巴蜀中学2015-2016学期中数学试题
【百强校】2015-2016学年重庆市巴蜀中学高一下期中理科数学试卷(带解析)
绝密★启用前【百强校】2015-2016学年重庆市巴蜀中学高一下期中理科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：178分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、已知实数满足，设，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．2、设正数满足：，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．4D ．23、已知是三角形所在平面内一定点，动点满足，则点轨迹一定通过三角形的（ ）A ．重心B ．外心C ．垂心D ．内心4、给出下列四个命题，其中正确的命题是（ ） ①若，则是等边三角形；②若，则是直角三角形； ③若，则是钝角三角形； ④若，则是等腰三角形；A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④5、设等差数列的前项和为，且满足，对任意正整数，都有，则的值为（ ）A ．1006B ．1007C ．1008D ．10096、在中，分别是三内角的对边，若，则是（ ）A ．等边三角形B ．有一内角是30°的三角形C ．等腰直角三角形D ．有一内角是30°的等腰三角形7、在中，分别是三内角的对边，且，则角等于（ ）A ．B ．C ．D ．8、直线的倾斜角的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．9、已知五个数成等比数列，则的值为（ ）A ．3B ．C ．D ．10、已知单位向量满足：，则（ ）A ．B ．C ．D ．11、在中，内角所对应的边分别为，若，且成等比数列，则的值为（ ）A ．B ．C ．2D ．412、设数列满足则（ ）A ．8064B ．8065C ．8067D ．8068第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、已知数列的前项和为且，则_________.14、已知三角形中，过中线的中点任作一条直线分别交边于两点，设，则的最小值为___________.15、有如下命题：①“”是“”成立的充分不必要条件；②，则；③对一切正实数均成立；④“”是“”成立的必要非充分条件.其中正确的命题为___________．（填写正确命题的序号）16、在中，内角所对的边分别为，已知，如果这样的三角形有且只有一个，则的取值范围为________.三、解答题（题型注释）17、已知数列满足：，.（1）求数列的通项公式； （2）若，试比较与的大小.18、已知，点在函数的图像上，其中.（1）证明：数列是等比数列；（2）记，求数列的前项和.19、在中，角所对的边分别为.（1）若、、成等比数列，，求的等差中项；（2）若，求.20、数列满足.（1）已知，若数列成等差数列，求实数；（2）求数列的前项和.21、在中，角所对的边分别为，设为的面积，且.（1）求角的大小； （2）若，求周长的取值范围.22、已知，且.（1）求的最小值；（2）求的最小值，并求出、相应的取值.23、已知，与的夹角为. （1）求；（2）求为何值时，.参考答案1、D2、A3、A4、C5、D6、C7、B8、C9、B10、D11、C12、B13、14、15、①③16、或17、（1）；（2）．18、（1）证明见解析；（2）．19、（1）；（2）．20、（1）；（2）．21、（1）；（2）．22、（1）；（2）．23、（1）；（2）．【解析】1、试题分析：设且，则，令，所以，当时上述不等式中的等号成立，所以. 考点：基本不等式的应用．【方法点晴】本题主要考查了基本不等式的应用，其中正确构造基本不等式的应用条件是使用基本不等式的基础和关键，试题思维量大，运算繁琐，属于难题，着重考查了构造思想和转化与化归思想的应用，本题的解答中，设且，得，即可利用基本不等式，可求得的值，即可求解取值范围．2、试题分析：由，可得，且，所以，当且仅当，即时等号是成立的，故选A．考点：基本不等式的应用求最值．3、试题分析：作出如图的图形，由于，所以，由加法法则知，在三角形的直线上，所以动点的轨迹一定经过的重心，故选A．考点：向量的运算及向量加法的几何意义．4、试题分析：对于①中，因为余弦函数的值域为，所以由，则，又因为，所以，所以是等边三角形，是正确的；对于②中，，即，所以或，则或，所以是直角三角形，是错误的；对于③中，因为，所以中必有一个为负数，不妨设，则角为钝角，所以是钝角三角形，是正确的；对④中，由，所以或，即或，所以是等腰三角形，是错误的，故选C．考点：三角形状的判定．5、试题分析：设等差数列的公差为，因为满足，，所以，所以，，对任意正整数，都有，则，故选D．考点：等差数列的前项和的应用．【方法点晴】本题主要考查了等差数列的通项公式及其前项和公式的应用，不等式的性质，着重考查了学生分析解答问题的能力和转化与化归的思想方法，属于中档试题，本题的解答中，设等差数列的公差为，利用等差数列的前项和公式，可得，可得数列为递减数列，在利用，即可求解的值．6、试题分析：由，由正弦定理得，所以，则，所以，所以为等腰直角三角形，故选C．考点：正弦定理的应用．7、试题分析：由正弦定理得，又由余弦定理得，故选B．考点：正弦定理与余弦定理的应用．8、试题分析：由题意得，直线的斜率为，设直线的倾斜角为，及，所以，故选C．考点：直线的斜率与倾斜角．9、试题分析：由题意得，，又，所以，故选B．考点：等比数列的性质．10、试题分析：由题意得，，所以，故选D．考点：向量的运算．11、试题分析：在中，由，利用正弦定理得，所以，得，由余弦定理得，又成等比数列，所以，所以，所以，故选C．考点：正弦定理与余弦定理的应用．12、试题分析：由，可得，两式作差得，，即，所以数列的奇数项与偶数项均构成等差数列，因为，所以奇数项的公差为，所以，故选B．考点：数列的递推式及等差数列的通项公式．【方法点晴】本题主要考查了数列的递推关系是等差数列的定义及其通项公式的应用，着重考查了数列的递推关系的化简、分析问题和解答问题的能力及转化与化归思想的应用，属于中档试题，本题的解答中由数列的递推关系式，可得，即可说明数列的奇数项与偶数项均构成等差数列，由等差数列的通项公式，即可求解结果．13、试题分析：由题意得，所以．考点：数列的求和．【方法点晴】本题主要考查了数列的求和及数列的递推式的化简、运算，其中正确化简数列的递推关系，合理裂项是解得此类问题的关键，试题思维量大，运算量大，难点多，有一定的难度，属于难题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中，正确、合理化简数列的通项公式是解答的关键．14、试题分析：因为且为的中点，所以,又因为，所以,所以，又三点共线，所以，于是．考点：平面向量的运算及基本不等式的应用．【方法点晴】本题主要考查了平面向量的运算及基本不等式的应用，中点考查了平面向量的加法运算、向量的共线及共面的基本定理，基本不等式求解最值等知识点，求解本题的关键在于构造基本不等式的条件，利用基本不等式求解最值，着重考查学生分析问题和解答问题的能力及运算推理能力，属于中档试题．15、试题分析：由题意得，对于①中，“”是“”成立的，当“”时，则“”或“”所以是成立的；对于②时，则，所以是不成立的；对于③中，，所以对一切正实数均成立是成立的；对于④“”是“”成立的充分比必要条件，所是不成立的，故选①③．考点：不等式的性质及命题的真假判定．16、试题分析：由题意得，在中内角所对的边分别为，由，所以，所以当或时，此时满足条件的三角形只有一个．考点：正弦定理的应用．17、试题分析：（1）通过对合理变形，可得数列，求得数列的通项公式，即可求解数列的通项公式；（2）通过（1）作差可知，利用等比数列求和，即可计算，得到结论．试题解析：（1）原式可变形得：，则，记，则，易求得所以．（2），易知，当且时，与同号，所以．考点：等比数列的定义及数列的递推式的应用．18、试题分析：（1）由已知化为，同时两边取对数，即可判定数列为等比数列；（2）由（1）求出数列的通项公式，代入得，利用裂项求和．试题解析：（1）由已知，∴，∵，∴，两边取对数得，即，∴是公比为2的等比数列．（2）由（1）式得，，∴，∴，∴．又，∴，∴，∵，∴．考点：等比数列的定义及数列的递推式；数列的求和．【方法点晴】本题主要考查了等比数的通项公式及其递推关系的化简、数列的求和问题，其中熟练掌握利用取对数法把已知转化为的等比数列问题的求解、等比数列的定义及通项公式，“裂项求和”法等是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中，把数列的通项公式合理裂项、准确计算是本题的一大易错点．19、试题分析：（1）由，所以，再根据三角形的面积和余弦定理，求得；（2）由已知可得，，，进而可得，由，代入数据可得的值．试题解析：（1），所以，又，所以，又由，解得：．（2）．．．．．．．．．．．．．．．．①由得，又由得，可求得，所以代入①得由和，所以．考点：等差、等比数列的性质及其余弦定理的应用．【方法点晴】本题主要考查了等差数列与等比数列的通项及性质，涉及到三角形中正弦定理与余弦定理的应用，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中利用正弦定理可把，化为，进而可求解的值，同时计算出的值，代入题设条件，即可求解的值．20、试题分析：（1）由，可变形为，即，令，则数列成等差数列，即可求解的值；（2）由（1）可得，再利用“乘公比错位相减法”，即可求解数列的和．试题解析：（1），令，则数列成等差数列，所以．（2）成等差数列，；得，①②①-②得．所以．解法二：（1）且数列成等差数列，所以有为常数．，要使为常数，需．考点：等差数列的定义及通项公式；数列求和．21、试题分析：（1）根据三角形的面积公式，根据余弦定理，求出，根据的范围利用特殊角的三角函数值即可得到的度数；（2）求周长的取值范围，利用余弦定理，结合基本不等式，即可求解．试题解析：（1）由已知得：，所以，（2）由正弦定理得：，所以，，因为，所以，所以周长的取值范围是．考点：正项定理、余弦定理及三角形的面积公式．22、试题分析：（1）利用基本不等式，可得，得，确定等号成立的条件，即可求解；（2）由，即可利用基本不等式，求解最值，确定等号成立的条件，得到的值．试题解析：（1）由，得：，即：；等号成立的充要条件是且，即，∴的最小值为2；（2）；等号成立的充要条件是且，即：；∴的最小值为；此时．考点：基本不等式的应用求解最值．23、试题分析：（1）由向量的模的计算公式，可化简得，即可求解；（2）根据，所以，列出方程，即可求解．试题解析：（1），所以.（2）因为，所以，即，即，解得．考点：向量的运算．。
重庆市巴蜀中学2015-2016学年高二下学期期中考试数学(
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 复数212iz i-=+的虚部为（ ） A ．1 B ．1- C ．i D ．i - 2. 最小二乘法的原理是使得（ ）最小 A ．()1n iii y a bx =-+∑ B ．()21niii y a bx =⎡⎤-+⎣⎦∑C ．()221niii y a bx =⎡⎤-+⎣⎦∑ D ．()21ni i i y a bx =-+⎡⎤⎣⎦∑3. 若()5,1X N ，则()47P X <<=（ ）(已知()()0.6826,220.9544P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=,()330.9974P X μσμσ-<<+=)A ．0.8185B ．0.3413C ．0.4772D ．0.9769 4. 下列命题中真命题的个数为（ ）①两个变量,x y 的相关系数r 越大，则变量,x y 的相关性越强；②命题2:,210p x R x x ∀∈-->的否定为2000:,210p x R x x ⌝∃∈--≤；③从4个男生3个女生中随机抽取3个人，每个人被抽取的可能性相同，则至少有一个女生的选取种数为31种.A ．0B ．1C ．2D ．3 5. 已知命题()22:48,:2100p x q x x m m -≤-+-≤>，若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为（ ）A ．5或11B ．011m <≤C ．05m <≤D ．05m << 6. 为了研究学生性别与是否喜欢数学课之间的关系，得到列联表如下，请判断有（ ）把握认为性别与喜欢数学课有关.参考数据：()()()()()22n ad bc K a b a d a c b d -=++++A ．0090 B ．0095 C ．0099 D ．0099.9 7. 现有4种不同的颜色为公民基本道德规范四个主题词(如图) 涂色，要求相邻的词语涂不同颜色，则不同的涂法种数为（ ）A ．144B ．108C ．54D ．27 8. 已知函数()34f x x x =-,则过点()1,4P -可以作出（ ）条()f x 图象的切线A ．0B ．1C ．2D ．39. 拋掷一枚质地均匀的骰子两次，记{A =两次点数均为奇函数｝，B =｛两次点数之和为6｝，则()P B A =（ ） A ．59 B ．13 C ．536 D ． 2310. 有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名，比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁 11. 如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A ．1B ． 43C ．83 D ．412. 如图，双曲线()22221,0x y a b a b-=>的右顶点为A ，左右焦点分别为12,F F ，点P 是双曲线右支上一点，1PF 交左支于点Q ，交渐近线by x a=于点,R M 是PQ 的中点，若21RF PF ⊥，且1AM PF ⊥，则双曲线的离心率是（ ）A ．2 C第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知随机变量25,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，则()52E ξ+= ． 14.532x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 展开式中的常数项为 ．15. 已知函数()ln xf x ea x -=-在定义域内单调递增，则a 的取值范围为 ．16. 将正整数排成如图三角形数阵，每排的数称为一个群，从上到下顺序为第一群，第二群，…,第n 群，第n 群恰好有n 个数，则第8群中8个数的和为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()241n n S a n N *=+∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n T 为数列12n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，证明：()213n T n N *≤<∈.18. （本小题满分12分）一工厂对某条生产线加工零件所花费时间进行统计，得到如下表的数据：（1）从加工时间的五组数据中随机选择两组数据，求该两组数据都小于加工时间的均值的概率；（2）若加工时间y 与零件数x 具有相关关系，求y 关于x 的回归直线方程； （3）若需加工80个零件，根据回归直线预测其需要多长时间.(^121()()()niii nii x xy y b x x ==--=-∑∑，^^^a y b x =-)19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，,,222,3AB BC AD DC AC BC DC BM BP ⊥⊥====.（1）求证：CM 平面PAD ；（2）若CM 与平面PAC AP 的长.20. （本小题满分12分）已知焦点在y 轴上的椭圆()2222:10y xC a b a b+=>>，离心率为2，且过点⎝，不过椭圆顶点的动直线:l y kx m =+与椭圆C 交于A 、B 两点，求：（1）椭圆C 的标准方程；（2）求三角形AOB 面积的最大值，并求取得最值时直线OA 、OB 的斜率之积.21. （本小题满分12分）已知函数()()()21,xf x xe k x k R =-+∈.（1）2ek =时，求()f x 的单调区间和极值； （2）若()f x 在R 上只有一个零点，求k 的取值范围.22.（本小题满分10分） 过O 外一点P 作O 的两条割线,PAB PMN ，其中PMN 过圆心O ，再过P 作O 的切线PT ，切点为T ，已知1PM MO ==. （1）求切线PT 的长； （2）求AM BMAN BN.巴蜀中学高2017届高二下数学期中考试数学试题（理）参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1-5.BDACC 6-10.DBCBD 11-12.CB 二、填空题（每小题5分，共20分）13.4 14.40 15.1a e≤- 16.749三、解答题17.解：（1）1n =时，11a =；2n ≥时，()21141n n S a --=+，又()241n n S a =+，两式相减得()()1120n n n n a a a a --+--=,{}10,2,n n n n a a a a ->∴-= 为是以1位首项，2为公差的等差数列，即21n a n =-. （2）()()1221121212121n n a a n n n n +==--+-+ 1111111...11335212121n n T T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-∴< ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭又11120,3n n n T T a a +>∴≥=. 