13.2-5三角形全等的条件(SSS )
利用sss判定三角形全等
②只给一个角：
60°
60°
60°
2.给出两个条件：
①一边一内角：
30° ②两内角：
30°
30°
30° 50° ③两边：
2cm 4cm
30°
可以发现按这 些条件画的三 50° 角形都不能保 证一定全等。
2cm 4cm
已知三角形三条边分别是 4cm，5cm， 7cm，画出这个三角形，把所画的三角形 分别剪下来，并与同伴比一比，发现什么？
D O B A C O′ D′ B′ A′
C′
作法：1、以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交 OA，OB于点C、D； 2、画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC 长为半径画弧，交O′A′于点C′； 3、以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2 步中所画的弧交于点D′； 4、过点D′画射线O′B′，则
13.2 三角形全等的条件(一)
起台一中
1、 什么叫全等三角形？
能够重合的两个三角形叫 全等三角形。
2、 全等三角形有什么性质？
A D
B
C
E
F
①AB=DE ② BC=EF ③ CA=FD ④ ∠A= ∠D ⑤ ∠B=∠E ⑥ ∠C= ∠F
探究：
1.只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等）。 ①只给一条边：
三边对应相等的两个三角形全等（可以 简写为“边边边”或“SSS”）。
用 数学语言表述：
在△ABC和△ DEF中 AB=DE BC=EF
B
A
C D
CA=FD
∴ △ABC ≌△ DEF（SSS）ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
E F
判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形 全等。
思考：你能用“边边边”解释三角形具 有稳定性吗？
三角形全等判定(SSS)
∴在△ A BD≌ △ ACD﹙SSS﹚
A
D
C
我们利用前面的结论，还可以得到作一个角等于已知角的方法。
例2：已知∠AOB 求作：∠A′O′B′=∠AOB
D
B
D′ B′
O
A
O′
A′
CC′Biblioteka 作法：1、以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点
C、D；
2、画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′
尺规作图: 画一个△A′B′C′，使A′B′=AB， B′C′=BC ，A′C′=AC 1画线段B′C′=BC 2 分别以B′,C′为圆心, 线段AB,AC长为半径画弧, 两弧交于点A′; 3 连接线段A′B′, A C′
A
B
C
三边对应相等的两个三角形全等．简
写成“边边边”或“SSS”。
三角形稳定性 :
于点C′；
3、以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于
点D′；
4、过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB
探
如图四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，你能把
研
四边形ABCD分成两个相互全等的三角形吗?你有几
时
种方法?你能证明你的方法吗?试一试．
空
A
D
证法一：连接BD
｛∵ AB＝CD AD＝BC
由三根木条钉成的一个三角形 的框架，它的大小和形状是固 定不变的．（即：三边固定了， 三角形就固定了）
例 如下图:△ABC是一个钢架，AB＝AC，
AD是连接点A与BC中点D的支架，求证 △ABD≌△ACD．
证明：∵ D是BC的中点
∴BD＝CD
在△ABD和 △ ACD
