16.2 二次根式的乘除(1)
人教版八年级数学下册_16.2二次根式的乘除
特别提醒 进行二次根式的除法运算时，若两个被开方数可以
整除，就直接运用二次根式的除法法则进行计算；若两 个被开方数不能整除，可以对二次根式化简或变形后再 相除.
感悟新知
例 3 如果
a a－8
a a－8
成立，那么( D )
A.a ≥ 8
B.0 ≤ a ≤ 8
C.a ≥ 0
知3－练
D.a>8
解题秘方：紧扣“二次根式除法法则”成立的条
(式)移到根号外时，要注意应写在分母的位置上；
(3)“三化”，即化去被开方数中的分母.
感悟新知
知5－讲
特别提醒 判断一个二次根式是否是最简二次根式，要紧扣两个条件： 1. 被开方数不含分母； 2. 被开方数中每个因数(式)的指数都小于根指数2，即每个因
数(式)的指数都是1. 注意：分母中含有根式的式子不是最简二次根式.
感悟新知
知5－练
例8 下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二
次根式？不是最简二次根式的，请说明理由.
(1)
1 ;(2)
x2＋y2 ;(3)
0.2;
3
(4)
24 x；(5)
2 .
3
解题秘方：紧扣“最简二次根式的定义”进行判断.
感悟新知
知5－练
解：(1)不是最简二次根式，因为被开方数中含有分母； (3) 不是最简二次根式，因为被开方数是小数(即含有分母)； (4)不是最简二次根式，因为被开方数24x 中含有能开得尽 方的因数4，4=22； (2)(5)是最简二次根式.
感悟新知
知3－讲
(2)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式除以单 项式的法则进行运算，将根号外的因数(式)之商作为商 的根号外因数(式) ，被开方数(式)之商作为商的被开方 数(式) ，即a b÷c d = (a÷c ) b d ( b ≥ 0，d ＞ 0，c ≠ 0 ).
人教版八年级下册16.2《二次根式的乘除》教案
1.教学重点
a.掌握二次根式的乘法法则：$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a \geq 0$，$b \geq 0$）
b.掌握二次根式的除法法则：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$（$a \geq 0$，$b > 0$）
五、教学反思
在今天的教学中，我们探讨了二次根式的乘除运算。通过这节课的学习，我发现学生们在理解乘除法则和应用这些法则解决实际问题时，普遍存在一些挑战。首先，学生们在从理论到实际应用的转换上存在一定的难度。他们能够理解乘法法则和除法法则的概念，但在将法则应用到具体题目中时，往往不知道如何下手。
例如，在计算$\sqrt{12} \times \sqrt{18}$时，部分学生未能首先将根式化简，而是直接相乘，导致计算错误。这让我意识到，在讲解乘除法则时，需要更加强调化简的步骤，让学生形成自动化的解题流程。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次根式乘除的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对二次根式乘除的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
d.了解二次根式乘除运算在实际问题中的应用。
教学内容涵盖以下例题与练习：
1.计算下列二次根式的乘积：
$\sqrt{3} \times \sqrt{5}$，$2\sqrt{6} \times 3\sqrt{2}$，$5\sqrt{2} \times \sqrt{18}$
人教版数学八年级下册16.2第1课时《二次根式的乘法》说课稿
人教版数学八年级下册16.2第1课时《二次根式的乘法》说课稿一. 教材分析《二次根式的乘法》是人教版数学八年级下册第16.2节的内容，这部分内容是在学生已经掌握了二次根式的性质和二次根式的加减法运算的基础上进行教授的。
二次根式的乘法是数学中基本的运算之一，它在数学问题的解决中有着广泛的应用。
通过学习这部分内容，可以使学生进一步理解和掌握二次根式的性质，提高他们的数学运算能力。
二. 学情分析在八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二次根式的性质和加减法运算已经有了一定的了解。
但是，学生在进行二次根式的乘法运算时，可能会对如何正确处理根号下的乘法运算感到困惑。
因此，在教学过程中，需要引导学生正确理解二次根式的乘法运算规则，并通过大量的练习来巩固他们的理解。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生理解和掌握二次根式的乘法运算规则，能够正确进行二次根式的乘法运算。
2.过程与方法目标：通过教师的引导和学生的自主探究，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养他们积极的学习态度和良好的学习习惯。
四. 说教学重难点1.教学重点：使学生理解和掌握二次根式的乘法运算规则。
2.教学难点：如何引导学生正确理解二次根式的乘法运算规则，并能够灵活运用。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用讲授法和探究法相结合的教学方法。
在讲解二次根式的乘法运算规则时，我将通过生动的例子和清晰的解释，帮助学生理解和掌握。
同时，我将引导学生进行自主探究，通过解决实际问题，来加深他们对二次根式乘法运算的理解。
此外，我还将运用多媒体教学手段，如PPT等，来辅助教学，使教学内容更加生动和直观。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引发学生对二次根式乘法运算的思考，激发他们的学习兴趣。
2.讲解：讲解二次根式的乘法运算规则，并通过大量的例子来解释和巩固。
3.练习：让学生进行二次根式乘法运算的练习，及时发现和纠正他们的错误。
16.2 二次根式的乘除
例 6 计算:(1)-2 15÷3 3×6 5;
(2)
3
·
2
÷
2
1
2
3
;(3)3 2 × -
1
8
15 ÷
1
2
2
.