综上213n T ≤<成立. 18. 解：（1）记：“加工的分钟数都小于加工时间的均值” 为事件A ，6268758288755y ++++==()()25117510P A P y C =<==. （2）由题，2028303438305x ++++==,()2514001001004001000ii x x =-=+++=∑()()5126070070260660iii x x y y =--=++++=∑^121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑0.66,=∴^^55.2a y b x =-=所以回归方程为 0.6655.2y x =+（3）80x =时， 0.668055.2108y x =⨯+=即预测其加工80个零件需要108分钟. 19. 解：（1）证明：以A 为原点，,AC AP 分别为,x z 轴建立如图所示的空间坐标系, 设AP a =，则()()33,,2,0,0,0,0,22B C D P a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2113,1,333BM BP CM CB CP a ⎛⎫=∴=+=- ⎪ ⎪⎝⎭由已知PA ⊥面ABCD ，PA CD ∴⊥，又,AD CD CD ⊥∴⊥平面PAD12CD ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭为面PAD 的一个法向量. 10,232CM CD CM ⎛∴=+-⨯=∴ ⎝⎭ 平面PAD . （2）由（1）设(),,n x y z = 为PAC 的法向量，则0000n AC x z n AP ⎧==⎧⎪⇒⎨⎨==⎩⎪⎩,所以可取()0,1,0n ==a=20. 解：（1）因为椭圆C离心率为2，可设方程为222214y xb b+=，过点2⎛⎝，所以1b=，所以椭圆C的标准方程为2214yx+=.（2）设()()1122,,,A x yB x y联立2214y kx myx=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2224240k x kmx m+++-=()221640k m∆=+->①此时满足①，所以2212121212124OA OBy y x x mk k k kmx x x x x x+==++=-.21. 解：（1）由函数()()()21,xf x xe k x k R=-+∈得()()()'21xf x e k x=-+,2ek=时，()()()'1xf x e e x=-+，()'0f x>得，1x<-或1x>，所以增区间是()(),1,1,-∞-+∞；()'0f x <得11x -<<，所以减区间是()1,1-，()f x 的极大值是()11f e-=-，()f x 的极小值是()1f e =-.（2）()f x 在R 上只有一个零点等价于()21xxe k x =+有一个根，也即是y k =与()()21xxe F x x =+只有一个交点，()()23(1)'1xx e F x x +=+，可得()F x 在(),1,-∞-()1,-+∞递增，且1x <-时，()12xe F x x x=++，得()(),0F x ∈-∞，当1x >-时，()(),F x ∈-∞+∞，()y F x =的图像如图，所以y k =与()()21xxe F x x =+只有一个交点的k 的取值范围是0k ≥.22. 解：（1）由切割线定理23,PT PM PN PT ==∴= （2）,ABM AMN BPM NPA ∠=∠∠=∠,BM PBPAN PBM AN PN∴∆∆∴= ,PAM PNB PMA PBN ∠=∠∠=∠ ,AM PAPAM PBM BN PN∴∆∆∴= 2213AM BM PA PB PM PN AN BN PN PN ∴=== .。
【全国百强校】重庆市巴蜀中学2015-2016学年高二上学期期中考试理数试题解析(解析版)
一、选择题（12小题，每小题5分，共60分）1．一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（）A．8πB．6πC．4πD．π【答案】C考点：棱柱的结构特征；球的体积和表面积．2．若实数k满足0＜k＜9，则曲线﹣=1与曲线﹣=1的（）A．焦距相等 B．实半轴长相等 C．虚半轴长相等 D．离心率相等【答案】A【解析】试题分析：当0＜k＜9，则0＜9﹣k＜9，16＜25﹣k＜25，即曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=25，b2=9﹣k，c2=34﹣k，曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=25﹣k，b2=9，c2=34﹣k，即两个双曲线的焦距相等，故选A．考点：双曲线的几何性质．3．椭圆的右焦点到原点的距离和到右准线的距离相等，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】考点：椭圆的几何性质．4．若P两条异面直线l，m外的任意一点，则（）A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面【答案】B【解析】试题分析：设过点P的直线为n，若n与l、m都平行，则l、m平行，与l、m异面矛盾，故选项A错误；由于l、m只有唯一的公垂线，而过点P与公垂线平行的直线只有一条，故B正确；对于选项C、D可参考下图的正方体，设AD为直线l，A′B′为直线m，若点P在P1点，则显然无法作出直线与两直线都相交，故选项C错误；若P在P2点，则由图中可知直线CC′及D′P2均与l、m异面，故选项D错误．故选B．考点：空间中直线与直线之间的位置关系．5．已知某几何体的三视图如图，其中正（主）视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为（）A．24﹣B．24﹣C．24﹣πD．24﹣【答案】A考点：三视图，几何体的体积．6．已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|=2，则|BF|=（）A．1 B．2 C．4 D．4【答案】B【解析】试题分析：抛物线y2=4x的焦点F为（1，0），准线为x=﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线的定义可得|AF|=x1+1=2，解得x1=1，y1=±2，即有AB⊥x轴，可得|BF|=|AF|=2．故选B．考点：抛物线的几何性质．7．如图，已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB则下列结论正确的是（）A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABC所成的角为45°【答案】D考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质．8．已知直线l，m，n，平面α，m⊂α，n⊂α，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要条件 D．既不充分也不必要【答案】A【解析】试题分析：∵l⊥α由线面垂直的定义知：l⊥m，且l⊥n．又∵由线面垂直的判定定理知l⊥m，且l⊥n推不出l⊥α．∴“l⊥α”是“l⊥m，且l⊥n”的充分不必要条件．故选A．考点：充分必要条件．【名师点睛】本题能充分考查学生对线面垂直的定义及线面垂直判定定理的理解，并能对充分、必要条件的概念有个更深刻的理解，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．1．直线与平面垂直的定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.2．直线与平面垂直的判定定理：自然语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α.9．a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平面，现给出四个命题①②③④其中正确的命题是（）A．①②B．③④C．③D．③②【答案】C考点：命题的真假判断与应用，空间线线、线面、面面平行．10．P是椭圆上的一点，F1、F2分别是左右焦点，若|PF1|=3|PF2|，则过点P的椭圆的切线的斜率是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：在中，a2=4，b2=2，c2=a2﹣b2=4﹣2=2，则c=，a=2，e==，∵|PF1|=3|PF2|，|PF1|+|PF2|=2a=4，∴4|PF2|=4，则|PF2|=1，设P（x0，y0），则由|PF2|=a﹣ex0=1，得2﹣x0=1，即x0=1，得x0=，则设P（x0，y0），若P为第一象限的点，则y=，则y′=﹣，当x=时，切线斜率k=f′（）=﹣=﹣，若P为第四象限的点，则y=﹣，则y′=，当x=时，切线斜率k=f′（）==，故过点P的椭圆的切线的斜率是，故选D．考点：椭圆的几何性质．【名师点睛】本题考查椭圆的定义与导数的几何意义．在圆锥曲线中凡是曲线上的点与焦点的距离时，经常应用定义，可以求出这个距离．本题中，由|PF1|=3|PF2|结合椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a=4，可得|PF2|=1，从而再结合第二定义可求得P点横坐标x0P可能在第一象限也可能在第四象限，故要分类讨论，不分类讨论是本题的易错点，分类后可用函数的知识来求得切线的斜率．11．已知121m n+=（m＞0，n＞0），当mn取得最小值时，直线y=﹣+2与曲线+=1的交点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B考点：根的存在性及根的个数判断；基本不等式，曲线的方程与方程的曲线．12．已知函数f（x）=﹣x ﹣+2e有且只有一个零点，则k的值为（）A．e+B．e2+ C．e2+D．e+【答案】B考点：函数的零点．【名师点睛】本题考查了函数的导数在求解函数最值，极值中的应用，函数零点转化为函数交点问题求解，属于中档题．具体解法是：令f（x）=﹣x ﹣+2e=0可得k =﹣x2+2ex；再设g（x）=﹣x2+2ex，从而求导得g′（x）=ln2exx﹣2（x﹣e）；利用导数判断单调性求出极值，运用函数g（x）=ln xx﹣x2+2ex与直线y =k 的图象的交点判断即可．二、填空题（4小题，每小题5分，共20分）13．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为C 1D 1的中点，则异面直线AE 与BC 所成的角的余弦值为 ． 【答案】23考点：异面直线及其所成的角．14．设双曲线C 经过点（1，3），且与﹣x 2=1具有相同渐近线，则C 的方程为 ． 【答案】22162y x -= 【解析】试题分析：∵双曲线C 经过点（1，3），且与﹣x 2=1具有相同渐近线，∴设双曲线C 的方程为﹣x 2=λ，（λ≠0），把点（1，3）代入，得：，解得λ=2，∴双曲线C 的方程为：22162y x -=． 考点：双曲线的标准方程；双曲线的几何性质．15．圆锥的轴截面是正三角，则它的侧面展开扇形圆心角为 弧度．【答案】π【解析】试题分析：设圆锥的底面半径为r ，母线为l ，则l=2r ，于是侧面展开图的扇形半径为l ，弧长为2πr ， ∴圆心角α==π．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台），圆锥的侧面展开图．【名师点睛】旋转体的侧面展开图问题：1．圆柱的侧面展开图是矩形，矩形的高是圆柱的高（母线），矩形的底是圆柱的底面周长．2．圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，侧面展开图扇形的中心角是θ，则2r lπθ=． 3．圆台的上、下底面半径分别为r,R ，母线长为l ，侧面展开图圆环的中心角为θ，则2R r l θπ-=⋅．16．抛物线y 2=4x ，直线l 过焦点F ，与其交于A ，B 两点，且，则△AOB （O 为坐标原点）面积为 ．考点：圆锥曲线与平面向量；直线与圆锥曲线的关系．【名师点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．三、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）17．设定函数f （x ）=x 3+bx 2+cx+d （a ＞0），且方程f ′（x ）﹣9x=0的两个根分别为1，4．（1）当a=3且曲线y=f （x ）过原点时，求f （x ）的解析式；（2）若f （x ）在（﹣∞，+∞）无极值点，求a 的取值范围．【答案】（1）32(x)212f x x x =-+；（2）[,]19．【解析】试题分析：先对函数f （x ）进行求导，然后代入f ′（x ）﹣9x=0中，再由方程有两根1、4可得两等式；（1）将a 的值代入即可求出b ，c 的值，再由f （0）=0可求d 的值，进而确定函数解析式．（2）f （x ）在（﹣∞，+∞）无极值点即函数f （x ）是单调函数，且可判断是单调增函数，再由导函数大于等于0在R 上恒成立可解．17.试题解析：由32(x),3a f x bx cx d =+++得'2(x)2.f ax bx c =++ 因为'2()9290f x x ax bx c x -=++-=的两个根分别为1,4，考点：利用导数研究函数的极值；一元二次方程的根的分布与系数的关系．18．已知正方形ABCD，PA⊥平面ABCD，且，E是AB中点．（1）求证：AE⊥平面PBC；（2）求点E到平面PAC的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）1 2【解析】（2）∵E 是AB 中点，∴点E 到平面PAC 的距离为点B 到平面PAC 的距离的．连接BD ，交AC 于点O ，则AC ⊥BO ，又∵PA ⊥平面ABCD ，BO ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥BO ．∵AC ∩PA=A ，∴BO ⊥平面PAC ．∴BO 为点B 到平面PAC 的距离．∵，∴BO=1．∴点E 到平面PAC 的距离为1122BO =．考点：点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定．19．已知椭圆C ：的离心率为，其中左焦点（﹣2，0）．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线y=x+m 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，求线段AB 的最大值．【答案】（1）22184x y +=；（2． 【解析】（2）设11(),A x y 22()B x y ， 由222213428084x y x mx m y x m ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩，∴212496803m m m x x ∆=->⇒-<<+=-，212283m x x -⋅=，=，∴当max 0,m AB ==． 考点：椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的关系．【名师点睛】直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(1)斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则所得弦长|P 1P 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝ (1＋1k 2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]＝ 1＋1k2|y 1－y 2| (2)斜率不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用坐标轴上两点间距离公式)．20．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，P 是AD 1中点，Q 是BD 中点，E 是DD 1中点．（1）求证：PQ ∥平面D 1DCC 1；（2）求异面直线CE 和DP 所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2(2)取11,,, a.A D F FP FE FC 中点，连接设正方体棱长为∴FP //1,1111//,//.22AA E DD DE AA FP DE ∴∴又是中点， 故四边形FPDE 是平行四边形，∴//FE DP∴FEC ∠或其补角中的锐角或直角为异面直线CE 和DP 所成角.在3,,.2EFC FE EC FC a ==中，222cos 2FE EC FC FEC FE EC +-∠==⋅∴异面直线CE 和DP 考点：异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定．21．已知抛物线C ：x 2=2py （p ＞0）的焦点为F ，抛物线上一点A 的横坐标为x 1（x 1＞0），过点A 作抛物线C 的切线l 1交x 轴于点D ，交y 轴于点Q ，当|FD|=2时，∠AFD=60°．（1）求证：FD 垂直平分AQ ，并求出抛物线C 的方程；（2）若B 位于y 轴左侧的抛物线C 上，过点B 作抛物线C 的切线l 2交直线l 1于点P ，AB 交y 轴于点（0，m ），若∠APB 为锐角，求m 的取值范围．【答案】（1）证明见解析，抛物线方程为24x y =；（2）(1,)+∞.