2018年江西省南昌实验中学高二上学期数学期中试卷和解析(理科)

2017-2018学年江西省南昌实验中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）直线3x+y﹣4=0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120° D．150°2．（5分）已知方程x2+y2﹣2x+2y+a=0表示圆，则实数a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（﹣2，+∞）C．（﹣∞，2）D．（﹣∞，1）3．（5分）椭圆+y2=1的离心率是（）A．B．C．D．4．（5分）直线l过点（1，0）且与直线x﹣2y+4=0平行，则l的方程是（）A．x﹣2y﹣1=0 B．x﹣2y+1=0 C．2x+y﹣2=0 D．x+2y﹣1=05．（5分）圆A：x2+y2+4x+2y+1=0与圆B：x2+y2﹣2x﹣6y+1=0的位置关系是（）A．相交B．内切C．外切D．内含6．（5分）直线l1、l2的斜率是方程x2﹣3x﹣1=0的两根，则l1与l2的位置关系是（）A．平行B．重合C．相交但不垂直D．垂直7．（5分）直线x﹣y+4=0被圆x2+y2+4x﹣4y+6=0截得的弦长等于（）A．8 B．4 C．2 D．48．（5分）方程x2+y2=1（xy＜0）的曲线形状是（）A．B．C．D．9．（5分）设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax（a≠0）的焦点F且和y轴交于点A，若△OAF（O为坐标原点）的面积为1，则抛物线方程为（）A．y2=±4x B．y2=±8x C．y2=4x D．y2=8x10．（5分）过圆x2+y2=1上一点作切线与x轴，y轴的正半轴交于A、B两点，则|AB|的最小值为（）A．B．C．2 D．311．（5分）若曲线表示双曲线，则k的取值范围是（）A．[﹣4，1）B．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）C．（﹣4，1）D．（﹣∞，4]∪[1，+∞）12．（5分）直线l 1：y=2x与直线l2：ax+by+c=0（abc≠0）相互垂直，当a，b，c 成等差数列时，直线l1，l2与y轴围成的三角形的面积S=（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）圆C1：x2+y2﹣2x﹣3=0，圆C2：x2+y2﹣4x+2y+3=0的公共弦方程是．14．（5分）点M（2，1）关于直线x+y+1=0的对称点的坐标是．15．（5分）实数x，y满足条件，则3x+5y的最大值为．16．（5分）已知F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点P，若|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知△ABC的三个顶点A（4，﹣6），B（﹣4，0），C（﹣1，4），求：（1）AC边上的高BD所在直线的方程；（2）BC的垂直平分线EF所在直线的方程；（3）AB边的中线的方程．18．（12分）已知圆C过P（2，6），Q（﹣2，2）两点，且圆心C在直线3x+y=0上．（1）求圆C的方程．（2）若直线l过点P（0，5）且被圆C截得的线段长为4，求l的方程．19．（12分）已知双曲线．（1）求焦点F1，F2的坐标；并求出焦点F2到渐近线的距离；（2）若P为双曲线上的点且∠F1PF2=30°，求△F1PF2的面积S．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），若椭圆C上的一动点到右焦点的最短距离为2﹣，且右焦点到直线x=的距离等于短半轴的长．已知点P（4，0），过P点的直线l与椭圆C交于M，N两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求•的取值范围．21．（12分）已知直线l：x=m（m＜﹣2）与x轴交于A点，动圆M与直线l相切，并且和圆O：x2+y2=4相外切．（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程．（2）若过原点且倾斜角为的直线与曲线C交于M、N两点，问是否存在以MN为直径的圆过点A？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由．