第5章 虚功原理与结构位移计算
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结构力学第05章 虚功原理与结构位移计算-3
6、把复杂图形分为简单图形 、 使其易于计算面积和判断形心位置） （使其易于计算面积和判断形心位置）
•
取作面积的图形有时是不规则图形， 取作面积的图形有时是不规则图形，面积 的大小或形心的位置不好确定。 的大小或形心的位置不好确定。可考虑把图形 分解为简单图形（规则图形） 分解为简单图形（规则图形）分别图乘后再叠 加。
FP
⊿CV
l/2 l/2 AP FP l
3、正确的作法 、
AP1=1/2×FP l×l/2=FP l2/4 AP2=1/2×FP l/2×l/2=FP l2/8 AP3=1/2×FP l/2×l/2=FP l2/8 y1=l/3 y2=l/6 FP y3 = 0
⊿CV=∑AP·yC/EI
=(FP l2/4×l/3+ FP l2/8×l/6 × +FP l2/8 ×0) / EI =5FP l3/48EI (↓)
32
32
• θC=2[(1/2·80·5)·(2/3·5/8)+(1/2·80·5)·(2/3·5/8+1/3·1) • -(2/3·32·5)·(1/2·5/8+1/2·1)]/EI • kN·m m kN/m2 • =0.005867 （弧度） • 方向与虚拟力方向一致。
思考题:判断下列图乘是否正确?
由此可见，当满足上述三个条件时， 由此可见，当满足上述三个条件时，积分式 的值⊿就等于M 图的面积A乘其形心所对应 乘其形心所对应M 的值⊿就等于 P图的面积 乘其形心所对应 图上的竖标y 再除以EI。 图上的竖标 C，再除以 。 正负号规定： 正负号规定： A与yC在基线的同一侧时为正，反之为负。 与 在基线的同一侧时为正，反之为负。
第五章
虚功原理与结构位移 计算
静力结构的位移计算——变形体虚功原理及位移计算的一般表达式
FNK cos
A
FP
B
R
ds Rd
BM
FR R3 2EI
()
FP=1
R
A
BQ
kFP R 2GA
()
BN
FP R 2EA
()
例4： 自学167页例5—3。 例 5 ：自学171页例5—5。
小结：
位移计算的一般公式：
K (F NK* F QK* M K* )ds RK*R
GA
4GA
对于截面为矩形
CQ 3.2( h )2
CM
L
结论：对于浅梁可忽略剪切变形作用;
对于深梁和短梁，不可忽略剪切变形作用。
例 3：求图示结构B点水平位移，EI、GA、EA为常数
M P FP R sin
FQP FP cos
FNP FP sin
M K R(1 cos)
FQK sin
(b)
线弹性材料在荷载作用下的位移计算公式：
K
(
FNP F NK *
kFQP F NK *
MPM
* K
)ds
EA
GA
EI
(c)
具体结构的简化公式：
*
1、桁架
K
FNP FNK L EA
2、梁和刚架
K
M P M K* ds EI
3、组合结构 4、拱
K 梁
*
M P M K ds
*
F NP FNK L
第五章 静定结构的位移计算
§5-3 变形体虚功原理及位移计算的一般表达式 一、变形体虚功原理
位移协调状态
FP FRCR (M FQ 0 FN )ds
平衡状态 变形体虚功原理只需要满足平衡条件、位移连续条件， 而与材料特性无关。 对于刚体，由于变形等于零，内力在刚体上不做 功 ，所以，刚体虚功原理是变形体虚功原理的特例。
虚功原理与结构位移计算
相对竖向位移
c)
11
FP
d)
D
A
D
A左、右截面相对转角
e)
Al
D BV
D AV
B
AB
D AV
DBV l
AB杆转角
12
3、一个微杆段的位移
ds
A
dv= g0 ds
g0
dθ= ds/R =kds
vu
A’
θ
微段刚体位移
ds du= eds
g0
dv
ds
ds
微段相对位移 微段相对位移 微段相对位移 （轴向变形） （剪切变形） （弯曲变形）
EI
式中，FN、FQ、M分别为微段上的轴力、剪力、弯矩； EA、GA、EI分别为抗拉压、抗剪、抗弯刚度；
μ 为考虑剪应力分布不均匀系数，如对于矩形截面μ =1.2， 圆
形截面μ =10/9，薄壁圆环形截面、工字形或箱形截面μ
=A/A1（A1为腹板面积）。
二、结构位移产生的原因
1）荷载作用； 2）温度变化或材料胀缩； 3）支座沉陷或制造误差。
2
§5-1 应用虚力原理求刚体体系的位移
3
本章任务
学习任意平面杆件结构在任意外因（ 荷载、温 度、支移 等）作用下，引起任意形式位移（线 位移、角位移 ）的计算原理及计算方法。
一、结构的位移
在荷载等外因作用下结构都将产生形状的改变，称为 结构变形。 结构变形引起结构上任一横截面位置和方向的改变， 称为位移是结构某一截面相对于初始状态位置的变化.
