刘鸿文材料力学讲义弯曲变形【圣才出品】
刘鸿文《材料力学》(第5版)课后习题(弯曲应力)【圣才出品】
图 5-10 解：对横梁进行受力分析，作出其受力简图，如图 5-11 所示。
图 5-11
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由梁结构和载荷的对称性可知，最大弯矩发生在梁跨中截面，且
。
抗弯截面系数：
由强度条件
则有 故许可顶压力：
，可得： 。
5.10 割刀在切割工件时，受到 F＝1 kN 的切削力作用。割刀尺寸如图 5-12 所示。 试求割刀内的最大弯曲应力。
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图 5-8
解：根据梁的受力简图，由平衡条件可得支座反力： 由梁结构和载荷的对称性可知，梁上最大受的最大轧制力：
，可得： 907.4 kN。
5.8 压板的尺寸和载荷情况如图 5-9 所示。材料为 45 钢，σs＝380 MPa，取安全因 数 n＝1.5。试校核压板的强度。
图 5-9
解：由许用应力定义可知，该压板的许用应力：
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分析可知，压板上的最大弯矩发生在 m-m 截面，且：
m-m 截面的抗弯截面系数：
故最大正应力： 因此压板强度满足要求，是安全的。
5.9 拆卸工具如图 5-10 所示。若 l＝250 mm，a＝30 mm，h＝60 mm，c＝16 mm，d＝58 mm，[σ]＝160 MPa，试按横梁中央截面的强度确定许可的顶压力 F。
图 5-12 解：分析可知，最危险截面可能发生在 m-m 截面或 n-n 截面。 （1）m-m 截面：弯矩值 则该截面上正应力：
（2）n-n 截面：弯矩值 则该截面上正应力：
材料力学(刘鸿文)第04章01、弯曲内力
3、平面弯曲（对称弯曲）：若梁上所有外力都作用在纵向对称面内，梁 变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。
q F
纵向对称面
FA
FB
4、非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面上但外力 并不作用在纵向对称面内的弯曲。
第4第 章弯曲内力 四 章
弯 曲 内 力 王明禄
2015年3月18日星期三
本节重点—你准备好了吗？
1、剪力与弯矩计算与正负判断;
2、弯矩方程的求解；
第一节 弯曲的概念和实例
1、弯曲：在垂直于杆轴线的平衡力系的作用下，杆的轴线在变形后成 为曲线的变形形式。
2、梁：主要承受垂直于轴线荷载的杆件
第二节 受弯杆的简化
研究对象：等截面的直梁，且外力作用在梁对称面内的平面力系
梁的计算简图：梁轴线代替梁，将荷载和支座加到轴线上。
1.梁的支座简化(平面力系)： a)滑动铰支座 b)固定铰支座 c)固定端
FRx
MR
FR
FRx
FRy
FRy
2.作用在梁上的荷载可分为: (a)集中荷载
F1
集中力
M
集中力偶
C
FS
F
y
0 : FS FB F 0 FS F FB FA
M
C
0 : M FB x F l x 0 M FB x F l x FA x
二、平面弯曲梁横截面上的内力： ①剪力—平行于横截面的内力，符号：，正负号规定： 使梁有左上右下错动趋势的剪力为正，反之为负 (左上右下为正：截面以左上为正，截面以右下为正)； FS
刘鸿文《材料力学》复习笔记和课后习题(含考研真题)详解(弯曲应力)【圣才出品】
对于圆形截面
W Iz πd 4 / 64 πd 3 d / 2 d / 2 32
对于环形截面
W D3 1 4 32
式中，α＝d/D，d为内径，D为外径。
2．弯曲正应力强度条件 σmax＝Mmax/W≤[σ] 强度条件的应用： ①强度校核 Mmax/W≤[σ] ②截面设计 W≥Mmax/[σ] ③确定许可载荷 Mmax≤W[σ]
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图 5-1-5 2．选择合理的截面（提高抗弯截面系数） （1）合理的截面形状应该是截面面积 A 较小，而抗弯截面系数 W 较大，常见截面的 W/A 值如表 5-1-2 所示。
FS I z b0
bh2 8
bh02 8
（3）翼缘主要承担了作用于工字形截面梁上的弯矩，通常不计算翼缘上的切应力。
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3．圆形截面梁 （1）切应力分布特点 边缘各点的切应力与圆周相切；y 轴上各点的切应力沿 y 轴，如图 5-1-3 所示。 （2）计算假设 AB 弦上各点的切应力作用线通过同一点 p；AB 弦上各点的切应力沿 y 轴的分量 y 相 等。