三角形全等的条件PPT精品课件
2、明清之际的进步思想家的主张，不包括（ D ）
A、个性自由
B、经世致用
C、农工皆本
D、民主共和
3、明清进步思想家的共同主张是（ B ） A、否定君主专制 B、批判宋明理学和八股取士
C、限制君权
D、经世致用
4、关于明清思想批判产生的社会影响的下列评述，不正确的
是
D
（）
A、有利于解放思想
B、农工商皆本思想的提出，有利于商业的发展
如图，在△AOB和△DOC中
A
D
AO=DO(已知)
___A_B__=__D_C_____(已知) BO=CO(已知)
O
∴ △AOB≌△DOC（SSS） B
C
想一想
1、如图，AB=CD，AC=BD，△ABC和△DCB是否全等？试说
明理由。 A
D
解： △ABC≌△DCB 理由如下：
AB = CD
AC = DB
人物生平简介：
王夫之（1619—1692），字而农，号姜斋，湖南衡 阳人。1644年，清兵入关，不断往南推进，王夫之和友 人管嗣裘一起在衡山起兵抗清。兵败，逃到广东肇庆，效 力于南明桂王政权，对桂王政权里许多人结党争权深表不 满。不久，他见大势已去，辞职还乡，长期住在湖南湘西 苗瑶山区。他隐居在衡山石船山麓，努力著述，人称船山 先生。著作现存《船山遗书》288卷，还有一部分已经散 失了。代表作有《张子正蒙注》《周易外传》《尚书引义》 《读四书大全说》《思问录》《黄书》《噩梦》和《读通 鉴论》等。
“严以治吏，宽以养民”；“明主治吏，不治民” 2、提出拯救时弊的主张
“大贾富民者，国之司命也”
3、主张“工商皆本”
经世致用思想的影响：
实事求是，博学考据开考证学术之风，强 调切实考察，反对空谈。 立足现实，学以致用提高思想。
全等三角形全等的条件
全等三角形全等的条件
全等三角形是指三角形的对应边和对应角相等。
全等三角形的
条件包括SSS（边-边-边）、SAS（边-角-边）、ASA（角-边-角）
和AAS（角-角-边）四种情况。
1. SSS（边-边-边），如果两个三角形的三条边分别相等，则
这两个三角形全等。
2. SAS（边-角-边），如果两个三角形中，一个三角形的两边
和夹角分别等于另一个三角形的两边和夹角，则这两个三角形全等。
3. ASA（角-边-角），如果两个三角形的一个角和两边分别等
于另一个三角形的一个角和两边，则这两个三角形全等。
4. AAS（角-角-边），如果两个三角形的两个角和一边分别等
于另一个三角形的两个角和一边，则这两个三角形全等。
这些条件是用来判断两个三角形是否全等的依据，通过对应边
和对应角的相等性来确定三角形的全等关系。
这些条件在几何学中
有着重要的应用，可以帮助我们判断和证明三角形的全等关系。
三角形全等的条件一SSS
1．如何判断老师在一张纸上画的这两个三角形是否全等？
A
E
B
C
F
G
量一量
AB= 4CM BC=6CM
EF=4CM FG=6CM
AC= 5.4CM EG=5.4CM ∵ AB=EF，BC=FG，AC=EG
∴
ABC ≌ EFG
2、填空题：
如图，AB=CD，AC=BD，△ABC和△DCB是否全等？试说
A
D
B
C
E
自主 合作 探究 互动
你画的三角形与其他同学所 画想的一三想角:若形连能结重D合/E吗,D?/F,得△D/EF
请按照下面的方法,用也刻是度所尺求和的圆三规角画形△吗DE?F,
使其三边长分别为1.3cm,1.9cm和2.5cm.
画法:
D
1.画线段EF=1.3cm.
2.分别以E,F为圆
心,2.5cm,1.9cm长为半径画
两条圆弧,交于点D(与D/).
A
D
B
C
3、如图，已知AB=AC,BD=CD,那么 ΔABD≌ΔACD吗?为什么? ∠BAD=∠CAD吗?为什么?
B
D
那么AD平分∠BAC吗?
你能否得出不用量角器
A
C 画角的平分线的方法?
已知∠BAC（如图），用直尺和 圆规作∠BAC的平分线AD，并 说出该作法正确的理由。
C
E
D
作法:
A
FB
1.以点A为圆心,适当长为半径作圆弧,与角的
E
F
3.连结DE,DF.
△DEF 就是所求的三角形.
