(完整版)选修2-3第2章正态分布经典题型知识点
最新人教版高中数学选修2-3《正态分布》知识讲解
2.4 正态分布1．正态曲线(1)函数______________，x ∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数．我们称φμ，σ(x )的图象为正态分布密度曲线，简称________．(2)随机变量X 落在区间(a ，b ]的概率为P (a ＜X ≤b )≈__________，即由正态曲线，过点(a,0)和点(b,0)的两条x 轴的垂线，及x 轴所围成的平面图形的面积，就是X 落在区间(a ，b ]的概率的近似值．预习交流1(1)正态曲线φμ，σ(x )中参数μ，σ的意义是什么？(2)设随机变量X 的正态分布密度函数φμ，σ(x )＝12πe －(x ＋3)24，x ∈(－∞，＋∞)，则参数μ，σ的值分别是( )．A ．μ＝3，σ＝2B ．μ＝－3，σ＝2C ．μ＝3，σ＝ 2D ．μ＝－3，σ＝ 22．正态分布一般地，如果对于任何实数a ，b (a ＜b )，随机变量X 满足P (a ＜X ≤b )＝__________，则称X 服从________．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作________，如果随机变量X 服从正态分布，则记为________．3．正态曲线的特点(1)曲线位于x轴____，与x轴______；(2)曲线是单峰的，它关于直线____对称；(3)曲线在____处达到峰值______；(4)曲线与x轴之间的面积为__；(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“____”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“____”，表示总体的分布越分散，如图②.预习交流2设随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X≤C)＝P(X＞C)，则C＝()．A．0B．σC．－μD．μ4．正态总体在三个特殊区间内取值的概率若X～N(μ，σ2)，则对于任何实数a＞0，概率P(μ－a＜X≤μ＋a)＝__________.特别地有P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝______，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝______，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝______.5．3σ原则正态变量在(－∞，＋∞)内的取值的概率为1，正态总体几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此区间以外取值的概率只有0.002 6，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，因此在实际应用中通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，简称为________．预习交流3(1)如何求服从正态分布的随机变量X在某区间内取值的概率？(2)正态总体N(4,4)在区间(2,6]内取值的概率为__________．答案：1．(1)φμ，σ(x)＝12πσ22()2exμσ--正态曲线(2)∫b aφμ，σ(x)d x预习交流1：(1)提示：参数μ反映随机变量取值的平均水平的特征数，即若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ.同理，参数σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．(2)提示：写成标准式φμ，σ(x)＝12π2 e∴μ＝－3，σ＝ 2.2.∫b aφμ，σ(x)d x正态分布N(μ，σ2)X～N(μ，σ2)3．(1)上方不相交(2)x＝μ(3)x＝μ1σ2π(4)1(6)瘦高矮胖预习交流2：提示：正态分布在x＝μ对称的区间上概率相等，则C＝μ.4.∫μ＋aμ－aφμ，σ(x)d x0.682 60.954 40.997 45．3σ原则预习交流3：(1)提示：首先找出服从正态分布时μ，σ的值，再利用3σ原则求某一个区间上的概率，最后利用在关于x＝μ对称的区间上概率相等求得结果．(2)提示：由题意知μ＝4，σ＝2，∴P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝P(2＜X≤6)＝0.682 6.一、正态曲线的图象应用如图所示的是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．思路分析：给出一个正态曲线就给出了该曲线的对称轴和最大值，从而就能求出总体随机变量的期望、标准差以及解析式．如图是正态分布N(μ，σ21)，N(μ，σ22)，N(μ，σ23)(σ1，σ2，σ3＞0)相应的曲线，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是()．A．σ1＞σ2＞σ3 B．σ3＞σ2＞σ1 C．σ1＞σ3＞σ2D．σ2＞σ1＞σ3(1)用待定系数法求正态变量概率密度曲线的函数表达式，关键是确定参数μ和σ的值，并注意函数的形式．(2)当x＝μ时，正态分布的概率密度函数取得最大值，即f(μ)＝12πσ为最大值，并注意该式在解题中的应用．二、利用正态曲线的对称性求概率已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，P(X＜4)＝0.84，则P(X≤0)＝()．