（1）变形几何关系：服从平面假设 应变分布规律：直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比。 （2）物理关系：满足胡克定律 应力分布规律：直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比。 （3）静力关系 纯弯曲时，梁轴线变形后的曲率 1/ρ＝M/（EIz）。由于曲率 1/ρ 与 EIz 成反比，因此称 EIz 为梁的抗弯刚度。联立胡克定律：σ＝Ey/ρ 可得纯弯曲时正应力计算公式 σ＝My/Iz 式中，M为梁横截面上的弯矩；y为梁横截面应力计算点到中性轴的距离；Iz为梁横截 面对中性轴的惯性矩。 适用范围：①适用于任何横截面具有纵向对称面，且载荷作用在对称面内的情况；②公 式由等直梁得到，对缓慢变化的变截面梁和曲率很小的曲梁也近似成立。
材料力学刘鸿文第六版最新课件第六章 弯曲变形
内容回顾
6.1：基本概念 挠度；转角；挠曲线；挠度和转角的关系；挠度 和转角的符号定义。
6.2：挠曲线的微分方程
d2w M dx2 EI
6.3：积分法求弯曲变形
w" M(x) EI
EIw M ( x )dx C1 （转角方程） EIw M ( x )dxdx C1 x C 2 （挠度方程）
确定积分常数C1和C2
确定积分常数C1和C2
（1）在简支梁中, 左右两铰支座处的
挠度 w A 和 wB 都等于0。
A
wA 0
（2）在悬臂梁中,固定端处的挠度 w A
和转角 A 都应等于0。
（3）在弯曲变形对称点，转角为0。
A
wA 0
A 0
B
wB 0
B
42
（4）若B支座改为弹簧支撑，则： （5）若B支座改为
又：
1M
EI
B
d2w M
ds
A
此式称为
dx2 EI
梁的挠曲线近似微分方15程
横力弯曲梁：
w" M(x) EI
近似原因 : （1） 略去了剪力的影响; （2） 略去了 w2项;
（3） tan w w ( x )
16
§6-3 用积分法求弯曲变形
一、微分方程的积分 w M ( x) EI
x a时，wC 左 wC 右
x L, w FBy
B
k
B kx
h F EA
A
C
a
bB
L
x 0, wA 0
x a时，C左 C右
x a时，wC左 wC右
x
L, wB
lBD
FByh EA
例题1 图示一抗弯刚度为 EI 的悬臂梁, 在自由端受一集中力 F
刘鸿文材料力学讲义弯曲应力【圣才出品】
（3）确定许可载荷
Mmax W[σ]
四、弯曲切应力
分几种截面形状讨论弯曲切应力
1．矩形截面梁
（1）基本假设
切应力与剪力平行；切应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等距离处切应力相等）。
（2）切应力计算公式
FS
S
z
Izb
FS 2Iz
h2 4
y
2
式中， Iz 为整个横截面对中性轴的惯性矩， Iz
bh3 12
（2）离中性轴最远处
（3）变截面梁要综合考虑 M 和 IZ
（4）脆性材料抗拉和抗压性能不同，两方面都要考虑，即
t,max t , c,max c
4．强度条件的应用
（1）强度校核
（2）设计截面
M max [σ] W
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十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 W M max [σ ]
（2）常见截面的 、 （ 为抗弯截面系数）
①圆截面
，
②矩形截面
，
③空心圆截面
，
式中， α d ，d为内径，D为外径。 D
④空心矩形截面
，
三、横力弯曲时的正应力 1．横力弯曲 （1）定义 横力弯曲又称剪切弯曲，其受力特点为横截面上既有弯矩又有剪力，相应的有正应力和
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（2）计算假设
AB 弦上各点的切应力作用线通过同一点 p；AB 弦上各点的切应力沿 y 轴的分量y 相等。
图 5-3
（3）计算公式
①对y 可用矩形截面梁的公式 ②最大切应力发生在中性轴上
y
FS
S
* z
Izb
max
4 3
FS R2
刘鸿文版材料力学第六章
F6bl
(l2
b2 ) x1
CB 段： a x2 l
y
F
A A
DC
FAy x1
x2
a
ym ax b
B B x
FBy
EI
Fb 2 2l
2
x2
F 2
(
x2
a)2
Fb (l2 6l
b2 )
EIy2
Fb 6l
x32
F 6
(
x2
a)3
F6lb (l2 b2 ) x2
目录
