2016年江苏省苏州市高一下学期期末数学试卷与解析答案

2015-2016学年江苏省苏州市高一（下）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）函数f（x）=ln（x﹣2）的定义域为．2．（5分）利用计算机产生0～2之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣2＜0”发生的概率为．3．（5分）根据如图算法语句，当输入x=60时，输出y的值为．4．（5分）对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为400，右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30）的为一等品，在区间[20，25）和[30，35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为．5．（5分）已知||=2，•=1，，的夹角θ为60°，则||为．6．（5分）从长度为2，3，4，5的四条线段中随机地选取三条线段，则所选取的三条线段恰能构成三角形的概率是．7．（5分）设变量x，y满足，则z=2x﹣y的最大值为．8．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，且|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（）的值为．9．（5分）已知等差数列{a n}的公差为d，若a1，a2，a3，a4，a5的方差为8，则d的值为．10．（5分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，D在斜边BC上，且CD=2DB，则的值为．11．（5分）=．12．（5分）已知正实数x，y满足x+2y=1，则+的最小值为．13．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=x2﹣3x．则关于x的方程f（x）=x+3的解集为．14．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=，且对于任意正整数m，n都=a n•a m．若S n＜a对任意n∈N*恒成立，则实数a的最小值是．有a n+m二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知集合A={x|y=}，B={x|x2﹣2x+1﹣m2≤0}．（1）若m=3，求A∩B；（2）若m＞0，A⊆B，求m的取值范围．16．（14分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB．（1）求B；（2）若b=2，a=c，求△ABC的面积．17．（14分）已知{a n}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{b n}满足b1=4，b4=20，且{b n﹣a n}为等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和．18．（16分）如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园，种植桃树，已知角A为120°．现在边界AP，AQ处建围墙，PQ处围栅栏．（1）若∠APQ=15°，AP与AQ两处围墙长度和为100（+1）米，求栅栏PQ的长；（2）已知AB，AC的长度均大于200米，若水果园APQ面积为2500平方米，问AP，AQ长各为多少时，可使三角形APQ周长最小？19．（16分）已知函数f（x）=x|x﹣a|，a∈R，g（x）=x2﹣1．（1）当a=1时，解不等式f（x）≥g（x）；（2）记函数f（x）在区间[0，2]上的最大值为F（a），求F（a）的表达式．20．（16分）已知数列{a n}，{b n}，S n为数列{a n}的前n项和，向量=（1，b n），﹣1，S n），∥．=（a（1）若b n=2，求数列{a n}通项公式；（2）若b n=，a2=0．①证明：数列{a n}为等差数列；②设数列{c n}满足c n=，问是否存在正整数l，m（l＜m，且l≠2，m≠2），使得c l、c2、c m成等比数列，若存在，求出l、m的值；若不存在，请说明理由．2015-2016学年江苏省苏州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）函数f（x）=ln（x﹣2）的定义域为（2，+∞）．【解答】解：∵函数f（x）=ln（x﹣2），∴x﹣2＞0；解得x＞2，∴该函数的定义域为（2，+∞）．故答案为：（2，+∞）．2．（5分）利用计算机产生0～2之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣2＜0”发生的概率为．【解答】解：由3a﹣2＜0得：a＜，数集（0，）的长度为，数集（0，2）的长度为2，∴事件“3a﹣2＜0”发生的概率为；故答案为：；3．（5分）根据如图算法语句，当输入x=60时，输出y的值为31．【解答】解：由已知中的算法语句可得：程序的功能是计算并输出分段函数y=的函数值∵x=60＞50∴y=25+0.6（60﹣50）=31故输出结果为31故作案为：314．