1.1.2 弧度制2 课件(人教A版必修4)
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高中数学人教A版必修4课件：1.1.2弧度制
180
答案: 5 r ad
8
r5 a d.
8
(2)因为1rad=( 1 8 0 °),
所以- 5 rad=-( 5 ×
12
12
答案:-75°
)°1=8 0-75°.
2.(1) 1 π9 =6π+ .
3
3
(2)-315°=- 7 = -2π+ .
4
4
【方法技巧】进行角度制与弧度制的互化的原则和
{|2n， nZ} {| （ 2n1） ， nZ}
4
4
{|k， kZ}. 4
2.(1)以OA为终边的角为 +2kπ(k∈Z);以OB为终边
6
的角为- 2 +2kπ(k∈Z).所以阴影部分(不包括边界)
3
内的角的集合为 { |－ 2 ＋ 2 k ＋ 2 k ， k Z } .
【解析】所求角的集合为
{ |2 k 2 k ＋ 或 2 k ＋ 2 2 k ＋ ， k Z } ． 33
2.若将本例2中变成如图所示的图形,写出终边落在阴 影部分(不包括边界)内的角的集合.
【解析】30°= ,150°= . 5
【解析】(1)330°和60°的终边分别对应 － 和 ，
63
所表示的区域位于 － 与之间且跨越x轴的正半轴,
63
所以终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合为
{ |2 k － 2 k ＋ ， k Z } ．
6
3
(2)210°和135°的终边分别对应 － 5 所和 表3，示的
弧长为l,半径为r,
l＋ 2 r＝10， ①
答案: 5 r ad
8
r5 a d.
8
(2)因为1rad=( 1 8 0 °),
所以- 5 rad=-( 5 ×
12
12
答案:-75°
)°1=8 0-75°.
2.(1) 1 π9 =6π+ .
3
3
(2)-315°=- 7 = -2π+ .
4
4
【方法技巧】进行角度制与弧度制的互化的原则和
{|2n， nZ} {| （ 2n1） ， nZ}
4
4
{|k， kZ}. 4
2.(1)以OA为终边的角为 +2kπ(k∈Z);以OB为终边
6
的角为- 2 +2kπ(k∈Z).所以阴影部分(不包括边界)
3
内的角的集合为 { |－ 2 ＋ 2 k ＋ 2 k ， k Z } .
【解析】所求角的集合为
{ |2 k 2 k ＋ 或 2 k ＋ 2 2 k ＋ ， k Z } ． 33
2.若将本例2中变成如图所示的图形,写出终边落在阴 影部分(不包括边界)内的角的集合.
【解析】30°= ,150°= . 5
【解析】(1)330°和60°的终边分别对应 － 和 ，
63
所表示的区域位于 － 与之间且跨越x轴的正半轴,
63
所以终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合为
{ |2 k － 2 k ＋ ， k Z } ．
6
3
(2)210°和135°的终边分别对应 － 5 所和 表3，示的
弧长为l,半径为r,
l＋ 2 r＝10， ①
高中数学人教A版必修四1.1.2教学课件《弧度制》
(1)将 α 改写成 β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出 α 是第
几象限的角； (2)在[－5π，0)内找出与 α 终边相同的角。
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【解析】
(1)2
005°＝2
π 005×180
401π rad＝ 36
rad＝5×2π＋4316π
41π 3π rad，又 π< 36 < 2 ，
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化解疑难
1.正确理解弧度与角度的概念 区 (1)定义不同； 别 (2)单位不同：弧度制以“弧度”为单位，角度制以“度”为单位
(1)不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无 联
关的值； 系
(2)“弧度”与“角度”之间可以相互转化 2.角度制与弧度制换算公式的理解 (1)弧度制、角度制都是角的度量制，它们之间可以进行换算。 (2)用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量度相同(都是 0)；用角度制和弧度制 度量任一非零角，单位不同，量度也不同。
(4)如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l，那么， l
角 α 的弧度数的绝对值是|α|＝r
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3．角度制与弧度制的换算
角度化弧度
弧度化角度
360°＝2πrad
2π rad＝360°
180°＝πrad
π rad＝180°
π 1°＝180 rad≈0.017 45 rad
【例 1】 把下列角度化成弧度或弧度化成角度： 2π
(1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－ 9 .
