11动态电路的复频域分析

动态电路的复频域分析
江苏大学电路教学组
拉氏变换式的积分下限记为0 如果ƒ(t)包含 包含t＝ 时刻的 拉氏变换式的积分下限记为 −，如果 包含 ＝0时刻的 冲激，则拉氏变换也应包括这个冲激。复变量s＝ ＋ 的实 冲激，则拉氏变换也应包括这个冲激。复变量 ＝σ＋jω的实 应足够大， 绝对可积， 的拉氏变换才存在 的拉氏变换才存在。 部σ应足够大，使e –σt ƒ(t)绝对可积，ƒ(t)的拉氏变换才存在。 应足够大 绝对可积 2 不论σ多大都不存在拉氏变换 多大都不存在拉氏变换， 有些函数t 有些函数 t，e t 等，不论 多大都不存在拉氏变换，这些函 数在电路理论中用处不大。原函数ƒ(t)是以时间 数在电路理论中用处不大。原函数 是以时间 t 为自变量的 实变函数，象函数F(s)是以复变量 为自变量的复变函数。ƒ(t) 是以复变量s为自变量的复变函数 实变函数，象函数 是以复变量 为自变量的复变函数。 之间有着一一对应的关系。 与F(s)之间有着一一对应的关系。 之间有着一一对应的关系 原函数ƒ(t)的拉氏变换，实际上就是ƒ(t)ε(t)e –σt 的傅氏变 原函数 的拉氏变换，实际上就是 的拉氏变换 的条件下， 换。在t﹤0时，ƒ(t)＝0的条件下，拉氏变换可看作傅氏变换 ﹤ 时 ＝ 的条件下 换成s的推广 而傅氏变换（如果存在） 的推广， 把j换成 的推广，而傅氏变换（如果存在）则可看作拉氏变 的特例。 拉氏变换就是将e 换s＝jω的特例。因为 拉氏变换就是将 –σt ƒ(t)进行傅氏变 ＝ 的特例 因为ƒ(t)拉氏变换就是将 进行傅氏变 即把信号ƒ(t)展开为复频域函数 展开为复频域函数F(s)。复变量 ＝σ＋jω常 换，即把信号 展开为复频域函数 。复变量s＝ ＋ 常 称为复频率，称分析线性电路的运算法为复频域分析， 称为复频率，称分析线性电路的运算法为复频域分析，而相 应地称经典法为时域分析。 应地称经典法为时域分析。
1 1 1 ω = [ ] = 2 − 2j s − jω s + jω s + ω2
2j
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2-1时域微分 时域微分(time differentiation)性质 时域微分 性质 若
L[ f (t )] = F(s)
df ( t ) ] = sF ( s ) − f (0− ) 则 L[ dt
t t0 若
t t0
t
L[ f ( t )] = F ( s ) 则
L[ f (t − t0 )ε(t − t0 )] = e− st0 F (s)
令t − t0 = τ − st + ∞ − st0 − sτ 0 = e ∫ f (τ )e dτ = e F ( s )
0−
∫ =∫
+∞
0− +∞
f ( t − t 0 )ε ( t − t0 )e− st dt
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2-2频域微分性质 频域微分性质
+∞ d +∞ − st f (t )e dt = ∫ f (t)(−t )e− stdt = L[− tf ( t )] 0− ds ∫0− d 1 1 例7：L[ tε ( t )]= − ( ) = 2
L[ f ( t )] = F ( s ) dF ( s ) 则 L[ − tf ( t )] = ds
F ( s ) = + ∞ f ( t )e − st dt 正变换 ∫0− 1 σ + j∞ st f (t ) = ∫σ − j∞ F ( s )e ds 反变换 2πj
F ( s) = ∫
+∞ 0− 0+
s为复频率 s = σ+ jω
f ( t )e− st dt f ( t )e dt + ∫
− st +∞ 0+
f(t)与F(s)一一对应 与 一一对应
=∫
0−
f ( t )e − st dt
f(t)=δ(t)时此项 ≠ 0 = 时此项
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F ( s ) = + ∞ f ( t )e − st d t 正变换 ∫0− 简写 σ + j∞ 1 f (t ) = F ( s )e st d s 反变换 2πj ∫σ − j∞