（2）设22(,)B x y 2(0)x <则B 处的切线方程为22224x x y x =- 由211121222224(,),2424x x y x x x x x p x x y x ⎧=-⎪+⎪⇒⎨⎪=-⎪⎩ 法一：1211221221()()(,),(,)2424x x x x x x x x x x PA PB ----==， APB ∠为锐角，∴2212121212()()04416x x x x x x PA PB x x --⋅=-->⇒<-， 直线AB ：()2212221112111244()444x x x x x x y x x y x x x x -+-=-⇒-=--， 将(0,m)代入的1214x x m =->，∴m 的取值范围为(1,)+∞. 法二：令y kx m =+，由24x y y kx m⎧=⎨=+⎩得2440x kx m --=， 12124,4x x k x x m +==-，∴1122(2,),(2,),(2,)P k m PA x k y m PB x k y m -=-+=-+，∴2121212(2)(2)()()(1)PA PB x k x k y m y m k x x ⋅=--+++=+(22)km k +-12()x x +2244k m ++ =224(1)440m k m m -+->对任意k 恒成立. ∴2101440m m m m ->⎧⇒>⎨->⎩． 考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．22．已知函数f （x ）=x 2﹣lnx+x+1，g （x ）=ae x ++ax ﹣2a ﹣1，其中a ∈R ．（Ⅰ）若a=2，求f （x ）的极值点；（Ⅱ）试讨论f （x ）的单调性；（Ⅲ）若a ＞0，∀x ∈（0，+∞），恒有g （x ）≥f ′（x ）（f ′（x ）为f （x ）的导函数），求a 的最小值．【答案】（Ⅰ）极值点为x 0=；（Ⅱ）当14a ≤-时，()f x 在(0,)+∞上是减函数；当104a -<<时，()f x在是增函数，在，)+∞上是减函数； （Ⅲ）11e -.试题解析：（Ⅰ）∵f ′（x ）=ax ﹣+1，x ∈（0，+∞），∴a=2时，f ′（x ）=2x ﹣+1===0，当0141a <+<即104a -<<时，210ax x +-=的根为12x x ==且120x x >>.当x ∈时，210,ax x +->即'()0f x >，得()f x 是增函数；当x ∈，)+∞时210,ax x +-<即'()0f x <得()f x 是减函数. 综上：当14a ≤-时，()f x 在(0,)+∞上是减函数；当104a -<<时，()f x 在是增函数，在，)+∞上是减函数. （Ⅲ）令()h x ='1()()2(1),x a g x f x ae a x +-=+-+(0,)x ∈+∞ 于是2'221(1)()x xa ae x a h x ae x x +⋅-+=-= 令2()(1)x P x ae x a =⋅-+，则'()(2)0,xP x ax x x =⋅+>即()P x 在(0,)+∞上是增函数.∵(0)(1)0P a =-+<，而当x →+∞，()P x →+∞，由(0,)x ∀∈+∞，恒有'()(),g x f x ≥转化为200112(1)a a a x x +++-+0≥，③ 由0a >，③式可化为200210x x --≤，解得0112x -≤≤. 再由00x >于是001x <≤由②可得0201x a e x a +⋅= 令0200()xx e x ϕ=⋅则根据()P x 的单调性易得0()x ϕ在(]0,1是增函数， ∴0(0)()(1)x ϕϕϕ<≤即10a e a +<≤，解得11a e ≥-，即a 的最小值为11e -. 考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【名师点睛】1．求可导函数极值的步骤①求f ′(x )；②求方程f ′(x )＝0的根；③检查f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根左右值的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得 ；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点．2．函数在指定区间上单调递增(递减)，函数在这个区间上的导数大于或等于零(小于或等于零)，只要不在一段连续的区间上恒等于零即可，求函数的单调区间解f ′(x )＞0(或＜0)即可．3．求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．4．两个条件(1)f ′(x )＞0在(a ，b )上成立是f (x )在(a ，b )上单调递增的充分条件．(2)对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是函数f (x )在x ＝x 0处有极值的必要不充分条件．：。
2015-2016学年重庆市巴蜀中学高三(上)期中数学试卷和答案(文科)
2015-2016学年重庆市巴蜀中学高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）复数z满足，则|z|=（）A．B．2 C．D．2．（5分）函数f（x）=的定义域为（）A．[2，3） B．（2，3） C．[2，+∞）D．（﹣∞，3]3．（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y=x+1 B．y=﹣x2C．y= D．y=x|x|4．（5分）在等比数列{a n}中，a7a11=6，a4+a14=5，则等于（）A．B．C．D．5．（5分）命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．∃x∈R，x3﹣x2+1≥0 B．∃x∈R，x3﹣x2+1＞0C．∃x∈R，x3﹣x2+1≤O D．∀x∈R，x3﹣x2+1＞06．（5分）cos（﹣φ）=，且|φ|＜，则tanφ为（）A．﹣ B．C．﹣ D．7．（5分）已知=（2，1），=（x，﹣6），若⊥，则|+|=（）A．5 B．C．6 D．508．（5分）已知命题p1：函数y=2x﹣2﹣x在R为增函数，p2：函数y=2x+2﹣x在R 为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：（￢p1）∨p2和q4：p1∧（￢p2）中，真命题是（）A．q1，q3B．q2，q3C．q1，q4D．q2，q49．（5分）若函数f（x）的零点与g（x）=4x+2x﹣2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f（x）可以是（）A．f（x）=4x﹣1 B．f（x）=（x﹣1）2C．f（x）=e x﹣1 D．f（x）=ln（x﹣）10．（5分）已知函数f（x）=Asin（wx+φ）（A＞0，w＞0，|φ|＜，x∈R）在一个周期内的图象如图所示．则y=f（x）的图象可由函数y=cosx的图象（纵坐标不变）（）A．先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位B．先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位C．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位D．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位11．（5分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x+2）=f（x﹣2），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞1）至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则a的取值范围是（）A．（1，2） B．（2，+∞）C．D．12．（5分）已知向量满足，若M为AB的中点，并且，则λ+μ的最大值是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若U={n|n是小于9的正整数}，A={n∈U|n是奇数}，B={n∈U|n是3的倍数}，则∁U（A∪B）=．14．（5分）数列{a n}满足a n+1=3a n+1，且a1=1，则数列{a n}的通项公式a n=．15．（5分）若Z∈C，且|Z+2﹣2i|=1，则|Z﹣2﹣2i|的最小值是．16．（5分）在R上的可导函数f（x）=x3+ax2+2bx+c，当x∈（0，1）时取得极大值，当x∈（1，2）时取得极小值，则的范围是．三、解答题17．（12分）已知，函数．（1）求f（x）的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标；（2）当时，求函数f（x）的值域．18．（12分）已知等差数列{a n}满足a3=7，a5+a7=26．{a n}的前n项和为S n．（1）求a n及S n；（2）令b n=﹣（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，B=．（1）若b=3，，求A和a，c；（2）若sinAsinC=，且△ABC的面积为2，求b的大小．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=a n+n2﹣1，数列{b n}满足3n•b n+1=（n+1）a n+1﹣na n，且b1=3．（Ⅰ）求a n，b n；（Ⅱ）设T n为数列{b n}的前n项和，求T n，并求满足T n＜7时n的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣k）e x（k∈R）．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）求f（x）在x∈[1，2]上的最小值；（3）设g（x）=f（x）+f′（x），若对及∀x∈[0，1]有g（x）≥λ恒成立，求实数λ的取值范围．请从22，23题中任选一题作答，如果多做，按第一题评分【选修4—4：坐标系与参数方程】22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），且曲线C1上的点M（2，）对应的参数φ=．且以O为极点，X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ=与曲线C2交于点D（，）．（1）求曲线C1的普通方程，C2的极坐标方程；（2）若A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）是曲线C1上的两点，求+的值．【选修4—5：不等式选讲】23．已知f（x）=|2x﹣1|﹣|x+1|．（Ⅰ）求f（x）＞x解集；（Ⅱ）若a+b=1，对∀a，b∈（0，+∞），+≥|2x﹣1|﹣|x+1|恒成立，求x 的取值范围．2015-2016学年重庆市巴蜀中学高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）复数z满足，则|z|=（）A．B．2 C．D．【解答】解：∵，∴|z|=|1﹣i|=，故选：A．2．（5分）函数f（x）=的定义域为（）A．[2，3） B．（2，3） C．[2，+∞）D．（﹣∞，3]【解答】解：要使函数有意义，则，即，则，则2＜x＜3，即不等式的解集为（2，3），故选：B．3．（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y=x+1 B．y=﹣x2C．y= D．y=x|x|【解答】解：A．y=x+1为非奇非偶函数，不满足条件．B．y=﹣x2是偶函数，不满足条件．C．y=是奇函数，但在定义域上不是增函数，不满足条件．D．设f（x）=x|x|，则f（﹣x）=﹣x|x|=﹣f（x），则函数为奇函数，当x＞0时，y=x|x|=x2，此时为增函数，当x≤0时，y=x|x|=﹣x2，此时为增函数，综上在R上函数为增函数．故选：D．4．（5分）在等比数列{a n}中，a7a11=6，a4+a14=5，则等于（）A．B．C．D．【解答】解：a7•a11=a4•a14=6∴a4和a14为方程x2﹣5x+6=0的两个根，解得a4=2，a14=3或a4=3，a14=2∴==，或故选：A．5．（5分）命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．∃x∈R，x3﹣x2+1≥0 B．∃x∈R，x3﹣x2+1＞0C．∃x∈R，x3﹣x2+1≤O D．∀x∈R，x3﹣x2+1＞0【解答】解：将量词否定，结论否定，可得∃x∈R，x3﹣x2+1＞0故选：B．6．（5分）cos（﹣φ）=，且|φ|＜，则tanφ为（）A．﹣ B．C．﹣ D．【解答】解：cos（﹣φ）=，且|φ|＜，所以sinφ=﹣，φ，cosφ==，tanφ==．故选：C．7．（5分）已知=（2，1），=（x，﹣6），若⊥，则|+|=（）A．5 B．C．6 D．50【解答】解：向量，若，则•=0，即有2x﹣6=0，解得x=3，则====5．故选：B．8．（5分）已知命题p1：函数y=2x﹣2﹣x在R为增函数，p2：函数y=2x+2﹣x在R 为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：（￢p1）∨p2和q4：p1∧（￢p2）中，真命题是（）A．q1，q3B．q2，q3C．q1，q4D．q2，q4【解答】解：易知p1是真命题，而对p2：y′=2x ln2﹣ln2=ln2（），当x∈[0，+∞）时，，又ln2＞0，所以y′≥0，函数单调递增；同理得当x∈（﹣∞，0）时，函数单调递减，故p2是假命题．由此可知，q1真，q2假，q3假，q4真．故选：C．9．（5分）若函数f（x）的零点与g（x）=4x+2x﹣2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f（x）可以是（）A．f（x）=4x﹣1 B．f（x）=（x﹣1）2C．f（x）=e x﹣1 D．f（x）=ln（x ﹣）【解答】解：∵g（x）=4x+2x﹣2在R上连续，且g（）=+﹣2=﹣＜0，g（）=2+1﹣2=1＞0．设g（x）=4x+2x﹣2的零点为x0，则＜x0＜，0＜x0﹣＜，∴|x0﹣|＜．又f（x）=4x﹣1零点为x=；f（x）=（x﹣1）2零点为x=1；f（x）=e x﹣1零点为x=0；f（x）=ln（x﹣）零点为x=，故选：A．10．（5分）已知函数f（x）=Asin（wx+φ）（A＞0，w＞0，|φ|＜，x∈R）在一个周期内的图象如图所示．则y=f（x）的图象可由函数y=cosx的图象（纵坐标不变）（）A．先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位B．先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位C．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位D．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位【解答】解：由函数f（x）=Asin（wx+φ）（A＞0，w＞0，|φ|＜，x∈R）在一个周期内的图象可得A=1，==，解得w=2．再把点（，1）代入函数的解析式可得1=sin（2×+φ），即sin（+φ）=1．再由|φ|＜，可得φ=，故函数f（x）=sin（2x+）．把函数y=cosx的图象先把各点的横坐标缩短到原来的倍，可得y=cos2x的图象，再向右平移个单位可得y=cos2（x﹣）=cos（2x﹣）=sin[﹣（2x﹣）] =sin（﹣2x）=sin[π﹣（﹣2x）]=sin（2x+）=f（x）的图象．故选：B．11．（5分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x+2）=f（x﹣2），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞1）至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则a的取值范围是（）A．（1，2） B．（2，+∞）C．D．【解答】解：∵对x∈R，都有f（x﹣2）=f（x+2），∴f（x）是定义在R上的周期为4的函数；作函数f（x）与y=log a（x+2）的图象如下，，结合图象可知，，解得，≤a＜2；故选：D．12．（5分）已知向量满足，若M为AB的中点，并且，则λ+μ的最大值是（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，∵向量满足=1，，不妨取A（1，0），B（0，1）．∵M为AB的中点，∴M．∵=λ（1，0）+μ（0，1）=（λ，μ）．∵，∴=1，设，μ=+sinθ，θ∈[0，2π）．则λ+μ=1+sinθ+cosθ=1+，当=1时取等号．∴λ+μ的最大值是1+．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若U={n|n是小于9的正整数}，A={n∈U|n是奇数}，B={n∈U|n是3的倍数}，则∁U（A∪B）={2，4，8} ．【解答】解：∵U={n|n是小于9的正整数}，∴U={1，2，3，4，5，6，7，8}，则A={1，3，5，7}，B={3，6}，所以A∪B={1，3，5，7}，所以∁U（A∪B）={2，4，8}．14．（5分）数列{a n}满足a n+1=3a n+1，且a1=1，则数列{a n}的通项公式a n=•（3n﹣1）．=3a n+1，【解答】解：∵a n+1∴a n+=3（a n+），+1则数列{a n+}是公比q=3的等比数列，首项a1+=1+=，则a n+=•3n﹣1=•3n，则a n=﹣+•3n=•（3n﹣1），故答案为：•（3n﹣1）15．（5分）若Z∈C，且|Z+2﹣2i|=1，则|Z﹣2﹣2i|的最小值是3．