用二分法求方程的近似解-经典例题及答案上课讲义
用二分法求方程的近似解-经典例题及答案
例1：利用估计器，供圆程0122=--x x 的一个近似解（透彻到0.1）．之阳早格格创做【解】设2()21f x x x =--， 先绘出函数图象的简图.(如左图所示) 果为(2)10,(3)20f f =-<=>， 所以正在区间(2,3)内，圆程2210x x --=有一解，记为1x .与2与3的仄衡数2.5，果为(2.5)0.250f =>， 所以 12 2.5x <<. 再与2与2.5的仄衡数2.25，果为(2.25)0.43750f =-<，所以 12.25 2.5x <<. 如许继承下去，得1(2)0,(3)0(2,3)f f x <>⇒∈1(2)0,(2.5)0(2,2.5)f f x <>⇒∈1(2.25)0,(2.5)0(2.25,2.5)f f x <>⇒∈1(2.375)0,(2.5)0(2.375,2.5)f f x <>⇒∈1(2.375)0,(2.4375)0(2.375,f f x <>⇒∈ 2.4375)，果为2.375与2.4375透彻到0.1的近似值皆为2.4，所以此圆程的近似解为 1 2.4x ≈. 利用共样的要领，还不妨供出圆程的另一个近似解. 面评:①第一步决定整面地圆的大概区间),(b a ，可利用函数本量，也可借帮估计机或者估计器，但是尽管与端面为整数的区间，尽管收缩区间少度，常常可决定一个少度为1的区间； 整面地圆区间 区间中面函数值 区间少度]3,2[ 0)5.2(>f1 ]5.2,2[0)25.2(<f ]5.2,25.2[0)375.2(<f ]5.2,375.2[ 0)4375.2(>f如许列表的劣势：估计步数透彻，区间少度小于粗度时，即为估计的末尾一步．例2：利用估计器，供圆程x x -=3lg 的近似解（透彻到0.1）．分解：分别绘函数lg y x =战3y x =-的图象，正在二个函数图象的接面处，函数值相等．果此，那个面的横坐标便是圆程x x -=3lg 的解．由函数lg y x =与3y x =-的图象不妨创造，圆程x x -=3lg 有惟一解，记为1x ，而且那个解正在区间(2,3)内.【解】设()lg 3f x x x =+-，利用估计器估计得果为2.5625与2.625透彻到0.1的近似值皆为2.6，所以此圆程的近似解为1 2.6x ≈.思索:创造估计的截止约宁静正在2.58717.那本量上是供圆程近似解的另一种要领——迭代法．除了二分法、迭代法，供圆程近似解的要领另有牛顿切线法、弦切法等．例3：利用估计器，供圆程24x x +=的近似解（透彻到0.1）．【解】圆程24x x +=不妨化为24x x =-．分别绘函数2x y =与4y x =-的图象，由图象不妨了解，圆程24x x +=的解正在区间(1,2)内，那么对付于区间(1,2)，利用二分法便不妨供得它的近似解为 1.4x ≈.逃踪锻炼一1. 设0x 是圆程ln 4x x =-+的解，则0x 地圆的区间为（ B ）A ．(3,4)B ．(2,3)C ．(1,2)D ．(0,1)25710x x --=的正根地圆的区间是 （ B ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)3．估计器供得圆程25710x x --=的背根地圆的区间是（ A ）A ．（1-，0）B ．()2,1--C ．()2.5,2--D ．()3, 2.5--4.利用估计器,供下列圆程的近似解(透彻到0.1)(1)lg 21x x =-+ (2)34x x =+问案: (1)0.8(2)1 3.9x ≈-,2 1.6x ≈一、含字母系数的二次函数问题例4：二次函数2()f x px qx r =++中真数p 、q 、r 谦脚021p q r m m m++=++，其中0m >，供证： （1）()01m pf m <+)； （2）圆程()0f x =正在(0,1)内恒有解．分解：原题的巧妙之处正在于，第一小题提供了有益的依据：1m m +是区间(0,1)内的数，且()01m pf m <+，那便开收咱们把区间(0,1)区分为(0，1m m +)战（1m m +，1）去处理． 【解】（1）22(1)(2)p m m m =-++， 由于()f x 是二次函数,故0p ≠，又0m >，所以，()01m pf m <+． ⑵ 由题意，得(0)f r =,(1)f p q r =++．①当0p >时，由（1）知()01m f m <+若0r >，则(0)0f >，又()01m f m <+, 所以()f x 正在（0，1m m +）内有解． 若0r ≤，则(1)f p q r =++=(1)p m ++ ()2p r r m m =--++=02p r m m ->+，又()01m f m <+，所以()0f x =正在（1m m +,1）内有解． ②当0p <时共理可证．面评：（1）题目面明是“二次函数”，那便表示着二次项系数0p ≠．若将题中的“二次”二个字去掉，所证论断相映变动．（2）对付字母p 、r 分类时先对付哪个分类是有一定道究的，原题的道明中，先对付p 分类，而后对付r 分类隐然是比较佳． 