2018-2019学年高中新创新一轮复习理数：课时达标检测(六十一) 坐 标 系含解析
2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：课时达标检测 三角函数的图象与性质 Word版含解析
课时达标检测（二十） 三角函数的图象与性质[小题对点练——点点落实]对点练(一) 三角函数的定义域和值域) (是的值a －b ，则]b ，a [，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π的定义域为x 2cos ＝y 已知函数)考安徽联·(2018．1 A ．2 B ．3 2＋3C.3－2．D －b ，所以2,1]－[的值域为x 2cos ＝y ，所以函数⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π的定义域为x 2cos ＝y 因为函数 B 选解析：a ＝1－(－2)＝3，故选B.)(为的最大值与最小值分别x 2sin －x 2cos ＝y ．函数2 A ．3，－1 B ．3，－2 C ．2，－1D ．2，－2 ＝y ，1,1]－[∈t ，则x sin ＝t ，令1＋x 2sin －x 2sin －＝x 2sin －x 2sin －1＝x 2sin －x 2cos ＝y D 选解析： 2.－，最小值为2为，所以最大值2＋21)＋t (－＝1＋t 2－2t － )(为的值ab ，则[5,8]的值域是)x (f 时，函数]π，0[∈x ，若b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos2x 2＋sin x a ＝)x (f ．已知函数3 224－42或51－215．A 15－215．B 224－42．C 224＋42或51＋215．D .b ＋a ＋⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4sin a 2＝b ＋)x sin ＋x cos ＋1(a ＝)x (f A 选解析： ，5π4≤π4＋x ≤π4∴，π≤x ≤0∵ 0.≠a ，依题意知1≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4sin ≤22－∴ 5.＝b ，3－23＝a ∴⎩⎨⎧ 2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，时，0>a 当① 8.＝b ，23－3＝a ∴⎩⎨⎧2a ＋a ＋b ＝5，b ＝8，时，0<a 当② 8.＝b ，23－3＝a 或5＝b ，3－23＝a 综上所述， .224－42或51－215＝ab 所以)(1]如例⎩⎪⎨⎪⎧a ，a≤b，b ，a>b.＝b *a 定义运算：)考湖南衡阳八中月·(2018．4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22A. 1,1]－[．B ⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1C. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22D. 解析：选D 根据三角函数的周期性，我们只看两函数在一个最小正周期内的情况即可．设x ∈[0,2π]，，x >sin x cos ，时π2≤x <5π4或π4<x ≤0当，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22∈)x (f ，x cos ＝)x (f ，x cos ≥x sin ，时5π4≤x ≤π4当.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22的值域为)x (f 综上知．]1,0－[∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，22∈)x (f ，x sin ＝)x (f ________________.＝x ，此时________为的最大值⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π42cos －3＝y ．函数5 ．)Z ∈k (πk 2＋3π4＝x ，即πk 2＋π＝π4＋x ，此时5＝2＋3为的最大值⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π42cos －3＝y 函数解析： )Z ∈k (πk 2＋3π45答案： 对点练(二) 三角函数的性质) (为的单调递增区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 2sin ＝y )考安徽六安一中月·(2018．1 )Z ∈k (⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ－π12，kπ＋5π12A. )Z ∈k (⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ＋5π12，kπ＋11π12B. )Z ∈k (⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ－π3，kπ＋π6C. )Z ∈k (⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ＋π6，kπ＋2π3D. 5π12＋πk ，即)Z ∈k (3π2＋πk 2≤π3－x 2≤π2＋πk 2∴，⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32sin －＝y 函数可化为∵ B 选解析：．)Z ∈k (11π12＋πk ≤x ≤ 2．(2018·云南检测)下列函数中，存在最小正周期的是( )A ．y ＝sin|x |B ．y ＝cos|x | |x tan|＝y ．C01)＋2x (＝y ．D ＝T ，最小正周期x cos ＝|x cos|＝y ：B ；不是周期函数⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x≥0，－sin x ，x<0，＝|x sin|＝y ：A B 选解析：，无最小正周期．1＝01)＋2x (＝y ：D ；不是周期函数⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，x≥0，－tan x ，x<0，＝|x tan|＝y ：C ；π2 π12＝x 的图象关于直线)<14ω(1<⎝⎛⎭⎪⎫ωx－π43cos ＝)x (f 若函数)模辽宁抚顺一·(2018．3对称，则ω＝( )A ．2B ．3C ．6D ．9 ，即Z ∈k ，πk ＝π4－ωπ12∴对称，π12＝x 的图象关于直线)<14ω(1<⎝⎛⎭⎪⎫ωx－π43cos ＝)x (f ∵ B 选解析：ω＝12k ＋3，k ∈Z .∵1<ω<14，∴ω＝3.故选B.)(＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6f ，则)x －(f ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x f 都有x 对任意)φ＋x ω2sin(＝)x (f 若函数)考福建六校联·(2018．4 A ．2或0 B ．0 C ．－2或0D ．－2或2 ，可知函数图象的一条对称轴为)x －(f ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x f 都有x 对任意)φ＋x ω2sin(＝)x (f 由函数 D 选解析：－或2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6f ∴时，函数取得最大值或者最小值．π6＝x 根据三角函数的性质可知，当.π6＝π3×12＝x 直线 2.故选D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x f，都有x 对任意实数②是偶函数；)x (f ①同时具有以下两个性质：)x (f ．若函数5)(是的解析式可以)x (f 则.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x f ＝ xcos ＝)x (f ．A ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ＝)x (f ．B ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π2sin ＝)x (f ．Cx cos 6＝)x (f ．D 是偶函x cos ＝)x (f ∵对称，π4＝x 数，且它的图象关于直线是偶函)x (f 由题意可得，函数 C 选解析：sin －＝⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ＝)x (f 函数∵A.除对称，故排π4＝x ，不是最值，故不满足图象关于直线22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4f 数，，是最小值，1－＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4f 是偶函数，x cos 4＝⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π2sin ＝)x (f 函数∵B.除是奇函数，不满足条件，故排x 2，不是最值，故0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4f 是偶函数．x cos 6＝)x (f 函数∵满足条件．C 故对称，π4＝x 故满足图象关于直线 D.除对称，故排π4＝x 不满足图象关于直线∈x 对一切⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤)x (f 若.0≠ab ，R ∈b ，a ，其中x cos 2b ＋x sin 2a ＝)x (f 已知)考洛阳统·(2018．6) (是的单调递增区间)x (f ，则0＞⎝ ⎛⎭⎪⎫π2f 恒成立，且R ) Z ∈k (⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ－π3，kπ＋π6A. )Z ∈k (⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ＋π6，kπ＋2π3B. )Z ∈k (⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ，kπ＋π2C. )Z ∈k (⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ－π2，kπD. 是π6＝x ∴，⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤)x (f ∵.b a ＝φtan 中，其)φ＋x sin(2a2＋b2＝x cos 2b ＋x sin 2a ＝)x (f B 选解析：的取值可以φ∴，0＞⎝ ⎛⎭⎪⎫π2f ．又)Z ∈k (πk ＋π6＝φ，)Z ∈k (πk ＋π2＝φ＋π3的图象的一条对称轴，即)x (f 函数k (2π3＋πk ≤x ≤π6＋πk 得)Z ∈k (π2＋πk 2≤5π6－x 2≤π2－πk 2由，⎝⎛⎭⎪⎫2x －5π6sin a2＋b2＝)x (f ∴，5π6是－∈Z )，故选B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0的图象关于)π<θ)(0<θ＋x cos(2＋)θ＋x sin(23＝)x (f 若函数)检河北石家庄一·(2018．7) (是上的最小值⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6在)x (f 对称，则函数 1－．A 3．－B 12．－C 32．－D ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2f ，则由题意，知⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋θ＋π62sin ＝)θ＋x cos(2＋)θ＋x sin(23＝)x (f B 选解析：上是减函数，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4在)x (f ，x 2sin 2－＝)x (f ，所以5π6＝θ，所以π<θ0<又，0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋θ＋π62sin B.选，故3＝－π32sin －＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6f 上的最小值为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6在)x (f 函数[大题综合练——迁移贯通].⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π222sin ＋⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3cos ＝)x (f 设函数)模湖南岳阳二·(2017．1 (1)求f (x )的最小正周期和对称轴方程；的值域．)x (f 时，求⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4∈x 当)(2)π＋x cos(2－1＋x sin 232＋x cos 212＝)x (f (1)解： ，1＋⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3sin 3＝1＋x sin 232＋x cos 232＝ 所以f (x )的最小正周期T ＝π. ，Z ∈k ，π2＋πk ＝π3＋x 2由 .Z ∈k ，π12＋kπ2＝x 得对称轴方程为 ，5π6≤π3＋x 2≤π3，所以－π4≤x ≤π3因为－)(2 .⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3＋1的值域为)x (f 所以 1.－x 2 cos ＋2)x cos ＋x (sin ＝)x (f 已知函数)拟北京怀柔区模·(2018．2 (1)求函数f (x )的最小正周期；上的最大值和最小值．