人教A版高中数学必修四《1.1.2弧度制》ppt课件.ppt
合集下载
高中数学 第一章 三角函数 1.1.2 弧度制课件 新人教A
(2)用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不 同，量数也不同。
角度与弧度间的换算
360 = 2rad 180 = rad
把角度换成弧度
1 = rad 0.01745rad
180
把弧度换成角度
1rad
=
180
57.30
=
5718'
例1 按照下列要求，把67°30′化成弧度。
解：∵
67o30
弧 度
0
64
3
2
2 3 5 346
பைடு நூலகம்
3 2
2
角 度
0 -30o -45o -60o -90o-120-o135-o150-o180o-270o-360o
弧 度
0
-
6
-
4
-
3
-
2
- 2
3
- 3
4
- 5
6
-
- 3
2
-2
终边相同的角的表示
（1）用角度表示 与终边相同的角可以表示为： k 360，k Z
=
135 2
o
∴ 67o30 = rad 135 = 3 rad
180 2 8
例2 把 4 rad化成度． 5
解： 4 rad = 4 180 = 144
5
5
角度制与弧度制互化时要抓住 180 =
弧度这个关键．
特殊角的弧度数
角 度
0 30 45 60 90 120135150180270 360
2k，k Z
它们构成一个集合：
S = | = k 360 , k Z
（2）用弧度表示
与终边相同的角可以表示为：
角度与弧度间的换算
360 = 2rad 180 = rad
把角度换成弧度
1 = rad 0.01745rad
180
把弧度换成角度
1rad
=
180
57.30
=
5718'
例1 按照下列要求，把67°30′化成弧度。
解：∵
67o30
弧 度
0
64
3
2
2 3 5 346
பைடு நூலகம்
3 2
2
角 度
0 -30o -45o -60o -90o-120-o135-o150-o180o-270o-360o
弧 度
0
-
6
-
4
-
3
-
2
- 2
3
- 3
4
- 5
6
-
- 3
2
-2
终边相同的角的表示
（1）用角度表示 与终边相同的角可以表示为： k 360，k Z
=
135 2
o
∴ 67o30 = rad 135 = 3 rad
180 2 8
例2 把 4 rad化成度． 5
解： 4 rad = 4 180 = 144
5
5
角度制与弧度制互化时要抓住 180 =
弧度这个关键．
特殊角的弧度数
角 度
0 30 45 60 90 120135150180270 360
2k，k Z
它们构成一个集合：
S = | = k 360 , k Z
（2）用弧度表示
与终边相同的角可以表示为：
高中数学必修4全册(人教A版)精品PPT课件
已知三角函数值，求角
一、基本概念：
1.角的概念的推广 （1）正角，负角和零角.用旋转的观点定义角， 并规定了旋转的正方向，就出现了正角，负角和 零角，这样角的大小就不再限于00到3600的范围.
（2）象限角和轴线角.象限角的前提是角的顶点与 直角坐标系中的坐标原点重合，始边与轴的非负半 轴重合，这样当角的终边在第几象限，就说这个角 是第几象限的角，若角的终边与坐标轴重合，这个 角不属于任一象限，这时也称该角为轴线角.
（3）终边相同的角，具有共同的绐边和终边的角 叫终边相同的角，所有与角终边相同的角（包含
角在内）的集合为. k 360, k Z
（4）角在“到”范围内，指.0 360
一、任意角的三角函数
1、角的概念的推广
的终边
y 的终边
正角
o
x 零角
负角
(,)
一、在直角坐标系内讨论角，角的顶点与 原点重合，角的始边 与 x轴的非负半轴重合。逆时针旋转为正，顺时针旋转为负。
三角函数
三角函数线
正弦函数 余弦函数 正切函数
sin=MP
正弦线MP cos=OM 余弦线OM tan=AT 正切线AT
y PT
-1
O
M A(1,0) x
注意：三角 函数线是有 向线段！
为第二象限角时
P
MO
为第一象限角时
P
OM
MP为角的正弦线,OM为角的余弦线
为第三象限角时
为第四象限角时
M
O
P
M
cos
tan
不存在
0
x
_0
-1
_o
y
+
1x
_
0
+o
2019-2020学年人教A版必修4 1.1.2 弧度制 课件(18张)
数学 必修4 A
(2)因为△AOB 是边长为 r 的正三角形， 所以 S△AOB＝ 43r2， S 扇形 OAB＝12|α|r2＝12×π3×r2＝π6r2， 所以 S 弓形＝S 扇形 OAB－S△AOB＝π6r2－ 43r2 ＝π6－ 43r2.
