2013初一数学培优(76)

第一讲 数系扩张--有理数（一）一、【问题引入与归纳】1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。

2、有理数的两种分类：3、有理数的本质定义，能表成m n（0,,n m n ≠互质）。

4、性质：① 顺序性（可比较大小）；② 四则运算的封闭性（0不作除数）；③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。

5、绝对值的意义与性质：① (0)||(0)a a a a a ≥⎧=⎨-≤⎩ ② 非负性 2(||0,0)a a ≥≥ ③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。

ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。

二、【典型例题解析】：1、若||||||0,a b ab ab a b ab+- 则的值等于多少？ 2． 如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ）A.相反数B.倒数C.绝对值D.平方3、已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。

4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（A.2aB.2a -C.0D.2b5、已知2(3)|2|0a b -+-=，求b a 的值是（ ）A.2B.3C.9D.66、 有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么,,a b b c c a b c c a a b------中有几个负数？ 7、 设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为0，b a，b 的形式，求20062007a b +。

8、 三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac=+++++则321ax bx cx +++的值是多少？ 9、若,,a b c 为整数，且20072007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。

三、课堂备用练习题。

1、计算：1+2-3-4+5+6-7-8+…+2005+20062、计算：1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)3、计算：5917336512913248163264+++++- 4、已知,a b 为非负整数，且满足||1a b ab -+=，求,a b 的所有可能值。

5、若三个有理数,,a b c 满足||||||1a b c a b c++=，求||abc abc 的值。

第二讲 数系扩张--有理数（二）一、【能力训练点】：1、绝对值的几何意义① |||0|a a =-表示数a 对应的点到原点的距离。

② ||a b -表示数a 、b 对应的两点间的距离。

2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。

二、【典型例题解析】：1、 （1）若20a -≤≤，化简|2||2|a a ++-（2）若0x ，化简|||2||3|||x x x x --- 2、设0a ，且||a x a ≤，试化简|1||2|x x +-- 3、a 、b 是有理数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？（1）||||||;a b a b +=+ （2）||||||;ab a b =（3）||||;a b b a -=- （4）若||a b =则a b =（5）若||||a b ，则a b （6）若a b ，则||||a b4、若|5||2|7x x ++-=，求x 的取值范围。

5、不相等的有理数,,a b c 在数轴上的对应点分别为A 、B 、C ，如果||||||a b b c a c -+-=-，那么B 点在A 、C 的什么位置？6、设a b c d ，求||||||||x a x b x c x d -+-+-+-的最小值。

7、abcde 是一个五位数，a b c d e ，求||||||||a b b c c d d e -+-+-+-的最大值。

8、设1232006,,,,a a a a 都是有理数，令1232005()M a a a a =++++ 2342006()a a a a ++++ ,1232006()N a a a a =++++ 2342005()a a a a ++++ ,试比较M 、N 的大小。

三、【课堂备用练习题】：1、已知()|1||2||3||2002|f x x x x x =-+-+-++- 求()f x 的最小值。

2、若|1|a b ++与2(1)a b -+互为相反数，求321a b +-的值。

3、如果0abc ≠，求||||||a b c a b c++的值。

4、x 是什么样的有理数时，下列等式成立？（1）|(2)(4)||2||4|x x x x -+-=-+- （2）|(76)(35)|(76)(35)x x x x +-=+-5、化简下式：||||x x x -第三讲 数系扩张--有理数（三）一、【能力训练点】：1、运算的分级与运算顺序；2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。