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4在区间)x (f 求函数)(2 ，⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4sin 2＝x cos2＋x sin 2＝x cos2＋x cos x 2sin ＝1－x cos 2＋2)x cos ＋x (sin ＝)x (f ∵(1)解： .π＝2π2＝T 的最小正周期)x (f 函数∴ .⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4sin 2＝)x (f 可知，)(1由)(2 ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4∈π4＋x 2∴，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4∈x ∵ 1.－，2上的最大值和最小值分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4在区间)x (f 故函数.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1∈⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4sin ∴ ．)R ∈x (x cos 23－x cos x 2sin ＝)x (f 已知函数)模辽宁葫芦岛普通高中二·(2017．3 的值；αcos 2求，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，2π3∈α且12＝)α(f 若)(1 的最小值．a 上单调递增，求实数)b <a (]πb ，πa [在)x (f ，且函数b 上的最大值为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2在)x (f 记函数)(2 .⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32sin ＝x cos 23－x sin 2＝)x (f (1)解： .14＝⎝⎛⎭⎪⎫2α－π3sin ∴，12＝)α(f ∵ ，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，2π3∈α∵，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π∈π3－α2∴ .154＝－⎝⎛⎭⎪⎫2α－π3cos ∴ 32×14－12×154＝－⎝⎛⎭⎪⎫2α－π3＋π3cos ＝α2 cos ∴ .3＋158＝－∈k ，πk 2＋π2≤π3－x 2≤πk 2＋π2由－.2＝b ∴，[1,2]∈)x (f ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3∈π3－x 2，时⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2∈x 当)(2Z ，.Z ∈k ，πk ＋5π12≤x ≤πk ＋π12得－ 又∵函数f (x )在[a π，2π](a <2)上单调递增，，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋2π，5π12＋2π⊆]π2，πa [∴ ，π2<πa ≤π2＋π12－∴ .2312的最小值是a 实数∴，2<a ≤2312∴。
2018版高考数学(人教A版理科)一轮复习课时跟踪检测6含答案
课时跟踪检测（六)1．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ）A．y＝x＋sin 2x B．y＝x2－cos xC．y＝2x＋错误!D．y＝x2＋sin x答案:D解析：A项，定义域为R，f（－x）＝－x－sin 2x＝－f(x)，为奇函数,故不符合题意；B项，定义域为R，f（－x）＝x2－cos x＝f（x)，为偶函数，故不符合题意；C项，定义域为R，f(－x)＝2－x＋错误!＝2x＋错误!＝f(x），为偶函数,故不符合题意;D项,定义域为R，f（－x）＝x2－sin x，－f（x)＝－x2－sin x，因为f（－x)≠－f(x)，且f(－x）≠f（x），故为非奇非偶函数．2．已知f(x）＝3ax2＋bx－5a＋b是偶函数,且其定义域为，则a＋b ＝( ）A。
错误!B．－1C．1 D．7答案：A解析：因为偶函数的定义域关于原点对称,所以6a－1＋a＝0,所以a＝错误!.又f（x）为偶函数，所以3a（－x)2－bx－5a＋b＝3ax2＋bx－5a＋b，解得b＝0，所以a＋b＝1 7。
3．设函数f(x）为偶函数，当x∈(0，＋∞）时，f(x）＝log2x，则f（－错误!）＝（）A．－错误!B．错误!C．2 D．－2答案:B解析：因为函数f（x）是偶函数，所以f(－2）＝f(2)＝log2错误!＝错误!。
4．函数f(x)＝lg｜sin x｜是( )A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为2π的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为2π的偶函数答案：C解析：∵f（－x）＝lg|sin（－x）｜＝lg｜sin x|，∴函数f(x）为偶函数．∵f（x＋π)＝lg|sin（x＋π）|＝lg｜sin x|,∴函数f（x）的最小正周期为π.5．已知f(x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当x∈（0,1）时，f（x)＝3x－1，则f错误!＝( )A.3＋1 B．错误!－1C．－错误!－1 D．－错误!＋1答案:D解析：因为f（x＋2）＝f(x）＝－f(－x)，所以f错误!＝f错误!＝f错误!＝－f错误!＝－f错误!。
2019-2020学年高中新创新一轮复习理数通用版：课时达标检测(六) 函数的奇偶性及周期性 Word版含解析.doc
课时达标检测（六） 函数的奇偶性及周期性[小题对点练——点点落实]对点练(一) 函数的奇偶性1．(2018·肇庆模拟)在函数y ＝x cos x ，y ＝e x ＋x 2，y ＝lg x 2－2，y ＝x sin x 中，偶函数的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选B y ＝x cos x 是奇函数，y ＝lg x 2－2和y ＝x sin x 是偶函数，y ＝e x ＋x 2是非奇非偶函数，所以偶函数的个数是2，故选B.2．已知函数f (x )＝a sin x ＋b ln 1－x 1＋x ＋t ，若f ⎝⎛⎭⎫12＋f ⎝⎛⎭⎫－12＝6，则实数t ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．3解析：选D 令g (x )＝a sin x ＋b ln 1－x 1＋x ，则易知g (x )为奇函数，所以g ⎝⎛⎭⎫12＋g ⎝⎛⎭⎫－12＝0，则由f (x )＝g (x )＋t ，得f ⎝⎛⎭⎫12＋f ⎝⎛⎭⎫－12＝g ⎝⎛⎭⎫12＋g ⎝⎛⎭⎫－12＋2t ＝2t ＝6，解得t ＝3.故选D.3．若f (x )和g (x )都是定义在R 上的函数，则“f (x )与g (x )同是奇函数或同是偶函数”是“f (x )·g (x )是偶函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件解析：选A 若函数f (x )与g (x )同是R 上的奇函数或偶函数，则f (－x )·g (－x )＝－f (x )·(－g (x ))＝f (x )·g (x )或f (－x )·g (－x )＝f (x )·g (x )，即f (x )·g (x )是偶函数，∴充分性成立；必要性不成立，如f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x ≥0，x 2，x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，1，x <0，满足f (x )·g (x )是偶函数，但f (x )与g (x )都不是奇函数或偶函数．故选A.4．(2018·唐山统考)f (x )是R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 3＋ln(1＋x )，则当x <0时，f (x )＝( )A ．－x 3－ln(1－x )B ．x 3＋ln(1－x )C ．x 3－ln(1－x )D ．－x 3＋ln(1－x )解析：选C 当x <0时，－x >0，f (－x )＝(－x )3＋ln(1－x )，∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )3＋ln(1－x )]，∴f (x )＝x 3－ln(1－x )．对点练(二) 函数的周期性1．(2018·江南十校联考)设f (x )＝x ＋sin x (x ∈R )，则下列说法错误的是( ) A ．f (x )是奇函数 B ．f (x )在R 上单调递增 C ．f (x )的值域为RD ．f (x )是周期函数解析：选D 因为f (－x )＝－x ＋sin(－x )＝－(x ＋sin x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，故A 正确；因为f ′(x )＝1＋cos x ≥0，所以函数f (x )在R 上单调递增，故B 正确；f (x )的值域为R ，故C 正确；f (x )不是周期函数，D 错误，故选D.2．函数f (x )的周期为4，且x ∈(－2,2]，f (x )＝2x －x 2，则f (2 018)＋f (2 019)＋f (2 020)的值为________．解析：由f (x )＝2x －x 2，x ∈(－2,2]知f (－1)＝－3，f (0)＝0，f (2)＝0，又f (x )的周期为4，所以f (2 018)＋f (2 019)＋f (2 020)＝f (2)＋f (－1)＋f (0)＝0－3＋0＝－3.答案：－33．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋3)＝－f (x )，当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2，当－1≤x <3时，f (x )＝x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 017)＝________.解析：因为f (x ＋3)＝－f (x )，所以f (x ＋6)＝f (x )，即函数f (x )是周期为6的周期函数，当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2，当－1≤x <3时，f (x )＝x ，所以f (－3)＝－1，f (－2)＝0，f (－1)＝－1，f (0)＝0，f (1)＝1，f (2)＝2，所以f (－3)＋f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＝－1＋0－1＋0＋1＋2＝1，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 017)＝336×[f (－3)＋f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)]＋f (2 017)＝336＋f (1)＝336＋1＝337.答案：337对点练(三) 函数性质的综合问题1．已知函数f (x )是R 上的偶函数，g (x )是R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，若f (0)＝2，则f (2 018)的值为( )A ．2B ．0C ．－2D ．±2解析：选C ∵g (－x )＝f (－x －1)，∴－g (x )＝f (x ＋1)． 又g (x )＝f (x －1)，∴f (x ＋1)＝－f (x －1)， ∴f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， 则f (x )是以4为周期的周期函数， ∴f (2 018)＝f (2)＝f (0＋2)＝－f (0)＝－2.2．(2018·湖南联考)已知函数f (x )是R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若a ＝f ⎝⎛⎭⎫sin 2π7，b ＝f ⎝⎛⎭⎫cos 5π7，c ＝f ⎝⎛⎭⎫tan 5π7，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b <a <cB ．c <b <aC ．b <c <aD ．a <b <c解析：选B ∵π2<5π7<3π4，∴tan 5π7<－1<cos 5π7<0，又sin 2π7>0，∴tan 5π7<cos 5π7<sin 2π7.∵函数f (x )是R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，∴函数f (x )是R 上的增函数，∴c <b <a ，故选B.3．(2018·邢台摸底考试)已知定义在(－1,1)上的奇函数f (x )，其导函数为f ′(x )＝1＋cos x ，如果f (1－a )＋f (1－a 2)<0，则实数a 的取值范围为( )A ．(0,1)B ．(1， 2 )C ．(－2，－ 2 )D ．(1，2)∪(－2，－1)解析：选B 依题意得f ′(x )>0，则f (x )是定义在(－1,1)上的增函数．不等式f (1－a )＋f (1－a 2)<0等价于f (1－a 2)<－f (1－a )＝f (a －1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a 2<1，－1<a －1<1，1－a 2<a －1.解得1<a <2，选B.4．(2018·湖北武汉模拟)已知函数f (x )是奇函数，且满足f (2－x )＝f (x )(x ∈R )，当0<x ≤1时，f (x )＝ln x ＋2，则函数y ＝f (x )在区间(－2,4]上的零点个数是( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选C 由函数f (x )是奇函数且满足f (2－x )＝f (x )知，f (x )是周期为4的周期函数，且关于直线x ＝1＋2k (k ∈Z)成轴对称，关于点(2k,0)(k ∈Z )成中心对称．