第一章 三角函数
数学 必修4 A
谢谢观看！
数学 必修4 A
第一章 三角函数
解析：选 D 由角度制和弧度制的定义，知 A，B，C 说法 正确．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径无关，故 D 说 法错误．故选 D.
数学 必修4 A
第一章 三角函数
2．(2019·山东青岛二中高一期中)－265π 是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．58π rad＝115°
解析：选 D
5 8π
rad＝58π×1π80°＝112.5°.故选
D.
数学 必修4 A
第一章 三角函数
4．把 67°3Biblioteka ′化成弧度为( 3πA. 8 17π
C. 45
) B．π4 D．6178π0
解析：选 A ∵67°30′＝1235°，∴67°30′＝1π80 rad×1235 ＝38π rad，故选 A.
θθ＝2kπ＋π3，k∈Z
.
数学 必修4 A
第一章 三角函数
(2)令－4π<2kπ＋π3<2π(k∈Z)， 则有－163<k<56. 又 k∈Z，∴k＝－2，－1,0. 故在(－4π，2π)内与 α 终边相同的角是－113π，－53π，π3.
数学 必修4 A
第一章 三角函数
(3)若角 β 与 α 终边相同，则 β＝2kπ＋π3(k∈Z)， ∴β2＝kπ＋π6(k∈Z)． 当 k 为偶数时，角β2为第一象限角； 当 k 为奇数时，角β2为第三象限角． ∴角β2是第一、三象限的角．
(2)因为△AOB 是边长为 r 的正三角形， 所以 S△AOB＝ 43r2， S 扇形 OAB＝12|α|r2＝12×π3×r2＝π6r2， 所以 S 弓形＝S 扇形 OAB－S△AOB＝π6r2－ 43r2 ＝π6－ 43r2.
第一章 三角函数
数学 必修4 A
谢谢观看！
数学 必修4 A
第一章 三角函数
解析：选 D 由角度制和弧度制的定义，知 A，B，C 说法 正确．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径无关，故 D 说 法错误．故选 D.
数学 必修4 A
第一章 三角函数
2．(2019·山东青岛二中高一期中)－265π 是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．58π rad＝115°
解析：选 D
5 8π
rad＝58π×1π80°＝112.5°.故选
D.
数学 必修4 A
第一章 三角函数
4．把 67°3Biblioteka ′化成弧度为( 3πA. 8 17π
C. 45
) B．π4 D．6178π0
解析：选 A ∵67°30′＝1235°，∴67°30′＝1π80 rad×1235 ＝38π rad，故选 A.
θθ＝2kπ＋π3，k∈Z
.
数学 必修4 A
第一章 三角函数
(2)令－4π<2kπ＋π3<2π(k∈Z)， 则有－163<k<56. 又 k∈Z，∴k＝－2，－1,0. 故在(－4π，2π)内与 α 终边相同的角是－113π，－53π，π3.
数学 必修4 A
第一章 三角函数
(3)若角 β 与 α 终边相同，则 β＝2kπ＋π3(k∈Z)， ∴β2＝kπ＋π6(k∈Z)． 当 k 为偶数时，角β2为第一象限角； 当 k 为奇数时，角β2为第三象限角． ∴角β2是第一、三象限的角．
高中数学《弧度制》课件
弧度数是实数，这将为我们今后用函数观点讨论涉及角的计算问题带来方便.利
用弧度制度量角还有一个重要的原因，就是它能简化许多公式.例如若α=n°时，
弧长计算公式是l=
n
r 180
.而根据弧度数的计算公式|α|=
l r
，若α=
x
rad时，得到弧
长的另一计算公式：l=|x|r.
一
弧度制
例 6 如图5.1-5，设扇形的圆心角α＝x，半径为r，弧长为l，扇形面积记为S.
360°的圆心角的弧长是2π，那么它对应的弧度数是2π rad；
180°的圆心角的弧长是π，那么它对应的弧度数是π rad；
90°的圆心角对应的弧度数是 rad；
2
1°的圆心角对应的弧度数是
180
rad.
一
弧度制
根据例3，我们可以得到角度制和弧度制之间的换算关系：
反过来有：
180°＝π rad， 1 = rad 0.01745rad.
（第7题）
二 习题5.1
8.如图，已知矩形ABCD截圆A所得的 BE 的长为2π，DE=7，求矩形在圆外 部分的面积.
（第8题）
二 习题5.1
9.已知弧长为60cm的扇形面积是240cm2，求： (1)扇形的半径； (2)扇形圆心角的弧度数．
温故而知新
10.当α是第二象限角时，试讨论 是哪个象限的角.