A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84思路分析：画出正态曲线，结合其意义及特点求解．若随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，已知P(ξ＜－1.96)＝0.025，则P(|ξ|＜1.96)＝()．A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.975充分利用正态曲线的对称性及面积为1的性质求解．①熟记正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等．②P(X＜a)＝1－P(X≥a)；P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)．三、正态分布的应用在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N(90,100)．(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110]内的概率是多少？(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100]间的考生大约有多少人？思路分析：正态分布已经确定，则总体的期望μ和标准差σ就可以求出，这样就可以根据正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态分布密度曲线如图所示．若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数是()．A．997 B．954 C．819 D．683求正态变量X在某区间内取值的概率的基本方法：(1)根据题目中给出的条件确定μ，σ的值；(2)将待求问题向(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化；(3)利用上述区间求出相应的概率．答案：活动与探究1：解：从给出的正态曲线可知该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是12π，所以μ＝20，12πσ＝12π，则σ＝ 2.所以概率密度函数的解析式是f(x)＝12π2(20)4ex--，x∈(－∞，＋∞)．总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝(2)2＝2.迁移与应用：A活动与探究2：A解析：由X～N(2，σ2)，可知其正态曲线如图所示，对称轴为x＝2，则P(X≤0)＝P(X≥4)＝1－P(X＜4)＝1－0.84＝0.16.迁移与应用：C解析：由已知正态曲线的对称轴为x＝μ＝0，∴P(ξ＜－1.96)＝P(ξ＞1.96)＝0.025.∴P(|ξ|＜1.96)＝1－P(ξ≥1.96)－P(ξ≤－1.96)＝0.950.活动与探究3：解：∵ξ～N(90,100)，∴μ＝90，σ＝100＝10.(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ]内取值的概率是0.954 4，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70,110]内的概率就是0.954 4.(2)由μ＝90，σ＝10得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ]内取值的概率是0.682 6，所以考试成绩ξ位于区间(80,100]内的概率是0.682 6.一共有2 000名考生，所以考试成绩在(80,100]间的考生大约有2 000×0.682 6≈1 365(人)．迁移与应用：D解析：由题意，可知μ＝60.5，σ＝2，故P(58.5＜X≤62.5)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6，从而属于正常情况的人数是1 000×0.682 6≈683.1．正态曲线关于y轴对称，则它所对应的正态总体的均值为()．A．1 B．－1 C．0 D．不确定2．设随机变量X ～N (1,22)，则D ⎝⎛⎭⎫12X ＝( )．A ．4B ．2 C.12D ．1 3．已知随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2)，若P (ξ＞2)＝0.023，则P (－2≤ξ≤2)＝( )．A ．0.447B ．0.628C ．0.954D ．0.9774．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ＞0)．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为__________．5．一批灯泡的使用时间X (单位：小时)服从正态分布N (10 000,4002)，则这批灯泡使用时间在(9 200，10 800]内的概率是__________．答案：1．C 解析：由正态曲线关于y 轴对称，∴μ＝0，均值为0.2．D 解析：因为X ～N (1,22)，所以D (X )＝4，所以D ⎝⎛⎭⎫12X ＝14D (X )＝1.3．C 解析：∵随机变量ξ服从标准正态分布N (0，σ2)，∴正态曲线关于x ＝0对称．又P (ξ＞2)＝0.023，∴P (ξ＜－2)＝0.023.∴P (－2≤ξ≤2)＝1－2×0.023＝0.954.4．0.8 解析：易得P (0＜ξ＜1)＝P (1＜ξ＜2)，故P (0＜ξ＜2)＝2P (0＜ξ＜1)＝2×0.4＝0.8.5．0.954 4 解析：μ＝10 000，σ＝400，P (9 200＜X ≤10 800)＝P (10 000－2×400＜X ≤10 000＋2×400)＝0.954 4.。
