高二数学数学归纳法综合测试题(20201031214617)
高中数学数学归纳法练习题含答案
高中数学数学归纳法练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 用数学归纳法证明2n>2n+1，n的第一个取值应是( )A.1B.2C.3D.42. 一个关于自然数n的命题，如果n=1时命题正确，且假设n=k(k≥1)时命题正确，可以推出n=k+2时命题也正确，则（）A.命题对一切自然数n都正确B.命题对一切正偶数都正确C.命题对一切正奇数都正确D.以上说法都不正确3. 用数学归纳法证明不等式1+12+13+...+12n−1<n(n∈N∗，且n>1)时，第一步应证明下述哪个不等式成立( )A.1<2B.1+12+13<2 C.1+12<2 D.1+13<24. 在数学归纳法证明“1+a+a2+...+a n=1−a n+11−a(a≠1，n∈N∗)”时，验证当n=1时，等式的左边为()A.1B.1−aC.1+aD.1−a25. 用数学归纳法证明“2n>2n2−2n+1对于n≥n0的正整数n均成立”时，第一步证明中的起始值n0应取（）A.1B.3C.6D.106. 用数学归纳法证明“1+a+a2+...+a2n+1=1−a2n+21−a，(a≠1)”，在验证n=1时，左端计算所得项为（）A.1+a+a2+a3+a4B.1+aC.1+a+a2D.1+ a+a2+a37. 用数学归纳法证明1+12+13+...+12n−1<n(n∈N∗, n>1)时，第一步应验证不等式( )A.1+12<2B.1+12+13<2C.1+12+13<3D.1+12+13+14<38. （文）已知f(n)是关于正整数n 的命题．小明证明了命题f(1)，f(2)，f(3)均成立，并对任意的正整数k ，在假设f(k)成立的前提下，证明了f(k +m)成立，其中m 为某个固定的整数，若要用上述证明说明f(n)对一切正整数n 均成立，则m 的最大值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.49. 利用数学归纳法证明不等式1+12+13+14+...+12n−1+1<f(n)(n ≥2, n ∈N ∗)的过程中，由n =k 变到n =k +1时，左边增加了( ) A.1项 B.k 项C.2k−1项D.2k 项10. 用数学归纳法证明不等式“1n+1+1n+2+⋯+12n>1324(n >2)”时的过程中，由n =k 到n =k +1，(k >2)时，不等式的左边（ ） A.增加了一项12(k+1)B.增加了两项12k+1+12(k+1)C.增加了一项12(k+1)，又减少了一项1k+1D.增加了两项12k+1+12(k+1)，又减少了一项1k+111. 观察下列数表： 1 3 57 9 11 1315 17 19 21 23 25 27 29 ⋯ ⋯ ⋯设1025是该表第m 行的第n 个数，则m +n =________.12. 用数学归纳法证明不等式“1n+1+1n+2+1n+3+ (1)3n+1>2512”，当n =1时，不等式左边的项为________．13. 用数学归纳法证明：“1×4+2×7+3×10+...+n(3n +1)=n(n +1)2，n ∈N +”，当n =1时，左端为________．14. 要证明1，√3，2不能为同一等差数列的三项的假设是________．15. 用数学归纳法证明：“1n+1+1n+2+...+13n+1≥1（n∈N+）”时，在验证初始值不等式成立时，左边的式子应是“________”．16. 利用数学归纳法证明“1+12+13+⋯+12n=p(n)”，从n=k推导n=k+1时原等式的左边应增加的项数是________项．17.用数学归纳法证明：4n≥n4(n≥4, n∈N)，第一步验证n=________．18. 用数学归纳法证明："(n+1)(n+2)⋯(n+n)=2n⋅1⋅3⋯(2n−1)". 从"n=k到n=k+1" 左端增乘的代数式为________.19. 用数学归纳法证明不等式1n+1+1n+2+1n+3+⋯+13n>910(n∈N∗且n>1)时，第一步：不等式的左边是________．20. 若f(k)=1−12+13−14+⋯+12k−1−12k，则f(k+1)=f(k)+________．21. 用两种方法证明：1+122+132+⋯+1n2<2−1n(n≥2…,n∈N+)．22. （本小题12分）设数列{a n}的前n项和为S n，并且满足2S n=a n2+n n a>0 (1)求a1,a2,a3(2)猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明；(3)设x>0,y>0，且x+y=1，证明：√a n x+1+√a n y+1≤√2(n+2)23. 已知f(n)=1+12+13+⋯+1n，n=1，2，3，…．求证：100+f(1)+f(2)+f(3)+...+f(99)=100f(100)．24. 用数学归纳法证明：(n+1)+(n+2)+...+(n+n)=n(3n+1)2(n∈N∗)25. 用数学归纳法证明：11×3+13×5+15×7+⋯+1(2n−1)(2n+1)=n2n+1.26. 已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n，a n的等差中项为1．（1）写出a1，a2，a3；（2）猜想a n的表达式，并用数学归纳法证明．27. 用数学归纳法证明：(cosθ+i sinθ)n=cos nθ+i sin nθ，i为虚数单位，θ∈R，n∈N，且n≥2.28. 若n属于自然数，n≥3，证明：2n>2n+1．29. （1）证明|sin2x|≤2|sin x|；（x为任意值） 29.（2）已知n为任意正整数，用数学归纳法证明|sin nx|≤n|sin x|．（x为任意值）30. 已知数列{a n}满足a1=1，且5a n+1−2a n a n+1+3a n=8(m∈N∗)．（1）求a2，a3，a4的值；（2）猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．31. 若n是自然数，证明：2n>n．32. 用数学归纳法证明：（1）x2n−1能被x+1整除；（2）62n−1+1能被7整除；（3）n(n+1)(2n+1)能被6整除．33. 当n ≥2(n ∈N ∗)时，S n =(1−14)(1−19)(1−116) (1)1n2)，Tn =n+12n（1）求S 2，S 3，T 2，T 3；（2）猜测S n 与T n 的关系且证明．34. 用数学归纳法证明：1+√2√3√n<2√n(n ∈N +)．35. 在教材中，我们已研究出如下结论：平面内条直线最多可将平面分成个部分．现探究：空间内个平面最多可将空间分成多少个部分，．设空间内个平面最多可将空间分成个部分．（1）求的值；（2）用数学归纳法证明此结论．36. 设数列{a n }对一切n ∈N ∗，满足a 1=2，a n+1+a n =4n +2．试用数学归纳法证明：a n =2n ．37. 用数学归纳法证明a n+1+(a +1)2n−1能被a 2+a +1整除(n ∈N ∗)．38. 用数学归纳法证明，若f(n)=1+12+13+...+1n ，则n +f(1)+f(2)+...+f(n −1)=n ⋅f(n)(n ≥2，且n ∈N +)．39. 利用数学归纳法证明不等式：12×34×...×2n−12n<√2n+1∈N ∗)40. 已知数列11×2，12×3，13×4， (1)n(n+1)…计算S 1，S 2，S 3，根据据算结果，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法进行证明．参考答案与试题解析高中数学数学归纳法练习题含答案一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】C【考点】数学归纳法【解析】根据数学归纳法的步骤，结合本题的题意，是要验证n=1，2，3，命题是否成立；可得答案．【解答】解：根据数学归纳法的步骤，首先要验证当n取第一个值时命题成立；结合本题，要验证n=1时，左=21=2，右=2×1+1=3，2n>2n+1不成立，n=2时，左=22=4，右=2×2+1=5，2n>2n+1不成立，n=3时，左=23=8，右=3×2+1=7，2n>2n+1成立，因为n≥3成立，所以2n>2n+1恒成立．所以n的第一个取值应是3．故选C．2.【答案】C【考点】数学归纳法【解析】由题中条件：“假设n=k(k≥1)时命题正确，可以推出n=k+2时命题也正确”结合验证当n=1时命题成立，得到1+2=3时命题成立，进一步得到3+2=5命题也成立，…，即可推出正确选项．【解答】解：本题证的是对n=1，3，5，7，命题成立，即命题对一切正奇数成立．A、B、D不正确；故选C．3.【答案】B【考点】数学归纳法【解析】直接利用数学归纳法写出n=2时左边的表达式即可．【解答】解：用数学归纳法证明1+12+13+...+12n−1<n(n∈N∗，且n>1)时，第一步应代入n=2，得到1+12+13<2.故选B．4.【答案】C【考点】数学归纳法【解析】验证n=1时，左端计算所得的项．只需把n=1代入等式左边即可得到答案．【解答】解：当n=1时，易知左边=1+a.故选C．5.【答案】C【考点】数学归纳法【解析】根据数学归纳法的步骤，结合本题的题意，验证n=1成立，但当n=2，3，4，5时不成立，从n=6始，命题成立；可得答案．【解答】解：根据数学归纳法的步骤，首先要验证当n取第一个值时命题成立；结合本题，要验证n=1时，左=21=2，右=2×12−2×1+1=1，2n>2n2−2n+1成立，但是n=2时，左=22=4，右=2×22−2×2+1=5，2n>2n2−2n+1不成立，n=3时，左=23=8，右=2×32−2×3+1=13，2n>2n2−2n+1不成立，n=4时，左=24=16，右=2×42−2×4+1=25，2n>2n2−2n+1不成立，n=5时，左=25=32，右=2×52−2×5+1=41，2n>2n2−2n+1不成立，n=6时，左=26=64，右=2×62−2×6+1=61，2n>2n2−2n+1成立.故选C．6.【答案】D【考点】数学归纳法【解析】当n=1时，左端的a的次数由0次依次递增，最高次数为(2n+1)次，从而可知n=1时，左端计算所得项．