2015-2016学年辽宁省营口市大石桥一中九年级上学期期中数学试卷与解析

2015-2016学年辽宁省营口市大石桥一中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．（3分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）下列函数不属于二次函数的是（）A．y=（x﹣1）（x+2）B．y=（x+1）2C．y=2（x+3）2﹣2x2D．y=1﹣x23．（3分）半径等于12的圆中，垂直平分半径的弦长为（）A．B．C．D．4．（3分）已知二次函数y=kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k＞﹣B．k≥﹣C．k≥﹣且k≠0 D．k＞﹣且k≠05．（3分）如图，某农场有一块长40m，宽32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140m2，求小路的宽．设小路的宽为x，则可列方程为（）A．（40﹣2x）（32﹣x）=1140 B．（40﹣x）（32﹣x）=1140C．（40﹣x）（32﹣2x）=1140 D．（40﹣2x）（32﹣2x）=11406．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，O是AB边上一点，⊙O与AC、BC都相切．若BC=6，AC=8，则⊙O的半径为（）A．B．4 C．5 D．27．（3分）已知一元二次方程2x2+x﹣5=0的两根分别是x1，x2，则x12+x22的值是（）A．B．﹣ C．﹣D．8．（3分）如图，以等腰直角△ABC两锐角顶点A、B为圆心作等圆，⊙A与⊙B 恰好外切，若AC=2，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（）A．B．C．D．9．（3分）把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=12，DC=14，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长为（）A．6 B．10 C．8 D．10．（3分）小轩从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c＞0；⑤．你认为其中正确信息的个数有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个二、填空题（每题3分，共24分）11．（3分）已知x=5是关于x的方程x2﹣6x+k=0的一个根，则k=．12．（3分）把抛物线y=（x+1）2向下平移4个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是．13．（3分）一个圆锥的冰淇淋纸筒，其底面直径为12cm，母线长为5cm，围成这样的冰淇淋纸筒所需纸片的面积为cm2．14．（3分）若抛物线y=x2﹣5x﹣6与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为．15．（3分）在半径为10的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长16，另一条弦长为12，则这两条弦之间的距离为．16．（3分）已知m，n为方程x2+2x﹣1=0的两个实数根，则m2﹣2n+2016=．17．（3分）一条弦把圆分成1：5两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是．18．（3分）如图所示，在直角坐标系中，点A（0，9），点P（4，6），将△AOP 绕点O顺时针方向旋转，使OA边落在x轴上，则PP′=．三、解答题（共96分）19．（10分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x是方程3x2﹣x﹣1=0的根．20．（10分）如图，在正方形网格中，△ABC各顶点都在格点上，点A，C的坐标分别为（﹣5，1）、（﹣1，4），结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2；（3）点C1的坐标是；点C2的坐标是；（4）试判断：△A1B1C1与△A2B2C2是否关于x轴对称？（只需写出判断结果）．21．（12分）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是的中点，弦CM⊥AB于点F，连接AD，交CF于点P，连接BC，∠DAB=30°．（1）求∠ABC的度数；（2）若CM=8，求长度（结果保留π）．22．（12分）满洲里市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元，请问哪种方案更优惠？23．（12分）如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作直线DE 垂直BC于F，且交BA的延长线于点E．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若AB=4AD，⊙O的半径为12，求线段CD的长．24．（12分）已知某型汽车在干燥的路面上，汽车停止行驶所需的刹车距离与刹车时的车速之间有下表所示的对应关系．（1）请你以汽车刹车时的车速V为自变量，刹车距离s为函数，在图所示的坐标系中描点连线，画出函数的图象；（2）观察所画的函数的图象，你发现了什么？（3）若把这个函数的图象看成是一条抛物线，请根据表中所给的数据，选择三对，求出它的函数关系式；（4）用你留下的两对数据，验证一个你所得到的结论是否正确．25．（14分）如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF．现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，旋转角为a．