选修2-3 第二章 第四节：正态分布
题型二正态分布的应用
例2在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80，52)，现已知该班同学中成绩在80～85分的有17人．试计算该班成绩在90分以上的同学有多少人．
跟踪训练2在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布，即ξ～N(100，100)，已知满分为150分．
(1)试求考试成绩ξ位于区间(80，120]内的概率；
个性化教学辅导教案
学生姓名
年 级
学 科
数学
上课时间
教师姓名
课 题
选修2-3 第二章 第四节：正态分布
教学目标
1.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
2．根据正态密度曲线的对称性进行概率计算及正态随机变量在特定区间上的概率等问题．
教学过程
教师活动
学生活动
1.设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝ (k＝2，4，6，8，10)，则D(ξ)等于()
A．5B．8C．10D．16
2．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X表示取到次品的件数，则D(X)＝________．
3．在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是________．
1.某市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，下列说法中正确的是()
若b<μ，则P(X<μ－b)＝．
3．因为P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997 4，所以正态总体X几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此区间以外取值的概率只有0.002 6，这是一个小概率事件，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，这是统计中常用的假设检验基本思想．
高中数学选修2-3精品课件2：2.4正态分布
P(1 <x<2)= P(-1.5 <x<-1)= P(-0.5 <x<1.5)=
正态分布0)
(
X0-
)
例题选讲 求正态总体N（1，4）在区间（2，3）内取值的概率？
P(2 <x<3)=( 1)- (0.5)=0.1498
（ - 2 ， + 2）
95.4%
（ - 3 ， +3 ）
99.7%
小概率事件
正态总体在( - 2 ， + 2)以外取值的概率是 4.6% 正态总体在( - 3 ， + 3)以外取值的概率是 0.3%
O
4
x
6
小概率事件在一次实验中几乎不可能发生
控制上界 + 3
中心线
控制下界 -3
练习
1.设零件尺寸服从正态总体N（4，0.25）质检人员从工厂
生产的1000件产品中随机抽查一件，测得其尺寸为5.7,试问
这批产品是否合格？
控制上界
+ 3=4+3×0.5=5.5
控制下界
- 3=4－3×0.5=2.5
5.7(2.5，5.5)
该产品不合格
2.设零件尺寸服从正态总体N( 25，0. 09)为使生产的产品有 95%以上的合格率，求零件尺寸允许值的范围？
1234
x
=-2
=0
=3
N (0 ,4)
N (0, 1) y
-4 -3 -2 -1 O
1
N (0, 1/9)
=1/3
=1
=2
234
x
正态曲线的性质
2020北师大版高中数学选修2-3 教师课件：第二章 正态分布
已知从某批材料中任取一件时，取得的这件材料的强度 X 服从 N(200,182)． (1)计算取得的这件材料的强度不低于 182 的概率； (2)如果所用的材料在以 98%的概率保证强度不低于 164，问这批材料是否符合这 个要求？ 解析：(1)X～N(μ，σ2)，其中 μ＝200，σ＝18，而 182＝200－18＝μ－σ，∴P(182 ＜X≤218)＝0.683. 又 1＝P(X≤182)＋P(182＜X≤218)＋P(X＞218)， 且由正态曲线的对称性可知，P(X≤182)＝P(X＞218)， ∴P(X≤182)＝12(1－0.683)＝0.158 5.
2．已知 X～N(－1，σ2)，若 P(－3≤X≤－1)＝0.3，则 P(－3≤X≤1)的值为________． 解析：∵X～N(－1，σ2)， ∴P(－3≤X≤－1)＝P(－1≤X≤1)＝0.3， ∴P(－3≤X≤1)＝2P(－3≤X≤－1)＝0.6. 答案：0.6
探究三 正态分布的应用 [例 3] 在某次数学考试中，考生的成绩 ξ 服从一个正态分布，即 ξ～N(90,102)． (1)试求考试成绩 ξ 位于区间(70,110)内的概率是多少？ (2)若这次考试共有 2 000 名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？ [解析] ∵ξ～N(90,102)， ∴μ＝90，σ＝10. (1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是 0.954，而该正态分布中，μ－2σ ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩 ξ 位于区间(70,110)内的概 率就是 0.954.