设FP=1，称为虚单位荷载法。
2、虚功方程在此实质上是几何方程，即利用静
力平衡求解几何问题。
3、方程求解的关键，在于拟求⊿方向虚设单位
c)
11
FP
d)
D
A
D
A左、右截面相对转角
e)
Al
D BV
D AV
B
AB
D AV
DBV l
AB杆转角
12
3、一个微杆段的位移
ds
A
dv= g0 ds
g0
dθ= ds/R =kds
vu
A’
θ
微段刚体位移
ds du= eds
g0
dv
ds
ds
微段相对位移 微段相对位移 微段相对位移 （轴向变形） （剪切变形） （弯曲变形）
EI
式中，FN、FQ、M分别为微段上的轴力、剪力、弯矩； EA、GA、EI分别为抗拉压、抗剪、抗弯刚度；
μ 为考虑剪应力分布不均匀系数，如对于矩形截面μ =1.2， 圆
形截面μ =10/9，薄壁圆环形截面、工字形或箱形截面μ
=A/A1（A1为腹板面积）。
二、结构位移产生的原因
1）荷载作用； 2）温度变化或材料胀缩； 3）支座沉陷或制造误差。
2
§5-1 应用虚力原理求刚体体系的位移
3
本章任务
学习任意平面杆件结构在任意外因（ 荷载、温 度、支移 等）作用下，引起任意形式位移（线 位移、角位移 ）的计算原理及计算方法。
一、结构的位移
在荷载等外因作用下结构都将产生形状的改变，称为 结构变形。 结构变形引起结构上任一横截面位置和方向的改变， 称为位移是结构某一截面相对于初始状态位置的变化.
设FP=1，称为虚单位荷载法。
2、虚功方程在此实质上是几何方程，即利用静
力平衡求解几何问题。
3、方程求解的关键，在于拟求⊿方向虚设单位
结构力学教学 虚功原理与结构位移计算
解：虚设力系如图(b)
M 1 (0 x l)
实际荷载作用下的弯矩图虚设力系如图(c)
MP
FPb l
x
(0 x a)
MP
FP a(1
x) l
(a x l)
MM P ds FPab(
EI
2EI
)
§5-5 图乘法
图乘法应用条件：杆件为直杆，有一个弯矩图是直线图， 截面抗弯刚度EI为一常数。
§5-5 图乘法
例5-7 试用图乘法计算图(a)所示简支梁B端转角△B。
解：荷载作用下的MP图如图(a) 虚设单位力偶作用下的 M 如图(b)
虚功方程为 1 M 0
解得
M
§5-2 结构位移计算的一般公式
例5-2 在图中，截面B有相对剪切位移η，试求A点与杆轴成α
角的斜向位移分量△。
解：图(a)的实际位移状态可改用 图(b)来表示。
虚设力系如图(c) FQ sin
虚功方程为 1 FQ 0
解得 FQ
§5-2 结构位移计算的一般公式
AB的圆心角为α，半径为R。试求B点的竖向位移△。
解：虚设荷载如图(b)
图(a)中
MP
1 2
qx2
FNP qx sin
FQP qx cos
图(b)中
M x
FN sin FQ cos
M
AMPM B EI
ds qR4 ( 2 cos 1 cos3 )
2EI 3
3
N
A FNPFN ds qR2 ( 2 cos 1 cos3 )
M
MM P ds ql4
EI
8EI
Q k
FQ FQP ds 0.6 ql 2
第五章 结构位移计算
8
1 虚功原理回顾
1. 功的定义: 功=力×力作用点沿其方向的位移
F A S B F
W F cos S 常力功
F
1 W F 2
变力功
9
其他形式的力或力系所作的功也用两个因子的 乘积表示为：功=广义力×广义位移
1)作功的力系为一个集中力
F
2)作功的力系为一个集中力偶
W F
虚拟状态
24
1
广义力与 广义位移对应
练习:
Fp=1
C Fp=1 B
求C点竖向位移
求B点水平位移
A
Fp=1 B