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π 2π
π 5π
【解析】 (1)72°＝72×180＝ 5 ； (2)－300°＝－300×180＝－ 3 ；
几象限的角； (2)在[－5π，0)内找出与 α 终边相同的角。
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【解析】
(1)2
005°＝2
π 005×180
401π rad＝ 36
rad＝5×2π＋4316π
41π 3π rad，又 π< 36 < 2 ，
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化解疑难
1.正确理解弧度与角度的概念 区 (1)定义不同； 别 (2)单位不同：弧度制以“弧度”为单位，角度制以“度”为单位
(1)不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无 联
关的值； 系
(2)“弧度”与“角度”之间可以相互转化 2.角度制与弧度制换算公式的理解 (1)弧度制、角度制都是角的度量制，它们之间可以进行换算。 (2)用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量度相同(都是 0)；用角度制和弧度制 度量任一非零角，单位不同，量度也不同。
(4)如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l，那么， l
角 α 的弧度数的绝对值是|α|＝r
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3．角度制与弧度制的换算
角度化弧度
弧度化角度
360°＝2πrad
2π rad＝360°
180°＝πrad
π rad＝180°
π 1°＝180 rad≈0.017 45 rad
【例 1】 把下列角度化成弧度或弧度化成角度： 2π
(1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－ 9 .
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π 2π
π 5π
【解析】 (1)72°＝72×180＝ 5 ； (2)－300°＝－300×180＝－ 3 ；
高中数学人教A版必修4课件：1.1.2弧度制
(2)将下列各弧度角化为角度：①－51π2 rad；②139π.
思路点拨：
解：(1)①∵1°＝1π80 rad， ∴112°30′＝1π80×112.5 rad＝58π rad. ②－315°＝－315×1π80＝－74π. (2)①∵1 rad＝1π80°， ∴－51π2 rad＝－51π2×1π80°＝－75°. ②139π＝139π×1π80°＝1 140°.
(2) 的面积．
思路点拨：(1) 设出圆心角为θ → 建方程组 → 解方程组得解 (2) 化度为弧度 → 求弧长 → 求扇形面积
解：(1)设扇形圆心角的弧度数为 θ(0＜θ＜2π)，弧长为 l， 半径为 r，
依题意有
l＋2r＝10，
①
12lr＝4.
进行角度制与弧度制的互化的策略以及注意点 (1)原则：牢记 180°＝π rad，充分利用 1°＝1π80 rad 和 1 rad ＝1π80°进行换算． (2)方法：设一个角的弧度数为 α，角度数为 n，则 α rad＝α·1π80°；n°＝n·1π80.
(3)注意点 ①用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad” 可以省略不写． ②用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π 的形式，如无特别要求，不必把π写成小数． ③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．
3.解析弧度制下弧长公式、扇形的面积公式 在弧度制下，弧长公式和扇形的面积公式分别为： l＝|α|R，S＝12lR＝12|α|R2(其中 α 为圆心角的弧度数，R 为扇 形的半径)． 要把握好上述公式，需注意以下三个方面： (1)由上述公式可知，由 α、l、R、S 中的两个量可以求出 另外的两个量，即“知二求二”．
【即时演练】
－247π 是第________象限的角． 解析：∵－247π＝－6π－34π，而－34π 是第三象限的角， ∴－247π 是第三象限的角． 答案：三
思路点拨：
解：(1)①∵1°＝1π80 rad， ∴112°30′＝1π80×112.5 rad＝58π rad. ②－315°＝－315×1π80＝－74π. (2)①∵1 rad＝1π80°， ∴－51π2 rad＝－51π2×1π80°＝－75°. ②139π＝139π×1π80°＝1 140°.
