【数学课件】2018人教B版数学选修4-5课件1.5.3 反证法和放缩法
人教版高中数学选修4-5第2讲 证明不等式的基本方法2ppt课件
∴假设不成立，∴|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于12.
证法二：假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于12， 则|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|<2， 而|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥|f(1)＋f(3)－2f(2)| ≥f(1)＋f(3)－2f(2) ＝(1＋b＋c)＋(9＋3b＋c)－2(4＋2b＋c)＝2. 两式显然矛盾，∴原假设不成立． ∴|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于21.
反证法
• 1．要证不等式M>N，先假设M≤N，由题设及其他性 质，推出矛盾，从而肯定M>N成立．凡涉及证明不 等式为否定性命题，唯一性命题或是含“至多”、 “至少”等字句时，可考虑使用反证法．
• 2．反证法证明不等式的步骤是：反设(假设不等式 的结论不成立)→归谬(从假设出发，经过推理论证， 得出矛盾)→断言(由矛盾得出反设不成立)．反证法
证法二：∵|x＋y|≤|x|＋|y|，∴|x|＋|y|－|x＋y|≥0. 由真分数性质ba<ab＋ ＋mm(0<a<b，m>0)知 1＋|x＋|x＋y|y|≤1＋|x＋|x＋y|＋y|＋|x||＋x|＋|y||－y|－|x＋|x＋y| y| ＝1＋|x||＋x|＋|y||y|≤1＋|x||x|＋1＋|y||y|. 即1＋|x＋|x＋y| y|≤1＋|x||x|＋1＋|y||y|成立．
(7)利用常用结论：
①1＝ k
2 k＋
k>
2 k＋
k＋1＝2(
k＋1－
k)，
1＝ k
2 k＋
k<
2 k＋
k－1＝2(
k－
k－1)(k∈N＋，k&g－1 1－1k；k12>kk＋1 1＝1k－k＋1 1(程度大)；
人教版高中数学选修4-5课件第二讲2.3反证法与放缩法精选ppt课件
所以 M＜1，选 B. 答案：B
4．用反证法证明“ 2， 3， 5不可能成等差数列” 时，正确的假设是________．
答案： 2， 3， 5成等差数列
5．A＝1＋
1＋ 2
1 ＋…＋ 3
1与 n
n(n∈N＋)的大小关系
是______________________．
解析：A＝
11＋
12＋
13＋…＋
[变式训练] (1)已知 x＞0，y＞0，z＞0，求证：
x2＋xy＋y2＋ y2＋yz＋z2＞x＋y＋z； (2)求证：12＜n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n＜1(n＞1，n∈N*)．
证明：(1)因为 x＞0，y＞0，z＞0，
所以 x2＋xy＋y2＝
x＋2y2＋34y2＞x＋2y，①
[变式训练] 已知 0＜x＜2，0＜y＜2，0＜z＜2， 求证：x(2－y)，y(2－z)，z(2－x)不都大于 1. 证明：法一：假设 x(2－y)＞1，y(2－z)＞1，z(2－x) ＞1 均成立， 则三式相乘得 xyz(2－x)(2－y)(2－z)＞1，① 因为 0＜x＜2，
所以 0＜x(2－x)＝ － x2＋2x＝ － (x－1)2＋1≤1， 同理，0＜y(2－y)≤1，0＜z(2－z)≤1. 所以三式相乘得 0＜xyz(2－x)(2－y)(2－z)≤1② ②与①矛盾，故假设不成立． 所以 x(2－y)，y(2－z)，z(2－x)不都大于 1.
归纳升华 1．当证明的结论中含有“不是”“不都”“不存 在”等词语时，适合应用反证法，因为此类问题的反面比 较具体． 2．用反证法证明不等式时，若原命题结论的否定不 止一个，就必须将结论的所有否定逐一驳倒．
3．当遇到命题的结论以“至多”“至少”等形式给 出时，一般多用反证法；应注意“至少有一个”“都是” 的否定形式分别是“一个也没有”“不都是”．
高中数学 1.5.3 反证法和放缩法课件 新人教B版选修45
＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2.