逃踪锻炼二1．若圆程2210ax x --=正在(0,1)内恰有一则真数a 的与值范畴是(B )A ．1[,)8-+∞B ．(1,)+∞ C ．(,1)-∞D ．1[,1)8- 22210x x k -+-=的二个根分别正在区间(0,1)战(1,2)内，则k 的与值范畴是112k <<； 3．已知函数()24f x mx =+，正在[2,1]-上存留0x ，使0()0f x =，则真数m 的与值范畴是____12m m ≥≤-或_____________．4．已知函数()3f x x x =+⑴试供函数()y f x =的整面；⑵是可存留自然数n ，使()1000f n =？若存留，供出n ，若没有存留，请道明缘由．问案：（1）函数()y f x =的整面为0x =；（2）估计得(9)738f =，(10)1010f =， 由函数的单调性，可知没有存留自然数n ，使()1000f n =创造．。
第二讲 用二分法求方程的近似解(基础训练)(解析版)
第二讲用二分法求方程的近似解一、选择题1．下面关于二分法的叙述中，正确的是()A．用二分法可求所有函数零点的近似值B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成D．只能用二分法求函数的零点【解析】用二分法求函数零点的近似值，需要有端点函数值符号相反的区间，故选项A 错误；二分法是一种程序化的运算，故可以在计算机上完成，故选项C错误；求函数零点的方法还有方程法、函数图象法等，故D错误．故选B.【答案】B2．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，则方程的根落在区间()A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)C．(1.5,2) D．不能确定【解析】∵f(1.5)·f(1.25)＜0，由零点存在性定理知方程的根落在区间(1.25,1.5)内．故选B.【答案】 B3．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程x 3＋x 2－2x －2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是( ) A ．1.25 B ．1.375 C ．1.42D ．1.5【解析】 由表格可得，函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的零点在(1.437 5,1.406 25)之间．结合选项可知，方程x 3＋x 2－2x －2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是1.42.故选C.【答案】 C4．下列函数中，有零点但不能用二分法求零点近似解的是( )①y ＝3x 2－2x ＋5；②y ＝⎩⎨⎧－x ＋1，x ≥0，x ＋1，x <0；③y ＝2x ＋1；④y ＝x 3－2x ＋3；⑤y ＝12x 2＋4x ＋8.A ．①②③B ．⑤C ．①⑤D ．①④【解析】 ⑤中y ＝12x 2＋4x ＋8，Δ＝0，不满足二分法求函数零点的条件．故选B . 【答案】 B5．在用“二分法”求函数f (x )零点近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是( )A ．[1,4]B ．[－2,1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，52 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 【解析】 ∵第一次所取的区间是[－2,4]，∴第二次所取的区间可能为[－2,1]，[1,4]，∴第三次所取的区间可能为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52，⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，4.【答案】 D 二、填空题6．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2,4)上的实数根时，取中点x1＝3，则下一个有根区间是________．【解析】设函数f(x)＝x3－2x－5.∵f(2)＝－1＜0，f(3)＝16＞0，f(4)＝51＞0，∴下一个有根区间是(2,3)．【答案】(2,3)7．用二分法研究函数f(x)＝x2＋3x－1的零点时，第一次经过计算f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________.【解析】∵f(0)·f(0.5)<0，∴x0∈(0,0.5)，取该区间的中点0.52＝0.25.∴第二次应计算f(0.25)．【答案】(0,0.5)f(0.25)8．某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解(精确度为0.1)”时，设f(x)＝lg x＋x－2，算得f(1)<0，f(2)>0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是________．