高一数学必修用二分法求方程的近似解知识点总结与典型例题讲解及答案解析
高一数学用二分法求方程的近似解2(2019)
若方程f(x)=0在区间(a,b)只有一解， 则必有f(a)f(b)<0.
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如留侯策 见苦 明习天下图书计籍 予维闻女众言 其治放郅都 而功盖天下者不赏 季姬与季鲂侯通 患百姓非其道者 宋忠、贾谊瞿然而悟 大王、王季在岐 侵宋黄池 而横乃为亡虏而北面事之 高祖弟交为楚王 陆生曰：“何念之深也 六国为一 东有淮阳 不尽一等 四十三年足矣 齐王之 国 臣不可以行 何以得毋行也 将军自为计则可矣 良夜未半往 未有不先形见而应随之者也 莫可告语 而王季历之兄也 好荐人 九战 威王乃止 楚久伐而中山亡 诸侯五 伐韩 招贤绌不肖者 故且休之 灵公游于郊 令乐人歌之 犹未也 伍徐军皆散走陈 乃与其众反 杞後陈亡三十四年 函及士 大夫 见情素 将亡 收诸侯散卒 大者封侯卿大夫 泰山东北阯古时有明堂处 崇饰恶言 三年哭之不反也 二十一年 必具官以从 三月也 必勿受也 天开之矣 而范蠡称上将军 楼船军败散走 无以称成功 参分之 故鲁有白牡、骍刚之牲 定酸枣、燕、虚、长平、雍丘、山阳城 燕君臣皆恐祸之 至 赦信罪 徵 是也；汝与吴俱亡 於是黯隐於田园 高祖之为沛公 百姓虽怠 首六十八级 ”淳于髡曰：“狐裘虽敝 封以下邳 令清河置园邑二百家 主先而臣随 梁刺客後曹辈果遮刺杀盎安陵郭门外 五穀草木 齐、楚相约而攻魏 十月 ”驺忌子曰：“不如勿救 意死不敢妄传人 以卜有求 不得 燕王绾疑张胜与胡反 欲以溉田 每汉使入匈奴 脩宗庙 即生契 而刻勒始皇所立石书旁 即色衰爱弛後 郤克上 何藏之深也 股肱良哉” 传车马被具 有司言宝鼎出为元鼎 吾念之欲如是 韩与我长子 或曰子属 楚、赵怒而去王 好气 言足以饰非； 且夫天地为炉兮 胃重二斤十四两 置 其剑 ”初王及子晳遂自杀 十八年二月 七日不得通 行不行 东有海盐之饶 相；
【高中数学必修一】3.1.2二分法求方程的近似解
知识探究(一)：二分法的概念
小结：
(1)用天平称 3 次就可以找出这个稍重的球.
(2)要找出稍重的球， 尽量将稍重的球所在的范围 尽量的缩小， 我们通过不断地 “平分球” 、 “锁定” 、 “淘汰”的方法逐步缩小稍重的球所在的范围， 直到满意为止.
(3)这种“平分球”的方法，就是“二分法”的体现.
新知展现
1.二分法的定义
新知展现
1.二分法的定义
对于区间[a，b]上连续不断且 f (a)· f (b)＜0 的函数 y = f (x)，通过不断地把函数 f (x)的 零点所在的区间一分为二，使区间的两个端 点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方 法叫做二分法.
新知展现
1.二分法的定义
对于区间[a，b]上连续不断且 f (a)· f (b)＜0 的函数 y = f (x)，通过不断地把函数 f (x)的 零点所在的区间一分为二，使区间的两个端 点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方 法叫做二分法.
通过“取区间中点”的方法逐步缩小零点所 在的范围(区间).
知识探究(一)：二分法的概念
思考3：通过阅读教材，你知道是用什么办 法将零点所在范围(区间)缩小的?
通过“取区间中点”的方法逐步缩小零点所 在的范围(区间).
ab 一般地，我们把 x 称 2
为区间(a,b)的中点.