【解答】，(a≠1)”左端和式中a的次数由0次依解：∵等式“1+a+a2+...+a2n+1=1−a2n+21−a次递增，当n=k时，最高次数为(2k+1)次，∴用数学归纳法证明“1+a+a2+...+a2n+1=1−a2n+2，(a≠1)”，在验证n=1时，1−a左端计算所得项为1+a+a2+a3，故选：D．7.【答案】B【考点】数学归纳法【解析】直接利用数学归纳法写出n=2时左边的表达式即可．【解答】解：用数学归纳法证明1+12+13+...+12n−1<n(n∈N∗, n>1)时，第一步应验证不等式为：1+12+13<2.故选B．8.【答案】C【考点】数学归纳法【解析】本题考查的知识点是数学归纳法，由归纳法的步骤知，我们由在假设f(k)成立的前提下，证明了f(k+m)成立，由此类推，对n>m的任意整数均成立，结合小明证明了命题f(1)，f(2)，f(3)均成立，由此不难得到m的最大值．【解答】解：由题意可知，f(n)对n=1，2，3都成立，假设f(k)成立的前提下，证明了f(k+m)成立时，m的最大值可以为：3．故选C．9.【答案】C【考点】数学归纳法【解析】比较由n=k变到n=k+1时，左边变化的项，即可得出结论．【解答】解：用数学归纳法证明等式1+12+13+14+⋯+12n−1+1<f(n)(n≥2, n∈N∗)的过程中，假设n=k时不等式成立，左边=1+12+13+14+...+12k−1+1，则当n=k+1时，左边=1+12+13+14+...+12k+1<f(n)∴ 由n =k 递推到n =k +1时不等式左边增加了 共(2k +1)−2k−1−1=2k−1项， 故选C ． 10.【答案】 D【考点】 数学归纳法 【解析】利用数学归纳法的证明方法步骤及其原理即可得出． 【解答】解：用数学归纳法证明不等式“1n+1+1n+2+⋯+12n >1324(n >2)”时的过程中，由n =k 到n =k +1，(k >2)时，不等式的左边增加了：两项12k+1+12(k+1)，又减少了一项1k+1． 故选：D ．二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ） 11.【答案】 12【考点】 数学归纳法 【解析】【解答】解：根据数表可知输的排列规律，1，3，5，7，9⋯，都是连续奇数， 第一行共20=1个数，第二行共21=2个数，且第一个数是3=22−1， 第三行共22=4个数，且第一个数是7=23−1， 第四行共23=8个数，且第一个数是15=24−1， ⋯第十行共29=512个数，且第一个数是1023=210−1， 第二个数为1025， 所以m =10，n =2， 所以m +n =10+2=12. 故答案为：12. 12. 【答案】 12+13+14 【考点】 数学归纳法 【解析】本题考查的知识点是数学归纳法，观察不等式“1n+1+1n+2+1n+3+ (1)3n+1>2512(n >2)左边的各项，他们都是以1n+1开始，以13n+1项结束，共2n +1项，写出结果即可．【解答】解：n=1时，1n+1+1n+2+1n+3+ (1)3n+1化为：12+13+14．当n=1时，不等式左边的项为12+13+14．故答案为：12+13+14．13.【答案】4【考点】数学归纳法【解析】由等式1×4+2×7+3×10+...+n(3n+1)=n(n+1)2，n∈N+”，当n=1时，3n+1=4，而等式左边起始为1×4的连续的正整数积的和，由此易得答案．【解答】解：在等式：“1×4+2×7+3×10+...+n(3n+1)=n(n+1)2，n∈N+”中，当n=1时，3n+1=4，而等式左边起始为1×4的连续的正整数积的和，故n=1时，等式左端=1×4=4故答案为：4．14.【答案】1，√3，2能为同一等差数列的三项【考点】数学归纳法【解析】熟记反证法的步骤，直接填空即可．【解答】解：应假设：1，√3，2能为同一等差数列的三项．故答案为：1，√3，2能为同一等差数列的三项．15.【答案】1 2+13+14【考点】数学归纳法【解析】分析不等式左边的项的特点，即可得出结论．【解答】解：n=1时，左边的式子是12+13+14．故答案为：12+13+14．16.【答案】2k【考点】数学归纳法【解析】n=k时，最后一项为12k ，n=k+1时，最后一项为12k+1，由此可得由n=k变到n=k+1时，左边增加的项即可．【解答】解：由题意，n=k时，最后一项为12k ，n=k+1时，最后一项为12k+1∴由n=k变到n=k+1时，左边增加了12k+1+12k+2+⋯+12k+1，增加2k项．故答案为：2k．17.【答案】4【考点】数学归纳法【解析】根据数学归纳法的步骤，结合本题的题意，是要验证n=4时，命题成立；将n=4代入不等式，可得答案．【解答】解：根据数学归纳法的步骤，首先要验证证明当n取第一个值时命题成立；结合本题n≥4，n∈N，故要验证n=4时，4n≥n4的成立即44≥44成立；故答案为：4．18.【答案】2(2k+1)【考点】数学归纳法【解析】此题暂无解析【解答】解：当n=k时，原式等于2k⋅1⋅3⋯(2k−1)，当n=k+1时，原式等于2k+1⋅1⋅3⋯(2k−1)⋅[2(k+1)−1]，观察式子可知，下式比上式多了2(2k+1).故答案为：2(2k+1).19.【答案】1 2+1+12+2+12+3+12+4【考点】数学归纳法【解析】用数学归纳法证明不等式1n+1+1n+2+1n+3+⋯+13n>910(n∈N∗且n>1)时，第一步：不等式的左边是12+1+12+2+12+3+12+4．即可得出．【解答】解：用数学归纳法证明不等式1n+1+1n+2+1n+3+⋯+13n>910(n∈N∗且n>1)时，第一步：不等式的左边是12+1+12+2+12+3+12+4．故答案为：12+1+12+2+12+3+12+4．20.【答案】1 2k+1−1 2k+2【考点】数学归纳法【解析】根据f(k)=1−12+13−14+⋯+12k−1−12k的特征，直接写出f(k+1)的表达式，即可推出要求的结果．【解答】解：因为f(k)=1−12+13−14+⋯+12k−1−12k，所以f(k+1)=1−12+13−14+⋯+12k−1−12k+12k+1−12k+2所以f(k+1)=f(k)+12k+1−12k+2，故答案为：12k+1−12k+2三、解答题（本题共计 20 小题，每题 10 分，共计200分）21.【答案】解：证明：解法一（放缩法）：∵1n2<1(n−1)×n∴1+122+132+⋯+1n2<1+11×2+1 2×3+⋯+1(n−1)×n又∵1(n−1)×n =1n−1−1n∴1+11×2+12×3+⋯+1(n−1)×n=1+1−12+12−13+⋯+1n−1−1 n =2−1n即1+122+132+⋯+1n2<2−1n(n≥2…,n∈N+)，即证．解法二（数学归纳法）：①当n=2时，左端=1+122=54，右端=2−12=32=64，∴左端<右端，即证．②假设n=k时，有1+122+132+⋯+1n2<2−1n(n≥2…,n∈N+)恒成立，即1+122+1 32+⋯+1k2<2−1k恒成立，那么当n=k+1时，1+122+⋯+1k2+1(k+1)2<2−1k+1(k+1)2=2−k2+k+1(k+1)2⋅k<2−k2+k (k+1)2⋅k =2−1k+1也成立，即当n=k时上述原命题也成立，综上，由①②知，1+122+132+⋯+1n2<2−1n(n≥2…,n∈N+)恒成立，即证．【考点】数学归纳法【解析】此题解法有两种：解法一是运用放缩法来证明；将左端最后一项放大，并变成两项之差，再用叠加法，即可．解法二是运用数学归纳法来证明．在证明过程中，第一步实际是验证思想，将n=2代入检验，第二步是关键一步，尤其是从k到k+1时，要注意增添了哪几项．【解答】解：证明：解法一（放缩法）：∵1n2<1(n−1)×n∴1+122+132+⋯+1n2<1+11×2+1 2×3+⋯+1(n−1)×n又∵1(n−1)×n =1n−1−1n∴1+11×2+12×3+⋯+1(n−1)×n=1+1−12+12−13+⋯+1n−1−1 n =2−1n即1+122+132+⋯+1n2<2−1n(n≥2…,n∈N+)，即证．解法二（数学归纳法）：①当n=2时，左端=1+122=54，右端=2−12=32=64，∴左端<右端，即证．②假设n=k时，有1+12+13+⋯+1n<2−1n(n≥2…,n∈N+)恒成立，即1+12+1 32+⋯+1k2<2−1k恒成立，那么当n=k+1时，1+122+⋯+1k2+1(k+1)2<2−1k+1(k+1)2=2−k2+k+1(k+1)2⋅k<2−k2+k (k+1)2⋅k =2−1k+1也成立，即当n=k时上述原命题也成立，综上，由①②知，1+122+132+⋯+1n2<2−1n(n≥2…,n∈N+)恒成立，即证．22.【答案】【考点】数学归纳法【解析】【解答】23.【答案】证明：先用数学归纳法证明等式：(n+1)（f(1)+f(2)+...+f(n)）=(n+1)f(n+ 1)．)=3证(1)当n=1时，左边=2+f(1)=2+1=3，右边=2(f(2))=2(1+12∴左边=右边，∴等式成立．…(2)假设n=k时，等式成立，即(n+1)（f(1)+f(2)+...+f(k)）=(k+1)f(k+1)上式两边同时加1+f(k+1)得：(k+1)+1+f(1)+f(2)+...f(k)+f(k+1)=(k+1)f(k+1)+1+f(k+1)∵(k+1)f(k+1)+1+f(k+1)=(k+2)f(k+1)+1，∴(k+1)f(k+2)+f(k+1)+1−(k+2)f(k+2)=(k+2)[f(k+1)−f(k+ 2)]+1=(k+2)(−1)+1=0．k+2∴(k+1)f(k+1)+1+f(k+1)=(k+2)f(k+2)∴[(k+1)+1]+f(1)+f(2)+...+f(k)+f(k+1)=(k+2)f(k+2)∴n=k+1时等式也成立．…由(1)、(2)知，等式(n+1)（f(1)+f(2)+...+f(n)）=(n+1)f(n+1)对一切n∈N∗都成立．∴100+f(1)+f(2)+...+f(99)=100f(100)．…【考点】数学归纳法【解析】为了证明100+f(1)+f(2)+f(3)+...+f(99)=100f(100)．先用数学归纳法证明等式：(n+1)（f(1)+f(2)+...+f(n)）=(n+1)f(n+1)．