第十四章--线性动态电路的复频域分析
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第十四章 线性动态电路的复频域分析 电路第五版 邱广源.
R、L、C等元件 电源 uS(t)、iS(t)
U(S)=SLI(S)–Li(0-) 1 U(S)= I(S)+ u(0-) SC S 运算阻抗(或导纳)和附加电源 US(S)、IS(S) 运算电路
(频域电路)
£
时域电路
14-5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路
一、KCL与KVL的运算形式
1、KCL Ik(S)=0 i1 i3
i2
I1(S) I3(S) I2(S)
– I1(S) +I2(S) –I3(S) =0
2、KVL Uk(S)=0
电路元件模型的回顾 时域 相量法
= RI U
I
u(t)=Ri(t)
R + L
i(t) R u(t) -
S=pi
设n>m m m–1 N(S) bmS + bm–1S + • • • + b1S + b0 F (S)= = D(S) anSn + an–1Sn–1 + • • • + a1S + a0 令D(s)=anSn + an–1Sn–1 + … + a1S + a0=0可得根为 p1, p2,…, pn （1） D(S)有n个实数单根 K2 Ki Kn K1 • • • • • • F(S)= S –p + S –p + + S –p + S –p + 2 i n 1 f(t)=
K2=K1*
令 K1= K1 ej 则 K2= K1 e–j f(t)= K1 eje(+j)t + K1 e–je(–j)t + • • •
= K1 et [ej(t + ) + e–j(t + ) ] + • • • =2 K1 et cos(t+ ) + • • • 注意K1是虚部为正的极点对应的那个常数
14第十四章线性动态电路的复频域分析
1
1
RC
IC(s)
1/s
+
R
UC(s)
图(b) 1/sC
SC
RC
t
uC (t) R(1 e RC ) 1(t)V
t
iC (t) e RC 1(t) A
例：RC 并联电路，换路前为零状态，t=0 时接通单位冲激电流源，
求 uC(t)和 iC(t)。
解：图(b)： Y (S) 1 SC SRC 1
2. 若D(s)=0有共轭复根p1=a+jω，p2=a- jω
F (s) K1 K2
式中：
s p1 s p2
K1
(s (a
j )) F (s)
sa j
N (s) D(s)
sa j
K1 e j1
K2
(s (a
j )) F (s)
概述——求解动态电路的两种方法比较
经典法 在第7章，主要介绍了用时域分析法分析一阶电路和二阶电路的 动态过程，其要点是运用数学方法，列写换路后电路的微分方程、解微分方 程、由电路的初始条件确定积分常数。这种方法也称为经典法。
时域分析法有其优点：数学推导严密，物理概念清晰。但是运用时域分 析法分析高阶电路时就比较麻烦：首先，将描述储能元件电压、电流关系的 一阶微分方程组化为单一变量的高阶微分方程的运算复杂；其次，求解高阶 微分方程的特征方程的特征根运算量大；最后，确定电路的初始条件、定积 分常数相当麻烦。另外，当电路中有冲激电源或者冲激响应时，时域分析法 在确定初始条件时也比较困难。
R
R
iC
δ (t)
+
R C uC
第十四章线性动态电路的复频域分析
te–stdt
0–
–
0–
e–stdt] =
§14 —2 拉普拉斯变换的基本性质
一、线性性质 若：L[f1(t)]=F1(s) L[f2(t)]=F2(s)
则： L[A1f1(t)+A2f2(t)]=A1F1(s)+A2F2(s) 证： L[A1f1(t)+A2f2(t)] = [A1f1(t)+A2f2(t)]e–stdt
N(s) k1= (s–p2)‥‥‥(s–pn) s=p1
1
1
k2=(s–p2)F(s) s=p 2 kn=(s–pn)F(s) s=p
n
例1:
求:L–1[
s2+2s–2 ] s(s+2)(s+3)
k1 k2 k3 s2+2s–2 解: F(s)= s(s+2)(s+3) = s + s+2 + s+3
k11=[(s–p1)mF(s)] s=p
1
k12= d [(s–p1)mF(s)] s=p ds 1
1 d2 mF(s)] k13= [(s – p ) 1 s=p1 2 ds2