5.把下列各角从度化为弧度：
(1) 15°； (2) 36°； (3) －105°； (4) 145°.
6.把下列各角从弧度化为度：
(1)
2
；
10
(2) 3 ；
(3) －1.5；
2 (4) 5 .
二 习题5.1
1.1 任意角和弧度制 课件(34张PPT) 高中数学必修4(人教版A版)
圆心角为30°时
圆心角为60° 时
结论：圆心角不变则比值不变
比值的大小只与角度大小有关， 我们可以利用这个比值来度量 角，这就是度量角的另外一种 单位制——弧度制。
弧度制的定义
定义：长度等于半径 长的圆弧所对的圆心 角叫做弧度的角，用 符号1 rad表示，读 作1弧度。这种以弧 度为单位来度量角的 制度叫做弧度制。
3、终边相同的角
一般地，所有与角α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成一个集合
S { | k 360 , k Z}
0
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与 整数个周角的和. 注意：1 、α是任意的角（可以是正的，可以 是负的，也可以是0o） 2、k取整数
例l、在0°～360°范围内，找出与下列各角终 边相同的角，并判定它们是第几象限角： ①480° ② -150° ③ 665° ④-950° 解：① 480°=120°+1×360° 与120°的角终边相同，是第二象限角 ② -150°=210°+(-1)×360° 与210°的角终边相同，是第三象限角 ③ 665°=305°+360° 与305°的角终边相同，是第四象限角 ④ -950° =130°+(-3)×360° 与130°的角终边相同，是第二象限角
B' R B O A r L A'
l
即时问答：下列四个图中的圆心角的弧度数 分别是多少？
问题：
（1）若弧是一个半圆，圆心角所对的 弧度数是多少？若是一个圆呢？
（2）正角的弧度数是什么数？负角呢？ 零角呢？角的正负由什么决定？
角度制与弧度制不同之处
1.定义方式不同：弧度制是以“弧度”为单 位的度量角的单位制，角度制是以“度”为 单位来度量角的单位制；1°≠1 弧度； 2. 进位制不同：弧度制是十进制，而角度 制是六十进制.
2018-2019学年人教A版必修四第1章第2课时弧度制(一)课件(27张)
【思路分析】涉及角度与弧度的互化关系和终边相同的角
的概念，其基本公式180°＝π弧度在解题中起关键作用．
570 19 【规范解答】(1)∵－570° ＝－180π＝－ 6 π， 5π ∴α1＝ 6 ＋(－2)·2π，∴α1 在第二象限． π 同理，α2＝6＋2·2π，∴α2 在第一象限．
3 3 (2)∵5π＝5· 180° ＝108° ，设 θ＝108° ＋ k· 360° (k∈Z)，则由 23 3 －720° ≤θ<0° ，得－720° ≤108° ＋ k· 360° <0° ，∴－10≤k<－10. 又 k∈Z，k＝－2 或 k＝－1. 当 k＝－2 时，θ＝－612° ；当 k＝－1 时，θ＝－252° . ∴在－ 720° ～ 0° 之间与 β1 有相同终边的角是－ 612° 和－ 252° . 同理，β2＝－780° ＝－60° ＋(－2)· 360° ，在－720° ～0° 之间 与 β2 有相同终边的角是－420° 和－60° .
3．角度与弧度的换算 π (1)将角度化为弧度：360° ＝2π rad；180° ＝π rad；1° ＝180 rad≈0.017 453 rad. (2)将弧度化为角度： 2π rad＝360° ；π rad＝180° ；1 rad≈57.3° ＝57° 18′.