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RB ·数学 选修4-5
课
(2)假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于12，
当
前
堂
自 主
则有|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|＜2，(*)
双 基
导
达
学
又|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|
标
≥f(1)＋f(3)－2f(2)
课
2．放缩法
当
前
堂
自 主
在证明不等式时，有时需要将所需证明的不等式的值适
双 基
导 学
当
放大(或缩小) 使它由 繁 化 简 ，达到证明目的，这
达 标
种方法称为放缩法．其关键在于 放大(缩小)要适当 ．如果
所要证明的不等式中含有分式，那么我们把 分母放大 ，则
课
堂
互 相应分式的值缩小，反之，如果把
分母缩小
课 时
动
作
探
∴( a－ c)2＝0.即 a＝ c，
业
究
从而 a＝b＝c，与 a，b，c 不成等差数列矛盾，故 a， b，
c不成等差数列．
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利用反证法证“至多”、“至少”、 “唯一”型 命题
课 前
已知 f(x)＝x2＋px＋q，求证：
当 堂
自
双
主
(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2；
题或含“至多”“至少”等语句的不等式时，常可考虑反证
业
法．
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课
【自主解答】 假设三式同时大于14，
前
自 主 导
高中数学(人教版选修4-5)配套课件第二讲 2.3 反证法与放缩法
栏 目 链 接
1 1 同理，(1－b)b≤ ，(1－c)c≤ ， 4 4 1 ∴(1－a)a(1－b)b(1－c)c≤ ，与假设矛盾． 64 1 ∴(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 不能同时大于 . 4 1 证法二 假设三式同时大于 . 4 ∵0＜a＜1，∴1－a＞0， －a ＋b 1 1 ≥ －a b＞ ＝ . 2 4 2 －b ＋c －c ＋a 1 同理 ， 都大于 . 2 2 2 3 3 三式相加，得 ＞ ，此式矛盾， 2 2 ∴原命题成立．
栏 目 链 接
例 3 若 a，b，c，d∈R＋，求证：1<
a b c ＋ ＋ a＋b＋d b＋c＋a c＋d＋b
d ＋ <2. d＋a＋c
a b c d 证明：记 x＝ ＋ ＋ ＋ . a＋b＋d b＋c＋a c＋d＋b d＋a＋c ∵a、b、c、d∈R＋， a b c d ∴x> ＋ ＋ ＋ ＝1， a＋b＋c＋d a＋b＋c＋d a＋b＋c＋d a＋b＋c＋d a b c d x< ＋ ＋ ＋ ＝2. a＋b a＋b c＋d c＋d ∴1<x<2，即原式成立．
栏 目 链 接
1 1 1 1 － < <1－ ， 2 3 22 2 1 1 1 1 1 － < < － ， 3 4 32 2 3 „， 1 1 1 1 1 － < < － . n n＋1 n2 n－1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 将它们相加得： － ＋ － ＋„＋ － < ＋ ＋„＋ 2<1－ 2 3 3 4 n n＋1 22 32 n 2 1 1 1 1 ＋ － ＋„＋ － . 2 3 n－1 n 1 1 1 1 1 1 即 － < ＋ ＋„＋ 2<1－ . 2 n＋1 22 32 n n 3 1 1 1 1 1 ∴ － <1＋ 2＋ 2＋„＋ 2<2－ (n∈N*，且 n≥2)． 2 n＋1 2 3 n n
2018人教B版数学选修4-5本章整合3精选优质PPT课件
1
+
1 2
+
1 3
+
⋯
+
1 2������-1
<
������(n∈N*,n>1).
证明:(1)当
n=2时,
1
+
1 2
+
1 3
<
2,
不等式成立.
(2)假设当 n=k(k∈N*,且 k≥2)时不等式成立,
11
1
即 1 + 2 + 3 + ⋯ + 2������-1 < ������,
则当
n=k+1
时,
1
1
<
(������+1)(������+2)
������ + 1成立.
即证明 ������ + 1 − ������ > (������+11)(������+2).
专题
从而转化为证明 1 > 1 ,
������+1+ ������
������2+3������+2
也就是证明 ������2 + 3������ + 2 > ������ + 1 + ������.
(ⅰ)当 n=1 时,b1=1,有 a1≤a1,③成立.
(ⅱ)假设当n=k时,③成立,即若a1,a2,…,ak为非负实数,b1,b2,…,bk为
正有理数,
已知 a1,a2,…,ak,ak+1 为非负实数,b1,b2,…,bk,bk+1 为正有理数,
且 b1+b2+…+bk+bk+1=1,此时 0<bk+1<1,即 1-bk+1>0,
2018年秋人教B版数学选修4-5课件：本章整合1
16 , 3
(2)∵x>1,
������2 -2������+2 (������-1) +1 1 1 ∴y= 2������-2 = 2(������-1) = 2 (������-1) + ������-1 1 1 ≥ × 2 (������-1)· = 1 . 2 ������-1 1 当且仅当 x-1 = , 即 x=2 时等号成立 , ������-1 ������2 -2������+2 所以当 x=2 时 ,y= 有最小值1. 2������-2
2
2
=
64 ������2 + 2 ≥16, ������
7 x<− , 此时原不等式无解. 3
综上所述 ,原不等式的解集为 ������ ������ <
|
3 5
.
专题一
专题二
专题三
专题四
应用 2 若 f1(x) = 3|������- ������1 |,f2(x)=2· 3|������ - ������2 |,x∈R,p1,p2 为常数,且 f(x ) = ������ 1 (������), ������ 1 (������) ≤ ������ 2 (������), ������2 (������),������ 1 (������) > ������ 2 (������).
故原不等式的解集为{x|x>-3}. 解法二:∵|x-x2-2|=|x2-x+2|=x2-x+2, ∴原不等式等价于x2-x+2>x2-3x-4, 解得x>-3. 故原不等式的解集为{x|x>-3}.