m–1 1 d mF(s)] k1m= [(s – p ) 1 s=p1 (m–1)！dsm–1
……
例： 求：L–1[ s–2 3] s(s+1) k22 k21 k1 k23 解： F(s)= s + + + 2 s+1 (s+1) (s+1)3 s– 2 = –2 k1= 3 (s+1) s=0 2 =3 k21= s– s s= –1 2 s – 2 d = 2 s= –=2 k22= ds [ s ]s= –1 1 s k23= 1 d [ 2 ] =2 2 ds s2 s= –1
电路第14章 线性动态电路的复频域分析
L[ d (t)]
dt
s 1 (t)
s
0
1
07:14
14
三. 积分性质
设：L[ f (t)] F (s)
证
L[ t f ( )d ] 1 F(s)
0
s
应用微分性质
0
例
L[t] L[ t ( )d ] 0
L[ (t)] 1
s s2
07:14
象函数的一般形式：
F(s)
F1 ( s ) F2 ( s)
a0sm a1sm1 am b0sn b1sn1 bn
(n m)
07:14
20
F(s)
F1 ( s ) F2 ( s)
a0sm a1sm1 am b0sn b1sn1 bn
15
四.延迟性质 (时域平移) f(t)(t)
f(t-t0)(t-t0)
t
设：L[ f (t)] F (s)
t t0
L[ f (t t0 ) (t t0 )] est0 F(s)
07:14
16
证
例：
f(t) 1
Tt
07:14
est0 延迟因子
f (t) (t) (t T)
一.积分变换法 采用经典法列解微分方程去分析动态电路时，必须知道变量
及其各阶导数(直至n-1阶)在t=0+时刻的值，即变量的初始条件 。而电路中给定的初始状态是各电感电流和电容电压在t=0+时 刻的值，从这些值求得所需变量的初始条件工作量很大，也很 困难，高阶动态电路中尤为突出。
积分变换法是通过积分变化，把已知的时域函数变换为频域函 数，从而把时域的微分方程化为频域函数的代数方程。求出函数 的频域解后，再做反变换，返回时域，求出满足电路初始条件的 原微分方程的时域解，而不需要确定变量的初始条件，即积分常 数。拉普拉斯变换和傅立叶变换都是积分变换，但拉普拉斯变换 比傅立叶变换有更广泛的适用性，所以拉普拉斯变换法是求解任 意激励下高阶线性动态电路的有效而重要的方法之一。
第14章_线性动态电路的复频域分析
1 L[e ] sa
at
8
§13. 2 拉普拉斯变换的基本性质
一、线性性质
设 f1(t) 和 f2(t) 是两个任意的时间函数，它们 的象函数分别为F1(s) 和F2(s) ，A1和A2是两个任意 实常数，则: L[A1 f1(t)+ A2 f2(t)] = A1L [f1(t) ] + A2L[f2(t)] = A1 F1(s) + A 2F2(s)
解：
f(t)= f ’(t)+ f ’’(t)
=Aε(t) - Aε(t-T)
L[f(t)]= A/s - A/s · -sT e
O t
f ’’(t)
O t
18
五、位移性质
求函数 f(t) 与 eat 乘积的象函数:
若 则
L[f(t)]= F(s) L[f (t) eat] = F(s-a)
位移性质
m
m 1
用部分分式展开真分式时， 需要对分母多项式作因式分解， 求出D(s)=0的根。 D(s)=0的根可能是 单根 共轭复根 重根 针对三种情况分别进行分析。
28
• D(s)=0 具有单根的情况
N (s) F (s ) D(s)
如果D(s)=0有n个单根，假设n个单根分别是p1 、 p2 、…、pn 。 于是F(s)可以展开为
则
t f ( )d F ( s ) L 0 s
15
积分性质
t f ( )d F ( s ) L 0 s
例：利用积分性质求函数 f(t) = t 的象函数
解：f(t) = t
( )d
0
t
1 1 L[f(t)] = s s 1 2 s
第14章 线性动态电路的复频域分析
0
s
证
令
t
L[ f (t)dt] (s)
0
应用微分性质
L[ f (t)] L
d dt
t 0 t
f
(t)dt
0
F (s) s(s) 0 f (t)dt t0
(s) F (s)
s
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例 求: f (t) t ( t)和f (t) t2 (t)的象函数
