用二分法求方程的近似解-经典例题及答案

例1：利用计算器，求方程0122
=--x x 的一个近似解（精确到0.1）．
【解】设2()21f x x x =--，
先画出函数图象的简图.
(如右图所示)
因为 (2)10,(3)20f f =-<=>，
所以在区间(2,3)内，方程2210x x --=有一解，记为1x .取2与3的平均数2.5，因为
(2.5)0.250f =>，
所以 12 2.5x <<.
再取2与2.5的平均数2.25，因为(2.25)0.43750f =-<，
所以 12.25 2.5x <<.
如此继续下去，得
1(2)0,(3)0(2,3)f f x <>⇒∈1(2)0,(2.5)0(2,2.5)
f f x <>⇒∈1(2.25)0,(2.5)0(2.25,2.5)f f x <>⇒∈1(2.375)0,(2.5)0(2.375,2.5)
f f x <>⇒∈1(2.375)0,(2.4375)0(2.375,f f x <>⇒∈ 2.4375)，因为2.375与2.4375精确到0.1的
近似值都为2.4，所以此方程的近似解为
1 2.4x ≈.
利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解.
点评:①第一步确定零点所在的大致区间),(b a ，可利用函数性质，也可借助计算机或计算器，
但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间； 零点所在区间 区间中点函数值 区间长度
]3,2[ 0)5.2(>f 1
]5.2,2[ 0)25.2(<f 0.5
]5.2,25.2[ 0)375.2(<f 0.25
]
5.2,375.2[ 0)4375.2(>f
0.125 如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步．
例2：利用计算器，求方程x x -=3lg 的近似解（精确到0.1）．
分析：分别画函数lg y x =和3y x =-
的图象，在两个函
数图象的交点处，函数值相等．因此，这个程x x -=3lg 的解．由函数lg y x =与
点的横坐标就是方
3y x =-的图象可以发现，
方程x x -=3lg 有惟一解，记为1x ，并且这个解在区间(2,3)内. 【解】设()lg 3f x x x =+-，利用计算器计算得
1(2)0,(3)0(2,3)f f x <>⇒∈1(2.5)0,(3)0(2.5,3)
f f x <>⇒∈1(2.5)0,(2.75)0(2.5,2.75)f f x <>⇒∈1(2.5)0,(2.625)0(2.5,2.625)
f f x <>⇒∈(2.5625)0,(2.625)0f f <>1x ⇒∈(2.5625,2.625)
因为2.5625与2.625精确到0.1的近似值都为2.6，所以此方程的近似解为
1 2.6x ≈.
思考:发现计算的结果约稳定在2.58717.这实际上是求方程近似解的另一种方法——迭代
法．
除了二分法、迭代法，求方程近似解的方法还有牛顿切线法、弦切法等．
例3：利用计算器，求方程24x x +=的近似解（精确到0.1）．
【解】方程24x x +=
可以化为24x
x =-．
分别画函数2x y =
与4y x =-的图象，由图象可以知道，方程24x x +=的解在区间(1,2)内，那么对于区间(1,2)，利用二分法就可以求得它的近似解为 1.4x ≈.
追踪训练一
1. 设0x 是方程ln 4x x =-+的解，则0x 所在的区间为 （ B ）
A ．(3,4)
B ．(2,3)
C ．(1,2)
D ．(0,1)
2. 估算方程25710x x --=的正根所在的区间是 （ B ）
A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ．(2,3)
D ．(3,4)
3．计算器求得方程25710x x --=的负根所在的区间是（ A ）
A ．（1-，0）
B ．()2,1--
C ．()2.5,2--
D ．()3, 2.5--
4.利用计算器,求下列方程的近似解(精确到0.1)
(1)lg 21x x =-+ (2)34x
x =+
答案: (1)0.8(2)1 3.9x ≈-,2 1.6x ≈ 一、含字母系数的二次函数问题
例4：二次函数2()f x px qx r =++中实数p 、q 、r 满足021p q r m m m
++=++，其中0m >，求证：
（1）()01
m pf m <+)； （2）方程()0f x =在(0,1)内恒有解． 分析：本题的巧妙之处在于，第一小题提供了有益的依据：1
m m +是区间(0,1) 内的数，且()01m pf m <+，这就启发我们把区间(0,1) 划分为(0，1m m +)和（1
m m +，1）来处理． 【解】（1）
2()[()()]111
m m m pf p p q r m m m =+++++ 2[](1)1pm q r pm m m m
=++++ 2[](1)2
pm p pm m m =-++222(2)(1)[](1)(2)m m m p m m m +-+=++ 22(1)(2)
p m m m =-++， 由于()f x 是二次函数,故0p ≠，又0m >，所以，(
)01
m pf m <+． ⑵ 由题意，得(0)f r =, (1)f p q r =++． ①当0p >时，由（1）知(
)01m f m <+ 若0r >，则(0)0f >，又()01m f m <+, 所以()f x 在（0，1m m +）内有解． 若0r ≤，则(1)f p q r =++=(1)p m ++
()2p r r m m =--++=02p r m m ->+，又()01m f m <+，所以()0f x =在（1
m m +,1）内有解．
②当0p <时同理可证．
点评：（1）题目点明是“二次函数”，这就暗示着二次项系数0p ≠．若将题中的“二次”
两个字去掉，所证结论相应更改．
（2）对字母p 、r 分类时先对哪个分类是有一定讲究的，本题的证明中，先对p 分类，然
后对r 分类显然是比较好．
追踪训练二
1．若方程2210ax x --=在(0,1)内恰有一则实数a 的取值范围是 (B )
A ．1[,)8-+∞
B ．(1,)+∞
C ．(,1)-∞
D ．1[,1)8
-
2.方程22210x x k -+-=的两个根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则k 的取值范围是112
k <<； 3．已知函数()24f x mx =+，在[2,1]-上存在0x ，使0()0f x =，则实数m 的取值范围是
____12m m ≥≤-或_____________．
4．已知函数()3f x x x =+
⑴试求函数()y f x =的零点；
⑵是否存在自然数n ，使()1000f n =？若存在，求出n ，若不存在，请说明理由．
答案：（1）函数()y f x =的零点为0x =；
（2）计算得(9)738f =，(10)1010f =，
由函数的单调性，可知不存在自然数n ，使()1000f n =成立．。