高一数学必修5课件《3.1 不等关系与不等式》
高中数学必修5课件 3.1不等关系与不等式
3． 某高速公路要求行驶车辆的速度 v 的最大值为 120 km/h， 同一车道上的车间距 d 不得小于 10 m，用不等式表示为( ) A．v≤120 km/h，且 d≥10 m B．v≤120 km/h，或 d≥10 m C．v≤120 km/h D．d≥10 m
解析：v 的最大值为 120 km/h，即 v≤120 km/h，d 不得小 于 10 m，即 d≥10 m. 答案：A
解析：设身高为 h m，
文字表述 符号表示 票价 身高不足 1.2 m h<1.2 免票 身高在 1.2～1.5 m 间 1.2≤h≤1.5 半价票 身高超过 1.5 m h>1.5 全价票
方法归纳,
(1)利用不等式表示不等关系时，应注意必须是具有相同性 质，可以比较Байду номын сангаас小的两个量才可用，没有可比性的两个量之间不 能用不等式来表示． (2)在用不等式表示实际问题时，一定要注意单位统一．
2．若 f(x)＝3x3－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则 f(x)与 g(x)的大 小关系是( ) A．f(x)<g(x) B．f(x)＝g(x) C．f(x)>g(x) D．随 x 值变化而变化
解析：f(x)－g(x)＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1) ＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0， 所以 f(x)>g(x)．故选 C. 答案：C
2 1 2x－1－x x 解析：因为 2－ ＝ 1＋x 2 21＋x2 －x－12 1 x ＝ 2 ≤0，所以 2≤ . 21＋x 1＋x 2 1 x 答案： 2≤ 1＋x 2
课堂探究 互动讲练 类型一 用不等式来表示不等关系 [例 1] 你有过乘坐火车的经历吗？火车站售票处有规定： 儿童身高不足 1.2 m 的免票，身高 1.2～1.5 m 的儿童火车票为半 价，身高超过 1.5 m 的儿童买全价票．你能用不等式表示这些规 定吗？
高一数学必修5PPT课件：3.不等关系与不等式
高一数学必修5PPT课件：3.不等关系 与不等 式
例2 比较 x 3 与 x2 x 1的大小.
解：x3－(x2－x+1)=x3－x2+x－1
=x2(x－1)+(x－1)
∵ x2+1>0，
=(x－1)(x2+1),
∴ 当x>1时，x3>x2－x+1； 当x=1时，x3=x2－x+1，
1.不等关系和不等式
2.判断两个实数大小的依据是： a b ab 0
小
a b ab 0
结
a b ab 0
3.作差法的步骤：
（1）作差→（2）变形→（3）定号→（4）结论
其中，变形的方法有：配方法；因式分解法；通分，分子 /分母有理化等，必要时进行讨论。
4、作商法步骤：（1）作商；（2）变形； （3）判断商与1的大小；（4）结论。
少于2.3%，用不等式可以表示为：( C )
A.f ≥ 2.5%或p ≥ 2.3% B.f > 2.5%且p >2.3%
C.
f 2.5% p 2.3%
高一数学必修5PPT课件：3.不等关系 与不等 式
我们用数学符号“≠”，“>”，“<”， “≥”，“≤”连接两个数或代数式，以表 示它们之间的不等关系。含有这些不等号 的式子叫做不等式。
思考：不等式a b或b a的含义
不等式a b表示a b或a b中有一个成立即可 不等式a b表示a b或a b中有一个成立即可
高一数学必修5PPT课件：3.不等关系 与不等 式
高一数学必修5PPT课件：3.不等关系 与不等 式
对于任意两个实数 a、b，在 a＞b，a = b，a＜b 三种关系中有且仅有一种成立．
高中数学新人教版必修五3.1不等关系与不等式PPT课件
[例 1] 某矿山车队有 4 辆载重为 10 t 的甲型卡车和 7 辆 载重为 6 t 的乙型卡车，有 9 名驾驶员．此车队每天至少要运 360 t 矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返 6 次，乙 型卡车每辆每天可往返 8 次，写出满足上述所有不等关系的不 等式．
[解] 设每天派出甲型卡车 x 辆，乙型卡车 y 辆．
[活学活用] 1．用不等式(组)表示下列问题中的不等关系： (1)限速 80 km/h 的路标； (2)桥头上限重 10 吨的标志； (3)某酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量 f 应不多 于 2.5%，蛋白质的含量 p 不少于 2.3%.