【解析】第一次用二分法计算得区间(1.5,2)，第二次得区间(1.75,2)，第三次得区间(1.75,1.875)，第四次得区间(1.75,1.812 5)．【答案】 1.5,1.75,1.875,1.812 5三、解答题9．用二分法求函数f(x)＝x3－3的一个正零点．(精确度为0.01)【解】由于f(1)＝－2<0，f(2)＝5>0，因此可取区间(1,2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：∵10．用二分法求方程x2－5＝0的一个近似正解．(精确度为0.1)【解】令f(x)＝x2－5，因为f(2.2)＝－0.16<0，f(2.4)＝0.76>0，所以f(2.2)·f(2.4)<0，即这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0，取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，f(2.3)＝0.29，因为f(2.2)·f(2.3)<0，所以x0∈(2.2,2.3)，再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，f(2.25)＝0.062 5，因为f(2.2)·f(2.25)<0，所以x0∈(2.2,2.25)，由于|2.25－2.2|＝0.05<0.1，所以原方程的近似正解可取为2.25.[能力提升]1．在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为()A．0.68B．0.72C．0.7D．0.6【解析】已知f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64,0.72]，又0.68＝12(0.64＋0.72)，且f(0.68)＜0，所以零点在区间[0.68,0.72]，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7.因此，0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值．【答案】C2．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：【解析】f(1.562 5)＝0.003>0，f(1.556 2)＝－0.029<0，方程3x－x－4＝0的一个近似解在(1.556 2，1.562 5)上，且满足精确度为0.01，所以所求近似解可取为1.562 5.【答案】 1.562 53．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________.【解析】∵函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法，∴函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴相切，∴Δ＝a2－4b＝0，∴a2＝4b.【答案】a2＝4b4．已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，证明a>0，并利用二分法证明方程f(x)＝0在区间[0,1]内有两个实根．【证明】∵f(1)>0，∴3a＋2b＋c>0，即3(a＋b＋c)－b－2c>0.∵a＋b＋c＝0，∴－b－2c>0，则－b－c>c，即a>c.∵f (0)>0，∴c >0，则a >0. 在区间[0,1]内选取二等分点12， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34a ＋b ＋c ＝34a ＋(－a )＝－14a <0.∵f (0)>0，f (1)>0，∴函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上各有一个零点． 又f (x )最多有两个零点，从而f (x )＝0在[0,1]内有两个实根．。
用二分法求方程的近似解 15页PPT文档
而且，当精确度为0.01时，由于
2.539 02.5 63 21 502 .0507 80.0 11 2
所以我们将＝2.53125作为函数 f(x)lnx2x6
的近似根（亦可将该区间内任意一点作为其近似根）。
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通过“取中点”，不断地把函数f ( x) 的零点所在的区
在 区 间 a,b内 有 零 点 。 即 存 在 c(a,b),使 f(c)0.
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试求函 f(x)数 lnx2x6 的零 (精 点确 0.0 到 )1 。
y
4
2
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01