22．（12分）已知与曲线C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切的直线I，与x轴，y轴交于A，B两点，O为原点，|OA|=a，|OB|=b，（a＞2，b＞2）．（1）求证：：I与C相切的条件是：（a﹣2）（b﹣2）=2．（2）求线段AB中点的轨迹方程；（3）求三角形AOB面积的最小值．2017-2018学年江西省南昌实验中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）直线3x+y﹣4=0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120° D．150°【解答】解：化直线为，y=﹣x+；可得直线的斜率为，设直线的倾斜角为α（0°≤α＜180°），则tanα=，∴α=120°．故选：C．2．（5分）已知方程x2+y2﹣2x+2y+a=0表示圆，则实数a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（﹣2，+∞）C．（﹣∞，2）D．（﹣∞，1）【解答】解：∵方程x2+y2﹣2x+2y+a=0表示圆，∴22+22﹣4a＞0∴4a＜8∴a＜2，故选：C．3．（5分）椭圆+y2=1的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：∵椭圆方程为+y2=1，∴a=，c==1，故椭圆+y2=1的离心率e==，故选：B．4．（5分）直线l过点（1，0）且与直线x﹣2y+4=0平行，则l的方程是（）A．x﹣2y﹣1=0 B．x﹣2y+1=0 C．2x+y﹣2=0 D．x+2y﹣1=0【解答】解：设与直线x﹣2y+4=0平行的直线l为x﹣2y+m=0，又直线l过点（1，0），∴1﹣0+m=0，解得m=﹣1．∴l的方程是x﹣2y﹣1=0．故选：A．5．（5分）圆A：x2+y2+4x+2y+1=0与圆B：x2+y2﹣2x﹣6y+1=0的位置关系是（）A．相交B．内切C．外切D．内含【解答】解：∵圆A：x2+y2+4x+2y+1=0的圆心坐标A（﹣2，﹣1），半径r1==2，圆B：x2+y2﹣2x﹣6y+1=0的圆心坐标B（1，3），半径r2==3，∴|AB|==5，∵|AB|=r1+r2=5，∴圆A与圆B外切．故选：C．6．（5分）直线l1、l2的斜率是方程x2﹣3x﹣1=0的两根，则l1与l2的位置关系是（）A．平行B．重合C．相交但不垂直D．垂直【解答】解：设直线l1、l2的斜率分别为k1，k2，∵直线l1、l2的斜率是方程x2﹣3x﹣1=0的两根，∴k1k2=﹣1．∴l1⊥l2．故选：D．7．（5分）直线x﹣y+4=0被圆x2+y2+4x﹣4y+6=0截得的弦长等于（）A．8 B．4 C．2 D．4【解答】解：圆x2+y2+4x﹣4y+6=0化为标准方程（x+2）2+（y﹣2）2=2，∴圆心坐标为（﹣2，2），半径为，∵（﹣2，2）满足方程x﹣y+4=0，∴圆心在直线x﹣y+4=0上，∴直线x﹣y+4=0被圆x2+y2+4x﹣4y+6=0截得的弦长等于直径，即为2，故选：C．8．（5分）方程x2+y2=1（xy＜0）的曲线形状是（）A．B．C．D．【解答】解：方程x2+y2=1（xy＜0）表示以原点为圆心，1为半径的圆在第二、四象限的部分，故选C．9．（5分）设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax（a≠0）的焦点F且和y轴交于点A，若△OAF（O为坐标原点）的面积为1，则抛物线方程为（）A．y2=±4x B．y2=±8x C．y2=4x D．y2=8x【解答】解：抛物线y2=ax（a≠0）的焦点F坐标为（，0）则直线l的方程为y=2（x﹣），它与y轴的交点为A（0，﹣），所以△OAF的面积为||•||=1，解得a=±4．所以抛物线方程为y2=±4x，故选：A．10．（5分）过圆x2+y2=1上一点作切线与x轴，y轴的正半轴交于A、B两点，则|AB|的最小值为（）A．B．C．2 D．3【解答】解：设切线方程为（a＞0，b＞0），即bx+ay﹣ab=0，由圆心到直线的距离等于半径得=1，所以ab=，令t=，则有t2﹣2t≥0，t≥2，故t的最小值为2．由题意知t=|AB|，故选：C．11．（5分）若曲线表示双曲线，则k的取值范围是（）A．[﹣4，1）B．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）C．