(2) 的面积．
思路点拨：(1) 设出圆心角为θ → 建方程组 → 解方程组得解 (2) 化度为弧度 → 求弧长 → 求扇形面积
解：(1)设扇形圆心角的弧度数为 θ(0＜θ＜2π)，弧长为 l， 半径为 r，
依题意有
l＋2r＝10，
①
12lr＝4.
进行角度制与弧度制的互化的策略以及注意点 (1)原则：牢记 180°＝π rad，充分利用 1°＝1π80 rad 和 1 rad ＝1π80°进行换算． (2)方法：设一个角的弧度数为 α，角度数为 n，则 α rad＝α·1π80°；n°＝n·1π80.
(3)注意点 ①用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad” 可以省略不写． ②用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π 的形式，如无特别要求，不必把π写成小数． ③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．
3.解析弧度制下弧长公式、扇形的面积公式 在弧度制下，弧长公式和扇形的面积公式分别为： l＝|α|R，S＝12lR＝12|α|R2(其中 α 为圆心角的弧度数，R 为扇 形的半径)． 要把握好上述公式，需注意以下三个方面： (1)由上述公式可知，由 α、l、R、S 中的两个量可以求出 另外的两个量，即“知二求二”．
【即时演练】
－247π 是第________象限的角． 解析：∵－247π＝－6π－34π，而－34π 是第三象限的角， ∴－247π 是第三象限的角． 答案：三
高中数学必修四1.1.2弧度制课件人教A版
-6-
1.1.2
1 2AOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
(4)角的概念推广后,在弧度制下,角的集合与实数集R之间建立起 一一对应的关系:每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度 数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等 于这个实数的角)与它对应.
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
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D典例透析
IANLI TOUXI
3.弧度制与角度制的换算 π (1)角度转化为弧度:360° =2π rad,180° =π rad,1° = rad ≈0.017 180 45 rad. (2)弧度转化为角度:2π rad=360° ,π rad=180° ,1 rad=
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
1.用弧度制表示象限角与终边在坐标轴上的角 剖析:(1)象限角的表示:
角 α 终边所在象限 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 集合 ������ x 2k������ < α < 2k������ + ,������∈Z 2 π ������ 2������π + < ������ < 2������π + π,������∈Z 2 3π ������ 2������π + π < ������ < 2������π + ,������∈Z 2 3π ������ 2������π + < ������ < 2������π + 2π,������∈Z 2
1.1.2
1 2AOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
(4)角的概念推广后,在弧度制下,角的集合与实数集R之间建立起 一一对应的关系:每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度 数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等 于这个实数的角)与它对应.
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
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D典例透析
IANLI TOUXI
3.弧度制与角度制的换算 π (1)角度转化为弧度:360° =2π rad,180° =π rad,1° = rad ≈0.017 180 45 rad. (2)弧度转化为角度:2π rad=360° ,π rad=180° ,1 rad=
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
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D典例透析
IANLI TOUXI
1.用弧度制表示象限角与终边在坐标轴上的角 剖析:(1)象限角的表示:
角 α 终边所在象限 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 集合 ������ x 2k������ < α < 2k������ + ,������∈Z 2 π ������ 2������π + < ������ < 2������π + π,������∈Z 2 3π ������ 2������π + π < ������ < 2������π + ,������∈Z 2 3π ������ 2������π + < ������ < 2������π + 2π,������∈Z 2
