20070919高一数学(1.3.1-1函数单调性的概念)
函数单调性的概念)
目 录
• 函数单调性的定义 • 判断函数单调性的方法 • 函数单调性的性质 • 函数单调性的应用 • 反例与特殊情况
01 函数单调性的定义
单调增函数
01
02
03
总结词
单调增函数是指函数在某 个区间内，随着自变量的 增加，函数值也单调增加 的函数。
详细描述
单调增函数的定义是，对 于任意两个数$x_1$和 $x_2$（$x_1 < x_2$）， 如果函数$f(x)$满足 $f(x_1) leq f(x_2)$，则称 $f(x)$在区间$[x_1, x_2]$ 上单调增。
单调函数的连续性是其基本性质之一。在单调递增的函数中，如果函数在某一点的左侧 小于该点的值，那么在该点的右侧也必然小于该点的值，即函数值随着自变量的增大而 增大。同样地，在单调递减的函数中，函数值随着自变量的增大而减小。因此，单调函
数在其定义域内是连续的，不存在间断点。
单调函数的可导性
总结词
单调函数的可导性是指函数在单调区间 内是可导的，即函数的导数在单调区间 内存在且不为零。
数学表达
如果对于所有$x_1 < x_2$， 都有$f(x_1) geq f(x_2)$， 则称$f(x)$为减函数。
严格单调函数
总结词
严格单调函数是指函数在某个区间内，对于任意两个不同的自变量，其函数值也不同的函 数。
详细描述
严格单调函数的定义是，对于任意两个不同的数$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），如果函数 $f(x)$满足$f(x_1) < f(x_2)$或$f(x_1) > f(x_2)$，则称$f(x)$在区间$[x_1, x_2]$上严格单调。
数学表达
高一数学-函数单调性讲解
高中数学必修一函数——单调性考纲解读： 了解单调函数及单调区间的意义，掌握判断函数单调性的方法；掌握增，减函数的意义，理解函数单调函数的性质。
能力解读：函数单调性的判断和函数单调性的应用。
利用函数单调性判断方法来判断函数的单调性，利用函数的单调性求解函数的最值问题。
掌握并熟悉抽象函数以及符合函数的单调性判断方法。
知识要点：1．函数单调性的定义， 2．证明函数单调性； 3．求函数的单调区间4．利用函数单调性解决一些问题； 5．抽象函数与函数单调性结合运用一、单调性的定义（1）设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A I ⊆如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说)(x f y =在区间I 上是单调增函数，I 称为)(x f y =的单调增区间如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说)(x f y =在区间I 上是单调减函数，I 称为)(x f y =的单调减区间（2）设函数)(x f y =的定义域为A如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≤恒成立，那么称)(0x f 为)(x f y =的最大值；如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≥恒成立，那么称)(0x f 为)(x f y =的最小值。
二、函数单调性的证明重点：函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须 先求函数的定义域； （1）定义法求单调性函数单调性定义中的1x ，2x 有三个特征：一是任意性；二是大小，即)(2121x x x x <<；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可；定义法判断单调性：如果用定义证明)(x f y =在某区间I 上的单调性，那么就要用严格的四个步骤，即①取值；②作差；③判号（关键化成因式的乘积）；④下结论。
高一数学函数的单调性知识点
高一数学知识点函数的单调性一、函数单调性知识结构【知识网络】1．函数单调性的定义，2．证明函数单调性；3．求函数的单调区间4．利用函数单调性解决一些问题；5．抽象函数与函数单调性结合运用二、重点叙述1. 函数单调性定义(一)函数单调性概念(1)增减函数定义一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2 :如果当x1＜x2时,都有f(x1 ) ＜f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是增函数;如果当x1＜x2时,都有f(x1 ) ＞f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是减函数。
如果函数在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做的单调区间。
(2)函数单调性的内涵与外延⑴函数的单调性也叫函数的增减性。
函数的单调性是对某个区间而言的,是一个局部概念。
⑵由函数增减性的定义可知:任意的x1、x2∈D,① x1＜x2 ,且f(x1 ) ＜f(x2 ),y=f(x)在区间D上是增函数;(可用于判断或证明函数的增减性)② y=f(x)在区间D上是增函数,且x1＜x2 , f(x1 ) ＜f(x2 ) ;(可用于比较函数值的大小)③ y=f(x)在区间D上是增函数,且f(x1 ) ＜f(x2 ), x1＜x2。
(可用于比较自变量值的大小)2. 函数单调性证明方法证明函数单调性的方法有:定义法(即比较法);导数法。