1 = s+a
(2)单位阶跃函数 (2)单位阶跃函数
L[ε ( t )] = ∫
+∞
0−
ε ( t )e dt = ∫
− st
0+
1 −st e dt = − e s
+∞ 0
1 = s
(3)冲激函数 冲激函数
L[δ (t )] = ∫ δ (t )e dt=
0−
+∞
∫
0+
0−
δ ( t )e− s× 0 d t = 1
若
ds s
s
dn 1 n! n n 例8：L[ t ε ( t )] = ( −1) ( ) = n+1 n ds s s 1 d 1 − αt 例9：L[te ]= − ( ) = ( s + α )2 ds s + α
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3.时域积分 时域积分(time integration)性质 时域积分 性质
L[ f ( t )] = F ( s ) 则 t t F ( s) L[ ∫ f ( t )dt ] = 令L[ ∫ f ( t )dt ] = ϕ ( s ) 0− 0− s d t L[ f ( t )] = L[ ∫ f ( t )dt ] dt dt 0− t F ( s) F (s ) = sϕ ( s ) − ∫ f ( t )dt ∴ϕ ( s) = 0 s t =0
f ( t − t 0 )e− s ( t − t0 )e− st0 dt
F ( s ) = L[f ( t )] − f ( t ) = L 1 [F ( s )]
F(s)称为象函数，用大写字母表示，如I(s)，U(s)。 称为象函数，用大写字母表示， 称为象函数 ， 。 f(t)称为原函数，用小写字母表示，如 i(t)，u(t)。 称为原函数 称为原函数，用小写字母表示， ， 。 2. 存在条件 如果存在正的有限值常数M和 对于一个函数f(t)，如果存在正的有限值常数 和c，使 下式成立 f ( t ) ≤ Mect t ∈[0 ,∞ ) ∞ 总存在。 则f(t)的拉氏变换式F(s)总存在。因为
∫
+∞
0−
[af1 (t ) + bf 2 (t )]e dt = ∫ af1 (t )e dt + ∫ bf2 (t )e− st dt
= aF1 ( s ) + bF2 ( s )
0− 0−
− st
+∞
Fra Baidu bibliotek
− st
+∞
U 例3：L[Uε( t )] = s 例 4：L[si n ωt ε ( t ) ] = L[ 1 (e jωt − e − jωt ) ε ( t )]
若
− −
1 1 例10：L[tε( t )]= L[ ∫ ε ( t )dt ] = × = 1 0 s s s2
−
+∞
2 例11：L[t ε (t )] = 3 s
2
Q[t ε( t )] = 2∫ tdt
2 0
t
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4-1时域平移 时域平移(time shift)性质 时域平移 性质 f(t)ε(t) f(t− t0)ε(t− t0) − f(t)ε(t−t0) −
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3. 典型函数的拉氏变换
F ( s) = ∫
(1)指数函数 指数函数
+∞
0−
f ( t )e dt
+∞ 0
− st
L[e ε (t )] = ∫
− at
+∞
0−
1 − ( s+a )t e e dt = − e s+a
− at − st − st
+∞ − st
∫
∞
σ − c > 0积分存在
0−
f ( t )e dt ≤ ∫ Me
0−
− σt
∞
− (σ − c) t
e − σt 为收敛因子
M dt = σ−c
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傅氏积分公式存在的条件是ƒ(t)需满足狄里赫列条件， 傅氏积分公式存在的条件是 需满足狄里赫列条件， 需满足狄里赫列条件 且
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d 1 例6：L[δ( t )] = L[ ε ( t )] = s × = 1 dt s
