数”一课为例
㊀㊀㊀１０７㊀㊀初中数学作业分层实施策略研究初中数学作业分层实施策略研究㊀㊀㊀ 以苏教版八年级下册 反比例函数 一课为例Һ许天枢㊀（南京市宁海中学分校，江苏㊀南京㊀２１０００３）㊀㊀ʌ摘要ɔ分层作业是常见的作业形式，能兼顾不同学生的个性差异，通过不同等级的作业内容，满足不同层次学生的学习需求．初中数学作业分层是检验学生学习成果的方法，教师应秉持学生本位理念，深入研究实际学情，设计高质量的分层作业．基于此，文章聚焦初中数学作业分层设计，对苏教版数学八年级下册 反比例函数 一课作业设计的要点展开剖析，着力于增强作业分层科学性㊁激发学生兴趣㊁增强学生效能感，从整合资源㊁分层设计㊁依序落实㊁延伸训练四方面入手，对作业分层设计与实施展开研究，以期提高各层次学生的数学学习水平．ʌ关键词ɔ初中数学；分层作业设计；反比例函数分层作业是教师从学生实际认知㊁学习进度出发，合理选择和设计例题与练习，科学安排练习的难易程度，制订的对应学生层次的作业．在当前义务教育阶段课程改革背景下，初中数学教师对学生㊁作业内容㊁学习目标进行分层，合理设计分层作业，对于增强学生的整体素养有积极的促进作用．下面笔者以苏教版八年级下册 反比例函数 一课为例，从不同角度阐述分层作业的实施策略．一㊁整合资源，规划分层作业目标反比例函数 是苏教版数学八年级下册第１１章的内容，在本课作业设计中，教师需要注重学生对反比例函数知识的理解和掌握，通过各种形式的练习，巩固学生的学习基础，使他们具备实际应用能力．从成反比例的量到反比例函数，学生经历了系统的学习过程．在这一过程中，学生难免会遇到学习困难，学习效果出现差异．针对实际学习情况，教师可以按照学困生㊁学优生两个层次，划分学生群体，根据对应学生群体的实际情况整合学习资源，合理规划分层作业目标．具体目标设计如下：（一）目标设计学困生作业目标：（１）通过完成基础练习，从具体情境中抽象出反比例函数概念，理解并掌握函数性质㊁图像，能通过数学建模的方式，构建反比例函数模型，通过直观想象，理解图像特点和变化规律．（２）通过完成拓展练习，能初步掌握反比例函数的计算方法，能进行简单的数学运算和数据处理，根据图像变化趋势，分析实际问题．学优生作业目标：（１）通过完成拓展练习，理解反比例函数的意义㊁价值，通过逻辑推理㊁数学建模来解决实际问题，能独立完成反比例函数的计算，掌握数学运算和数据处理的方法．（２）通过完成高难度练习，灵活分析㊁处理反比例函数相关数据，研究图像变化趋势，在解决问题中发挥创新意识，探索解决问题的新方案．（二）作业实施依据以上作业目标整合学习资源，可为分层作业设计提供思路．以 反比例函数的图像与性质 小节为例，分层作业设计如下：学困生作业：使用列表法画反比例函数 ｙ＝６ｘ 的图像．学优生作业：分析反比例函数 ｙ＝６ｘ 图像的性质，请分两种情况讨论．学困生作业包含反比例函数概念㊁图像性质㊁图像化法等知识，经过教师的整合，学生便可通过完成练习检验自己的学习成果．学优生的作业建立在 画函数图像 的基础上，旨在启迪学生思维，让他们分析不同情况下的函数性质，推动其高阶思维发展，强化其应用能力．针对学困生的作业，整合了基础性学习资源，能让学生恰当选取自变量，计算对应函数值，利用表格整理数据．在描点时，学困生可以根据表格中的数据，在平面直角坐标系中描出对应的点．在连线阶段，学困生用平滑曲线顺次连接不同象限内的各点，得到反比例函数的图像．在完成作业的同时，学生能巩固自己的学习基础．针对学优生的作业，整合了进阶性学习资源，能启迪学生在分析反比例函数 双曲线 的同时，分两种情况讨论：第一种情况，ｋ＞０时， 双曲线 的两㊀㊀㊀㊀１０８㊀支分别在一㊁三象限，ｙ随ｘ增大而减小；第二种情况，ｋ＜０时， 双曲线 的两支分别在二㊁四象限，ｙ随ｘ增大而增大．