1-pade逼近简介

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基于广义逆的二元矩阵PADE逼近及其代数性质

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第ｌ卷第１６期２００２年１月
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洲
工
学
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报
Ｖｏ．６Ｎｏ１１１．
Ｊｕｎ１ｆｕｈｕＩｓｉｕｅｏｃｎｌｇｏｒａｚｏｎｔｔｆＴｅｈｏｏｙｏＺｈｔ
ｒｖｄｆｏｔｅＰｉｅｒｍｈＡＤＥａｐｏｐｒｍｍａｔｏｉｅｓｏ，ｎｓａｇｂａｃｐｏｅｌｉｓａｅｐｅｅｔｄｎｆｄｍｎｉｎ１ａｄｉｌｅｒｉｒｐｒｔｅｒｒｓｎｅｔ
ａｄｐｏｅ．ｎｒｖｄＫｅｒｓｇｎｒｌｅｎｅｓｔｉ２ｄｍｅｓｏａａｒｘ— ｖｌｅｙｗｏｄ：ｅｅａｉｄｉｖｒｅｍａｒｘ；－ｉｎｉｎｌｍｔｉｚａｕｄＰＡＤＥａｐｏｉｐｒｘ— ＩａｔａｇｂａｃｐｏｅｔｅｎｎＩｌｅｒｉｒｐｒｉｓ
定义ｉｔ阵为Ａ－一Ａ‘ ＩＩ，１／ＩｌＡ≠０Ａ０｝（）１设Ａ＝（ ∈ Ⅱ），是Ａ的共轭Ａ‘ 阵，Ａ是Ａ的共轭转置阵，则定义矩阵Ａ的广义逆矩
这里Ｃ＝（（）一。ｃ ∈
定义２设二元矩阵有理函数Ｒ… （），一Ｐ（，ｘｙ／ｘ＇，中Ｐ（）景。ｚｊ（（，Ｅ）Ｑ（）其ｘ，一Ｐｗｙｙｐ））
矩阵ＰＡＤＥ逼近在变分原理，原子及初等粒子物
其中
理，系统理论的模型简化等领域中已经有深人的实际

【论文】模型降阶方法的研究

摘要在控制系统设计时，需要研究被控对象的特性，对其建立数学模型是主要工具。

然而利用各种建模方法建立的模型可能阶次很高，不适用于实际的控制应用，有必要对高阶模型进行降阶处理。

根据简便性和稳定性的原则，选择了skogestad折半规则方法、 Pade逼近法和连分式法对高阶模型进行简化。

具体利用上述三种方法分别对稳定系统和不稳定系统进行模型降阶的研究。

结果表明，三种方法都可实现模型降阶，并保证系统的稳定性不变。

其中采用Pade逼近法，误差最小，效果最好，连分式法误差最大，效果最差。

关键词：模型降阶，skogestad折半规则方法， Pade逼近法，连分式法AbstactIn the control system design, need to study the characteristics of controlled object, its mathematical model is the main tool. However, using a variety of modeling methods to establish the order of the model may be very high, does not apply to the actual control applications, it is necessary to deal with high-end model reduction. According to the principles of simplicity and stability, the rules selected skogestad half rule method, Pade approximation and continued fractions method to simplify the high-end model. The specific use of the above three methods to stabilize the system and the instability of the system model reduction. The results showed that three methods can be realized model reduction, and to ensure stability of the system unchanged. One use of Pade approximation method, the error is smallest, the effect is best, the continued fractions error is biggest, the effect is worst.Keywords: model reduction, skogestad half rule method, Pade approximation, continued fractions目录第一章前言 (1)1.1模型降阶的背景 (1)1.2模型降阶的意义 (1)1.3模型降阶遵循的原则 (2)1.4现有模型降阶的方法 (2)1.5 研究内容 (4)第二章选用的模型降阶的方法 (5)2.1 Skogestad折半规则 (5)2.2 Pade逼近法 (5)2.3 用连分式法 (8)2.4利用阶跃响应建立模型 (9)第三章模型降阶方法的仿真与分析 (11)3.1 稳定系统的模型降阶研究 (11)3.1.1 稳定系统的模型 (11)3.1.2 skogestad 折半规则 (12)3.1.3 Pade逼近法 (14)3.1.4 连分式法 (17)3.1.5 小结 (20)3.2 不稳定系统 (22)3.2.1 不稳定系统的模型 (22)3.2.2 skogestad 折半规则 (23)3.2.3 逼近法 (25)3.2.3 连分式法 (26)3.3 利用阶跃响应建立模型 (28)III第四章结论与展望 (30)参考文献 (31)致谢 (32)声明 (33)IV第一章前言1.1模型降阶的背景【1】模型降阶，就是指将一个高阶模型转化为一个低阶模型，使得后者比前者更容易处理而又能够满足精度要求。