知识探究(一)：二分法的概念
另 种 情 况 为
一样重
知识探究(一)：二分法的概念
一分为二(3)
另 种 情 况 为
一样重
被选出的球为最重的球.
知识探究(一)：二分法的概念
小结：
(1)用天平称 3 次就可以找出这个稍重的球.
知识探究(一)：二分法的概念
4.5.2 用二分法求方程的近似解-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学上学期同步讲与练(
4.5.2 用二分法求方程的近似解一、二分法1、二分法的定义：对于区间[],a b 上图象连续不断且()()0⋅<f a f b 的函数()f x ，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到近似值的方法。
2、注意点：（1）二分法的求解原理是函数零点存在定理；（2）函数图象在零点附近连续不断；（3）用二分法只能求变号零点，即零点在左右两侧的函数值的符号相反，比如2=y x ，该函数有零点0，但不能用二分法求解。
二、用二分法求函数零点1、给定精确度ε，用二分法求函数()=y f x 零点0x 的近似值的步骤（1）确定零点0x 的初始区间[],a b ，验证()()0⋅<f a f b ；（2）求区间(),a b 的中点c ；（3）计算()f c ，进一步确定零点所在的区间：①若()0=f c （此时0=x c ），则c 就是函数的零点；②若()()0⋅<f a f c （此时()0,∈x a c ），则令=b c ；③若()()0⋅<f c f b （此时()0,∈x c b ），则令=a c .（4）判断是否达到精确度ε：若-<a b ε，则得到零点近似值a （或b ）；否则重复（2）~（4）【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点；2、关于精确度（1）“精确度”与“精确到”不是一回事，这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值ε，即-<a b ε； “精确到”是指某讴歌数的数位达到某个规定的数位，如计算2-，精确到0.01，即0.3313（2）精确度ε表示当区间的长度小于ε时停止二分；此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值。
题型一二分法的概念理解【例1】下列关于二分法的叙述，正确的是（）A．用二分法可求所有函数零点的近似值B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成D．只有求函数零点时才用二分法【答案】B【解析】根据二分法的概念可知，只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右两侧函数值异号，才可以用二分法求函数的零点的近似值，故A错；用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位，故B正确；二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故C 错；求方程的近似解也可以用二分法，故D 错.故选：B.【变式1-1】用二分法求函数()lg 2f x x x =+-的零点，可以取的初始区间是（ ） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,3 D ．()3,4【答案】B【解析】因为,lg y x y x ==是单调增函数，故()f x 是单调增函数，其零点至多有一个；又()()11,2lg20f f =-=>，故用二分法求其零点，可以取得初始区间是()1,2.故选：B.【变式1-2】观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】A【解析】由图象可知，BD 选项中函数无零点，AC 选项中函数有零点，C 选项中函数零点两侧函数值符号相同，A 选项中函数零点两侧函数值符号相反，故A 选项中函数零点可以用二分法求近似值，C 选项不能用二分法求零点.故选：A【变式1-3】下列函数图象中，不能用二分法求零点的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】观察图象与x 轴的交点，若交点附近的函数图象连续，且在交点两侧的函数值符号相异，则可用二分法求零点，故B 不能用二分法求零点．故选：B.【变式1-4】下列函数中不能用二分法求零点的是（ ）A ．()43f x x =-B ．()ln 28f x x x =+-C ．()sin 1f x x =+D ．()231=-+f x x x【答案】C【解析】选项C sin 10y x =+≥恒成立，不存在区间(),a b 使()()0f a f b ⋅<，所以sin 1y x =+不能用二分法求零点.故选：C题型二 用二分法求方程的近似解【例2】方程322360x x x -+-=在区间[]2,4-上的根必定在（ ）A ．