二㊁分层设计，凸显作业减负原则分层作业设计是作业实施的重要前提，教师坚持减负增效原则，充分进行调研，因材施教设置分层作业内容，能提升作业质量． 双减 政策鼓励教师布置分层㊁弹性和个性化作业，充分发挥作业的诊断㊁巩固㊁学情分析作用，有效减轻学生的课后作业负担．教师要以 双减 政策为指导，科学设计分层作业，组织学生参与练习，提高学生数学课后学习参与效度，达到减负增效目标．（一）因材施教因材施教具有丰富的现代内涵，其能指导教师实施数学分层作业．教师可以根据学生的实际情况，灵活调整作业内容，确保学困生㊁学优生能获得对应的学习保障．以 反比例函数概念 小节的作业设计为例，教师可以根据学生的实际情况设计以下作业：学困生作业：用函数表达式表达以下变量关系，分析函数表达式的共同特征，举出类似实例．（１）实数ｍ与ｎ的积为－２００，ｍ随ｎ的变化而变化．（２）一个游泳池的容积为５０００ｍ３，管理员向游泳池内注水，注满水所需的时间ｔ（ｈ）随注水速度ｖ（ｍ３／ｈ）的变化而变化．学优生作业：有一个体积为１００ｃｍ３的圆锥，高度ｈ（ｃｍ）随底面积Ｓ（ｃｍ２）的变化而变化，根据其中的变量关系，写出函数表达式，判断是否为反比例函数．两个层次学生的作业难度不尽相同，学困生通过分析实例中的变量关系，需要列出函数表达式 ｍ＝－２００ｎ，ｔ＝５０００ｖ，分析函数表达式的共同特征，结合自己的学习过程与生活经历，举出类似的实例．在完成练习后，学生能巩固自己的反比例函数学习基础．学优生通过分析练习中的变量关系，需要写出函数表达式１３Ｓｈ＝１００ ，化简后得到 ｈ＝３００Ｓ，得知ｈ是Ｓ的反比例函数．对应不同学习层次学生的作业，满足了他们的学习需求，而教师将作业总量控制在学生可接受的范围内，更是减轻了学生的作业负担．为了提高学生数学课后学习参与效度，教师还可以通过变量关系解析活动，为学生提供多样化的数学作业选择，促成不同层次学生之间的学习交流，使其能深入理解课上所学反比例函数基础知识．（二）科学实施分层作业的实施，对教师在整合资源㊁作业评改㊁个性辅导等方面提出了更高要求．教师在以 双减 政策为指导的作业设计工作中，应聚焦课后作业形式，对传统的课后作业进行优化．教师可以设计合作探究作业，发挥学优生的榜样示范作用，促进学困生的深入思考．教师应将不同层次学生分配到同一小组中，以先进带后进的形式，促进全体学生进步．在 用反比例函数解决问题 小节的作业设计中，教师可以设计合作探究项目 社会调查报告录入 ，具体要求如下：将２４０００字的社会调查报告录入电脑，分析完成录入的时间ｔ（分）与录入速度ｖ（字／分）之间的函数关系；在４小时内完成录入任务，分析每分钟录入的字数．以上合作任务能创新数学作业的形式，贯彻落实双减 政策中有关作业设计的要求．教师可以将不同的学生组成项目小组，要求学困生分析数量关系，学优生设计数学模型，根据实际项目问题情况，利用反比例函数有关性质解决问题．在合作中，各个层次学生之间相互交流㊁探讨，能根据项目问题中的数量关系列出函数表达式 ｖ㊃ｔ＝２４０００ ，得到 ｔ＝２４０００ｖ，明白录入时间是录入速度的反比例函数．学生之间相互帮助㊁学习，将 ｔ＝２４０ 代入函数式中，得到 ｖ＝２４０００２４０＝１００ ，并根据反比例函数性质进行分析可知，每分钟至少录入１００字，才能在４小时内完成录入任务．分层作业的实施形式决定学生的学习兴趣和效率，教师采用合作探究的形式，创新传统的作业形式，既凸显了作业减负原则，又能唤醒学优生㊁学困生的学习认知．学困生根据项目问题列出函数式，学优生利用反比例函数有关性质解决问题，两个层次学生在思维碰撞中互相借鉴㊁交流，有助于提高作业实施效率，促进学生的深度学习．