（5分）对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为400，右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30）的为一等品，在区间[20，25）和[30，35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为100．【解答】解：根据频率分布直方图可知，三等品的数量是[（0.0125+0.025+0.0125）×5]×400=100（件）．故答案为：1005．（5分）已知||=2，•=1，，的夹角θ为60°，则||为1．【解答】解：∵=||||cos60°=1，即2×||×=1，解得||=1．故答案为：1．6．（5分）从长度为2，3，4，5的四条线段中随机地选取三条线段，则所选取的三条线段恰能构成三角形的概率是．【解答】解：∵从长度为2，3，4，5的四条线段中随机地选取三条线段，∴基本事件总数n==4，所选取的三条线段恰能构成三角形包含的基本事件有：{2，3，4}，{2，4，5}，{3，4，5}，即m=3，∴所选取的三条线段恰能构成三角形的概率是p==．故答案为：．7．（5分）设变量x，y满足，则z=2x﹣y的最大值为7．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．由，解得，即C（3，﹣1）将C（3，﹣1）的坐标代入目标函数z=2×3﹣（﹣1）=6+1=7，即z=2x﹣y的最大值为7．故答案为：78．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，且|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（）的值为．【解答】解：根据函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，且|φ|＜）的部分图象，可得==+，∴ω=2，再根据图象经过点（，0），可得2sin（2•+φ）=0，∴φ=﹣，∴f（x）=2sin （2x﹣），∴f（）=2sin（π﹣）=，故答案为：．9．（5分）已知等差数列{a n}的公差为d，若a1，a2，a3，a4，a5的方差为8，则d的值为±2．【解答】解：∵等差数列{a n}的公差为d，a1，a2，a3，a4，a5的方差为8，∴这组数据的平均数是a3，∴（4d2+d2+0+d2+4d2）=2d2=8∴d2=4，∴d=±2，故答案为：±2．10．（5分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，D在斜边BC上，且CD=2DB，则的值为24．【解答】解：∵由题意可得=+=+=+（）=+，=0，∴=•（+）=+=0+×36=24，故答案为：24．11．（5分）=4．【解答】解：=故答案为：412．（5分）已知正实数x，y满足x+2y=1，则+的最小值为2+．【解答】解：由正实数x，y满足x+2y=1，则+=+=2++≥2+2=2+，当且仅当y=x=时，取得最小值2+．故答案为：2+．13．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=x2﹣3x．则关于x的方程f（x）=x+3的解集为{2+，﹣1，﹣3} ．【解答】解：若x＜0，则﹣x＞0，∵定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=x2﹣3x．∴当x＜0时，f（﹣x）=x2+3x=﹣f（x）．则当x＜0时，f（x）=﹣x2﹣3x．若x≥0，由f（x）=x+3得x2﹣3x=x+3，则x2﹣4x﹣3=0，则x===2±，∵x≥0，∴x=2+，若x＜0，由f（x）=x+3得﹣x2﹣3x=x+3，则x2+4x+3=0，则x=﹣1或x=﹣3，综上方程f（x）=x+3的解集为{2+，﹣1，﹣3}；故答案为：{2+，﹣1，﹣3}14．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=，且对于任意正整数m，n都有a n=a n•a m．若S n＜a对任意n∈N*恒成立，则实数a的最小值是．+m【解答】解：由题意得，对任意正整数m，n，都有a m=a m•a n，+n=a1•a n，所以=a1=，令m=1，得到a n+1则数列{a n}是首项、公比都为的等比数列，所以S n==＜，因为S n＜a对任意n∈N*恒成立，所以a≥，则实数a的最小值是，故答案为：．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知集合A={x|y=}，B={x|x2﹣2x+1﹣m2≤0}．（1）若m=3，求A∩B；（2）若m＞0，A⊆B，求m的取值范围．【解答】解：（1）由3﹣2x﹣x2≥0，解得﹣3≤x≤1，∴集合A={x|﹣3≤x≤1}；当m=3时，x2﹣2x+1﹣m2≤0可化为x2﹣2x﹣8≤0，即（x﹣4）（x+2）≤0，解得﹣2≤x≤4，∴集合B={x|﹣2≤x≤4}，∴A∩B={x|﹣2≤x≤1}；（2）m＞0，B={x|x2﹣2x+1﹣m2≤0}=[1﹣m，1+m]．∵A⊆B，∴，∴m≥4．16．（14分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB．（1）求B；（2）若b=2，a=c，求△ABC的面积．【解答】（本题满分为14分）解：（1）由a=bcosC+csinB及正弦定理，可得：sinA=sinBcosC+sinCsinB，①又sinA=sin（π﹣B﹣C）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC②，由①②得sinCsinB=cosBsinC，又三角形中，sinC≠0，…（3分）所以sinB=cosB，…（5分）又B∈（0，π），所以B=．