2017-2018学年河北省曲周县第一中学高二下学期期末考试数学试题-解析版

1绝密★启用前河北省曲周县第一中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人 得分一、单选题1．已知集合,，则( )A.B.C.D.【答案】D【解析】分析：先求集合B ，再根据交集定义求结果. 详解：因为，所以,所以=,选D.点睛：集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图． 2．若命题，是真命题，则实数的取值范围是( ) A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：先整理不等式，根据二次项系数是否为零分类讨论，最后根据二次函数图像确定实数的取值范围. 详解：因为，所以当时，，不合题意，当时，因此选B.点睛：研究形如恒成立问题，注意先讨论的情况，再研究时，开口方向，判别式正负，对称轴与定义区间位置关系，列不等式解得结果.3．存在实数，使成立的一个必要不充分条件是( )A.B.C.D.【答案】D【解析】分析：先求成立充要条件，即的最小值，再根据条件之间包含关系确定选择.详解：因为存在实数，使成立，所以的最小值,因为，所以,因为，因此选D.点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．4．下列有关命题的说法正确的是( )A. “”是“”的充分不必要条件B. “时，”的否命题为真命题C. 直线，，的充要条件是D. 命题“若，则”的逆否命题为真命题2【答案】D【解析】A选项不正确，由于可得，故“”是“”的必要不充分条件；B 选项不正确，“时，”的逆命题为“当时，”，是假命题，故其否命题也为假；C 选项不正确，若两直线平行，则，解得；D选项正确，角相等时函数值一定相等，原命题为真命题，故其逆否命题为真，故选：D．5．设函数是定义在上的奇函数，且当时，，记，，，则的大小关系为( )A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：根据x＞0时f（x）解析式即可知f（x）在（0，+∞）上单调递增，由f（x ）为奇函数即可得出，然后比较的大小关系，根据f （x）在（0，+∞）上单调递增即可比较出a，b，c的大小关系．详解：x＞0时，f（x）=lnx；∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；∵f（x）是定义在R上的奇函数；=；，；∴；∴；∴a＜b＜c；即c＞b＞a．故选：A．点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增3减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．6．已知定义在上的偶函数在上单调递增，则函数的解析式不可能是( )A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：根据函数为偶函数，得，得到在上单调递增，即可作出判断，得到结论．详解：因为为偶函数，则，解得，所以在上单调递增，函数在上单调递增，只有在上单调递减，故选B．点睛：本题考查了函数的基本性质的应用，解答中涉及到利用函数奇偶性，求得值，进而得到函数的单调性，利用基本初等函数的性质是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力．7．已知，若为奇函数，且在上单调递增，则实数的值是( )A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：根据幂函数性质确定实数的值.详解：因为为奇函数，所以因为，所以因此选B.点睛：幂函数的性质决定于幂指数，当时，幂函数在上单调递增，当4时，幂函数在上单调递减.令，则奇偶性确定幂函数奇偶性.8．设实数，，，则有( )A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：利用指数函数、对数函数的单调性及中间量比较大小.详解：∵a=log23＞log22=1，0＜b=＜（）0=1，c=＜=0，∴a＞b＞c．故选：A．点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．9．已知，则的大小关系为( )A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：由，，，可得，，则，利用做差法结合基本不等式可得结果.详解：，，则，即，综上，故选A.56点睛：本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.10．已知，，则是的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】分析：首先根据指数函数的单调性，结合幂的大小，得到指数的大小关系，即，从而求得，利用集合间的关系，确定出p,q 的关系.详解：由得，解得，因为是的真子集，故p 是q 的充分不必要条件，故选A.点睛：该题考查的是有关充分必要条件的判断，在求解的过程中，首先需要判断命题q 为真命题时对应的a 的取值范围，之后借助于具备真包含关系时满足充分非必要性得到结果. 11．设函数，满足，若函数存在零点，则下列一定错误的是( )A.B.C.D.【答案】C【解析】分析：先根据确定符号取法，再根据零点存在定理确定与可能关系.详解：单调递增，因为，所以或,根据零点存在定理得或或,因此选C.点睛：确定零点往往需将零点存在定理与函数单调性结合起来应用，一个说明至少有一个，一个说明至多有一个，两者结合就能确定零点的个数.12．设，均为实数，且，，，则( )A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：将题目中方程的根转化为两个函数图像的交点的横坐标的值，作出函数图像，根据图像可得出的大小关系.详解：在同一平面直角坐标系中，分别作出函数的图像由图可知，故选B.点睛：解决本题，要注意①方程有实数根②函数图像与轴有交点③函数有零点三者之间的等价关系，解决此类问题时，有时候采用“数形结合”的策略往往能起到意想不到的效果.78第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人 得分二、填空题13．已知命题，是假命题，则实数的取值范围是__________．【答案】.【解析】命题是假命题，即“ “是真命题①． 当时，①不成立，当时，要使①成立，必须 ，解得 ，故实数的取值范围为 ．故答案为．14．若函数()()2ln f x x x a x =++为偶函数，则a = ． 【答案】1【解析】试题分析：由函数()()2ln f x x x a x =++为偶函数⇒函数()()2ln g x x a x =++为奇函数，()0ln 01g a a ==⇒=．考点：函数的奇偶性．【方法点晴】本题考查导函数的奇偶性以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、特殊与一般思想、数形结合思想与转化思想，具有一定的综合性和灵活性，属于较难题型．首先利用转化思想，将函数()()2ln f x x x a x =++为偶函数转化为 函数()()2ln g x x a x =++为奇函数，然后再利用特殊与一般思想，取()0ln 01g a a ==⇒=．15．已知集合，，则__________．