解：(1)设汽车行驶的速度为 v km/h， 则 v≤80. (2)设汽车的重量为 ω 吨，则 ω≤10.
推论(同向同正可乘性)： ac>>db>>00⇒ac>bd； (5)正数乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N*，n≥1)；
(6)正数开方性：a>b>0⇒n
n a>
b(n∈N*，n≥2)．
[化解疑难] 1．在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不 可强化或弱化成立的条件． 2．要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条 性质是否具有可逆性．
问题 3：若 a＞b，则 ac＞bc，对吗？试举例说明． 提示：不一定正确，若 a＝2，b＝1，c＝2 正确．c＝－2 时不正确．
[导入新知] 不等式的性质
(1)对称性：a>b⇔b<a； (2)传递性：a>b，b>c⇒a>c；
(3)可加性：a>b⇒a＋c>b＋c.
推论(同向可加性)： ac>>db⇒a＋c>b＋d； (4)可乘性： ac>>0b⇒ac>bc； ac<>0b⇒ac<bc；
高中数学人教必修五课件3.1不等关系与不等式
之前，我们已经学过了相等关系.5210⨯=a a 2a +=回顾知识大小相等相等的性质：（1）a=a(自反性）；（2）若a=b,则b=a(对称性）；（3）如果a ＝b ，且b ＝c ，那么a ＝c （传递性 ）.新课导入但是，我们知道，现实生活中，存在着很多不等关系.如：线段的长短不同.人们还经常用长与短，高与矮，轻与重，大与小，不超过或不少于来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系.a≤c 3x+2>6教学目标知识与能力1.通过具体情境建立不等观念，并能用不等式或不等式组表示不等关系；2.了解不等式或不等式组的实际背景；3.能用不等式或不等式组解决简单的实际问题.过程与方法1.采用探究法，按照阅读、思考、交流、分析，抽象归纳出数学模型，从具体到抽象再从抽象到具体的方法进行启发式教学；2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用 .情感态度与价值观1.通过具体情境，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系，鼓励学生用数学观点进行观察、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、改变学生的数学学习态度；2.学习过程中，通过对问题的探究思考、广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量.了解常用的不等关系，初步了解不等式的概念；学会判断不等关系.掌握常用的不等关系，学会现实生活像数学中的转化. 教学重难点重点难点例如，限速40km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度不超过40km/h ，写成不等式是什么呢？关键词“不超过”答：汽车的速度应不超过40km/h,不等式应为v≤40.数学中的不等关系某品牌酸奶的质量规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，写成不等式是什么？答：根据题意，上题写成不等式应为：f≥2.5%p≥2.3%多喝酸奶身体棒！！1、现实生活中很多量的不等关系可以用数学中量的不等关系表示；2、同学们在学习过程中应多于实际相结合，在现实中寻找不等关系.具体问题1.设点A与平面a的距离为d，B为平面a上任一点，则可以得到什么不等关系？答：应为d≤︱AB︱.AdB2.某种杂志原以2.5元的价格销售，可以售关键词“不低于”出8万本.据调查，每提高0.1元，销量减少2000本.那么，如把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？分析：若杂志的定价为x元，则销售的总收入为(8-(x-2.5)/0.1×0.2) ×x万元.那么不等关系“销售的总收入不低于20万元”可以表示成(8-(x-2.5)/0.1×0.2) ×x≥20.答：不等式为(8-(x-2.5)/0.1×0.2) ×x≥20.3.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管结成500mm和600mm两种.根据生产的要求，600mm 钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍.分析：假设截得500mm钢管x根，截得600mm的钢管y根.根据题意，应有如下关系:（1）截得两种钢管的总长度不能超过4000mm;(2)截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的三倍；（3）截得两种钢管的数量不能为负.要同时满足上述三个条件，可以用下面不等式组来表示：500x+600Y≤4003x≥yx≥0y≥01、同学们在现实生活中，应注重寓所学数学知识的结合；2、运用数学知识解决实际问题，可以使实际问题变得简化.我们知道，等式有一些基本性质，如“等式的两边加（减）同一个数，结果不变”.不等式知否也有类似的性质呢？从实数的基本性质（任意两个数的和与积都是正数）出发，我们可以证明常用的不等式的基本性质：()⇒1a >b,b >c a >c()c b c a b a 2+>+⇒>()bcac 0c b,a 3>⇒>>()bcac 0c b,a 4<⇒<>怎么证呢？？()ca 0c -a 0c -b b a 0c b 0b a 1>∴>⇒>+-∴--，〉，〉()c b c a 0c)(b c a 0b a b a 2+>+∴>+-+⇒>->，证明：()bcac 0bc ac b)c (a 0c 0,b a 0c b,a 3>⇒>-=-⇒>>-⇒>>()().类似与34要自己思考啊！>>⇒>>⇒+>+>>⇒>><⇒<(1)a b,b c a c(2)a b a c b c(3)a b,c 0ac bc(4)a b,c 0ac bc利用上述基本性质，可证明下述性质吗？ ()()()n n nn b a ,b a N n 0,b a 3bdac 0d c 0,b a 2db c a d c b,a 1>>⇒∈>>>⇒>>>>+>+⇒>>()d b c a 0d -c b -a 0d -c 0,b -a d c b,a d-c b -a d)(b c a 1+>+⇒>+∴>>∴>>+=+-+ ()bdac 0d)-b(c 0,b)-c(a 0;b 0,c 0,d -c 0,b -a d c b,a d)-b(c b)-c(a bd-cb cb ac bdac 2>∴>>⇒>>>>∴>>+=+-=- 证明：()()().b a .b,a )b (a ,b a .b a .b a n n n n n n n n n n n n >∴<<<>>矛盾假设用反证法证再根据数学归纳法得2由3() () ()>>⇒+>+ >>>>⇒>>>∈⇒>>n n n n1a b,c d a c b d2a b0,c d0ac bd3a b0,n N a b,a b某旅游团旅游，共80人.已知有甲乙两种客车，甲型号比乙型号少5辆；若只选甲型，则每辆车10人，车不够；若只选乙型车，则每辆9人，车多余.设甲型车x辆，用不等式表示题中的不等关系.解：设甲型车x辆，则有10x<809(x+5)>801a >b >0ab >0,>0ab 1111a >b ,ab ab b ac c c <0,>.a b因,所以于是即××>解： c c a >b >0,c <0,>.a b已知求：证课堂小结1、代数式的大小比较或证明通常用作差比较法；2、比较大小或证明的一般过程为：作差，化积，判断，结论；3、常用不等式：()c a c b b,a >⇒>>1()c b c a b a +>+⇒>2()bc ac 0c b,a >⇒>>3()bcac 0c b,a <⇒<>4()()()n n n n b a ,b a N n 0,b a bdac 0d c 0,b a d b c a d c b,a >>⇒∈>>>⇒>>>>+>+⇒>>765高考链接A.a 2 b 2B.ab 2a 2b （2007 上海）已知a, b 为非零实数，且a b ，则下列命题成立的是（ ）<<<<1122ab a b b a a b <C. D. C解析：若a<b<0，则a 2> b 2 ，A 不成立;若ab>0，a<b, a 2b<ab 2,B 不成立；若a=1,b=2，则D 不成立，故选C. 122,,,b a b a a b a b ∴==>课堂练习1、用不等关系表示下面的不等关系.（1）a与b的和是非正数；a+b≤0（2）在一个矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地。
人教版高中数学必修五3.1不等关系与不等式公开课教学课件 (共26张PPT)
500 x 600 y 4000
不等关系为不等式组：
3x y
x0 y0
【提升总结】 1. 将实际的不等关系写成对应的不等 式时，应注意实际问题中关键性的文字语 言与数学符号间的正确转换.