df ( t ) L[ ] = sF ( s ) − f (0 − ) dt
d2 f (t ) ] = s[sF(s)− f (0− )]− f ′(0− ) 推广： 推广：L[ dt 2 = s2 F ( s) − sf (0− ) − f ′(0− ) dn f (t ) L[ ] n dt = snF ( s) − sn− 1 f (0− ) − sn− 2 f ′(0− ) − …− f（n− 1）(0− )
∫
∞
−∞
f ( t )dt
是收敛的。这后一个条件的限制性较强， 是收敛的。这后一个条件的限制性较强，致使工程上常用的 一些函数不能进行傅立叶变换，其原因大体是由于t→∞时过 一些函数不能进行傅立叶变换，其原因大体是由于 时过 程中ƒ(t)的减幅太慢 为了扩大傅氏变换的使用范围， 的减幅太慢。 程中 的减幅太慢。为了扩大傅氏变换的使用范围，选正 实数σ，用收敛因子e 实数 ，用收敛因子 –σt 乘ƒ(t)。只要 随时间的增长不比 。只要ƒ(t)随时间的增长不比 指数函数快， 指数函数快，则可使
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第十一章 动态电路的复频域分析
§11-1 拉普拉斯变换及其基本性质 §11-2 拉普拉斯反变换 §11-3 动态电路的复频域模型 §11-4 动态电路的复频域分析 §11-5 网络函数
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§11-1 拉普拉斯变换及其基本性质
一、拉氏变换(Laplace transformation)的定义 拉氏变换 的定义 拉氏变换法是一种数学变化， 拉氏变换法是一种数学变化，可将高阶微分方程变换 是一种数学变化 为代数方程以便求解。 为代数方程以便求解。
A × B = AB
例1:对数变换 :
↓ ↓ ↑ lgA + lgB = lgAB
乘法运算简化 为加法运算
正弦量 i1 + i2 = i
例2:相量法 :
↓ ↓ ↑ & & & 相量 I1 + I 2 = I
正弦运算简化 为复数运算
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拉氏变换:将时域函数 原函数： 拉氏变换 将时域函数f(t)（原函数：original function） ） 象函数： ）。 变换为复频域函数F(s)（象函数：transform function）。 1. 拉氏变换的定义： t <0，f(t)=0 拉氏变换的定义：
∫
+∞
0−
+∞ df (t ) − st e dt = ∫ e− st df (t ) 0− dt
∫ udv = uv − ∫ vdu
+∞ 0−
=e
− st
f (t )
+∞ 0−
− ∫ e− st f (t )(− s )dt
= − f (0 − ) + sF ( s ) 1 d (sin ωt ε ( t ))] 例5： L[cos ωt ε ( t )] = L[ ω dt s s ω = × 2 −0= 2 2 s + ω2 ω s +ω
∫
∞ −∞
e
− σt
f (t ) dt
收敛。 ﹤ 时 将起发散作用。 仅限于t≥0的情况 收敛。当t﹤0时，e–σt 将起发散作用。故ƒ(t)仅限于 的情况。 仅限于 的情况。 这在电路理论中是可行的，因为换路常发生在t＝ 时刻 时刻， 这在电路理论中是可行的，因为换路常发生在 ＝0时刻，换 路前的历史可用t＝ 时的初始条件概括地表示 于是对e 时的初始条件概括地表示。 路前的历史可用 ＝0时的初始条件概括地表示。于是对 –σtƒ(t) 进行傅氏变换，并引入复变量s＝σ＋jω，便可得到拉氏变换 进行傅氏变换，并引入复变量 ＝ ＋ ， 公式。 公式。
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二、拉普拉斯变换的基本性质 1.线性性质(linearity) .线性性质( )
若L[ f1 ( t )] = F1 ( s ) , L[ f 2 ( t )] = F2 ( s )
F ( s) = ∫
+∞
0−
f ( t )e − st dt
L[af1 ( t ) + bf 2 ( t )] = aF1 ( s ) + bF2 ( s )