解
L t (t)
解 dsin( t) cos(t)
dt
cos(t) 1 d(sint) dt
L[cos
t]
L1
d dt
(sin(
t
)
1
s
s2
2
0
s2
s
2
返回 上页 下页
(2) f (t) δ( t)的象函数
解 (t) d (t)
dt
L[ (t)] 1
s
L (t) L[d (t)] s 1 0 1
pi )
lim N '(s)(s pi ) N (s)
spi
D' (s)
Ki
N ( pi ) D' ( pi )
例 求 F(s) 4s 5 的原函数
s2 5s 6
解法1
F (s) 4s 5 K1 K2 s2 5s 6 s 2 s 3
4s 5 K1 s 3 S2 3
返回 上页 下页
待定常数的确定： 方法1
Ki F (s)(s pi ) s pi i 1、2、3、 n
(s
令s
p1 ) F (s)
= p1
K1
(s
p1)
s
K2 p2sKn pn源自方法2求极限的方法
线性动态电路的复频域分析
kn k1 k2 F (s) = + +⋯ + s − P1 s − P2 s − Pn
k 1、 k 2 、⋯ 、 k n 为待定系数
k i = [( s − p i ) F ( s ) ]s = p i N ( pi ) = D ′( p i )
i = 1 , 2 ,⋯ , n
∴
f (t ) = L − 1 [F (s )] =
§14 - 2 拉普拉斯变换的基本性质
1. 线性性质
L [ A1 f 1 ( t ) + A2 f 2 ( t ) ] = A1 L [ f1 ( t ) ] + A2 [ f 2 ( t ) ]
= A1 F1 ( s ) + A 2 F 2 ( s )
例14-3：若（1） f (t ) = sin ω t ,（2） f (t ) = K (1 − e −α t ), t ∈ [0, ∞) , 求其象函数。 解:（1） L[sin ω t ] = L 2 j (e jω t − e − jω t ) = 2 j [ s − jω − s + jω ] = 2 2 s +ω
s =0
= 0.1 同理 k2 = 0.5, k3 = −0.6
故 f (t ) = 0.1 + 0.5 e −2t − 0.6 e −5t
② D(s) = 0 具有共轭复根，p1 = α + jω , p2 = α - jω , 则 N (s − α − jω )F ( s ) ]s =α + jω = D ((s )) s =α + jω k1 = [ ′ s N (s) k 2 = [(s − α + j ω )F ( s ) ]s =α − jω = s =α − jω
第14章线性动态电路的复频率剖析
(2)对简单形式的F(s)可以查拉氏变换表得原函数 (3)把F(s)分解为简单项的组合
F (s) F1 (s) F2 (s) Fn (s)
f (t ) f1 (t ) f 2 (t ) f n (t )
部分分式 展开法
N ( s) a0 s a1s am F ( s) (n m) n n 1 D( s) b0 s b1s bn
t
e s
st 0
0
e st f (t ) dt s
1 f (t ) e st dt s 0 0 1 只要s的实部σ取足够大 F (s) s
t e f ( )d 0 s
0 st
例 求
解
f (t ) t 的象函数
2. 拉氏变换的定义 定义 [ 0 , ∞)区间函数 f(t)的拉普拉斯变换式： F ( s ) f (t )e st dt 正变换 0 1 c j st f ( t ) F ( s ) e ds 反变换 c j 2 πj
F(s)称为f(t)的象函数，f(t)称为F(s)的原函数。 拉氏变换把一个时间域的函数f(t)变换到s域的复 变函数F(s) 。
st
st
1 st 1 e 0 s s
(2)单位冲激函数的象函数
f (t ) (t )
F ( s) L[ (t )] (t ) e dt (t )e dt 0
st
0
st
e
s0
1
0
(3)指数函数的象函数
s 6
F (s) F1 (s) F2 (s) Fn (s)
f (t ) f1 (t ) f 2 (t ) f n (t )
部分分式 展开法
N ( s) a0 s a1s am F ( s) (n m) n n 1 D( s) b0 s b1s bn
t
e s
st 0
0