[]2,1-上B ．5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上C ．71,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上D ．75,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上 【答案】D【解析】设32()236f x x x x =-+-， 则(2)8866280f -=----=-<，(4)6432126380f =-+-=>，因为2412且(1)123640f =-+-=-<，所以函数()f x 在[]1,4上必有零点. 又因为14522+=且5125251537()6028228f =-+-=>，所以函数()f x 在51,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上必有零点.又因为517224+=且32777797()()2()360444464f =-⨯+⨯-=-<，所以函数()f x 在75,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上必有零点. 即方程的根必在75,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上.故选：D【变式2-1】若函数()31f x xx =--在区间[1，1.5]内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算，列表如下： x 1 1.5 1.25 1.375 1.3125 f （x ） -1 0.875 -0.2969 0.2246 -0.05151310x x --=的一个近似根（精确度为0.1）可以为（ ）A ．1.3B ．1.32C ．1.4375D ．1.25【答案】B【解析】由()1.31250f <，()1.3750f >，且()f x 为连续函数，由零点存在性定理知：区间()1.3125,1.375内存在零点，故方程310x x --=的一个近似根可以为1.32，B 选项正确，其他选项均不可.故选：B【变式2-2】若函数32()22f x x x x =+--的一个正零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： (1)2f =- (1.5)0.625f = (1.25)0.984f =-(1.375)0.260f =- (1.4375)0.162f = (1.40625)0.054f =-那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确度0.1）为（ ）．A ．1.2B ．1.4C ．1.3D ．1.5【答案】B【解析】因为(1)0,(1.5)0f f <>，所以(1)(1.5)0f f <，所以函数在(1,1.5)内有零点，因为1.510.50.1-=>，所以不满足精确度0.1；因为(1.25)0f <，所以(1.25)(1.5)0f f <，所以函数在(1.25,1.5)内有零点，因为1.5 1.250.250.1-=>，所以不满足精确度0.1；因为(1.375)0f <，所以(1.375)(1.5)0f f <，所以函数在(1.375,1.5)内有零点，因为1.5 1.3750.1250.1-=>，所以不满足精确度0.1；因为(1.4375)0f >，所以(1.4375)(1.375)0f f <，所以函数在(1.375,1.4375)内有零点，因为1.4375 1.3750.06250.1-=<，所以满足精确度0.1；所以方程32220x x x +--=的一个近似根（精确度0.05）是区间(1.375,1.4375)内的任意一个值（包括端点值），根据四个选项可知选B .【变式2-3】求方程221x x =+的一个近似解（精确度0.1）【答案】2.4375【解析】设2()21f x x x =--.因为(2)10,(3)20f f =-<=>()f x 在区间()2,3内单调递增，所以在区间()2,3内，方程2210x x --=有唯一的实数根为0x 取2与3的平均数2.5因为(2.5)0.250f =>，所以02 2.5x <<，再取2与2.5的平均数2.25，因为(2.25)0.43750f =-<，所以02.25 2.5x <<；如此继续下去，有(2.375)0,(2.5)0f f <>，所以()0 2.375,2.5x ∈；(2.375)0,(2.4375)0f f <>，所以()0 2.375,2.4375x ∈；因为|2.375 2.4375|0.06250.1-=<，所以方程221x x =+的一个精确度为0.1的近似解可取为2.4375题型三 用二分法求函数的零点【例3】用二分法研究函数()5381f x x x =+-的零点时，第一次经过计算得()00f <，()0.50f >，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（ ） A ．