模型降阶方法综述

模型降阶方法综述大系统模型降阶是一个活跃的研究领域，比较成熟的经典降阶方法主要有：Pade逼近法，时间矩法，连分式法，Routh逼近法及棍合法等。

本文综述了这一领域的现有文献，介绍了每种降阶方法的基本思想、优缺点和适用范围，特别指出了一些新的经典模型降阶方法的进展。

文中最后提出了模型降阶方法的可能研究方向。

一、Pade逼近法Pade逼近法是大系统模型简化中最早出现的一种经典降阶方法。

到目前为止，人们仍然公认它是一种行之有效的传递函数降阶法。

Pade逼近法是泰勒级数展开理论的应用，适用于传递函数可表示成有理多项式分式(或传递函数阵为有理分式阵)的场合。

降阶方法简单，易于编制上机程序，低频(稳态)拟合性能好。

但是，Pade逼近法的高频(动态)拟合性能较差且不能保证降阶模型的稳定性。

因而在模型降阶方法中，很少单独使用Pade逼近法。

为了弥补Pade逼近法的不足，Brown等引入了使降阶模型稳定的补充性能准则，但却提高了降阶模型的阶次；Rossen等把造成降阶模型不稳定的极点隔离开来，并用任意稳定极点取代，可以防止降阶模型不稳定，但加大了计算量；Chuang和Shamash先后提出在和附近交替展成Pade近似式，可获得有较好动态拟合性能的降阶模型；Shih等采用线性变换方法将中不稳定的极点映射到另一平面，以扩大Pade展开式的收敛域，并由此选出稳定的降阶模型。

为了克服泰勒级数收敛慢的弱点，Calfe等提出了切比雪夫多项式模型降阶方法，可获得稳定的降阶模型；Bistritz等提出了广义切比雪夫一Pade逼近法，即Darlington多项式展开法。

这两种降阶方法均可使降阶模型在预定的区间上既稳定又具有最小相位，但计算量大，仅适用于单变量系统。

二、时间矩法时间矩法首先由Paynter提出，采用与Pade逼近法类似的方法，把高阶系统和降阶模型都展成多项式，再令时间矩对应项相等，可以求得降阶模型的各系数。

因此，时间矩法本质上仍是Pade遏近法，其优缺点也相似。

一类非自衡对象的典型反馈型PID控制

一类非自衡对象的典型反馈型PID控制冀晓翔;汤伟【摘要】针对一类非自衡对象,提出了一种基于典型反馈模型的PID控制器(TF—PID);采用全极点型逼近方法对被控对象的时滞环节做近似处理,并在内模控制原理的基础之上导出一种基于典型反馈模型的PID控制器参数整定策略,从而得到PID 控制器的整定参数；仿真结果表明,所设计的控制方法具有更优的设定值跟踪性能和干扰抑制性能,并且实现二者分离控制.%For a class of integrator and time delay process, presents a PID controller based on a typical feedback model (TF-PID). All -pole-type approximating substitute for delay part of the controlled object, and get a parameter tuning strategy of the PID controller based on the typical feedback model from IMC principle, thereby, get the tuning parameters of the PID controller. The simulation results show that the designed control method makes better set point tracking performance and the interference suppression performance, and the two performance of the system can be controlled separately.【期刊名称】《计算机测量与控制》【年(卷),期】2012(020)005【总页数】4页(P1265-1267,1275)【关键词】全极点型逼近;双自由度;典型反馈;PID控制器【作者】冀晓翔;汤伟【作者单位】陕西科技大学自动化系,陕西西安710021;陕西科技大学自动化系,陕西西安710021【正文语种】中文【中图分类】TP2730 引言在一些过程控制系统中，存在一类非自衡对象，其模型中一般包含一个积分环节［1］。

