第十四章 线性动态电路的复频域分析

第十四章
线性动态电路的复频域分析（拉普拉斯变换）
拉普拉斯变换是一个数学工具，它可以将时域里的高阶微分方程变换为复频域里的代数方程，从而大大简化求解过程。

由于这个变换是唯一的，因而复频域里的解也唯一地对应着原时域里微分方程的解，通过反变换即可得到微分方程的解。

这样就为分析解决高阶电路提供了一个简便和实用的方法——运算法。

因此，拉普拉斯变换涉及到正变换和反变换两方面。

§14-1拉普拉斯变换的定义§14-2拉普拉斯变换的性质
§14-3拉普拉斯反变换的部分分式展开法§14-4运算电路
§14-5应用拉普拉斯变换法分析线性电路
§14-1拉普拉斯变换的定义
一、拉普拉斯变换的由来
（一）傅立叶级数1、付氏三角级数
如右图f T (t)是一个周期函数，非正弦，若加在激励端分析其响应是很困难的，可以用第十二章将非正弦信号分解为傅立叶三角级数。

将其分解为
f 1(t)+f 2(t)。

f 1(t) 和f 2(t) 均为正弦信号可以分别求其响应，而后叠加得到f T (t) 的响应。

（二）拉普拉斯变换（Laplace变换）
付氏级数可以将一个非正弦的周期信号分解为若干个不同频率的正弦信号的叠加。

付氏变换则可将时域里的信号[f(t)] 表达式转换为频率的表达式（频域），从而方便了频谱分析。

而我们在分析动态电路，尤其是高阶动态电路时，最困难的是解时域里的高阶微分方程。

能否借鉴付氏变换的思路，利用数学工具将时域函数也进行一番变换，最后将时域里的高阶微分方程，变换成另一域里的代数方程以便于求解呢？
1、问题的提出：
①付氏变换说：存在付氏变换的条件：一是满足狄里克利条件
（连续或有限个第一间断点，区间内收敛）；二是在(-∞,+∞)上可积，就一定存在古典意义下的付氏变换。

但绝对可积的条件是很强的，许多函数，即使是很简单的函数（单位阶跃函数，正弦函数，余弦，以及线性函数等）都不满足这个条件。

②其次，可以进行付氏变换的函数必须在整个自变量轴（时间轴）上有意义。

但在物理、电子技术等实际应用中，许多以时间为自变量的函数往往在t<0时无意义,或者根本不需要考虑。

因
此，付氏变换在实应用中就受到一定限制。

由此想到，能否将不满足以上条件的函数ψ(t)通过适当的改造，使其存在付氏变换（满足付氏变换的条件）呢？
第一个想到的是ε(t)，另一个是指数衰减函数e -δt（δ>0）。

（1）ε(t)可以使在t＜0时的无意义变为有意义（均等于0）。

因而可以使(-∞,+∞)区间变为[0,+∞)区间。

（因为在(-∞,0)上值为0，不需考虑）。

（2）e-δt可以使可能不可积的函数ψ(t)变得绝对可积，最后改造好的函数为g(t)=ψ(t) ·ε(t)·e -δt。

只要δ选得合适，这个函数g（t）的付氏变换总是存在的。

于是对ψ(t)乘以ε(t)和e-δt，再求付氏变换的运算，就产生了拉普拉斯变换。

2、拉普拉氏变换
()⎰
⎰⎰∞
+-∞
++---+∞
∞
-===0
0)()( )( )()(dt
e t
f dt e t f dt
e e t t G st t j t j t ωδωδβεψω式中s= δ+j ω
——称为复频率——算子；
f (t)=ψ(t)·ε(t) ——实际上还是ψ(t)。

上式运算实际上相当于对任意函数f (t)乘以e -s t 后在[0,+∞]上
取积分。

这个运算就是拉氏变换。

此时G β(ω)的变量由ω转为s ，可记为F （s ）。

若将f （t ）的拉氏变换记为F (s )，则：
dt
e t
f s F st -+∞
⎰
=)()(0
定义：一个定义在[0,+∞)区间上的函数f (t)，它的拉氏变换式为
⎰
+∞
--
=0)()(dt
e t
f s F st 记作：F(s)=L[f (t)]
、电阻元件复阻抗：Z （s ）⋅⋅c U s 1
4、电源u s （t ），i s （t ）的运算模型：
思考题：1
思考题2：
思考题3：有互感问题如何画运算电路。

di
di
二、KCL、KVL方程运算形式：
对任一结点，KCL：Σi=0 对任一回路，KVL：Σu=0 →ΣI（s）=0→ΣU（s）=0
§14-5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路
步骤：
1、求出储能元件的初始值：u C （0-），i L （0-），
目的是：求储能元件的附加电压源。