故首先检验当n=1时，等式两边成立，再假设当n=k时，等式两边成立，写出此时的等式，准备后面要用，再检验当n=k+1时，等式成立，使用n=k时的条件，整理出结果，最后总结对于所有的自然数结论都成立．从而证得100+f(1)+f(2)+f(3)+...+f(99)=100f(100)．【解答】证明：先用数学归纳法证明等式：(n+1)（f(1)+f(2)+...+f(n)）=(n+1)f(n+1)．证(1)当n=1时，左边=2+f(1)=2+1=3，右边=2(f(2))=2(1+12)=3∴左边=右边，∴等式成立．…(2)假设n=k时，等式成立，即(n+1)（f(1)+f(2)+...+f(k)）=(k+1)f(k+1)上式两边同时加1+f(k+1)得：(k+1)+1+f(1)+f(2)+...f(k)+f(k+1)= (k+1)f(k+1)+1+f(k+1)∵(k+1)f(k+1)+1+f(k+1)=(k+2)f(k+1)+1，∴(k+1)f(k+2)+f(k+1)+1−(k+2)f(k+2)=(k+2)[f(k+1)−f(k+ 2)]+1=(k+2)(−1k+2)+1=0．∴(k+1)f(k+1)+1+f(k+1)=(k+2)f(k+2)∴[(k+1)+1]+f(1)+f(2)+...+f(k)+f(k+1)=(k+2)f(k+2)∴n=k+1时等式也成立．…由(1)、(2)知，等式(n+1)（f(1)+f(2)+...+f(n)）=(n+1)f(n+1)对一切n∈N∗都成立．∴100+f(1)+f(2)+...+f(99)=100f(100)．…24.【答案】证明：①n=1时，左边=2，右边=2，等式成立；②假设n=k时，结论成立，即：(k+1)+(k+2)+...+(k+k)=k(3k+1)2则n=k+1时，等式左边=(k+2)+(k+3)+...+(k+k+1)+(k+1+k+1)=k(3k+1)2+3k+2=(k+1)(3k+4)2故n=k+1时，等式成立由①②可知：(n+1)+(n+2)+...+(n+n)=n(3n+1)2(n∈N∗)成立【考点】数学归纳法【解析】根据数学归纳法的证题步骤，先证n=1时，等式成立；再假设n=k时，等式成立，再证n=k+1时等式成立．关键是注意n=k+1时等式左边与n=k时的等式左边的差，即为n=k+1时等式左边增加的项【解答】证明：①n=1时，左边=2，右边=2，等式成立；②假设n=k时，结论成立，即：(k+1)+(k+2)+...+(k+k)=k(3k+1)2则n=k+1时，等式左边=(k+2)+(k+3)+...+(k+k+1)+(k+1+k+1)=k(3k+1)2+3k+2=(k+1)(3k+4)2故n=k+1时，等式成立由①②可知：(n+1)+(n+2)+...+(n+n)=n(3n+1)2(n∈N∗)成立25.【答案】证明：(1)当n =1时，左边=13，右边=13，等式成立．(2)假设当n =k 时，等式成立， 即11×3+13×5+15×7+⋯+1(2k−1)(2k+1) =k 2k+1，那么，当n =k +1时， 左边=11×3+13×5+15×7+⋯ +1(2k −1)(2k +1)+1(2k +1)(2k +3)=k2k+1+1(2k+1)(2k+3)=k+12k+3，这就是说，当n =k +1时等式也成立． 根据(1)和(2)，可知等式11×3+13×5+15×7+⋯ +1(2n−1)(2n+1)=n2n+1对任何n ∈N ∗都成立．【考点】 数学归纳法 【解析】 无【解答】证明：(1)当n =1时，左边=13，右边=13，等式成立．(2)假设当n =k 时，等式成立， 即11×3+13×5+15×7+⋯+1(2k−1)(2k+1) =k 2k+1，那么，当n =k +1时， 左边=11×3+13×5+15×7+⋯ +1(2k −1)(2k +1)+1(2k +1)(2k +3)=k 2k+1+1(2k+1)(2k+3)=k+12k+3，这就是说，当n =k +1时等式也成立． 根据(1)和(2)，可知等式11×3+13×5+15×7+⋯ +1(2n−1)(2n+1)=n2n+1对任何n ∈N ∗都成立． 26.【答案】 解：（1）由题意S n +a n =2，∴ a 1=1，a 2=12，a 3=14．（2）猜想：a n =12n−1． 下面用数学归纳法证明：①当n =1时，a 1=1，121−1=120=1，猜想成立． ②假设当n =k 时，等式成立，即a k =12k−1， 则当n =k +1时，由S k+1+a k+1=2，S k +a k =2， 得(S k+1−S k )+a k+1−a k =0， 即2a k+1=a k ， ∴ a k+1=12a k =12k ，∴ 当n =k +1时，猜想也成立， ∴ 对于任意n ∈N +，a n =12n−1． 【考点】 数学归纳法数列的概念及简单表示法【解析】（1）依次把n =1，2，3代入S n +a n =2计算即可；（2）先验证n =1，再假设n =k 猜想成立，推导n =k +1成立即可． 【解答】 解：（1）由题意S n +a n =2， ∴ a 1=1，a 2=12，a 3=14．（2）猜想：a n =12n−1．下面用数学归纳法证明： ①当n =1时，a 1=1，121−1=120=1，猜想成立．②假设当n =k 时，等式成立，即a k =12k−1， 则当n =k +1时，由S k+1+a k+1=2，S k +a k =2， 得(S k+1−S k )+a k+1−a k =0， 即2a k+1=a k ， ∴ a k+1=12a k =12，∴ 当n =k +1时，猜想也成立， ∴ 对于任意n ∈N +，a n =12n−1． 27.【答案】解：(1)当n =12时，(cos θ+i sin θ)2=cos 2θ+2i cos θsin θ−sin 2θ=cos 2θ+i sin 2θ，所以n=2时等式成立；(2)假设当n=k(k≥2)时，等式成立，即(cosθ+i sinθ)k=cos kθ+i sin kθ．当n=k+1时，(cosθ+i sinθ)k+1=(cosθ+i sinθ)k(cosθ+i sinθ)=(cos kθ+i sin kθ)(cosθ+i sinθ)=cos kθcosθ−sin kθsinθ+(cos kθsinθ+sin kθcosθ)i=cos[(k+1)θ]+i sin[(k+1)θ]，∴当n=k+1时，等式成立．综上所述，(cosθ+i sinθ)n=cos nθ+i sin nθ当n≥2时成立．【考点】数学归纳法【解析】利用数学归纳法即可证明．【解答】解：(1)当n=12时，(cosθ+i sinθ)2=cos2θ+2i cosθsinθ−sin2θ=cos2θ+i sin2θ，所以n=2时等式成立；(2)假设当n=k(k≥2)时，等式成立，即(cosθ+i sinθ)k=cos kθ+i sin kθ．当n=k+1时，(cosθ+i sinθ)k+1=(cosθ+i sinθ)k(cosθ+i sinθ)=(cos kθ+i sin kθ)(cosθ+i sinθ)=cos kθcosθ−sin kθsinθ+(cos kθsinθ+sin kθcosθ)i=cos[(k+1)θ]+i sin[(k+1)θ]，∴当n=k+1时，等式成立．综上所述，(cosθ+i sinθ)n=cos nθ+i sin nθ当n≥2时成立．28.【答案】证明：①n=3时，8>7成立；②假设n=k时不等式成立，即2k>2k+1；则当n=k+1时，左边=2k+1>4k+2>2k+3，成立综上所述，2n>2n+1．【考点】数学归纳法【解析】按照数学归纳法的步骤进行证明即可．【解答】证明：①n=3时，8>7成立；②假设n=k时不等式成立，即2k>2k+1；则当n=k+1时，左边=2k+1>4k+2>2k+3，成立综上所述，2n>2n+1．29.【答案】证：(1)|sin2x|=|2sin x⋅cos x|=2|sin x|⋅|cos x|．∵|cos x|≤1，∴|sin2x|≤2|sin x|；（2）当n=1时，结论显然成立．假设当n=k时结论成立，即|sin kx|≤k|sin x|．当n=k+1时，|sin(k+1)x|=|sin kx⋅cos x+cos kx⋅sin x|≤|sin kx⋅cos x|+|cos kx⋅sin x|=|sin kx|⋅|cos x|+|cos kx|⋅|sin x|≤k|sin x|+|sin x|=(k+1)|sin x|．故当n为任意正整数时，结论均成立．【考点】数学归纳法【解析】（1）先利用三角函数的二倍角公式，再结合三角函数的有界性即可证明；（2）用数学归纳法证明三角问题时分为两个步骤，第一步，先证明当当n=1时，结论显然成立，第二步，先假设假设当n=k时结论成立，利用此假设结合三角函数的和角公式以及三角函数值的有界性，证明当n=k+1时，结论也成立即可．【解答】证：(1)|sin2x|=|2sin x⋅cos x|=2|sin x|⋅|cos x|．∵|cos x|≤1，∴|sin2x|≤2|sin x|；（2）当n=1时，结论显然成立．假设当n=k时结论成立，即|sin kx|≤k|sin x|．当n=k+1时，|sin(k+1)x|=|sin kx⋅cos x+cos kx⋅sin x|≤|sin kx⋅cos x|+|cos kx⋅sin x|=|sin kx|⋅|cos x|+|cos kx|⋅|sin x|≤k|sin x|+|sin x|=(k+1)|sin x|．故当n为任意正整数时，结论均成立．30.【答案】解：（1）∵a1=1，5a n+1−2a n a n+1+3a n=8，∴5a2−2a1a2+3a1=8，∴3a2=5，∴a2=53．同理可得，a3=95，a4=137；（2）由（1）可猜想，a n=4n−32n−1，(n∈N∗)（2）证明：当n=1时，a1=1，等式成立；假设n=k时，a k=4k−32k−1，则n=k+1时，由5a k+1−2a k a k+1+3a k=8得：a k+1=8−3a k5−2a k =8−3×4k−32k−15−2×4k−32k−1=8(2k−1)−12k+95(2k−1)−8k+6=4k+12k+1=4(k+1)−32(k+1)−1，即n=k+1时，等式也成立；综上所述，对任意n∈N∗，a n=4n−32n−1．