文字语言 大于 小于 大于等于 数学符号 文字语言 数学符号 ≤ ≥
＞
＜
至多
至少 不少于 不多于
x 2.5 0.2 x 20 8 0.1
问题3.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成
500mm和600mm两种,按照生产的要求,600mm钢 管的数量不能超过500mm钢管的3倍.怎样写出 满足上述所有不等关系的不等式呢?
解:设截得500mm的钢管数x根,截得600mm的钢管y根，则
如果a>b,c<0,那么ac<bc. 如果a>b,c=0,那么ac=bc.
注意：不等式两边同乘一个正数，不等式方向不变； 不等式两边同乘一个负数，不等式方向相反.
思考：证明不等式的下列性质： 性质5
如果a>b,c>d,则a+c>b+d.
(同向可加性)
注：同向不等式相加，所得不等式与原不等式同向.
证明：
(开方法则)
注意:当不等式两边都是正数时，不等式两 边同时开方所得的不等式和原不等式同向. 以上这些关于不等式的事实和性质是解决 不等式问题的基本依据.
三.不等式的基本性质：
性质1 性质2
a b, b c a c
abba
使用时注意弄 清每条性质的 条件和结论.
性质3
性质4
性质5 性质6 性质7 性质8
如果a>b,b>c,那么a>c.即 (传递性)
高中数学必修五：3.1不等关系与不等式课件(共18张PPT)
33
3
还有其它 解法吗?
两式相加得－1≤f(3) ≤20.
提示:整体构造 f (3) f (1) f (2) 利用对应系数相等
求的与 ,从而求其范围.
注意:本题中a与c是一个有联系的有机整体,不要割 断它们之间的联系
小结
不等式的性质
内
容
对称性
a b b a; a b b a
传递性 加法性质
所以 (a b) 0, 即b a 0, 所以b a.
性质1表明，把不等式的左边和右边交 换位置，所得不等式与原不等式异向，我 们把这种性质称为不等式的对称性。
性质2：如果a>b，b>c，那么a>（c. 传递性）
证明：a b，b c a b 0，b c 0
(a b) (b c) 0
3.1.2
不等关系与不等式
1. 用不等式或不等式组表示不等关系.
2. a b a b 0 a bab0 a b a b 0
3.比较两个代数式的大小——作差比较法
作差 →变形→判断符号 →得出结论
性质1：如果a>b，那么b<a；如果b<a， 那么a>b.
证明： 因为a b,所以a b 0，
b2
真
注:（1）运用不等式的性质时，应注意不等式成立的条件。
（2）一般地，要判断一个命题为真命题，必须严格加以证 明，要判断一个命题为假命题，可举反例，或者由题中条 件推出与结论相反的结果。
例1.已知 a > b >0, c <0, 求证
c
c ＞.
ab
证明：因为a > b >0, 所以 ab >0, 1 >0.
得a+c>b+d.
新人教A版数学必修5课件：3.1 不等关系与不等式
(2)把原来的糖水(淡)与加糖后的糖水(浓)混合到一起,得到的糖水一定 比原来的糖水浓、比加糖后的糖水淡.
解: (2)设原来的糖水 b1 克,含糖 a1 克,易知浓度为 a1 ; b1
加糖后的糖水 b2 克,含糖 a2 克,易知浓度为 a2 , b2
则混合后的浓度为 a1 a2 , b1 b2
课堂探究
题型一 用不等式来表示不等关系 【例1】 配制A,B两种药剂,需要甲,乙两种原料.已知配一剂A种药需甲料3 克,乙料5克;配一剂B种药需甲料5克,乙料4克.今有甲料20克,乙料25克,若 A,B两种药至少各配一剂,设A,B两种药分别配x,y剂(x,y∈N),请写出x,y应 满足的不等关系式.