人教数学选修4-5全册精品课件：第二讲三反证法与放缩法
三反证法与放缩法学习目标1・理解并掌握反证法、换元法与放缩法；2.会利用反证法、换元法与放缩法证明不等式.1.将所证的不等式的字母作适当的代换，以达到简化证题过程的目的，这种方法称为换元法•2.证明不等式时，首先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理，得到和命题的条件或己讦明的定理、性质、明显成立的事实等矛盾的结论,以说明假设不正确，从而证明原命题成立.我们把它称之为反证法.3.在证明不等式时，通过把不等式的某些部分的值放大或缩小,简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法.思考感悟运用放缩法证明不等式的关键是什么？提示：运用放缩法证明不等式的关键是放大（或缩小）要适当.如果所要证明的不等式中含有分式，那么我们把分母放大时相应分式的值就会缩小；反之，如果把分母缩小，则相应分式的值就会放大.有时也会把分子、分母同时放大，这时应该注意不等式的变化情况，可以与相应的函数相联系，以达到判断大小的目的，这些都是我们在证明中的常用方法与技巧，也是放缩法中的主要形式.课堂互动讲练考点突破反证法证明不等式设0<«v2,0v方v2,0vcv2, 求证: (2 —a)9C, (2—&)•«, (2—c)•方不可能同时大于1.【思路点拨】结论若是“都是”、“都不是”、“至少”、“差不多”或“不等于”形式的命题，往往考虑反证法，本题“不大于”的反面是“大于”，“至少有一个”的反面是“一个也没有”・【ss】sa ^(2—a )・C V L(2—b)・avL(2lc)・0VL s(2—a)・c ・(2—b)・a ・(2—c)・bvl ・CD・・• 0AaA290AT2©<CA292—a+a7・・・(2—a )・a /A( 2) H l ・ 回«“(2—3&A L (2—c )・c/Al ・・・・(2—a )a ・(2—3&・(2—c)・c /A L wIr ㊀m^M. •••s ^^ 暑•【名师点评】当题目结论为否定性命题时，常采用反证法来证明，对结论的否定要全面不能遗漏，最后的结论可以与已知的定义、定理、已知条件、假设矛盾.变式训练1已知f(x)=x2+px+q,⑴求证：/(1)+/(3)-2/-(2)=2；⑵求证：旷(1)1,『(2)1,『(3)1中至少有一个不小于12-证明：(1加1)+/(3)-欲2)=(l+〃+q)+(9+切+q) —2(4+2p+q)=2・⑵假设肛1)1，『(2)1,『(3)1都小于言・则『⑴ l+2『(2)l+|/(3)lv2・而f(l)l+2『(2)l + !A3)IM/⑴+/(3)—欲2)=(l+p+q)+(9+3p+q)—(8+4p+2q)=2 从而导出了两个矛盾的结果.・・・『(1)1、『(2)1、『(3)1中至少有一个不小于乞已知 0>0，6>0, C>0,且 0+方 2=c2.求证:当〃 M3时,a tl +b n <c n.岁点二Ih换元法证明不等式【思路点拨】条件中的^+b2=c2可化为(夕尸L/ + (£)2=1,满足这个关系的务可以用三角代换，变成三角函数式的证明.【证明】sinA=_, cosA=-，c c0<sinA<l,0<cosA<l,/. sin A+cos"A=sin" 一2A «siii2A+cos" 一2A POS%<sin2A+COS2A = 1,即(#)"+(£)"vl・:.a n+b n<c n.④对于pl —込可设工=cos 〃或x=sin 仇【名师点评】 如果两个非负数的和为1,就可用 某个角的正、余弦表示这两个数，使两个变量变成一个以角为变量的三角函数式，三角代换的规律②若 a 2+b 2=r 2(r>0)9 可设 a=rcosa, ③若 r 2^a 2+b 2^R 2(R>r>0),可设 a=ccosa, b =csimz(/WcWR)；x=cos 伏 y=sin 〃；fe=rsina ；为:・号巴+半+1+卡・・・GWZ+9ZZ启z+ra启 s +1+a +ys o e a +9z u le 「z +£0。
人教版选修A4-5数学课件：2.3 反证法与放缩法(共21张PPT)
三 反证法与放缩法
探究一 探究二 思维辨析
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X 新知导学 D答疑解惑
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【例 2】 求证 2(
1 1 1 ������ + 1-1)<1+ + …+ <2 2 3 ������
������(n∈N+).
分析：观察所证不等式,中间有 n 项需裂项相消,当 k∈N+时,因为 ������ + ������ + 1>2 ������ ,所以
1 >2( ������
������ + 1 −
1
1 4
1
1 4
1 4
1
1
又 ������(1-������) ≤
以上四个式子相加 ,得 2>2,矛盾 . ∴原命题结论成立.
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利用放缩法证明不等式
则 a(1-b)> ,b(1-c)> ,c(1-d)> ,d(1-a)> .
1 4
∴ ������(1-������) > 2 , ������(1-������) > 2 , ������(1-������) > 2 , ������(1-������) > 2.