5
x
-2
-4
问题情境
• CCTV2“幸运52”片段 ： 主持人李咏说道:猜一猜这架家用型数
码相机的价格.观众甲:2000!李咏:高了! 观众乙:1000! 李咏:低了! 观众丙:1600! 李咏:还是低了!········ 问题１:你知道这件商品的价格在什么
1．确定区间，验证，给定精确度；
2．求区间 (a,b)
的中点
x1
a
b 2
；
3．计算 f ( x 1 )
（1）若 f(x1)0，则
x 1 就是函数的零点，计算终止；
（2）若 f(a)f(x1)0，则令b x1（此时零点x0(a,x1)）
（3）若 f(x1)f(b)0则令 a （x1 此时点x0(x1,b)）
-0.084 0.512 0.215 0.066 -0.009 0.029 0.010
我们发 (2,3现 )(： 2.5,3)(2.5,2.75 ) (2.5,2.62)5(2.5,2.562) 5(2.531,22.5562) 5 (2.531,22.5546)87(2.531,22.55390)62
用二分法求方程的近似解-经典例题及答案
例1：利用计算器，求方程0122=--x x 的一个近似解（精确到0.1）．【解】设2()21f x x x =--，先画出函数图象的简图.(如右图所示)因为 (2)10,(3)20f f =-<=>，所以在区间(2,3)内，方程2210x x --=有一解，记为1x .取2与3的平均数2.5，因为(2.5)0.250f =>，所以 12 2.5x <<.再取2与2.5的平均数2.25，因为(2.25)0.43750f =-<，所以 12.25 2.5x <<.如此继续下去，得1(2)0,(3)0(2,3)f f x <>⇒∈1(2)0,(2.5)0(2,2.5)f f x <>⇒∈1(2.25)0,(2.5)0(2.25,2.5)f f x <>⇒∈1(2.375)0,(2.5)0(2.375,2.5)f f x <>⇒∈1(2.375)0,(2.4375)0(2.375,f f x <>⇒∈ 2.4375)，因为2.375与2.4375精确到0.1的近似值都为2.4，所以此方程的近似解为1 2.4x ≈.利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解.点评:①第一步确定零点所在的大致区间),(b a ，可利用函数性质，也可借助计算机或计算器，但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间； 零点所在区间 区间中点函数值 区间长度]3,2[ 0)5.2(>f 1]5.2,2[ 0)25.2(<f 0.5]5.2,25.2[ 0)375.2(<f 0.25]5.2,375.2[ 0)4375.2(>f0.125 如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步．例2：利用计算器，求方程x x -=3lg 的近似解（精确到0.1）．分析：分别画函数lg y x =和3y x =-的图象，在两个函数图象的交点处，函数值相等．因此，这个程x x -=3lg 的解．由函数lg y x =与点的横坐标就是方3y x =-的图象可以发现，方程x x -=3lg 有惟一解，记为1x ，并且这个解在区间(2,3)内. 【解】设()lg 3f x x x =+-，利用计算器计算得1(2)0,(3)0(2,3)f f x <>⇒∈1(2.5)0,(3)0(2.5,3)f f x <>⇒∈1(2.5)0,(2.75)0(2.5,2.75)f f x <>⇒∈1(2.5)0,(2.625)0(2.5,2.625)f f x <>⇒∈(2.5625)0,(2.625)0f f <>1x ⇒∈(2.5625,2.625)因为2.5625与2.625精确到0.1的近似值都为2.6，所以此方程的近似解为1 2.6x ≈.思考:发现计算的结果约稳定在2.58717.这实际上是求方程近似解的另一种方法——迭代法．除了二分法、迭代法，求方程近似解的方法还有牛顿切线法、弦切法等．例3：利用计算器，求方程24x x +=的近似解（精确到0.1）．【解】方程24x x +=可以化为24xx =-．分别画函数2x y =与4y x =-的图象，由图象可以知道，方程24x x +=的解在区间(1,2)内，那么对于区间(1,2)，利用二分法就可以求得它的近似解为 1.4x ≈.追踪训练一1. 设0x 是方程ln 4x x =-+的解，则0x 所在的区间为 （ B ）A ．(3,4)B ．(2,3)C ．(1,2)D ．(0,1)2. 估算方程25710x x --=的正根所在的区间是 （ B ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)3．计算器求得方程25710x x --=的负根所在的区间是（ A ）A ．（1-，0）B ．()2,1--C ．()2.5,2--D ．()3, 2.5--4.