一、连续型随机变量
[自主梳理]
离散型随机变量的取值是可以__一__一__列__举___的，但在实际应用中，还有许多随机变量
人教版高中数学选修2-3知识点汇总
人教版高中数学必修2-3知识点第一章计数原理1.1分类加法计数与分步乘法计数分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。
分类要做到“不重不漏”。
分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤。
做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法。
分步要做到“步骤完整”。
n元集合A={a1，a2⋯，a n}的不同子集有2n个。
1.2排列与组合1.2.1排列一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(arrangement)。
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示。
排列数公式：n个元素的全排列数规定：0!=11.2.2组合一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(combination)。
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号或表示。
组合数公式：∴规定：组合数的性质：(“构建组合意义”——“殊途同归”)1.3二项式定理1.3.1二项式定理(binomial theorem)*注意二项展开式某一项的系数与这一项的二项式系数是两个不同的概念。
1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质*表现形式的变化有时能帮助我们发现某些规律！(1)对称性(2)当n 是偶数时，共有奇数项，中间的一项取得最大值；当n 是奇数时，共有偶数项，中间的两项，同时取得最大值。
(3)各二项式系数的和为(4)二项式展开式中，奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和：(5)一般地，第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布(n ∈N *)其中各项的系数(k ∈{0，1，2，⋯，n})叫做二项式系数(binomial coefficient)；2.1.1离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量(random variable)。
正态分布知识点总结
正态分布知识点总结正态分布（Normal distribution）是统计学中最为重要和常见的概率分布之一、其分布特点为钟形曲线，对称分布，均值为中心点，标准差决定了曲线的分散程度。
正态分布在实际应用中非常广泛，特别适用于描述大量独立随机变量之和的分布情况。
一、正态分布的定义和性质1.定义：若随机变量X服从一个均值为μ，标准差为σ的正态分布（记作X∼N(μ,σ)），则其概率密度函数为f(x)=1/(σ√(2π))*e^(-(x-μ)²/(2σ²))2.性质：a.对称性：正态分布是关于均值对称的，即平均值左右两侧的曲线是对称的。
b.中心极限定理：大量独立随机变量的和趋向于正态分布，即使原始数据并不服从正态分布，样本量足够大时，样本均值的分布也会接近正态分布。
c.峰度与偏度：正态分布的峰度为3，即其曲线边际趋于水平而不陡。
偏度为0，即左右两侧的概率密度完全对称。
d.累积分布函数：正态分布的累积分布函数可以用标准正态分布表查找，标准正态分布表给出了标准正态分布的累积概率，从而可以计算出任意正态分布的累积概率。
二、正态分布的参数1.均值（μ）：正态分布的均值决定了分布曲线的中心位置。
在标准正态分布中，均值为0。
2.标准差（σ）：正态分布的标准差决定了分布曲线的宽度和分散程度。
标准差越小，曲线越尖锐；标准差越大，曲线越平缓。
三、标准正态分布1. 定义：均值为0，标准差为1的正态分布称为标准正态分布（Standard Normal Distribution），记作Z∼N(0,1)。
2.标准化：通过标准化转换，将任意正态分布转化为标准正态分布。
转换公式为Z=(X-μ)/σ，其中X为原正态分布的随机变量，μ为原正态分布的均值，σ为原正态分布的标准差。
3.标准正态分布表：存储了标准正态分布的累积概率值，可用于求解任意正态分布的累积概率。
4.逆标准化：通过标准正态分布表，可以将给定累积概率对应的Z值逆向计算，得到对应的原始分布值。
人教B数学选修2-3课件：第2章2.4正态分布
第二章概率2. 4 正态分布学习目标：1 •了解正态分布的意义.2.能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质•（重点）3.了解正态曲线的意义和性质4会利用（p（x）, F（x）的意义求正态总体小于X的概率.（难点）教材整理/正态曲线及正态分布阅读教材P65〜P66,完成下列问题.1.正态变量的概率密度函数正态变量概率密度曲线的函数表达式为1 （乂一”「齐jER其中“，o是参数，且。