Fp=1
A
Fp=1
B Fp=1
求A、B两点 相对竖向位移
求A、B两点 相对水平位移
3 静定结构在荷载作用下的位移计算
1. 公式
当结构只受到荷载作用时，求K点沿指定方向的位 移△KP，此时没有支座位移，故一般公式为
注意：１.适用于任何类型的结构，弹性、非弹性、线性、非线性；
２. 外力与虚位移相互独立，两者毫不相干，虚位移 由其它原因引起，外力在此虚位移上做虚功。
实际应用时两种情形：
a) 给定力状态，另设一位移状态，用虚功方程求力状态 的未知力，称为虚位移原理；
b)给定位移状态，另设一力状态，用虚功方程求位移状态的 18 未知位移，称为虚力原理。
第五章 虚功原理与结构位移
1
“位移”是连接静定结构与超静定 结构之间的桥梁和纽带
前面所学五种静定结构(梁,刚架,拱,桁架 ,组合结构) 的内力计算可归结为强度问题, 而结构力学的重要任务之一是解决刚度问 题——结构位移计算. 本章要讨论各种杆件结构的位移计算, 依据虚功原理.先推导出杆件结构位移计算 的一般公式,再讨论具体结构的位移.
结构力学I-第五章 虚功原理与结构位移计算(温度位移、虚功、互等)
温度改变时的位移计算
结构位移计算的一般公式
普遍性
Δ = ∑ ∫ ( Mκ + FNε + FQγ0 ) ds- ∑FRK·cK
⑵ 变形因素：荷载、温度改变或支座移动引起的位移；
温度改变的位移计算公式
应用背景
Page 10
14:26
LOGO
温度改变时的位移计算
温度改变的位移计算公式
基本假设
FQ FN
dFN
pdx
0
dFQ qdx 0
dM FQdx 0
• 集M M 0 0
M
FQ FN
M
Page 22
q
FQ+ dFQ
p
FN+ dFN
O
x
M+ dM dx
y
dx
M0 O
Fx
Fy y
FQ+ ΔFQ FN+ ΔFN x
M+ ΔM
14:26
D 1
α=1×10-5，求D点的竖向位移ΔDV。
2m 2m
解：⑴ 在D点作用一向上的单位力F=1，
4m
作弯矩图 M 和轴力图 F N；
⑵ 由于各杆 α，t0，Δt，h 相同，
故可先计算
+1
1
M ds
1 2
4
4
4
4
24(m2
)
M
FN
F Nds 1 2 1 4 2(m)
Page 15
14:26
LOGO
结构力学I
第五章 虚功原理与 结构位移计算
2021年4月15日
LOGO
3-12(g)
指出弯矩图错误并改正；
作业点评
虚功原理与结构位移计算
考虑材料非线性时结构位移计算
01
材料非线性本构关系
建立考虑材料非线性的本构关系模型，如弹塑性模型、粘弹性模型等。
02
结构非线性分析方法
采用适当的非线性分析方法，如增量法、迭代法等，对结构进行非线性
分析。
03
材料非线性对结构位移的影响
分析材料非线性对结构变形和位移的影响，包括塑性变形、蠕变等。
06
性。
刚架式结构位移计算
计算模型建立
针对刚架式结构的特点，建立适当的计算模型，如平面刚架、空间刚架等。
荷载作用分析
分析刚架式结构在荷载作用下的内力分布，包括轴力、弯矩、剪力等。
位移计算公式推导
根据结构力学原理，推导刚架式结构在荷载作用下的位移计算公式。
实例计算与结果分析
结合具体实例，进行计算并分析结果，验证计算方法的准确性。
有限差分法在结构位移计算中应用
01
差分方程建立
有限差分法通过差分近似微分的 方式，将偏微分方程转化为差分 方程，简化计算过程。
计算效率
02
03
适用范围
有限差分法在处理规则网格时具 有较高的计算效率，适用于大规 模并行计算。
有限差分法在建筑、水利、交通 等工程领域的结构位移计算中发 挥重要作用。
无网格法在结构位移计算中应用