【考点】数学归纳法【解析】（1）由a1=1，且5a n+1−2a n a n+1+3a n=8，即可求得a2，a3，a4的值；（2）由（1）中a1，a2，a3，a4的值可猜想a n=4n−32n−1，再用数学归纳法证明即可．【解答】解：（1）∵a1=1，5a n+1−2a n a n+1+3a n=8，∴5a2−2a1a2+3a1=8，∴3a2=5，∴a2=53．同理可得，a3=95，a4=137；（2）由（1）可猜想，a n=4n−32n−1，(n∈N∗)（2）证明：当n=1时，a1=1，等式成立；假设n=k时，a k=4k−32k−1，则n=k+1时，由5a k+1−2a k a k+1+3a k=8得：a k+1=8−3a k5−2a k =8−3×4k−32k−15−2×4k−32k−1=8(2k−1)−12k+95(2k−1)−8k+6=4k+12k+1=4(k+1)−32(k+1)−1，即n=k+1时，等式也成立；综上所述，对任意n∈N∗，a n=4n−32n−1．31.【答案】证明：①n=0时，1>0成立；②假设n=k时不等式成立，即2k>k；则当n=k+1时，左边=2k+1>2k>k+1，成立，即当n=k+1时，不等式也成立．由①②可得，n是自然数，2n>n．【考点】数学归纳法【解析】按照数学归纳法的步骤进行证明即可．【解答】证明：①n=0时，1>0成立；②假设n=k时不等式成立，即2k>k；则当n=k+1时，左边=2k+1>2k>k+1，成立，即当n=k+1时，不等式也成立．由①②可得，n是自然数，2n>n．32.【答案】证明：①当n＝1时，x2−1＝(x+1)(x−1)，能被x+1整除；②假设当n＝k时，即x2k−1(k∈N⋅)能被x+1整除，那么当n＝k+1时：x2（k+1）−1＝x2x2k−1＝x2x2k−x2+x2−1＝x2(x2k−1)+(x+1)(x−1)，两个表达式都能够被x+1整除，所以当n＝k+1时，命题也成立，由①②可知，x2n−1能被x+1整除．证明：①当n＝1时，62×1−1+1＝6+1＝7，能被7整除；②假设当n＝k时，即62k−1+1(k∈N⋅)能被7整除，那么当n＝k+1时：62（k+1）−1+1＝62k+1+1＝6（2k−1）+2+1＝62k−1×62+1=62k−1×36+1=62k−1×(35+1)+1＝62k−1×35+62k−1+1＝62k−1×5×7+ (62k−1+1)，由假设知62k−1×5×7+(62k−1+1)能被7整除，所以当n＝k+1时，命题也成立，由①②可知，62n−1+1(n∈N⋅)能被7整除．证明：①当n＝1时，n(n+1)(2n+1)＝6，能被6整除；②假设当n＝k时，即k(k+1)(2k+1)能被6整除，那么当n＝k+1时：(k+1)(k+2)(2k+3)＝k(k+1)(2k+1)+2k(k+1)＝6(k+ 1)2+k(k+1)(2k+1)，两个表达式都能够被6整除，所以当n＝k+1时，命题也成立，由①②可知，n(n+1)(2n+1)能被6整除．【考点】数学归纳法【解析】用数学归纳法证明整除问题时分为两个步骤，第一步，先证明当n＝1时，结论显然成立，第二步，先假设假设当n＝k时结论成立，利用此假设结合因式的配凑法，证明当n＝k+1时，结论也成立即可．【解答】证明：①当n＝1时，x2−1＝(x+1)(x−1)，能被x+1整除；②假设当n＝k时，即x2k−1(k∈N⋅)能被x+1整除，那么当n＝k+1时：x2（k+1）−1＝x2x2k−1＝x2x2k−x2+x2−1＝x2(x2k−1)+(x+1)(x−1)，两个表达式都能够被x+1整除，所以当n＝k+1时，命题也成立，由①②可知，x2n−1能被x+1整除．证明：①当n＝1时，62×1−1+1＝6+1＝7，能被7整除；②假设当n＝k时，即62k−1+1(k∈N⋅)能被7整除，那么当n＝k+1时：62（k+1）−1+1＝62k+1+1＝6（2k−1）+2+1＝62k−1×62+1=62k−1×36+1=62k−1×(35+1)+1＝62k−1×35+62k−1+1＝62k−1×5×7+ (62k−1+1)，由假设知62k−1×5×7+(62k−1+1)能被7整除，所以当n＝k+1时，命题也成立，由①②可知，62n−1+1(n∈N⋅)能被7整除．证明：①当n＝1时，n(n+1)(2n+1)＝6，能被6整除；②假设当n＝k时，即k(k+1)(2k+1)能被6整除，那么当n＝k+1时：(k+1)(k+2)(2k+3)＝k(k+1)(2k+1)+2k(k+1)＝6(k+ 1)2+k(k+1)(2k+1)，两个表达式都能够被6整除，所以当n＝k+1时，命题也成立，由①②可知，n(n+1)(2n+1)能被6整除．33.【答案】解：（1）S2=1−14=34，S3=(1−14)(1−19)=23T2=2+12×2=34，T3=3+12×3=23（2）猜想：S n=T n，用数学归纳法证明，①n=2时，由（1）知成立；②假设n=k(k≥2, k∈N)时等式处立．即(1−14)(1−19)(1−116) (1)1k2)=k+12k，则n=k+1时，S k+1=(1−14)(1−19)(1−116) (1)1k2)[1−1(k+1)2]=k+12k⋅[1−1(k+1)2]=(k+1)2−12k(k+1)=(k+1)+12(k+1)所以n=k+1时，等式成立，由①②可知对于n≥2，n∈N猜想成立．【考点】数学归纳法【解析】（1）利用n=2，3，4，分别求出T2，T3，S2，S3，的值；（2）通过（1）的数值，猜想S n与T n的关系；利用数学归纳法验证n=2时猜想成立，然后假设n=k猜想成立，证明n=k+1时猜想也成立．【解答】解：（1）S2=1−14=34，S3=(1−14)(1−19)=23T2=2+12×2=34，T3=3+12×3=23（2）猜想：S n=T n，用数学归纳法证明，①n=2时，由（1）知成立；②假设n=k(k≥2, k∈N)时等式处立．即(1−14)(1−19)(1−116) (1)1k2)=k+12k，则n=k+1时，S k+1=(1−14)(1−19)(1−116) (1)1k2)[1−1(k+1)2]=k+12k⋅[1−1(k+1)2]=(k+1)2−12k(k+1)=(k+1)+12(k+1)所以n=k+1时，等式成立，由①②可知对于n≥2，n∈N猜想成立．34.【答案】证明：(1)当n=1时，左边=1，右边=2，1<2，所以不等式成立．…(2)假设n=k时不等式成立，即1+√2√3√k<2√k，…则当n=k+1时，1√2√3√k√k+1<2√k√k+1=√k(k+1)+1√k+1<√k+1=2√k+1，…即当n=k+1时，不等式也成立．由(1)、(2)可知，对于任意n∈N+时，不等式成立．…【考点】数学归纳法【解析】直接利用数学归纳法证明问题的步骤，证明不等式即可．【解答】证明：(1)当n=1时，左边=1，右边=2，1<2，所以不等式成立．…(2)假设n=k时不等式成立，即1+√2√3√k<2√k，…则当n=k+1时，123√k√k+1<2√k√k+1=√k(k+1)+1√k+1<√k+1=2√k+1，…即当n=k+1时，不等式也成立．由(1)、(2)可知，对于任意n∈N+时，不等式成立．…35.【答案】（1）a=16,b=0,c=56；（2）见解析．【考点】数学归纳法【解析】（1）将n=1,2,3代入f(n)得到方程组，求解得到结果；（2）根据数学归纳法的步骤，当n=k+1时，利用f(k+1)=f(k)+12k2+12k+1整理出结论．【解答】（1）由f(1)=2,f(2)=4,f(3)=8得{a+b+c=18a+4b+2c=3 27a+9b+3c=7解得a=16,b=0,c=56（2）用数学归纳法证明f(n)=16n3+56n+1,n∈N′①当n=1时，显然成立②假设当n=k时成立，即f(k)=16k3+56k+1那么当n=k+1时，在k个平面的基础上再添上第k+1个平面因为它和前k个平面都相交，所以可得到k条互不平行且不共点的交线，且其中任何3条直线不共点，这k条交线可以把第k+112k2−12k+1个平面划分成个，所12k2−12k+1×加加;加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加加(k+1)+11总数增加了即n=k+1时，结论成立根据①②可知，f(n)=16n3+56n+1,n∈N36.【答案】证明：(1)当n=1时，a1=2=2×1，结论成立；(2)假设n=k时，a k=2k，则当n=k+1时，a k+1=4k+2−a k=4k+2−2k=2k+2=2(k+1)，即n=k+1时结论也成立，综上所述，对一切n∈N∗，a n=2n．【考点】数学归纳法【解析】利用数学归纳法，(1)n=1时，易证等式成立；(2)假设n=k时，a k=2k，去证明n=k+1时结论也成立即可．【解答】证明：(1)当n=1时，a1=2=2×1，结论成立；(2)假设n=k时，a k=2k，则当n=k+1时，a k+1=4k+2−a k=4k+2−2k=2k+2=2(k+1)，即n=k+1时结论也成立，综上所述，对一切n∈N∗，a n=2n．37.【答案】解：(1)当n=1时，a2+(a+1)=a2+a+1可被a2+a+1整除(2)假设n=k(k∈N∗)时，a k+1+(a+1)2k−1能被a2+a+1整除，则当n=k+1时，a k+2+(a+1)2k+1=a⋅a k+1+(a+1)2(a+1)2k−1=a[a k+1+(a+1)2k−1]+(a2+a+1)(a+1)2k−1，由假设可知a[a k+1+(a+1)2k−1]能被(a2+a+1)整除，(a2+a+1)(a+1)2k−1也能被(a2+a+1)整除∴a k+2+(a+1)2k+1能被(a2+a+1)整除，即n=k+1时命题也成立，∴对任意n∈N∗原命题成立．【考点】数学归纳法【解析】本题考查的知识点是数学归纳法，我们可以先验证①n=1时命题是否成立②假设n=k时命题成立③推证n=k+1时命题成立→得结论．【解答】解：(1)当n=1时，a2+(a+1)=a2+a+1可被a2+a+1整除(2)假设n=k(k∈N∗)时，a k+1+(a+1)2k−1能被a2+a+1整除，则当n=k+1时，a k+2+(a+1)2k+1=a⋅a k+1+(a+1)2(a+1)2k−1=a[a k+1+(a+1)2k−1]+(a2+a+1)(a+1)2k−1，由假设可知a[a k+1+(a+1)2k−1]能被(a2+a+1)整除，(a2+a+1)(a+1)2k−1也能被(a2+a+1)整除∴a k+2+(a+1)2k+1能被(a2+a+1)整除，即n=k+1时命题也成立，∴对任意n∈N∗原命题成立．