当0<x ≤1时，令f (x )＝ln x ＋2＝0，得x ＝1e 2，由此得y ＝f (x )在区间(－2,4]上的零点分别为－2＋1e 2，－1e 2，0，1e 2，2－1e 2，2,2＋1e 2，4－1e2，4，共9个零点，故选C.5．(2016·四川高考)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (1)＝________. 解析：∵f (x )为奇函数，周期为2，∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)，∴f (1)＝0.∵f (x )＝4x ，x ∈(0,1)，∴f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎣⎡⎦⎤－52＋2＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－412＝－2.∴f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (1)＝－2. 答案：－26．(2016·天津高考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a－1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是________．解析：∵f (x )是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，f (－2)＝f (2)，∴f (2|a－1|)＞f (2)，∴2|a－1|＜2＝212，∴|a －1|＜12，即－12＜a －1＜12，即12＜a ＜32.答案：⎝⎛⎭⎫12，327．(2018·台州模拟)已知函数g (x )是R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g (x )，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是________．解析：设x >0，则－x <0. ∵x <0时，g (x )＝－ln(1－x )， ∴g (－x )＝－ln(1＋x )． 又∵g (x )是奇函数， ∴g (x )＝ln(1＋x )(x >0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln (1＋x )，x >0.其图象如图所示．由图象知，函数f (x )在R 上是增函数． ∵f (2－x 2)>f (x )， ∴2－x 2>x ，即－2<x <1.所以实数x 的取值范围是(－2,1)． 答案：(－2,1)[大题综合练——迁移贯通]1．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.解：(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数， 所以f (－x )＝f (x )． 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12(－x )，x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2可化为f (|x 2－1|)>f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5， 即不等式的解集为(－5，5)．2．(2018·湖南长郡中学测试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解：(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1， 所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．3．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)． (1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2, 且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．解：(1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)， ∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0. (2)f (x )为偶函数．证明：令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)， ∴f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x ， 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f(x)是偶函数，∴f(x－1)<2⇔f(|x－1|)<f(16)．又f(x)在(0，＋∞)上是增函数．∴0<|x－1|<16，解得－15<x<17且x≠1.∴x的取值范围是(－15,1)∪(1,17)．。
2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：课时达标检测(十六) 导数与函数的综合问题
课时达标检测（十六）导数与函数的综合问题[一般难度题——全员必做]1．(2017·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝(1－x2)e x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x≥0时，f(x)≤ax＋1，求a的取值范围．解：(1)f′(x)＝(1－2x－x2)e x.令f′(x)＝0，得x＝－1－2或x＝－1＋ 2.当x∈(－∞，－1－2)时，f′(x)＜0；当x∈(－1－2，－1＋2)时，f′(x)＞0；当x∈(－1＋2，＋∞)时，f′(x)＜0.所以f(x)在(－∞，－1－2)，(－1＋2，＋∞)上单调递减，在(－1－2，－1＋2)上单调递增．(2)f(x)＝(1＋x)(1－x)e x.①当a≥1时，设函数h(x)＝(1－x)e x，则h′(x)＝－x e x＜0(x＞0)．因此h(x)在[0，＋∞)上单调递减，又h(0)＝1，故h(x)≤1，所以f(x)＝(x＋1)h(x)≤x＋1≤ax＋1.②当0＜a＜1时，设函数g(x)＝e x－x－1，则g′(x)＝e x－1＞0(x＞0)，所以g(x)在[0，＋∞)上单调递增，而g(0)＝0，故e x≥x＋1.当0＜x＜1时，f(x)＞(1－x)(1＋x)2，(1－x)(1＋x)2－ax－1＝x(1－a－x－x2)，取x0＝5－4a－12，则x0∈(0,1)，(1－x0)(1＋x0)2－ax0－1＝0，故f(x0)＞ax0＋1.当a≤0时，取x0＝5－1 2，则x0∈(0,1)，f(x0)＞(1－x0)(1＋x0)2＝1≥ax0＋1.综上，a的取值范围是[1，＋∞)．2．(2018·沈阳监测)已知函数f(x)＝a ln x(a>0)，e为自然对数的底数．(1)若过点A(2，f(2))的切线斜率为2，求实数a的值；(2)当x >0时，求证f (x )≥a ⎝⎛⎭⎫1－1x ； (3)若在区间(1，e)上e x a－e 1ax <0恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)由题意得f ′(x )＝ax ，∴f ′(2)＝a2＝2，∴a ＝4.(2)证明：令g (x )＝a ⎝⎛⎭⎫ln x －1＋1x (x >0)， 则g ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫1x －1x 2.令g ′(x )>0，即a ⎝⎛⎭⎫1x －1x 2>0，解得x >1， 令g ′(x )<0，解得0<x <1；∴g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． ∴g (x )的最小值为g (1)＝0，∴f (x )≥a ⎝⎛⎭⎫1－1x . (3)由题意可知e x a<e 1a x ，化简得x －1a <ln x ， 又x ∈(1，e)，∴a >x －1ln x.令h (x )＝x －1ln x，则h ′(x )＝ln x －1＋1x (ln x )2，由(2)知，当x ∈(1，e)时，ln x －1＋1x >0， ∴h ′(x )>0，即h (x )在(1，e)上单调递增， ∴h (x )<h (e)＝e －1.∴a ≥e －1. 故实数a 的取值范围为[e －1，＋∞)．3．(2018·海南校级联考)已知函数f (x )＝1x ＋k ln x ，k ≠0.(1)当k ＝2时，求函数f (x )的图象的切线斜率中的最大值； (2)若关于x 的方程f (x )＝k 有解，求实数k 的取值范围． 解：(1)函数f (x )＝1x ＋k ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－1x2＋kx (x >0)．当k ＝2时，f ′(x )＝－1x 2＋2x ＝－⎝⎛⎭⎫1x －12＋1≤1，当且仅当x ＝1时，等号成立． 所以函数f (x )的图象的切线斜率中的最大值为1.(2)因为关于x 的方程f (x )＝k 有解，令g (x )＝f (x )－k ＝1x ＋k ln x －k ，则问题等价于函数g (x )存在零点．g ′(x )＝－1x 2＋k x ＝kx －1x 2.当k <0时，g ′(x )<0在(0，＋∞)上恒成立，所以函数g (x )在(0，＋∞)上单调递减．因为g (1)＝1－k >0，g (e1－1k )＝1e1－1k ＋k ⎝⎛⎭⎫1－1k －k ＝1e1－1k －1<1e －1<0，所以函数g (x )存在零点．当k >0时，令g ′(x )＝0，得x ＝1k .g ′(x )，g (x )随x 的变化情况如下表：所以g ⎝⎛⎭⎫1k ＝k －k ＋k ln 1k ＝－k ln k 为函数g (x )的最小值，当g ⎝⎛⎭1k >0，即0<k <1时，函数g (x )没有零点，当g ⎝⎛⎭⎫1k ≤0，即k ≥1时，注意到g (e)＝1e ＋k －k >0，所以函数g (x )存在零点．综上，当k <0或k ≥1时，关于x 的方程f (x )＝k 有解．[中档难度题——学优生做]1．(2018·广东珠海期末)已知函数f (x )＝x －ln(x ＋a )的最小值为0，其中a >0，设g (x )＝ln x ＋m x .(1)求a 的值； (2)对任意x 1>x 2>0，g (x 1)－g (x 2)x 1－x 2<1恒成立，求实数m 的取值范围；(3)讨论方程g (x )＝f (x )＋ln(x ＋1)在[1，＋∞)上根的个数． 解：(1)f (x )的定义域为(－a ，＋∞)，f ′(x )＝1－1x ＋a ＝x ＋a －1x ＋a. 由f ′(x )＝0，解得x ＝1－a >－a .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：因此，f 故由题意f (1－a )＝1－a ＝0，所以a ＝1. (2)由g (x 1)－g (x 2)x 1－x 2<1知g (x 1)－x 1<g (x 2)－x 2对任意x 1>x 2>0恒成立，即h (x )＝g (x )－x ＝ln x －x ＋mx 在(0，＋∞)上为减函数． h ′(x )＝1x －1－m x 2≤0在(0，＋∞)上恒成立，所以m ≥x －x 2在(0，＋∞)上恒成立， 而(x －x 2)max ＝14，则m ≥14，即实数m 的取值范围为⎣⎡⎭⎫14，＋∞.(3)由题意知方程可化为ln x ＋mx ＝x ，即m ＝x 2－x ln x (x ≥1)．设m (x )＝x 2－x ln x ，则m ′(x )＝2x －ln x －1(x ≥1)．设h (x )＝2x －ln x －1(x ≥1)，则h ′(x )＝2－1x >0，因此h (x )在[1，＋∞)上单调递增，h (x )min ＝h (1)＝1.所以m (x )＝x 2－x ln x 在[1，＋∞)上单调递增．因此当x ≥1时，m (x )≥m (1)＝1.所以当m ≥1时方程有一个根，当m <1时方程无根．2．(2017·广西陆川二模)已知函数f (x )＝ln x －mx ＋m . (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若f (x )≤0在(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围； (3)在(2)的条件下，对任意的0<a <b ，求证：f (b )－f (a )b －a <1a (a ＋1).解：(1)f ′(x )＝1x －m ＝1－mx x，x ∈(0，＋∞)，当m ≤0时，f ′(x )>0恒成立，则函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，无单调递减区间； 当m >0时，由f ′(x )＝1－mx x>0，得x ∈⎝⎛⎭⎫0，1m ， 由f ′(x )＝1－mx x<0，得x ∈⎝⎛⎭⎫1m ，＋∞， 此时f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，1m ，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫1m ，＋∞. 综上，当m ≤0时，函数f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，无单调递减区间； 当m >0时，函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫0，1m ，单调递减区间是⎝⎛⎭⎫1m ，＋∞. (2)由(1)知：当m ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，f (1)＝0，显然不符合题意； 当m >0时，f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1m ＝ln 1m －1＋m ＝m －ln m －1， 只需m －ln m －1≤0即可．令g (x )＝x －ln x －1，则g ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，x ∈(0，＋∞)， ∴g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．∴g (x )min ＝g (1)＝0.∴g (x )≥0对x ∈(0，＋∞)恒成立，也就是m －ln m －1≥0对m ∈(0，＋∞)恒成立， 由m －ln m －1＝0，解得m ＝1.