D/
有三条边对应相等的 两个三角形全等
记做“边边边”或“SSS”
三边对应相等的两个三角形全等， 简写为“边边边”或“SSS”
证明全等三角形的所有条件
证明全等三角形的所有条件全等三角形是指具有相等边长和相等角度的两个三角形。
要证明两个三角形全等，需要满足以下条件：条件一：SSS全等法（边边边全等法）如果两个三角形的三条边分别相等，则可以得出两个三角形全等。
这是最基本的全等条件之一。
条件二：SAS全等法（边角边全等法）如果两个三角形的两条边和它们夹角分别相等，则可以得出两个三角形全等。
这个条件也十分常用。
条件三：ASA全等法（角边角全等法）如果两个三角形的两个角和它们夹边分别相等，则可以得出两个三角形全等。
这个条件在证明全等时也经常被使用。
条件四：AAS全等法（角角边全等法）如果两个三角形的两个角和它们未夹边的另一条边分别相等，则可以得出两个三角形全等。
这个条件也是证明全等的有效方法之一。
条件五：HL全等法（斜边-高全等法）如果两个三角形的斜边和它们的高分别相等，则可以得出两个三角形全等。
这个条件在特殊情况下使用较多。
条件六：LL全等法（斜边-斜边全等法）如果两个三角形的两个斜边分别相等，则可以得出两个三角形全等。
这个条件在特殊情况下使用较多。
以上是证明全等三角形的六个常用条件。
在证明过程中，需要利用这些条件进行推理和演算。
例如，在使用SSS全等法时，可以根据两个三角形的对应边相等，以及三角形内角和为180度的性质，推导出其他相等的边和角。
除了以上条件，还有一些三角形性质可以用于证明全等。
例如，等腰三角形的底边上的角相等，可以通过证明两个三角形的两个角分别相等，进而得出全等。
在证明过程中，还可以利用一些性质和定理辅助推导。
例如，角的对应弧相等定理、角的平分线定理、三角形的中线定理等等。
总结起来，证明全等三角形的条件有SSS全等法、SAS全等法、ASA 全等法、AAS全等法、HL全等法和LL全等法。
在证明过程中，需要灵活运用这些条件和相关的性质定理，进行逻辑推理和演算。
通过严密的证明，可以得出两个三角形全等的结论。
全等三角形的判定(SSS)
教
学
目
标
知识技能
1、掌握“边边边”条件的内容
2、能初步应用“边边边”条件判定两个三角形全等
数学思考
使学生经历探索三角形全等的条件的过程,体验用操作、归纳得 到数学结论的过程。
解决问题
会运用“边边边”条件证明两个三角形全等
情感态度
通过探究三角形全等的条件活动,培养学生合作交流的意识和大胆猜想、乐于探究以及发现问题的 功底。
本次活动中,教师应重点关注:
（1）学生能否明确两个三角形满足六个条件就能保证三角形全等。
（2）学生是否有探究两个三角形全等的欲望。
教师引导学生共同完成满足一条边相等时的探究,深入小组参与活动,指导学生比较各种情况。
本次活动中,教师应重点关注:
（1）学生能画出两个三角形不全等。
（2）学生再活动和交流中的参与及发表个人见解的勇气。
学生先独立思考,然后分析、讨论,相互交流。教师板书过程
本次活动中,教师应重点关注:
（1)学生对“SSS”条件的理解程度；
（2)学生是否能发现公共边AD
学生独立分析,写出证明过程,全班交流。
在练习中,教师应重点关注:
（1）学生对“SSS”条件的熟练程度
（2）学生的书写过程是否规范
培养学生观察图形的 功底和分析问题的 功底,会从问题中的条件出发,获得运用“SSS”
条件所需的条件
【活动5】
问题
从本节课的学习中你有何收获？
作业:
1.必做题:课堂练习第57页A组题
2.选做题:课堂练习第57页B组题9—12题
学生自我小结,谈感受,教师点评。
本次活动中,教师应重点关注:
（1）不同层次学生对知识的理解程度,有针对性的给予指导;
三角形全等的条件 要点全析