三㊁依序落实，推进自主学习进程教师明确作业目标，坚持因材施教原则设计作业，能减轻学生的课后作业负担，促进学生之间的互动㊁交流，激活学生的学习兴趣，促进其自主学习．为了进一步推进学生的自主学习进程，培养其良好的数学学习习惯，教师应摒弃题海战术式的作业，严格控制作业总量，以减轻学生的负担，使其拥有更多的自主学习时间㊁空间．教师可以通过 作业包㊁作业自选超市 的形式，为不同层次学生的自主学习提供保障，以调动学生的自主学习积极性．㊀㊀㊀１０９㊀㊀ 反比例函数 的前一章节是 分式 ，教师可以利用新旧知识衔接，巩固学困生的旧知识学习，让他们加强对新知识的理解． 作业包 设计如下．基础：当ｍ取哪些整数时，分式 ４ｍ－１的值是整数？进阶：两个量之间成反比例关系，怎样用函数表达式进行描述？高阶：分式与反比例函数表达式之间有无关联？反比例函数是分式在特定情况下的特殊形式，以上三个 作业包 为学生的新旧知识衔接提供了保障，使其能在自主学习中进行复习㊁预习㊁思考．学困生按照顺序完成以上作业，能总结反比例函数的一般规律，实现高阶思维发展目标．部分学优生接受新事物的能力较强，相对单一的作业包 在一定程度上无法满足其多样化学习需求．教师可以根据实际学情，设计㊁落实以下分层作业． 作业自选超市 设计如下．生活中的反比例函数无处不在，请你尝试用反比例函数知识回答生活问题：（１）阿基米德说： 给我一个支点，我能撬动整个地球． 他为何如此自信？（２）为什么有的台灯亮度可以调节？（３）用力踩气球，气球会爆炸吗？（４）为什么打针用的针头是尖尖的，而推土机轮子上要安装又宽又长的履带？（５）近视镜片度数与镜片焦距存在什么关系？反比例函数的应用是教学重难点，针对学优生的作业自选超市 ，可以让他们至少选择三个问题进行回答．教师也可以鼓励学有余力的学生，利用课余时间自行查阅资料，解决全部问题． 自选式 分层作业，满足了学优生的多样化学习需求，使其能关注生活中的反比例函数，在问题分析㊁解决中进行自主学习，提高数学学习水平．四㊁延伸训练，拓宽学生知识视野延伸训练是在分层作业设计基础上，减少单一化㊁机械化的书面作业，创新引入新颖数学实践活动．分层作业的延伸与拓展，能让学生增强数学实践应用体验，拓宽认知视野，提高作业实施有效性．反比例函数 延伸训练，可以从函数图像的对称性研究㊁实际生活问题㊁挑战题三方面入手设计和应用．首先，教师可以要求学困生探索反比例函数图像的对称性．如：在纸上画出反比例函数 ｙ＝ｋｘ（ｋʂ０） 的图像，分别求出 ｘ＝ａ，ｘ＝－ａ 两种情况下的函数值ｙ与ｙᶄ ，观察并分析两个函数值，阐述反比例函数图像的对称性．数学教学重视动手操作和实践应用，针对学困生的作业延伸训练，能让学生关注图像的对称性，结合问题的不同问法与解题要求进行思考，有效拓宽他们的知识视野．学困生通过分析㊁解题，能经历反比例函数应用的全过程，促进知识快速内化，进一步巩固数学学习基础．其次，教师可以根据学优生的实际情况，设计实际生活问题：有一块矩形的绿化区，长为ｘ，宽为ｙ，面积为１００；现根据设计要求对绿化区进行调整，当ｘ增加时，ｙ值有何变化，当ｘ减少时，ｙ值有何变化？这一问题将学生的反比例函数知识学习，从理论层面延伸至应用层面，既保持了课后作业的新颖性，又能增加作业实施手段的多变性，能够维持学生的学习热情．学优生通过解决问题，能发展高阶思维能力．最后，教师可以联系有难度的生活问题，为学生设计挑战题：有一个圆柱体容器，高度为ｈ，底面半径为ｒ，容积为Ｖ；在保证圆柱体容积不变的情况下，当底面半径增加时，怎样改变容器高度？当底面半径减少时，容器高度应如何变化？学生运用反比例函数知识进行解答，可以拓宽数学知识视野，增加对反比例函数知识学习的感性体验与理性认知．