八年级数学上册(冀教版)课件：17.2 直角三角形
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新冀教版八年级上册初中数学 17-2 直角三角形 教学课件
第十七页，共二十一页。
6.在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,CD⊥AB于D,CE是 ∠ACB的平分线. (1)求∠DCE的度数.
(2)若∠CEF=135°,求证EF∥BC.
（1）解:∵∠B=30°,CD⊥AB于D, ∴∠DCB=90°-∠B=60°. ∵CE平分∠ACB,∠ACB=90°, ∴∠ECB= 1∠ACB=45°, ∴∠DCE=∠D2CB-∠ECB=60°-45°=15°.
∠ ADE= ∠B,
∴ △ AED≌ △ DFB(ASA),
∴AE=DF,ED=FB( 全等三角形的对应边相等),
第八页，共二十一页。
同理可证△ CDE≌ △ DCF.
从而ED=FC,EC=FD( 全等三角形的对应边相等).
∴AE=CE,FC=FB( 等量代换 ).
又∵DE⊥AC,DF⊥BC(
两直线平行,同位角相等),
第十四页，共二十一页。
3.如图所示, △ ABC中,AB=AC=10,BC=8,AD平分∠BAC交BC于点D,点E
为AC的中点,连接DE,则△ CDE的周长为 ( )
C
A.20
B.12
C.14
D.13
解析:∵AB=AC,AD平分∠BAC,BC=8, ∴AD⊥BC,CD=BD= B12C=4,∵点E为AC的中 点,∴DE=CE= AC=5,∴ △ CDE的周长
2
∵CD⊥AB,∴∠CDB=90°,
在Rt △ BCD中,∠B=30°,∴∠DCB=60°,
∴∠ACD=∠ACB-∠DCB=90°-60°=30°,
在Rt △ ACD中,AD= 1AC,∴AD= AB1.
2
4
第十九页，共二十一页。
8.如图所示,已知在△ ABC中,∠ACB=90°,CD为高,且CD,CE三等 分∠ACB. (1)求∠B的度数; (2)求证CE是AB边上的中线,且CE= AB1.
6.在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,CD⊥AB于D,CE是 ∠ACB的平分线. (1)求∠DCE的度数.
(2)若∠CEF=135°,求证EF∥BC.
（1）解:∵∠B=30°,CD⊥AB于D, ∴∠DCB=90°-∠B=60°. ∵CE平分∠ACB,∠ACB=90°, ∴∠ECB= 1∠ACB=45°, ∴∠DCE=∠D2CB-∠ECB=60°-45°=15°.
∠ ADE= ∠B,
∴ △ AED≌ △ DFB(ASA),
∴AE=DF,ED=FB( 全等三角形的对应边相等),
第八页，共二十一页。
同理可证△ CDE≌ △ DCF.
从而ED=FC,EC=FD( 全等三角形的对应边相等).
∴AE=CE,FC=FB( 等量代换 ).
又∵DE⊥AC,DF⊥BC(
两直线平行,同位角相等),
第十四页，共二十一页。
3.如图所示, △ ABC中,AB=AC=10,BC=8,AD平分∠BAC交BC于点D,点E
为AC的中点,连接DE,则△ CDE的周长为 ( )
C
A.20
B.12
C.14
D.13
解析:∵AB=AC,AD平分∠BAC,BC=8, ∴AD⊥BC,CD=BD= B12C=4,∵点E为AC的中 点,∴DE=CE= AC=5,∴ △ CDE的周长
2
∵CD⊥AB,∴∠CDB=90°,
在Rt △ BCD中,∠B=30°,∴∠DCB=60°,
∴∠ACD=∠ACB-∠DCB=90°-60°=30°,
在Rt △ ACD中,AD= 1AC,∴AD= AB1.
2
4
第十九页，共二十一页。
8.如图所示,已知在△ ABC中,∠ACB=90°,CD为高,且CD,CE三等 分∠ACB. (1)求∠B的度数; (2)求证CE是AB边上的中线,且CE= AB1.