实际上,用导数方法证明一般函数单调性是很便捷的方法,定义法是基本方法,常用来证明解决抽象函数或不易求导的函数的单调性。
(1)定义法:利用增减函数的定义证明。
在证明过程中,把数式的大小比较转化为求差比较(或求商比较)。
⑴转化为求差比较证明程序:①设任意的x 1、x 2∈D,使x 1＜x 2 ;②求差—变形—判断正负;此为关键步骤,变形大多要“因式分解”。
求差:; 变形:化简、因式分解; 判断:差的符号的正或负。
1.3.1 函数的单调性讲义
1.3.1 函数的单调性一、单调函数的定义如果y ＝f(x)(在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这个区间叫做y ＝f(x)的单调区间。
注意：（1）区间D ，必须在定义域I 内，即D ⊆I ，一个函数在不同区间上的单调性可以不同。
（2）自变量的大小关系与函数的大小关系有直接联系，如：f(x)是增函数，则x 1＜x 2⇔f(x 1)＜f(x 2)。
（3）函数在其单调区间上的图象特征：f(x)在D 上是增函数，则图象在D 上从左到右呈上升趋势；f(x)在D 上是减函数，则图象在D 上从左到右呈下降趋势。
（4）函数单调性受区间限制。
如函数f(x)＝x1分别在(－∞,0)，(0,＋∞)上是减函数，但不能说成它在整个定义域内(－∞,0)∪(0,＋∞)上是减函数。
单调区间用“，”逗开，不能用“∪”。
（5）有些函数不具备单调性。
如f(x)＝x ＋1，x ∈Z 。
（6）熟记常见函数在其定义域内的单调性。
二、用定义证明函数的单调性例2：证明函数f(x)＝－3x ＋2在R 上是减函数。
分析：按定义只需设x 1，x 2是R 上的任意两个实数，当 x 1＜x 2，我们来证明f(x 1,)＞f(x 2)。
证明：设x 1，x 2是R 上的任意两个实数，且 x 1＜x 2， 取值 f(x 1)－f(x 2)＝(－3x 1＋2)－(－3x 2＋2)作差＝3(x 2－x 1) 变形 由x 1＜x 2 ，得 x 2－x 1＞0图象上升图象下降于是 f(x 1)－f(x 2)＞0 即 f(x 1,)＞f(x 2) 定号 所以，函数f(x)＝－3x ＋2在R 上是减函数。
定论 例3：证明函数 x x f =)( 在区间[0，＋∞）上为增函数。
证明：设x 1，x 2是[0，＋∞）上的任意两个实数，且0≤x 1＜x 2，则21212121)()(x x x x x x x f x f +-=-=-由0≤x 1＜x 2，得x 1－x 2＜0且21x x +＞0于是 f(x 1)－f(x 2)＜0。
1.3.1-1函数的单调性
§1.3.1函数的单调性与最大（小）值（1）第一课时单调性【教学目标】1. 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质；3. 能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性．【教学重点难点】重点：函数的单调性及其几何意义．难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性【教学过程】（一）创设情景，揭示课题1．观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：○1随x的增大，y的值有什么变化？○2能否看出函数的最大、最小值？○3函数图象是否具有某种对称性？2．画出下列函数的图象，观察其变化规律：（1）f(x) = x○1从左至右图象上升还是下降 ______?yx1-11-1y○2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ． （2）f(x) = -x+2 ○1 从左至右图象上升还是下降 ______?○2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ． （3）f(x) = x 2○1在区间 ____________ 上， f(x)的值随着x 的增大而 ________ ．○2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而 ________ ．3、从上面的观察分析，能得出什么结论？学生回答后教师归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变 化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性（引出课题）。
（二）研探新知1、y = x 2的图象在y 轴右侧是上升的，如何用数学符号语言来描述这种“上yx1-1 1-1升”呢？学生通过观察、思考、讨论，归纳得出：函数y = x2在（0，+∞）上图象是上升的，用函数解析式来描述就是：对于（0，+∞）上的任意的x1，x2，当x1＜x2时，都有x12＜x22 . 即函数值随着自变量的增大而增大，具有这种性质的函数叫增函数。
高一数学重要知识点【函数的单调性】.doc
高一数学重要知识点【函数的单调性】高一数学学习对大家来说很重要，想要取得好成绩必须要掌握好课本上的知识点，为了帮助大家掌握高一数学知识点，下面为大家带来高一数学重要知识点【函数的单调性】，希望对大家掌握数学知识有所帮助。