38.【答案】解：(1)当n=2时，左边=2+f(1)=2+1=3，)=3，左边=右边，等式成立．ks5u右边=2⋅f(2)=2×(1+12(2)假设n=k时等式成立，即k+f(1)+f(2)+...+f(k−1)=kf(k)．由已知条件可得f(k+1)=f(k)+1，k+1右边=(k+1)⋅f(k+1)（先写出右边，便于左边对照变形）．当n=k+1时，左边=(k+1)+f(1)+f(2)+...+f(k−1)+f(k)=[k+f(1)+f(2)+...+f(k−1)]+1+f(k)（凑成归纳假设）=kf(k)+1+f(k)（利用假设）=(k+1)⋅f(k)+1=(k+1)•[f(k+1)−1]+1k+1=(k+1)⋅f(k+1)=右边．∴当n=k+1时，等式也成立．由(1)(2)可知，对一切n≥2的正整数等式都成立．【考点】数学归纳法【解析】应用数学归纳法证明问题，①验证n=1时命题成立；②假设n=k时，命题成立，从假设出发，经过推理论证，证明n=k+1时也成立，从而证明命题正确．【解答】解：(1)当n=2时，左边=2+f(1)=2+1=3，)=3，左边=右边，等式成立．ks5u右边=2⋅f(2)=2×(1+12(2)假设n=k时等式成立，即k+f(1)+f(2)+...+f(k−1)=kf(k)．，由已知条件可得f(k+1)=f(k)+1k+1右边=(k+1)⋅f(k+1)（先写出右边，便于左边对照变形）．当n=k+1时，左边=(k+1)+f(1)+f(2)+...+f(k−1)+f(k)=[k+f(1)+f(2)+...+f(k−1)]+1+f(k)（凑成归纳假设）=kf(k)+1+f(k)（利用假设）=(k +1)⋅f(k)+1 =(k +1)•[f(k +1)−1k+1]+1=(k +1)⋅f(k +1)=右边．∴ 当n =k +1时，等式也成立．由(1)(2)可知，对一切n ≥2的正整数等式都成立． 39. 【答案】证明：(1)当n =1时，左边=12，右边=3<右边，不等式成立，(2)∵ 4n 2−1<4n 2，即(2n +1)(2n −1)<(2n)2．即2n−12n<2n2n+1，∴ √2k+1√2k+2<√2k+2√2k+3， ∴√2k+12(k+1)<√2k+3假设当n =k 时，原式成立，即12×13×...×2k−12k <√2k+1， 那么当n =k +1时，即12×13×...×2k−12k×2k+12(k+1)<√2k+1⋅2k+12(k+1)=√2k+12(k+1)<√2k+3，即n =k +1时结论成立．根据(1)和(2)可知不等式对任意正整数n 都成立． 【考点】 数学归纳法 【解析】数学归纳法的步骤：①证明n =1时A 式成立②然后假设当n =k 时，A 式成立③证明当n =k +1时，A 式也成立④下绪论：A 式对所有的正整数n 都成立． 【解答】证明：(1)当n =1时，左边=12，右边=√3<右边，不等式成立，(2)∵ 4n 2−1<4n 2，即(2n +1)(2n −1)<(2n)2．即2n−12n<2n2n+1，∴ √2k+1√2k+2<√2k+2√2k+3， ∴√2k+12(k+1)<√2k+3假设当n =k 时，原式成立，即12×13×...×2k−12k <√2k+1，那么当n =k +1时，即12×13×...×2k−12k×2k+12(k+1)<2k+1⋅2k+12(k+1)=√2k+12(k+1)<2k+3，即n =k +1时结论成立．根据(1)和(2)可知不等式对任意正整数n 都成立． 40. 【答案】 解： S 1=1−1S2=1−1 3S3=1−1 4猜想：S n=1−1n+1下面用数学归纳法加以证明：①n=1时，左边S1=1−12=12，右边1−12=12②假设n=k时，猜想成立，即1 1×2+12×3++1k(k+1)=1−1k+11 1×2+12×3++1k(k+1)+1(k+1)(k+2)=1−1k+1+1(k+1)(k+2)=1−1k+1(1−1k+2)=1−1(k+1)+1∴n=k+1时猜想也成立根据1，2可知猜想对任何n∈N∗都成立．【考点】数学归纳法【解析】由数列11×2，12×3，13×4， (1)n(n+1)…，分别令n=1，2，3，求得S1，S2，S3，的值，猜想S n的表达式，应用数学归纳法证明问题，①验证n=1时命题成立；②假设n=k时，命题成立，从假设出发，经过推理论证，证明n=k+1时也成立，从而证明命题正确．【解答】解：S1=1−1 2S2=1−1 3S3=1−1 4猜想：S n=1−1n+1下面用数学归纳法加以证明：①n=1时，左边S1=1−12=12，右边1−12=12②假设n=k时，猜想成立，即1+1++1=1−11 1×2+12×3++1k(k+1)+1(k+1)(k+2)=1−1k+1+1(k+1)(k+2)=1−1k+1(1−1k+2)=1−1(k+1)+1∴n=k+1时猜想也成立根据1，2可知猜想对任何n∈N∗都成立．。
【必刷题】2024高二数学上册数列与数学归纳法专项专题训练(含答案)
【必刷题】2024高二数学上册数列与数学归纳法专项专题训练（含答案）试题部分一、选择题：1. 已知数列{an}为等差数列，a1=3，a5=15，则公差d为（）A. 3B. 4C. 5D. 62. 数列{an}的通项公式为an = 2n 1，则数列{an}的前5项和为（）A. 25B. 30C. 35D. 403. 若数列{an}满足an+1 = 2an，且a1=1，则数列{an}是（）A. 等差数列B. 等比数列C. 既不是等差数列也不是等比数列D. 无法确定4. 用数学归纳法证明1+3+5+…+(2n1)=n²，下列步骤中错误的是（）A. 验证n=1时等式成立B. 假设n=k时等式成立C. 证明n=k+1时等式成立D. 直接得出结论1+3+5+…+(2n1)=n²5. 已知数列{an}的通项公式为an = n² + n，则数列{an+1 an}的前5项和为（）A. 20B. 25C. 30D. 356. 数列{an}为等比数列，a1=2，a3=8，则a5=（）A. 16B. 24C. 32D. 647. 已知数列{an}满足an+2 = an+1 + an，a1=1，a2=1，则a5=（）A. 3B. 4C. 5D. 68. 若数列{an}的通项公式为an = 3n 2，则数列{an}的前n项和为（）A. n(3n1)/2B. n(3n+1)/2C. n(3n2)/2D. n(3n+2)/29. 用数学归纳法证明等式2^n > n²，下列步骤中错误的是（）A. 验证n=1时等式成立B. 假设n=k时等式成立C. 证明n=k+1时等式成立D. 直接得出结论2^n > n²10. 已知数列{an}的通项公式为an = 2^n，则数列{an+1 / an}的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、判断题：1. 数列{an}的通项公式为an = n²，则数列{an}是等差数列。
高二数学数学归纳法试题答案及解析
高二数学数学归纳法试题答案及解析1. 用数学归纳法证明1＋2＋3＋ ＋n 2＝，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上( )A ．k 2＋1B ．(k ＋1)2C ．D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋ ＋(k ＋1)2【答案】D 【解析】当时，,当时，,所以时左端应在的基础上加上. 【考点】数学归纳法.2. 某地区为了绿化环境进行大面积植树造林，如图，在区域 内植树，第一棵 树在点A l （0，1），第二棵树在点．B 1（l ， l ），第三棵树在点C 1（1,0），第四棵树在点C 2（2,0），接着按图中箭头方向每隔一个单位种一棵树，那么（1）第n 棵树所在点坐标是（44,0），则n= ．（2）第2014棵树所在点的坐标是 .【答案】（1）；（2）【解析】（1）从图上可以看出：第3棵树在点，第4颗树在点，第15棵数在点，第16棵数在点，设第棵树在点，显然可以归纳出，∴；由图可知，以，为左右端点的正方形区域内共有棵树，而， ∴第2014的数应是，为左右端点的正方形区域内的依次种植的倒数第11棵树，∴第2014棵树的所在点的坐标为. 【考点】归纳推理.3. 用数学归纳法证明1＋＋＋…＋(,)，在验证成立时，左式是____．【答案】1＋＋ 【解析】当时，；所以在验证成立时，左式是.【考点】数学归纳法.4. 是否存在常数使得对一切恒成立？若存在，求出的值，并用数学归纳法证明；若不存在，说明理由. 【答案】【解析】先探求出的值，即令，解得.用数学归纳法证明时，需注意格式.第一步，先证起始项成立，第二步由归纳假设证明当n="k" 等式成立时，等式也成立.最后由两步归纳出结论.其中第二步尤其关键，需利用归纳假设进行证明，否则就不是数学归纳法.解：取和2 得解得 4分即以下用数学归纳法证明：（1）当n=1时，已证 6分（2）假设当n=k，时等式成立即 8分那么，当时有10分12分就是说，当时等式成立 13分根据（1）（2）知，存在使得任意等式都成立 15分【考点】数学归纳法5.已知，不等式，，，…，可推广为，则等于 .【答案】【解析】因为，……，所以该系列不等式，可推广为，所以当推广为时，.【考点】归纳推理.)时，该命题成立，那么可6.某个命题与正整数有关，如果当n＝k(k∈N＋推得当n＝k＋1时命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得( )．A．当n＝6时该命题不成立B．当n＝6时该命题成立C．当n＝4时该命题不成立D．当n＝4时该命题成立【答案】C【解析】依题意，若n＝4时该命题成立，则n＝5时该命题成立；而n＝5时该命题不成立，却无法判断n＝6时该命题成立还是不成立，故选C.7.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”的第二步是( )．A．假使n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确B．假使n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确C．假使n＝k时正确，再推n＝k＋1正确D．假使n≤k(k≥1)，再推n＝k＋2时正确(以上k∈N＋)【答案】B【解析】因为n为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n＝2k－1正确，再推第k＋1个正奇数即n＝2k＋1正确．8.用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是A．1B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，数学归纳法证明等式时，第一步验证时，坐标表示的为前4项的和，因为最后一项为4，且从1开始，因此可知左边为，选D.【考点】数学归纳法点评：主要是考查了数学归纳法的基本原理的运用，属于基础题。