2、画对应的运算电路图。

注意：直流电源的运算模型和附加电压源方向。

3、在运算模型上直接运用KCL 、KVL ，以及适用于直流电路的所有分析方法和定理，写出电路方程，求解待求量在S 域里的象函数。

4、用部分分式法进行拉氏反变换，得到对应时域电路里的解。

s =1A ，u s ，求i c (t )=？（t ≥0）。

解：
）的
U n1④戴维南定理：
、用直流稳态电路的所有方法、定理和定律来建立方程（运
三、分析带强迫跃变的问题
由于电路换路后电路结构的改变，使得电路的电压或电流被强迫发生突变。

比如书上P363 例14-13：
例题5、图示电路，K 在t =0时打开，求：t ≥0时i 1(t)，u 1 (t) ，u 2 (t)。

若在时域里分析非常麻烦，要用到磁通链守恒来分析，现在用运算法来分析：定性分析：集总电路在任何时刻都必须满足KCL 、KVL 。

在K 打开的瞬间t=0+时，也要满足
KCL 、KVL 。

因此会使i 1（0+）和i 2（0+）强迫达成一致。

解：(1)i 1（0－）=10/2=5A
i 2（0－）=0A 。

（2
）画运算电路图：
5
)(A )()75.12()(25.121t i t e t i t =⋅+=-εV
)(]5625.6)(375.0[)(5.121t e t t u t εδ⋅--=-V
)(]19.2)(375.0[)(5.122t e
t t u t
εδ⋅-=-说明：
* 应用拉氏变换分析电路问题时，从0－时刻考虑起。

* 拉氏变换后的电路（运算电路）也必然满足KCL 、KVL 。

•
i 1(t )从5A →3.75A ,必然存在一个反向冲激电压加在L 1上[即-0.375δ(t)]，使i 1(t )瞬间从5A 降到3.75A 。

•i 2(t )从0A →3.75A ，也必然存在一个正向冲激电压加在L 2上[即+0.375δ(t)]，使i 2(t )瞬间从0A 上升到3.75A 。

•而环路总电压并无冲激：i 1(t)·(R 1+R 2)+u 1 (t)+u 2 (t)=10V 。

、求图示函数的拉氏变换（象函数）：
故：均无附加电压源。

如果在单位冲激激励下求出了H(s)，那么，对于任意给定的输入R(s)都可以方便地求出其对应的响应：R(s)=
H(s)·E(s)。

而H(s)就是描述了该网络性质的网络函数，这一章就是着重介绍网络函数及其在电路分析中的应用。

U
(s
)
三、网络函数的计算（2步）1、画零状态下运算电路图。

2、运用类似于直流稳态的分析方法求出网络函数。

例2、下图电路，u s 为激励，求响应分别为
i 1，
u 2，i 3时，对应的网络函数。

解：①画运算电路
2
2 10
s U 1)(
结论：(4点)
（1）由于p 1，p 2实部为负，所以存在指数衰减项e -ζt ，t →∞时，h （t ）→0，系统是稳定的。

（2）极点距虚轴的距离（p 1，p 2实部绝对值的大小）决定了冲激
响应衰减的速度：
极点距离虚轴近（|ζ|小），衰减得慢；
极点距离虚轴远（|ζ|大），衰减得快。

（见前一例的情况）
（3）极点存在虚部，决定h （t ）的过渡过程是振荡的，虚部ω即
为振荡频率：ω大，振荡得快；ω小，振荡得慢。

（4）如果极点在虚轴上（必成对出现）。

即ζ=0 为不衰减的等幅
振荡，即为正弦规律变化。

如下波形:
3、极点的实部为正值时
（即极点位于平面右半平面时）
（1）正的单实根
（2
）共轭复根
三、H （s ）的零点决定过渡的系数（K 1，K 2，……K n ）。