冀教版初中八年级数学上册17-2直角三角形课件
解析 (1)由题意得AB=15×2=30(海里), ∵∠NBC=60°,∠NAC=30°, ∴∠ACB=∠NBC-∠NAC=30°,∴∠ACB=∠NAC, ∴AB=BC=30海里.∴海岛B到灯塔C的距离为30海里. (2)过点C作CP⊥AN于点P. 根据垂线段最短可知线段CP的长为军舰与灯塔C的最短距 离.∵∠BPC=90°,∠NBC=60°, ∴∠PCB=180°-∠BPC-∠CBP=30°,
3
形,不符合题意;D.在△ABC中,因为∠A=∠B=2∠C,所以
∠A=∠B=72°,∠C=36°,所以△ABC不是直角三角形,符合题意. 故选D.
3.(2024河北秦皇岛青龙期末)如图,已知AC⊥BC于点C,CD⊥ AB于点D,若∠A=56°,则∠DCB的度数是 56° .
解析 ∵AC⊥BC,CD⊥AB,∴∠ACB=∠BDC=90°,∴∠A+ ∠B=90°=∠B+∠DCB,∴∠A=∠DCB=56°.
∵M是BC的中点,
∴BM=FM=1 BC,CM=EM=1 BC,∴FM=EM,
2
2
∵∠A=80°,
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=100°,
由(1)知BM=FM,EM=MC,
∴∠ABC=∠BFM,∠ACB=∠CEM, ∴∠BFM+∠CEM=100°, ∴∠FMB+∠EMC=360°-(∠ABC+∠ACB+∠BFM+∠CEM)= 160°, ∴∠EMF=180°-(∠FMB+∠EMC)=20°, 即∠EMF的度数为20°.
∴PB= 1 BC=15海里,15÷15=1(小时).
2
故还要航行1小时,军舰与灯塔C的距离最短.
能力提升全练
14.(2024四川绵阳三台期末,11,★★☆)如图,在等边三角形ABC中, BC=2,D是AB的中点,过点D作DF⊥AC于点F,过点F作EF⊥BC 于点E,则BE的长为 ( C )
17.2 直角三角形(课件)冀教版数学八年级上册
考
点
清
单
解
读
返回目录
续表
定义法
其他方法
三角形中有两边垂直
17.2 直角三角形
返回目录
归纳总结
考
点
（1）除了用定理判定一个三角形是直角三角形外，还可
清
单 以根据定义判定，只要求出三角形的某个角为 90°即可判
解
读 定这个三角形为直角三角形；
（2）在直角三角形中，若已知两个锐角之间的关系，结
合两锐角互余可以求出每个锐角的度数，而不必再使用三角
17.2 直角三角形
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变式衍生 2
如图，在 △ABC中，∠BAC=60°，∠B=
重
难
题 30°，AC=3，点 P 是 BC 边上的动点，则 AP 的长不可能
型 是 （
D ）
突
破
A. 3.5
B. 4.2
C. 5.8
D. 7
17.2 直角三角形
返回目录
解题通法
考
点
在例 2 中，三角形的斜边 AB 的值始终不变，要使面积
斜边中线将该直角三角形分成两个面积相等的等腰三
角形
作一个等腰直角三角形斜边上的中线，可以得到三个
注意
等腰直角三角形，并且两个小的等腰直角三角形全等
根据“三角形一边上的中线等于这条边的一半”也可
以判定这个三角形是直角三角形
该性质是求线段长度和证明线段倍分关系的重要依据
17.2 直角三角形
返回目录
归纳总结
形内角和定理求解.
17.2 直角三角形
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对点典例剖析
考
点
典例 2 具备下列条件的△ABC中，不为直角三角形的是
点
清
单
解
读
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续表
定义法
其他方法
三角形中有两边垂直
17.2 直角三角形
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归纳总结
考
点
（1）除了用定理判定一个三角形是直角三角形外，还可
清
单 以根据定义判定，只要求出三角形的某个角为 90°即可判
解
读 定这个三角形为直角三角形；
（2）在直角三角形中，若已知两个锐角之间的关系，结
合两锐角互余可以求出每个锐角的度数，而不必再使用三角
17.2 直角三角形
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变式衍生 2
如图，在 △ABC中，∠BAC=60°，∠B=
重
难
题 30°，AC=3，点 P 是 BC 边上的动点，则 AP 的长不可能
型 是 （
D ）
突
破
A. 3.5
B. 4.2
C. 5.8
D. 7
17.2 直角三角形
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解题通法
考
点
在例 2 中，三角形的斜边 AB 的值始终不变，要使面积
斜边中线将该直角三角形分成两个面积相等的等腰三
角形
作一个等腰直角三角形斜边上的中线，可以得到三个
注意
等腰直角三角形，并且两个小的等腰直角三角形全等
根据“三角形一边上的中线等于这条边的一半”也可
以判定这个三角形是直角三角形
该性质是求线段长度和证明线段倍分关系的重要依据
17.2 直角三角形
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归纳总结
形内角和定理求解.