§6-3 用积分法求弯曲变形
目录
§6-5 简单超静定梁
例7 梁AB 和BC 在B 处铰接，A、C 两端固定，梁的抗弯刚度均为EI，F = 40kN， q = 20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。
解 从B 处拆开，使超静定结构变成两个悬臂 梁。
MA
FA FB
FB FB
yB2
yB1
FB
变形协调方程为： 物理关系
yB1 yB 2
4
EI
ql 4 48EI
ql 4 16 EI
11ql 4 ( ) 384 EI
3
ql 3
B i 1 Bi 24EI
ql 3 16EI
ql 3 3EI
11ql 3 ( ) 48EI
目录
§6-4 用叠加法求弯曲变形
例4 已知：悬臂梁受力如图示，q、l、
yC
EI均为已知。求C截面的挠度yC和转角C
§6-4 用叠加法求弯曲变形
讨论 叠加法求变形有什么优缺点？
目录
§6-5 简单超静定梁
1.基本概念： 超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁 多余约束：从维持平衡角度而言,多余的约束 超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。 相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统
刘鸿文材料力学讲义弯曲内力【圣才出品】
第4章弯曲内力4.1本章要点详解本章要点■各种形式静定梁的支座反力的求解■剪力和弯矩的概念，剪力和弯矩的正负号规定■剪力方程、弯矩方程的建立，绘制剪力图和弯矩图的方法■载荷集度、剪力和弯矩间的关系■任意截面上的剪力和弯矩值的计算重难点导学一、弯曲的概念和实例1．弯曲的概念（1）特点弯曲的表现为原有直线型轴线变形成为曲线。
以弯曲变形为主的杆件通常称为梁。
（2）分类①平面弯曲：弯曲变形后的轴线为平面曲线,且该平面曲线仍与外力共面的弯曲形式。
②对称弯曲：当作用在梁上的载荷和支反力均位于纵向对称面内时，梁的轴线由直线弯成一条位于纵向对称面内的曲线的弯曲形式。
2．实例（1）起重机大梁（2）车削工件（3）火车轮轴二、受弯杆件的简化1．梁的载荷与支座图4-1（1）载荷分类（图4-1）①集中载荷②分布载荷③集中力偶（2）支座分类①固定铰支座：限制支承的横截面沿水平和垂直方向移动，相应的支座反力如图4-2所示。
图4-2②活动铰支座：使杆件沿支承面方向移动亦可绕支承点转动，相应的支座反力如图4-3所示。
图4-3③固定端：限制被支承的横截面沿水平和垂直方向移动和绕某一轴转动，相应的固定端的支反力如图4-4所示。
图4-42．实例简化（1）起重机大梁可简化成简支梁受集中载荷或者均布载荷，如图4-5（a）所示。
（2）车削工件可简化成悬臂梁，如图4-5（b）所示。
（3）火车轮轴可简化成外伸梁，两端受集中载荷，如图4-5（c）所示。
图4-53．静定梁的基本形式（1）简支梁一端为固定铰支座，一端为可动铰支座，如图4-6（a）所示。
（2）外伸梁一端或两端向外伸出的简支梁，如图4-6（b）所示。
（3）悬臂梁一端固定支座一端自由，如图4-6（c）所示。
图4-6三、剪力和弯矩1．剪力（1）概念剪力是指抵抗剪切作用的内力，即平行于横截面的内力系的合力。
（2）符号规定截面上的剪力对所选梁段上任意一点的矩为顺时针转向时，剪力为正；反之为负。
简记为左上右下为正；反之为负。
材料力学(刘鸿文)第六章-弯曲变形)
B3
(ql2 ) l 3EI
ql3 3EI
,
q
C1
ql
C2
C3
B1
B2
ql2
B3
3、变形叠加
B B1 B2 B3
ql3 24 EI
ql3 16 EI
ql3 3EI
11ql3 48 EI
C C1 C2 C3 5ql4 (ql)l3 3ql4 11ql 4 384 EI 48EI 48EI 384 EI
根据梁的变形的连续性，对同一截面只可能有唯一确 定的挠度和转角；
在中间铰两侧转角不同，但挠度却是唯一的。
A
C
M B
边界条件 连续性条件
a
L
x0: 0 0
xal 0
x a : C左 C右
例1悬臂梁受力如图所示。求 A 和 A 。
取参考坐标系
ω
q
1、列写弯矩方程
A
M (x) 1 qx2 2
A
a
C
B
EA
光滑连续性条件
L
x a:
C 左
C
右
C左 C右
讨论：挠曲线分段
（1）凡弯矩方程分段处，应作为分段点；
（2）凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点；
（3）中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两 部分之间的相互作用力，故应作为分段点；