【解答】解：|Z+2﹣2i|=1表示复平面上的点到（﹣2，2）的距离为1的圆，|Z﹣2﹣2i|就是圆上的点，到（2，2）的距离的最小值，就是圆心到（2，2）的距离减去半径，即：|2﹣（﹣2）|﹣1=3故答案为：316．（5分）在R上的可导函数f（x）=x3+ax2+2bx+c，当x∈（0，1）时取得极大值，当x∈（1，2）时取得极小值，则的范围是（，1）．【解答】解：f′（x）=x2+ax+2b，由函数当x∈（0，1）时取得极大值，当x∈（1，2）时取得极小值得：f′（0）=2b＞0；f′（1）=1+a+2b＜0；f′（2）=4+2a+2b＞0；所以∈（，1）故答案为（，1）三、解答题17．（12分）已知，函数．（1）求f（x）的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标；（2）当时，求函数f（x）的值域．【解答】解：（1）∵f（x）=sinxcosx﹣cos2x+=sin2x﹣（cos2x+1）+=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）…（2分）∴f（x）的最小正周期为π，令sin（2x﹣）=0，得2x﹣=kπ，∴x=+，（k∈Z）．故所求对称中心的坐标为（+，0），（k∈Z）﹣…（4分）（2）∵0≤x≤，∴﹣＜2x﹣≤…（6分）∴﹣≤sin（2x﹣）≤1，即f（x）的值域为[﹣，1]…（8分）18．（12分）已知等差数列{a n}满足a3=7，a5+a7=26．{a n}的前n项和为S n．（1）求a n及S n；（2）令b n=﹣（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由于a3=7，a5+a7=26，∴a1+2d=7，2a1+10d=26，解得a1=3，d=2．∴a n=a1+（n﹣1）d=2n+1，S n==n2+2n．（2）∵a n=2n+1，∴b n=﹣=﹣=﹣=﹣，因此T n=b1+b2+…+b n=﹣+…+=﹣=﹣．19．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，B=．（1）若b=3，，求A和a，c；（2）若sinAsinC=，且△ABC的面积为2，求b的大小．【解答】解：（1）∵∴…（1分）∴∴…（2分）∵0＜A＜π∴∴…（3分）∵∴…（4分）∵b=3∴在直角△ABC中，，…（6分）（2）由正弦定理：∴∴∴…（8分）∵∴∴ac=8…（11分）∴b2=×8=12∴b=2…（13分）20．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=a n+n2﹣1，数列{b n}满足3n•b n+1=（n+1）a n+1﹣na n，且b1=3．（Ⅰ）求a n，b n；（Ⅱ）设T n为数列{b n}的前n项和，求T n，并求满足T n＜7时n的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由，得（n≥2），两式相减得，a n=a n﹣a n﹣1+2n﹣1，=2n﹣1，则a n=2n+1．∴a n﹣1由3n•b n+1=（n+1）a n+1﹣na n，∴3n•b n+1=（n+1）（2n+3）﹣n（2n+1）=4n+3．∴．∴当n≥2时，，由b1=3适合上式，∴；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴①．②．①﹣②得，=．∴．∵．∴T n＜T n，即{T n}为递增数列．+1又，．∴T n＜7时，n的最大值3．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣k）e x（k∈R）．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）求f（x）在x∈[1，2]上的最小值；（3）设g（x）=f（x）+f′（x），若对及∀x∈[0，1]有g（x）≥λ恒成立，求实数λ的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=（x﹣k）e x（k∈R），求导f′（x）=（x﹣k）e x+e x=（x ﹣k+1）e x，令f′（x）=0，解得：x=k﹣1，当x＜k﹣1时，f′（x）＜0，当x＞k﹣1时，f′（x）＞0，∴f（x）的单调递增区间（k﹣1，+∞），单调递减区间（﹣∞，k﹣1），极小值为﹣e k﹣1，无极大值；（2）当k﹣1≤1时，即k≤2时，f（x）在[1，2]单调递增，f（x）的最小值为f（1）=（1﹣k）e；当k﹣1≥2时，即k≥3时，f（x）在[1，2]单调递减，∴当x=2时，f（x）的最小值为f（2）=（2﹣k）e3；当1＜k﹣1＜2时，解得：2＜k＜3时，∴f（x）在[1，k﹣1]单调递减，在[k﹣1，2]单调递增，∴当x=k﹣1时，f（x）取最小值，最小值为：﹣e k﹣1；（3）g（x）=f（x）+f'（x）=（x﹣k）e x+（x﹣k+1）e x=（2x﹣2k+1）e x，求导g′（x）=（2x﹣2k+1）e x+2e x=（2x﹣2k+3）e x，令g′（0）=0，2x﹣2k+3=0，x=k﹣，当x＜k﹣时，g′（x）＜0，当x＞k﹣时，g′（x）＞0，∴g（x）在（﹣∞，k﹣）单调递减，在（k﹣，+∞）单调递增，故当x=k﹣，g（x）取最小值，最小值为：g（k﹣）=﹣2e，∵k∈[，]，即k﹣∈[0，1]，∴∀x∈[0，1]，g（x）的最小值，g（k﹣）=﹣2e，∴g（x）≥λ，∀x∈[0，1]恒成立，等价于g（k﹣）=﹣2e≥λ，由﹣2e≥λ，对∀k∈[，]恒成立，∴λ≤（﹣2e）最小值，令h（k）=﹣2e，k∈[，]，由指数函数的性质，函数h（k）在k∈[，]单调递增，∴当k=时，h（k）取最小值，h（）=﹣2e，∴λ≤﹣2e．∴实数λ的取值范围（﹣∞，﹣2e）．请从22，23题中任选一题作答，如果多做，按第一题评分【选修4—4：坐标系与参数方程】22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），且曲线C1上的点M（2，）对应的参数φ=．且以O为极点，X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ=与曲线C2交于点D（，）．（1）求曲线C1的普通方程，C2的极坐标方程；（2）若A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）是曲线C1上的两点，求+的值．（1）由曲线C1上的点M（2，）对应的参数φ=可得：，【解答】解：解得，∴曲线C1的普通方程为．设圆C2的半径为R，由于射线θ=与曲线C2交于点D（，）．可得，解得R=1．∴圆C2的极坐标方程为ρ=2cosθ．（2）曲线C1的极坐标方程为：，化为，∵A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）是曲线C1上的两点，∴+==+==．【选修4—5：不等式选讲】23．已知f（x）=|2x﹣1|﹣|x+1|．（Ⅰ）求f（x）＞x解集；（Ⅱ）若a+b=1，对∀a，b∈（0，+∞），+≥|2x﹣1|﹣|x+1|恒成立，求x 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=|2x﹣1|﹣|x+1|=．∵f（x）＞x，∴当x＜﹣1时，﹣x+2＞x，解得x＜1，故x＜﹣1；当﹣1≤x≤时，﹣3x＞x，解得x＜0，故﹣1≤x＜0；当x＞时，x﹣2＞x，该不等式无解；综上所述，f（x）＞x解集为{x|x＜0}；（Ⅱ）∵a+b=1，对∀a，b∈（0，+∞），（a+b）（+）=5++≥9，∴|2x﹣1|﹣|x+1|≤9，当x＜﹣1时，1﹣2x+x+1≤9，解得﹣7≤x＜﹣1；当﹣1≤x≤时，﹣3x≤9，解得x≥﹣3，故﹣1≤x≤；当x＞时，x﹣2≤9，解得＜x≤11．综上所述，﹣7≤x≤11，即x的取值范围为[﹣7，11]．。
重庆市巴蜀中学2016届高三数学上学期期中试卷理(含解析)
2015-2016学年重庆市巴蜀中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．设集合，则A∩B=( )A．（﹣∞，1] B．[0，1] C．（0，1] D．（﹣∞，0）∪（0，1]2．设a，b∈R，则“a≥1且b≥1”是“a+b≥2”的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知命题p：“∃x∈R，e x﹣x﹣1≤0”，则命题￢p( )A．∀x∈R，e x﹣x﹣1＞0 B．∀x∉R，e x﹣x﹣1＞0C．∀x∈R，e x﹣x﹣1≥0D．∃x∈R，e x﹣x﹣1＞04．圆x2+y2﹣4x+2=0与直线l相切于点A（3，1），则直线l的方程为( )A．2x﹣y﹣5=0 B．x﹣2y﹣1=0 C．x﹣y﹣2=0 D．x+y﹣4=05．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）=f（x+2）=f（2﹣x），当x∈[3，4]时，f（x）=x﹣2，则( )A．f（1）＞f（0）B．f（1）＞f（4）C．D．6．函数的零点个数是( )A．0 B．l C．2 D．47．若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于( ) A．2 B．3 C．6 D．98．已知实数x，y满足平面区域，则x2+y2的最大值为( ) A．B．1 C．D．89．已知函数是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是( )A．（1，3）B．（1，2] C．[2，3）D．（2，3）10．已知A，B，P是双曲线上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积，则该双曲线的离心率为( )A．B．C．D．11．函数y=的部分图象大致为( )A． B． C． D．12．已知函数f（x）=e x﹣ax有两个零点x1＜x2，则下列说法错误的是( )A．a＞e B．x1+x2＞2C．x1x2＞1 D．有极小值点x0，且x1+x2＜2x0二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13．定积分=__________．14．设函数，则使f（a）＜0的实数a的取值范围是__________．15．已知a＞0，b＞0，且a+2b=1，则的最小值为__________．16．过点作直线交抛物线x2=2py（p＞0）于A、B且M为A、B中点，过A、B分别作抛物线切线，两切线交于点N，若N在直线y=﹣2p上，则p=__________．三、解答题（本大题共6小题，17题10分，18-22题每题12分，共计70分）17．坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：（t是参数）．（1）将曲线C的极坐标方程和直线l参数方程转化为普通方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且，试求实数m值．18．设函数（1）若f（1）＞4，求a的取值范围；（2）证明f（x）≥2．19．设f（x）=alnx﹣x+4，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y 轴．（1）求a的值；（2）求函数f（x）在的最值．20．砷是广泛分布于自然界中的非金属元素，长期饮用高砷水会直接危害群众的身心健康和生命安全，而近水农村地区，水质情况更需要关注．为了解甲、乙两地区农村居民饮用水中砷含量的基本情况，分别在两地随机选取10个村子，其砷含量的调查数据如下（单位：ACC1A1）：甲地区的10个村子饮用水中砷的含量：52 32 41 72 43 35 45 61 53 44乙地区的10个村子饮用水中砷的含量：44 56 38 61 72 57 64 71 58 62（Ⅰ）根据两组数据完成茎叶图，试比较两个地区中哪个地区的饮用水中砷含量更高，并说明理由；（Ⅱ）国家规定居民饮用水中砷的含量不得超过50，现医疗卫生组织决定向两个地区中每个砷超标的村子派驻一个医疗救助小组．用样本估计总体，把频率作为概率，若从乙地区随机抽取3个村子，用X表示派驻的医疗小组数，试写出X的分布列并求X的期望．21．已知椭圆C两焦点坐标分别为，，且经过点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知点A（0，﹣1），直线l与椭圆C交于两点M，N．若△AMN是以A为直角顶点的等腰直角三角形，试求直线l的方程．22．已知f（x）=e2x+（1﹣2t）e x+t2（1）若g（t）=f（1），讨论关于t的函数y=g（t）在t∈[0，m]（m＞0）上的最小值；（2）若对任意的t∈R，x∈[0，+∞）都有f（x）≥ax+2﹣cosx，求a的范围．2015-2016学年重庆市巴蜀中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．设集合，则A∩B=( )A．（﹣∞，1] B．[0，1] C．（0，1] D．（﹣∞，0）∪（0，1]【考点】交集及其运算．【专题】集合思想；定义法；集合．【分析】化简集合A、B，再求A∩B．【解答】解：∵集合A={x|x2≤1}={x|﹣1≤x≤1}=[﹣1，1]，B={x|≥0}={x|x＞0}=（0，+∞）；∴A∩B=（0，1]．故选：C．【点评】本题考查了集合的化简与简单运算问题，是基础题目．2．设a，b∈R，则“a≥1且b≥1”是“a+b≥2”的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可．【解答】解：若a≥1且b≥1则a+b≥2成立，当a=0，b=3时，满足a+b≥2，但a≥1且b≥1不成立，即“a≥1且b≥1”是“a+b≥2”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件，比较基础．3．已知命题p：“∃x∈R，e x﹣x﹣1≤0”，则命题￢p( )A．∀x∈R，e x﹣x﹣1＞0 B．∀x∉R，e x﹣x﹣1＞0C．∀x∈R，e x﹣x﹣1≥0D．∃x∈R，e x﹣x﹣1＞0【考点】特称命题；命题的否定．【专题】推理和证明．【分析】利用含逻辑连接词的否定是将存在变为任意，同时将结论否定，可写出命题的否定．【解答】解：∵命题p：“∃x∈R，e x﹣x﹣1≤0”，∴命题￢p：∀x∈R，e x﹣x﹣1＞0，故选：A【点评】题考查特称命题、含逻辑连接词的否定形式，属于基础题．4．圆x2+y2﹣4x+2=0与直线l相切于点A（3，1），则直线l的方程为( )A．2x﹣y﹣5=0 B．x﹣2y﹣1=0 C．x﹣y﹣2=0 D．x+y﹣4=0【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题．【分析】根据圆x2+y2﹣4x+2=0与直线l相切于点A（3，1），得到直线l过（3，1）且与过这一点的半径垂直，做出过这一点的半径的斜率，再做出直线的斜率，利用点斜式写出直线的方程．【解答】解：∵圆x2+y2﹣4x+2=0与直线l相切于点A（3，1），∴直线l过（3，1）且与过这一点的半径垂直，∵过（3，1）的半径的斜率是=1，∴直线l的斜率是﹣1，∴直线l的方程是y﹣1=﹣（x﹣3）即x+y﹣4=0故选D．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，本题解题的关键是根据圆的切线具有的性质，做出圆的切线的斜率，本题是一个基础题．5．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）=f（x+2）=f（2﹣x），当x∈[3，4]时，f（x）=x﹣2，则( )A．f（1）＞f（0）B．f（1）＞f（4）C．D．【考点】抽象函数及其应用．【专题】计算题；数形结合；函数思想；函数的性质及应用．【分析】利用函数的周期性以及函数的奇偶性，结合函数的解析式求解即可．【解答】解：定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）=f（x+2）=f（2﹣x），函数的周期为2，关于x=2对称，当x∈[3，4]时，f（x）=x﹣2，f（1）=f（3）=3﹣2=1，=f（）=f（）=f（）=，f（0）=f（2）=f（4）=2．∴．故选：C．【点评】本题考查抽象函数的应用，函数值的求法，函数的奇偶性的应用，考查计算能力．6．函数的零点个数是( )A．0 B．l C．2 D．4【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】由f（x）=0，得，然后在坐标系中分别作出函数y=|log2x|，y=的图象，利用图象观察函数零点的个数．【解答】解：∵函数的定义域为{x|x＞0}，∴由f（x）=0，得，在坐标系中分别作出函数y=|log2x|，y=的图象如图：由图象可知两个函数只有两个交点，∴函数f（x）的零点个数为2个．故选：C【点评】本题主要考查函数零点的个数判断，利用数形结合的思想是解决本题的关键．7．若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于( ) A．2 B．3 C．6 D．9【考点】函数在某点取得极值的条件；基本不等式．【专题】计算题．【分析】求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a，b满足的条件；利用基本不等式求出ab的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．【解答】解：∵f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b，又因为在x=1处有极值，∴a+b=6，∵a＞0，b＞0，∴，当且仅当a=b=3时取等号，所以ab的最大值等于9．故选：D．【点评】本题考查函数在极值点处的导数值为0、考查利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．8．