（﹣4，1）D．（﹣∞，4]∪[1，+∞）【解答】解：根据题意，若曲线表示双曲线，则有（k+4）（k﹣1）＜0，解得﹣4＜k＜1．即k的取值范围是（﹣4，1）．故选：C．12．（5分）直线l1：y=2x与直线l2：ax+by+c=0（abc≠0）相互垂直，当a，b，c 成等差数列时，直线l1，l2与y轴围成的三角形的面积S=（）A．B．C．D．【解答】解：直线l1：y=2x与直线l2：ax+by+c=0（abc≠0）相互垂直，∴﹣×2=﹣1，化为：b=2a．当a，b，c成等差数列时，2b=a+c，∴c=3a．∴直线l2与y轴的交点A，即A．原点到直线l2的距离d===．∴另一条直角边==3×．直线l1，l2与y轴围成的三角形的面积S=3××=．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）圆C1：x2+y2﹣2x﹣3=0，圆C2：x2+y2﹣4x+2y+3=0的公共弦方程是x ﹣y﹣3=0（1≤x≤3）．【解答】解：∵圆C1：x2+y2﹣2x﹣3=0，圆C2：x2+y2﹣4x+2y+3=0∴两圆方程相减，得2x﹣2y﹣6=0，化简得x﹣y﹣3=0，即为两圆公共弦所在直线的方程．∵联解，得或，∴两圆的交点坐标分别为A（1，﹣2），B（3，0）．因此，两圆的公共弦方程是x﹣y﹣3=0（1≤x≤3）．故答案为：x﹣y﹣3=0（1≤x≤3）14．（5分）点M（2，1）关于直线x+y+1=0的对称点的坐标是（﹣2，﹣3）．【解答】解：设所求对称点的坐标为（a，b），则由对称关系可得，解方程组可得，即对称点为（﹣2，﹣3）故答案为：（﹣2，﹣3）．15．（5分）实数x，y满足条件，则3x+5y的最大值为12．【解答】解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），设z=3x+5y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=，经过点C（4，0）时，直线y=的截距最大，此时z最大．此时z的最大值为z=3×4﹣0=12，故答案为：12．16．（5分）已知F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点P，若|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率为．【解答】解：设过F2与双曲线的一条渐近线y=x平行的直线交双曲线于点P，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，由|PF1|=3|PF2|，可得|PF1|=3a，|PF2|=a，|F1F2|=2c，由tan∠F1F2P=可得cos∠F1F2P==，在三角形PF1F2中，由余弦定理可得：|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|•|F1F2|cos∠F1F2P，即有9a2=a2+4c2﹣2a•2c•，化简可得，c2=3a2，则双曲线的离心率e==．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知△ABC的三个顶点A（4，﹣6），B（﹣4，0），C（﹣1，4），求：（1）AC边上的高BD所在直线的方程；（2）BC的垂直平分线EF所在直线的方程；（3）AB边的中线的方程．【解答】解：（1）由斜率公式易知k AC=﹣2，∴直线BD的斜率．又BD直线过点B（﹣4，0），代入点斜式易得直线BD的方程为：x﹣2y+4=0．（2）∵，∴．又线段BC的中点为，∴EF所在直线的方程为y﹣2=﹣（x+）．整理得所求的直线方程为：6x+8y﹣1=0．（3）∵AB的中点为M（0，﹣3），k CM=﹣7∴直线CM的方程为y﹣（﹣3）=﹣7（x﹣0）．即7x+y+3=0，又因为中线的为线段，故所求的直线方程为：7x+y+3=0，（﹣1≤x≤0）18．（12分）已知圆C过P（2，6），Q（﹣2，2）两点，且圆心C在直线3x+y=0上．（1）求圆C的方程．（2）若直线l过点P（0，5）且被圆C截得的线段长为4，求l的方程．【解答】解：（1）方法一设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，依题意有，解得，故所求圆的方程为x2+y2+4x﹣12y+24=0．（2）如图所示，|AB|=4，设D是线段AB的中点，则CD⊥AB，∴|AD|=2，|AC|=4．在Rt△ACD中，可得|CD|=2．