三角形全等的条件·要点全析1．探索三角形全等的条件三角形有三条边，三个内角共六个基本元素，全等三角形的六个元素都分别对应相等．反过来，如果两个三角形的三组边对应相等并且三组角也对应相等．那么它们必定可以重合，根据定义，它们一定全等．但是，判定两个三角形全等真的需要六个条件吗？探索发现：两个三角形满足一个条件（一条边或一个内角相等）或两个条件都不能确定它们是否全等，而满足三个适当的条件就可以判定两三角形全等．2．三角形全等的条件一：“SSS ”或“边边边”（1）SSS ：三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS ”．（2）书写格式：如图13-2-1．在△ABC 和△A ′B ′C ′中，①⎪⎩⎪⎨⎧''''''，＝，＝，＝C B BC C A AC B A AB ② ∴ △ABC ≌△A ′B ′C ′（SSS ）．③（3）书写格式的步骤分三步：第一步：指出在哪两个三角形中．如上边的①，在△ABC 和△A ′B ′C ′中． 第二步：按条件中的边角顺序列出三个条件．如上边的②． 第三步；写出结论，如上边的③，△ABC ≌△A ′B ′C ′（SSS ）．【说明】①第一步中，两个三角形之间的“和”不能写成“≌”，也不能取消．②第二步中，大括号内的三个条件的书写是有顺序的，必须与判定条件一致，并且注意边、角字母的对应．一般前一个三角形的边、角写在等号的左边，另一个三角形的对应边、角写在右边．③写结论时，注意对应顶点写在对应位置上，并在后面的括号内注明判定条件的简写，如“SSS ”或“边边边”．例如：如图13-2-2．已知AB ＝AC ，D 为BC 中点．试说明∠B ＝∠C 是否成立，为什么？解：∠B ＝∠C 成立．∵ D 为BC 中点，∴ BD ＝CD ．在△ABD 和△ACD 中，⎪⎩⎪⎨⎧（公共边），＝（已证），＝（已知），＝AD AD CD BD AC AB∴ △ABD ≌△ACD （SSS ）．∴ ∠B ＝∠C （全等三角形的对应角相等）．【说明】①在本例中使用了证明的格式．②在本例中的最后两步中有两个“∴”符号，前一个“∴”，是由前面大括号内的三个条件得出的．后一个“∴”，是将前一个“∴”当成了“∵”，然后推出后一个“∴”，这里省略了一步：∵△ABD ≌△ACD ．因此，今后在书写中要注意．3．三角形全等的条件二：“边角边”或“SAS ”（1）SAS ：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为“SAS ”．（2）表达格式为在△ABC 和△DEF 中（图13-2-3）⎪⎩⎪⎨⎧∠∠，＝，＝，＝EF BC DEF ABC DE AB∴ △ABC ≌△DEF （SAS ）．例如：如图13-2-4中，AD 、BC 相交于点O ．OA ＝OD ，OB ＝OC ，那么AB ＝DC 是否成立．解：∵ AD 、BC 相交于点O ，∴ ∠AOB ＝∠DOC （对顶角相等）．在△AOB 和△DOC 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠（已知）＝（已证），＝（已知），＝OC OB DOC AOB OD OA∴ △AOB ≌△DOC （SAS ）．∴ AB ＝DC【说明】本题中，书写三条件时，应该按边、角、边的顺序，将两边的夹角放在中间，用括号括起来；或者写成一行，也按边、角、边的顺序，将两边的夹角放在中间，再推出两个三角形全等．4．三角形全等的条件三：“角边角”或“ASA ”（1）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA ”．（2）表达格式：如图13-2-5，在△ABC 和△DEF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠∠，＝，＝，＝DEF B DE AB D A ∴ △ABC ≌△DEF （AAS ）．5．三角形全等的条件四：“角角边”或“AAS ”（1）有两角和一边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS ”．（2）表达格式，如图13-2-5，在△ABC 和△DEF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠∠，＝，＝，＝EF BC D A DEF B ∴ △ABC ≌△DEF （AAS ）．例如：如图13-2-6中，AB ∥CD ，AE ∥DF ，AB ＝CD ．求证：AE ＝DF ．证明：∵ AB ∥CD ，∴ ∠ABC ＝∠DCB ．∵ AE ∥DF ，∴ ∠AEB ＝∠DFC ．