（1）加法法则：同号相加取同号，并把绝对值相加；异号相加取绝对值较大数的符号，并用较大绝对值减较小绝对值；一个数同零相加得原数。

（2）减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。

（3）乘法法则：几个有理数相乘，奇负得负，偶负得正，并把绝对值相乘。

（4）除法法则：除以一个数，等于乘以这个数的倒数。

3、准确运用各种法则及运算顺序解题，养成良好思维习惯及解题习惯。

二、【典型例题解析】：1、计算：3510.752(0.125)124478⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+++-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2、计算：（1）、()()560.94.48.11+-++-+（2）、（-18.75）+（+6.25）+（-3.25）+18.25（3）、（-423）+111362324⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3、计算：①()232321 1.75343⎛⎫⎛⎫⎛⎫------+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭②111142243⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭4、 化简：计算：（1）711145438248⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）35123.7540.1258623⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫----+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ （3）()()340115477⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-----+--+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ （4）235713346⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（5）-4.035×12＋7.535×12-36×（79-57618+） 5、计算： （1）()()()3242311-+⨯---（2）()()219981110.5333⎡⎤---⨯⨯--⎣⎦ （3）22831210.52552142⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷--⨯--÷⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6、计算：()3413312100.51644⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎛⎫+--⨯-÷---⎢⎥⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭7、计算：3323200213471113()[0.25()](5 1.254)[(0.45)(2)](1)81634242001-⨯+----÷++- ：第四讲 数系扩张--有理数（四）一、【能力训练点】：1、运算的分级与运算顺序；2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。

3、巧算的一般性技巧：① 凑整（凑0）； ② 巧用分配律③ 去、添括号法则； ④ 裂项法4、综合运用有理数的知识解有关问题。

二、【典型例题解析】：1、计算：237970.716.6 2.20.7 3.31173118⨯-⨯-÷+⨯+÷ 2、1111111111(1)()(1)2319962341997231997----⨯++++----- 1111()2341996⨯++++ 3、计算：①2232(2)|3.14|| 3.14|(1)ππ-+-------②{}235324[3(2)(4)(1)]7-⨯-+⨯-⨯---÷--4、化简：111()(2)(3)(9)122389x y x y x y x y +++++++⨯⨯⨯ 并求当2,x =9y =时的值。

5、计算：2222222221314112131411n n S n ++++=++++---- 6、比较1234248162n n n S =+++++ 与2的大小。

7、计算：3323200213471113()[0.25()](5 1.254)[(0.45)(2)](1)81634242001-⨯+----÷++- 8、已知a 、b 是有理数，且a b ，含23a b c +=，23a c x +=，23c b y +=，请将,,,,a b c x y 按从小到大的顺序排列。

三、【备用练习题】：1、计算（1）1111142870130208++++ （2）222133599101+++⨯⨯⨯2、计算：11111120072006200520041232323-+-+-3、计算：1111(1)(1)(1)(1)2342006-⨯-⨯-⨯⨯-4、如果2(1)|2|0a b -++=，求代数式220062005()()2()b a a b ab a b -++++的值。

5、若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值为2，求2221(12)a b m m cd -+÷-+的值。

第五讲代数式（一）一、【能力训练点】：（1）列代数式；（2）代数式的意义；（3）代数式的求值（整体代入法）二、【典型例题解析】：1、用代数式表示：（1）比x y与的和的平方小x的数。

（2）比a b与的积的2倍大5的数。

（3）甲乙两数平方的和（差）。

（4）甲数与乙数的差的平方。

（5）甲、乙两数和的平方与甲乙两数平方和的商。

（6）甲、乙两数和的2倍与甲乙两数积的一半的差。

（7）比a的平方的2倍小1的数。

（8）任意一个偶数（奇数）（9）能被5整除的数。

（10）任意一个三位数。

2、代数式的求值：（1）已知25a ba b-=+，求代数式2(2)3()2a b a ba b a b-+++-的值。

（2）已知225x y++的值是7，求代数式2364x y++的值。

（3）已知2a b=；5c a=，求624a b ca b c+--+的值(0)c≠（4）已知113b a-=，求222a b aba b ab---+的值。

（5）已知：当1x=时，代数式31Px qx++的值为2007，求当1x=-时，代数式31Px qx++的值。