已知实数x，y满足平面区域，则x2+y2的最大值为( )A．B．1 C．D．8【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图；设z=x2+y2的，则z的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方，由图象知，OA的距离最大，由得，即A（2，2），即z=x2+y2的最大值为z=22+22=4+4=8，故选：D【点评】本题主要考查线性规划以及点到直线的距离的应用，利用数形结合是解决本题的关键．9．已知函数是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是( )A．（1，3）B．（1，2] C．[2，3）D．（2，3）【考点】函数单调性的性质．【专题】分类讨论；转化思想；分类法；函数的性质及应用．【分析】若函数是（﹣∞，+∞）上的减函数，则，解得a的取值范围．【解答】解：∵函数是（﹣∞，+∞）上的减函数，∴，解得：a∈[2，3），故选：C【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，正确理解分段函数的单调性，是解答的关键．10．已知A，B，P是双曲线上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积，则该双曲线的离心率为( )A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质；直线的斜率．【专题】计算题．【分析】根据双曲线的对称性可知A，B关于原点对称，设出A，B和P的坐标，把A，B点坐标代入双曲线方程可求得直线PA和直线PB的斜率之积，进而求得a和b的关系，进而根据a，b和c的关系求得a和c的关系即双曲线的离心率．【解答】解：根据双曲线的对称性可知A，B关于原点对称，设A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），P（x，y），则，，．故选D【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．涉及了双曲线的对称性质，考查了学生对双曲线基础知识的全面掌握．11．函数y=的部分图象大致为( )A． B． C． D．【考点】对数函数的图像与性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】判断奇偶性排除B，C，再利用特殊函数值判断即可得出答案．【解答】解：∵y=f（x）=，∴f（﹣x）===f（x），∴f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，所以排除B，C．∵f（2）=＞0，∴（2，f（2））在x轴上方，所以排除A，故选：D．【点评】本题考查了对数，指数函数的性质，奇函数的偶函数的图象性质，考查了学生对于函数图象的整体把握，属于中档题．12．已知函数f（x）=e x﹣ax有两个零点x1＜x2，则下列说法错误的是( )A．a＞e B．x1+x2＞2C．x1x2＞1 D．有极小值点x0，且x1+x2＜2x0【考点】函数在某点取得极值的条件．【专题】计算题；导数的概念及应用．【分析】对四个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：∵f（x）=e x﹣ax，∴f′（x）=e x﹣a，令f′（x）=e x﹣a＞0，①当a≤0时，f′（x）=e x﹣a＞0在x∈R上恒成立，∴f（x）在R上单调递增．②当a＞0时，∵f′（x）=e x﹣a＞0，∴e x﹣a＞0，解得x＞lna，∴f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增．∵函数f（x）=e x﹣ax有两个零点x1＜x2，∴f（lna）＜0，a＞0，∴e lna﹣alna＜0，∴a＞e，正确；又f（2）=e2﹣2a＞0，∴x2＞2，∴x1+x2＞2，正确；f（0）=1＞0，∴0＜x1＜1，x1x2＞1，不正确；f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增，∴有极小值点x0=lna，且x1+x2＜2x0=2lna，正确．故选：C．【点评】本题考查了利用导数求函数的极值，研究函数的零点问题，利用导数研究函数的单调性，对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13．定积分=．【考点】定积分．【专题】计算题；导数的综合应用．【分析】首先求出被积函数的原函数，然后代入积分上限和下限求值．【解答】解：=（）|=；故答案为：．【点评】本题考查了定积分的计算；找出被积函数的原函数是解答的关键．14．设函数，则使f（a）＜0的实数a的取值范围是（0，1）．【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；分类讨论；函数的性质及应用．【分析】按分段函数的分类讨论f（a）的表达式，从而分别解不等式即可．【解答】解：若a≤0，则f（a）=≥1，故f（a）＜0无解；若a＞0，则f（a）=log2a＜0，解得，0＜a＜1；综上所述，实数a的取值范围是（0，1）．故答案为：（0，1）．【点评】本题考查了分段函数的简单解法及分类讨论的思想应用．15．已知a＞0，b＞0，且a+2b=1，则的最小值为．【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a＞0，b＞0，且a+2b=1，∴=（a+2b）=3+=，当且仅当a=b时取等号．∴的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题．16．过点作直线交抛物线x2=2py（p＞0）于A、B且M为A、B中点，过A、B分别作抛物线切线，两切线交于点N，若N在直线y=﹣2p上，则p=．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线x2=2py（p＞0），得y′=，设A（x1，y1），B（x2，y2），过点A的切线方程为x1x=p（y+y1），过点B的切线方程为x2x=p（y+y2），由已知得点A，B在直线xx0=p（y0+y）上，由此能求出p的值．【解答】解：由抛物线x2=2py（p＞0），得y′=，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴过点A的切线方程为：y﹣y1=，即x1x=p（y+y1），同理求得过点B的切线方程为：x2x=p（y+y2），设N（x0，y0），∵过A、B分别作抛物线切线，两切线交于点N，∴，∴点A（x1，y1），B（x2，y2）在直线xx0=p（y0+y）上，∵直线AB过定点M（1，2），∴，∵N在直线y=﹣2p上，∴N（0，﹣2），∴p=．故答案为：．【点评】本题考查抛物线中参数p的值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数的几何意义的合理运用．三、解答题（本大题共6小题，17题10分，18-22题每题12分，共计70分）17．坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：（t是参数）．（1）将曲线C的极坐标方程和直线l参数方程转化为普通方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且，试求实数m值．【考点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆相交的性质；直线的参数方程．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）先将原极坐标方程ρ=2cosθ两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，通过消去参数将直线l参数方程化成直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）由（1）知：圆心的坐标为（2，0），圆的半径R=2，利用圆心到直线l的距离列出关于m的方程即可求得实数m值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ化为直角坐标方程为：x2+y2﹣4x=0直线l的直角坐标方程为：y=x﹣m（Ⅱ）由（1）知：圆心的坐标为（2，0），圆的半径R=2，∴圆心到直线l的距离，∴、∴m=1或m=3．【点评】本小题主要考查简单曲线的极坐标方程、直线的参数方程、直线与圆相交的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．极坐标方程化成直角坐标方程关键是利用直角坐标与极坐标间的关系：ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．属于基础题．18．设函数（1）若f（1）＞4，求a的取值范围；（2）证明f（x）≥2．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】（1）由条件利用绝对值的意义求得a的取值范围．（2）由条件利用绝对值三角不等式，基本不等式，证得不等式f（x）≥2成立．【解答】解：（1）由题意可得，f（1）=|1+a|+|1﹣a|＞4，|1+a|+|1﹣a|表示数轴上的a对应点到﹣1、1对应点的距离之和，而2、﹣2对应点到﹣1、1对应点的距离之和正好等于4，故由|1+a|+|1﹣a|＞4可得a＜﹣2，或 a＞2．（2）函数f（x）=|a+|+|a﹣x|≥|（a+）﹣（a﹣x）|=|+x|=|x|+|≥2=2，当且仅当|x|=，即x=±1时，取等号，故f（x）≥2．【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值三角不等式，基本不等式的应用，属于中档题．19．设f（x）=alnx﹣x+4，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y 轴．（1）求a的值；（2）求函数f（x）在的最值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；方程思想；综合法；导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】（1）求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件，可得a的值；（2）求出函数的导数，求得单调区间和极值，以及端点的函数值，即可得到所求的最值．【解答】解：（1）f（x）=alnx﹣x+4的导数为f′（x）=﹣1，则在点（1，f（1））处的切线的斜率为a﹣1，切线垂直于y轴，可得a﹣1=0，解得a=1；（2）f（x）=lnx﹣x+4的导数为f′（x）=﹣1，由f′（x）=0，可得x=1，由x＞1，f′（x）＜0，f（x）递减；由0＜x＜1，f′（x）＞0，f（x）递增．可得x=1处取得极大值，也为最大值，且为3；由f（）=﹣ln2，f（4）=ln4，f（4）＜f（），可得f（4）为最小值，且为ln4．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查运算能力，属于基础题．20．砷是广泛分布于自然界中的非金属元素，长期饮用高砷水会直接危害群众的身心健康和生命安全，而近水农村地区，水质情况更需要关注．为了解甲、乙两地区农村居民饮用水中砷含量的基本情况，分别在两地随机选取10个村子，其砷含量的调查数据如下（单位：ACC1A1）：甲地区的10个村子饮用水中砷的含量：52 32 41 72 43 35 45 61 53 44乙地区的10个村子饮用水中砷的含量：44 56 38 61 72 57 64 71 58 62（Ⅰ）根据两组数据完成茎叶图，试比较两个地区中哪个地区的饮用水中砷含量更高，并说明理由；（Ⅱ）国家规定居民饮用水中砷的含量不得超过50，现医疗卫生组织决定向两个地区中每个砷超标的村子派驻一个医疗救助小组．用样本估计总体，把频率作为概率，若从乙地区随机抽取3个村子，用X表示派驻的医疗小组数，试写出X的分布列并求X的期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列．【专题】概率与统计．【分析】（I）法1：求出甲地区调查数据的平均数为，乙地区调查数据的平均数为，推出乙地区的饮用水中砷含量更高．法2：利用茎叶图可直接推出结果，乙地区的引用水中砷含量更高．（II）由题可知若从乙地区随即抽取一个村子，需要派驻医疗小组的概率：得到X的分布列，求出期望．【解答】解：（I）法1：设甲地区调查数据的平均数为，；设乙地区调查数据的平均数为，．由以上计算结果可得，因此可以看出乙地区的饮用水中砷含量更高．法2：从茎叶图可以看出，甲地区的调查结果中有80%的叶集中在茎“3”“4”“5”，而乙地区有80%的叶集中在茎“5”“6”“7”，因此乙地区的引用水中砷含量更高…（II）由题可知若从乙地区随即抽取一个村子，需要派驻医疗小组的概率：X的分布列为…∵…【点评】本题考查茎叶图以及离散型随机变量的分布列期望的求法，考查计算能力．21．已知椭圆C两焦点坐标分别为，，且经过点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知点A（0，﹣1），直线l与椭圆C交于两点M，N．若△AMN是以A为直角顶点的等腰直角三角形，试求直线l的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）利用椭圆的定义求出a，根据椭圆，，求出c，从而可求b，即可求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，利用韦达定理，根据|AM|=|AN|，线段MN 中点为Q，所以AQ⊥MN，分类讨论，利用△AMN是以A为直角顶点的等腰直角三角形，即可求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆标准方程为．依题意，所以a=2．又，所以b2=a2﹣c2=1．于是椭圆C的标准方程为．…（Ⅱ）依题意，显然直线l斜率存在．设直线l的方程为y=kx+m，则由得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0．因为△=64k2m2﹣4（4k2+1）（4m2﹣4）＞0，得4k2﹣m2+1＞0．…①设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN中点为Q（x0，y0），则于是．因为|AM|=|AN|，线段MN中点为Q，所以AQ⊥MN．（1）当x0≠0，即k≠0且m≠0时，，整理得3m=4k2+1．…②因为AM⊥AN，，所以=，整理得5m2+2m﹣3=0，解得或m=﹣1．当m=﹣1时，由②不合题意舍去．由①②知，时，．（2）当x0=0时，（ⅰ）若k=0时，直线l的方程为y=m，代入椭圆方程中得．设，，依题意，若△AMN为等腰直角三角形，则AQ=QN．即，解得m=﹣1或．m=﹣1不合题意舍去，即此时直线l的方程为．（ⅱ）若k≠0且m=0时，即直线l过原点．依椭圆的对称性有Q（0，0），则依题意不能有AQ⊥MN，即此时不满足△AMN为等腰直角三角形．综上，直线l的方程为或或．…（14分）【点评】本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力．22．已知f（x）=e2x+（1﹣2t）e x+t2（1）若g（t）=f（1），讨论关于t的函数y=g（t）在t∈[0，m]（m＞0）上的最小值；（2）若对任意的t∈R，x∈[0，+∞）都有f（x）≥ax+2﹣cosx，求a的范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】综合题；转化思想；综合法；导数的综合应用．【分析】（1）g（t）=f（1），利用配方法，分类讨论，即可得出关于t的函数y=g（t）在t∈[0，m]（m＞0）上的最小值；（2）若对任意的t∈R，x∈[0，+∞）都有f（x）≥ax+2﹣cosx，e x≥ax+2﹣cosx，x∈[0，+∞）恒成立，构造函数，利用当a≤0时，t′（x）≤0，即可求a的范围．【解答】解：（1）g（t）=f（1）=e2+（1﹣2t）e+t2=（t﹣e）2+e，∴m＜e，y min=g（m）=（m﹣e）2+e；m≥e，y min=g（e）=e；（2）f（x）≥ax+2﹣cosx，可化为f（x）=（e x﹣t）2+e x≥ax+2﹣cosx∴e x≥ax+2﹣cosx，x∈[0，+∞）恒成立令t（x）=ax+2﹣e x﹣cosx≤0，x∈[0，+∞）恒成立∵t′（x）=﹣e x+sinx+a，当a≤0时，t′（x）≤0，∴t（x）在[0，+∞）是减函数，∴t（x）max=t（0）=0，∴t（x）≤0，成立．∴当a≤0时，对任意的t∈R，x∈[0，+∞）都有f（x）≥ax+2﹣cosx．【点评】本题考查二次函数的最小值，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
【全国百强校】重庆市巴蜀中学2015-2016学年高一下学期期中考试理数试题(解析版)