人教A版高中数学必修四《1.1.2弧度制》ppt课件.ppt
• 20、No man is happy who does not think himself so.——Publilius Syrus认为自己不幸福的人就不会幸福。2020年8月5日星期三11时1分19秒11:01:195 August 2020
• 21、The emperor treats talent as tools, using their strongpoint to his advantage. 君子用人如器，各取所长。上午11时1分19秒上午11时1分11:01:1920.8.5
3
．
1．什么叫1弧度角? 2.“角度制”与“弧度制”的联系与区别； 3．弧长公式与扇形面积公式．
把希望建筑在意欲和心愿上面的人们，二十 次中有十九次都会失望。
——大仲马
• 1、Genius only means hard-working all one's life. (Mendeleyer, Russian Chemist) 天才只意味着终身不懈的努力。20.8.58.5.202011:0311:03:10Aug-2011:03
• •
THE END 8、For man is man and master of his fate.----Tennyson人就是人，是自己命运的主人11:0311:03:108.5.2020Wednesday, August 5, 2020
9、When success comes in the door, it seems, love often goes out the window.-----Joyce Brothers成功来到门前时，爱情往往就走出了窗外。 11:038.5.202011:038.5.202011:0311:03:108.5.202011:038.5.2020
二年级【数学】1.1.2 弧度制(人教A版必修4)2---短篇版
在初中几何里，我们学习过角的度量， 1度的角是怎样定义的呢？
周角的 1 为1度的角。 360
这种用1º角作单位来度量角的制度叫做 角度制 ，今天我们来学习另一种在数学和其 他学科中常用的度量角的制度——弧度制。
1. 圆心角、弧长和半径之间的关系： 角是由射线绕它的端点旋转而成的，在旋
转的过程中射线上的点必然形成一条圆弧， 不同的点所形成的圆
S R2 n 1 R2
360 2
又 αR=l，所以
S 1 lR 2
证明2：因为圆心角为1 rad的扇形面积是
R2 1 R2 2 2
l
而弧长为l的扇形的圆心角的大小是 R rad.
所以它的面积是 S 1 lR 2
例2. 把
8
5
化成度。
解：1rad=
(180 )
8 8 (180) 55
57.30o
57o18 '
6. 用弧度制表示弧长及扇形面积公式：
① 弧长公式： l r
由公式： l l r
r
比公式
l nr
180
简单.
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）
的绝对值与半径的积.
② 扇形面积公式 S 1 lR 2
其中l是扇形弧长，R是圆的半径。
证明：设扇形所对的圆心角为nº(αrad)，则
例7. 已知一半径为R的扇形，它的周长等于 所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧 度？合多少度？扇形的面积是多少？
解：周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－1)R. 所以扇形的中心角是2(π－1) rad. 合( 360( 1) ) º
扇形面积是 ( 1)R2
② 平角、周角的弧度数： 平角= rad、周角=2 rad.
周角的 1 为1度的角。 360
这种用1º角作单位来度量角的制度叫做 角度制 ，今天我们来学习另一种在数学和其 他学科中常用的度量角的制度——弧度制。
1. 圆心角、弧长和半径之间的关系： 角是由射线绕它的端点旋转而成的，在旋
转的过程中射线上的点必然形成一条圆弧， 不同的点所形成的圆
S R2 n 1 R2
360 2
又 αR=l，所以
S 1 lR 2
证明2：因为圆心角为1 rad的扇形面积是
R2 1 R2 2 2
l
而弧长为l的扇形的圆心角的大小是 R rad.
所以它的面积是 S 1 lR 2
例2. 把
8
5
化成度。
解：1rad=
(180 )
8 8 (180) 55
57.30o
57o18 '
6. 用弧度制表示弧长及扇形面积公式：
① 弧长公式： l r
由公式： l l r
r
比公式
l nr
180
简单.
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）
的绝对值与半径的积.
② 扇形面积公式 S 1 lR 2
其中l是扇形弧长，R是圆的半径。
证明：设扇形所对的圆心角为nº(αrad)，则
例7. 已知一半径为R的扇形，它的周长等于 所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧 度？合多少度？扇形的面积是多少？
解：周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－1)R. 所以扇形的中心角是2(π－1) rad. 合( 360( 1) ) º
扇形面积是 ( 1)R2
② 平角、周角的弧度数： 平角= rad、周角=2 rad.