1、单调函数对于函数f(x)定义在某区间[a，b]上任意两点x1，x2，当x1x2时，都有不等式f(x1)(或)f(x2)成立，称f(x)在[a，b]上单调递增(或递减);增函数或减函数统称为单调函数.对于函数单调性的定义的理解，要注意以下三点：(1)单调性是与区间紧密相关的概念.一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性.(2)单调性是函数在某一区间上的整体性质，因此定义中的x1，x2具有任意性，不能用特殊值代替.(3)单调区间是定义域的子集，讨论单调性必须在定义域范围内.(4)注意定义的两种等价形式：设x1、x2[a，b]，那么：①在[a、b]上是增函数;在[a、b]上是减函数.②在[a、b]上是增函数.在[a、b]上是减函数.需要指出的是：①的几何意义是：增(减)函数图象上任意两点(x1，f(x1))、(x2，f(x2))连线的斜率都大于(或小于)零.(5)由于定义都是充要性命题，因此由f(x)是增(减)函数，且(或x1x2)，这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以正逆互推.5、复合函数y=f[g(x)]的单调性若u=g(x)在区间[a，b]上的单调性，与y=f(u)在[g(a)，g(b)](或g(b)，g(a))上的单调性相同，则复合函数y=f[g(x)]在[a，b]上单调递增;否则，单调递减.简称同增、异减.在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知函数的单调性。
因此，掌握并熟记一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性，将大大缩短我们的判断过程.6、证明函数的单调性的方法(1)依定义进行证明.其步骤为：①任取x1、x2M且x1(或)f(x2);③根据定义，得出结论.(2)设函数y=f(x)在某区间内可导.如果f(x)0，则f(x)为增函数;如果f(x)0，则f(x)为减函数.为大家带来了高一数学重要知识点【函数的单调性】，希望大家能够熟记这些数学知识点，更多的高一数学知识点请查阅。
高一数学 必修一1.3.1函数单调性与最大(小)值
o
增函数 x 在 - ∞， b - 2a 减函数
课堂小结
函数的单调性一般是先根据图象判断，再利 根据图象判断， 根据图象判断 用定义证明． 用定义证明．求函数的单调区间时必须要先求函 必须要先求函 数的定义域,单调区间是定义域的子集. 数的定义域,单调区间是定义域的子集.
单调性的证明一般分五步： 单调性的证明一般分五步：
例1下图是定义在区间 ，5]上的函数 下图是定义在区间[-5， 上的函数 下图是定义在区间 y=f(x)，根据图象说出函数的单调区 ， 以及在每个区间上， 间，以及在每个区间上，它是增函数 还是减函数？ 还是减函数？
解：函数y=f(x)的单调区间有 函数 的单调区间有 [-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5]
函数单调性定义： 函数单调性定义： 设函数的定义域为I： 设函数的定义域为 ： 对于定义域 内 上的任意 对于定义域I内某个区间 D上的任意两个自 定义域 上的任意两个自 变量的值 x1 , x 2 ，当 x1 < x 2 时，都 那么就说函数在区间D 有 f ( x1 ) > f ( x 2 ) ，那么就说函数在区间 函数. 上是减 函数
∴p(V ) − p(V2 ) > 0 1 即 p(V2 ) > p(V ) 1
就是说，当体积V减少时，压强p将增大.
k ) 所以，函数 p = V ,V ∈(0,+∞是减函数.也 结论
判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间 上的单 在给定的区间D上的单 利用定义证明函数 在给定的区间 调性的一般步骤： 调性的一般步骤： 1 任取 1，x2∈D，且x1<x2； 任取x ， 2 作差 1)－f(x2)； 作差f(x － ； 3 变形（通常是因式分解和配方）； 变形（通常是因式分解和配方） 4 定号（即论证 1)－f(x2)的正负）； 定号（ 论证f(x － 的正负） 的正负 5 下结论 （ 即指出函数 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间 上的 在给定的区间D上的 在给定的区间 单调性） 单调性）．
初升高之：单调性
例 3、①定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足：对任意的 x1 , x2 [0, )( x1 x2 ) ，有 f ( x2 ) f ( x1 ) 0 ，且函数 f ( x ) 的 x2 x1 图象关于 y 轴对称；则（ A、 f (3) f (2) f (1) ） B、 f (1) f (2) f (3) C、 f (2) f (1) f (3) D、 f (3) f (1) f (2)
(a 3) x 5, x 1 ②如果函数 f ( x) 是 R 上的减函数, 则实数 a 的取值范围为______________ 2a ,x 1 x
题型二：综合应用 例 4、①已知 f(x)在其定义域 R 上为增函数 f(2)＝1，f(xy)＝f(x)+f(y)，则解不等式：f(x)+f(x-2)≤3 的解集为 _______
1 的单调性与 f(x)的单调性相反；③.在函数 f(x)和 f(x)
g(x)的某一定义域中，若 f(x)、g(x)同为增函数，则 f(x)+g(x)为增函数， 若 f(x)为增，g(x)为减，则 f(x)-g(x) 为增函数。 (3)图像法：根据函数的图象进行判断 (4)复合函数 y=f[g(x)]的单调性：首先确定函数的定义域，将函数分解成基本初等函 数 y=f(u)，u=g(x)；然后根据“同增异减”来确定。 二：典例精讲 题型一：用定义证明函数的单调性 3 例 1、 ①判断函数 f(x)＝-x +1 在(-∞， 0)上是增函数还是减函数，并证明你的判断； 如果 x∈(0，+∞)，函数 f(x) 是增函数还是减函数?