5
分析(1)利用二次根式的乘除法则计算即可;(2)先根据二次根式
的除法法则计算括号里的,再计算即可;(3)先把乘除法混合运算转
化成乘法运算,再进行乘法运算即可.
22
教材新知精讲
(4)公式里的字母可以是具体的数,也可以是值为非负数的代数
式.
(5)当二次根式前面系数不为 1 时,可以类比单项式与单项式相
乘的法则,先把系数相乘,再把被开方数相乘,即
m ·
n =mn (a≥0,b≥0).
3
教材新知精讲
知识点一
知识点二
知识点三
例 1 计算:(1)
5
×
3
知识点四
知识点五
综合知识拓展
10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。17:50:0617:50:0617:509/12/2021 5:50:06 PM
教材新知精讲
综合知识拓展
11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。21.9.1217:50:0617:50Sep-2112-Sep-21
平方根的性质结合起来使用.商的算术平方根实质是二次根式除法
法则的逆用.
(5)利用商的算术平方根的性质,可以把被开方数的分母是开得尽
方的数的二次根式进行化简.
15
教材新知精讲
知识点一
知识点二
1人教版初中数学八年级下学期16.2《二次根式的乘除》(含答案)
绝密★启用前 试卷 试卷副标题 考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1=中，关于a 、b 的取值正确的说法是（ ） A ．a≥0,b≥0 B ．a≥0,b ＞0 C ．a≤0,b≤0 D ．a≤0,b ＜0 2．下列式子中，为最简二次根式的是（ ） A B C D 3．估计的值应在（ ） A ．3和4之间 B ．4和5之间 C ．5和6之间 D ．6和7之间 4(0,0)a b >>的结果是（ ） A B C D ．5．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A B C D 6．下列各式计算正确的是（ ） A =B =C ．23= D 2=-7．下列二次根式中属于最简二次根式的是( ) A ． B C D 8．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）.○……○……A．√8x B．√x2−3C．√x−yxD．√3a2b9，2，）A B．2C D．10．下列各式属于最简二次根式的有（）A B C D11=( ).A B C D．12．下列计算中，正确的是（）A．B．C D﹣313．如果0ab>，0a b+<，那么下列各式：=1=，③b=-，其中正确的是( ).A．①②B．②③C．①③D．①②③14．计算√8×√2的结果是（）A．√10B．4C．√6D．215．下列根式中属于最简二次根式的是（）A BC D16．下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A．√24B．√0.3C．√13D．√317．下列根式中属最简二次根式的是（）A B C D 18 ） A ．6到7之间 B ．7到8之间 C ．8到9之间 D ．9到10之间 19．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A B C D 20的积为无理数的是( ) A B C D 第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 21．计算 ________． 22＝a +b ，其中a 是整数，0＜b ＜1，则（）（a ﹣b ）＝_____． 23=____________． 24．若 x ﹣1，则x 3+x 2-3x+2020 的值为____________． 25=______. 26则a 的取值范围是______. 27________． 28．计算：√10÷√2 =_____． 29． 30．已知a ＞0，计算：(＝_____．32． 33．一个直角三角形的两条直角边分别为a =b =，那么这个直角三角形的面积是________． 34．若0, 0ab a b >+<，那么下面各式:=;1=；③b =-；a =，其中正确的是______ (填序号) 35．若规定一种运算为a ★b (b －a)，如3★5×(5－3)＝，★＝________．36．计算：√8÷√2＝_____．37．观察下列各式：===3；=，…请用含n （n≥1）的式子写出你猜想的规律：__ 38=，那么m 的取值范围是_____________39．计算：323c ab ⎛⎫= ⎪-⎝⎭_________.40n 的最小值为___三、解答题41．计算：2(71)+--42．已知a =√3−1√3+1，b =√3+1√3−1，求a 3+b 3−4的值.43．(1)20182019⨯- (2)41|2|2⎛⎫-- ⎪⎝⎭44．计算：（1）（﹣1）2（﹣2）0 （245．计算：|247．计算： 3 + (4) 4849． 50．先化简，再求值： （1）2212111x x x x ⎛⎫-+-÷ ⎪-⎝⎭，其中 （2）32322222b b ab b a b a a b ab b a ++÷--+-，其中1,25a b ==参考答案1．B2．B3．C4．A5．B6．C7．A8．B9．B10．B11．A12．C13．B14．B15．D16．D17．A18．C19．C20．B21．22．923．3π-24．201925．426．12 a≥27 28．√529．3031．32．33．34．②③35－2 36．2.37．(n+ 38．m＞4.39．336c 27a b -40．541．42．4843．；(2)10-+.44．（1）﹣2；（2）-．45．﹣46．247．（1）4；（2）6（3）（4）6.4849．350．（1）1 （2）10。