《红对勾》2015-2016学年人教A版高中数学必修4课件1-1-2弧度制
l 么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝ r .
3．角α＝6这种表达方式正确吗？ 答：正确．角α＝6表示6弧度的角，这里将“弧度”省 去了．
角度与弧度的互化
4．在同一个式子中，角度制与弧度制能否混用？为什 么？
答：角度制和弧度制是表示角的两种不同的度量方 法，两者有着本质的不同，因此在同一个表达式中不能出 现两种度量方法的混用，如α＝2kπ＋30°，k∈Z是不正确的 写法，应写成α＝2kπ＋6π，k∈Z.
扇形的弧长和面积的计算
【例 3】 已知一扇形的周长为 8 cm，当它的半径 和圆心角取什么值时，扇形的面积最大？并求出最大面 积．
【分析】 (1)用哪些量表达扇形的周长？(半径和弧 长)
(2)扇形的面积公式是什么？能否用半径表示？(S＝ 12lr，能)
(3)如何求扇形面积的最大值？(利用二次函数)
答：随着半径的变化，弧长也在变化，但对于一定大 小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与 半径的大小无关．
任意角的弧度数与实数的对应关系
(1)正角：正角的弧度数是一个 正数 (2)负角：负角的弧度数是一个 负数 (3)零角：零角的弧度数是 0 . (4)如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那
角度制与弧度制的互化
【例 2】 设 α1＝510°，α2＝－750°，β1＝45π，β2＝ －161π.
(1)将 α1，α2 用弧度表示出来，并指出它们各自终边 所在的象限；
(2)将 β1，β2 用角度表示出来，并在[－360°，360°) 内找出与它们终边相同的所有的角．
【分析】 首先利用 1°＝18π0rad 可将角度化成弧度，利 用 1rad＝18π0°可将弧度化成角度，然后再根据要求指出 α1， α2 终边所在的象限，与 β1，β2 终边相同且在[－360°，360°) 内的角．
3．角α＝6这种表达方式正确吗？ 答：正确．角α＝6表示6弧度的角，这里将“弧度”省 去了．
角度与弧度的互化
4．在同一个式子中，角度制与弧度制能否混用？为什 么？
答：角度制和弧度制是表示角的两种不同的度量方 法，两者有着本质的不同，因此在同一个表达式中不能出 现两种度量方法的混用，如α＝2kπ＋30°，k∈Z是不正确的 写法，应写成α＝2kπ＋6π，k∈Z.
扇形的弧长和面积的计算
【例 3】 已知一扇形的周长为 8 cm，当它的半径 和圆心角取什么值时，扇形的面积最大？并求出最大面 积．
【分析】 (1)用哪些量表达扇形的周长？(半径和弧 长)
(2)扇形的面积公式是什么？能否用半径表示？(S＝ 12lr，能)
(3)如何求扇形面积的最大值？(利用二次函数)
答：随着半径的变化，弧长也在变化，但对于一定大 小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与 半径的大小无关．
任意角的弧度数与实数的对应关系
(1)正角：正角的弧度数是一个 正数 (2)负角：负角的弧度数是一个 负数 (3)零角：零角的弧度数是 0 . (4)如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那
角度制与弧度制的互化
【例 2】 设 α1＝510°，α2＝－750°，β1＝45π，β2＝ －161π.