结㊀语简而言之，教师通过整合数学学习资源，分层设计课后作业，依序落实作业目标，合理进行延伸训练，不仅能巩固学困生的学习基础，而且可以提高学优生的学习水平．初中数学分层作业的实施，让相关练习置于不同层次学生的最近发展区，能保证全体学生高效学习，让学困生夯实数学基础，使学优生获得更多提升空间，增加了全体学生的学习自信．在初中数学课程改革的背景下，教师在传授知识的同时，也应关注学生学习情况，依据实际学情设计分层作业，致力于增强分层作业品质，推动学生的数学学习水平提高，提升教学质效．ʌ参考文献ɔ［１］丁艺真．指向核心素养提升的初中数学作业分层设计策略研究 以 二次函数 单元为例［Ｊ］．数学学习与研究，２０２２（３１）：１１３－１１５．［２］陈志辉． 双减 背景下初中数学作业分层设计的策略［Ｊ］．新课程，２０２２（３４）：２２０－２２２．［３］朱昌宝．初中数学作业分层设计的相关探讨 评‘解密分层教学“［Ｊ］．科技管理研究，２０２２，４２（１６）：２５４．。
初中数学作业改革案例
递进、分层次布置作业昌乐县鄌郚镇中学王新华数学作业制度改革背景我是一名数学老师，现任初二（1、2）班的数学，据我调查，在初一时数学成绩被兄弟学校拉下近10分，并且两级分化严重。
查找根源有多种，特别课上课下作业是一个老大难问题。
据我统计，课下作业完成质量较高的学生仅占32%，时常出现小错误的占28%，错误情况较重的占25%，完成情况较差的（不会做或只对一道题）占10%，长期不交作业的占5%。
课上作业每每我在巡视和个别指导时，往往大半节课后，基础好的同学已经做完了所有的题，开始没有事干了；而基础差的同学一节课就在一个题上磨蹭，丝毫没有进展。
我看了很着急，问他们是怎么回事，他们说：“不会做”。
原来是他们不会分析，时间一分一秒的过去，可他们却完全没有收获。
他们每天的作业不是抄别人的就是不做，我也知道他们没办法，因为问题欠得太多了。
这些数字和做法看后令人心寒，进一步表明初一的教学以及作业设计上存在很大的误区，导致成绩日趋下滑，就这个问题我和校领导探讨过多次，最后达成一致意见一改以往的全篇一律的作业模式，让我自己想办法（作为试点），前提是让在学生喜欢学数学的同时把成绩提上去。
我除了在教学上狠下功夫之外，特别在校生的作业设置上下了一番功夫，特别注重了递进、分层次布置作业。
数学作业制度改革的内容1、按知识结构设计作业级别。
一般可以有三类，A级为基本练习：重在基础知识和基本技能的操练，浅显易懂，紧扣当天所学的内容；B级为提高练习：重在对知识的理解和运用，难易尺度是学生“跳一跳，够得着”；C级即创新练习：重在对概念的深刻理解和灵活运用，这种题目有一定的难度。
让基础知识有欠缺，思路较慢的学生完成A级的作业即可，基础知识扎实思维敏捷的学生完成B级和C级的作业，其余的学生完成A级和B级的作业，鼓励学生去完成上一级作业中的部分题目，可加☆加以表扬。
如学了一次函数的概念后，可以设计这样一份作业：一次函数的概念一、填空题（A）1．形如__________（k、b都是常数，且_______）的函数叫做一次函数，定义域是________。
中学数学作业分层设计案例
中学数学作业分层设计案例1.案例背景在中学数学教学中，作业是巩固学生对知识的理解和应用的重要方式。
然而，由于学生的差异性，传统的统一作业安排难以满足每个学生的需求。
为了更好地促进学生的学习效果，有必要对数学作业进行分层设计。
2.设计目标-个性化：根据学生的学习水平和能力，提供个性化的数学作业。
-适度挑战：根据学生的学习进程，提供适当切合的数学作业，既能巩固基础知识，又能拓展思维能力。
-自主学习：鼓励学生独立完成数学作业，培养他们的学习兴趣和学习能力。
-及时反馈：提供作业批阅和解析，及时指导学生进行自我纠错和进一步学习。