（1）当点D′恰好落在EF边上时，求旋转角a的值；（2）如图2，G为BC中点，且0°＜a＜90°，求证：GD′=E′D；（3）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，△DCD′与△CBD′能否全等？若能，直接写出旋转角a的值；若不能说明理由．26．（14分）已知，如图抛物线y=ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC=4OB．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2015-2016学年辽宁省营口市大石桥一中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共30分）1．（3分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确．故选：D．2．（3分）下列函数不属于二次函数的是（）A．y=（x﹣1）（x+2）B．y=（x+1）2C．y=2（x+3）2﹣2x2D．y=1﹣x2【解答】解：把每一个函数式整理为一般形式，A、y=（x﹣1）（x+2）=x2+x﹣2，是二次函数，故A不符合题意；B、y=（x+1）2=x2+x+，是二次函数，故B不符合题意；C、y=2（x+3）2﹣2x2=12x+18，是一次函数，故C符合题意；D、y=1﹣x2=﹣x2+1，是二次函数，故D不符合题意．故选：C．3．（3分）半径等于12的圆中，垂直平分半径的弦长为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，OA=12，则OC=6，根据勾股定理可得，弦的一半==6，∴弦=12．故选：B．4．（3分）已知二次函数y=kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k＞﹣B．k≥﹣C．k≥﹣且k≠0 D．k＞﹣且k≠0【解答】解：∵二次函数y=kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点，∴，∴k≥﹣且k≠0．故选：C．5．（3分）如图，某农场有一块长40m，宽32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140m2，求小路的宽．设小路的宽为x，则可列方程为（）A．（40﹣2x）（32﹣x）=1140 B．（40﹣x）（32﹣x）=1140C．（40﹣x）（32﹣2x）=1140 D．（40﹣2x）（32﹣2x）=1140【解答】解：设小路的宽为xm，依题意有（40﹣x）（32﹣x）=1140，故选：B．6．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，O是AB边上一点，⊙O与AC、BC都相切．若BC=6，AC=8，则⊙O的半径为（）A．B．4 C．5 D．2【解答】解：作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，如图，设⊙O的半径为r，∵⊙O与AC、BC都相切，∴OD=OE=r，而∠C=90°，∴四边形ODCE为正方形，∴CD=OD=r，∵OD∥BC，∴△ADO∽△ACB，∴=，即=，解得r=，即⊙O的半径为．故选：A．7．（3分）已知一元二次方程2x2+x﹣5=0的两根分别是x1，x2，则x12+x22的值是（）A．B．﹣ C．﹣D．【解答】解：根据题意得x1+x2=﹣，x1x2=﹣，所以x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（﹣）2﹣2×（﹣）=．故选：D．8．（3分）如图，以等腰直角△ABC两锐角顶点A、B为圆心作等圆，⊙A与⊙B 恰好外切，若AC=2，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（）A．B．C．D．【解答】解：∵AC=2，△ABC是等腰直角三角形，∴AB=2，∵⊙A与⊙B恰好外切且是等圆，∴两个扇形（即阴影部分）的面积之和=+==πR2=．故选：B．9．（3分）把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=12，DC=14，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长为（）A．6 B．10 C．8 D．【解答】解：∵∠ACB=∠DEC=90°，∠D=30°，∴∠DCE=90°﹣30°=60°，∴∠ACD=90°﹣60°=30°，∵旋转角为15°，∴∠ACD1=30°+15°=45°，又∵∠A=45°，∴△ACO是等腰直角三角形，∴AO=CO=AB=×12=6，AB⊥CO，∵DC=14，∴D1C=DC=14，∴D1O=14﹣6=8，在Rt△AOD1中，AD1===10．故选：B．10．（3分）小轩从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c＞0；⑤．你认为其中正确信息的个数有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解答】解：①如图，∵抛物线开口方向向下，∴a＜0．∵对称轴x=﹣=﹣，∴b=a＜0，∴ab＞0．故①正确；②如图，当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0．故②正确；③如图，当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，∴2a﹣2b+2c＞0，即3b﹣2b+2c＞0，∴b+2c＞0．故③正确；④如图，当x=﹣时，y＞0，即a﹣b+c＞0．∴a﹣2b+4c＞0，故④正确；⑤如图，对称轴x=﹣=﹣，则．故⑤正确．综上所述，正确的结论是①②③④⑤，共5个．故选：D．二、填空题（每题3分，共24分）11．