16-2 二次根式的乘除(原卷版)
解题技巧提炼
化简二次根式的步骤：
①把被开方数分解因式；
②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；
③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数
【变式9-1】（2022春•陇县期末）将二次根式 化为最简二次根式．
A． B． C． D．
【变式5-5】（2022春•武隆区校级期中）把二次根式a 化简为（ ）
A． B． C． D．
【例题6】（2021秋•嘉定区期中）计算： ．
解题技巧提炼
二次根式的乘除法混合运算与整式的乘除法混合运算的方法相同，整式乘除法的法则和公式在二次根式乘除法中仍然适用，在运算时要注意运算符号和运算的顺序，若被开方数是带分数要将带分数化为假分数.
◆1、最简二次根式概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
◆2、最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
【例题1】（2022秋•郸城县月考）下列计算正确的是（ ）
（3）解决实际问题：已知一个长方形的长为 ，宽为 ，求这个长方形的面积．
【例题3】计算．
（1）3 2 ；（2）4 ；（3）2 ．
解题技巧提炼
二次根式的乘法运算的实质是对法则 • （a≥0，b≥0）的正用与逆用的一个综合的过程，不仅仅是简单的把两个被开方数相乘，更重要的是对所得积进行化简.
【变式3-1】计算或化简：
八年级下册数学《第十六章二次根式》
16.2二次根式的乘除
●●二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.
16.2二次根式的乘除法(教案)
1.教学重点
本节课的教学重点主要包括以下内容：
a.掌握二次根式乘法的运算法则，特别是\( \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab} \)的形式，以及如何将其他形式的二次根式乘法转化为这一形式；
b.理解并应用二次根式除法的运算法则，特别是\( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \)和\( \frac{\sqrt{a}}{b} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b^2}} \)的形式，以及如何处理分母中含有二次根式的情况；
（3）\( \sqrt{a^2} \times \sqrt{b^2} = |a||b| \)（a、b为任意实数）
2.掌握二次根式除法的运算法则，能够正确计算以下形式的除法：
（1）\( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \)（a≥0，b＞0）
2.培养学生的逻辑思维能力，使其能够理解并运用二次根式乘除法的性质，解决实际问题；
3.培养学生的数学建模能力，通过解决实际情境中的问题，让学生体会数学知识在实际生活中的应用；
4.培养学生的数学抽象能力，让学生从具体的二次根式乘除运算中抽象出一般性规律，形成数学认知结构；
5.培养学生的合作交流意识，鼓励学生在小组讨论和交流中，共同探索二次根式乘除法的运算规律，提高解决问题的能力。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二次根式乘除法相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示二次根式乘除法的基本原理，如使用尺子和直角三角形模型来计算对角线长度。
人教初中数学八下 16.2 二次根式的乘除课件1
2020/6/10
9
计算： 24 32 （默3）
方法1： 24 32
找因数的最 大公因数,不 行再分解因 数
2432
方法2： 24 32
2 64 2
23 325 ( 8384) 8 2 3 2
16 3
16 3
2020/6/10
结果必须化为最简二次根式.
10
计算 : (1) 14 7 (2)3 5 2 10 (3) 3x • 1 xy 3
18
二次根式的乘除法： （默2）
根式和根式按公式相乘除。 根号外的系数与系数相乘除，积为结果的系数
二次根式乘除运算的一般步骤： 1.运用法则,化归为根号内的实数运算; 2.完成根号内相乘,相除(约分)等运算; 多项式先因式分解,再乘除 3.化简二次根式.