梁式结构位移计算
计算模型建立
根据梁式结构的特点，建立适 当的计算模型，如简支梁、悬
臂梁等。
荷载作用分析
分析荷载作用下的结构内力， 包括弯矩、剪力等。
位移计算公式推导
根据结构力学原理，推导梁式 结构在荷载作用下的位移计算 公式。
实例计算与结果分析
结合具体实例，进行计算并分 析结果，验证计算方法的正确
第5章 结构位移计算
§ 5· 1 应用虚力原理求刚体体系的位移
a）验算结构的刚度； 1、计算位移有三个目的： b）为超静定结构的内力分析 打基础； c）建筑起拱。 a）荷载作用； 2、产生位移的原因主要有三种： b）温度改变和材料胀缩； c）支座沉降和制造误差
↓↓↓↓↓↓↓↓↓
-t +t
2
Δ
β 不产生内力和变形 产生刚体移动
§3-8、刚体体系的虚功原理： 设体系上作用任意的平衡力系，又设体系发生符合约束条件的 无限小刚体位移，则外力在位移上所作的虚功总和恒等于零。
虚力原理：
1 D = Rk ck
i
B
A
DN
由平衡条件：
d
B
i
A
N = 1 cos
虚功方程：
DN
1
1 D N N d = 0
N
B
N
A
DN = N d
当截面B同时产生三种相对位移时，在i－i方向所产生的位移D， 即是三者的叠加，有：
D = DM DQ DN = Md Q d Nd
1、局部变形时静定结构的位移计算举例
设静定结构中某个微段出现局部变形（由于制造误差或其他原因造成 微段的弯曲、剪切、拉伸变形），微段两端相邻截面出现相对位移（角位 移、线位移），而结构的其他部分没有变形、仍旧是刚体。
例1、悬臂梁在截面B处由于某种原因 例2、悬臂梁在截面B处由于某种原因 产生相对转角d，试求A点在i－i方向的 产生相对剪位移d，试求A点在i－i方向 位移 Dm。 的位移 DQ。
κγε
M Q N
k = d w2 d x
不产生内力， 产生变形、产生位移
位移是几何量，自然可用几何法来求，如 但最好的方法不是几何法，而是虚功法。其理论基础是虚功原理。 计算位移时，常假定：1）ζ=Eε；2）小变形；3）具有理想 约束的体系。即：线弹性体系。荷载与位移成正比，计算位移 可用叠加原理。
a）验算结构的刚度； 1、计算位移有三个目的： b）为超静定结构的内力分析 打基础； c）建筑起拱。 a）荷载作用； 2、产生位移的原因主要有三种： b）温度改变和材料胀缩； c）支座沉降和制造误差
↓↓↓↓↓↓↓↓↓
-t +t
2
Δ
β 不产生内力和变形 产生刚体移动
§3-8、刚体体系的虚功原理： 设体系上作用任意的平衡力系，又设体系发生符合约束条件的 无限小刚体位移，则外力在位移上所作的虚功总和恒等于零。
虚力原理：
1 D = Rk ck
i
B
A
DN
由平衡条件：
d
B
i
A
N = 1 cos
虚功方程：
DN
1
1 D N N d = 0
N
B
N
A
DN = N d
当截面B同时产生三种相对位移时，在i－i方向所产生的位移D， 即是三者的叠加，有：
D = DM DQ DN = Md Q d Nd
1、局部变形时静定结构的位移计算举例
设静定结构中某个微段出现局部变形（由于制造误差或其他原因造成 微段的弯曲、剪切、拉伸变形），微段两端相邻截面出现相对位移（角位 移、线位移），而结构的其他部分没有变形、仍旧是刚体。
例1、悬臂梁在截面B处由于某种原因 例2、悬臂梁在截面B处由于某种原因 产生相对转角d，试求A点在i－i方向的 产生相对剪位移d，试求A点在i－i方向 位移 Dm。 的位移 DQ。
κγε
M Q N
k = d w2 d x
不产生内力， 产生变形、产生位移