【国家自然科学基金】_padé近似_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140803

推荐指数 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2011年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
2011年科研热词高阶非线性耦合微盘相似解激光技术时域有限差分法数值模拟微分变换法弱非线性回音壁模式品质因子光学微腔 mhd边界层流动 falkner-skan boussinesq型方程推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2014年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
科研热词静压支承消逝模油膜厚度油垫数值仿真承载力劈形波导刚度光束传播法 te模式 padé近似
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2008年序号 1 2 3 4
科研热词边界层 falkner-skan方程 crocco变换 adomian拆分法
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2009年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ科研热词表面粗糙度纳米划痕试验磁致伸缩作动器权值直接确定法权值修正有限元有理式神经网络抛光机理周期振动化学气相沉积碳化硅传递矩阵 terfenol-d padé近似
2013年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
2013年科研热词重叠nakagami-m衰落译码转发等增益合并移动对移动通信收敛区域和速度微分变换法尖峰解协作通信传输线 spice电路模型 padé逼近 pad6逼近 fitzhugh-nagumo方程推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
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基于Pade逼近的时滞对电力系统稳定器的影响分析

基于Pade逼近的时滞对电力系统稳定器的影响分析作者：胡亚莉张亮许嘉纹刘振国来源：《中国新通信》2015年第10期【摘要】低频振荡对电力系统稳定性的影响很大，目前通常用PSS来抑制，但电力系统信号时滞对PSS的性能有一定影响。

本文通过Pade分析时滞对PSS控制器的影响，并用MATLAB进行仿真验证，分析数据并得出结论。

【关键词】Pade 时滞分析电力系统稳定器 MATLAB仿真电力系统的稳定性是研究电力系统的最基本也是最重要的问题之一，但是伴随着电网规模扩大，大量快速励磁装置的投入使用，以及大量不稳定的新能源接入，电力系统运行的稳定性也越来越接近临界点，因振荡而导致失稳的问题越来越普遍，其中低频振荡问题尤为突出。

电力系统稳定器（PSS）是抑制低频振荡常用手段，通常是以本地功角，角速度等本地信号作为输入，输出叠加到励磁系统，作为一种发电机励磁侧的附加控制。

但是，本地信号对区间模式的可观性不高，控制效果不佳。

广域测量系统（WAMS）可以在同一个时间坐标下，捕捉到电力系统各地点实时的稳态、动态信息，这些信息可以广泛应用到电力系统稳态及动态分析以及控制的诸多领域中。

但是它存在信号时滞的问题，而时滞信号会大大降低控制器的性能。

因此，含有信号时滞的PSS分析和研究就有其现实意义。

本文通过电力励磁系统模型，针对含有信号时滞的PSS，使用Pade逼近的方法进行了分析，计算了各次逼近的时滞稳定裕度，并利用MATLAB进行仿真分析。

一、Pade逼近的位置选择Pade逼近的位置选择很重要，一般比较合适的位置是置于相位补偿环节之后，如图1所示：通过经典算法对时延进行处理，表1为计算的时滞稳定裕度：表中∞表明没有时延。

通过表l可以看出，一阶逼近计算的值较大，二阶、三阶的分子非零次逼近计算的结果相近，考虑到阶数越高逼近越精确，因此可以得知一阶逼近的效果不好。

综合考虑计算量和计算的时滞裕度，二阶、三阶逼近结果相近，因此选择二阶分子非零逼近Pade逼近效果比较好。

10-高阶紧致格式

§10. 高阶紧致差分格式 10.1 高阶差分先考虑导数的差分近似。

若某一差分近似的精度是 p 阶的，则近似的误差就是 ()p h O 。

要想进一步提高精度，通常有两种途径：减小 h （h -version ）或是提高 p （p -version ）。

但由于计算机资源的限制，h 不可能无限地减小，因此在需要高精度流场计算的情形（如，粘性边界层、湍流等），就要考虑采用高阶格式。

构造高阶格式需要用到导数的高阶差分近似。

通常情形，这需要更多的点。

例如：两点差分近似()()()f x h f x f x h+-¢»只有一阶精度。

而使用三个点，就可以构造出二阶近似()()()()2432f x h f x h f x f x h-+++-¢»精度越高，需要的点就更多。

对于导数的中心差分近似，也有类似的结果。

但是这种高阶近似用在差分格式中，除了计算公式更加复杂，计算量增加之外，还会造成其他困难。

例1：以一个简单的常微分方程初值问题为例。

设 0a > 。

0duau dx+= （01x < ）， ()0u =α取 M 个网格，空间步长 1h M=，网格点记作 j x jh =（0,1,2,,j M =L ），网格点上的近似解记作 ()j j u u x » 。