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知单位向量,a b 满足：23a b +=，则2a b -=（ ）A B C 【答案】D考点：向量的运算．2.已知1,,,,5a b c 五个数成等比数列，则b 的值为（ ）A ．3B ．．52【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，215b b =⨯⇒=，又2210b q q =⨯=>，所以b =B ． 考点：等比数列的性质．3.直线sin 20x θ++=的倾斜角的取值范围是（ ）A ．5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．50,,66πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ D ．20,,33πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，直线sin 20x θ++=的斜率为[k =，设直线的倾斜角为α，及tan [α∈，所以50,,66ππαπ⎡⎤⎡⎤∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故选C ． 考点：直线的斜率与倾斜角．4.在ABC ∆中，,,a b c 分别是三内角,,A B C 的对边，且()22sin sin sin sin sin A C A B B -=-，则角C 等于（ ） A ．6πB ．3πC ．56π D ．23π【答案】B考点：正弦定理与余弦定理的应用．5.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，若sin cos 0b A B =，且,,a b c 成等比数列，则a cb+的值为（ ）A B C ．2 D ．4 【答案】C 【解析】试题分析：在ABC ∆中，由sin cos 0b A B -=，利用正弦定理得sin sin cos 0B A A B =，所以tan B =，得3B π=，由余弦定理得2222222cos ()3b a c ac B a c ac a c ac =+-=+-=+-，又,,a b c成等比数列，所以2b ac =，所以224()b a c =+，所以2a cb+=，故选C ． 考点：正弦定理与余弦定理的应用．6. 在ABC ∆中，,,a b c 分别是三内角,,A B C 的对边，若sin cos cos A B Ca b c==，则ABC ∆是（ ） A ．等边三角形 B ．有一内角是30°的三角形 C ．等腰直角三角形 D ．有一内角是30°的等腰三角形【答案】C 【解析】 试题分析：由sin cos cos A B Ca b c==，由正弦定理得2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===，所以 cos cos 1sin sin B C B C ==，则tan tan 1B C ==，所以4B C π==，所以ABC ∆为等腰直角三角形，故选C ． 考点：正弦定理的应用．7.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足201620170,0S S ><，对任意正整数n ，都有n k a a ≥，则k 的值为（ ）A ．1006B ．1007C ．1008D ．1009 【答案】D考点：等差数列的前n 项和的应用．【方法点晴】本题主要考查了等差数列的通项公式及其前n 项和公式的应用，不等式的性质，着重考查了学生分析解答问题的能力和转化与化归的思想方法，属于中档试题，本题的解答中，设等差数列{}n a 的公差为d ，利用等差数列的前n 项和公式，可得100810090,0,0a a d ><<，可得数列为递减数列，在利用n k a a ≥，即可求解k 的值．8.给出下列四个命题，其中正确的命题是（ ）①若()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，则ABC ∆是等边三角形； ②若sin cos A B =，则ABC ∆是直角三角形； ③若cos cos cos 0A B C <，则ABC ∆是钝角三角形； ④若sin 2sin 2A B =，则ABC ∆是等腰三角形；A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④ 【答案】C考点：三角形状的判定．9.已知O 是三角形ABC 所在平面内一定点，动点P 满足()0sin sin AB AC OP OA AB B AC C λλ⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭，则P 点轨迹一定通过三角形ABC 的（ ）A ．重心B ．外心C ．垂心D ．内心 【答案】A 【解析】试题分析：作出如图的图形AD BC ⊥，由于sin sin AB B AC C AD ==，所以()sin sin AB AC OP OA OA AB AC AD AB B AC C λλ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，由加法法则知，P 在三角形的直线上，所以动点的轨迹一定经过ABC ∆的重心，故选A ．考点：向量的运算及向量加法的几何意义． 10.设正数,x y 满足：,23x y x y >+=，则195x y x y+-+的最小值为（ ）A ．83B ．114C ．4D ．2 【答案】A考点：基本不等式的应用求最值．11.设数列{}n a 满足123121,4,9,,4,5,n n n a a a a a a n --====+=则2017a =（ ）A ．8064B ．8065C ．8067D ．8068 【答案】B 【解析】试题分析：由12n n n a a a --=+，可得11n n n a a a +-=+，两式作差得，112n n n a a a a +--=-，即112(4,5,)n n n a a a n +-=+=，所以数列{}n a 的奇数项与偶数项均构成等差数列，因为131,9a a ==，所以奇数项的公差为8d =，所以20171(20171)18(20171)8065a a d =+-=+-=，故选B ． 考点：数列的递推式及等差数列的通项公式．【方法点晴】本题主要考查了数列的递推关系是等差数列的定义及其通项公式的应用，着重考查了数列的递推关系的化简、分析问题和解答问题的能力及转化与化归思想的应用，属于中档试题，本题的解答中由数列的递推关系式12n n n a a a --=+，可得112n n n a a a +-=+，即可说明数列{}n a 的奇数项与偶数项均构成等差数列，由等差数列的通项公式，即可求解结果．12.已知实数,,x y z 满足222234x y z ++=，设T xy yz =+，则T 的取值范围是（ ）A ．⎡⎢⎣B ．⎡⎢⎣C ．⎡⎢⎣D ．⎡⎢⎣【答案】D考点：基本不等式的应用．【方法点晴】本题主要考查了基本不等式的应用，其中正确构造基本不等式的应用条件是使用基本不等式的基础和关键，试题思维量大，运算繁琐，属于难题，着重考查了构造思想和转化与化归思想的应用，本题的解答中，设0,0αβ>>且2αβ+=，得()()222243x y yz αβ=+++，即可利用基本不等式，可求得m 的值，即可求解取值范围．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知030,2A b ==，如果这样的三角形有且只有一个，则a 的取值范围为________. 【答案】1a =或2a ≥ 【解析】试题分析：由题意得，在ABC ∆中内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，由030,2A b ==，所以sin 1b A =，所以当2a b ≥=或1a =时，此时满足条件的三角形只有一个． 考点：正弦定理的应用． 14.有如下命题：①“0a b >>”是“11a b <”成立的充分不必要条件； ②0,0a b t >>>，则a a tb b t+<+；③552332a b a b a b +≥+对一切正实数,a b 均成立； ④“1ab>”是“0a b ->”成立的必要非充分条件. 其中正确的命题为___________．（填写正确命题的序号） 【答案】①③考点：不等式的性质及命题的真假判定．15.已知三角形ABC 中，过中线AD 的中点E 任作一条直线分别交边,AB AC 于,M N 两点，设(),0,0AM xAB AN y AC x y ==>>，则4x y +的最小值为___________.【答案】94【解析】试题分析：因为1()2AD AB AC =+且E 为AD 的中点，所以11()24AE AD AB AC ==+,又因为(),0,0AM xAB AN y AC x y ==>>，所以11,AB AM AC AN x y ==,所以111()4AE AM AN x y=+，又,,M E N 三点共线，所以111(0,0)44x y x y +=>>，于是114(4)()44x y x y x y+=++1191144444y x x y =+++≥++=．考点：平面向量的运算及基本不等式的应用．【方法点晴】本题主要考查了平面向量的运算及基本不等式的应用，中点考查了平面向量的加法运算、向量的共线及共面的基本定理，基本不等式求解最值等知识点，求解本题的关键在于构造基本不等式的条件，利用基本不等式求解最值，着重考查学生分析问题和解答问题的能力及运算推理能力，属于中档试题．16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且()()()122212n n n n a n N n n n ++-=∈++，则n S =_________. 【答案】()()()12112n n S n N n n ++=-∈++考点：数列的求和．【方法点晴】本题主要考查了数列的求和及数列的递推式的化简、运算，其中正确化简数列的递推关系，合理裂项是解得此类问题的关键，试题思维量大，运算量大，难点多，有一定的难度，属于难题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中，正确、合理化简数列的通项公式()()()()()112222212112n n n nn n a n n n n n n n ++-==-+++++是解答的关键． 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.(本小题 满分10分)已知4,8a b ==，a 与b 的夹角为23π. （1）求a b +；（2）求k 为何值时，()()2a b ka b +⊥-.【答案】（1）（2）7k =-． 【解析】试题分析：（1）由向量的模的计算公式，可化简得()22222a b a b a a b b +=+=++，即可求解；（2）根据()()2a b ka b +⊥-，所以()()20a bka b +-=，列出方程，即可求解．试题解析：（1）()2222121624864482a b a ba ab b ⎛⎫+=+=++=+-+= ⎪⎝⎭，所以43a b +=.（2）因为()()2a b ka b +⊥-，所以()()20a bka b +-=，即()222120ka k a b b +--=，即()()1621161280k k +---=，解得7k =-． 考点：向量的运算． 18.（本小题满分12分） 已知0,0a b >>，且122a b+=. （1）求ab 的最小值；（2）求2a b +的最小值，并求出a 、b 相应的取值. 【答案】（1）2；（2）32a b ==． 等号成立的充要条件是12222a bb aab ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩且0,0a b >>，即：32a b ==；∴2a b +的最小值为92；此时32a b ==．考点：基本不等式的应用求解最值． 19.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，设S 为ABC ∆的面积，且)222S b c a =+-. （1）求角A 的大小；（2）若6a =，求ABC ∆周长的取值范围. 【答案】（1）3A π=；（2）(]12,18．考点：正项定理、余弦定理及三角形的面积公式． 20.(本小题满分12分)数列{}n a 满足()*13221,2,27nn n a a n N n a -=++∈≥=.（1）已知()()*12n n n b a t n N =+∈，若数列{}n b 成等差数列，求实数t ；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .【答案】（1）1t =；（2）()()*2121n n S n n n N =--+∈．()()()14123212212112n n n n n n n --=+-++=-++--．所以()()*2121n n S n n n N=--+∈． 解法二：（1）()()*12n n n b a t n N =+∈且数列{}n b 成等差数列，所以有()()*1n n b b n N +-∈为常数． ()()()*1111122n n n n n n b b a t a t n N +++-=+-+∈ ()()()()1*1*11122122111112222n n n n nn n n n n n a t a t n N t a a n N +++=+++-+∈+=++--∈ ()*1112n t n N +-=+∈，要使()()*1n n b b n N +-∈为常数，需1t =．考点：等差数列的定义及通项公式；数列求和．21.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为5,,,cos 13a b c B =-. （1）若2sin A 、sin B 、2sin C 成等比数列，613ABC S ∆=，求,a c 的等差中项； （2）若4cos ,145C AC AB ==，求a .【答案】（1；（2）114a =．考点：等差、等比数列的性质及其余弦定理的应用．【方法点晴】本题主要考查了等差数列与等比数列的通项及性质，涉及到三角形中正弦定理与余弦定理的应用，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中利用正弦定理可把2sin 4sin sin B A C =，化为24b ac =，进而可求解a c +的值，同时计算出sin ,sin ,cos B C A 的值，代入题设条件，即可求解a 的值．22.（本小题满分12分）已知12a =，点()1,n n a a +在函数()22f x x x =+的图像上，其中*n N ∈. （1）证明：数列(){}lg 1n a +是等比数列；（2）记112n n n b a a =++，求数列{}n b 的前项和n S . 【答案】（1）证明见解析；（2）22131n n S =--．（2）由（1）式得1231n n a -=-，212n n n Qa a a +=+，∴()11n n n a a a +=+， ∴1111122n n n a a a +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，∴11122n n n a a a +=-+． 又112n n n b a a =++，∴1112n n n b a a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴1212231111111111122n n n n n S b b b a a a a a a a a ++⎛⎫⎛⎫=++=-+-++-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵1221131,2,31n n n n a a a -+=-==-，∴22131nn S =--． 考点：等比数列的定义及数列的递推式；数列的求和．【方法点晴】本题主要考查了等比数的通项公式及其递推关系的化简、数列的求和问题，其中熟练掌握利用取对数法把已知转化为的等比数列问题的求解、等比数列的定义及通项公式，“裂项求和”法等是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中，把数列{}n b 的通项公式合理裂项、准确计算是本题的一大易错点．四、附加题：本题满分15分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或才演算步骤，本题所得分数计入总分.23. 已知数列{}n a 满足：()123,1a t t R t =-∈≠±，()()()112321121n n n n n n t a t t a n N a t +++-+--=∈+-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若0t >，试比较1n a +与n a 的大小. 【答案】（1）()211n n t a n -=-；（2）1n n a a +>．考点：等比数列的定义及数列的递推式的应用．。
2015-2016学年重庆市渝中区巴蜀中学七年级(上)期中数学试卷