A
C
M B
a
L
讨论：挠曲线分段
（4）凡分段点处应列出连续条件；
§6-1 工程中的弯曲变形问题 §6-2 挠曲线的微分方程 §6-3 用积分法求弯曲变形 §6-4 用叠加法求弯曲变形
§6-6 提高梁刚度的措施
§6-1 工程中的弯曲变形问题 一、为何要研究弯曲变形
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第6章弯曲变形
6.1本章要点详解
本章要点
■挠曲线、挠度和转角的概念
■用积分法和叠加法计算梁的弯曲变形
■用变形比较法解简单超静定问题
重难点导学
一、工程中的弯曲变形问题
1．弯曲变形有害
（1）车床主轴
（2）吊车梁
2．弯曲变形有利
（1）支承车辆的叠板弹簧
（2）扭力扳手
二、挠曲线的微分方程
1．基本概念
（1）度量梁变形的两个基本位移量
①挠度ω
挠度ω是指横截面形心在垂直于x 轴方向的线位移。
与ω坐标同向为正，反之为负。
②转角θ
转角θ是指横截面绕其中性轴转动的角度。
逆时针转动为正，反之为负。
（2）挠曲线
变形后，轴线由直线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。
其方程为
()
f x ω=①一般弯曲：梁的轴线变形后是一条空间曲线。
②平面弯曲：梁的轴线变形后是一条平面曲线。
③对称弯曲：梁的轴线变形后是一条平面曲线，此曲线在纵向对称面内。
（3）转角与挠曲线的关系
①转角与挠曲线的关系式为
tan d dx
ωθθ≈=
②公式成立条件小变形，截面形心在x 方向的位移忽略不计。
2．挠曲线的近似微分方程（1）在纯弯曲变形和恒力弯曲变形忽略剪切应力的情况下，弯矩与曲率间的关系式为
1()()z
M x x EI r =
由数学计算得挠曲线的微分方程，即
22322()[1()]z d w M x dx EI dw dx
±=+（2）挠曲线的近似微分方程
由于挠曲线极其平坦，即dw dx 很小，在挠曲线微分方程中2
dw dx ⎛⎫ ⎪⎝⎭
与1相比可以忽略不计，所以可得挠曲线的近似微分方程为22z
d w M dx EI =三、用积分法求弯曲变形1．基本方程（1）挠曲线的近似微分方程
2222()()z z d M x d EI M x dx EI dx
ωω=⇒=（2）转角方程
由挠曲线的近似微分方程积分一次得转角方程为
()z
z d EI EI M x dx C dx
ωθ==+⎰（3）挠度方程由转角方程再积分一次得挠度方程为
()z EI M x dxdx Cx D
ω=++⎰⎰2．积分法求弯曲变形
（1）积分常数的确定
C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。
①边界条件
梁在其支承处的挠度或转角是已知的，这样的已知条件称为边界条件。
a．悬臂梁：固定端挠度和转角都等于零，即000A A x w θ===：，。
b．简支梁：铰支座处约束条件为挠度等于零，即000A
A x w x l w ====：；：。
②连续条件
梁的挠曲线是一条连续、光滑、平坦的曲线。
因此，在梁的同一截面上不可能有两个不同的挠度值或转角值，这样的已知条件称为连续条件。
a．若中间存在铰支座，则在中间铰处，挠度连续，转角不连续。
b．在集中力、集中力偶以及分布载荷间断处，两侧的挠度、转角应相等，即
1212
w w θθ==，（3）积分法求弯曲变形的步骤
①对梁进行整体平衡分析，列平衡方程式，求出内力；
②列出相关弯矩方程；
③列挠曲线近似微分方程并积分；
④由边界条件（位移边界条件、光滑连续条件）确定积分常数；
⑤确定转角方程和挠度方程；
⑥确定最大转角和最大挠度。
四、用叠加法求弯曲
1．叠加原理的概念
梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和，这就是计算弯曲变形的叠加原理。
2．计算公式
1n i i w w ==∑，1n
i i θθ==∑3．限制条件
叠加原理只适用于线性函数，要求挠度、转角是载荷的线性函数。
4．叠加法求弯曲变形的步骤
（1）将梁上的载荷分解成表6-1的情形；
（2）查表得每种情形下各截面的挠度和转角；
（3）应用叠加法，将简单载荷作用时的结果求和。
表6-1梁在简单载荷作用下的弯曲变形
五、简单超静定梁
1．基本概念
（1）超静定梁
超静定梁是指支反力数目大于有效平衡方程数目的梁。
（2）多余约束
多余约束是指从维持平衡角度而言，多于维持其静力平衡所必需的约束。
（3）多余反力
多余反力是指与约束相应的支座反力。
（4）超静定次数
超静定次数是指多余约束或多余支反力的数目。
（5）静定基
静定基是指将静不定系统中的多余约束解除后，得到的“静定基本系统”。
（6）相当系统。