17.2 直角三角形
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对点典例剖析
考
点
典例 2 具备下列条件的△ABC中，不为直角三角形的是
八年级数学上册17.2《直角三角形》ppt课件
斜边AB上的中线。
求证：CD=
1 2
AB
证明：延长CD到C’,使C’D＝CD，连接AC’
在△ADC’与△BDC中
｛AD=BD
（已知）
ADC’= BDC（对顶角相等）
C’D=CD
（已作）
∴ △ADC’ ≌ △BDC (SAS)
A
C’
∴AC’=BC C’AD= B
∵ BCA=90° ∴ BAC+ B=90°
课堂练习
1、如图，在△ABC中，AD⊥BC，E、F分别 是AB、AC的中点，且AB=AC. A
求证： DE=DF
E
F
B
D
C
2：如图，已知AD⊥BD，AC⊥BC，E为AB的
中点，试判断DE与CE是否相等，并说明理由。
D
C
A
E
B
3、在△ ABC中， ∠ACB=900，CD是 边AB上的高，∠A=300 求证：BD= —14 AB
复习：
（1）、什么叫直角三角形？
有一个角是直角的三角形叫直角三角形
一般用“Rt△”表示，
C
例如直角三角形ABC表示为 “Rt△ABC”
A
B
（2）、直角三角形是一类特殊的三角形，除 了具备三角形的性质外，还具备哪些性质？
问题1：在Rt△ABC中，∠C=900， ∠A 与 ∠B有怎样的数量关系？为什么？
命题：直角三角形斜边上的中线等于中，∠ACB=900，
D
∵ CD是斜边AB上的中线
∴CD= 1 AB
2
C
B
(CD=AD=BD)
动手做一做
△ ABC是等边三角形，AD为BC 边上的高。猜想DB与AB的数量 关系。
冀教版八年级数学上册 (直角三角形)课件教学
A C
P
O
DB
例题讲解
证明：如图，作射线OP.
∵PC⊥OA， PD⊥OB，∴∠PCO=∠PDO=90°.
在 Rt△OPC 和 Rt△OPD 中，
PC PD(已知), OP OP(公共边), ∴Rt△OPC≌Rt△OPD( HL).
∴∠POA=∠POB.∴OP是∠AOB的平分线，
O
即点P在∠AOB的平分线上.
A
C
(1)
A E
A E
B
C
(2) F
B
C
(3) F
B
A
(1)∠ECF与∠B有怎样的关系？线段EC与线段EB有
E
怎样的关系？ ∠ECF=∠B EC=EB
C
F
B
(2)由发现的上述关系以及∠A+∠B=∠ACB，∠ACE+∠ECF=∠ACB，
你能判断∠ACE与∠A的大小关系吗？线段AE与线段CE呢?
∠ACE=∠A AE=CE
你还有其 他证法吗？
试一试
C
又∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DE为AC的垂直平分线，
CFB
A D
B
DF为BC的垂直平分线.
∴AD=CD=BD(线段垂直平分线的性质定理).
E 提示：延长CD，使得CD=DE,连结BE，
CD=
1 2
AB.
先证△ACD≌ △BED，然后证△ACB≌ △EBC .
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
C
B
例题讲解
画法：1.画∠MCN=90 °. 2.在射线CM上取CB=a. 3.以B为圆心，c为半径画弧， 交射线CN于点A.