利用计算器,求下列方程的近似解(精确到0.1)(1)lg 21x x =-+ (2)34xx =+答案: (1)0.8(2)1 3.9x ≈-,2 1.6x ≈ 一、含字母系数的二次函数问题例4：二次函数2()f x px qx r =++中实数p 、q 、r 满足021p q r m m m++=++，其中0m >，求证：（1）()01m pf m <+)； （2）方程()0f x =在(0,1)内恒有解． 分析：本题的巧妙之处在于，第一小题提供了有益的依据：1m m +是区间(0,1) 内的数，且()01m pf m <+，这就启发我们把区间(0,1) 划分为(0，1m m +)和（1m m +，1）来处理． 【解】（1）2()[()()]111m m m pf p p q r m m m =+++++ 2[](1)1pm q r pm m m m=++++ 2[](1)2pm p pm m m =-++222(2)(1)[](1)(2)m m m p m m m +-+=++ 22(1)(2)p m m m =-++， 由于()f x 是二次函数,故0p ≠，又0m >，所以，()01m pf m <+． ⑵ 由题意，得(0)f r =, (1)f p q r =++． ①当0p >时，由（1）知()01m f m <+ 若0r >，则(0)0f >，又()01m f m <+, 所以()f x 在（0，1m m +）内有解． 若0r ≤，则(1)f p q r =++=(1)p m ++()2p r r m m =--++=02p r m m ->+，又()01m f m <+，所以()0f x =在（1m m +,1）内有解．②当0p <时同理可证．点评：（1）题目点明是“二次函数”，这就暗示着二次项系数0p ≠．若将题中的“二次”两个字去掉，所证结论相应更改．（2）对字母p 、r 分类时先对哪个分类是有一定讲究的，本题的证明中，先对p 分类，然后对r 分类显然是比较好．追踪训练二1．若方程2210ax x --=在(0,1)内恰有一则实数a 的取值范围是 (B )A ．1[,)8-+∞B ．(1,)+∞C ．(,1)-∞D ．1[,1)8-2.方程22210x x k -+-=的两个根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则k 的取值范围是112k <<； 3．已知函数()24f x mx =+，在[2,1]-上存在0x ，使0()0f x =，则实数m 的取值范围是____12m m ≥≤-或_____________．4．已知函数()3f x x x =+⑴试求函数()y f x =的零点；⑵是否存在自然数n ，使()1000f n =？若存在，求出n ，若不存在，请说明理由．答案：（1）函数()y f x =的零点为0x =；（2）计算得(9)738f =，(10)1010f =，由函数的单调性，可知不存在自然数n ，使()1000f n =成立．。
3.1.2 用二分法求方程的近似解--讲义练习及答案
3.1.2 用二分法求方程的近似解1.A 方程322360x x x -+-=在区间[2,4]-上的根必定在( ) A ．[2,1]-内B ．5[,4]2内C ．7[1,]4内 D ．75[,]42内 2.A 已知函数3()28f x x x =+-的零点用二分法计算，附近的函数值参考数据如下表所示：则方程3280x x +-=的近似解可取为(精确度为0.1)( ) A ．1.50 B ．1.66C ．1.70D ．1.752()2(0)f x x x =->，我们知道f (1)·f (2)<0(1,2)的近似值满足精确度为0.1，则对区间(1，2)二等分的次数至少为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6新知新讲1.B 已知函数3()log 26f x x x =+-证明：（1）在定义域内只有唯一的一个零点； （2）试求出一个零点所在的长度不大于14的区间.2.A 如图所示的函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是______.3.B某电器公司生产A种型号的家庭电脑，2010年平均每台电脑的生产成本为5000元，并按纯利润为20%标定出厂价.2011年开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行股份制，从而使生产逐年降低，2014年平均每台A种型号的家庭电脑尽管出厂价仅是2010年的80%，但却实现了纯利润50%.(1)求2014年每台电脑的生产成本；(2)以2010年的生产成本为基数，用二分法求2010年-2014年间平均每年生产成本降低的百分率（精确度0.01）.1.B已知函数f(x)=13x3-x2-3x+9.(1)求函数f(x)的一个负实数零点(精确到0.1);(2)解不等式13x3-x2-3x+9≤0.3.1.2 用二分法求方程的近似解参考答案1. D2. B3. B新知新讲1.（1）证明：因为(1)40f =-<，(3)10f =>，且3log y x =在(0,)+∞上是单调增函数，2y x =在(0,)+∞上是单调增函数，所以函数3()log 26f x x x =+-在(0,)+∞上是单调增函数，所以函数3()log 26f x x x =+-在定义域内只有唯一的一个零点.（2）因为3(2)log 220f =-<，由（1）知，零点在(2,3)之间，因为355()log 1022f =-<，所以零点在(52,3)之间，因为311111()log 0442f =->，所以零点在(52,114)之间.即零点所在的长度不大于14的区间是(52,114). 2.①③3.(1)3200元 （2）10.3125%1.(1)-3 (2){|33}x x x ≤-=或。