(1)将 α1，α2 用弧度表示出来，并指出它们各自终边 所在的象限；
(2)将 β1，β2 用角度表示出来，并在[－360°，360°) 内找出与它们终边相同的所有的角．
【分析】 首先利用 1°＝18π0rad 可将角度化成弧度，利 用 1rad＝18π0°可将弧度化成角度，然后再根据要求指出 α1， α2 终边所在的象限，与 β1，β2 终边相同且在[－360°，360°) 内的角．
高中数学必修四 第1章 三角函数课件 1.1.2 弧度制
高中数学 必修四
第一章 三角函数
1.1.2 弧度制
【教学目标】 1．了解角的另外一种度量方法——弧度制． 2．能进行弧度与角度的互化． 3．掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式． 【重难点】 1．对弧度制概念的理解．(难点) 2．弧度制与角度制的互化．(重点、易错点)
新知导学
1．度量角的单位制 (1)角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定 1 度的角等 1 于周角的 360 . (2)弧度制 ①弧度制的定义
[思路探索] 本题主要考查角度与弧度的换算，直接套用角度与 弧度的换算公式，即度数×1π80＝弧度数，弧度数×1π80°＝度 数．
解 (1)20°＝2108π0＝π9. (2)－15°＝－11850π＝－1π2. (3)71π2＝172×180°＝105°. (4)－115π＝－151×180°＝－396°.
Ⅱ
α2kπ＋π2<α<2kπ＋π，k∈Z
Ⅲ
α2kπ＋π<α<2kπ＋32π，k∈2π<α<2kπ＋2π，k∈Z
类型一 角度制与弧度制的换算 【例 1】 将下列角度与弧度进行互化．
(1)20°；(2)－15°；(3)71π2；(4)－115π.
解 (1)－1 500°＝－1 500×1π80＝－253π＝－10π＋53π. ∵53π是第四象限角，∴－1 500°是第四角限角． (2)∵25π＝25×180°＝72°，∴终边与角25π相同的角为 θ＝72°＋ k·360°(k∈Z)，当 k＝0 时，θ＝72°；当 k＝1 时，θ＝432°， ∴在 0°～720°范围内，与25π角终边相同的角为 72°，432°. [规律方法] 用弧度制表示终边相同的角 2kπ＋α(k∈Z)时，其 中 2kπ 是 π 的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度 制不能混用．
第一章 三角函数
1.1.2 弧度制
【教学目标】 1．了解角的另外一种度量方法——弧度制． 2．能进行弧度与角度的互化． 3．掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式． 【重难点】 1．对弧度制概念的理解．(难点) 2．弧度制与角度制的互化．(重点、易错点)
新知导学
1．度量角的单位制 (1)角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定 1 度的角等 1 于周角的 360 . (2)弧度制 ①弧度制的定义
[思路探索] 本题主要考查角度与弧度的换算，直接套用角度与 弧度的换算公式，即度数×1π80＝弧度数，弧度数×1π80°＝度 数．
解 (1)20°＝2108π0＝π9. (2)－15°＝－11850π＝－1π2. (3)71π2＝172×180°＝105°. (4)－115π＝－151×180°＝－396°.
Ⅱ
α2kπ＋π2<α<2kπ＋π，k∈Z
Ⅲ
α2kπ＋π<α<2kπ＋32π，k∈2π<α<2kπ＋2π，k∈Z
类型一 角度制与弧度制的换算 【例 1】 将下列角度与弧度进行互化．
(1)20°；(2)－15°；(3)71π2；(4)－115π.
解 (1)－1 500°＝－1 500×1π80＝－253π＝－10π＋53π. ∵53π是第四象限角，∴－1 500°是第四角限角． (2)∵25π＝25×180°＝72°，∴终边与角25π相同的角为 θ＝72°＋ k·360°(k∈Z)，当 k＝0 时，θ＝72°；当 k＝1 时，θ＝432°， ∴在 0°～720°范围内，与25π角终边相同的角为 72°，432°. [规律方法] 用弧度制表示终边相同的角 2kπ＋α(k∈Z)时，其 中 2kπ 是 π 的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度 制不能混用．
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位制，角度制是以“度”为单位来度量角的
单位制；1弧度≠1º； （2）1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆
1 心角的大小，而1度是圆周 的所对的圆心 360
角的大小；
（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实
数表示，而角度制是六十进制；
（4）以弧度和度为单位的角，都是一个与 半径无关的定值。
l 4.公式： ， r
表示的是在半径为r的圆中，弧长为l的
弧所对的圆心角是α rad。
5. 弧度制与角度制的换算 ① 用角度制和弧度制度量角，零角既是0º 角，又是0 rad角，同一个非零角的度数和 弧度数是不同的. ② 平角、周角的弧度数：
平角= rad、周角=2 rad.