2
1 ，1)上是增函数，则 f(2)的取值范围为（ 2
C、 [7，+ ∞)
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y
f ( x1 ) f ( x2 ) y f ( x)
y
o
x
o
x
思考1:这两个函数的图象分别是什么？二者有何 共同特征？
思考2:我们把具有上述特点的 函数称为减函数，那么怎样定 义“函数 f ( x) 在区间D上是减 函数”？
f (x)
y
y f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
x2 x
思考3:如图为函数 f ( x) 在定义域 I内某个区间D上的图象，对于该 区间上任意两个自变量x1和x2， f 当 x1 x2时， ( x1 )与 f ( x2 ) 的大小 关系如何？
y
y f ( x)
f ( x2 )
f ( x1 )
o
x1
x2
x
思考4:我们把具有上述特点的函数称为增函数， 那么怎样定义“函数f ( x) 在区间D上是增函数”？
以上数据表明，记忆量y是时间 间隔t的函数. 艾宾浩斯根据这 些数据描绘出了著名的“艾宾浩 斯遗忘曲线”,如图.
y
100 80
60 40
20
o
1
2
3
t
思考1:当时间间隔t逐渐增 y 大你能看出对应的函数值y 100 80 有什么变化趋势？通过这个 60 试验，你打算以后如何对待 40 20 刚学过的知识? o 思考2:“艾宾浩斯遗忘曲线” 从左至右是逐渐下降的，对此， 我们如何用数学观点进行解释？
上的单调性.
x 1 例3 试确定函数 f ( x ) 在区间 (0, ) x
小结
利用定义确定或证明函数f(x)在给定的 区间D上的单调性的一般步骤：
1.取数:任取x1，x2∈D，且x1<x2； 2.作差:f(x1)－f(x2)； 3.变形:通常是因式分解和配方; 4.定号:判断差f(x1)－f(x2)的正负; 5.小结:指出函数f(x)在给定的区间D上的 单调性.
f (x)
对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量 x1 , x2 的值，若当 x1 < x2 时，都有 f ( x1 ) < f ( x2 ) , 则称函数 f ( x) 在区间D上是增函数.
知识探究（二）
考察下列两个函数:
（1）
f ( x) x ； (2) f ( x) x ( x Biblioteka 0)123
t
知识探究（一）
考察下列两个函数:
（1）
f ( x) x ； (2) f ( x) x ( x 0)
2
y
y
o
x o x
思考1:这两个函数的图象分别是什么？二者有何 共同特征？ 思考2:如果一个函数的图象从左至右逐渐上升， 那么当自变量x从小到大依次取值时，函数值y的 变化情况如何？
o
x1
对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量 x1 , x2 的值，若当 x1 < x2 时，都有 f ( x1 ) > f ( x2 ) , 则称函数 f ( x) 在区间D上是减函数.
f ( x1 ) f ( x2 )
思考3:对于函数定义域I内某个区间D上的任意两 个自变量 x1 , x2 的值，若当 x1 x2 时，都有
,则函数 f ( x)在区间D上是增函数还是
减函数？
思考4：如果函数y=f(x)在区间D上是增函 数或减函数，则称函数 f ( x)在这一区间具有 （严格的）单调性，区间D叫做函数 f ( x) 的 单调区间.那么二次函数在R上具有单调性吗？ 2 函数 f ( x) ( x 1) 的单调区间如何？
1.3.1
单调性与最大（小）值
第一课时
函数单调性的概念
问题提出
德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类 的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得 到了以下一些数据：
时间间隔 刚记 20分 60分 8-9 1天 2天 6天 一个 t 后 后 月后 忆完 钟后 钟后 小时 后 毕 后 记忆量y 100 58.2 44.2 35.8 33.7 27.8 25.4 21.1 (百分比)
作业：
P32 练习：1，2，3，4.
理论迁移
例1 如图是定义在闭区间 [-5，6]上的函数y f ( x) 的图象，根据图象说出 y f ( x)的单调区间，以 及在每一单调区间上， 函数 y f ( x)是增函数还 是减函数.
y
-3 -5 o 1 3 6
x
k 例2 物理学中的玻意耳定律 P (k为正常数) V
告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强p将增大. 试用函数的单调性 证明.