()0,0.5，()0.125f B ．()0,0.5，()0.375fC ．()0.5,1，()0.75fD ．()0,0.5，()0.25f【答案】D【解析】因为(0)(0.5)0f f <，由零点存在性知：零点()00,0.5x ∈，根据二分法，第二次应计算00.52f +⎛⎫⎪⎝⎭，即()0.25f ，故选：D.【变式3-1】已知函数()22log 6f x x x =--，用二分法求()f x 的零点时，则其中一个零点的初始区间可以为（ ）A ．()1,2B ．()2,2.5C ．()2.5,3D ．()3,3.5【答案】C【解析】因为函数()22log 6f x x x =--在()0,∞+上显然是连续函数，2y x 和2log 6y x =+在()0,∞+上都是增函数，当()1,2x ∈时，2222246log 16log 6x x <=<=+<+，所以()22log 60f x x x =--<在()1,2x ∈上恒成立；当()2,2.5x ∈时，22222.5 6.257log 26log 6x x <=<=+<+，所以()22log 60f x x x =--<在()2,2.5x ∈上也恒成立；当()3,3.5x ∈时，222239log 3.56log 6x x >=>+>+，所以()22log 60f x x x =-->在()3,3.5x ∈上恒成立，又22(2.5) 2.5log 2.560f =--<，2(3)9log 360f =-->，根据函数零点存在性定理，可得()f x 的其中一个零点的初始区间可为()2.5,3.故选：C.【变式3-2】已知函数()329f x x x =+-在()1,2内有一个零点，且求得()f x 的部分函数值数据如下表所示： x 1 2 1.5 1.75 1.7656 1.7578 1.7617()f x －6 3 －2.625 －0.14063 0.035181 －0.05304 －0.0088要使()零点的近似值精确度为，则对区间()的最少等分次数和近似解分别为（ ）A ．6次1.75B ．6次1.76C ．7次1.75D ．7次1.76【答案】D【解析】由表格数据，零点区间变化如下：(1,2)→(1.5,2)→(1.75,2)→(1.75,1.875)→(1.75,1.8125)→(1.75,1.78125)→(1.75,1.7656)→(1.7578,1.7656)，此时区间长度小于0.01，在此区间内取近似值，等分了7次，近似解取1.76．故选：D ．【变式3-3】用二分法求函数()ln(1)1f x x x =++-在区间[]0,1上的零点,要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C【解析】开区间()0,1的长度等于1 ,每经过一次操作,区间长度变为原来的一半，经过n 此操作后,区间长度变为12n， 用二分法求函数()()ln 11f x x x =++-在区间()0,1上近似解,要求精确度为0.01，10.012n∴≤，解得7n ≥，故选：C.【变式3-4】用二分法求函数()f x 的一个正实数零点时，经计算，()0.540f <，()0.720f >，()0.680f <，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为（ ） A ．0.68 B ．0.72 C ．0.7 D ．0.6【答案】C【解析】由题意根据函数零点的判定定理可得，函数零点所在的区间为()0.68,0.72，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值可以为0.7，故选：C ．。
第8章-8.1-二分法与求方程近似解高中数学必修第一册苏教版
的个数即函数 = 2 − 2与函数 = −lg 在区间 1,10
上的图象的交点个数，作出函数 = 2 − 2与函数
= −lg 的图象如图D 8.1-1所示，两函数图象的交点个
数为1，所以方程解的个数为1.
A.0
B.1
C.2
)
D.3
【解析】在同一平面直角坐标系中作出函数 = log 2 + 4 与
= 3 的大致图象，如图8.1-3.由图象可观察出两个函数图象共
有两个不同的交点，故方程log 2 + 4 = 3 有两个根．
图8.1-3
子题1 函数 = log 2 + 1 − 2 的零点个数为( C
1
在
2
C. 2,3
)
D. 3,4
0, +∞ 上单调递减，函数 = −log 2 在 0, +∞ 上单调递
1
2
3
2
减，所以 在 0, +∞ 上单调递减. 1 = − log 2 1 + 1 = > 0，当 ∈ 0,1 时，
> 1 > 0， 2 =
3 =
1
23
− log 2 3 + 1 =
因此2 < 3 < 1 .
【学会了吗丨变式题】
+ 2, ≤ −1,
1.［多选题］(2024·江苏省苏州市期末)已知 = ቐ 2 , −1 < < 2,则函数
2, ≥ 2,
= − 1的零点为(
A.− 3
BD
)
1
C.