“用二分法求方程的近似解”典型例题与答案解析
1．方程log 3x+x=3的近似解所在区间是A （0，2）B （1，2）C （2，3）D （3，4） 2．下列函数，在指定范围内存在零点的是 A y= x 2-x x ∈(-∞ ,0) B y=∣x ∣-2 x ∈[-1,1] C y= x 5+x-5 x ∈[1,2] D y=x 3-1 x ∈( 2,3 ) 3. 方程2x +3302x -=的解在区间 A （ 0，1 ）内 B （ 1，2）内 C （2，3）内 D 以上均不对4．方程log a x=x+1 (0<a<1)的实数解的个数是 A 0个 B 1个 C 2个 D 3个5．下列图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是 （ ）AB6．证明：方程2x -230x -=的两根一个在区间（-2，-1）内，一个在（3，4）内。
[巩固提高]1．方程3640x x -=的实根个数为 （ ）A 0B 1C 2D 32．方程2310x x -+=在区间（2，3）内，根的个数为 （ ） A 0 B 1 C 2 D 不确定3．方程lnx+2x=6的解一定位于区间（ ）内 A （1，2） B （2，3） C （3，4） D （4，5）4．函数f(x)= 25x -的函数零点的近似值（精确到0.1）是（ ）A 2.0B 2.1C 2.2CDD 2.35．三次方程32210x x x +--=在下列哪些连续整数之间有根？ （ ）A –2与-1之间B –1与0之间C 0与1之间D 1与2之间E 2与3之间6．函数y=1()2x 与函数y=lg x 的图象的交点横坐标（精确到0.1）约是 （ ）A 1.3B 1.4C 1.5D 1.67．方程310x x --=在区间[1，1.5]的一个实数根（精确到0.01）为__________________8．已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间（a,b ）(b-a=0.1)上有唯一零点，如果用二分法求这个零点（精确到0.0001）的近似值，那么将区间（a,b ）等分的次数是____________ 9．求方程lnx+2x-6=0的近似解。
3.1.2用二分法求方程的近似解课件人教新课标
方法点评 用二分法求方程 f(x)=0（或g(x)=h(x)）近似解的基本 步骤: 1.寻找解所在区间 （1）图象法 先画出y = f(x)图象，视察图象与x轴的交点横坐标所 处的范围；
或画出y=g(x)和y=h(x)的图象,视察两图象的交点横坐 标的范围. （2）函数法 把方程均转换为 f(x)=0的情势，再利用函数y=f(x) 的有关性质（如单调性）来判断解所在的区间.
2.y=f(x)满足f(a)f(b)<0，则在(a,b)内必有零点.
思考：对下列图象中的函数，能否用二分法求函数零
点的近似值？为什么？ y y
o
x
o x
不行,因为不满足 f(a)*f(b)<0
1.二分法的原理 2.二分法的应用：求方程近似解
世间没有一种具有真正价值的东西，可以 不经过艰苦辛勤的劳动而得到。
列出下表：
根所在区间
区间端点函数值符号 中点值 中点函数值符号
（2，3）
f(2)<0,f(3)>0
2.5
f(2.5)<0
（2.5，3） （2.5，2.75）
f(2.5)<0，f(3)>0 2.75 f(2.5)<0，f(2.75)>0 2.625
f(2.75)>0 f(2.625)>0
（2.5，2.625）
x 0 1 23 4 5 6 7
8
f(x) -6 -2 3 10 21 40 75 142 273
因为f(1)·f(2)<0所以 f(x)= 2x+3x-7在（1，2）内
有零点x0,取（1，2）的中点x1=1.5，f(1.5)≈ 0.33，
因为f(1)·f(1.5)<0 所以x0 ∈（1，1.5） 取（1，1.5）的中点x2=1.25 ,f(1.25)= -0.87，因
20081024用二分法求方程的近似解实验中学讲义 (2)