∴若f (x )≤0在(0，＋∞)上恒成立，则m ＝1.(3)证明：f (b )－f (a )b －a ＝ln b －ln a ＋a －b b －a ＝ln b －ln ab －a－1＝lnb a b a －1·1a －1. 由(2)得f (x )≤0在(0，＋∞)上恒成立，即ln x ≤x －1，当且仅当x ＝1时取等号． 又由0<a <b 得b a >1，∴0<ln b a <ba －1，即lnb aba －1<1.则lnb a b a －1·1a －1<1a －1＝1－a a ＝1－a 2a (1＋a )<1a (1＋a ). [较高难度题——学霸做]1．(2017·天津高考)设a ∈Z ，已知定义在R 上的函数f (x )＝2x 4＋3x 3－3x 2－6x ＋a 在区间(1,2)内有一个零点x 0，g (x )为f (x )的导函数．(1)求g (x )的单调区间；(2)设m ∈[1，x 0)∪(x 0,2]，函数h (x )＝g (x )(m －x 0)－f (m )，求证：h (m )h (x 0)<0； (3)求证：存在大于0的常数A ，使得对于任意的正整数p ，q ，且pq ∈[1，x 0)∪(x 0,2]，满足⎪⎪⎪⎪p q －x 0≥1Aq4. 解：(1)由f (x )＝2x 4＋3x 3－3x 2－6x ＋a ，可得g (x )＝f ′(x )＝8x 3＋9x 2－6x －6，进而可得g ′(x )＝24x 2＋18x －6.令g ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝14.当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下表：所以g (x )的单调递增区间是(－∞，－1)，⎝⎛⎭⎫14，＋∞，单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－1，14. (2)证明：由h (x )＝g (x )(m －x 0)－f (m )， 得h (m )＝g (m )(m －x 0)－f (m )，h (x 0)＝g (x 0)(m －x 0)－f (m )． 令函数H 1(x )＝g (x )(x －x 0)－f (x )， 则H 1′(x )＝g ′(x )(x －x 0)． 由(1)知，当x ∈[1,2]时，g ′(x )>0，故当x ∈[1，x 0)时，H 1′(x )<0，H 1(x )单调递减； 当x ∈(x 0,2]时，H 1′(x )>0，H 1(x )单调递增．因此，当x ∈[1，x 0)∪(x 0,2]时，H 1(x )>H 1(x 0)＝－f (x 0)＝0，可得H 1(m )>0，即h (m )>0. 令函数H 2(x )＝g (x 0)(x －x 0)－f (x )， 则H 2′(x )＝g (x 0)－g (x )． 由(1)知g (x )在[1,2]上单调递增，故当x ∈[1，x 0)时，H 2′(x )>0，H 2(x )单调递增； 当x ∈(x 0,2]时，H 2′(x )<0，H 2(x )单调递减．因此，当x ∈[1，x 0)∪(x 0,2]时，H 2(x )<H 2(x 0)＝0，可得H 2(m )<0，即h (x 0)<0.所以h (m )h (x 0)<0.(3)证明：对于任意的正整数p ，q ，且pq ∈[1，x 0)∪(x 0,2]， 令m ＝pq ，函数h (x )＝g (x )(m －x 0)－f (m )．由(2)知，当m ∈[1，x 0)时，h (x )在区间(m ，x 0)内有零点；当m ∈(x 0,2]时，h (x )在区间(x 0，m )内有零点．所以h (x )在(1,2)内至少有一个零点，不妨设为x 1， 则h (x 1)＝g (x 1)⎝⎛⎭⎫p q －x 0－f ⎝⎛⎭⎫p q ＝0. 由(1)知g (x )在[1,2]上单调递增， 故0<g (1)<g (x 1)<g (2)， 于是⎪⎪⎪⎪p q －x 0＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫p q g (x 1)≥⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫p q g (2) ＝|2p 4＋3p 3q －3p 2q 2－6pq 3＋aq 4|g (2)q 4.因为当x ∈[1,2]时，g (x )>0，故f (x )在[1,2]上单调递增，所以f (x )在区间[1,2]上除x 0外没有其他的零点，而pq ≠x 0，故f ⎝⎛⎭⎫p q ≠0.又因为p ，q ，a 均为整数，所以|2p 4＋3p 3q －3p 2q 2－6pq 3＋aq 4|是正整数，从而|2p 4＋3p 3q －3p 2q 2－6pq 3＋aq 4|≥1.所以⎪⎪⎪⎪p q －x 0≥1g (2)q 4.所以只要取A ＝g (2)，就有⎪⎪⎪⎪p q －x 0≥1Aq4. 2．(2017·江苏高考)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1(a >0，b ∈R )有极值，且导函数f ′(x )的极值点是f (x )的零点．(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； (2)证明：b 2>3a ；(3)若f (x )，f ′(x )这两个函数的所有极值之和不小于－72，求a 的取值范围．解：(1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1， 得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＝3⎝⎛⎭⎫x ＋a 32＋b －a 23. 当x ＝－a 3时，f ′(x )有极小值b －a 23.因为f ′(x )的极值点是f (x )的零点， 所以f ⎝⎛⎭⎫－a 3＝－a 327＋a 39－ab3＋1＝0， 又a >0，故b ＝2a 29＋3a .因为f (x )有极值， 故f ′(x )＝0有实根，从而b －a 23＝19a (27－a 3)≤0，即a ≥3.当a ＝3时，f ′(x )>0(x ≠－1)， 故f (x )在R 上是增函数，f (x )没有极值； 当a >3时，f ′(x )＝0有两个相异的实根 x 1＝－a －a 2－3b 3，x 2＝－a ＋a 2－3b 3.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故f (x )的极值点是x 1，x 2.从而a >3. 因此b ＝2a 29＋3a ，定义域为(3，＋∞)．(2)证明：由(1)知，b a ＝2a a 9＋3a a .设g (t )＝2t 9＋3t ，则g ′(t )＝29－3t 2＝2t 2－279t 2.当t ∈⎝⎛⎭⎫362，＋∞时，g ′(t )>0， 从而g (t )在⎝⎛⎭⎫362，＋∞上单调递增．因为a >3，所以a a >33， 故g (a a )>g (33)＝3，即ba> 3.因此b 2>3a . (3)由(1)知，f (x )的极值点是x 1，x 2，且x 1＋x 2＝－23a ，x 21＋x 22＝4a 2－6b 9.从而f (x 1)＋f (x 2)＝x 31＋ax 21＋bx 1＋1＋x 32＋ax 22＋bx 2＋1＝x 13(3x 21＋2ax 1＋b )＋x 23(3x 22＋2ax 2＋b )＋13a (x 21＋x 22)＋23b (x 1＋x 2)＋2 ＝4a 3－6ab 27－4ab 9＋2＝0.记f (x )，f ′(x )所有极值之和为h (a )， 因为f ′(x )的极值为b －a 23＝－19a 2＋3a ，所以h (a )＝－19a 2＋3a ，a >3.因为h ′(a )＝－29a －3a 2<0，于是h (a )在(3，＋∞)上单调递减． 因为h (6)＝－72，于是h (a )≥h (6)，故a ≤6.因此a 的取值范围为(3,6]．。
2018版高考数学(人教A版理科)一轮复习课时跟踪检测6 Word版含答案
课时跟踪检测(六)．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )．＝－．＝＋．＝＋．＝＋答案：解析：项，定义域为，(－)＝－－＝－()，为奇函数，故不符合题意；项，定义域为，(－)＝－＝()，为偶函数，故不符合题意；项，定义域为，(－)＝－＋＝＋＝()，为偶函数，故不符合题意；项，定义域为，(－)＝－，－()＝－－，因为(－)≠－()，且(－)≠()，故为非奇非偶函数．．已知()＝＋－＋是偶函数，且其定义域为，则＋＝( )．－．．答案：解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以－＋＝，所以＝.又()为偶函数，所以(－)－－＋＝＋－＋，解得＝，所以＋＝.．设函数()为偶函数，当∈(，＋∞)时，()＝，则(－)＝( )．．－．．－答案：解析：因为函数()是偶函数，所以(－)＝()＝＝.．函数()＝是( )．最小正周期为π的奇函数．最小正周期为π的奇函数．最小正周期为π的偶函数．最小正周期为π的偶函数答案：解析：∵(－)＝(－)＝，∴函数()为偶函数．∵(＋π)＝(＋π)＝，∴函数()的最小正周期为π.．已知()是定义在上的周期为的奇函数，当∈()时，()＝－，则)))＝( )．－＋．－－．－＋答案：解析：因为(＋)＝()＝－(－)，所以)))＝＋()))＝＝－＝－.又当∈()时，()＝－，所以＝－，)))＝－.．已知函数()是定义域为的偶函数，且(＋)＝，若()在上是减函数，那么()在上是( )．增函数．减函数．先增后减的函数．先减后增的函数答案：解析：由题意知(＋)＝＝()，所以()的周期为.又函数()是定义域为的偶函数，且()在上是减函数，则()在上是增函数，所以()在上是增函数．．若函数()＝是奇函数，则使()>成立的的取值范围为( )．(－)．(－∞，－)．(，＋∞)．()答案：解析：因为函数＝()为奇函数，所以(－)＝－()，即＝－.化简可得＝，则>，即－>，即>，故不等式可化为<，即<<，解得<<，故选.．定义在(－)上的函数()＝－＋，若(－)＋(－)>，则实数的取值范围为．答案：(，)解析：由题意知，函数()为奇函数，在(－)上单调递减，由(－)＋(－)>，得(－)>(－)，∴(\\(－<－<，,－<－<，－<－，))解得<<.．定义在上的函数()满足(－)＝－()，(－)＝(＋)，且当∈(－)时，()＝＋，则()＝.答案：－解析：因为(－)＝－()，所以()是奇函数，所以当∈()时，－∈(－)，则()＝－(－)＝－－－.因为(－)＝(＋)，所以()＝(＋)，所以()是周期为的周期函数．。
2018-2019学年高中新创新一轮复习理数江苏专版：课时
课时达标检测(四）1．设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为________．解析：依题意可得，M＝{5,6,7,8}，所以集合M中共有4个元素．答案：42．(2018·苏北四市联考)设全集U＝{0,1,2,3,4,5}，集合A＝{x∈Z|0＜x＜2.5}，B＝{x∈Z|(x－1)(x－4)＜0}，则∁U(A∪B)＝____________.解析：∵A＝{x∈Z|0＜x＜2.5}＝{1,2}，B＝{x∈Z|1＜x＜4}＝{2,3}，∴A∪B＝{1,2,3}，∵全集U＝{0,1,2,3,4,5}，∴∁U(A∪B)＝{0,4,5}．答案：{0,4,5}3．(2018·甘肃会宁一中月考)已知命题p：∀x＞0，总有(x＋1)e x＞1，则綈p为________________．解析：命题p：∀x＞0，总有(x＋1)e x＞1的否定为∃x＞0，使得(x＋1)e x≤1.答案：∃x＞0，使得(x＋1)e x≤14．(2018·盐城中学月考)若命题p：“x＜1”，命题q：“log2x＜0”，则p是q的____________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 解析：由log2x＜0得0＜x＜1，则p是q的必要不充分条件．答案：必要不充分5．(2018·湖北百所重点学校联考)已知命题p：∀x∈(0，＋∞)，log4x＜log8x，命题q：∃x∈R，使得tan x＝1－3x，则下列命题为真命题的序号是________．①p∧q；②綈p∧綈q；③p∧綈q；④綈p∧q.解析：对于命题p：当x＝1时，log4x＝log8x＝0，所以命题p是假命题；对于命题q：当x＝0时，tan x＝1－3x＝0，所以命题q是真命题．由于綈p是真命题，所以綈p∧q是真命题．答案：④6．设集合A＝{x|y＝ln(x－a)}，集合B＝{－1,1,2}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围是________．解析：因为A＝{x|y＝ln(x－a)}，所以A＝{x|x＞a}，因为A∪B＝A，所以B⊆A，因为B＝{－1,1,2}，所以a＜－1，所以实数a的取值范围是(－∞，－1)．答案：(－∞，－1)7．已知命题p：x2＋4x－5＞0；命题q：x＜a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是________．解析：由x2＋4x－5＞0，得x＜－5或x＞1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．故a≤－5.答案：(－∞，－5]8．(2018·南通模拟)设集合A＝{n|n＝3k－1，k∈Z}，B＝{x||x－1|＞3}，则A∩(∁R B)＝____________.解析：∵B ＝{x |x ＞4或x ＜－2}，∴∁R B ＝{x |－2≤x ≤4}，∴A ∩(∁R B )＝{－1,2}．答案：{－1,2}9．(2018·南京调研)下列说法中正确的序号是________．①命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题是“若x 2＝1，则x ≠1”；②“x ＝－1”是“x 2－x －2＝0”的必要不充分条件；③命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题是真命题；④“tan x ＝3”是“x ＝π3”的充分不必要条件． 解析：由原命题与否命题的关系知，原命题的否命题是“若x 2≠1，则x ≠1”，即①不正确；因为x 2－x －2＝0，所以x ＝－1或x ＝2，所以由“x ＝－1”能推出“x 2－x －2＝0”，反之，由“x 2－x －2＝0”推不出“x ＝－1”，所以“x ＝－1”是“x 2－x －2＝0”的充分不必要条件，即②不正确；因为由x ＝y 能推得sin x ＝sin y ，即原命题是真命题，所以它的逆否命题是真命题，故③正确；由x ＝π3能推出tan x ＝3，但由tan x ＝3推不出x ＝π3，所以“tan x ＝3”是“x ＝π3”的必要不充分条件，即④不正确． 