3.分层设计方案（1）基础层次作业针对学生基础薄弱、需要巩固的知识点，设计基础层次作业。
这一层次的作业主要包括基础知识运算、基本题型练习等，以帮助学生巩固基本概念和技能。
作业应简单明了，题目数量适宜，帮助学生轻松迅速掌握基础知识。
（2）拓展层次作业对于掌握基础知识的学生，设计拓展层次作业。
这一层次的作业主要包括思维拓展题、综合运用题等，旨在培养学生的综合思维能力和问题解决能力。
作业应稍微具有难度，题目设计涉及多个知识点，要求学生进行深度思考和充分运用已掌握的知识。
（3）挑战层次作业针对数学学习进程较快，需更高层次挑战的学生，设计挑战层次作业。
这一层次的作业主要包括创新题、研究性问题等，旨在培养学生的创新思维和独立解决问题的能力。
作业设计较难，需要学生进行更深入的思考和独立探索，可以锻炼学生解决复杂问题的能力。
4.实施过程（1）学生分组根据学生的数学水平和学习能力，将学生分为基础组、拓展组和挑战组。
每个组的学生可以协作学习和互相帮助，也可以有相应的竞争机制刺激学生积极性。
（2）作业分发老师针对不同组别的学生分别布置对应层次的作业。
作业由老师在课堂上分发并解释，确保学生明确作业的要求和目标。
（3）作业批阅与反馈老师及时批改作业，给出具体的评价和建议。
针对基础组的学生，可以给予详细的解题过程和解析，帮助学生理解和掌握基本知识。
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中学数学作业分层设计案例
寿县迎河中学龙如山
学生随着年龄的增加，年级的升高，数学学科的难度及知识量也相应增大了，我们发现部分学生开始感到学数学很吃力，学习劲头明显没有以前足了，两极分化的现象开始萌芽。
中学数学作业普遍存在：一是作业机械重复性较多；二是作业形式单调，缺乏思维问题；三是作业量分布不均；四是忽视学生间差距和潜能，形成“一刀切”的局面等。
学生对这样的数学作业非常反感。
大量的作业占去学生的课余大部分时间，抑制了他们自身兴趣爱好的发展，抑制了学生个性的发展，严重影响了学生身心健康的发展。
本案例拟通过对作业分层设计的研究与探讨，从影响中学生作业低效原因的分析出发，实现从原先所谓的“任务”转化成学生自身学习的一种需求。
我们尝试从改变作业的形式、内容、以及考虑学生的个体差异等方面进行思考，实行分层作业模式，从而帮助不同层次的学生都能通过合理、有效的完成作业，达到良好的课后巩固的效果。
设计不同层次的作业，能让教师从不同的角度了解学生掌握知识、发展能力的综合信息，从这些信息中，教师不但可以比较准确地了解学生“学”的情况，还能及时发现教师“教”所存在的问题，从而为教师进一步改进教学方法，调节教学结构提供了有力的科学依据。
教学案例1：
整式加减是在学习了“有理数运算”基础上的提高。
在布置做教科书“整式加减”课后的“综合运用”和“拓展探究”题时，笔者在教室内进行巡视和个别指导，大半节课后，基础好的同学已经做完了所有的题，开始没有事干了；而基础差的同学一节课就在一个题上磨蹭，丝毫没有进展。
我看了很着急，问他们是怎么回事，他们说：“不会做”。
原来是他们不会分析，时
间一分一秒的过去，可他们却完全没有收获。
他们每天的作业不是抄别人的就是不做，我也知道他们没办法，因为问题欠得太多了。
教学案例2：
我们利用课堂时间来检测“整式的加减”的掌握情况。
我把练习试卷分发给学生，学生拿着试卷后便：八仙过海，各显神通地做开了。
一节课很快过去了，做得好的同学有得满分或九十多分的，做得差的有近十个人在四十分以下。
他们一节课做题完全没有进展，因为这些同学数学基础差，再加上每天都跟着“大部队”走，天天“坐飞机”，作业不是抄就是欠，所以练习更不会有什么好效果了。