第三章 不等式 3.1 不等关系与不等式
课标要求:1.通过具体情境,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不 等关系,会用不等式及不等式组表示不等关系.2.会用作差法(或作商法)比 较两个实数或代数式值的大小.3.掌握不等式的性质,能运用不等式的性质 解决问题.
自主学习
知识探究
1.不等式的有关概念 (1)不等式的定义 在客观世界中,量与量之间的不等关系是普遍存在的,我们用数学符号>、<、 ≥、≤、≠连接两个数或代数式来表示它们之间的不等关系,含有这些不等 号的式子,叫做不等式. (2)不等式的分类 在两个不等式中,如果每一个的左边都大于右边,或每一个的左边都小于右 边,这样的两个不等式叫做同向不等式;在两个不等式中,如果一个不等式的 左边大于右边,而另一个不等式的左边小于右边,那么这两个不等式叫做异 向不等式b ≥0,所以 a + b ≥ a + b .
ab
ba
法二 (平方后作差):( a + b )2= a2 + b2 +2 ab , b a ba
3.1不等关系与不等式- 高中数学人教A版必修5课件(共42张PPT)
解析 ∵ab>0，bc－ad>0， ∴ac－db＝bc－abad>0，∴①正确； ∵ab>0，又ac－bd>0，即bc－abad>0， ∴bc－ad>0，∴②正确；
§3.1 不等关系与不等式
学习目标
1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系. 2.初步学会作差法、作商法比较两实数的大小. 3.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题.
知识点一 不等关系
1.现实世界与日常生活中，与等量关系一样，不等量关系也是自然界中存在着的基本数量关
系．例如
(1)a 大于 b
6.(2020·杭州模拟)已知a，b，c，d均为实数，有下列命题： ①若 ab>0，bc－ad>0，则ac－db>0；②若 ab>0，ac－db>0，则 bc－ad>0； ③若 bc－ad>0，ac－db>0，则 ab>0. 其中正确的命题是__①__②__③__.(填序号)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
若a>0，且a≠7，则
A.77aa<7aa7
B.77aa＝7aa7
√C.77aa>7aa7
D.77aa与7aa7的大小不确定
解析 777aaaa7＝77－aaa－7＝a77－a， 则当 a>7 时，0<a7<1,7－a<0， 则7a7－a>1，∴77aa>7aa7；
当 0<a<7 时，7a>1,7－a>0，
则7a7－a>1，∴77aa>7aa7.
综上，77aa>7aa7.
1.两个实数比较大小的方法
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例题讲解
例 3． ． 已知−
π
2
≤α < β ≤
π
2
α +β
，求 2
,
α −β
2
. 的取值范围
例题讲解
已知a > b > c > 1 ，设M = a − c， 例 4． ． a +b N = a − b，P = 2( − ab)，比较M、 2 N、P的大小 、P
复习引入 复习引入
比较两实数大小的理论依据是什么？ 问题 1:比较两实数大小的理论依据是什么？ 比较两实数大小的理论依据是什么
问题 2:“作差法”比较两实数的大小的一般步骤 “作差法”比较两实数的大小的一般步骤.