位移是几何量，自然可用几何法来求，如 但最好的方法不是几何法，而是虚功法。其理论基础是虚功原理。 计算位移时，常假定：1）ζ=Eε；2）小变形；3）具有理想 约束的体系。即：线弹性体系。荷载与位移成正比，计算位移 可用叠加原理。
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（2）杆CD的转角 D
cA
A B
C
l
c
2l 3
1
1 1 c cD 0 3
l
3
1 D
A
B
C
1 c cA 3 2 1 1 cA 0 2l
1 cA 2l
1 3
A
2 3
B
C D
1
1 2l
2 l
3 2l
所得正号表明位移方 向与假设的单位力方向 一致。
适用范围与特点： 1） 适于小变形，可用叠加原理。 2） 形式上是虚功方程，实质是几何方程。 关于公式普遍性的讨论： （1）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。 （2）变形原因：荷载与非荷载。 （3）结构类型：各种杆件结构。 （4）材料种类：各种变形固体材料。
三、位移计算的一般步骤:
t1 t2
设为矩形截面 k=1.2
l kQ QP l dx 3ql2 Q l dx l 1.2 1 q x 2 2 GA 2 GA 20GA l
7 ql4 3ql 2 M Q 384EI 20GA
M
7ql 4 3ql 2 Q 384EI 20GA
2) 将上面各式代入位移公式分段积分计算AV
AC段 0 x
2
N 0 M x Q 1
l 在荷载作用下的内力均为零，故积分也为零。 2
l x l CB段 2
l
l
l 2
l kQ Q MM P P dx l dx 2 EI GA
第5章 虚功原理与结构位移计算
§5-1 应用虚功原理求刚体体系的位移
一、结构位移计算概述
计算位移的目的：（1）刚度验算，（2）超静定结构分析的基础 产生位移的原因：（1）荷载（2）温度变化、材料胀缩（3）支座沉降、制造误差
c
c
t1
t2 t1
以上都是绝对位移
AV
BV
以上都是相对位移
广义位移
M
l
l 2
2 q MM P l dx q 7l 4 7 ql4 dx l x x 2 EI 2 EI 2 EI 192 384EI 2
l x l CB段 2
2 MP q x l 2 2 QP q x l
0 1.5
1.5
NP
材料 杆件
1.5
N
NN Pl EA
3.81Pl E c Ac
0.5
NP
N
l
A
Ac
钢 筋 砼
AD 4.74P 1.58 0 .263 l
DC 4.42P 1.58 0 .263 l Ac 0 .088 l0.75Ac 0 0 DE 0.95P CE
1.50P
钢
AE EG
3）讨论
比较剪切变形与弯曲变形对位移的影响。
Q M 3ql 2 EI 20GA 8.23 7 ql 4 GAl 2 384EI
E 8 1 设材料的泊松比 , 由材料力学公式 21 。 G 3 3 3 bh 代入上式 设矩形截面的宽度为b、高度为h，则有 A bh, I , 12
K
K
c2
c1
1
R1
M .N .Q .Rk
R2
实际变形状态
虚力状态
( M N Q )ds Rk ck
(1) 建立虚力状态：在待求位移方向上加单位力； (2) 求虚力状态下的内力及反力 M .N .Q .Rk 表达式; (3) 用位移公式计算所求位移，注意正负号问题。
i
B d
A
m
i
B
d
A
Q
a
B
a
d
A
i
m
i
B A
Q
a
M
B
a
1 1
A
A
Q
a
a
M 1 sin a
Q 1 sin
虚功方程：1 m M d 0
1 Q Q d 0