（3分）已知x=5是关于x的方程x2﹣6x+k=0的一个根，则k=5．【解答】解：根据题意，得25﹣5×6+k=0，即k﹣5=0，解得，k=5．故答案是：5．12．（3分）把抛物线y=（x+1）2向下平移4个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是y=x2﹣4．【解答】解：抛物线y=（x+1）2向下平移4个单位，得：y=（x+1）2﹣4；再向右平移1个单位，得：y=（x+1﹣1）2﹣4．即：y=x2﹣4．故答案是：y=x2﹣4．13．（3分）一个圆锥的冰淇淋纸筒，其底面直径为12cm，母线长为5cm，围成这样的冰淇淋纸筒所需纸片的面积为30πcm2．【解答】解：围成这样的冰淇淋纸筒所需纸片的面积=×12π×5=30πcm2．故答案为：30π．14．（3分）若抛物线y=x2﹣5x﹣6与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为7．【解答】解：∵y=x2﹣5x﹣6，∴y=0时，x2﹣5x﹣6=0．解得，x 1=﹣1，x2=6．∵抛物线y=x2﹣5x﹣6与x轴分别交于A、B两点，∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（6，0）．∴AB的长为：6﹣（﹣1）=7．故答案为：7．15．（3分）在半径为10的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长16，另一条弦长为12，则这两条弦之间的距离为14或2．【解答】解：有两种情况：①如图，当AB和CD在O的两旁时，过O作MN⊥AB于M，交CD于N，连接OB，OD，∵AB∥CD，∴MN⊥CD，由垂径定理得：BM=AB=8，DN=CD=6，∵OB=OD=10，由勾股定理得：OM==6，同理ON=8，∴MN=8+6=14，②当AB和CD在O的同旁时，MN=8﹣6=2，故答案为：14或2．16．（3分）已知m，n为方程x2+2x﹣1=0的两个实数根，则m2﹣2n+2016=2021．【解答】解：∵m是方程x2+2x﹣1=0的实数根，∴m2+2m﹣1=0，∴m2=﹣2m+1，∴m2﹣2n+2016=﹣2m+1﹣2n+2016=﹣2（m+n）+2017，∵m，n为方程x2﹣2x﹣1=0的两个实数根，∴m+n=﹣2，mn=﹣1，∴m2﹣2n+2016=﹣2×（﹣2）+2017=2021，故答案为：2021．17．（3分）一条弦把圆分成1：5两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是30°或150°．【解答】解：连接OA、OB，∵一条弦AB把圆分成1：5两部分，如图，∴弧AC′B的度数是×360°=60°，弧ACB的度数是360°﹣60°=300°，∴∠AOB=60°，∴∠ACB=∠AOB=30°，∴∠AC′B=180°﹣30°=150°，故答案为：30°或150°．18．（3分）如图所示，在直角坐标系中，点A（0，9），点P（4，6），将△AOP 绕点O顺时针方向旋转，使OA边落在x轴上，则PP′=2．【解答】解：∵点P的坐标为（4，6），∴OP==2，∵△AOP绕点O顺时针方向旋转，使OA边落在x轴上，∴∠POP′=∠AOA′=90°，OP′=OP，∴△OPP′为等腰直角三角形，∴PP′=OP=×2=2．故答案为2．三、解答题（共96分）19．（10分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x是方程3x2﹣x﹣1=0的根．【解答】解：原式=×=×=，∵3x2﹣x﹣1=0，∴x+1=3x2，∴原式==．20．（10分）如图，在正方形网格中，△ABC各顶点都在格点上，点A，C的坐标分别为（﹣5，1）、（﹣1，4），结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2；（3）点C1的坐标是（1，4）；点C2的坐标是（1，﹣4）；（4）试判断：△A1B1C1与△A2B2C2是否关于x轴对称？（只需写出判断结果）是．【解答】解：（1）如图所示；（2）如图所示；（3）由图可知，C1（1，4），C2（1，﹣4）．故答案为：（1，4），（1，﹣4）；（4）由图可知△A1B1C1与△A2B2C2关于x轴对称．故答案为：是．21．（12分）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是的中点，弦CM⊥AB于点F，连接AD，交CF于点P，连接BC，∠DAB=30°．（1）求∠ABC的度数；（2）若CM=8，求长度（结果保留π）．【解答】解：（1）如图，连接BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠DAB=30°，∴∠ABD=90°﹣30°=60°．∵C是的中点，∴∠ABC=∠DBC=∠ABD=30°．（2）如图，连接OC，则∠AOC=2∠ABC=60°，∵CM⊥直径AB于点F，∴CF=CM=4．∴在Rt△COF中，CO=CF=×4=8，∴的长度为=．22．（12分）满洲里市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元，请问哪种方案更优惠？【解答】解：（1）设平均每次降价的百分率是x，根据题意列方程得，5000（1﹣x）2=4050，解得：x1=10%，x2=1.9（不合题意，舍去）；答：平均每次降价的百分率为10%．（2）方案一的房款是：4050×100×0.98=396900（元）；方案二的房款是：4050×100﹣1.5×100×12×2=401400（元）∵396900元＜401400元．23．（12分）如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作直线DE 垂直BC于F，且交BA的延长线于点E．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若AB=4AD，⊙O的半径为12，求线段CD的长．