【答案】 (或用区间表示为.【解析】分析：先根据真数大于零得集合A,再解一元二次不等式得集合B，最后根据交集定义求结果.详解：因为，所以因为，所以因此.点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．16．已知实数且，函数在上单调递增，则实数的取值范围构成的集合为__________．【答案】.【解析】分析：先确定各段单调递增，再考虑结合点处也单调递增，解得实数的取值范围.详解：因为在上单调递增，所以因此实数的取值范围构成的集合为.点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.910评卷人 得分三、解答题17．已知函数(1)若不等式的解集为，求实数的值；(2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）.(2) .【解析】分析：（1）根据二次不等式的解集与二次方程的根的关系可得参数； （2）这个不等式恒成立，首先讨论时，能不能恒成立，其次在时，这是二次不等式，结合二次函数的性质可求解．详解：（1）的解集为，则的解为和2，且，∴，解得． （2）由，得，若a=0，不等式不对一切实数x 恒成立，舍去，若a≠0，由题意得，解得：，故a 的范围是：点睛：三个二次（一元二次方程、一元二次不等式、二次函数）之间的关系是我们必须掌握的知识：判别式 Δ＝b 2－4acΔ>0 Δ＝0 Δ<011二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a>0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c＝0 (a >0)的根有两相异实根 x 1，x 2(x 1<x 2)有两相等实根x 1＝x 2＝－没有实数根ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集{x |x <x 1或x >x 2} {x |x ≠x 1} Rax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集{x |x 1<x <x 2} ∅ ∅18．已知命题：函数在上是减函数，命题，.(1)若为假命题，求实数的取值范围； (2)若“或”为假命题，求实数的取值范围.【答案】(1) .（2）.【解析】分析：第一问利用命题的否定和命题本身是一真一假的，根据命题q 是假命题，得到命题的否定是真命题，结合二次函数图像，得到相应的参数的取值范围；第二问利用“或”为假命题，则有两个命题都是假命题，所以先求命题p 为真命题时参数的范围，之后求其补集，得到m 的范围，之后将两个命题都假时参数的范围取交集，求得结果.详解：（1）因为命题，所以：，，当为假命题时，等价于为真命题，即在上恒成立，故，解得所以为假命题时，实数的取值范围为. （2）函数的对称轴方程为，当函数在上是减函数时，则有即为真时，实数的取值范围为“或”为假命题，故与同时为假，则，综上可知，当“或”为假命题时，实数的取值范围为点睛：该题考查的是有关利用命题的真假判断来求有关参数的取值范围，在解题的过程中，需要明确复合命题的真值表，以及二次函数的图像和性质要非常熟悉.19．已知函数.(1)判断的奇偶性并予以证明；(2)求不等式的解集.【答案】(1)奇函数，证明见解析.(2).【解析】分析：(1)先求定义域，判断是否关于原点对称，再研究与关系，根据奇偶性定义判断，(2)先根据对数函数单调性化简不等式，再解分式不等式得结果.详解：（1）要使函数有意义．则，解得.故所求函数的定义域为．由（1）知的定义域为，设，则．12且，故为奇函数．(2)因为在定义域内是增函数，因为，所以，解得．所以不等式的解集是．点睛：判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．20．在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线交于两点.(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；(2)已知点的极坐标为，的值.【答案】(1)，.(2).【解析】分析：(1)先根据加减消元法得直线的普通方程，再根据将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）先求P直角坐标，再设直线的参数方程标准式，代入曲线的直角坐标方程，根据参数几何意义以及利用韦达定理得结果.详解：(1)的普通方程为: ；又,即曲线的直角坐标方程为:13(2)解法一: 在直线上,直线的参数方程为(为参数),代入曲线的直角坐标方程得，即,.解法二:，，，．点睛：直线的参数方程的标准形式的应用过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是.(t是参数，t可正、可负、可为0)若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0＋t2cos α，y0＋t2sin α).(2)|M1M2|＝|t1－t2|.(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t ＝，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝.(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.21．已知在上有意义，单调递增且满足.(1)求证：；(2)求的值；(3)求不等式的的解集14【答案】(1)证明见解析；(2)0；(3).【解析】分析：(1)令y=x，得，（2）令y=x=1，得的值；（3）先探求，再根据函数单调性转化不等式组，解得结果.详解：(1)∵(大前提)∴2)＝＝．(结论)(2)∵＝12)＝2，(小前提)∴.(结论)(3)∵，(小前提)且函数在(0，＋∞)上单调递增，(大前提)∴解得(结论)点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.22．在平面直角坐标系中，直线经过点，其倾斜角为，以原点为极点，以轴为非负半轴为极轴，与坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线的极坐标方程为.(1)若直线与曲线有公共点，求倾斜角的取值范围；(2)设为曲线上任意一点，求的取值范围.【答案】(1).15(2).【解析】分析：（1）利用互化公式即可把曲线C的极坐标方程ρ2﹣2ρcosθ﹣3=0化为直角坐标方程．直线l 的参数方程为（t为参数），代入曲线C的直角坐标方程可得t2﹣8tcosα+12=0，根据直线l与曲线C有公共点，可得△≥0，利用三角函数的单调性即可得出．（2）曲线C的方程x2+y2﹣2x﹣3=0可化为（x﹣1）2+y2=4，参数方程为，（θ为参数），设M（x，y）为曲线上任意一点，可得x+y=1+2cosθ+2sinθ，利用和差公式化简即可得出取值范围．详解：（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为，直线的参数方程为（为参数），将参数方程代入，整理，∵直线与曲线有公共点，∴，∴，或，∵，∴的取值范围是（2）曲线的方程可化为，其参数方程为（为参数），∵为曲线上任意一点，∴，∴的取值范围是点睛：解答解析几何中的最值问题时，对于一些特殊的问题，可根据几何法求解，以增加形象性、减少运算量．16。