a
c
N A c
八年级数学上册 17.2《直角三角形》课件
D
C
A
E
B
第三十页，共三十四页。
3、在△ ABC中， ∠ACB=900，CD是
边AB上的高，∠A=300
求证(qiúzhèng)：—B14D=
AB
A
C
D
B
第三十一页，共三十四页。
小结(xiǎojié)
• 直角三角形的性质(xìngzhì)
１．直角三角形的两个(liǎnɡ ɡè)锐角互余．
2．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
又∵∠A+∠B=90°（ 直角三角形的两锐角(ruìjiǎo)互）余 ∠1+∠2=90° ∴ ∠2= ∠B
于是(yúshì)得 B D' =C D' ( 等角对等边
)
1 故得 B D' =A D' =C D' = 2 AB
所以D是斜边AB上的中点，即C D'是斜边AB上的中线，从而C D'与CD重合，并有CD= A1B
2
第八页，共三十四页。
1.阅读课本148页的“发现”的 证明过程。
2.通过(tōngguò)阅读你有什么发 现？
直角三角形的性质(xìngzhì)定理：
1 2
在直角三角形12 中，斜边上的中线(zhōngxiàn)等于斜边的一 半
∵CD是直角三角形ABC斜边上的中线
∴CD= A12 B
第九页，共三十四页。
Ｄ
=900，所以(suǒyǐ)∠C =900，于
是△ABC是直角三角形。
Ｂ
Ｃ
1.判定(pàndìng)定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。
第二十三页，共三十四页。
观察思考(sīkǎo)，总结规律．
冀教版数学八年级上册1直角三角形课件
A
猜想：直角三角 形的两个锐角
互余?
B
C
已 知 ： 在 △ ABC 中 ， ∠ C ＝ 90 ゜ 说明∠A＋∠B＝90゜的理由。
A 解：在△ABC中
∵∠A+∠B+∠C＝180゜(三角形内角和定理）
∠C＝90゜（已知）
∴∠A+∠B+90゜＝180゜
∴∠A+∠B＝180゜－90゜＝90゜
即∠A+∠B＝90゜
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
几何语言：
∵ ∠ ACB=900 CD是AB边上的中线
∴ CD=12AB
1 已知在Rt ABC中，斜边上的中线CD=5cm，
求斜边AB的长.
A
D
CBBiblioteka 2 如图,一名滑雪运动员沿着倾斜角为30°的斜边，
由A滑行至B.已知AB=200m，问这名滑雪运动员
的高度AC降落了多少米？
直角三角形性质
八年级数学
直角三角形性质定理1、2 直角三角形判定定理 含30°角的直角三角形的性质
直角三角形的定义及表示：
• 定义： 有一个角等于90 的三角形叫直角三角形．
A
“直角三角形ABC”用符号
直 角
“＿＿＿＿＿”表示。
边
C 直角边 B
• 1.直角三角形的内角和是多少度? 180° • 2.直角三角形的两个锐角之和多少度? 90°
A
∠C=90°，∠A=∠B=45°
C
B
• １．直角三角形的两个锐角互余．
• ２．如果一个三角形的两个角互余， 那么这个三角形是直角三角形.
• 3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半.
• 4. 在直角三角形中，如果有一个锐角 是30°，则它所对的直角边等于斜边 的一半.
猜想：直角三角 形的两个锐角
互余?
B
C
已 知 ： 在 △ ABC 中 ， ∠ C ＝ 90 ゜ 说明∠A＋∠B＝90゜的理由。
A 解：在△ABC中
∵∠A+∠B+∠C＝180゜(三角形内角和定理）
∠C＝90゜（已知）
∴∠A+∠B+90゜＝180゜
∴∠A+∠B＝180゜－90゜＝90゜
即∠A+∠B＝90゜
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
几何语言：
∵ ∠ ACB=900 CD是AB边上的中线
∴ CD=12AB
1 已知在Rt ABC中，斜边上的中线CD=5cm，
求斜边AB的长.
A
D
CBBiblioteka 2 如图,一名滑雪运动员沿着倾斜角为30°的斜边，
由A滑行至B.已知AB=200m，问这名滑雪运动员
的高度AC降落了多少米？
直角三角形性质
八年级数学
直角三角形性质定理1、2 直角三角形判定定理 含30°角的直角三角形的性质
直角三角形的定义及表示：
• 定义： 有一个角等于90 的三角形叫直角三角形．
A
“直角三角形ABC”用符号
直 角
“＿＿＿＿＿”表示。
边
C 直角边 B
• 1.直角三角形的内角和是多少度? 180° • 2.直角三角形的两个锐角之和多少度? 90°
A
∠C=90°，∠A=∠B=45°
C
B
• １．直角三角形的两个锐角互余．
• ２．如果一个三角形的两个角互余， 那么这个三角形是直角三角形.