4．特殊角的弧度数
度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧 度 0 π 6 π 4 π 3 π 2 2π 3 3π 4 5π 6 π 3π 2 2π
当 α 用弧度制表示时，与 α 终边相同的角 β
的集合为 {β|β ＝ 2kπ ＋ α ， k∈Z} ，特别注意： 2kπ ， α 都是弧度 制的表示．
江苏省启东市高中数学 第一章 三角函数 1.1.2 弧度制讲义 新人教A版必修4
2、例题： （1）把 67 30化为弧度；
（2）把 3 化为角度；
5
(3)把下列特殊角化为弧度 数
度 00 3 0 0 4 5 0 6 0 0 9 0 0 1 2 0 0 1 3 5 0 1 5 0 0 1 8 0 0 2700 360 0
弧 度
0 6
43
2
2 3 5 3 2
0 x
5 4
练习 P10 1～6
五、作业 P10习题
4、6、7、8
r
1、角度制与弧度制：一一对应： 正角
2、求弧长： l
零角
R
负角
正实数 零
负实数
3、求扇形的面积：
1
S扇
2
lห้องสมุดไป่ตู้
r
S扇S圆 2
r2 1r2 1lr
2 2
2
1、系 ：
360 2 rad 180 rad
1 rad0.017r4a5d 1rad118800 57.30 5718
346
2
1、1） （ 把 14写 80成 2k（ kZ）的形0 式 ，
(2)若 4， 0，且 与1） （中 的终边相 . 同
2、（1）第三象限角的集合？ 为
4是第象限角？
3 4
y
（2）终边落在如图阴分影（部包括
边界）的角的集合是 ？
【新授】
初中 角的度量
角度制
高中 弧度制
r
r
弧度制
r
l R
| | l
r
正负
R
其中:1、l是以角作为圆心角时所对弧长的，r是半径；
2、正角的弧度数是一正个数，负角的弧度数是 一个负数，零角的弧数度是0；
高一数学必修4课件：1-1-2弧度制
第一章
1.1 1.1.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
3π 3 (2)β1＝ 5 ＝5×180° ＝108° ，设 θ＝k· ＋β1(k∈Z)， 360° 由－720° ≤θ<0° ，得－720° 360° ≤k· ＋108° ， <0° ∴k＝－2 或－1， ∴－720° ～0° 之间与 β1 有相同终边的角是：－612° 和－ π 252° 2＝－ ＝－60° ，β ， 3 设 γ＝k· －60° 360° (k∈Z)，则由－720° 360° ≤k· －60° ， <0° 从而 k＝－1 或 k＝0，因此在－720° ～0° 之间与 β2 有相同终边 的另一个角为－420° .
成才之路· 数学
人教A版 ·必修4
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
第一章
三角函数
第一章 三角函数
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
第一章
1．1 任意角和弧度制
第一章 三角函数
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
第一章
1．1.2 弧度制
第一章 三角函数
第一章
1.1 1.1.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
下列表述中正确的是(
)
A．一弧度是一度的圆心角所对的弧 B．一弧度是长度为半径的弧 C．一弧度是一度的弧与一度的角之和 D．一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小， 它是角的一种度量单位
[答案] D
第一章
1.1 1.1.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
第一章
1.1 1.1.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
• 20、No man is happy who does not think himself so.——Publilius Syrus认为自己不幸福的人就不会幸福。2020年8月5日星期三11时1分19秒11:01:195 August 2020
• 21、The emperor treats talent as tools, using their strongpoint to his advantage. 君子用人如器，各取所长。上午11时1分19秒上午11时1分11:01:1920.8.5
3
．
1．什么叫1弧度角? 2.“角度制”与“弧度制”的联系与区别； 3．弧长公式与扇形面积公式．
把希望建筑在意欲和心愿上面的人们，二十 次中有十九次都会失望。
——大仲马
• 1、Genius only means hard-working all one's life. (Mendeleyer, Russian Chemist) 天才只意味着终身不懈的努力。20.8.58.5.202011:0311:03:10Aug-2011:03
• •
THE END 8、For man is man and master of his fate.----Tennyson人就是人，是自己命运的主人11:0311:03:108.5.2020Wednesday, August 5, 2020
9、When success comes in the door, it seems, love often goes out the window.-----Joyce Brothers成功来到门前时，爱情往往就走出了窗外。 11:038.5.202011:038.5.202011:0311:03:108.5.202011:038.5.2020
• •
谢谢观看 12、Treat other people as you hope they will treat you.你希望别人如何对待你，你就如何对待别人。11时3分11时3分5-Aug-208.5.2020
13、To do whatever needs to be done to preserve this last and greatest bastion of freedom. (Ronald Reagan , American President ) 为了保住这最后的、最伟大的自由堡垒，我们必须尽我们所能。
• 18、There is no absolute success in the world, only constant progress.世界上的事没有绝对成功，只有不断的进步。2020年8月5日星期三上午11时1分19秒11:01:1920.8.5
• 19、 Nothing is more fatal to happiness than the remembrance of happiness. 没有什么比回忆幸福更令人痛苦的了。2020年8月上午11时1分20.8.511:01August 5, 2020
180
28
（2）利用计算器有
MODE MODE 2
67 。，,, 30 。，,, SHIFT DRG 1 =
1.178097245.因此，67°30′≈1.178 rad.
例2 将3.14rad换算成角度（用度数表示，精确到0.001).