在△ABE 和△DCF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠∠，＝，＝（已证），＝DF AE DFC AEB DCF ABC∴ △ABE ≌△DCF （AAS ）．∴ AE ＝DF ．6．直角三角形全等的条件：“斜边、直角边”或“HL ”（1）HL ：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL ”．（2）表达格式：如图13-2-7，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AB ＝AC 在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，⎩⎨⎧，＝，＝AD AD AC AB∴ Rt △ABD ≌Rt △ACD （HL ）（3）直角三角形是三角形中的一种特殊情况，因此，它也可以用一般三角形全等的条件．如两条直角边对应相等，可用“SAS ”，一边一锐角对应相等可用“ASA ”或“AAS ”．它的特殊条件就是“斜边、直角边”．7．“角角角”与“边边角”在三角形全等的条件中，上面已说过的有：三边的SSS ，两边一角的SAS 和一边两角的ASA ，AAS ，那么“AAA ”和“SSA ”能否成为三角形全等的条件呢？（1）有三个角对应相等的两个三角形不一定全等，如图13-2-8，DE ∥BC ，则∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，∠A ＝∠A ，△ADE 与△ABC 有三角对应相等，但它们没有重合，所以不全等．（2）如图13-2-9，在△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等．也就是有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．8．证明的意义和步骤（1）证明的意义证明是由题设（已知）出发，经过一步步的推理，最后推出结论（求证）正确的过程，简单地说，证明就是推理过程．（2）证明的步骤证明一个命题为正确的时候，其步骤如下：①弄清命题的条件和结论，画出图形．②根据条件，结合图形，写出已知．③根据结论，结合图形、写出求证．④写出证明过程．证明一个命题不正确的时候，只需举出一个反例即可．例如：若a 2＝b 2，则a ＝b ．这是一个错误命题，证明如下．证明：∵ （－5）2＝52＝25，而－5≠5．∴ 若a 2＝b 2，则a ＝b ，是一个错误命题．9．证明题目时常用的三种方法在探索三角形全等的过程中，经常要遇到条件不足或结论不易寻找等问题，如何分析条件与结论之间的关系，常用的分析方法有以下三种：（1）综合法就是从题目的已知条件入手，根据已学过的定义、定理、性质、公理等，逐步推出要判断的结论，有时也叫“由因导果法”．例如：如图13-2-10，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ∥AB ，DF ∥AC ，分别交AC 、AB 于点E 、F ．求证：BF ＝DE ．分析：从已知条件到推出结论，其探索过程如下⇒⎪⎭⎪⎬⎫∠∠⇒⇒∠∠⇒C BDF AC DF CD BD BC D CDE B AB DE ＝∥＝的中心是＝∥△BFD ≌△DEC （ASA ） ⇒BF ＝DE （目标）．以上这种由因导果的方法就是综合法．（2）分析法就是从要判断的结论出发，根据已学的定义、定理、公理、性质等，倒过来寻找能使结论成立的条件，这样一步步地递求，一直追溯到结论成立的条件与已知条件相吻合为止，有时也叫“执果索因法”．如上题，用分析法的探索过程如下：BF ＝DE ⇒△BFD ≌△DEC ⇒⎪⎩⎪⎨⎧⇒⇒∠∠⇒⇒⇒⇒∠∠已知∥＝已知中点是＝已知∥＝AC DF C BDF BC D CD BD AB DE CDE B（3）分析—综合法在实际的思考过程中，往往需要使用这两种方法，先从结论出发，想一想需要什么条件，层层逆推，当思维遇到障碍时，再从条件出发，顺推几步，看可以得出什么结论，从而两边凑，直至沟通“已知”和“结论”的两个方面． 