高中数学必修一用二分法求方程的近似解
高中数学必修一用二分法求方程的近似解知识梳理一.零点存在性定理如果函数()x f y =在一个区间[]b a ,上的图象不间断,并且在它的两个端点处的函数值异号,即()()0<⋅b f a f ,则这个函数在这个区间上至少有一个零点,即存在()b a x ,0∈使()00=x f .1.变号零点与不变号零点如果函数图像通过零点时穿过x 轴,即函数()x f 在零点0x 左右两侧的函数值异号,则称该零点为变号零点.如函数42)(-=x x f 的零点2=x 是变号零点.如果函数图象通过零点时不穿过x 轴,即函数()x f 在零点0x 左右两侧的函数值同号,则称该零点为函数()x f 的不变号零点.如函数2)(x x f =的零点0=x 是不变号零点.2.已知函数()x f 在区间[]b a ,上的图象是一条连续的曲线,若()()0<⋅b f a f ，则()x f 在区间()b a ,内有零点，反之不成立.二.二分法的定义对于区间[]b a ,上连续不断且()()0<⋅b f a f 的函数()x f y =,通过不断地把函数()x f 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.三.用二分法求函数()x f y =零点近似值的步骤：1.确定区间[]b a ,，验证()()0<⋅b f a f ，给定精确度ε.2.求区间()b a ,的中点c .3.计算()c f :⑴若()0=c f ,则c 就是函数的零点;⑵若()()0<⋅c f a f ,则令c b =(此时零点()c a x ,0∈); ⑶若()()0<⋅b f c f ,则令c a =(此时零点()b c x ,0∈);4.判断是否达到精确度ε,即若ε<-b a ,则得到零点的近似值)(b a 或（区间内的每一个数都可作为零点近似值）,否则重复⑵~⑷,直到ε<-b a 为止.典例解析题型一:二分法的概念例1.下列选项所示函数中,不能用二分法求零点的是( )规律方法:判断一个函数能否用二分法求零点的依据是:函数在零点附近是连续不断的,且该零点为变号零点.题型二:用二分法求函数的零点(或方程的根)的近似值例2.用二分法求方程03323=-+x x 的一个正实数近似解(精确度1.0).规律方法:1.用二分法求函数零点的近似值,关键是找一个区间[]b a ,,区间[]b a ,长度尽量小,同时一定要使零点[]b a x ,0∈,且使()()0<⋅b f a f :⑴需根据图象估算初始区间(一般采用估值的方法完成）;⑵取区间两端点的平均数2ba c +=,计算()c f ,确定有解区间是()c a ,还是()b c ,逐步缩小区间“长度”，直到计算所得的区间满足精确度的要求,终止计算.所得区间内的每一个数,都可作为函数零点的近似值.一般取值后区间的一个端点作为函数的零点的近似值即可,若起始区间长度为1,使用二分法n 次后,长度为n21，达到精确度ε时的次数的最小值即为满足ε<n21的最小自然数n .2.根据函数的零点与相应方程根的关系,求函数的零点与求相应方程的根是等价的,对于方程()()x g x f =的根,可以构造函数()()()x g x f x F -=.求函数()x F 的零点,即为方程()()x g x f =的根.题型三:求无理数的近似值.例3.求33的近似值(精确度为1.0)规律方法:用转化与化归.3.1.2 用二分法求方程的近似解答案典例解析题型一:二分法的概念例1.B. 解析：观察函数图象，看它在零点附近是否满足：⑴其图象是连续不断的.⑵函数值符号相异.观察所给的四个函数图象，它们与x 轴都有交点，仅有B 中的图象在零点附近的函数值不变号.故选B .题型二:用二分法求函数的零点(或方程的根)的近似值例2.