例３．利用弧度制证明下列关于扇形的公式：
（1）l R;
• 10、Life is measured by thought and action, not by time. ——Lubbock 衡量生命的尺度是思想和行为，而不是时间。8.5.20208.5.202011:0311:0311:03:1011:03:10
• 11、To make a lasting marriage we have to overcome self-centeredness.要使婚姻长久，就需克服自我中心意识。Wednesday, August 5, 2020August 20Wednesday, August 5, 20208/5/2020
• 7、Although the world is full of suffering, it is full also of the overcoming of it.----Hellen Keller, American writer虽然世界多苦难，但是苦难总是能战胜的。20.8.520.8.520.8.5。2020年8月5日星期三二 〇二〇年八月五日
• 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。11:038.5.202011:038.5.202011:0311:03:108.5.202011:038.5.2020
1rad （ 180） °57.30°57°18
练习：根据度与弧度的换算关系，下表中各特殊角对应的 弧度数分别是多少？
度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧
度0
2 3
5
3 2
6 43 2 3 4 6
2
注意：用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常
1.1.2 弧度制
1．了解弧度制的概念; 2．能进行弧度与角度的互化； 3．会推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式.
演示： 分别以“米”和“尺”为单位,测量一根无刻度的
“尺子”.
结论： (1)同一个量可用不同的度量制度来度量; (2)不同的结果之间存在换算关系.
弧度制
每个小组发一个硬纸做成的圆形图片，一段细铁丝， 让学生测量在不同的圆中, 等于半径长的圆弧所对圆心 角，并观察所得到的结果有什么规律？
１．弧度的概念
我们把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧 度的角，记作1rad，读作1弧度. 约定： 正角的弧度数为正数，
负角的弧度数为负数， 零角的弧度数为0.
如果将半径为r圆的一条半径OA，绕圆心顺时针 旋转到OB，若弧AB长为2r，那么∠AOB的大小为多少弧 度？
-2rad.
弧长l的所对的圆心角的大小
3
D． 2π2 cm
3
3.将下列弧度转化为角度：
（1） = 15 °；（2）－ 7 = -157° 30 ′；
12
8
（3） 13 = 390 °；
6
4.将下列角度转化为弧度：
（1）36°=
．
7
（5rad）；（2）－105°= 1 2 （rad）；
5
（3）37°30′= 2 4 （rad）；
5.将分针拨快 10 分钟，则分针转过的弧度数是
思考：在弧度制下，与角α终边相同的角如何表示？ 终边 在坐标轴上的角如何表示？
2k， k Z 终边x轴上： =k， kZ
终边y轴上：=2k，kZ
例1 按照下列要求，把67°30′化成弧度：
（1）精确值；
（2）精确到0.001的近似值.
解:(1)因为67° 30=(135)°，所以
2
67° 30= π rad135=3π rad
2
例 4 利 用 计 算 器 比 较 s i n 1 . 5 和 s i n 8 5 的 大 小 ．
解 ：由 计 算 器 可 得 sin1.5 0.9974
s i n 8 5 0 .9 9 6 1． s i n 1 . 5 ＞ s i n 8 5 ．
1.设集合 M={α|α= kπ - π ，k∈Z}，N={α|－π＜α＜π} ，
略去不写，而只写该角所对应的弧度数.如α=2表 示α是2rad的角.
弧度制下角的集合与实数集的一一对应：
正角 零角 负角
正实数 零
负实数
弧度制的应用
思考：已知一个扇形所在圆的半径为R，弧长为l，圆心角
为α，那么扇形的面积如何计算？ 0
2
S 1 lR 1 R2 l 2
22
2
注意:弧长公式l r
• 17、Do not, for one repulse, give up the purpose that you resolved to effect. ----Willian Shakespeare ,British dramatist不要只因一次失败，就放弃你原来决心想达到的目的。 20.8.520.8.511:01:1911:01:19August 5, 2020
如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么， 角α的弧度数的绝对值如何计算？
l
r
角度与弧度的换算
思考1：一个圆周角以度为单位度量是多少度？ 以弧度为单位度量是多少弧度？由此可得 角度与弧度有怎样的换算关系？
180 = rad
思考2：根据上述关系，1°等于多少弧度？ 1rad等于多少度？
1°rad0.01745rad 180
• 15、 Every man is the master of his own fortune. ----Richard Steele每个人都主宰自己的命运。20.8.511:01:1911:01Aug-205-Aug-20
• 16、As selfishness and complaint cloud the mind, so love with its joy clears and sharpens the vision. ----Helen Keller自私和抱怨是心灵的阴暗，愉快的爱则使视野明朗开阔。 11:01:1911:01:1911:01Wednesday, August 5, 2020
• 5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Wednesday, August 5, 2020August 20Wednesday, August 5, 20208/5/2020