m M d
Q Q d
例3、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生轴向位移d 试求A点在 ｉ－ｉ方向的位移 N 。
2、广义力与广义位移
作功的两方面因素：力、位移。与力有关的因素，称为广义力S。与位移
有关的因素，称为广义位移Δ。 广义力与广义位移的关系是：它们的乘积是虚功。即：T=SΔ 1）广义力是单个力，则广义位移是该力的作用点的位移在力作用方向上的分量 2）广义力是一个力偶，则广义位移是它所作用的截面的转角β。 3）若广义力是等值、反向的一对力P
T P A P B P( A B ) P
这里Δ是与广义力相应的广义位移。
P
P A
ΔA m 表示AB两点间距的改变，即AB两点的相对位移。
t t
B β
P
ΔB Δ
B m
m A A Δ
4）若广义力是一对等值、反向的力偶 m
T m A m B m( A B ) m
Q M EI 8 1 h h 8.23 8.23 1.83 2 3 12 l GAl l
2 2
Q Q h 1 h 1 当 时, 1.83%;当 时, 7.32% l 10 M l 5 M
例2 计算屋架顶点的竖向位移。
位移计算虽是几何问题，但是用虚功原理解决最方便
二、虚功原理
P1
Δ11
荷载由零增大到P1，其作用点的位移也由零增大到
Δ11，对线弹性体系P与Δ成正比。
P2 元功： dT P d
1 T11 dT P1 11 2
O P dT B P1 Δ
Δ12
Δ22
再加P2， 2在自身引起的位移Δ22上作的功为： P
（2）桁架
NN P NN P NN Pl ds ds EA EA EA
（3）拱
MM P NN P ds ds EI EA
例1. 试计算悬臂梁A点的竖向位移 AV , EI C 。 P=1 q x A x C C B A
AV
B
l 2
MP EI
k--为截面形状系数
NP EA
1.2
QP k GA
10 9
A A1
(3) 荷载作用下的位移计算公式
MM P NN P kQ QP ds ds ds EI EA GA
二、各类结构的位移计算公式
（1）梁与刚架
MM P ds EI
NP 0
2
N 0 M x Q 1
M
l
l 2
2 q MM P l dx q 7l 4 7 ql4 dx l x x 2 EI 2 EI 2 EI 192 384EI 2 l
i
B
A
N
由平衡条件：
d
B
i
A
N 1 cos
虚功方程：
N
1 B
1 N N d 0
N
N
A
N N d
当截面B同时产生三种相对位移时，在i－i方向所产生的位移， 即是三者的叠加，有：
M Q N Md Q d Nd
1）列出两种状态
l 2
(a) 实际状态
l 2
l 2
(b) 虚设状态
的内力方程：
AC段 0 x l 2
NP 0 MP 0 NP 0
QP 0
N 0
M x
Q 1
l x l CB段 2
2 MP q x l 2 2 QP q x l
变形杆系的虚功原理的表达式可表示为：
1 Rk ck ( N. Q. o M .k )ds
二.结构位移计算公式的一般公式：
( N. Q. o M .k )ds Rk .ck
( N. Q. o M .k )ds Rk .ck
2
N 0 M x Q 1
l 0 x AC段 2
NP 0 MP 0 NP 0
QP 0
N 0 M x Q 1
l x l CB段 2
2 q l MP x 2 2 QP q x l
这里Δ是与广义力相应的广义位移。 表示AB两截面的相对转角。
B
三、虚力原理
c1
——虚设力系求刚体体系位移
C B 已知 c1 求
?