用二分法求方程的近似解山西省教育科学研究院薛红霞问题1：昨天研究了方程的根与函数的零点的关系，请大家回忆相关内容，并指出学习了这些内容如何解决下面的问题？判断方程㏑x+2x=6有几个实根?写出它的根所在的区间?例1：已知函数f(x)=㏑x＋2x－6．函数f(x)有几个零点?指出零点所在的区间．问题2：已知方程㏑x+2x=6有1个实根，并且位于区间（2，3）内，如何缩小根所在的区间，并求出这个根的近似值呢？请你想想办法.请你用二分法计算三次，完成求近似值的任务，并用一个容易使大家看懂的形式把求解过程记录下来.规定：对于给定的精确度ε，如ε=0.01，当区间[a,b]的长度小于ε，即| b -a|<0.01时，可以停止计算，并且该区间中任意一个值都是函数零点的满足精度的近似值.求函数f(x)=lnx+2x-6在区间（2，3）内的零点（精确度0.01）.左端点函数值中点函数值右端点函数值区间长度a f(a) (a+b)/2 f((a+b)/2)b f(b) b-a2 -1.30685 2.5 -0.083713 1.098612 12.5 -0.08371 2.75 0.511601 3 1.098612 0.52.5 -0.08371 2.625 0.215081 2.75 0.511601 0.252.5 -0.08371 2.5625 0.065983 2.625 0.215081 0.1252.5 -0.08371 2.53125 -0.00879 2.5625 0.065983 0.0625 2.53125 -0.00879 2.546875 0.028617 2.5625 0.065983 0.03125 2.53125 -0.00879 2.539063 0.00992 2.546875 0.028617 0.015625 2.53125 -0.00879 2.535157 0.000568 2.539063 0.009921 0.007813注意：精确度和精确到的区别.问题 3 一般地，上述求解过程具有普适性，请你概括出应用二分法求方程近似解的一般步骤是什么？例2P90例2.用二分法求方程2 x +3x=7在区间的近似解（精确度0.1）.令f(x)=2 x +3x-7左端点函数值中点函数值右端点函数值区间长度a f(a) (a+b)/2 f((a+b)/2)b f(b) b-a1 -2 1.5 0.328427 23 11 -2 1.25 -0.87159 1.5 0.328427 0.51.25 -0.87159 1.375 -0.28132 1.5 0.328427 0.251.375 -0.28132 1.4375 0.021011 1.5 0.328427 0.1251.375 -0.28132 1.40625 -0.13078 1.4375 0.021011 0.0625练习P92习题3.1A组1题问题 4 通过这两节课的学习，你有什么收获？请从知识、技能、数学思想方法、解决问题的经验等方面谈谈你的感想．作业：P92习题3.1A组3题，B组1，2题。
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用二分法求方程的近似解-经典例题及答案
例1:利用计算器，求方程X 2 2x 1 0的一个近似解(精确到0.1) 【解】设f (x) x 2 2x 1， 先画出函数图象的简图.'i (如右
图所示) 丨 因为
；
f(2) 1 0, f (3) 2
0，
所以在区间(2,3)内，方程x 2.5，因为
f (2.5) 0.25 0，
所以 2人 2.5.
再取2与2.5的平均数2.25，因为f(2.25) 0.4375 0，
所以2.25 治 2.5. 如此继续下去，得
f(2)
0, f(3)
人(2,3) f(2) 0, f(2.5) 0 捲(2,2.5)
f(2.25) 0, f (2.5) 0 x 1 (2.25, 2.5) f (2.375)
0, f (2.5) 0
x 1 (2.375,2.5)
f (2.375)
0, f (2.4375) 0 为(2.375, 2.4375)，因为 2.375与 2.4375精确到
0.1的近似值都为2.4，所以此方程的近似解为
洛 2.4 .
利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解 .
点评：①第一步确定零点所在的大致区间(a,b)，可利用函数性质，也可借助计算 机或计算器，但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一 个长度为1的区间；
②建议列表样式如下：
零点所在 区
间
区间中点函数 值 区间长 度 [2,3] f(2.5) 0 1 [2,2.5] f (2.25) 0 0.5 [2.25,2.5] f (2.375) 0 0.25 [2.375,2.5]
f (2.4375)
0.125
如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一 步.
1 0有一解，记为x 1.取2与3的平均数
例
2:利用计算器，求方程lgx 3 x 的近似解(精确到0.1)
1--
3 4
I I
斗-
3-'
分析：分别画函数y lg x 和y 3 x
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此，这个点的横坐标就是方程Igx 3 x 的解•由函数y Igx 与y 3 x 的图 象可以发现，方程
Igx 3 x 有惟一解，记为x i ，并且这个解在区间(2,3)内.