>0, —00〈“< + 00, “和。
分别为正态变量的数学期望和标准差.笞案2.正态分布的记法期望为“、标准差为。
的正态分布通常记作N®，/).3.正态曲线正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线.4.标准正态分布数学期望为标准差为丄的正态分布叫做标准正态分布，记做MOJ).----------- 0微体验0 ----------判断(正确的打“厂，错误的打“X”)⑴正态变量函数表达式中参数“，。
的意义分别是样本的均值与方差.()(2)服从正态分布的随机变量是连续型随机变量.()(3)正态曲线是一条钟形曲线.()(4)离散型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线描述，连续型随机变量的概率分布用分布列描述.()【解析】(l)x因为正态分布变量函数表达式中参数“是随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计，而。
是衡量随机变量总体波动大小的特征数，用样本的标准差去估计.(2)7(3)7由正杰分布曲线的形状可知该说法正确.(4)X因为离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，连续型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线(函数)描述.【答案】(1)X (2)V (3)J (4)X 教材整理2正态曲线的性质及3。
原则阅读教材P66〜P67习题以上部分，完成下列问题.1.正态曲线的性质⑴曲线在迫的上方，并且关于直线汗卩对称;(2)曲线在时处于最高点,并由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，呈现“中间高,两边低”的形状；(3)曲线的形状由参数。
人教课标版高中数学选修2-3典型例题：正态分布
正态分布1．正态曲线及其性质对于正态分布函数：222)(21)(σμπσ--=x e x f ，x ∈（-∞，+∞）由于中学知识范围的限制，不必去深究它的来龙去脉，但对其函数图像即正态曲线可通过描点（或计算机中的绘图工具）画出课本图1-4中的图（1）、（2）、（3），由此，我们不难自己总结出正态曲线的性质。
2．标准正态曲线标准正态曲线N （0，1）是一种特殊的正态分布曲线，它是本小节的重点。
由于它具有非常重要的地位，已专门制作了“标准正态分布表”。
对于抽像函数)()(00x x p x <=-Φ，课本中没有给出具体的表达式，但其几何意义非常明显，即由正态曲线N （0，1）、x 轴、直线0x x =所围成的图形的面积。
再由N （0，1）的曲线关于y 轴对称，可以得出等式)(1)(00x x Φ-=-Φ，以及标准正态总体在任一区间(a ，b)内取值概率)()(a b P Φ-Φ=。
3．一般正态分布与标准正态分布的转化由于一般的正态总体),(2σμN 其图像不一定关于y 轴对称，所以，研究其在某个区间),(21x x 的概率时，无法利用标准正态分布表进行计算。
这时我们自然会思考：能否将一般的正态总体),(2σμN 转化成标准的正态总体N （0，1）进行研究。
人们经过探究发现：对于任一正态总体),(2σμN ，其取值小于x 的概率)()(σμ-Φ=x x F 。
对于这个公式，课本中不加证明地给出，只用了“事实上，可以证明”这几个字说明。
这表明，对等式)()(σμ-Φ=x x F 的来由不作要求，只要会用它求正态总体),(2σμN 在某个特定区间的概率即可。
4．“小概率事件”和假设检验的基本思想“小概率事件”通常指发生的概率小于5%的事件，因为对于这类事件来说，在大量重复试验中，平均每试验20次，才能发生1次，所以认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的。
这种认识便是进行推断的出发点。
关于这一点我们要有以下两个方面的认识：一是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，因为试验次数多了，该事件当然是很可能发生的；二是当我们运用“小概率事件几乎不可能发生的原理”进行推断时，我们也有5%的犯错误的可能。
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第2章第2讲连续性随机变量正态分布
,x (,)
0)是参数，分别表示总体的平均数与标准差
,f( x )的图象称为正态曲线。
②曲线关于直线x=对称，且在x= 时位于最高点•
③当时X ，曲线上升；当时X ，曲线下降•并且当曲线向左、右两边无限延伸时，
以x轴为渐近线，向它无限靠近.
④当一定时，曲线的形状由确定. 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；
越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
⑤当b相同时，正态分布曲线的位置由期望值卩来决定.
⑥正态曲线下的总面积等于 1.