A
设虚力状态
a
b
P=1
R1 a P b 0
虚功方程
R1
b a
A
C B a b
1 R1 c1 0
b c1 a
R1
4.50P 3.00P
0 .278 l As 0 1.50 0.278 l 3 As
Δ11
A
T22
1 P2 22 2
在Δ12过程中，P1的值不变，
T12 P 12 1
Δ12与P1无关
实功是力在自身引起的位移上所作的功。如 T11，T22，
1、实功与虚功
实功恒为正。
虚功是力在其它原因产生的位移上作的功。如T12，
cA
A B
C
l
c
2l 3
1
1 1 c cD 0 3
l
3
1 D
A
B
C
1 c cA 3 2 1 1 cA 0 2l
1 cA 2l
1 3
A
2 3
B
C D
1
1 2l
2 l
3 2l
所得正号表明位移方 向与假设的单位力方向 一致。
适用范围与特点： 1） 适于小变形，可用叠加原理。 2） 形式上是虚功方程，实质是几何方程。 关于公式普遍性的讨论： （1）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。 （2）变形原因：荷载与非荷载。 （3）结构类型：各种杆件结构。 （4）材料种类：各种变形固体材料。
三、位移计算的一般步骤:
t1 t2
设为矩形截面 k=1.2
l kQ QP l dx 3ql2 Q l dx l 1.2 1 q x 2 2 GA 2 GA 20GA l
7 ql4 3ql 2 M Q 384EI 20GA
M
7ql 4 3ql 2 Q 384EI 20GA
2) 将上面各式代入位移公式分段积分计算AV
AC段 0 x
2
N 0 M x Q 1
l 在荷载作用下的内力均为零，故积分也为零。 2
l x l CB段 2
l
l
l 2
l kQ Q MM P P dx l dx 2 EI GA
第5章 虚功原理与结构位移计算
§5-1 应用虚功原理求刚体体系的位移
一、结构位移计算概述
计算位移的目的：（1）刚度验算，（2）超静定结构分析的基础 产生位移的原因：（1）荷载（2）温度变化、材料胀缩（3）支座沉降、制造误差
c
c
t1
t2 t1
以上都是绝对位移
AV
BV
以上都是相对位移
广义位移
M
l
l 2
2 q MM P l dx q 7l 4 7 ql4 dx l x x 2 EI 2 EI 2 EI 192 384EI 2
l x l CB段 2
2 MP q x l 2 2 QP q x l
0 1.5
1.5
NP
材料 杆件
1.5
N
NN Pl EA
3.81Pl E c Ac
0.5
NP
N
l
A
Ac
钢 筋 砼
AD 4.74P 1.58 0 .263 l
DC 4.42P 1.58 0 .263 l Ac 0 .088 l0.75Ac 0 0 DE 0.95P CE
1.50P
钢
AE EG
3）讨论
比较剪切变形与弯曲变形对位移的影响。
Q M 3ql 2 EI 20GA 8.23 7 ql 4 GAl 2 384EI
E 8 1 设材料的泊松比 , 由材料力学公式 21 。 G 3 3 3 bh 代入上式 设矩形截面的宽度为b、高度为h，则有 A bh, I , 12
K
K
c2
c1
1
R1
M .N .Q .Rk
R2
实际变形状态
虚力状态
( M N Q )ds Rk ck
(1) 建立虚力状态：在待求位移方向上加单位力； (2) 求虚力状态下的内力及反力 M .N .Q .Rk 表达式; (3) 用位移公式计算所求位移，注意正负号问题。
i
B d
A
m
i
B
d
A
Q
a
B
a
d
A
i
m
i
B A
Q
a
M
B
a
1 1
A
A
Q
a
a
M 1 sin a
Q 1 sin
虚功方程：1 m M d 0
1 Q Q d 0
m M d
Q Q d
例3、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生轴向位移d 试求A点在 ｉ－ｉ方向的位移 N 。