答案：③10．(2018·如东中学月考)“p ∨q 是真命题”是“綈p 为真命题”的______________条件．解析：若“p ∨q 是真命题”成立，则p 、q 中至少一个为真，“綈p 为真命题”不一定成立；若“綈p 为真命题”成立，则命题p 为假命题，所以“p ∨q 是真命题”不一定成立；所以“p ∨q 是真命题”是“綈p 为真命题”的既不充分又不必要条件．答案：既不充分又不必要11．(2018·江苏如皋中学月考)若“数列a n ＝－n 2＋2λn (n ∈N *)是递减数列”为假命题，则λ的取值范围是________．解析：若数列a n ＝－n 2＋2λn (n ∈N *)为递减数列，则有a n ＋1－a n ＜0，即2λ＜ 2n ＋1对任意的n ∈N *都成立，于是可得2λ＜3，即λ＜32，故所求λ的取值范围是⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 答案：⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 12．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ y ＝1－x 2＋4x －3，B ＝{y |y ＝4x －1，x ≥0}，则A ∩B ＝______. 解析：由题意得，集合A ＝{x |－x 2＋4x －3＞0}＝{x |x 2－4x ＋3＜0}＝{x |1＜x ＜3}，集合B ＝{y |y ≥0}，所以A ∩B ＝{x |1＜x ＜3}．答案：{x |1＜x ＜3}13．(2018·北京海淀区期中考试)已知非空集合A ，B 满足以下两个条件：(ⅰ)A ∪B ＝{1,2,3,4,5,6}，A ∩B ＝∅；(ⅱ)A 的元素个数不是A 中的元素，B 的元素个数不是B 中的元素．则有序集合对(A ，B )的个数为________．解析：由题意得：①若A 中只有1个元素，B 中5个元素，所以5∈A,1∈B ，则A ＝{5}，B ＝{1,2,3,4,6},1对；②若A 中有2个元素，B 中4个元素，所以4∈A,2∈B ，此时有序集合对(A ，B )有4对，即({1,4}，{2,3,5,6})，({3,4}，{1,2,5,6})，({5,4}，{1,2,3,6})，({6,4}，{1,2,3,5})；③若A 中有3个元素，B 中3个元素，所以3∉A,3∉B ，与条件A ∪B ＝{1,2,3,4,5,6}矛盾；④若A 中有4个元素，B 中2个元素，所以2∈A,4∈B ，此时有序集合对(A ，B )有4对，即({2,3,5,6}，{1,4})，({1,2,5,6}，{3,4})，({1,2,3,6}，{5,4})，({1,2,3,5}，{6,4})；⑤若A 中有5个元素，B 中只有1个元素，所以5∈B,1∈A ，则A ＝{1,2,3,4,6}，B ＝{5},1对；综上有序集合对(A ，B )的个数为10.答案：1014．已知命题p ：f (x )＝1－2m x 2在区间(0，＋∞)上是减函数；命题q ：不等式x 2－2x ＞m －1的解集为R .若命题“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，则实数m 的取值范围是________．解析：对于命题p ，由f (x )＝1－2m x 2在区间(0，＋∞)上是减函数，得1－2m ＞0，解得m ＜12；对于命题q ，不等式x 2－2x ＞m －1的解集为R 等价于不等式(x －1)2＞m 的解集为R ，因为(x －1)2≥0恒成立，所以m ＜0，因为命题“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，所以命题p和命题q 一真一假．当命题p 为真，命题q 为假时，⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜12，m ≥0，得0≤m ＜12；当命题p 为假，命题q 为真时，⎩⎪⎨⎪⎧m ≥12，m ＜0，此时m 不存在，故实数m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫0，12. 答案：⎣⎡⎭⎫0，12。
2018-2019学年高中新创新一轮复习理数江苏专版：课时
课时达标检测(九） 指数与指数函数[练基础小题——强化运算能力]1．下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )·f (y )”的单调递增函数的序号是________． ①f (x )＝x 3；②f (x )＝3x；③f (x )＝x 12；④f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x .解析：根据各选项知，②④中的指数函数满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )．又f (x )＝3x 是增函数，所以②正确．答案：② 2．函数f (x )＝2|x－1|的大致图象是________．(填序号)解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，⎝⎛⎭⎫12x －1，x ＜1，易知f (x )在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1)上单调递减，故②正确．答案：②3．(2018·江苏省赣榆高级中学模拟)函数f (x )＝a |x＋1|(a ＞0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的关系是________．解析：由题意知a ＞1，f (－4)＝a 3，f (1)＝a 2，由y ＝a t (a ＞1)的单调性知a 3＞a 2，所以f (－4)＞f (1)．答案：f (－4)＞f (1)4．若函数f (x )＝a |2x －4|(a ＞0，且a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是________．解析：由f (1)＝19得a 2＝19，又a ＞0，所以a ＝13，因此f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|2x －4|.因为g (x )＝|2x －4|在[2，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递减区间是[2，＋∞)．答案：[2，＋∞)5．(2018·南京摸底)已知函数f (x )＝a x a x ＋1＋b tan x ＋x 2(a ＞0，a ≠1)，若f (1)＝3，则f (－1)＝________.解析：f (－x )＋f (x )＝a xa x ＋1＋a －xa －x ＋1＋2x 2＝1＋2x 2，所以f (－1)＝1＋2－f (1)＝0.答案：0[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.75，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析：由0.2＜0.75＜1，并结合指数函数的图象可知0.40.2＞0.40.75，即b ＞c ；因为a ＝20.2＞1，b ＝0.40.2＜1，所以a ＞b .综上，a ＞b ＞c .答案：a ＞b ＞c2.已知奇函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ＞0，g (x )，x ＜0.如果f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)对应的图象如图所示，那么g (x )＝________.解析：由题图知f (1)＝12，∴a ＝12，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，由题意得g (x )＝－f (－x )＝－⎝⎛⎭⎫12－x ＝ －2x .答案：－2x3．设函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x＋a的图象关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＋f (－4)＝1，则a ＝________.解析：设(x ，y )为y ＝f (x )图象上任意一点，则(－y ，－x )在y ＝2x＋a的图象上，所以有－x ＝2－y ＋a，从而有－y ＋a ＝log 2(－x )(指数式与对数式的互化)，所以y ＝a －log 2(－x )，即f (x )＝a －log 2(－x )，所以f (－2)＋f (－4)＝(a －log 22)＋(a －log 24)＝(a －1)＋(a －2)＝1，解得a ＝2.答案：24．(2018·豫晋冀三省调研)设函数f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)在x ∈[－1,1]上的最大值与最小值之和为g (a )，则函数g (a )的取值范围是________．解析：f (x )在x ∈[－1,1]上的最大值和最小值在两端点处取得，∴g (a )＝f (1)＋f (－1)＝a ＋1a ，又a ＞0，且a ≠1，所以g (a )＝a ＋1a ＞2.答案：(2，＋∞)5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x ＜0，x ，x ≥0，若f (a )＜1，则实数a 的取值范围是________． 解析：当a ＜0时，不等式f (a )＜1可化为⎝⎛⎭⎫12a －7＜1，即⎝⎛⎭⎫12a ＜8，即⎝⎛⎭⎫12a ＜⎝⎛⎭⎫12－3，因为0＜12＜1，所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 是减函数，所以a ＞－3，此时－3＜a ＜0；当a ≥0时，不等式f (a )＜1可化为a ＜1，所以0≤a ＜1.故a 的取值范围是(－3,1)．答案：(－3,1)6．(2018·张家港市四校联考)已知a ＞0，且a ≠1，f (x )＝x 2－a x .当x ∈(－1,1)时，均有f (x )＜12，则实数a 的取值范围是________．解析：当x ∈(－1,1)时，均有f (x )＜12，即a x ＞x 2－12在(－1,1)上恒成立，令g (x )＝a x ，m (x )＝x 2－12，由图象知：当0＜a ＜1时，g (1)≥m (1)，即a ≥1－12＝12，此时12≤a ＜1；当a ＞1时，g (－1)≥m (1)，即a －1≥1－12＝12，此时1＜a ≤2.综上，12≤a ＜1或1＜a ≤2. 答案：⎣⎡⎭⎫12，1∪(1,2]7．已知函数f (x )＝e x －e －x e x ＋e－x ，若f (a )＝－12，则f (－a )＝________.解析：∵f (a )＝e a －e －a e a ＋e －a ＝－12.∴f (－a )＝e －a －e a e －a ＋e a ＝－e a －e －a e a ＋e－a ＝－⎝⎛⎭⎫－12＝12. 答案：128．若函数f (x )＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________. 解析：当a ＞1时，f (x )＝a x －1在[0,2]上为增函数，则a 2－1＝2，∴a ＝±3.又∵a ＞1，∴a ＝ 3.当0＜a ＜1时，f (x )＝a x －1在[0,2]上为减函数，又∵f (0)＝0≠2，∴0＜a ＜1不成立．综上可知，a ＝ 3.答案： 39．(2018·安徽十校联考)已知max(a ，b )表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________．解析：由于f (x )＝max{e |x |，e|x －2|}＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≥1，e 2－x ，x ＜1.当x ≥1时，f (x )≥e ，且当x ＝1时，取得最小值e ；当x ＜1时，f (x )＞e.故f (x )的最小值为f (1)＝e.答案：e10．(2018·信阳质检)若不等式(m 2－m )2x －⎝⎛⎭⎫12x＜1对一切x ∈(－∞，－1]恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：(m 2－m )2x －⎝⎛⎭⎫12x ＜1可变形为m 2－m ＜⎝⎛⎭⎫12x ＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12x 2.设t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则原条件等价于不等式m 2－m ＜t ＋t 2在t ≥2时恒成立．显然t ＋t 2在t ≥2时的最小值为6，所以m 2－m ＜6，解得－2＜m ＜3.答案：(－2,3) 二、解答题11．已知函数f (x )＝2a ·4x －2x －1.(1)当a ＝1时，求函数f (x )在x ∈[－3,0]的值域；(2)若关于x 的方程f (x )＝0有解，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝2·4x －2x －1＝2(2x )2－2x －1， 令t ＝2x ，因为x ∈[－3,0]，则t ∈⎣⎡⎦⎤18，1.故y ＝2t 2－t －1＝2⎝⎛⎭⎫t －142－98，t ∈⎣⎡⎦⎤18，1，故值域为⎣⎡⎦⎤－98，0. (2)关于x 的方程2a (2x )2－2x －1＝0有解，等价于方程2am 2－m －1＝0(m ＞0)在 (0，＋∞)上有解．记g (m )＝2am 2－m －1，m ＞0，当a ＝0时，g (m )＝0的解为m ＝－1＜0，不成立．当a ＜0时，g (m )的图象开口向下，对称轴m ＝14a ＜0，则g (m )在(0，＋∞)上单调递减，且图象过点(0，－1)，不成立．当a ＞0时，g (m )的图象开口向上，对称轴m ＝14a ＞0，则g (m )在⎝⎛⎦⎤0，14a 上单调递减，在⎣⎡⎭⎫14a ，＋∞上单调递增，且图象过点(0，－1)，必有一个根为正， 所以，a ＞0.综上所述，a 的取值范围是(0，＋∞)．12．(2018·连云港月考)设函数f (x )＝ka x －a －x (a ＞0，a ≠1)是奇函数．(1)求常数k 的值；(2)若a ＞1，试判断f (x )的单调性，并用定义法加以证明；(3)若已知f (1)＝83，且函数g (x )＝a 2x ＋a －2x －2mf (x )在区间[1，＋∞)上的最小值为－2，求实数m 的值．解：(1)因为函数f (x )＝ka x －a －x (a ＞0，a ≠1)是奇函数，所以f (－x )＋f (x )＝0对于任意x ∈R 恒成立，即(ka －x －a x )＋(ka x －a －x )＝0；(k －1)(a x ＋a －x )＝0恒成立，所以k －1＝0，即k ＝1.(2)a ＞1时，f (x )＝a x －a －x 在R 上为增函数．理由如下：设x 1＜x 2则f (x 1)－f (x 2)＝(ax 1－a －x 1)－(ax 2－a －x 2)＝(ax 1－ax 2)(ax 1＋x 2＋1)ax 1＋x 2.因为a ＞1，x 1＜x 2，所以0＜ax 1＜ax 2，ax 1＋x 2＞0， 所以f (x 1)＜f (x 2)，即f (x )＝a x －a －x 在R 上为增函数．(3)由f (1)＝83得a －1a ＝83，即a ＝3或a ＝－13(舍)．所以f(x)＝3x－3－x，g(x)＝32x＋3－2x－2m(3x－3－x)＝(3x－3－x)2－2m(3x－3－x)＋2.设t＝3x－3－x，x∈[1，＋∞)，则t＝3x－3－x在[1，＋∞)上为增函数，即t≥8 3，所以y＝t2－2mt＋2，t≥83，对称轴为t＝m.当m≤83时，y min＝⎝⎛⎭⎫832－163m＋2＝－2，解得m＝2512.当m≥83时，y min＝m2－2m2＋2＝－2，所以m＝－2或m＝2(均舍去)．综上m＝2512.。