因 0a > ，导数采用向后差分近似，就有10j j j u u au h--+= （1,2,3,,j M =L ）实际的计算方案为0u =α ， 111j j u u ha-=+ （1,2,3,,j M =L ）上述格式用到两个点，但只有一阶精度。

如果采用二阶差分近似，则成为12340j j j j u u u au h---++= （2,3,,j M =L ）这个格式具有二阶精度。

可是由于涉及三个点，所以只能从 2j = 开始计算。

而初始条件只提供了 0u =α 。

因此 1u 的计算就需要补充另外的等式。

计算方法第五章第四节其他类逼近方法

（四）快速 Fourier 变换
Fourier变换或反变换中的计算可归结为
d j ak w jk ,
k=0
N -1
称为规模为N j 0,1,..., N 1---------(5.4.20) 的变换问题
2 N i 2 N i
的计算问题，其中 w e （正变换）或 w e （反变换）， a （）为已知复数。 k k 0,1,..., N 1
e i 1得
i 0 i i i 0 i i i 0 i i

m
n
q ( x)
例5.4.3 P204
.
然后利用类似于Pade技术的方法
二、三角函数逼近
如果函数 g ( x)是周期为T 的函数，则函数 f ( x) g (Tx /(2 )) 的周期为2。因此，我们将针对周期为2的连续函数或分段连续函数讨论其逼近问题。
ak N / 2 w
2 j ( k N / 2)
N / 2 -1

k=0
ak w2 jk
N / 2 -1

ak N / 2 w2 jk w jN
N / 2 -1

(ak ak N / 2 ) w2 jk .
而利用 wN / 2 e
N -1 k=0
i
2 N . N 2

2
0
0, sin lx sin jx dx ,
l j; l , j 1, 2,..., l j 1, 2,...,

2
0
sin lx cos jx dx 0,
l 1, 2,...; j 0,1,...,
函数族 1,cos x,sin x,..., cos nx,sin nx,...是区间[0, 2 ] 上正交的函数族。