…（7分）（2）△ABC的面积为S==．…（9分）由余弦定理，b2=a2+c2﹣2accosB，得4=a2+c2﹣，又，得c2=4⇒c=2，，…（12分）所以△ABC的面积为．…（14分）17．（14分）已知{a n}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{b n}满足b1=4，b4=20，且{b n﹣a n}为等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和．【解答】解：（1）∵{a n}是等差数列，满足a1=3，a4=12，∴3+3d=12，解得d=3，∴a n=3+（n﹣1）×3=3n．设等比数列{b n﹣a n}的公比为q，则q3===8，∴q=2，∴b n﹣a n=（b1﹣a1）q n﹣1=2n﹣1，∴b n=3n+2n﹣1（n=1，2，…）．（2）由（1）知b n=3n+2n﹣1（n=1，2，…）．∵数列{a n}的前n项和为n（n+1），数列{2n﹣1}的前n项和为1×=2n﹣1，∴数列{b n}的前n项和为n（n+1）+2n﹣1．18．（16分）如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园，种植桃树，已知角A为120°．现在边界AP，AQ处建围墙，PQ处围栅栏．（1）若∠APQ=15°，AP与AQ两处围墙长度和为100（+1）米，求栅栏PQ的长；（2）已知AB，AC的长度均大于200米，若水果园APQ面积为2500平方米，问AP，AQ长各为多少时，可使三角形APQ周长最小？【解答】（本题满分为16分）解：（1）∵依题意，∠AQP=45°，由正弦定理：，…（2分）∴得，…（3分）∵，…（5分）∴…（7分）（2）设AP=x米，AQ=y米．则⇒xy=10000，…（9分），…（11分）设△ABC的周长为L，则L==，…（12分）令x+y=t，L=在定义域上单调增，所以，当x=y=100取等号；…（15分）答：（1）米；（2）当AP=AQ=100米时，三角形地块APQ的周长最小．…（16分）19．（16分）已知函数f（x）=x|x﹣a|，a∈R，g（x）=x2﹣1．（1）当a=1时，解不等式f（x）≥g（x）；（2）记函数f（x）在区间[0，2]上的最大值为F（a），求F（a）的表达式．【解答】解：f（x）≥g（x），a=1时，即解不等式x|x﹣1|≥x2﹣1，…（1分）当x≥1时，不等式为x2﹣x≥x2﹣1，解得x≤1，所以x=1；…（3分）当x＜1时，不等式为x﹣x2≥x2﹣1，解得，所以；…（5分）综上，x∈．…（6分）（2）因为x∈[0，2]，当a≤0时，f（x）=x2﹣ax，则f（x）在区间[0，2]上是增函数，所以F（a）=f（2）=4﹣2a；…（7分）当0＜a＜2时，，则f（x）在区间上是增函数，在区间上是减函数，在区间[a，2]上是增函数，所以F（a）=max{f（），f（2）}，…（9分）而，f（2）=4﹣2a，令即，解得，所以当时，F（a）=4﹣2a；…（11分）令即，解得或，所以当时，；…（12分）当a≥2时，f（x）=﹣x2+ax，当即2≤a＜4时，f（x）在间上是增函数，在上是减函数，则；…（13分）当，即a≥4时，f（x）在间[0，2]上是增函数，则F（a）=f（2）=2a﹣4；…（14分）所以，，…（16分）20．（16分）已知数列{a n}，{b n}，S n为数列{a n}的前n项和，向量=（1，b n），=（an﹣1，S n），∥．（1）若b n=2，求数列{a n}通项公式；（2）若b n=，a2=0．①证明：数列{a n}为等差数列；②设数列{c n}满足c n=，问是否存在正整数l，m（l＜m，且l≠2，m≠2），使得c l、c2、c m成等比数列，若存在，求出l、m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）因为=（1，b n），=（a n﹣1，S n），∥．得S n=（a n﹣1）b n，当b n=2，则S n=2a n﹣2 ①，当n=1时，S1=2a1﹣2，即a1=2，…（1分）又S n+1=2a n+1﹣2 ②，②﹣①得S n+1﹣S n=2a n+1﹣2a n，即a n+1=2a n，又a1=2，所以{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，…（3分）所以a n=2n．…（4分）（2）①证明：因为，则2S n=na n﹣n③，当n=1时，2S1=a1﹣1，即a1=﹣1，又2S n+1=（n+1）a n+1﹣（n+1）④，④﹣③得2S n+1﹣2S n=（n+1）a n+1﹣na n﹣1，…（6分）即（n﹣1）a n+1﹣na n﹣1=0 ⑤，又na n+2﹣（n+1）a n+1﹣1=0⑥⑥﹣⑤得，na n+2﹣2na n+1+na n=0，即a n+2+a n=2a n+1，所以数列{a n}是等差数列．…（8分）②又a1=﹣1，a2=0，所以数列{a n}是首项为﹣1，公差为1的等差数列．a n=﹣1+（n﹣1）×1=n﹣2，所以，…（10分）假设存在l＜m（l≠2，m≠2），使得c l、c2、c m成等比数列，即，可得，…（12分）整理得5lm﹣4l=4m+4即，由，得1≤m≤8，…（14分）一一代入检验或或或或或或或由l＜m，所以存在l=1，m=8符合条件．…（16分）赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。