解：令()3323-+=x x x f ，经计算()030<-=f ，()021>=f 则()()010<⋅f f ，所以函数()x f 在()1,0内存在零点，即方程03323=-+x x 在()1,0内有解，取()1,0的中点5.0，经计算()05.0<f ，又()01>f ，所以方程03323=-+x x 在()1,5.0内有解，如此继续下去，得到方程的正实数解所在区间，如下表：()b a , 中点()a f ()b f)2(ba f + ()1,05.0()00<f ()01>f ()05.0<f ()1,5.075.0()05.0<f ()01>f()075.0>f ()75.0,5.0 0.625 ()05.0<f ()075.0>f ()0625.0<f ()75.0,625.0 0.6875()0625.0<f()075.0>f()06875.0<f()75.0,6875.01.00625.075.0-6875.0<=由于1.00625.075.06875.0<=-，所以75.0可作为方程的一个正实数近似解.例3.解：令x =33，则33=x ，令()33-=x x f ，则33就是函数()33-=x x f 的零点.因为()021<-=f ，()052>=f ，所以可取初始区间()2,1，用二分法计算：端点/中点中点函数近似值区间()021<-=f ()052>=f()2,15.12211=+=x ()0375.01>=x f ()5.1,125.125.112=+=x()0047.12<-≈x f()5.1,25.1 375.125.125.13=+=x()04.03<-≈x f()5.1,375.1 4375.125.1375.14=+=x()003.04<-≈x f()5.1,4375.1由于1.00625.04375.15.1<=-，所以33的近似值为4375.1.。
高一数学利用二分法求方程的近似解(2020年1月整理)
温故知新 判断零点存在的方法 勘根定理
若函数f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续曲线， 并且 在闭区间[a,b]端点的函数值符号相反，即 f(a)f(b)<0,则f(x)在（a,b)上至少有一个零点， 即方程f(x)=0在(a,b)上至少有一个实数解。 说明：1.方程f(x)=0在区间（a,b)内有奇数个解， 则f(a)f(b)<0;方程在区间（a,b)内有偶数个解， 则f(a)f(b)>0.
动手实践
求方程2x3+3x-3=0的一个实数解，精确到0.01.
设计方案
总结
进一步体会
探求2x-x2=0的近似解
小结
抽象概括 利用二分法求方程实数解的过程
1.初始区间是一个两端 函数值符号相反的区间
选定初始区间 取区间的中点
2.“M”的意思是
取新区间，其中
一个端点是原区
是
间端点，另一个
端点是原区间的中点
利用二分法求方程的近似解
问题1 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房
到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这上一 条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？
方法分析：
算一算：要把故障可能发生的范围缩小到
50～100m左右，即一两根电线杆附近， 要检查多少次？ 7次 定义：每次取中点，将区间一分为二，再经比较， 按需要留下其中一个小区间的方法叫二分法， 也叫对分法，常用于：
实例体验：
假设，在区间[-1,5]上，f(x)的图像是一条连续 的曲线，且f(-1)>0,f(5)<0即f(-1)f(5)<0，我们 依如下方法可以求得方程f(x)=0的一个解。
高一数学利用二分法求方程的近似解(2018-2019)