高二数学数学归纳法的应用检测试题附答案
适用精选文件资料分享高二数学数学概括法的应用检测试题（附答案）题目高中数学复习专题讲座数学概括法的解题应用高考要求数学概括法是高观观察的要点内容之一类比与猜想是应用数学概括法所表现的比较突出的思想，抽象与概括，从特别到一般是应用的一种主要思想方法重难点概括(1)数学概括法的基本形式设P(n)是关于自然数 n 的命题，若 1°P(n0) 成立 ( 确立 ) 2°假设 P(k) 成立 (k ≥n0) ，可以推出 P(k+1) 成立 ( 概括 ) ，则 P(n) 对全部大于等于 n0 的自然数 n都成立 (2) 数学概括法的应用详尽常用数学概括法证明恒等式，不等式，数的整除性，几何受骗算问题，数列的通项与和等典型题例示范讲解例 1 试证明不论正数 a、b、c 是等差数列还是等比数列，当 n＞1,n ∈N*且 a、b、c 互不相等时，均有 an+cn＞2bn 命题企图本题主要观察数学概括法证明不等式知识依赖等差数列、等比数列的性质及数学概括法证明不等式的一般步骤错解解析应分别证明不等式相同比数列或等差数列均成立，不该只证明一种状况技巧与方法本题中使用到结论 (ak －ck)(a －c) ＞0 恒成立 (a 、b、c 为正数 ) ，从而ak+1+ck+1＞ak?c+ck?a 证明 (1) 设 a、b、c 为等比数列，a= ,c=bq(q＞0且 q≠1) ∴an+cn= +bnqn=bn( +qn) ＞2bn (2) 设 a、b、c 为等差数列，则 2b=a+c 猜想＞( )n(n ≥2且 n∈N*) 下边用数学概括法证明①当 n=2 时，由 2(a2+c2) ＞(a+c)2 ，∴②设 n=k 时成立，即则当 n=k+1 时， (ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)＞(ak+1+ck+1+ak?c+ck?a)=(ak+ck)(a+c) ＞( )k?( )=( )k+1 也就是说，等式对 n=k+1 也成立由①②知，an+cn＞2bn对全部自然数 n 均成立例 2 在数列 {an} 中，a1=1，当 n≥2时，an,Sn,Sn －成等比数列 (1) 求 a2,a3,a4 ，并推出 an 的表达式； (2) 用数学概括法证明所得的结论； (3) 求数列 {an} 全部项的和命题企图本题观察了数列、数学概括法、数列极限等基础知识知识依赖等比数列的性质及数学概括法的一般步骤采纳的方法是归纳、猜想、证明错解解析 (2) 中， Sk=－应舍去，这一点常常简单被忽视技巧与方法求通项可证明{ } 是以 { } 为首项，为公差的等差数列，从而求得通项公式解∵ an,Sn,Sn －成等比数列，∴Sn2=an?(Sn－ )(n ≥2) (*) (1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得 :a2= －由 a1=1，a2=－ ,S3= +a3 代入 (*) 式得 a3=－同理可得a4=－ , 由此可推出 an= (2) ①当 n=1,2,3,4 ，由(*) 知猜想成立②假n=k(k ≥2) ， ak=－成立故 Sk2=－ ?(Sk－ ) ∴(2k － 3)(2k－1)Sk2+2Sk－1=0 ∴Sk= ( 舍 ) 由 Sk+12=ak+1?(Sk+1－ ), 得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk － )由①②知，an=全部n∈N成立(3)由(2) 得数列前 n 和 Sn= , ∴S= Sn=0 例 3 能否存在 a、b、c 使得等式 1?22+2?32+⋯+n(n+1)2= (an2+bn+c) 解假存在 a、b、c 使的等式成立，令 n=1,2,3, 有于是， n=1,2,3 下边等式成立 1?22+2?32+⋯+n(n+1)2= Sn=1?22+2?32+⋯+n(n+1)2 n=k 上式成立，即 Sk= (3k2+11k+10) 那么 Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2 = (3k2+5k+12k+24) =［3(k+1)2+11(k+1)+10 ］也就是，等式 n=k+1 也成立上所述，当a=3,b=11,c=10 ，全部自然数 n 均成立学生牢固 1已知 f(n)=(2n+7)?3n+9, 存在自然数 m,使得任意 n∈N,都能使 m整除f(n) ，最大的 m的 ( ) A30 B26 C36 D6 2 用数学法明 3k≥n3(n ≥3,n∈N)第一步 ( ) An=1 Bn=2 C n=3 Dn=4 3 察以下式子⋯可出________ 4 已知 a1= ,an+1= ,a2,a3,a4,a5的分________，由此猜想an=________ 5用数学法明 4 +3n+2 能被 13 整除，此中 n∈N* 6 若 n 大于 1 的自然数，求7 已知数列{bn} 是等差数列，b1=1,b1+b2+⋯+b10=145 (1) 求数列{bn} 的通公式 bn; (2) 数列 {an} 的通 an=loga(1+ )( 其中 a＞0 且 a≠1) Sn是数列 {an} 的前 n 和，比 Sn与 logabn+1的大小，并明你的 8 数 q 足 |q| ＜1, 数列 {an} 足a1=2,a2≠0,an?an+1=－ qn, 求 an 表达式，又假如 S2n＜3, 求 q 的取范参照答案 1 解析∵ f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除明n=1,2，由上得，n=k(k ≥2) ， f(k)=(2k+7)?3k+9 能被 36 整除， n=k+1 ，f(k+1) －f(k)=(2k+9)?3k+1 ?? －(2k+7)?3k=( 6k+27)?3k －(2k+7)?3k =(4k+20)?3k=36(k+5)?3k －2?? (k ≥2) f(k+1) 能被 36 整除∵f(1) 不可以被大于 36 的数整除，∴所求最大的m等于36 答案 C 2 解析由意知 n≥3，∴ n=3 答案 C 3 解析 (n ∈N*) (n ∈N*) 、、、5 明 (1) 当 n=1 ，42×1+1+31+2=91能被 13 整除 (2) 假当 n=k ，42k+1+3k+2能被 13 整除，当 n=k+1 ，42(k+1)+1+3k+3=42k+1?42+3k+2?3－42k+1?3+42k+1?3=42k+1?13+3?(42k+1+3k+2?? ) ∵42k+1?13 能被 13 整除，42k+1+3k+2能被 13 整除∴当 n=k+1 也成立由①②知，当 n∈N* ，42n+1+3n+2能被 13 整除 6 明 (1) 当 n=2 ， (2) 假当 n=k成立，即 7 (1) 解数列 {bn} 的公差 d,由意得 , ∴bn=3n－ 2 (2) 明由 bn=3n－2 知 Sn=loga(1+1)+loga(1+ )+⋯+loga(1+ )=loga ［(1+1)(1+ ) ⋯(1+ ) ］而 logabn+1=loga ,于是，比 Sn 与logabn+1 ?? 的大小比 (1+1)(1+ ) ⋯(1+ )与的大小取 n=1，有(1+1)= 取 n=2，有 (1+1)(1+ 推 (1+1)(1+ )⋯(1+ ) ＞ (*)①当n=1 ，已 (*) 式成立②假 n=k(k ≥1) (*)式成立，即(1+1)(1+ ) ⋯(1+ ) ＞当 n=k+1 ， , 即当 n=k+1 ， (*)式成立由①②知， (*)式任意正整数 n 都成立于是，当 a＞1 ， Sn＞logabn+1 ?? ,当 0 ＜a＜1 ， Sn＜ logabn+1 ??8 解∵ a1?a2=－q,a1=2,a2 ≠0, ∴q≠0,a2= －,∵an?an+1=－qn,an+1?an+2=－qn+1??两式相除，得 , 即 an+2=q?an 于是，a1=2,a3=2?q,a5=2?qn⋯猜想 a2n+1=－ qn(n=1,2,3,⋯)合①②，猜想通公式 an= 下 (1) 当 n=1,2 猜想成立 (2)n=2k－1 ，a2k－1=2?qk－1n=2k+1 ，因为 a2k+1=q?a2k－1??∴a2k+1=2?qk 即 n=2k－1 成立可推知 n=2k+1 也成立n=2k ，a2k=－ qk,n=2k+2 ，因为 a2k+2=q?a2k?? ,因此a2k+2=－qk+1, 明 n=2k 成立，可推知 n=2k+2 也成立上所述，全部自然数 n, 猜想都成立所求通公式an= S2n=(a1+a3⋯+a2n－1)+(a2+a4+ ⋯+a2n) =2(1+q+q2+ ⋯+qn-1 ?? ) － (q+q2+⋯+qn) 由于|q| ＜1, ∴ = 依意知＜3,并注意1－q＞0,|q|＜1解得－1＜q ＜0 或 0＜q＜。
高二数学数学归纳法试题