这些同学在练习时也很累，他们心理很着急，一节课咬着笔杆，心急如焚。
成绩下来后更是“伤口上撒盐”，学困生就是这样多次受伤而造成的。
1、案例分析：
在义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展。
在数学教学中，学困生的得来，除了很少部分是智力因素外，大部分就是无效学习造成的。
的确，我们在教学中没有承认学生中存在的个体差异，教学中教师总想让学生多学一点东西，怕学生因为少做题而影响成绩，因此就喜欢用一个标准或一个尺码去衡量学生。
然而，这样做的效果恰好适得其反。
他们在学习中不仅没有尝到成功的快乐，反而还被一次次失败所打击。
他们学习上失去了信心，也就没有战胜困难的勇气。
因此可见，教学中的“吃大锅饭”和“一把尺子”量到底，使学生在学习上产生恶性循环。
为了解决这部分学生的学习问题，首先要解决他们的信心问题。
教学中不但要关注他们的课堂表现，更要关注他们知识的掌握和巩固即作业完成的情况。
作为教师应该从作业布置中承认他们的差异，努力减轻他们学习上的压力，学困生“吃得了”，中等生“吃得好”，优等生“吃得饱”。
给他们尝试成功的机会，让他们树立自信心，给他们学习上的快乐，才能
收到良好的教学效果。
2、分层布置
针对学生的实际，把学生分成三个组。
其中成绩好的为C层，成绩中等的为B层，学困生的为A层。
在分组时便给学生讲清分组的目的和重要性，以消除学生思想中的消极心理，让他们积极配合我的工作。
在教学中我根据各组成绩情况布置相应的作业。
每天的作业采用优化的弹性作业结构设计：分基本作业、提高性作业、探索性作业。
凡完成本课时所必须完成的作业，视为基本作业，允许优生不做，中等生和学困生人人要完成。
考虑到学生好、中、差的实际，将题目作些变化，视为基础性作业，供B 层和A层完成。
设计一些难度较大的作业，视为探索性作业，便于C层同学完成，让他们在更大的空间展示自己的能力，尝试到学习的喜悦。
优等生能在巩固基础知识的同时不断拓展，使自己的知识量和灵活性都有所提升；中等生可以在保证基础知识扎实的情况下有较大的进步，在灵活运用方面有所提高；而学困生则确保能掌握课标设定的教学底线。
教学中的分组不是一成不变的，应采用滚动式的方法。
在一个月的作业中都能够达到高一级的要求，可以进入到高一组。
B层中有学习特别困难的也可以退入到A层。
学生在这样的激励机制下，学习有压力也有动力，在成功的尝试中来树立学习的自信心，培养学习数学的兴趣，从而可实现：“人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展”的目标。
采用分类评价学生作业的方法测评学生，对学困生判分适当放松，对优生判分适当从严。
在完成作业的时间上，中等生和学困生可适当放松，对优等生可紧些。
在考核时也分层考核，在一张试卷中设计基础题、中档题和拔高题，，基础题和中档题只供A组的同学完成，中档题和拔高题是优、中等生都要完成，而基础题是每个同学都要做的。
在同一时间段内分值设计不同，采用附加分的形式来提高优、中等生的学习兴趣，激发他们
学习的热情。
学生完成分层作业后，各层次的学生在作业本上把当天的知识进行小结。
通过小结当天的知识点、解题方法以及解题时的独到见解，积累方法，优化解题策略。
对他们成功的尝试给予大胆的鼓励和表扬，让他们感受到自己成功的愉悦，进一步增强学习的自信心和提高学习兴趣，让他们养成善于思考的好习惯。
要设计好分层作业的题目，需要我们老师花更多的时间和精力，需要对所教内容的知识点有非常深刻的理解和把握，精心挑选，这样才能设计出适合各个层次学生完成的作业，从而增强学生做数学作业的兴趣，提高数学作业的质量，进而提高数学教学的质量。