【解】设f(x) Igx x 3，利用计算器计算得
f(2) 0, f(3)
x 1 (2,3) f (2.5)
0, f (3) 0 x 1
(2.5,3)
f(2.5)
0, f (2.75) 0 x 1
(2.5,2.75) f (2.5) 0, f (2.625)
x 1 (2.5,2.625)
f (2.5625) 0, f (2.625) 0 x 1
(2.5625,2.625)
因为2.5625与2.625精确到0.1的近似值都为2.6，所以此方程的近似解为
x 1 2.6 .
思考：发现计算的结果约稳定在2.58717.这实际上是求方程近似解的另一种方法 ――迭代法.
除了二分法、迭代法，求方程近似解的方法还有牛顿切线法、弦切法等. 例3:利用计算器，求方程2x x 4的近似解(精确到0.1)
与y 4 x 的图象，由图象可以知道，方程2x x 4的解在区间(1,2)内，那么 对于区间(1,2)，利用二分法就可以求得它的近似解为 x 1.4.
追踪训练一
1. 设X 。
是方程In x x 4的解，贝U X 。
所在的区间为(B ) A . (3,4) B. (2,3)
C . (1,2)
D . (0,1)
2. 估算方程5x 2 7x 1
0的正根所在的区间是 (B )
A . (0,1)
B . (1,2)
C . (2,3) D. (3,4)
3. 计算器求得方程5x 2 7x 1
0的负根所在的区间是(A )
A . ( 1，0)
B .
2, 1
【解】方程2x 可以化为2x 4 x 4 x .
分别画函数y 2x
C. 2.5, 2
D. 3, 2.5
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4. 利用计算器，求下列方程的近似解（精确到0.1） (1) Ig 2x x 1 (2)
3x x 4
答案：(1) 0.8(2) X i
3.9 , X 2
1.6
例4:二次函数f （x ） px 2 qx r 中实数p 、q 、r 满足」- m 2
其中m 0 ,求证: ⑴p f （角0）；
（2）方程f （x ） 0在（0,1）内恒有解.
分析：本题的巧妙之处在于，第一小题提供了有益的依据: 内的数，且pf （旦）0，这就启发我们把区间（0,1）戈扮为（0,
m 1 —，1 ）来处理.
m 1
【解】（1）
2
2 r
m(m 2) (m 1) p m[ 2 ] (m 1) (m 2)
2
p m 2 ，
(m 1)2(m 2)
由于f （x ）是二次函数,故p 0，又m 0，所以，pf （—二）0 .
m 1 ⑵由题意，得f （0） r , f （1） p ①当p 0时，由（1）知f （匹）
m 1
若 r 0,贝 U f （0） 0，又 f （卫）
m
m 1
所以f （x ）在（0， -------- ）内有解.
m 1
是区间(0,1)
m 1
pf(jm -) m 1
P[P 宀2 m 1
q ([) m 1
r]
pm[^m?
(m 1)
丄]
m
pm[*
(m 1)
精品资料
0,
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(_E
L) r -B - 0,又 f(-^) 0,所以 f(x) 0在
m 2
m m 2 m m 1
(旦，1 )内有解.
m 1 ②当p 0时同理可证.
点评：(1)题目点明是“二次函数”，这就暗示着二次项系数p 0 .若将题中 的“二次”两个字去掉，所证结论相应更改.
(2)对字母p 、r 分类时先对哪个分类是有一定讲究的，本题的证明中，先对 p 分类，然后对r 分类显然是比较好. 追踪训练二 1.
若方程2ax 2 x 1 0在(0,1)内恰有一则实数a 的取值范围是
(B )
1
A . [ -, )
B . (1,)
8
1
C . (
,1) D . [ -,1)
8
2. 方程x 2 2x 2k 1 0的两个根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则k 的取值范围
是1
k 1 ;
2
3. 已知函数f(x) 2mx 4，在[2,1]上存在X 。
，使f(x 。
)0 ,则实数m 的取 值范围是 ____ m 1或 m 2 _______________ .
4. 已知函数f x x 3 4 x ⑴试求函数y f x 的零点；
⑵是否存在自然数n ，使f n 1000 ?若存在，求出n ，若不存在，请说明理 由.
答案：(1)函数y f (x)的零点为x 0 ; (2)计算得 f (9)
738， f (10) 1010，
由函数的单调性，可知不存在自然数
n ，使f n 1000成立.。