高二数学数学归纳法试题1.用数学归纳法证明12+22+…+（n﹣1）2+n2+（n﹣1）2+…+22+12═时，由n=k的假设到证明n=k+1时，等式左边应添加的式子是（）.A．（k+1）2+2k2B．（k+1）2+k2C．（k+1）2D．【答案】C.【解析】当时，左边=；当时，左边=；通过比较，由n=k的假设到证明n=k+1时，等式左边应添加的式子是.【考点】数学归纳法.2.用数学归纳法证明1+a+a2+…+a n+1=（a≠1，n∈N*），在验证当n=1时，等式左边应为（）.A．1B．1+a C．1+a+a2D．1+a+a2+a3【答案】C.【解析】本题难度适中，直接代入，当时，左边，故选C.【考点】数学归纳法.3.用数学归纳法证明1＋2＋3＋＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上()A．k2＋1B．(k＋1)2C．D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋＋(k＋1)2【答案】D【解析】当时，,当时，,所以时左端应在的基础上加上.【考点】数学归纳法.4.观察等式：，，,根据以上规律，写出第四个等式为：__________．【答案】．【解析】观察已知等式：，，,知其规律是：第n个等式的左边是n+1个分式的和，且每个分式的分子都是1，每个分母都是两个连续正整数的积，第一个分母均为，以后第k个分母均为，第n个等式的右边是一个分式，其分子等于左边分式的个数，分母为分子加1；故知第四个等式应为：．【考点】归纳推理.5.用数学归纳法证明“”（）时，从“”时，左边应增添的式子是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】当时，左边为：；当时，左边为：，左边多了，故选B【考点】数学归纳法.6.用数学归纳法证明“时，从“到”时，左边应增添的式子是（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，左边=；当时，左边=．【考点】数学归纳法．7.用数学归纳法证明“时，从“到”时，左边应增添的式子是（）A．B．C．D．【答案】【解析】当时,等式的左边为;当时,等式的左边为对比可知:增加项为.【考点】数学归纳法.8.用数学归纳法证明: 的第二步中,当时等式左边与时的等式左边的差等于.【答案】3k+2【解析】当时等式左边为，而时的等式左边为，所以差为【考点】数学归纳法9.平面内有条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，当时把平面分成的区域数记为,则时 .【答案】k【解析】当时，任取其中1条直线，记为，则除外的其他k条直线的交点的个数为，因为已知任何两条直线不平行，所以直线必与平面内其他k条直线都相交（有k个交点）；又因为已知任何三条直线不过同一点，所以上面的k个交点两两不相同，且与平面内其他的f（k）个交点也两两不相同，从而平面内交点的个数是．故：.【考点】数学归纳法10.用数学归纳法证明：，第二步证明“从到”，左端增加的项数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】n=k时，不等式为，当n=k+1时，不等式为，所以左端增加的项数为2项，故选B。
高二数学数学归纳法检测试题
数学归纳法及其应用举例一、选择题(共49题，题分合计245分)1.用数学归纳法证明:"1+21 +31+++121-n n (n >1)"时,由n =k (k >1)不等式成立,推证n =k +1时,左边应增加的项数是A.2k -1B.2k -1C.2kD.2k +12.球面上有n 个大圆,其中任何三个都不相交于同一点,设球面被这n 个大圆所分成的部分为f (n ),则下列猜想:①f (n )=n ,②f (n )=f (n -1)+2n ,③f (n )=n 2-n +2中,正确的是A.①与②B.①与③C.②与③D.只有③3.某个命题与自然数m 有关,若m =k (k ∈N)时该命题成立,那么可以推得m =k +1时该命题成立,现已知当m =5时,该命题不成立,那么可推得A.当m =6时该命题不成立B.当m =6时该命题成立C.当m =4时该命题不成立D.当m =4时该命题成立4.设f (n )=n n n n 2121111++++++ (n ∈N ),那么f (n +1)-f (n )等于 A.121+n B.221+n C.121+n +221+n D.121+n -221+n5.用数学归纳法证明1+a +a 2+++ = (n ∈N ,a ≠1)中,在验证n =1时,左式应为A.1B.1+aC.1+a +a 2D.1+a +a 2+a 36.用数学归纳法证明"5n -2n 能被3整除"的第二步中,n =k +1时,为了使用归纳假设,应把5 k+1 -2 k+1变形为A.(5k -2 k )+4×5 k -2 kB.5(5 k -2 k )+3×2 kC.(5 k -2 k )(5-2)D.2(5 k-2 k )-3×5 k7.平面内原有k 条直线,它们把平面划分成f (k )个区域,则增加第k +1条直线后,这k +1条直线把平面分成的区域至多增加A.k 个B.k +1个C.f (k )个D.f (k )+(k +1)个8.已知凸k 边形的对角线条数为f (k )(k ≥3)条,则凸k +1边形的对角线条数为A.f (k )+kB.f (k )+k +1C.f (k )+k -1D.f (k )+k -29.用数学归纳法证明(n +1)+(n +2)+++(n +n )=的第二步中,n =k +1时等式左边与n =k 时的等式左边的差等于A.2k +2B.4k +3C.3k +2D.k +110.下面四个判断中,正确的是A.式子1+k +k 2+++k n (n ∈N ),当n =1时恒为1B.式子1+k +k 2+++k n -1(n ∈N ),当n =1时恒为1+kC.式子++(n ∈N ),当n =1时恒为D.设f (x )=(n ∈N ),则f (k +1)=f (k )+11.用数字归纳法证1+x +x 2+++x n +1=xx n --+112(x ≠1),在验证n =1成立时,左边所得的代数式是A.1B.1+xC.1+x +x 2D.1+x +x 2+x 312.用数字归纳法证明1+2+++(2n +1)=(n +1)(2n +1)时,在验证n =1成立时,左边所得的代数式是A.1B.1+3C.1+2+3D.1+2+3+413.用数学归纳法证明"当n 是非负数时,34n +2+52n +1能被14整除"的第二步中,为了使用归纳假设应将34k +6+52k +3变形为A.34k +2·81+52k +1·25B.34k +1·243+52k ·125C.25(34k +2+52k +1)+56·34k +2D.34k +4·9+52k +2·514.用数学归纳法证明211⋅+321⋅+431⋅++++)1(1+n n =1+n n (n ∈N )时,从"n =k 到n =k +1",等式左边需增添的项是 A.)1(1+k k B. )2)(1(1)1(1++++k k k k C. )2)(1(1++k k D. )2(1+k k15.利用数学归纳法证明不等式"n n <-++++12131211 ,(n ≥2,n ∈N )"的过程中,由"n =k "变到"n =k +1"时,左边增加了A.1项B.k 项C.2k -1项D.2k 项16.用数学归纳法证明"5n -2n 能被3整除"的第二步中，n =k ＋1时，为了使用假设，应将5k +1-2k +1变形为A.(5k -2k )＋4×5k -2kB.5(5k -2k )＋3×2kC.(5-2)(5k -2k )D.2(5k -2k )-3×5k17.平面内原有k 条直线,它们的交点个数记为f (k ),则增加一条直线后,它们的交点个数最多为A.f (k )+1B.f (k )+kC.f (k )+k +1D.k ·f (k )18.已知一个命题P (k ),k =2n (n ∈N ),若n =1,2,+,1000时,P (k )成立,且当n =1000+1时它也成立,下列判断中,正确的是A.P (k )对k =2004成立B.P (k )对每一个自然数k 成立C.P (k )对每一个正偶数k 成立D.P (k )对某些偶数可能不成立19.用数学归纳法证明:)2(2413212111≥>+++++n n n n ,从k 到k +1需在不等式两边加上A. )1(21+kB.221121+++k kC. 221121+-+k kD. 11121+-+k k20.设n n f 1211)(+++= ,则f (2k )变形到f (2k +1)需增添项数为A.2k +1项B.2k 项C.2项D.1项21.欲用数学归纳法证明：对于足够大的自然数n ，总有2n ＞n 3,n 0为验证的第一个值，则A.n 0=1B.n 0为大于1小于10的某个整数C.n 0≥10D.n 0=222.某同学回答"用数字归纳法证明n n +2<n +1(n ∈N )"的过程如下：证明：(1)当n =1时,显然命题是正确的;(2)假设n =k 时有)1(+k k <k +1那么当n =k +1时,4423)1()1(222++<++=+++k k k k k k =(k +1)+1,所以当n =k +1时命题是正确的,由(1)、(2)可知对于(n ∈N ),命题都是正确的.以上证法是错误的,错误在于A.当n =1时,验证过程不具体B.归纳假设的写法不正确C.从k 到k +1的推理不严密D.从k 到k +1的推理过程没有使用归纳假设23.平面上有k (k >3)条直线,其中有k -1条直线互相平行,剩下一条与它们不平行,则这k 条直线将平面分成区域的个数为A.k 个B.k +2个C.2k 个D.2k +2个24.已知凸k 边形的对角线条数为f (k )(k >3)，则凸k ＋1边形的对角线条数为A.f (k )＋kB.f (k )＋k ＋1C.f (k )＋k -1D.f (k )＋k -225.平面内原有k 条直线，它们将平面分成f (k )个区域，则增加第k ＋1条直线后，这k ＋1条直线将平面分成的区域最多会增加A.k 个B.k ＋1个C.f (k )个D.f (k )＋1个26.同一平面内有n 个圆,其中每两个圆都有两个不同交点,并且三个圆不过同一点,则这n 个圆把平面分成A.2n 部分B.n 2部分C.2n －2部分D.n 2－n ＋2部分27.平面内有n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，这n 个圆把平面分成f (n )个部分，则满足上述条件的n＋1个圆把平面分成的部分f (n ＋1)与f (n )的关系是A.f (n ＋1)=f (n )＋nB.f (n ＋1)=f (n )＋2nC.f (n ＋1)=f (n )＋n ＋1D.f (n ＋1)=f (n )＋n ＋228.