初二暑.第5讲.比例线段及相似的性质与判定.联赛班.课后作业

习题1． 已知b c a c a b a b c a b c +−+−+−==，求
()()()a b b c a c abc
+++的值．
【解析】 当0a b c ++≠时，()()()1b c a c a b a b c b c a c a b a b c a b c a b c
+−++−++−+−+−+−====++ 于是2,2,2b c a a c b a b c +
=+=+=．()()()8a b b c a c abc
+++=．
当0a b c ++=
时，()()()
()()()
1a b b c a c c a b abc
abc
+++−⋅−⋅−==−．
于是本题的解为1−或8．
习题2． 如图，已知平行四边形ABCD 中，过点B 的直线顺次与AC 、AD 及CD 的延长线相交于点E 、
F 、
G ，若5BE =，2EF =，则FG 的长是 ．
E
F
G
D
C
A
B
【解析】 10.5；
习题3． 已知：P 为ABC △的中位线MN 上任意一点，BP 、CP 的延长线分别交对边AC 、AB 于D 、
E ，求证：
1AD AE
DC EB
+= P
N
M
E D C B
A
R
Q
P
N
M
E
D C
B
A
5
比例线段及相似 的性质与判定
【解析】 延长BD 、CE 分别交过A 的平行于BC 的直线于R 、Q 两点，
∵QR MN BC ∥∥
，且AM BM =， ∴PQ PC =，PR PB =
又∵QPR CPB ∠=
∠，∴PQR PCB △≌△，可得QR BC =， 又∵
AD AR DC BC =，AE AQ
EB BC
=，∴1AD AE AR AQ AR AQ RQ BC CD EB BC BC BC BC BC ++=+====．
习题4． 如图，ABC △中，D 为BC 边的中点，延长AD 至E ，延长AB 交CE 的延长线于P ．若
2AD DE =，求证：3AP AB =．
P
E
D
C
B
A
H
P
E
D C
B
A
【解析】 过点D 作PC 的平行线，交AB 于点H ．
∵HD PC ∥，2AD DE =，∴2AH AD
PH DE ==，∴2AH PH =，
∵HD PC ∥，BD CD =，∴1BH BD
PH CD
==，∴BH PH =，
∴3AP AH PH PH =+=，2PB PH HB PH =+=, ∴2
3
PB AP =
，∴13AB AP BP AP =−=，即3AP AB =．
老师可引导学生通过作如下辅助线来证此题：
A
B
C
D E
K
P
A
B
C
D
E
K P P
K
E
D C
B
A
习题5． 如图，G 为ABC △中BC 边中点，在AB 、AC 上分别取AE AF =，EF 交AG 于D ，求证：
::AC AB DE DF =．
D
G
F
E
C B
A
C
【解析】过B 点做BM EF ∥交AG 延长线于M ，
过C 点做CN EF ∥交AG 于N
ED AE
BM AB
=∴ ①，DF AF CN AC = ② BM EF CN ∵∥∥，1BM BG
CN CG
==∴
与②做比得
ED AC AE AC
DF AB AF AB
=⋅= 得证．
习题6． 如图，P 是ABC △内一点，过P 分别作直线平行于ABC △的各边，图中所有三角形均相似，
所成的小三角形1t 、2t 和3t 的面积分别是4、9和49．求ABC △的面积．
t 1t 2t 3
C A
B
R
T
P M
N
E D
【解析】如图，设点R 、T 在AB 上，N 、E 在BC 上，D 、M 在AC 上，且MN AB ∥，TD BC ∥，
RE AC ∥，则PEN MCN MDP
ADT
RPT
ABC △∽△∽△∽△∽△∽△．
设MP p =，PN q =，RT r =，AB c =，ABC S S =△，则
p q r c ++=，22
4q S c =，229p S c =，2
249r S c =
q c =
p c =
r
c =．
1p q r
c ++=．
故2
(237)144ABC S S ==++=△．
习题7． ⑴直线DE 与ABC △的AB 边相交于点D ，与AC 边相交于点E ，下列条件：
①DE BC ∥；②AED B ∠=∠；③AE AC AD AB ⋅=⋅；④
AE ED
AC BC
=中， 能使ADE △ 与ABC △相似的条件有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
⑵如图，在ABC △中，AC AB >，点D 在AC 边上，若在增加一个条件就能使
ABD ACB △∽△
，则这个条件可以是 ． C
D
B
A
【解析】 ⑴C
⑵ABD C ∠=
∠或ADB ABC ∠=∠或AD AB
AB AC
=．
A
B
E
C
D
F
习题8． 如图，ABC △中，DE BC ∥，ACD B ∠=
∠，则图中共有 对相似三角形． C
B E
D
A
【解析】
4对； 共A ∠的三个三角形ADE △，ABC △，ACD △之间两两相似，共3对； ∵EDC DCB ∠=
∠，DBC ECD ∠=∠，∴EDC △与DCB △相似． 综上，图中共有4对相似三角形．
习题9． 如图，在ABC △中，D 、E 两点分别在AC 、AB 两边上，ABC ADE ∠=∠，73AB AD ==
，，2.7AE =，求AC 的长．
【解析】 ∵ABC ADE ∠=∠，A A ∠=∠ ∴AED ACB △∽△
∴
AE AD
AC AB
= ∴AE AB AC AD ⋅=⋅
∵7AB =，3AD =， 2.7AE = ∴37 2.7AC =× 6.3AC =.
习题10．已知：如图所示，CD 是Rt ABC △的斜边中线，过点D 垂直于AB 的直线交BC 于点F ，交AC
的延长线于点E ．求证：2
CD DF DE =⋅． 【解析】
∵CD 是Rt ABC △的斜边中线 ∴CD DB =，90A B ∠+∠=°
∴DCB B ∠=
∠ ∵DE AB ⊥
∴90A E ∠+∠=°
∴B E ∠=∠
∴DCB E ∠=
∠ 又CDF EDC ∠=∠ ∴DCF DEC △∽△ ∴DC DF DE DC
=，∴2
DC DE DF =⋅．
E
D
C
B
A。