.3原则：
从上表看到，正态总体在( 2 , 2 ) 以外取值的概率只有4.6%,在
(3 , 3 )以外取值的概率只有0.3%由于这些概率很小，通常称这些情况发生为小
概率事件.也就是说，通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能发生的.68.27, 95.45.99.74考点：1、概率的求解
2、期望的求解
3、正态分布概念
.基本性质:
若概率密度曲线就是或近似地是函数
f(x)賦
——e
(x )2
2 2
的图像，其中解析式中的实数、(
则其分布叫正态分布记作：N(,)
.正态分布:
标准正态分布，均值为，方差为1
题型一【正态分布小题考察】
15•已知随机变量X服从正态分布N(0, 2)且P( 2< X < 0) 0.4则P(X 2) _______________
【题型二，大题训练】
22.(本小题满分12分)
某商场举行促销活动，有两个摸奖箱，A箱内有一个“ 1”号球、两个“ 2”号球、三个“3”号球、四个无号球，B箱内有五个“ 1”号球、五个“ 2”号球，每次摸奖后放回•消
费额满100元有一次A箱内摸奖机会，消费额满300元有一次B箱内摸奖机会，摸得有数字的球则中奖，“ 1”号球奖50元、“2”号球奖20元、“3”号球奖5元，摸得无号球则没有奖金.
(1)经统计，消费额X服从正态分布N(150, 625)，某天有1000位顾客，请估计消费额X(单位：元)在区间(100, 150］内并中奖的人数；
附：若X ~ N( , 2)，则P( X ) 0.6826 ,
P( 2 X 2 ) 0.9544 .
(2)某三位顾客各有一次A 箱内摸奖机会，求其中中奖人数的分布列；
(3)某顾客消费额为308元，有两种摸奖方法，方法一：三次A箱内摸奖机会；方法二：一次B箱内摸奖机会•请问：这位顾客选哪一种方法所得奖金的期望值较大.
「18.(本小题满分12分)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质
量指标值，由测量结果得如图所示的频率分布直方图:
(1) 求这500件产品质量指标值的样本平均数x
和样本方差s2(用频率估计概率，同一组中的数据用
该组区间的中点值作代表)；
(2) 由直方图可以认为，「这种产品的质量指标值
Z服从正态分布N(y,b 2)，其中卩近似为样
2 2
本平均数，6 近似为样本方差s .
(i)利用该正态分布，求P(187.8<Z<212.2)；
(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8 , 212.2)的产品件数，利用(i)的结果，求E (X) 附：.150 ~ 12.2. 若Z〜2），贝U p（卩—b <Z<u+b ）= 0.6826 ,
p（卩一2 6 <Z<y + 2 6 ）= 0.9544.
【综合训练】
19.（本小题满分12分）甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2、3、4,乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3,某人用左手从甲袋中取球，用右手从乙袋中取球•
（1）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；
（2）若一次在同一袋中取出两球，如果两球颜色相同则称这次取球获得成功。
某人第一次
左手先取两球，第二次右手再取两球，记两次取球的获得成功的次数为随机变量X，求X 的分布列和数学期望•
★★★ 1.（本小题满分12分）某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可以继续参加科目B的考试。
每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均
合格方可获得该项合格证书，现在某同学将要参加这项考试，已知他每次考科目A成绩合
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格的概率均为-，每次考科目B成绩合格的概率均为丄。
假设他在这项考试中不放弃所有
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的考试机会，且每次的考试成绩互不影响，记他参加考试的次数为X。
（1）求X的分布列和均值；
（2）求该同学在这项考试中获得合格证书的概率。
★★★ 2 （本小题满分12分）
济南市有大明湖、趵突泉、千佛山、园博园4个旅游景点，一位客人浏览这四个景点的
概率分别是0.3 , 0.4 , 0.5 , 0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值。
（1 ）求=0对应的事件的概率；（2）求的分布列及数学期望。
★★★ 3.袋子中装有8个黑球，2个红球，这些球只有颜色上的区别。
（1）随机从中取出2个球，表示其中红球的个数，求的分布列及均值。
（2）现在规定一种有奖摸球游戏如下：每次取球一个，取后不放回，取到黑球有奖，
第一个奖100元，第二个奖200元，…，第k个奖k 100元，取到红球则要罚去前期所有奖金并结束取球，按照这种规则，取球多少次比较适宜？说明理由。