• 3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半.
• 4. 在直角三角形中，如果有一个锐角 是30°，则它所对的直角边等于斜边 的一半.
冀教版八年级数学 17.2 直角三角形(学习、上课课件)
∴∠E＋∠F＝180°－12×180°＝90°. ∴△EOF 是直角三角形．
感悟新知
知识点 3 直角三角形的性质定理 2，3
知3－讲
1. 直角三角形的性质定理 2 直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半 . 几何语言： 如图 17-2-3，在 Rt △ ABC 中， ∵∠ ACB=90° ， AD=BD，
感悟新知
解题秘方：利用直角三角形的性质定理 2 求解 . 知3－练 解：∵△ BCD 沿 CD 折叠后得到△ ECD， ∴ CB=CE. ∵在 Rt △ ABC 中， ∠ ACB=90° ， E 是 AB 的
中点，∴ CE=BE=
1 2
AB.
∴ CE=CB=BE，即△ BCE 为等边三角形 .
∴∠ B=60° . ∴∠ A=90°－∠ B=30° .
1. 两个性质成立的条件都是“在直角三角形中”.
2. 两个性质是求线段长度和证明线段倍分关系的
重要依据.
3. 直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成
两个面积相等的等腰三角形.
感悟新知
知3－练
例3 如图 17-2-5， CD 是 Rt △ ABC 斜边上的高，将 △ BCD沿 CD 折叠，点 B 恰 好 落 在 AB 的中点 E 处， 则∠ A 的度数为___3_0_°__ .
感悟新知
知2－练
例2 如图 17-2-2，在 Rt △ ABC 中，∠ BAC=90°， BD 平分∠ ABC，且∠ CAD= ∠ CBD，求证：△ ABD 是直角三角形 .
感悟新知
解题秘方：证明三角形中有两个角的和等于 90° 知2－练 (互余)就可判定该三角形为直角三角形 .
证明： 在 Rt △ ABC 中， ∵∠ BAC=90° ， ∴∠ BAD+ ∠ CAD=90° . ∵ BD 平分∠ ABC， ∴∠ CBD= ∠ ABD. ∵∠ CBD= ∠ CAD， ∴∠ ABD= ∠ CAD. ∴∠ BAD+ ∠ ABD=90° . ∴△ ABD 是直角三角形 .
感悟新知
知识点 3 直角三角形的性质定理 2，3
知3－讲
1. 直角三角形的性质定理 2 直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半 . 几何语言： 如图 17-2-3，在 Rt △ ABC 中， ∵∠ ACB=90° ， AD=BD，
感悟新知
解题秘方：利用直角三角形的性质定理 2 求解 . 知3－练 解：∵△ BCD 沿 CD 折叠后得到△ ECD， ∴ CB=CE. ∵在 Rt △ ABC 中， ∠ ACB=90° ， E 是 AB 的
中点，∴ CE=BE=
1 2
AB.
∴ CE=CB=BE，即△ BCE 为等边三角形 .
∴∠ B=60° . ∴∠ A=90°－∠ B=30° .
1. 两个性质成立的条件都是“在直角三角形中”.
2. 两个性质是求线段长度和证明线段倍分关系的
重要依据.
3. 直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成
两个面积相等的等腰三角形.
感悟新知
知3－练
例3 如图 17-2-5， CD 是 Rt △ ABC 斜边上的高，将 △ BCD沿 CD 折叠，点 B 恰 好 落 在 AB 的中点 E 处， 则∠ A 的度数为___3_0_°__ .
感悟新知
知2－练
例2 如图 17-2-2，在 Rt △ ABC 中，∠ BAC=90°， BD 平分∠ ABC，且∠ CAD= ∠ CBD，求证：△ ABD 是直角三角形 .
感悟新知
解题秘方：证明三角形中有两个角的和等于 90° 知2－练 (互余)就可判定该三角形为直角三角形 .
证明： 在 Rt △ ABC 中， ∵∠ BAC=90° ， ∴∠ BAD+ ∠ CAD=90° . ∵ BD 平分∠ ABC， ∴∠ CBD= ∠ ABD. ∵∠ CBD= ∠ CAD， ∴∠ ABD= ∠ CAD. ∴∠ BAD+ ∠ ABD=90° . ∴△ ABD 是直角三角形 .