即：例如：如图13-2-11，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，E 是AD 上任一点，连接EB 、EC ，求证：EB ＝EC ．分析：本题比较复杂，可用上述的三个方法均可，现在以分析一综合法为例，说明分析过程．先用综合：由因导果．⇒⎪⎭⎪⎬⎫⇒CD BD D AD AD AC AB ＝为中心＝＝△ABD ≌△ACD ⇒⎩⎨⎧∠∠∠∠．＝，＝CDA BDA CAD BAD再用分析：执果索因．EB ＝EC ⇒△ABE ≌△ACE ⇒⎪⎩⎪⎨⎧⇒∠∠⇒已知＝＝已知＝AE AE CAEBAE AC AB ⇒△ABD ≌△ACD ． 证明：∵ D 是BC 的中心，∴ BD ＝CD ．在△ABD 和△ACD 中⎪⎩⎪⎨⎧（公共边），＝（已证），＝（已知），＝AD AD CD BD AC AB∴ △ABD ≌△ACD （SSS ）．∴ ∠BAD ＝∠CAD ．在△ABE 和△ACE 中⎪⎩⎪⎨⎧∠∠（公共边）＝（已证），＝（已知），＝AE AE CAE BAE AC AB∴ △ABE ≌△ACE （SAS ）．∴ BE ＝CE （全等三角形的对应边相等）．【说明】①本题证明过程中，后一次三角形全等，也可选△BDE ≌△CDE ，方法同上．②本题两次用到全等三角形，在分析中应找准三角形，理清思路．10．判定两个三角形全等方法的选择在学过本节内容之后，经常会遇到判定两条线段相等，两个角相等的问题，而要判断它们相等，就要考虑选择三角形全等．如何选择三角形呢？可考虑以下四个方面：（1）可以从判断的结论（线段或角）出发，寻找这些结论在哪两个可能的全等三角形中，就试着判定两个三角形全等．（2）可以从题目的已知条件出发，看已知条件能确定哪两个三角形全等就判定它们全等．（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后判定它们全等．（4）如果以上方法都行不通，可考虑添加辅助线的办法，构造三角形全等．例如：如图13-2-12，已知AB＝AC，BD＝CD，试判断∠B与∠C的关系，并说明理由．分析：要判断∠B与∠C的关系，先看∠B与∠C是否在两个全等三角形中，而此题没有两个全等三角形，只有一个四边形，目前由已知条件四边形ABDC，要创造三角形，可以连接AD或BC，那么连接谁更合适呢？若连接AD，则∠B、∠C分在左、右两个三角形中，若全等，则∠B＝∠C，事实上，∠B＝∠C，若连接BC，则∠B、∠C分在上、下两个三角形中，根据目前所学知识还不能确定∠B＝∠C因此，连接AD较为合适．解：∠B＝∠C连接AD，在△ABD和△ACD中，AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD（公共边），∴△ABD≌△ACD（SSS）．∴∠B＝∠C12．探索三角形全等时常作的辅助线在利用三角形全等进行解题时，有时题目所给条件不足或不明显，还需从题目本身或图形中挖掘它的隐含条件，还有的需加上一些辅助线，为解题铺路搭桥，起到很好的辅助作用，这些辅助线常见的有以下几种：（1）连接图形中的已知点，构造全等形．例如：如图13-2-13，已知AC 、BD 相交于O 点，且AB ＝CD ，AC ＝BD ，判断∠A 与∠D 的关系，并说明理由．解：∠A ＝∠D ．连接BC ，在△ABC 与△DCB 中，AB ＝DC ，AC ＝DB ，BC ＝CB ，则△ABC ≌△DCB （SSS ）．因此∠A ＝∠D ．（2）取线段中点构造全等三角形．例如：如图13-2-14，已知在梯形ABCD 中，AB ＝DC ，∠A ＝∠D ，试判断∠ABC 与∠DCB 的关系，并说明理由．解：∠ABC ＝∠DCB ．取AD 的中点N ，取月C 的中点M ．连接MN 、BN 、CN ，则AN ＝DN ，BM ＝CM ，在△ABN 和△DCN 中，⇒⎪⎭⎪⎬⎫∠∠DC AB D A DN AN ＝＝＝△ABN ≌△DCN ，则∠ABN ＝∠DCN ，NB ＝NC （全等三角形的对应角、对应边相等）． 在△BMN 和△CMN 中，⇒⎪⎭⎪⎬⎫MN MN CM BM CN BN ＝＝＝△BMN ≌△CMN ， 则∠MBN ＝∠MCN （全等三角形的对应角相等）．那么∠ABN ＋∠MBN ＝∠DCN ＋∠MCN ．