【解答】解：（1）直线DE与⊙O相切；理由如下：连接BD、OD，如图所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即BD⊥AC，∵AB=BC，∴D为AC中点，又O是AB中点，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥BC，∴∠BFE=∠ODE，∵DE⊥BC，∴∠BFE=90°，∴∠ODE=90°，∴OD⊥DE，∴直线DE是⊙O的切线；（2）∵⊙O的半径为12，∴AB=24，∵AB=4AD，∴AD=6，由（1）知OD为△ABC的中位线，∴D为AC的中点，∴CD=AD，∴CD=6．24．（12分）已知某型汽车在干燥的路面上，汽车停止行驶所需的刹车距离与刹车时的车速之间有下表所示的对应关系．（1）请你以汽车刹车时的车速V为自变量，刹车距离s为函数，在图所示的坐标系中描点连线，画出函数的图象；（2）观察所画的函数的图象，你发现了什么？（3）若把这个函数的图象看成是一条抛物线，请根据表中所给的数据，选择三对，求出它的函数关系式；（4）用你留下的两对数据，验证一个你所得到的结论是否正确．【解答】解：（1）（2）图象可看成是一条抛物线这个函数可看作二次函数．（3）设所求函数关系式为：s=av2+bv+c，把v=48，s=22.5；v=64，s=36；v=96，s=72分别代入s=av2+bv+c，得，解得∴（4）当v=80时，∵s=52.5，∴当v=112时，∵s=94.5，∴经检验，所得结论是正确的．25．（14分）如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF．现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，旋转角为a．（1）当点D′恰好落在EF边上时，求旋转角a的值；（2）如图2，G为BC中点，且0°＜a＜90°，求证：GD′=E′D；（3）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，△DCD′与△CBD′能否全等？若能，直接写出旋转角a的值；若不能说明理由．【解答】（1）解：∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，∴CD′=CD=2，在Rt△CED′中，CD′=2，CE=1，∴∠CD′E=30°，∵CD∥EF，∴∠α=30°；（2）证明：∵G为BC中点，∴CG=1，∴CG=CE，∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，∴∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′=CG，∴∠GCD′=∠DCE′=90°+α，在△GCD′和△E′CD中，∴△GCD′≌△E′CD（SAS），∴GD′=E′D；（3）解：能．理由如下：∵四边形ABCD为正方形，∴CB=CD，∵CD=CD′，∴△BCD′与△DCD′为腰相等的两等腰三角形，当∠BCD′=∠DCD′时，△BCD′≌△DCD′，当△BCD′与△DCD′为钝角三角形时，则旋转角α==135°，当△BCD′与△DCD′为锐角三角形时，∠BCD′=∠DCD′=∠BCD=45°则α=360°﹣=315°，即旋转角a的值为135°或315°时，△BCD′与△DCD′全等．26．（14分）已知，如图抛物线y=ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC=4OB．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵OC=4OB，B（1，0），∴C（0，﹣4）．把点B，C的坐标代入y=ax2+3ax+c，得a+3a+c=0，c=﹣4，解得a=1，c=﹣4，∴抛物线线的解析式为：y=x2+3x﹣4；（2）如图1，过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M，N．∵抛物线线的解析式为y=x2+3x﹣4，∴A（﹣4，0），∴AB=5，∴S=S△ABC+S△ACD=AB×OC++×DM×（AN+ON）=10+×DM×（AN+ON）四边形ABCD=10+2DM，设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），∵A（﹣4，0），C（0，﹣4），∴，解得，故直线AC的解析式为：y=﹣x﹣4．令D（x，x2+3x﹣4），M（x，﹣x﹣4），则DM=﹣x﹣4﹣（x2+3x﹣4）=﹣（x+2）2+4，当x=﹣2时，DM有最大值4，此时四边形ABCD面积有最大值为18；另解：连接OD令D（x，x2+3x﹣4），∵A（﹣4，0），B（1，0），C（0，﹣4），=S△OBC+S△AOD+S△OCD∴S四边形ABCD=OB•OC+OA•|x2+3x﹣4|+OC|x|=×1×4﹣×4×（x2+3x﹣4）﹣×4x=﹣（x+2）2+18，∴当x=﹣2时，此时四边形ABCD面积有最大值为18；（3）①如图2，过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x 轴于点E1，此时四边形ACP1E1为平行四边形．∵C（0，﹣4），令x2+3x﹣4=﹣4，∴x=0或x=﹣3．∴P1（﹣3，﹣4）．②如图3，平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC=PE时，四边形ACEP为平行四边形，∵C（0，﹣4），∴可令P（x，4），由x2+3x﹣4=4，得x2+3x﹣8=0．解得x=﹣3+或x=﹣3﹣．此时存在点P2（﹣3+，4）和P3（﹣3﹣，4）综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是P1（﹣3，﹣4），P2（﹣3+，4），P3（﹣3﹣，4）．。