分子和分母乘除后,分别分解素因数,找平方的项开
20
43
二次根式的连乘除运算，从左向右依次计算 或系数相乘除作为系数;根式相乘除。
计算： 30 3 2 2 2 2 1 （默5）
23
2
解 : 原式 3 30 8 2 5 解 : 原式 3 2 30 8 5
2
3
2
2
32
( 3 2)( 10 8 5 )
2
2
( 3 1 )( 10 8 2 )
ab5 b ( 3
a 3b )
b 6a
a2
b ( 3) ab5 a a3b
3a 2
b
b a5b5 2a
2020/6/10
b a2b2 ab ab3 ab
23
2a
2
计算：（1）
7 3 14 3
解：
15 2
1 （2） ab3 (3 b ) (3
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4 ×5 20 ＝___ ___＝ ___， 20 ； 25 ＝ 400 ＝___
36 ＝___ 5 ×6 30 ___＝ ___， 36 ＝
（3）
25 25
30 ； 900 ＝___
一般地，二次根式的乘法法则是
a. b
ab （
a ≥0， b____ ≥0 ）.
温馨提示：在本章中，如果没有特别说明，所有 字母都表示正数. 例1 （1） 计算：
五、强化训练
1、设长方形的面积为S，相邻两边分别为 a ， b. (1)已知 a 8 , b 12 ，求S；
解：由题意得：
S =
= =
a b
2
=
8 12
8 12 =
4
2
23
4 6 = 4 6 （2）已知 a 2 50 , b 3 32 ，求S；
解：由题意得：
= 4 = 2
72
知 识 点 二
二 次 根 式 的 乘 法 运 算
把 a . b ab 反过来就可以进行二次根式 的化简.即
ab a . b（ a ≥0， b____ ≥0 ）.
例2 化简：
（1） 16 81 解：（1） 16 81 ＝ 16 × 36 . 4×9 ＝___ 81 ＝______
= 2 2 2 5 = 2
2
2
5
= 2 2 5 = 4 5
四、归纳小结
1、 a. b ab （
a
b ≥0，____≥0）
≥0，____≥0） b
2、 ab
a b （ a
3、学习反思： ________________________________ ________________________________.
第三课时 16.2.1 二次根式的乘法
永昌五中
柴进运
一、新课引入
计算：
6xy ； （1） 2 x 3 y ＝________
2a . （2） 4 a ＝________
二、学习目标
1
掌握 a . b ab （ a≥0， b ≥0）， 并利用它们进行计算和化简；
2
理解 ab a . b （ a≥0， b ≥0）， 并利用它们进行计算和化简；
三、探究新知识
认真阅读课本第6至7页的内容，完成下面练习并 体验知识点的形成过程.
知 识 点 一
二 次 根 式 的 乘 法 法 则
探究 计算下列各式，观察计算结果，你能发 现什么规律？ （1） 4
4
2 ×3 9 ＝___ ___＝6 ___，
9＝
25
6 ； 36 ＝பைடு நூலகம்__
（2） 16
16
S =
= 2 50 3 32 = 6 50 32 = 6 40 2 = 6 40 = 240
a b
2、设正方形的面积为S，边长为 a . (1)已知S=50，求 a ；
解：由题意得：
a=
= =
s = 50
5
5 2
2
2 =
5
2
2
(2)已知S=242，求 a .
例3
计算：
7
（1） 14 （3） 3 x
（2）3 5 2 10
1 xy 3
7
解：（1） 14 = = =
14 7
7 2
2
72
2
7 2 = ______
（2） 3 5 2 10
= 3×2 5 10 = 6 = 6 = 6
（3） 3 x
=
1 xy 3
（2）
4a2b3
解：（2） 4a2b3 ＝ 4 ·
2 a ·
b3
2 · b b ＝___ __a · ____
2 ab · ＝____ __ b
2ab b ＝______
温馨提示：被开方数 4a b 中含有因数或因 2 3 式 4，a , b ，应把它们开方后移到根号外. 它们是开得尽方的因数或因式.
2
3
化简：
（1） 49 121 解：原式= 49 121
= =
7 11 77
y
（2） 225 解：原式= 25 9
5 3 = 15
=
（3） 4 y 解：原式= 4
= 2
（4） 16ab2c3 解：原式= 16 a b2 c3
= =
y
4bc a c 4bc ac
52
2
=
1 3 x xy 3
52 2
5 2 ___
=
x
2
y
x2 y
30 2 = ______
x y = ______
一个长方形的长和宽分别是 10 和 2
2 .
求这个长方形的面积.
解：由长方形的面积=长×宽，可得
S = 10 2 2 = 2 10 2
解：由题意得：
a=
= = 11
s=
242
2
11
2
2 =
11 2
2
Thank you!
3 5
3
27 1 3
（2）
5 ＝
27
解：（1）
15
（2）
1 3
＝
1 27 3
＝
3 9 ＝ ___
计算
（1） 2 5
解：原式= 10 （2） 3 12 解：原式= 3 12
= 36 =
（3） 2
6
1 2
2 6 1 2
（4） 288 1
6
72
解：原式=
= 2 3
解：原式= 288 1