即∠ABC ＝∠DCB ．【说明】在本题中，辅助线起到了很好的桥梁作用，为解题创造了条件．（3）有角平分线时，常在角两边截相等的线段，创造全等三角形．如图13-2-15，OC平分∠AOB，在OC上任取一点P，在OA、OB上截取OM＝ON，连接PM、PN，那么，PM＝PN．事实上，在△MOP和△NOP中，OM＝ON，∠MOP＝∠NOP，OP＝OP，则△MOP≌△NOP（SSS）．因此有PM＝PN．（4）三角形中有中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形．如图13-2-16，在△ABC中，AD为BC边上的中线，若延长AD至E，使AD＝DE，连接B E，在△ACD和△EBD中，BD＝CD，∠1＝∠2，AD＝ED，则△ACD≌△EBD，因此BE＝AC13．利用全等三角形解决实际问题的步骤全等三角形在日常生活、科技生产中有很多的用途，在用它解决实际问题时可分以下几个步骤：（1）先明确实际问题与哪些知识有关，确定用哪些知识来解决．（2）根据实际问题画出图形．（3）结合图形写出已知和结论．（4）分析已知，找出解决问题的途径．（5）写出解决问题的过程（或探索过程）．例如：如图13-2-17，要测河两岸相对的两点A、B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D使CD＝BC，再定出BF的垂线DE，使E、C、A三点在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长．你能用数学原理说明吗？分析：这是一个实际应用题，应先把其转化为数学问题，然后再解答．解：已知：AB⊥BF，DE⊥BF，A、C、E三点在一条直线上，BC＝DC．判断AB与DE是否相等？在△ABC和△DEC中，由于AB⊥BF，DE⊥BF，则∠ABC＝∠EDC＝90°，又A、C、E三点在一条直线上，则∠ACB＝∠ECD（对顶角）．又BC＝CD，则ABC≌△EDC（ASA），因此AB＝DE．。
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D
E
B
C
三个角对应相等的两个三角形不一定全等
你会用刻度尺和圆规画△ DEF吗？ 使其三边分别为3cm，4cm和5cm。
画法： 1、画线段EF= 3cm。 2、分别以E、F为圆心， 5cm ， 4cm 长为半径画两条圆弧，交于点D。
3、连结DE，DF。 △ DEF就是所求的三角形
把你画的三角形与其他同学所画的三角形剪 下来，进行比较，它们能否互相重合？
三边分别相等的两个三角形全等. 可以简写成 “边边边” 或“ SSS ”
用 数学语言表述： 在△ABC和△ DEF中 AB=DE BC=EF
A
B D
C
CA=FD
∴ △ABC ≌△ DEF（SSS）
E F
议一议：在下列推理中填写需 要补充的条件，使结论成立： 如图，在△AOB和△DOC中 AO=DO(已知) AB = DC 已知 ) ____=____( BO=CO(已知)
A O B
D
∴ △AOB≌△DOC（SSS）
C
例1：如图，在四边形ABCD中AB=CD，AD=BC.
求证：∠B= ∠D。 在 ABC ≌ CDA 中 证明：
D AB=CD （已知） AD=CB （已知） AC=CA （公共边） A B C
∴ ABC ≌ CDA（SSS） ∴ ∠B= ∠D （全等三角形的对应角相等 ）
议一议： 已知: 如图,AC=AD ,BC=BD.
求证: ∠C＝∠D.
证明： 连结AB
在△ACB 和 △ADB中 AC = A D BC = BD A B = A B (公共边）
C
A
B
∴△ACB≌△ADB （SSS） D
∴∠C＝∠D
综合练习试题
1 、全等三角形有什么性质？
A D
B
C
E
F
①AB=DE ② BC=EF ③ CA=FD ④ ∠A= ∠D ⑤ ∠B=∠E ⑥ ∠C= ∠F
2、三角形全等的判定方法有那些？
探究一 三个角相等
对于三个角对应相等的两个三角形全等吗？ A 如图， △ABC和△ADE中， 如果 DE∥AB，则 ∠A=∠A，∠B=∠ADE， ∠C= ∠ AED，但△ABC 和△ADE不重合，所以不 全等。