[推荐学习]2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：课时达标检测(二) 命题及其关系、充
课时达标检测（二） 命题及其关系、充分条件与必要条件[小题对点练——点点落实]对点练(一) 命题及其关系1．命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是( )A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数解析：选C 由于“x ，y 都是偶数”的否定表达是“x ，y 不都是偶数”，“x ＋y 是偶数”的否定表达是“x ＋y 不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”，故选C.2．命题“若△ABC 有一内角为π3，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题( ) A ．与原命题同为假命题B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题解析：选D 原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列，则△ABC 有一内角为π3”，它是真命题． 3．在命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是( )A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真解析：选D 对于原命题：“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题；但其逆命题：“若{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集非空时，可以有a >0，即抛物线的开口可以向上，因此否命题也是假命题．故选D.4．(2018·德州一中模拟)下列命题中为真命题的序号是________．①若x ≠0，则x ＋1x ≥2；②命题：若x 2＝1，则x ＝1或x ＝－1的逆否命题为：若x ≠1且x ≠－1，则x 2≠1；③“a ＝1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件；④命题“若x <－1，则x 2－2x －3>0”的否命题为“若x ≥－1，则x 2－2x －3≤0”．解析：当x <0时，x ＋1x≤－2，故①是假命题；根据逆否命题的定义可知，②是真命题；“a ＝±1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件，故③是假命题；根据否命题的定义知④是真命题．答案：②④5．“在△ABC 中，若∠C ＝90°，则∠A ，∠B 都是锐角”的否命题为：________________________________________________________________________.解析：原命题的条件：在△ABC 中，∠C ＝90°，结论：∠A ，∠B 都是锐角．否命题是否定条件和结论．即“在△ABC 中，若∠C ≠90°，则∠A ，∠B 不都是锐角”．答案：在△ABC 中，若∠C ≠90°，则∠A ，∠B 不都是锐角对点练(二) 充分条件与必要条件1．(2016·山东高考)已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由题意知a ⊂α，b ⊂β，若a ，b 相交，则a ，b 有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a ，b 的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A.2．(2018·浙江名校联考)一次函数y ＝－m n x ＋1n 的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( )A ．m >1，且n <1B ．mn <0C ．m >0，且n <0D ．m <0，且n <0解析：选B 因为y ＝－m n x ＋1n 的图象经过第一、三、四象限，故－m n >0，1n <0，即m >0，n <0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn <0.3．(2018·河南豫北名校联盟精英对抗赛)设a ，b ∈R ，则“log 2a >log 2b ”是“2a －b >1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A log 2a >log 2b ⇔a >b >0,2a －b >1⇔a >b ，所以“log 2a >log 2b ”是“2a －b >1”的充分不必要条件．故选A.4．(2018·重庆第八中学调研)定义在R 上的可导函数f (x )，其导函数为f ′(x )，则“f ′(x )为偶函数”是“f (x )为奇函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∴[f (－x )]′＝[－f (x )]′，∴f ′(－x )·(－x )′＝－f ′(x )，∴f ′(－x )＝f ′(x )，即f ′(x )为偶函数；反之，若f ′(x )为偶函数，如f ′(x )＝3x 2，f (x )＝x 3＋1满足条件，但f (x )不是奇函数，所以“f ′(x )为偶函数”是“f (x )为奇函数”的必要不充分条件．故选B.5．(2018·山西怀仁一中期中)命题“∀x ∈[1,2)，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( )A ．a ≥4B ．a >4C ．a ≥1D ．a >1解析：选B x 2－a ≤0⇔a ≥x 2.因为x 2∈[1,4)，所以a ≥4.故a >4是已知命题的一个充分不必要条件．故选B.6．(2018·广东梅州质检)已知命题p ：“方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”，且綈p 为真命题的充分不必要条件为a >3m ＋1，则实数m 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(0,1)解析：选B 命题p ：“方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”为真时，Δ＝16－4a ≥0，∴a ≤4.∴綈p 为真命题时，a >4.又∵綈p 为真命题的充分不必要条件为a >3m ＋1，∴(3m ＋1，＋∞)是(4，＋∞)的真子集，∴3m ＋1>4，解得m >1，故选B.7．(2018·福建闽侯二中期中)设命题p ：|4x －3|≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．解析：由|4x －3|≤1，得12≤x ≤1；由x 2－(2a ＋1)·x ＋a (a ＋1)≤0，得a ≤x ≤a ＋1.∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件，∴p 是q 的充分不必要条件．∴⎣⎡⎦⎤12，1[a ，a ＋1]．∴a ≤12.且a ＋1≥1，两个等号不能同时成立，解得0≤a ≤12.∴实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12. 答案：⎣⎡⎦⎤0，12[大题综合练——迁移贯通]1．写出命题“已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，则a 2≥4b ”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：(1)逆命题：已知a ，b ∈R ，若a 2≥4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，为真命题．(2)否命题：已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，则a 2<4b ，为真命题．(3)逆否命题：已知a ，b ∈R ，若a 2<4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，为真命题．2．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，∴716≤y ≤2，∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34， 故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 3．已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}，B ＝{x |(x －a )(x －3a )<0}．(1)若x ∈A 是x ∈B 的充分条件，求a 的取值范围．(2)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围．解：A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}＝{x |2<x <4}， B ＝{x |(x －a )(x －3a )<0}．(1)当a ＝0时，B ＝∅，不合题意．当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }，要满足题意， 则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a ≥4，解得43≤a ≤2. 当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }，要满足题意， 则⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ≤2，a ≥4，无解． 综上，a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤43，2.(2)要满足A ∩B ＝∅，当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }，则a ≥4或3a ≤2，即0<a ≤23或a ≥4. 当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }，则a ≤2或a ≥43，即a <0. 当a ＝0时，B ＝∅，A ∩B ＝∅.综上，a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，23∪[4，＋∞)．。
2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：课时达标检测 集 合 Word版含解析
课时达标检测（一） 集 合[小题对点练——点点落实]对点练(一) 集合的概念与集合间的基本关系 1．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3}，则( )A ．A ＝BB ．A ∩B ＝∅C ．A BD ．B A 解析：选D ∵A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3}，∴B A .⊆C |C {＝B ，}0≤3－x 2＋2x |N ∈x {＝A 已知集合)拟莱州一中模·(2018．2A }，则集合B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 B个子集，因此集合4＝22有，共}{0,1＝}1≤x ≤3－|N ∈x {＝}0≤1)－x 3)(＋x |(N ∈x {＝A C 选解析：中元素的个数为4，选C.3．(2018·广雅中学测)(是图n Ven 的关系}0＝x ＋2x |x {＝N 和}1,0,1－{＝M ，则正确表示集合R ＝U 若全集)试B.选，故M N ，所以}1,0,1－{＝M ，而}1,0－{＝}0＝x ＋2x |x {＝N 由题意知， B 选解析： ．________为的值m ，则A ∈3若，}m ＋2m 2,2＋m {＝A ．已知集合4 ，3＝m ＋2m 2且3＝2＋m 时，1＝m ，当32＝－m 或1＝m ，则3＝m ＋2m 2或3＝2＋m 由题意得解析：.32＝－m ，故3＝m ＋2m 2则，12＝2＋m 时，32＝－m 根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当 32－答案： ．________是的取值范围 b －a ，则实数B ⊆A ，若]b ，a [＝B ，}16≤x 2≤|4x {＝A ．已知集合5，所4≥b ，2≤a ，所以B ⊆A ，因为[2,4]＝}4≤x ≤|2x {＝}42≤x 2≤2|2x {＝}16≤x 2≤|4x {＝A 集合解析：以a －b ≤2－4＝－2，即实数a －b 的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2]对点练(二) 集合的基本运算)(＝N ∪M ，则}0≤x |lg x {＝N ，}x ＝2x |x {＝M ．