e st f (t ) dt s
1 f (t ) e st dt s 0 0 1 只要s的实部σ取足够大 F (s) s
t e f ( )d 0 s
0 st
例 求
解
f (t ) t 的象函数
2. 拉氏变换的定义 定义 [ 0 , ∞)区间函数 f(t)的拉普拉斯变换式： F ( s ) f (t )e st dt 正变换 0 1 c j st f ( t ) F ( s ) e ds 反变换 c j 2 πj
F(s)称为f(t)的象函数，f(t)称为F(s)的原函数。 拉氏变换把一个时间域的函数f(t)变换到s域的复 变函数F(s) 。
st
st
1 st 1 e 0 s s
(2)单位冲激函数的象函数
f (t ) (t )
F ( s) L[ (t )] (t ) e dt (t )e dt 0
st
0
st
e
s0
1
0
(3)指数函数的象函数
s 6
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重点
①拉普拉斯反变换部分分式展开； ②基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、
运算电路； ③应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤。 ④网络函数的的定义和极点、零点的概念； ⑤网络函数的零点、极点与冲激响应的关系； ⑥网络函数的零点、极点与频率响应的关系。
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难点
①拉普拉斯反变换的部分分式展开法； ②电路分析方法及定理在拉普拉斯变换中的应用。 ③零点、极点与冲激响应的关系 ④零点、极点与频率响应的关系
0-
∞
∞
= A1 f1(t) e-st dt + A2 f2(t) e-st dt = 右
0-
0-
A1F1(s)
A2F2(s)
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P346 例14-2 若 f1(t)=sin(wt)， f2(t)=K(1-
e-at)的定义域为[0， ]，求其象解函：数。
ℒ [ f1(t)] = ℒ [sin(wt)] 欧拉公式 ℒ
②掌握求拉普拉斯反变换的部分分式展开法、 基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运 算导纳、运算电路。
③掌握应用拉普拉斯变换分析线性电路的方 法和步骤。
④理解网络函数的的定义和极点、零点的概念； ⑤掌握网络函数的零点、极点与冲激响应的关系；
⑥掌握网络函数的零点、极点与频率响应的关系；
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1. 定义
一个定义在 [0, +∞] 区间的函数 f(t)，它的拉普拉斯 变换式 F(s) 定义为：
∞
F(s)=ℒ [f(t)]= f(t)e-stdt
0-
式中s=s+jw为复数，被称为复频率；
F(s)称为f(t)的象函数， f(t)称为F(s)的原函数。
由F(s)到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换，它定义为：
∞ 0-
ℒ [eat]=
1 s-a
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§14-2 拉普拉斯变换的基本性质
1. 线性性质
设：ℒ [ f1(t)]=F1(s)，ℒ [ f2(t)]=F2(s) A1、A2 是两个任意实常数。
则：ℒ [A1 f1(t)+A2 f2(t)] = A1F1(s)+A2F2(s)
证： 左 = [A1 f1(t) + A2 f2(t)] e-st dt
与其它章节的联系
拉氏变换：解决电路的动态分析问题。即解决第七章 的问题，称之为运算法，是后续各章的基础，前几章 基于变换思想的延续。
网络函数部分以拉氏变换为基础，是叠加定理的一种 表现。冲激响应参见第 7 章、频率响应参见第 11章。
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§14-1 拉普拉斯变换的定义
1. 引言
f(t)= ℒ -1[F(s)]= 1 2pj
c+j
F(s) est dt