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（23）
（24）
120 60 x 12 x 2 x 3 [3 / 3] 120 60 x 12 x 2 x 3 [4 / 4] 1680 840 x 180 x 2 20 x 3 x 4 1680 840 x 180 x 2 20 x 3 x 4
Pade 逼近方法简介
1. 泰勒级数问题
一个函数的泰勒级数展开式的系数，和这个函数的值之间的关系，既是一个深奥的数学问题，又是一个重要的实际问题。关于它的研究，是基于数学分析和物理、生物科学中的自然数学模型的实际计算的基础之上的。关于这个问题的某些方面已经有过一些研究，但是还有一些问题需要在今后继续研究。规范的解释是：如果泰勒级数展开式绝对收敛，那么它唯一确定了一个任意次可微的函数。相反的，如果一个函数是任意次可微的，那它也只有一个对应的泰勒级数展开式。实际上，我们把函数近似为一个尽可能长的多项式。然而，这种方法在实际运算中有一些很不理想的局限性。考虑以下例子： 1 2 x 1/2 1 5 13 141 4 （1） f ( x) ( ) 1 x x 2 x3 x 1 x 2 8 16 128 很容易看出，当 x>0.5 时，泰勒级数表达式均不收敛，尽管在 0 x 时，规范方法是要在一个新点 x0(0<x0<0.5)， f ( x) 是一个保持在 1 到 2 的光滑函数。应用原来的表达式计算 f(x)，作出一个新的泰勒级数表达式。这个新的表达式可以满足在 x 很大时的情况，但是不包括 x 处。实际上，用这种方法我们永远不能达到 x ，并且在这个方向上的任何进展都是非常冗长的。对于以上这个例子，我们可以应用一个特殊的技巧，将级数转变为一个较长的多项式。假设我们做一个变量代换：
有：
3 1 1 1 w 1 w w2 4 16 4 ， 1，，…… （13） 5 5 2 3 1 w 1 w w 4 16 4 以上三个结果分别是应用 f(x(w))泰勒式的第一项、前三项、前五项得出的。
可以注意到，当我们将 w=0.5 （即对应于 x ）带入上式中，就得到结果 1， 1.4， 41/29，……。这些结果与计算的关于 x 的级数展开式时所逼近得到的结果相一致。这种同一性是 Pade 逼近的一个普遍而且重要的特性。我们还可以观察到，以上的连续逼近值是单调的。虽然这不是一个普遍的特性，但是在多种情况下都可以证明它的成立。在实际问题中，这是一个非常重要的性质，通过它通常可以证明，Pade 逼近在高范围和低范围内都收敛。
（6）
他们均是关于 x 的有理分式。
2. Pade 逼近引入
Pade 逼近是一种关于函数值的特殊类型的有理分式逼近法。它的思想是以尽量快的速度与泰勒级数展开式相匹配。举例来说，对于（1）式，我们选择一个逼近模式：
a bx （7） 1 dx 当 x 趋于无穷时，上式是有界的。可以考虑用（1）式的前三项系数做逼近，
理想。同理可算出下一个逼近结果是： 13 41 1 x x2 4 16 11 29 2 1 x x 4 16
（11）
在 x 趋于无穷时，上式约为 1.413793103 ，这个结果与 2 1.414213562 已经非常接近了。继续以此方法作逼近，随着所选系数数量的增加，结果的收敛性很好，如下： 1.414201183，1.414213198，1.414213552，…… 在 10 8 的量级。我们可以用同样的方法对（4）式进行逼近，即将（2）式带入以上所求结果，（12）其中的最后一个结果应用了（1）式中的前 11 项系数，且与标准结果只相差
则：
a bx 1 5 1 x x2 1 c c 5 5c a bx 1 ( c) x ( ) x 2 x3 2 2 8 8 即，a=1，b=7/4，c=5/4，
（9）
7 x 4 1 1 x 5 x 2 25 x3 125 x 4 （10） 5 2 8 32 128 1 x 4 对于此式，当 x 时，它的值是 1.4，这个结果比之前的任意一个结果都要 1
p0 p1 p2 pL 0 0
（20）
aL M 1q1
这里要求，当 n<0 时，an=0；现在我们用上述方法对函数 f(x)=ex 做 Pade 逼近，首先得泰勒级数展开式为：
f ( x) 1 x
取 L=M=1，则
x2 xn ... ... 2! n!
（25）
（26）
可以算得，在 x=1 处，逼近的值服从： 19 197 2721 e 3，，，，... 7 71 1001 其中最后一个值只在 10-7 处出现误差。
（27）
敛于 w=0.5，即 x 。于是 f () 的最初连续估计值是： 1，1.25，1.34375，1.38281，1.39990…… （5）
可以看出它收敛于 2 =1.414…。根据（3）式，（4）式的 f(x(w))分别累加前
1、2、3……项可以表示为：
1，
1 (5 / 2) x 1 (9 / 2) x (43 / 8) x 2 ， ....... 1 2x (1 2 x)2
（15）（16）
f(x)可以用幂级数展开为，
f ( x) a j xi
i 0
（17）
那么可以，通过下式确定多项式 PL(x)和 QM(x)的各项系数。
f ( x)
定义标准化条件为：
PL ( x) O( x L M 1 ) QM ( x)
（18）
QM (0) 1
（19）
x
则，
w 1 2w
（2）
x （3） 1 2x 1 3 5 35 4 （4） f ( x( w)) (1 w) 1 / 2 1 w w 2 w3 w 2 8 16 128 所以，在这个变量代换下， x 就变为 w=0.5。很容易看出，泰勒级数收 w
3. Pade 逼近的定义
一般情况下，将关于函数 f(x)的 Pade 逼近写为：
[L / M ] PL ( x) QM ( x)
（14）
其中， PL(x)是一个次数最高为 L 的多项式， QM(x)是一个次数最高为 M 的多项式。
PL ( x) p0 p1 x QM ( x) 1 q1 x pL x L qM x M
（21）
p0 p1 x x2 1 x 1 q1 x 2
按（20）式解得，p0=1，p1=1/2，q1=-1/2，即
（22）
1 x 2 2 x [1/1] 1 1 x 2 x 2 同样道理，取 L=M=2、3、4，则 1
[2 / 2] 12 6 x x 2 12 6 x x 2
需要注意的是，PL(x)和 QM(x)必须是没有公因子的多项式。用 QM ( x) 乘以（18）式并且代入 PL(x)和 QM(x)的表达式，则：
a0 a1 a2 aL aL 1 aL M

a0 q1 a1q1 aL 1q1 aL q1 a0 q2 a0 qL aL M 1qM a L qM