设集合1 A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(－∞，1] ．][0,1＝N ∪M ，}1≤x ＜0|x {＝}0≤x |lg x {＝N ，}{0,1＝}x ＝2x |x {＝M A 选解析： )(＝B ∩A ，则}A ∈x ，2x ＝y |y {＝B ，}1,0,1－{＝A ．若集合2 A ．{0}B ．{1}C ．{0,1}D ．{0，－1} ．}{0,1＝B ∩A ，所以}{0,1＝}A ∈x ，2x ＝y |y {＝B 因为 C 选解析： )(＝B ∪)A U ∁(则，}3≤y ≤|1y {＝B ，}2≤x ≤|0x {＝A ，集合R ＝U 设全集)考中原名校联·(2018．3 A ．(2,3]B ．(－∞，1]∪(2，＋∞)C ．[1,2)D ．(－∞，0)∪[1，＋∞)．)∞，＋1[∪0)，∞－(＝B ∪)A U ∁(以，所}3≤y ≤|1y {＝B ，}<0x 或2>x |x {＝A U ∁因为 D 选解析： 4．设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉)(＝Q －P ，那么}2|<1－x ||x {＝Q ，}<1x 2|log x {＝P ，如果}Q A ．{x |0<x <1}B ．{x |0<x ≤1}C ．{x |1≤x <2}D ．{x |2≤x <3} ．由}<3x |1<x {＝Q ，所以3<x 1<得，12|<－x |由；}<2x |0<x {＝P ，所以2<x 0<得，1<x 2log 由 B 选解析：题意，得P －Q ＝{x |0<x ≤1}．∪P ．若}0≤b ＋ax ＋2x |x {＝Q ，}2>0－y －2y |y {＝P 已知集合)考河北正定中学月·(2018．5Q ＝R ，且P ∩Q ＝(2,3]，则a ＋b ＝( )A ．－5B ．5C ．－1D ．1 ，所以1,3]－[＝Q ，得](2,3＝Q ∩P 及R ＝Q ∪P ．由}1－<y 或2>y |y {＝}2>0－y －2y |y {＝P A 选解析：－a ＝－1＋3，b ＝－1×3，即a ＝－2，b ＝－3，a ＋b ＝－5，故选A.6．(2018·唐山统一考) (是，则图中阴影部分表示的集合}<1x |2x {＝B ，}6<0－x 5－2x |x {＝A ，集合R ＝U 若全集)试A ．{x |2<x <3}B ．{x |－1<x ≤0}C ．{x |0≤x <6}D ．{x |x <－1} ＝B ，所以0<x ，解得1<x 2由．}<6x 1<－|x {＝A ，所以6<x 1<－，解得06<－x 5－2x 由 C 选解析： C.选，故}<6x ≤|0x {＝A ∩)B U ∁(以，所}0≥x |x {＝B U ∁，A ∩)B U ∁(为．又题图中阴影部分表示的集合}<0x |x { )(是的取值范围m ，则实数}>4x |x {＝B ∩A ．若}m ≥x |x {＝B ，}12>0－x －2x |x {＝A ．已知集合7 A ．(－4,3)B ．[－3,4]C ．(－3,4)D ．(－∞，4] 解析：选B 集合A ＝{x |x <－3或x >4}，∵A ∩B ＝{x |x >4}，∴－3≤m ≤4，故选B.)(为}{1,4,7合，则集}0＝21＋x 8－2x |x {＝N ，}{2,3,5＝M ，集合}<8x |0<Z ∈x {＝U ．已知全集8 )N U ∁(∩M ．A)N ∩M (U ∁．B )N ∪M (U ∁．C N ∩)M U ∁(．D ＝N ∩M ，}{3,5＝}{1,3,4,5,7∩{2,3,5}＝)N U ∁(∩M ，}{2,6＝N ，}{1,2,3,4,5,6,7＝U 由已知得 C 选解析：选，}{6＝}{2,6∩{1,4,6,7}＝N ∩)M U ∁(，}{1,4,7＝)N ∪M (U ∁，}{2,3,5,6＝N ∪M ，},3,4,5,6,7{1＝)N ∩M (U ∁，}{2 C.[大题综合练——迁移贯通]．}R ∈m ，R ∈x ，0≤4－2m ＋mx 2－2x |x {＝B ，}0≤3－x 2－2x |x {＝A ．已知集合1 (1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值；的取值范围．m ，求实数B R ∁⊆A 若)(2 解：由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)因为A ∩B ＝[0,3]，2.＝m 所以⎩⎪⎨⎪⎧ m －2＝0，m ＋2≥3.所以，}2＋m >x 或2－m <x |x {＝B R ∁(2) ，1－<2＋m 或32>－m ，所以B R ∁⊆A 因为 即m >5或m <－3. 因此实数m 的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)． 2．已知集合A ＝{x |1＜x ＜3}，集合B ＝{x |2m ＜x ＜1－m }． (1)当m ＝－1时，求A ∪B ； (2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围； (3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围． 解：(1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2<x <2}， 则A ∪B ＝{x |－2<x <3}． ，2－≤m 解得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＞2m ，2m≤1，1－m≥3，知B ⊆A 由)(2 即实数m 的取值范围为(－∞，－2]． (3)由A ∩B ＝∅，得 ，符合题意；∅＝B 时，13≥m ，即m －1≥m 2若① ⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜13，2m≥3，或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜13，1－m≤1时，需13＜m ，即m －1＜m 2若② .13＜m ≤0即，∅或13＜m ≤0得 综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)． ．}>1x 2|log x {＝B ，}27≤x 3≤|3x {＝A 已知集合)考江西玉山一中月·(2018．3；A ∪)B R ∁(，B ∩A 分别求)(1 (2)已知集合C ＝{x |1<x <a }，若C ⊆A ，求实数a 的取值范围． ，33≤x 3≤13即，72≤x 3≤3∵(1)解： ∴1≤x ≤3，∴A ＝{x |1≤x ≤3}． ，22>log x 2log 即，1>x 2log ∵ ∴x >2，∴B ＝{x |x >2}． ∴A ∩B ＝{x |2<x ≤3}．B R∁∴，x|x{＝}2≤A)B R∁(∴＝∪≤．}3x|x{(2)由(1)知A＝{x|1≤x≤3}，C⊆A.当C为空集时，满足C⊆A，a≤1；当C为非空集合时，可得1<a≤3.综上所述，a≤3.实数a的取值范围是{a|a≤3}.。
2018-2019学年高中新创新一轮复习理数江苏专版：课时
课时达标检测(六） 函数的单调性与最值[练基础小题——强化运算能力]1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的序号是________． ①y ＝ln(x ＋2)；②y ＝－x ＋1； ③y ＝⎝⎛⎭⎫12x ；④y ＝x ＋1x .解析：函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数；y ＝－x ＋1与y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(0，＋∞)上是减函数；y ＝x ＋1x 在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．答案：①2．(2017·浙江高考)已知a ∈R ，函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋4x －a ＋a 在区间[1,4]上的最大值是5，则a 的取值范围是________．解析：∵x ∈[1,4]，∴x ＋4x∈[4,5]，①当a ≤92时，f (x )max ＝|5－a |＋a ＝5－a ＋a ＝5，符合题意；②当a ＞92时，f (x )max ＝|4－a |＋a ＝2a －4＝5，解得a ＝92(矛盾)，故a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，92. 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，92 3．函数y ＝|x |(1－x )的单调增区间为________．解析：y ＝|x |(1－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，x ≥0，－x (1－x )，x ＜0＝⎩⎨⎧－⎝⎛⎭⎫x －122＋14，x ≥0，⎝⎛⎭⎫x －122－14，x ＜0.画出函数的大致图象，如图所示．由图易知函数在⎣⎡⎦⎤0，12上单调递增． 答案：⎣⎡⎦⎤0，12 4．(2018·扬州中学单元检测)对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b .函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．解析：依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0＜x ≤2，－x ＋3，x ＞2.当0＜x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数，当x＞2时，h (x )＝3－x 是减函数，且log 22＝1＝－2＋3，则h (x )max ＝h (2)＝1.答案：15．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x ＜1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是________．解析：要使函数f (x )的值域为R ，需使⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＞0，ln 1≤1－2a ＋3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＜12，a ≥－1，∴－1≤a ＜12，即a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－1，12. 答案：⎣⎡⎭⎫－1，12 [练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．给定函数：①y ＝x 12，②y ＝log 12(x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是________．解析：①y ＝x 12在(0,1)上递增；②∵t ＝x ＋1在(0,1)上递增，且0＜12＜1，故y ＝log 12(x＋1)在(0,1)上递减；③结合图象(图略)可知y ＝|x －1|在(0,1)上递减；④∵u ＝x ＋1在(0,1)上递增，且2＞1，故y ＝2x＋1在(0,1)上递增．故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③.答案：②③2．定义在R 上的函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，且f (x )在(－∞，2)上是增函数，则f (－1)与f (3)的大小关系是________．解析：依题意得f (3)＝f (1)，且－1＜1＜2，于是由函数f (x )在(－∞，2)上是增函数得 f (－1)＜f (1)＝f (3)． 答案：f (－1)＜f (3)3．函数y ＝⎝⎛⎭⎫132x 2－3x ＋1的单调递增区间为________． 解析：令u ＝2x 2－3x ＋1＝2⎝⎛⎭⎫x －342－18.因为u ＝2⎝⎛⎭⎫x －342－18在⎝⎛⎦⎤－∞，34上单调递减，函数y ＝⎝⎛⎭⎫13u 在R 上单调递减．所以y ＝⎝⎛⎭⎫132x 2－3x ＋1在⎝⎛⎦⎤－∞，34上单调递增，即该函数的单调递增区间为⎝⎛⎦⎤－∞，34. 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，344．(2018·宜兴第一中学模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)x ，x ≥2，⎝⎛⎭⎫12x －1，x ＜2是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )为R 上的单调递减函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0，2(a －2)≤⎝⎛⎭⎫122－1，解得a ≤138. 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，138 5．(2018·淮安模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln (x ＋1)，x ＞0，若f (2－x 2)＞f (x )，则实数x 的取值范围是________．解析：∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为0，∴函数的图象是一条连续的曲线．∵当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数，当x ＞0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数，∴函数f (x )是定义在R 上的增函数．因此，不等式f (2－x 2)＞f (x )等价于2－x 2＞x ，即x 2＋x －2＜0，解得－2＜x ＜1.答案：(－2,1)6．(2018·连云港海州中学模拟)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝－x 2＋2ax 在[1,2]上是减函数，∴a ≤1，又∵g (x )＝ax ＋1在[1,2]上是减函数，∴a ＞0，∴0＜a ≤1.答案：(0,1]7．已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )＞f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为________．