c-j
式中c为正的有限常数。
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注意
(1)定义中拉氏变换的积分从 t=0- 开始，即：
∞
0+
∞
F(s)=ℒ [f(t)]= f(t)e-stdt = f(t)e-stdt + f(t)e-stdt
0-
0-
拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心 是把时间函数 f(t) 与复变函数 F(s) 联系起来， 把时域问题通过数学变换化为复频域问题。
两个特点：一是把时间域的高阶微分方程变换 为复频域的代数方程；二是将电流和电压的初 始值自动引入代数方程中，在变换处理过程中， 初始条件成为变换的一部分。
由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程 较有规律且有效，所以拉普拉斯变换在线性电 路分析中得到广泛应用。
线性性质
1 2j
ℒ
[ejwt]
-ℒ
[e-jwt
]
=
1 2j
1
s-jw
-
1
s+jw
=
w s2+w2
1 2j
(ejwt-e-jwt
)
引用
ℒ
[eat ]
=
1 s-a
ℒ [sin(wt)] = w s2+w2
ℒ
[
f2(t)]
=
ℒ
[K(1-e-at)]
线性性质
ℒ
[K]-ℒ
[Ke-at]
引用阶跃函数和指数函数的结论
∞∞
0- ∞
F(s)
= e-st f(t) - f(t) de-st = -f(0-)+ s f(t) e-st dt
0- 0-
0-
推论：ℒ [ f (n)(t)]=snF(s)-sn-1f(0-)-sn-2f '(0-)- -f (n-1)(0-) 特别，当 f(0-) = f '(0-) = =f (n-1)(0-)= 0 时 则有 ℒ [ f ' (t)] = sF(s)，，ℒ [f (n)(t)] = snF(s)
1 s
(2)单位冲激函数d(t)
∞
0+
F(s) = d(t) e-st dt = d(t) e-st dt = e-s(0)
0-ห้องสมุดไป่ตู้
0-
(3)指数函数 f(t) = eat (a为实数)
ℒ [d(t)]=1
F(s) =
∞
eat e-st dt =
0-
∞
e-(s-a)t dt =
0-
1 -(s-a)
e-
(s-a)t
=
K s
-
K s+a
=
Ka
s(s+a)
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ℒ
[K(1-e-at)]=
Ka
s(s+a)
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2. 微分性质
若 ℒ [ f(t)]=F(s)，则 ℒ [ f ' (t)] = sF(s)-f(0-)
证：ℒ [ f ' (t)] =
∞ df(t) e-st dt =
∞
e-st df(t)
0- dt
流)信号，它们的函数表达式f(t)都存在拉氏变换。
所以应用时不再计较F(s)的存在条件。
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2. 典型函数的拉氏变换 P345例
14-1 (1)单位阶跃函数 f(t) = e(t)
F(s) =
∞
e(t) e-st dt =
0-
∞
e-st dt = -
0-
1 s
e-st
∞ 0-
ℒ
[e(t)]=
0+
它计及 t=0-至 0+ ，f(t) 包含的冲激和电路动态变量
的初始值，从而为电路的计算带来方便。
(2)象函数 F(s) 一般用大写字母表示，如I(s)、U(s)， 原函数f(t) 用小写字母表示，如i(t)，u(t)。
象函数F(s) 存在的条件： Re[s]=s > c。
在电气领域中所用到的都是有实际意义的(电压或电
第十四章 线性动态电路的复频域分析
主要内容 ①拉普拉斯变换及其与电路分析有关的性质； ②反变换的方法； ③KCL、KVL和VCR的运算形式； ④拉氏变换在线性电路中的应用； ⑤网络函数的定义与含义； ⑥极点与零点对时域响应的影响； ⑦极点与零点与频率响应的关系。
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基本要求
①了解拉普拉斯变换的定义，会用拉普拉斯 变换的基本性质求象函数。