用数学归纳法证明不等式22n n >成立时，n 应取的第一个值为A.1B.3C.4D.529.若121413121)(-++++=n n f ……，则)()1(k f k f -+等于A.1211-+k B.121121211-++++k k k C.121211-++k k D.121121211-+++++k k k …… 30.设凸n 边形的内角和为f (n )，则f (n +1) - f (n ) 等于A.πnB.π)2(-nC.πD.π231.用数学归纳法证明不等式"6412721412111>++++-n 成立",则n 的第一个值应取A.7B.8C.9D.10 32.])13)(23(11071741411[lim +-++⋅+⋅+⋅∞→n n n 等于 A.41B.31C.32D.133.已知a ､b 是不相等的正数,若2lim 11=+-++∞→n n n n n b a b a ,则b 的取值范围是A.0<b ≤2B.0 b <2C.b ≥2D.b >234.利用数学归纳法证明"对任意偶数n ,a n -b n 能被a +b 整除"时,其第二步论证,应该是A.假设n =k 时命题成立,再证n =k +1时命题也成立B.假设n =2k 时命题成立,再证n =2k +1时命题也成立C.假设n =k 时命题成立,再证n =k +2时命题也成立D.假设n =2k 时命题成立,再证n =2(k +1)时命题也成立35.用数学归纳法证明"42n -1+3n +1(n ∈N )能被13整除"的第二步中,当n =k +1时为了使用假设,对42k +1+3k +2变形正确的是A.16(42k -1+3k +1)-13×3k +1B.4×42k +9×3kC.(42k -1+3k +1)+15×42k -1+2×3k +1D.3(42k -1+3k +1)-13×42k -136.用数学归纳法证明(n +1)(n +2)…(n +n )=2n ×1×3×…×(2n -1)(n ∈N )时,从""两边同乘以一个代数式,它是A.2k +2B.(2k +1)(2k +2)C.122++k k D. 1)22)(12(+++k k k37.用数学归纳法证明某命题时,左式为21+cos α+cos3α+++cos(2n -1)α(α≠k π,k ∈Z ,n ∈N ),在验证n =1时,左边所得的代数式为A. 21B. 21+cos αC. 21 +cos α+cos 3αD. 21+cos α+cos3α+cos 5α38.用数学归纳法证明"(n +1)(n +2)+(n +n )=2n ·1·3+(2n -1)"时,第二步n =k +1时的左边应是n =k 时的左边乘以A.(k +1+k +1)B.(k +1+k )(k +1+k +1)C.1)11(++++k k k D. 1)11)(1(++++++k k k k k39.设S k =11+k +21+k +31+k ++++k21,则S k +1为 A.221++k S k B.221121++++k k S k C. 221121+-++k k S k D. 121221+-++k k S k40.用数字归纳法证明某命题时,左式为1-413121-++++n n 21121--,从"n=k到n=k +1",应将左边加上A.121+k B.421121+--k k C.221+-kD.221121+-+k k 41.用数学归纳法证明"当n 为正奇数时,x n +y n 能被x +y 整除"时,第二步应是A.假设n =k (k ∈N )时命题成立,推得n =k +1时命题成立B.假设n =2k +1(k ∈N )时命题成立,推得n =2k +3时命题成立C.假设k =2k -1(k ∈N )时命题成立,推得n =2k +1时命题成立D.假设n £k (k ³1,k ∈N )时命题成立,推得n =k +2时命题成立42.设p (k ):1+k k +≤++++2121212112 (k N ),则p (k +1)为A.1212121312111++≤++++++k k k B.1211212131211++≤++++++k k k C. 12121221121312111++≤++++++++++k k k kD.上述均不正确43.k 棱柱有f (k )个对角面，则k ＋1棱柱有对角面的个数为A.2f (k )B.k －1＋f (k )C.f (k )＋kD.f (k )＋244.已知1312111)(++++++=n n n n f ……，则)1(+k f 等于 A.1)1(31)(+++k k f B.231)(++k k f C.11431331231)(+-++++++k k k k k f D.11431)(+-++k k k f45.用数学归纳法证明ααααα212sin sin 1)12cos(3cos cos 21+⋅=-++++n n ……)(212cos N ∈≠-n n n ，παα，在验证n =1等式成立时，左边计算所得的项是 A.21B.αcos 21+C.αα3cos cos 21++D.ααα5cos 3cos cos 21+++46.用数学归纳法证明某不等式，其中证n k =+1时不等式成立的关键一步是：()()()()()()()()()k k k k k k k k +++++>+++>++12323123233，括号中应填的式子是 A.k +2 B.k +3 C.k +2 D.232()k +47.对于不等式)(12N ∈+≤+n n n n ，某人的证明过程如下：︒1当1=n 时，11112+≤+不等式成立。
高二数学数学归纳法试题答案及解析
高二数学数学归纳法试题答案及解析1.若，则对于，．【答案】【解析】【考点】数学归纳法2.用数学归纳法证明：“1＋a＋a2＋＋a n＋1＝(a≠1，n∈N*)”在验证n＝1时，左端计算所得的项为( )A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3【答案】C【解析】当n=1时，左端为1＋a＋a2，故选C.考点:数学归纳法3.已知,,,,…,由此你猜想出第n个数为【答案】【解析】观察根式的规律，和式的前一项与后一项的分子相同，是等差数列,而后一项的分母可表示为，故答案为【考点】归纳推理.4.用数学归纳法证明1＋＋＋…＋(,)，在验证成立时，左式是____．【答案】1＋＋【解析】当时，；所以在验证成立时，左式是.【考点】数学归纳法.5.利用数学归纳法证明“， ()”时，在验证成立时，左边应该是．【答案】【解析】用数学归纳法证明“， ()”时，在验证成立时，将代入，左边以1即开始，以结束，所以左边应该是.【考点】数学归纳法.6.已知，不等式，，，…，可推广为，则等于 .【答案】【解析】因为，……，所以该系列不等式，可推广为，所以当推广为时，.【考点】归纳推理.)能被9整除”，要利7.用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3，(n∈N＋用归纳法假设证n＝k＋1时的情况，只需展开( )．A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)3【答案】A【解析】假设n＝k时，原式k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，当n＝k＋1时，(k＋1)3.＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只须将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．故应选A.8.用数学归纳法证明：【答案】通过两步（n=1，n=k+1）证明即可得出结论。
【解析】解：当n=1时，等式左边为2，右边为2，左边等于右边，当n=k时，假设成立，可以得到（k+1）+（k+2）+…+（k+k）=n=k+1时等式左边与n=k时的等式左边的差，即为n=k+1时等式左边增加的项，由题意，n=k时，等式左边=（k+1）+（k+2）+…+（k+k），n=k+1时，等式左边=（k+2）+（k+3）+…+（k+k+1）+（k+1+k+1），比较可得n=k+1时等式左边等于右边，进而综上可知，满足题意的所有正整数都成立，故证明。
高三数学数学归纳法练习题及答案
高三数学数学归纳法练习题及答案数学归纳法是高中数学中非常重要的一种证明方法，它在数学推理和证明中具有广泛的应用。
通过运用归纳法，我们可以推出一般性的结论，从而能够解决更加复杂的数学问题。
在高三数学的学习中，熟练掌握数学归纳法的使用对于解题至关重要。
下面将为大家提供一些高三数学数学归纳法练习题及答案，希望能帮助大家更好地掌握该方法。
练习题一：证明：对于任意正整数n，都有1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2答案一：首先，我们需要明确归纳假设的内容。
假设当n=k时，等式成立，即1 + 2 + 3 + ... + k = k(k + 1)/2。
然后，我们需要证明当n=k+1时，等式也成立。
即1 + 2 + 3 + ... + (k+1) = (k+1)(k + 2)/2。
根据归纳假设，1 + 2 + 3 + ... + k = k(k + 1)/2。
我们需要证明：1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = (k+1)(k + 2)/2。
将左边的式子进行展开得到： [1 + 2 + 3 + ... + k] + (k+1)。
由归纳假设，我们可以将其中的[1 + 2 + 3 + ... + k]替换成k(k + 1)/2，得到： k(k + 1)/2 + (k+1)。
化简该式子： k(k + 1) + 2(k+1)。
再进一步化简： (k+1)(k + 2) / 2。
可以看出，我们得到了(k+1)(k + 2)/2这个形式，就证明了当n=k+1时，等式也成立。
因此，根据数学归纳法原理，对于任意正整数n，都有1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2。
练习题二：证明：对于任意正整数n，2^n > n^2。
答案二：同样使用数学归纳法进行证明。
首先，当n=1时，2^1 = 2，1^2 = 1，2 > 1，等式成立。
假设当n=k时，2^k > k^2 成立。