2015-2016学年重庆市渝中区巴蜀中学七年级（上）期中数学试卷一、选择题：（每题4分，共48分）1．（4分）﹣3的相反数是（）A．3 B．﹣3 C．D．﹣2．（4分）2008北京奥运会主会场“鸟巢”的座席数是91 000个，这个数用科学记数法表示为（）A．0.91×105B．9.1×104C．91×103D．9.1×1033．（4分）有理数（﹣1）2，（﹣1）3，﹣12，|﹣1|，﹣（﹣1）中，其中等于1的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个4．（4分）在式子2ab，，x，，0，5π，﹣中单项式有（）A．6个 B．5个 C．4个 D．3个5．（4分）某服装店新开张，第一天销售服装a件，第二天比第一天多销售12件，第三天的销售量是第二天的2倍少10件，则第三天销售了（）A．（2a+2）件B．（2a+24）件C．（2a+10）件D．（2a+14）件6．（4分）若|x|=5，|y|=2且x＜0，y＞0则x+y=（）A．7 B．﹣7 C．3 D．﹣37．（4分）下列说法错误的是（）A．任何一个有理数的绝对值都是正数B．有理数可以分为正有理数，负有理数和零C．两个有理数和为正数，这两个数不可能都为负数D．0既不是正数也不是负数8．（4分）下列运算正确的是（）A．3x2+2x3=5x5B．3x2+2x2=5x2C．3x2+2x2=5x4D．3x2+2x3=6x59．（4分）已知代数式3x2﹣6x+6的值为9，则代数式x2﹣2x+6的值为（）A．18 B．12 C．9 D．710．（4分）若﹣1＜a＜0，则a，，a2的大小关系是（）A．a＜＜a2B．＜a＜a2C．＜a2＜a D．a＜a2＜11．（4分）如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第6个图形需要黑色棋子的个数是（）A．36 B．40 C．48 D．5012．（4分）有一列数a1，a2，a3，…，a n，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若a1=2，则a2015为（）A．2015 B．2 C．﹣1 D．二、填空题（请把答案填在答卷相应的横线上．每题3分，共30分）13．（3分）我国神九火箭点火发射时要实行到计时，点火发射之后6秒记为+6秒，那么火箭点火发射之前8秒应记为秒．14．（3分）若x a﹣1y b+2与﹣3x2y5是同类项，则a﹣b=．15．（3分）若（a﹣1）2+|b+2|=0，那么a+b=．16．（3分）比较大小：﹣3﹣4（用“＞”“=”或“＜”表示）．17．（3分）买一个足球需要m元，买一个篮球需要n元，则买4个足球、7个篮球共需要元．18．（3分）单项式﹣x2y3z的系数是m，次数是n，则m•n=．19．（3分）有理数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a+b|+|a|+|﹣b|﹣|1﹣b|=．20．（3分）一个长方形的周长为4a﹣b，相邻的两边中一边长为2a﹣b，则另一边长为．21．（3分）已知a+2c=5，5c﹣2b=7，则a+2b﹣3c=．22．（3分）有3只猴子一起摘了1堆桃子，因为太累了，它们商量决定，先睡一觉再分．过了不知多久，有1只猴子醒了，它便将这1堆桃子平均分成3份，结果多了1个，就将多的这个吃了，拿走其中的1份．又过了一段时间，第2只猴子醒了，他不知道有1个同伴已经分好桃子并已拿走一份了，于是将地上的桃子堆起来，又平均分成3份，发现也多了1个，同样吃了这1个，并拿走其中的1份，第3只猴子醒来也这样把剩下的分成3份，多了一个，吃掉多的一个并拿走一份，问这3只猴子至少摘了个桃子．三、解答题（共72分）23．（24分）计算：（1）8+（﹣5）﹣6﹣（﹣7）（2）（﹣+﹣）×（﹣24）（3）﹣33÷×（﹣）2﹣（﹣1）7（4）﹣14﹣（1﹣0.5）÷2×[2﹣（﹣3）2]．24．（12分）合并同类项：（1）3a2+2ab+2a2﹣2ab（2）（﹣x2+2xy﹣y2）﹣2（xy﹣3x2）+3（2y2﹣xy）25．（16分）先化简，再求值：（1）3a2b﹣[2ab2﹣2（﹣a2b+4ab2）]﹣5ab2，其中a=﹣2，b=．（2）2x2﹣[3（﹣x2+xy）﹣2y2]﹣2（x2﹣xy+2y2），其中|x﹣|与（y+1）2互为相反数．26．（8分）重庆悬挑玻璃景观廊桥，修建在重庆云阳龙缸景区，比世界闻名的美国科罗拉多大峡谷玻璃廊桥悬挑还长5米多，被誉为世界第一悬挑玻璃景观廊桥．“十•一”黄金周期间，龙缸廊桥景区在7天假期中每天接待游客的人数变化如表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）日期10月1日10月2日10月3日10月4日10月5日10月6日10月7日人数变化（万人）+1.6+0.8+0.4﹣0.4﹣0.8+0.2﹣1.4（1）若9月30日的游客人数为m万人，则10月2日的游客人数为万人；（2）七天内游客人数最大的是10月日；（3）若9月30日游客人数为2万人，门票每人180元．请求出黄金周期间龙缸廊桥景区票总收入是多少万元？27．（12分）水资源透支现象令人担忧，节约用水迫在眉睫．针对居民用水浪费现象，重庆市政府和环保组织进行了调查，并制定出相应的措施．（1）据环保组织调查统计，全市至少有6×105个水龙头、2×104个抽水马桶都漏水．若一万个漏水的水龙头一个月能漏掉m立方米水；一万个漏水的马桶一个月漏掉n立方米水，则全市一个月仅这两项所造成的水流失量是多少？（2）针对居民用水浪费现象，市政府将制定居民用水标准：规定每个三口之家每月的标准用水量，超过标准部分加价收费．每月的标准用水量为（2a﹣b+8）立方米，若不超标部分的水价为每立方米3.5元；超标部分价格为每立方米（a ﹣b+2.2）元．某家庭某月用水量为[5a+3（6﹣a）﹣b]立方米，问三口之家应交水费是多少元（用含a、b的式子表示）？（3）当a=1.2，b=2时，求这个家庭缴费的准确金额．2015-2016学年重庆市渝中区巴蜀中学七年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每题4分，共48分）1．（4分）﹣3的相反数是（）A．3 B．﹣3 C．D．﹣【分析】根据相反数的概念解答即可．【解答】解：﹣3的相反数是3，故选：A．【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．2．（4分）2008北京奥运会主会场“鸟巢”的座席数是91 000个，这个数用科学记数法表示为（）A．0.91×105B．9.1×104C．91×103D．9.1×103【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答】解：91 000=9.1×104个．故选：B．【点评】用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．3．（4分）有理数（﹣1）2，（﹣1）3，﹣12，|﹣1|，﹣（﹣1）中，其中等于1的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】根据有理数的乘方、绝对值，相反数的定义或法则计算即可．【解答】解：（﹣1）2=1；（﹣1）3=﹣1；﹣12=﹣1；|﹣1|=1；﹣（﹣1）=1．故选：B．【点评】本题主要考查的是有理数的乘方、相反数、绝对值，掌握有理数的乘方法则和绝对值、相反数的定义是解题的关键．4．（4分）在式子2ab，，x，，0，5π，﹣中单项式有（）A．6个 B．5个 C．4个 D．3个【分析】根据单项式的定义回答即可．【解答】解：2ab是单项式；含有加减运算是多项式；x单独一个字母是一个单项式；分母含有字母既不是单项式，也不是多项式；0、5π都数字是一个单项式；﹣是单项式．共有5个单项式．故选：B．【点评】本题主要考查的是单项式的定义，掌握单项式的定义是解题的关键．5．（4分）某服装店新开张，第一天销售服装a件，第二天比第一天多销售12件，第三天的销售量是第二天的2倍少10件，则第三天销售了（）A．（2a+2）件B．（2a+24）件C．（2a+10）件D．（2a+14）件【分析】此题要根据题意直接列出代数式，第三天的销售量=（第一天的销售量+12）×2﹣10．【解答】解：第二天销售服装（a+12）件，第三天的销售量2（a+12）﹣10=2a+14（件），故选D．【点评】此题要注意的问题是用多项式表示一个量的后面有单位时，这个多项式要带上小括号．6．（4分）若|x|=5，|y|=2且x＜0，y＞0则x+y=（）A．7 B．﹣7 C．3 D．﹣3【分析】由绝对值的定义，得x=±5，y=±2，再根据x＜0，y＞，确定x、y的具体对应值，最后代入计算x+y的值．【解答】解：∵|x|=5，|y|=2，∴x=±5，y=±2，∵x＜0，y＞0，∴x=﹣5，y=2，∴x+y=﹣3．故选：D．【点评】主要考查了绝对值的运算，先确定绝对值符号中x、y的取值再去计算结果．注意绝对值等于一个正数的数有两个；两个负数，绝对值大的反而小．7．（4分）下列说法错误的是（）A．任何一个有理数的绝对值都是正数B．有理数可以分为正有理数，负有理数和零C．两个有理数和为正数，这两个数不可能都为负数D．0既不是正数也不是负数【分析】根据绝对值的意义，有理数的分类，有理数的加法，零的意义，可得答案．【解答】解：A、0的绝对值是0，故A错误；B、有理数可以分为正有理数，负有理数和零，故B正确；C、两个有理数和为正数，这两个数不可能都为负数，故C正确；D、0既不是正数也不是负数，故D正确；故选：A．【点评】本题考查了有理数，任何实数的绝对值都是非负数，注意零既不是正数也不是负数．8．（4分）下列运算正确的是（）A．3x2+2x3=5x5B．3x2+2x2=5x2C．3x2+2x2=5x4D．3x2+2x3=6x5【分析】各项合并同类项得到结果，即可做出判断．【解答】解：A、原式为最简结果，不能合并，故选项错误；B、3x2+2x2=5x2，故选项正确；C、3x2+2x2=5x2，故选项错误；D、原式为最简结果，不能合并，故选项错误．故选：B．【点评】此题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项法则是解本题的关键．9．（4分）已知代数式3x2﹣6x+6的值为9，则代数式x2﹣2x+6的值为（）A．18 B．12 C．9 D．7【分析】由代数式3x2﹣6x+6的值为9，易求得x2﹣2x的值，然后整体代入代数式x2﹣2x+6，即可求得答案．【解答】解：∵3x2﹣6x+6=9，∴3x2﹣6x=3，∴x2﹣2x=1，∴x2﹣2x+6=1+6=7．故选：D．【点评】此题考查了代数式的求值问题．此题难度适中，注意掌握整体思想的应用．10．（4分）若﹣1＜a＜0，则a，，a2的大小关系是（）A．a＜＜a2B．＜a＜a2C．＜a2＜a D．a＜a2＜【分析】取a=﹣，求=﹣2，，再根据﹣、﹣2、进行比较即可．【解答】解：∵﹣1＜a＜0，＜a＜0，a2＞0，∴a2＞a＞，故选：B．【点评】本题考查了有理数大小比较的应用，解此题的关键是取一个符合条件的一个数，﹣1＜＜0，题目较好，但是一道比较容易出错的题目．11．（4分）如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第6个图形需要黑色棋子的个数是（）A．36 B．40 C．48 D．50【分析】由图可知：第1个图形需要黑色棋子的个数是2×3﹣3=3，第2个图形需要黑色棋子的个数是3×4﹣4=8，第3个图形需要黑色棋子的个数是4×5﹣5=15，…按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）﹣（n+2）=n2+2n．由此代入求得答案即可．【解答】解：∵第1个图形需要黑色棋子的个数是2×3﹣3=3，第2个图形需要黑色棋子的个数是3×4﹣4=8，第3个图形需要黑色棋子的个数是4×5﹣5=15，…∴第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）﹣（n+2）=n2+2n；则第6个图形需要黑色棋子的个数是36+12=48．故选：C．【点评】此题考查图形的变化规律，首先计算几个特殊图形，发现：数出每边上的个数，乘以边数再减去各个顶点的重复的点数，得出规律，解决问题．12．（4分）有一列数a1，a2，a3，…，a n，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若a1=2，则a2015为（）A．2015 B．2 C．﹣1 D．【分析】解决此题首先要计算列举出部分结果，直至数列开始循环，确定循环周期，用2015除以周期看余数是几，就与第几个数据相同．【解答】解：a1=2，，a3=1﹣2=﹣1，a4=1﹣（﹣1）=2…可以发现：数列3个为一个循环周期，2015÷3=671 (2)所以a2015=a2=．故选：D．【点评】此类问题主要考查数列的规律探索，解题关键是通过准确计算找出数列的循环出现规律，注意：用所求数的序号除以循环周期，余数是几就和第几个数相同．二、填空题（请把答案填在答卷相应的横线上．每题3分，共30分）13．（3分）我国神九火箭点火发射时要实行到计时，点火发射之后6秒记为+6秒，那么火箭点火发射之前8秒应记为﹣8秒．【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，点火后记为正，可得点火前的表示方法．【解答】解：我国神九火箭点火发射时要实行到计时，点火发射之后6秒记为+6秒，那么火箭点火发射之前8秒应记为﹣8秒，故答案为：﹣8．【点评】本题考查了正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示．14．（3分）若x a﹣1y b+2与﹣3x2y5是同类项，则a﹣b=0．【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程，求出a，b的值，再代入代数式计算即可．【解答】解：∵x a﹣1y b+2与﹣3x2y5是同类项，∴a﹣1=2，b+2=5，∴a=3，b=3，所以a﹣b=0．故答案为：0．【点评】本题考查同类项的定义，关键是根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程．15．（3分）若（a﹣1）2+|b+2|=0，那么a+b=﹣1．【分析】根据非负数的性质列式求出a、b，然后相加即可得解．【解答】解：根据题意得，a﹣1=0，b+2=0，解得a=1，b=﹣2，所以，a+b=1+（﹣2）=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．16．（3分）比较大小：﹣3＞﹣4（用“＞”“=”或“＜”表示）．【分析】本题是基础题，考查了实数大小的比较．两负数比大小，绝对值大的反而小；或者直接想象在数轴上比较，右边的数总比左边的数大．【解答】解：根据有理数大小比较的规律可得两个负数中绝对值大的反而小，﹣3＞﹣4．故答案为：＞．【点评】规律总结：（1）在以向右方向为正方向的数轴上两点，右边的点表示的数比左边的点表示的数大．（2）正数大于0，负数小于0，正数大于负数．（3）两个正数中绝对值大的数大．（4）两个负数中绝对值大的反而小．17．（3分）买一个足球需要m元，买一个篮球需要n元，则买4个足球、7个篮球共需要4m+7n元．【分析】根据题意可知4个足球需4m元，7个篮球需7n元，故共需（4m+7n）元．【解答】解：∵一个足球需要m元，买一个篮球需要n元．∴买4个足球、7个篮球共需要（4m+7n）元．故答案为：4m+7n．【点评】此题主要考查了列代数式，注意代数式的正确书写：数字写在字母的前面，数字与字母之间的乘号要省略不写．18．（3分）单项式﹣x2y3z的系数是m，次数是n，则m•n=﹣5．【分析】利用单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，进而得出m，n的值，进而得出答案．【解答】解：∵单项式﹣x2y3z的系数是m，次数是n，∴m=﹣，n=2+3+1=6，则m•n=﹣×6=﹣5．故答案为：﹣5．【点评】此题主要考查了单项式，正确把握单项式的系数与次数的定义是解题关键．19．（3分）有理数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a+b|+|a|+|﹣b|﹣|1﹣b|=b+1．【分析】根据各点在数轴上的位置判断出ab的符号及绝对值的大小，再去绝对值符号，合并同类项即可．【解答】解：∵由图可知，﹣1＜a＜0＜1＜b，∴a+b＞0，1﹣b＜0，∴原式=a+b﹣a+b+1﹣b=b+1．故答案为：b+1．【点评】本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键．20．（3分）一个长方形的周长为4a﹣b，相邻的两边中一边长为2a﹣b，则另一边长为．【分析】根据长方形的周长公式列出整式相加减的式子，再去括号，合并同类项即可．【解答】解：∵一个长方形的周长为4a﹣b，相邻的两边中一边长为2a﹣b，∴另一边长=﹣（2a﹣b）=2a﹣﹣2a+b=．故答案为：．【点评】本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键．21．（3分）已知a+2c=5，5c﹣2b=7，则a+2b﹣3c=﹣2．【分析】将已知两等式左右两边相减，去括号合并即可求出所求式子的值．【解答】解：∵a+2c=5，5c﹣2b=7，∴a+2b﹣3c=（a+2c）﹣（5c﹣2b）=5﹣7=﹣2．故答案为：﹣2【点评】此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，是一道基本题型．22．（3分）有3只猴子一起摘了1堆桃子，因为太累了，它们商量决定，先睡一觉再分．过了不知多久，有1只猴子醒了，它便将这1堆桃子平均分成3份，结果多了1个，就将多的这个吃了，拿走其中的1份．又过了一段时间，第2只猴子醒了，他不知道有1个同伴已经分好桃子并已拿走一份了，于是将地上的桃子堆起来，又平均分成3份，发现也多了1个，同样吃了这1个，并拿走其中的1份，第3只猴子醒来也这样把剩下的分成3份，多了一个，吃掉多的一个并拿走一份，问这3只猴子至少摘了25个桃子．【分析】设原来摘了x个桃子，可以用x表示出第三次分桃子后的个数，然后设个数是k，利用k表示出x，当k最小时，x最小，确定能使x是整数的最小的整数值即可．【解答】解：设原来摘了x个桃子．设分3次后桃子的个数是：{[（x﹣1）×﹣1]﹣1}=k．则x=，当k取最小值3时，x=25，此时摘的桃子最少．故答案是：25．【点评】本题考查了列代数式和方程的整数解，正确利用x表示出分3次后桃子的个数是关键．三、解答题（共72分）23．（24分）计算：（1）8+（﹣5）﹣6﹣（﹣7）（2）（﹣+﹣）×（﹣24）（3）﹣33÷×（﹣）2﹣（﹣1）7（4）﹣14﹣（1﹣0.5）÷2×[2﹣（﹣3）2]．【分析】（1）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果；（2）原式利用乘法分配律计算即可得到结果；（3）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果；（4）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果．【解答】解：（1）原式=8﹣5﹣6+7=4；（2）原式=20﹣9+2=13；（3）原式=﹣27××+1=﹣16+1=﹣15；（4）原式=﹣1﹣××（﹣7）=﹣1+=．【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．24．