当直线l的斜率不存在时，满足题意，此时方程为x=0．当直线l的斜率存在时，设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y﹣5=kx，即kx﹣y+5=0．由点C到直线AB的距离公式：=2，得k=，此时直线l的方程为3x﹣4y+20=0．∴所求直线l的方程为x=0或3x﹣4y+20=0．19．（12分）已知双曲线．（1）求焦点F1，F2的坐标；并求出焦点F2到渐近线的距离；（2）若P为双曲线上的点且∠F1PF2=30°，求△F1PF2的面积S．【解答】解：（1）由题意得：a2=9，b2=16，∴c=5，焦点F1，F2的坐标：F1（﹣5，0），F2（5，0）；焦点F2到渐近线：y=的距离：d=；（2）设|PF1|=m，|PF2|=n由题知：m﹣n=6①②由①②得所以所以20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），若椭圆C上的一动点到右焦点的最短距离为2﹣，且右焦点到直线x=的距离等于短半轴的长．已知点P（4，0），过P点的直线l与椭圆C交于M，N两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求•的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意椭圆C上的一动点到右焦点的最短距离为2﹣，且右焦点到直线x=的距离等于短半轴的长．已知点P（4，0），知，解得，故椭圆C的方程．（Ⅱ）由题意知直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y=k（x﹣4）．由得（2k2+1）x2﹣16k2x+32k2﹣4=0．①设点M（x1，y1），N（x2，y2），，∵即．21．（12分）已知直线l：x=m（m＜﹣2）与x轴交于A点，动圆M与直线l相切，并且和圆O：x2+y2=4相外切．（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程．（2）若过原点且倾斜角为的直线与曲线C交于M、N两点，问是否存在以MN为直径的圆过点A？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）设动圆的圆心M坐标（x 0，y0），∵动圆M与直线l相切，并且和圆O：x2+y2=4相外切，∴|x0﹣m|=，即．整理得：．∴动圆圆心M的轨迹C的方程为y2=（4﹣2m）x+（2﹣m）2．（2）存在以MN为直径的圆过点A．事实上，过原点倾斜角为的直线方程为y=．联立，得3x2﹣（4﹣2m）x﹣（2﹣m）2=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，．若存在以MN为直径的圆过点A，则，即（x1﹣m，y1）•（x2﹣m，y2）===，解得：，（舍去）．∴时，存在以MN为直径的圆过点A．22．（12分）已知与曲线C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切的直线I，与x轴，y轴交于A，B两点，O为原点，|OA|=a，|OB|=b，（a＞2，b＞2）．（1）求证：：I与C相切的条件是：（a﹣2）（b﹣2）=2．（2）求线段AB中点的轨迹方程；（3）求三角形AOB面积的最小值．【解答】解：（1）证明：根据题意，曲线C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的标准方程为（x ﹣1）2+（y﹣1）2=1，圆的圆心为（1，1），半径r=1．可以看作是Rt△AOB的内切圆．内切圆的半径r=，即2=a+b﹣，变形可得：a+b=2+，即（a+b﹣2）2=a2+b2，化简可得：（a﹣2）（b﹣2）=2，故I与C相切的条件是：（a﹣2）（b﹣2）=2（2）根据题意，线段AB中点（x，y），则有x==，y==，又由（a﹣2）（b﹣2）=2，则有（x﹣1）（y﹣1）=，（x＞1，y＞1）（3）根据题意，由（1）的结论，（a﹣2）（b﹣2）=2，变形可得：ab+2=2（a+b），又由a+b≥2，则有ab+2≥4，令t=，又由a＞2，b＞2，则t=＞2则有t2﹣4t+2≥0，解可得t≥2+或t≤2﹣，又由t＞2，则有t≥2+2，即≥2+2，变形可得：≥3+2；即三角形AOB面积的最小值为3+2．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。