新课讲授
常用的不等式的基本性质
(1) a > b ⇔ b < a (2) a > b, b > c ⇒ a > c (3) a > b ⇒ a + c > b + c
4、一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根、二次函数 y = ax2 + bx+ c(a ≠ 0) 、 、 的根、 的解集有什么关系？ 一元二次不等式 ax2 + bx+ c > 0(或< 0或≥ 0或≤ 0) 的解集有什么关系？
B. a > b
2
2
D. a | c |> b | c |
课堂练习
4. 若α、 β满足−
π
2
<α < β <
π
2
α ，则 − β的
（B ）
取值范围是
A. −π < α − β < π B. −π < α − β < 0 C. − D. −
π
π
2 2
<α − β <
π
2
<α − β < 0
课后作业： 课后作业：P75 A组3、4、5 组 、 、
(对称性 对称性) 对称性 (传递性 传递性) 传递性 (可加性 可加性) 可加性
(4) a > b, c > 0 ⇒ ac > bc ; (可乘性 可乘性) 可乘性 a > b, c < 0 ⇒ ac < bc
新课讲授
常用的不等式的基本性质
(5) a > b > 0, c > d > 0 ⇒ ac > bd
课堂练习
1. 教材 P74 练习第 3 题.
2. 回答下列问题： 回答下列问题： （1）如果 a＞b, c＞d, 是否可以推出 ac＞bd? ） ＞ ＞ ＞ 举例说明； 举例说明；
（2）如果 a＞b, c＜d, 且 c≠0, d≠0, 是否 ） ＞ ＜ ≠ ≠
a b 举例说明. 可以推出 > ?举例说明 举例说明 c d
(同向不等式的可乘性 同向不等式的可乘性) 同向不等式的可乘性
(6) a > b > 0, n ∈ N , n > 1 n n n n ⇒a > b , a > b
(可乘方性、可开方性) 可乘方性、可开方性 可乘方性
例题讲解
c c 例 1． ． 求证： 已知a > b > 0, c < 0, 求证： > . a b
B组1(1)(3)、2、3 组 、 、
应用题可以不抄题目，其它都要抄题目。 应用题可以不抄题目，其它都要抄题目。 预习作业： 预习作业： 1、写出二次函数表达式的三种形式： 、写出二次函数表达式的三种形式： 一般式、顶点式、两根式？ 一般式、顶点式、两根式？ 2、怎样作出二次函数 y = ax 2 + bx + c(a ≠ 0) 的图象； 、 的图象； 其图象有哪几种情况？ 其图象有哪几种情况？ 3、写出一元二次方程的根与系数的关系(即韦达定理 、写出一元二次方程的根与系数的关系 即韦达定理 即韦达定理)
课堂练习
3. 若a、b、c ∈ R，a > b，则下列不等式成 立的是 （ ）
1 1 A. > a b a b C. 2 > 2 c +1 c +1
B. a > b
2
2
D. a | c |> b | c |
课堂练习
3. 若a、b、c ∈ R，a > b，则下列不等式成 立的是ห้องสมุดไป่ตู้（C ）
1 1 A. > a b a b C. 2 > 2 c +1 c +1
3.1 不等关系与不等式
生活中的不等关系： 生活中的不等关系： 1、限速 km/h的中标； 的中标； 、限速40 的中标 2、产品中各种成份的含量； 、产品中各种成份的含量； 3、设点 与平面 的距离为 d，B为平面 上的任意一点； 与平面α的距离为 ， 为平面 上的任意一点； 为平面α上的任意一点 、设点A与平面 4、某种杂志原以每本 元的价格销售，可以售出 万本， 元的价格销售， 万本， 、某种杂志原以每本2.5元的价格销售 可以售出8万本 据市场调查，若单价每提高0.1元 据市场调查，若单价每提高 元，销售量就可能相应减 少2000本，若把提价后的杂志的定价设为ｘ元，怎样用 本 若把提价后的杂志的定价设为ｘ 不等式表示销售的总收入仍不低于20万元 万元？ 不等式表示销售的总收入仍不低于 万元？ 5、某钢铁厂要把长度为 的钢管截成500 mm和 、某钢铁厂要把长度为4000 mm的钢管截成 的钢管截成 和 600 mm的两种钢管。按照生产的要求，600 mm的钢管 的两种钢管。 的两种钢管 按照生产的要求， 的钢管 的数量不能超过500mm钢管的 倍。怎样写出满足上述 钢管的3倍 的数量不能超过 钢管的 所有不等关系的不等式呢？ 所有不等关系的不等式呢？