（12分）合并同类项：（1）3a2+2ab+2a2﹣2ab（2）（﹣x2+2xy﹣y2）﹣2（xy﹣3x2）+3（2y2﹣xy）【分析】（1）根据合并同类项系数相加字母及指数不变，可得答案；（2）根据去括号的法则，可化简整式，根据合并同类项系数相加字母及指数不变，可得答案．【解答】解：（1）原式=（3+2）a2+（2﹣2）ab=5a2；（2）原式=﹣x2+2xy﹣y2﹣2xy+6x2+6y2﹣3xy=（﹣1+6）x2+（2﹣2﹣3）xy+（﹣1+6）y2=5x2﹣3xy+5y2．【点评】本题考查了合并同类项，合并同类项系数相加字母及指数不变，注意去括号：括号前是负数去括号全变号，括号前是正数去括号不变号．25．（16分）先化简，再求值：（1）3a2b﹣[2ab2﹣2（﹣a2b+4ab2）]﹣5ab2，其中a=﹣2，b=．（2）2x2﹣[3（﹣x2+xy）﹣2y2]﹣2（x2﹣xy+2y2），其中|x﹣|与（y+1）2互为相反数．【分析】（1）原式去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值；（2）原式去括号合并得到最简结果，利用非负数的性质求出x与y的值，代入计算即可求出值．【解答】解：（1）原式=3a2b﹣2ab2﹣2a2b+8ab2﹣5ab2=a2b+ab2，当a=﹣2，b=时，原式=2﹣=1；（2）原式=2x2+x2﹣2xy+2y2﹣2x2+2xy﹣4y2=x2﹣2y2，∵|x﹣|与（y+1）2互为相反数，|x﹣|+（y+1）2=0，∴x=，y=﹣1，则原式=﹣2=﹣．【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．26．（8分）重庆悬挑玻璃景观廊桥，修建在重庆云阳龙缸景区，比世界闻名的美国科罗拉多大峡谷玻璃廊桥悬挑还长5米多，被誉为世界第一悬挑玻璃景观廊桥．“十•一”黄金周期间，龙缸廊桥景区在7天假期中每天接待游客的人数变化如表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）日期10月110月210月310月410月510月610月7日日日日日日日人数变化（万人）+1.6+0.8+0.4﹣0.4﹣0.8+0.2﹣1.4（1）若9月30日的游客人数为m万人，则10月2日的游客人数为（m+2.4）万人；（2）七天内游客人数最大的是10月3日；（3）若9月30日游客人数为2万人，门票每人180元．请求出黄金周期间龙缸廊桥景区票总收入是多少万元？【分析】（1）根据有理数的加法，可得答案；（2）根据有理数的加法，可得每天的人数，根据有理数的大小比较，可得答案；（3）根据有理数的加法，可得总人数，根据票价乘以总人数，可得答案．【解答】解：（1）m+1.6+0.8=（m+2.4）万人；（2）1日m+1.6=（m+1.6）万人，2日是（m+2.4）万人，3日是m+2.4+0.4=（m+2.8）万人．4日是m+2.8﹣0.4=（m+2.4）万人，5日是m+2.4﹣0.8=（m+1.6）万人，6日是m+1.6+0.2=（m+1.8）万人，7日是m+1.8﹣1.4=m+0.4万人，故答案为：（m+2.4），3；（3）（m+1.6）+（m+2.4）+（m+2.8）+（m+2.4）+（m+1.6）+（m+1.8）+m+0.4=7m+13，当m=2万时，7×2+13=27万人，27×180=4860（万元）答：黄金周期间龙缸廊桥景区票总收入是4860万元．【点评】本题考查了正数和负数，利用有理数的加法是解题关键，注意票价乘以总人数等于总收入．27．（12分）水资源透支现象令人担忧，节约用水迫在眉睫．针对居民用水浪费现象，重庆市政府和环保组织进行了调查，并制定出相应的措施．（1）据环保组织调查统计，全市至少有6×105个水龙头、2×104个抽水马桶都漏水．若一万个漏水的水龙头一个月能漏掉m立方米水；一万个漏水的马桶一个月漏掉n立方米水，则全市一个月仅这两项所造成的水流失量是多少？（2）针对居民用水浪费现象，市政府将制定居民用水标准：规定每个三口之家每月的标准用水量，超过标准部分加价收费．每月的标准用水量为（2a﹣b+8）立方米，若不超标部分的水价为每立方米3.5元；超标部分价格为每立方米（a ﹣b+2.2）元．某家庭某月用水量为[5a+3（6﹣a）﹣b]立方米，问三口之家应交水费是多少元（用含a、b的式子表示）？（3）当a=1.2，b=2时，求这个家庭缴费的准确金额．【分析】（1）先计算由多少万个水龙头和多少万个马桶，然后分别乘以m和n 即可得到水流失的量；（2）实际用水量[5a+3（6﹣a）﹣b]立方米比标准用水量为（2a﹣b+8）立方米多10立方米，然后按不超标部分的水价为每立方米3.5元，超标部分价格为每立方米（a﹣b+2.2）元计算得到（17a﹣13.5b+50）元；（3）把a、b的值代入（2）中的代数式中计算即可．【解答】解：（1）全市一个月仅这两项所造成的水流失量为（60m+2n）立方米；（2）5a+3（6﹣a）﹣b=2a﹣b+18＞2a﹣b+8，所以这个家庭某月用水量超过每月的标准用水量10立方米，所以三口之家应交水费为 3.5（2a﹣b+8）+10（a﹣b+2.2）=（17a﹣13.5b+50）元；（3）当a=1.2，b=2时，17a﹣13.5b+50=17×1.2﹣13.5×2+44=43.4（元）．答：这个家庭缴费的准确金额为43.4元．【点评】本题考查了列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．本题的关键是水费分层计价．。
2015-2016年重庆市巴蜀中学高一(下)期中数学试卷(文科)和答案
，a=2，求△ABC 面积．
20． （12 分）已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，公差 d≠0，且 S3+S5=50，a1， a4，a13 成等比数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设{ }是首项为 1 公比为 2 的等比数列，求数列{bn}前 n 项和 Tn．
21． （12 分）在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a．b．c，且满足 2bsin（C+ ）=a+c． （I）求角 B 的大小； （Ⅱ）若点 M 为 BC 中点，且 AM=AC，求 sin∠BAC．
=
D． ， 则 D．
+ = （ ）
8． （5 分） 若向量 A．2
满足： B．
9． （5 分）在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c，若∠C=120°， c=2a，则（ ）
第 1 页（共 18 页）
A．a＞b B．a＜b C．a=b D．a 与 b 的大小关系不能确定 10． （5 分） 在△ABC 中， （ A．等边三角形 C．直角三角形 + ） • =| |2， 则三角形 ABC 的形状一定是 （ B．等腰三角形 D．等腰直角三角形 +1（n∈N*） ，则 S2016= ）
第 3 页（共 18 页）
22． （12 分） 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn， a1=1， 且 2nSn+1﹣2 （n+1） Sn=n （n+1） （n∈N*） ．数列{bn}满足 bn+2﹣2bn+1+bn=0（n∈N*） ．b3=5，其前 9 项和为 63． （1）求数列{an}和{bn}的通项公式； （2）令 cn= + ，数列{cn}的前 n 项和为 Tn，若对任意正整数 n，都有 Tn﹣2n
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
重庆市巴蜀中学2015~2016学年第一学期半期考试初2016级（三上）数学试题卷一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填入答题卷中对应的表格内． 1.抛物线2(1)2y x =---的顶点坐标是（ ）A.(1,2)B.(1,2)-C.(1,2)-D.(1,2)--2.已知O 的半径为3cm ，若点O 到直线l 的距离为4cm ，则直线l 与O 的位置关系是（ ） A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定3.若反比例函数ky x=的图象经过点(2,1)-,则该反比例函数的图像在（ ） A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、四象限 D.第二、四象限 4.如图，在Rt ABC ∆中，D 是AB 的中点，5,12BC AC ==,则sin DCA ∠的值为（ ） A.512 B.513 C.1312 D.1213DCBA第4题图 第5题图 第6题图 5.如图，正比例函数11y k x =的图象与反比例函数22k y x=的图象相交于A 、B 两点，其中点A 的横坐标为2，当12y y >时，x 的取值范围是（ ）A.22x x <->或B.202x x <<<或 C ．2002x x -<<<<或 D.202x x -<<>或 6.如图，,,A B C 是O 上三点，25ACB ︒∠=,则BAO ∠的度数是（ ） A.55︒ B.60︒C.65︒D.70︒7.设123(2,),(1,),(2,)A y B y C y -是抛物线2(1)3y x =-+-上的三点，则123,,y y y 的大小关系为（ ） A.123y y y >> B.132y y y >> C.321y y y >> D.312y y y >> 8.在同一坐标系中，一次函数2y mx n =-+与二次函数2y x m =+的图象可能是（）A. B. C. D.OA BC9.如图，圆O 是ABC ∆的外接圆，AD 是圆O 的直径，若圆的半径为32，AC =2，则sin B 的值为（ ）A.23B.32C.34D.4310.一次函数y kx b =+与反比例函数my x=图象交于A ,B ,已知(2,1)A -,点B 的纵坐标为-2，根据图象信息可得关于x 的方程mkx b x+=的解为（ ） A.-2，2 B.-1，1 C.-2，1 D.无法确定11.如图，Rt ABC ∆中，2AC BC ==,正方形CDEF 的顶点D ,F 分别在AC ,BC 上，C ,D 两点不重合，设CD 的长度为x ，ABC ∆与正方形CDEF 重叠部分的面积为y ,则下列图象中能表示y 与x 之间的函数关系的是（ ）D ．A. B. C. D.12.如图，A ,B 是双曲线ky x=上的两点，过A 点作AC x ⊥轴，交OB 于D 点，垂足为C ,若ADO ∆的面积为2，D 为OB 的中点，则k 的值为（ ） A.83B.163C.6D.8 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上13.函数11y x =+的自变量的取值范围是 ．14.在数轴上，点A 所表示的实数为2，点B 所表示的数为-1，A 的半径为4，则点B 与A 的位置关系是 ．15.抛物线223y x mx =--+的对称轴是直线1x =则m 的值为 ．16.若将抛物线221y x x =+-的图象向上平移，使它经过点(0,3)所得新抛物线的解析式为 ． 17.如图，直线y x m =+和抛物线2y x bx c =++都经过点(1,0)A ,(3,2)B ,不等式2x bx c x m ++>+的解集为 ．OB C A D18.已知，点A ,B 分别在反比例函数28(0)(0)y x y x x x=>=->、的图象上，且OA OB ⊥,则tan B ．第17题图 第18题图 19.有五张正面分别标有数字2,0,1,2,3-的不透明卡片，它们除数字不同外其他全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将卡片上的数字记为a ，则抽出的数字a 使双曲线2a y x-=在第二、四象限，且使抛物线223y ax x =+-与x 轴有交点的概率为 ．20.如图在矩形ABCD 中，6,8AB AD ==,AE 平分BAC ∠交BC 于点E ,过B 作BF AE ⊥交AE 于点F ,将ABF ∆沿AB 翻折得到ABG ∆,将ABG ∆绕点A 逆时针旋转角a ,（其中0180a ︒<<︒）记旋转中的ABG ∆为//AB G ∆,在旋转过程中，设直线//B G 分别与直线AD 、直线AC 交于点M 、N ,当MA MN =时，线段MD 长为 ． 三、解答题21．计算下列各式⑴ tan 30sin 45tan 60cos 60︒⨯︒+︒⨯︒ ⑵ 22sin 302sin 60tan 45tan 60cos 30︒+︒+︒-︒+︒22．如图，在△ABC 中，AD 是△ABC 的中线，1tan 2B =，2cos 2C =，22AC =，求sin ADC ∠的值．DCBA23．已知二次函数图象经过点(3,0)A -，(0,3)B ，(2,5)C -，且另与x 轴交于点D ． ⑴ 求二次函数的解析式；⑵ 若P 为该二次函数的顶点，请求出△P AB 的面积．F EDA BCG24．如图，直线1y x =-+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，与反比例函数(0)ky x x=<的图象交于点B ，过点B 作BC ⊥x 轴交于点C ，且CO =2AO ，直线DE ⊥x 轴，且DE =AO ，过点B 作BF ⊥BE 交x 轴于点F ． ⑴ 求F 点的坐标；⑵ 设P 为反比例函数(0)ky x x=<的图象上一点，过点P 作PQ ∥y 轴交直线1y x =-+于点Q ，连接AP 、AQ ．若2APQ S =△，求点Q 的坐标．25．某商店经销A 、B 两种商品，按零售单价购买A 商品3件和B 商品2件，共需19元．两种商品的进货单价之和是5元；A 商品零售单价比进货单价多1元，B 商品零售单价比进货单价的2倍少1元． ⑴ 求A 、B 两种商品的进货单价各是多少元？⑵ 该商店平均每天卖出A 商品50件和B 商品30件，经调查发现，A 、B 两种商品零售单价分别降0.1元，这两种商品每天可各多销售10件，为了使每天获得更大的利润，商店决定把A 、B 两种商品的零售单价都下降m 元．在不考虑其他因素的条件下，当m 定为多少时，才能使商店每天销售A 、B 两种商品获取的利润和最大，每天的最大利润是多少？26．今年夏天我市出现厄尔尼诺现象极端天气，多地引发滑坡、山洪等严重自然灾害．如图所示，ON 为水平线，斜坡MN 的坡比为1:3，斜坡上一棵大树树干AB （树干AB 垂直于底面ON ）被大风刮倾斜15︒后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面，经测量，大树被折断部分与坡面所成的角30ADC ∠=︒，AD =8米，15BAC ∠=︒．⑴ 求这棵大树原来的高度；（参考数据：2 1.414,3 1.732≈≈．结果精确到0.1米）⑵ 某高速路段由于滑坡，需要在一定时间内进行抢修，若甲队单独做正好按时完成，而乙队由于人少，单独做则超期3个小时才能完成．现甲乙两队合作2小时后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，正好按期完成．求乙队单独完成全部工程需多少小时？DCBANMO27．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点(5,0)A -，(1,0)B ，直线3:34l y x =+与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D ．⑴ 求抛物线的解析式；⑵ 若点P 是x 轴上方抛物线上对称轴左侧一动点，过点P 分别作PE ∥x 轴交抛物线于点E ，作PF ⊥l 交于点F ，若PF =EP ，求点P 的坐标；⑶ 如图，级抛物线顶点为G 点，连接CG 、DG ，设抛物线对称轴与直线CD 、x 轴的交点为N 、Q ，以AQ 、NQ 为边作矩形AQNM ．现将矩形AQNM 沿直线GQ 平移得到矩形''''A Q N M ，设矩形''''A Q N M 与△CDG 的重叠部分面积为T ，当''35N CD N CO S S =△△时，求T 的值．答案一、选择题 1.B 2.C 3.D 4.B 5.D 6.C 7.A 8.D9.A10.C11.A12.B二、填空题 13.1x >- 14.点在圆内 15.4m =- 16.223y x x =++ 17.13x x <>或 18.1=219.152055558+822-或 三、解答题 21．⑴6362+； ⑵ 222．2sin 55ADC ∠=（提示：过点A 作AH ⊥BC ）23．⑴ 223y x x =--+； ⑵3S =24．⑴(6,0)F -⑵ 若20x -<<时，设(,1)Q t t -+，则6(,)P t t-，故61PQ t t=-+-∴1216(1)()22(),1(1,2)2APQSt t t t Q t=⨯-+-⨯-=⇒==-⇒-△舍 若2x <-时，61PQ t t=-++ ∴16141141141(1)()2(,)2222APQSt t t Q t ±-+=⨯-+⨯-=⇒=⇒△ 25．⑴ A 商品进货单价为2元，B 商品的进货单价为3元 ⑵2200220110A B W W W m m =+=-++∴当0.55m =时，max170.5W=元26．⑴ 延长BA 交ON 于点E ，过点A 作AH ⊥CD4(123)16.6AB AC CD =+=++≈米⑵ 设乙队单独完成需要x 小时，则甲队单独完成需要x-3小时1111()2(32)93x x x x x-+⨯=⨯--⇒=- 27． ⑴245y x x =--+⑵ 过点P 作x 轴的垂线交直线CD 于点G ，设2(,45)P m m m --+抛物线对称轴2x =-，故PE=4m --24419(2)554PF PG m m ==--+由PE=PF 得：(4,5)P - ⑶ 由题意得'132N COSCO OQ =⨯⨯=△，'1='2'2N CD S NN OD NN ⨯⨯=△ 故可知5'2NN =，则'(24)N -，或'(2,1)N -- 当'(24)N -，时，2312T =当'(2,1)N --时，0T =。