③ 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是 负数，零角的弧度数是0.
不同的点所形成的圆
弧的长度是不同的， 但都对应同一个圆心角。
AB AB =定值， r r
设α =nº， AB 弧长为l，半径OA为r，
2 r l 2 , n 则 l n ， 360 r 360 可以看出，等式右端不含
半径，表示弧长与半径的
比值跟半径无关，只与α的
l ④角的弧度数的绝对值: r
（l为弧长，r为半径）
⑤ ∵ 360=2 rad ，∴180= rad
∴ 1 =
180
rad 0.01745rad
180 1 rad 57.30 57 18'
6. 用弧度制表示弧长及扇形面积公式：
半径是50米，求 米）。
解：因为60º = 3 ,所以
3×50≈52.5 .
的长 ABl（精确到0.1
l=α· r=
AB 的长约为52.5米. 答：
例5. 在半径为R的圆中，240º的中心角所对的
弧长为
中心角等于
，面积为2R2的扇形的
弧度。
4 解：（1）240º = ，根据l=αR，得 3
解： （1）112º30′=112.5º，
1
180
0.0175
所以112º30′≈112.5×0.0175≈1.969rad. (2) 112º30′=112.5×
180
=
5 . 8
8 例2. 把 化成度。 5
解：1rad= (
180
)
8 8 180 ( ) 5 5
大小有关。
结论：可以用圆的半径作单位去度量角。
2.定义：
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧 度的角，弧度记作rad。这种以弧度为单位来 度量角的制度叫做弧度制。 注：今后在用弧度制表示角的时候，弧度二字 或rad可以略去不写。
3. 弧度制与角度制相比： (1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单
288
例3. 填写下表：
角度 弧度 角度 0° 30°
6
5 6
45°
4
60°
3
90°
2
0
120° 2
3
135° 150° 180° 210° 225° 240°
3 4
弧度
角度
π
弧度
270° 300° 315° 330° 360° 3
2
2π
例4. 扇形AOB中， ， AB 所对的圆心角是60º
2
又 αR=l，所以
1 S lR 2
证明2：因为圆心角为1 rad的扇形面积是
R2 1 2 R 2 2
l 而弧长为l的扇形的圆心角的大小是 R rad.
1 所以它的面积是 S lR 2
例1. （1) 把112º30′化成弧度(精确到0.001)；
（2）把112º30′化成弧度（用π 表示）。
① 弧长公式： l r
l 由公式： l r r
nr 比公式 l 简单. 180
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数） 的绝对值与半径的积.
1 ② 扇形面积公式 S lR 2
其中l是扇形弧长，R是圆的半径。 证明：设扇形所对的圆心角为nº (αrad)，则
n 1 2 S R R 360 2
5 合 36
例7. 已知一半径为R的扇形，它的周长等于
所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧 度？合多少度？扇形的面积是多少？ 解：周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－1)R. 所以扇形的中心角是2(π－1) rad. 合(
360( 1)
)º
2
扇形面积是 ( 1) R
在初中几何里，我们学习过角的度量，
1度的角是怎样定义的呢？
1 周角的 为1度的角。 360
这种用1º角作单位来度量角的制度叫做 角度制 ，今天我们来学习另一种在数学和其
他学科中常用的度量角的制度——弧度制。
1. 圆心角、弧长和半径之间的关系： 角是由射线绕它的端点旋转而成的，在旋 转的过程中射线上的点必然形成一条圆弧，
1 2 1 （2）根据S= lR= αR ，且S=2R2. 2 2
4 l R 3
所以 α=4.
例6.与角－1825º 的终边相同，且绝对值最小 的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。 解：－1825º =－5×360º －25º ， 所以与角－1825º 的终边相同，且绝对值 最小的角是－25º .