解析：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a ＞0，a ＋3＞0，a 2－a ＞a ＋3，解得－3＜a ＜－1或a ＞3.所以实数a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．答案：(－3，－1)∪(3，＋∞)8．(2018·湖南雅礼中学月考)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．解析：当x ≤2时，－x ＋6≥4.当x ＞2时，⎩⎪⎨⎪⎧3＋log a x ≥4，a ＞1，∴a ∈(1,2]． 答案：(1,2]9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg (x 2＋1)，x ＜1，则f (x )的最小值是________．解析：当x ≥1时，x ＋2x－3≥2x ·2x －3＝22－3，当且仅当x ＝2x，即x ＝2时等号成立，此时f (x )min ＝22－3＜0；当x ＜1时，lg(x 2＋1)≥lg(02＋1)＝0，此时f (x )min ＝0.所以f (x )的最小值为22－3.答案：22－310．(2018·苏州模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x ＞0，不等式f (x ＋a )＞f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：作出函数f (x )的图象的草图如图所示，易知函数f (x )在R 上为单调递减函数，所以不等式f (x ＋a )＞f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立等价于x ＋a ＜2a －x ，即x ＜a 2在[a ，a ＋1]上恒成立，所以只需a ＋1＜a2，即a ＜－2.答案：(－∞，－2) 二、解答题 11．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：任设x 1＜x 2＜－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0， ∴f (x 1)－f (x 2)＜0， 即f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增． (2)任设1＜x 1＜x 2，则 f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). ∵a ＞0，x 2－x 1＞0，∴要使f (x 1)－f (x 2)＞0，只需(x 1－a )(x 2－a )＞0在(1，＋∞)上恒成立， ∴a ≤1.综上所述知a 的取值范围是(0,1]．12．已知函数f (x )＝ax ＋1a (1－x )(a ＞0)，且f (x )在[0,1]上的最小值为g (a )，求g (a )的最大值．解：f (x )＝⎝⎛⎭⎫a －1a x ＋1a， 当a ＞1时，a －1a ＞0，此时f (x )在[0,1]上为增函数，∴g (a )＝f (0)＝1a ；当0＜a ＜1时，a －1a ＜0，此时f (x )在[0,1]上为减函数，∴g (a )＝f (1)＝a ；当a ＝1时，f (x )＝1，此时g (a )＝1.∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，0＜a ＜1，1a ，a ≥1，∴g (a )在(0,1)上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数，又a ＝1时，有a ＝1a＝1，∴当a ＝1时，g (a )取最大值1.。
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课时达标检测（六十一） 坐 标 系
1．在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－3
2与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．
解：在ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－3
2中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1,0)． 因为圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π
4， 所以圆C 的半径PC ＝ (2)2＋12－2×1×2cos π
4
＝1，于是圆C 过极点，所以圆C
的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
2．设M ，N 分别是曲线ρ＋2sin θ＝0和ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2
2上的动点，求M ，N 的最小距离．
解：因为M ，N 分别是曲线ρ＋2sin θ＝0和ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2
2上的动点，即M ，N 分别是圆x 2＋y 2＋2y ＝0和直线x ＋y －1＝0上的动点，要求M ，N 两点间的最小距离，即在直线x ＋y －1＝0上找一点到圆x 2＋y 2＋2y ＝0的距离最小，即圆心(0，－1)到直线x ＋y －1＝0的距离减去半径，故最小值为
|0－1－1|
2
－1＝2－1. 3．(2018·扬州质检)求经过极点O (0,0)，A ⎝⎛⎭⎫6，π2，B ⎝⎛⎭⎫62，9π
4三点的圆的极坐标方程． 解：点O ，A ，B 的直角坐标分别为(0,0)，(0,6)，(6,6)，
故△OAB 是以OB 为斜边的等腰直角三角形，圆心为(3,3)，半径为32， 圆的直角坐标方程为(x －3)2＋(y －3)2＝18， 即x 2＋y 2－6x －6y ＝0，
将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上述方程， 得ρ2－6ρ(cos θ＋sin θ)＝0， 即ρ＝62cos ⎝⎛⎭
⎫θ－π
4. 4．(2018·山西质检)在极坐标系中，曲线C 的方程为ρ2＝
31＋2sin 2θ
，点R ⎝⎛⎭⎫22，π4. (1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标；
(2)设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时P 点的直角坐标．
解：(1)曲线C ：ρ2
＝31＋2sin 2θ
，即ρ2＋2ρ2sin 2
θ＝3，从而ρ2cos 2θ3＋ρ2sin 2θ＝1. ∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，
∴曲线C 的直角坐标方程为x
2
3＋y 2＝1，
点R 的直角坐标为R (2,2)． (2)设P (3cos θ，sin θ)，
根据题意可得|PQ |＝2－3cos θ，|QR |＝2－sin θ， ∴|PQ |＋|QR |＝4－2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3， 当θ＝π
6时，|PQ |＋|QR |取最小值2，
∴矩形PQRS 周长的最小值为4， 此时点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫
32，12.
5．(2018·南京模拟)已知直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝4和圆C ：ρ＝2k cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π
4(k ≠0)，若直线l 上的点到圆C 上的点的最小距离等于2.求实数k 的值并求圆心C 的直角坐标．
解：圆C 的极坐标方程可化为ρ＝2k cos θ－2k sin θ， 即ρ2＝2kρcos θ－2kρsin θ，
所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2kx ＋2ky ＝0， 即⎝⎛
⎭⎫x －
22k 2＋⎝⎛⎭
⎫y ＋22k 2＝k 2， 所以圆心C 的直角坐标为
⎝⎛⎭⎫22
k ，－22k .
直线l 的极坐标方程可化为ρsin θ·22－ρcos θ·2
2＝4，
所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋42＝0，
所以
⎪⎪⎪
⎪
22k ＋22k ＋422
－|k |＝2.
即|k ＋4|＝2＋|k |， 两边平方，得|k |＝2k ＋3，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ k ＞0，k ＝2k ＋3或⎩
⎪⎨⎪⎧
k ＜0，
－k ＝2k ＋3，
解得k ＝－1，故圆心C 的直角坐标为⎝⎛
⎭
⎫
－
22，
22. 6．已知曲线C 的极坐标方程是ρsin 2θ－8cos θ＝0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy .在直角坐标系中，倾斜角为α的直线l 过点(2,0)．
(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；
(2)设点Q 和点G 的极坐标分别为⎝
⎛⎭⎫2，3π
2，(2，π)，若直线l 经过点Q ，且与曲线C 相
交于A ，B 两点，求△GAB 的面积．
解：(1)曲线C 的极坐标方程化为ρ2sin 2θ－8ρcos θ＝0，再化为直角坐标方程为y 2＝8x .
直线l 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝2＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)．
(2)点Q ⎝⎛⎭⎫2，3π
2的直角坐标为(0，－2)． 因为直线l 过点P (2,0)和Q (0，－2)， 所以直线l 的倾斜角α＝π
4
.
所以直线l 的参数方程为⎩⎨
⎧
x ＝2＋22t ，
y ＝22t
(t 为参数)．
将l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得⎝⎛⎭⎫22t 2＝8⎝
⎛⎭⎫2＋22t .整理，得t 2－82t
－32＝0.
Δ＝(－82)2＋4×32＝256>0.
设t 1，t 2为方程t 2－82t －32＝0的两个根， 则t 1＋t 2＝82，t 1·t 2＝－32，
所以|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1·t 2＝256＝16.
由极坐标与直角坐标互化公式得点G 的直角坐标为(－2,0)． 点G 到直线l 的距离为d ＝|PG |sin 45°＝4×
2
2
＝22， 所以S △GAB ＝12×d ×|AB |＝1
2
×16×22＝16 2.
7．(2018·贵州联考)已知在一个极坐标系中点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π
3. (1)求出以C 为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)；
(2)在直角坐标系中，以圆C 所在极坐标系的极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，点P 是圆C 上任意一点，Q (5，－3)，M 是线段PQ 的中点，当点P 在圆C 上运动时，求点M 的轨迹的普通方程．
解：(1)如图，设圆C 上任意一点A (ρ，θ)，则∠AOC ＝θ－π3或π
3－θ.
由余弦定理得，4＋ρ2－4ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π
3＝4，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos ⎝⎛⎭
⎫θ－π
3. (2)在直角坐标系中，点C 的坐标为(1，3)，可设圆C 上任意一点P (1＋2cos α，3＋2sin α)，
得点M 的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝6＋2cos α2
，y ＝2sin α
2
(α为参数)，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝3＋cos α，
y ＝sin α(α为参数)， ∴点M 的轨迹的普通方程为(x －3)2＋y 2＝1.
8．在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，以原点O
为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝π
3
与曲线C 2交于点D ⎝⎛⎭⎫2，π3. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；
(2)已知极坐标系中两点A (ρ1，θ0)，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ0＋π2，若A ，B 都在曲线C 1上，求1ρ21＋1
ρ22
的值．
解：(1)∵C 1的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2cos φ，
y ＝sin φ，
∴C 1的普通方程为x 24
＋y 2
＝1.
由题意知曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2a cos θ(a 为半径)， 将D ⎝⎛⎭⎫2，π3 代入，得2＝2a ×12
， ∴a ＝2，∴圆C 2的圆心的直角坐标为(2,0)，半径为2， ∴C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4.
(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ4＋ρ2sin 2θ＝1，
即ρ2＝
4
4sin 2
θ＋cos 2θ
.
∴ρ21
＝4
4sin 2θ0＋cos 2θ0， ρ22＝
4
4sin 2⎝⎛⎭⎫θ0＋π2＋cos 2⎝⎛⎭
⎫θ0＋π2＝4
sin 2θ0＋4cos 2θ0.
∴1ρ21＋1ρ22＝4sin 2θ0＋cos 2θ04＋4cos 2θ0＋sin 2
θ04＝54
.。