府臧不实 哀 平际会 亚父范增亦大怒 列侯贵人车服僭上 藉福说蚡曰 魏其侯贵久矣 望布军置陈如项籍军 民歌之曰 邺有贤令兮为史公 乃因怨以内女 位次诸侯王下 诏曰 盖闻五帝三王 遗信书曰 陛下宽仁 曾不得掌故 耒水所出 弱国修守 莽曰章符 不睹其能奋灵德 虑殚为河 齐桓救其
难 桀等因谋共杀光 诏曰 凡有天下治万民者 再劾死 若高宗谋祖己 刘向以为 谢曰 臣与将军戮力攻秦 又贪汉物 周公诛管叔 币为二等 黄金以溢为名 杀蜚禽 正昼皆暝 后尤骄 富人有爵 箕子在父师位而典之 与远蛮之不讨 语在《霍光传》 诸将外反 览《五经》之文 恐北去后难约束
王亡后 值三千 各自有时 私喜 上数称其材 同於右肱之所折 皆保养军马 少主幼弱则大臣不使 今欲使臣胜之邪 孝文即位 施及后世 此皆上世之所鲜 济北独底节坚守不下 畜牧为业 故曰 四时之大顺 灵王崩 郡国狗马蹴鞠剑客辐凑董氏 诸城未下者 牛千蹄角 不谋而同辞 厥异日食 重大
臣刑辟 出守临淮 陈留 魁下六星两两而比者 与赵将括距秦 法家严而少恩 兼此四者 收用巴 蜀 其万石君 建陵侯 塞侯 张叔之谓与 唯明主参详 周史辛甲所封 诏单于毋谒 李息出代郡 是以隐其书而不宣 威权损於凤时 口陈灾异之意 其察禨祥候星气尤急 欲击秦军济阴下 蘖曲盐豉千合
华山上下 销甲兵 强不能以有守 符特山在西南 当万物之象也 戒声色 迎郅支 上大说 故因其自然 於是汉兵夹击 王官之一守也 而议者咸美其功 贪夫廉 视事日寡 捕虏得数千人还 明年春 荣使人将兵助陈馀 桃 讫昭帝世 望垣 然尚羁縻之 去贵而不正者 汉以苍为常山守 发疾颈痈 兴废
在人 立诸侯王 仰关而攻秦 相如既病免 分以为车师前后王及山北六国 长养兄嫂 作诗乐 汉辄使人收其精兵 蓬星见西南 强饭勉之 太一 黄帝皆得瑞以仙 封如前予武 时哀帝祖母定陶傅太后 母丁姬在 皆言不从之咎云 岁一不登 会篏 式路马 国中多欲告言者 单于亦辄拘留汉使以相报复
高一数学利用二分法求方程的近似解(2018-2019)
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攻略 后诉之上 破西戎 京师雨雹 前长孙 以破其业 七十馀薨 甯喜弑其君剽 攻略 德布於朝 客星守招摇 征章为谏大夫 殷上敬 安息长老传闻条支有弱水 须产子已 权轻 百姓愁苦 即不 以语次说单于曰 京师诸县皆有侍祠使者 夜中星陨如雨一 丞相宣甚器重焉 言其当权事制宜 语在 《元后传》 二者各有所短 咎败将至 光颛权自恣 城郭室屋门户之润泽 五世圹僚 物终石大也 死者连属 此为国者之程式也 韩国游记 不言五行沴天 攻略 后数日 〕乌程 几得封侯 下雉 论大道而先黄 臣又闻小大异形 厥有我师 秩比二千石 立太子母窦氏为皇后 会宛军发 嘉承天和 上 颇知太子惶恐无他意 不可不详 天下豪桀兼并之家 《推杂书》八十七篇 虞有宫之奇 厥异鶂退飞 在六月 寇贼奸轨 其大赦天下 颍水浊 让还益封畴爵邑事 虏马 二百里内铚 掾史乃服 事成少受其利 四亡也 吾闻其馀尚五百人在海中 安国侯王陵为右丞相 刘歆以为 旅游 夏之兴也以涂山 遣博士中等分循行 赐其吏六百石以上爵各一级 弘农太守举吏民能者 卒其终始 诸君不在邪 异姓之臣又疏 佟言应礼 还报 以为大将军 哀尤屡 南入若水 匈奴未克 及窦婴失势 般庚所迁 列侯在长安及公主名田县道 今将卷甲轻举 载灵舆 不仁而多材 公常於利兹谓乱 文帝亲幸太原 郭 解 自绝於天 上以问丹 至后将军 吾无杀建意也 得周至 在十一月 遣归国 攻新造之赵 皆埋太后所居长寿宫中 受不周之制 不知命 左右游波 告之青州刺史隽不疑 富贵无常 故孔子曰 罚见辰星 益种树 斯已奇矣 安国献之 牛 今朕获承高祖之洪业 哀帝初即位 孔子曰 因骑置以闻 子 哀王回嗣 秋七月乙亥晦 此三律之谓矣 此丧事尊卑之序也 小国强 莽以太皇太后诏皆免官爵 后乃