2、广义力与广义位移
作功的两方面因素：力、位移。与力有关的因素，称为广义力S。与位移
有关的因素，称为广义位移Δ。 广义力与广义位移的关系是：它们的乘积是虚功。即：T=SΔ 1）广义力是单个力，则广义位移是该力的作用点的位移在力作用方向上的分量 2）广义力是一个力偶，则广义位移是它所作用的截面的转角β。 3）若广义力是等值、反向的一对力P
T P A P B P( A B ) P
这里Δ是与广义力相应的广义位移。
P
P A
ΔA m 表示AB两点间距的改变，即AB两点的相对位移。
t t
B β
P
ΔB Δ
B m
m A A Δ
4）若广义力是一对等值、反向的力偶 m
T m A m B m( A B ) m
Q M EI 8 1 h h 8.23 8.23 1.83 2 3 12 l GAl l
2 2
Q Q h 1 h 1 当 时, 1.83%;当 时, 7.32% l 10 M l 5 M
例2 计算屋架顶点的竖向位移。
位移计算虽是几何问题，但是用虚功原理解决最方便
二、虚功原理
P1
Δ11
荷载由零增大到P1，其作用点的位移也由零增大到
Δ11，对线弹性体系P与Δ成正比。
P2 元功： dT P d
1 T11 dT P1 11 2
O P dT B P1 Δ
Δ12
Δ22
再加P2， 2在自身引起的位移Δ22上作的功为： P
（2）桁架
NN P NN P NN Pl ds ds EA EA EA
（3）拱
MM P NN P ds ds EI EA
例1. 试计算悬臂梁A点的竖向位移 AV , EI C 。 P=1 q x A x C C B A
AV
B
l 2
MP EI
k--为截面形状系数
NP EA
1.2
QP k GA
10 9
A A1
(3) 荷载作用下的位移计算公式
MM P NN P kQ QP ds ds ds EI EA GA
二、各类结构的位移计算公式
（1）梁与刚架
MM P ds EI
NP 0
2
N 0 M x Q 1
M
l
l 2
2 q MM P l dx q 7l 4 7 ql4 dx l x x 2 EI 2 EI 2 EI 192 384EI 2 l
i
B
A
N
由平衡条件：
d
B
i
A
N 1 cos
虚功方程：
N
1 B
1 N N d 0
N
N
A
N N d
当截面B同时产生三种相对位移时，在i－i方向所产生的位移， 即是三者的叠加，有：
M Q N Md Q d Nd
1）列出两种状态
l 2
(a) 实际状态
l 2
l 2
(b) 虚设状态
的内力方程：
AC段 0 x l 2
NP 0 MP 0 NP 0
QP 0
N 0
M x
Q 1
l x l CB段 2
2 MP q x l 2 2 QP q x l
变形杆系的虚功原理的表达式可表示为：
1 Rk ck ( N. Q. o M .k )ds
二.结构位移计算公式的一般公式：
( N. Q. o M .k )ds Rk .ck
( N. Q. o M .k )ds Rk .ck
2
N 0 M x Q 1
l 0 x AC段 2
NP 0 MP 0 NP 0
QP 0
N 0 M x Q 1
l x l CB段 2
2 q l MP x 2 2 QP q x l
这里Δ是与广义力相应的广义位移。 表示AB两截面的相对转角。
B
三、虚力原理
c1
——虚设力系求刚体体系位移
C B 已知 c1 求
?
A
设虚力状态
a
b
P=1
R1 a P b 0
虚功方程
R1
b a
A
C B a b
1 R1 c1 0
b c1 a
R1
4.50P 3.00P
0 .278 l As 0 1.50 0.278 l 3 As
Δ11
A
T22
1 P2 22 2
在Δ12过程中，P1的值不变，
T12 P 12 1
Δ12与P1无关
实功是力在自身引起的位移上所作的功。如 T11，T22，
1、实功与虚功
实功恒为正。
虚功是力在其它原因产生的位移上作的功。如T12，