泰安期末考试
2023-2024学年山东省泰安市高三(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省泰安市高三（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知A ＝{1，2，a +4}，B ＝{a ，6}，若A ∩B ＝B ，则实数a ＝（ ） A ．0B ．1C ．2D ．32．设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，且z 1＝1﹣i ，则z 1z 2＝（ ） A ．2B ．0C ．﹣2iD ．﹣23．“x ＞0”是“2x +12x ＞2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知向量a →=(2，n)，b →=(m ，3)，若a →−b →=(−2，−4)，则向量a →在向量b →上的投影向量为（ ） A ．1B ．√55C ．（4，3）D ．(45，35)5．已知f （x ）＝ax 3﹣2x 2+bx +a 2（a ，b ∈R ）在x ＝1处的极大值为5，则a +b ＝（ ） A ．﹣2 B ．6 C ．﹣2或6 D ．﹣6或26．已知sin(θ−π4)cos2θ=−2√2，则sin2θ＝（ ）A ．1516B ．−1516C ．34D ．−347．已知f(x)=(45)|x−1|，则下列不等关系正确的是（ ） A ．f （log 26）＜f （log 0.51.25）＜f （1） B ．f （log 0.51.25）＜f （log 26）＜f （1） C ．f （1）＜f （log 0.51.25）＜f （log 26）D ．f （1）＜f （log 26）＜f （log 0.51.25） 8．设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左，右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过点F 1，若点F 2关于l 的对称点P 恰好在椭圆C 上，且F 1P →⋅F 1F 2→=b 2，则C 的离心率为（ ） A ．13B ．23C ．√17−23D ．√13−23二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知直线l ：kx ﹣y +2k +1＝0与圆O ：x 2+y 2＝9，则下列结论正确的是（ ）A ．直线恒过定点（2，﹣1）B ．直线l 与圆O 相交C ．若k =34，直线l 被圆O 截得的弦长为2√5 D ．若直线l 与直线x +4k 2y +k 2＝0垂直，则k =1410．已知函数f(x)=12−12cos(2x +2φ)(0＜φ＜π2)的图象的一个对称中心为(π12，12)，则下列结论正确的是（ ）A ．f （x ）的最小正周期为πB ．f(0)=14C ．f （x ）在(π3，2π3)上单调递增 D ．f （x ）图象向右平移2π3个单位长度后关于y 轴对称11．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，点M 是CD 的中点，将△ADM 沿AM 翻折到△APM 位置，连接PB ，PC ，且F 为PC 中点，4AE →=AB →，在△ADM 翻折到△APM 的过程中，下列说法正确的是（ ）A ．EF ∥平面P AMB ．存在某个位置，使得CM ⊥PEC ．当翻折到二面角P ﹣AM ﹣B 为直二面角时，E 到PC 的距离为√356D ．当翻折到二面角P ﹣AM ﹣B 为直二面角时，AC 与平面PMB 所成角的正弦值为3√51012．已知曲线C 1：f （x ）＝ln （2x ﹣1）在点M （x 1，y 1）处的切线与曲线C 2：g （x ）＝e 2x﹣1相切于点N（x 2，y 2），则下列结论正确的是（ ） A ．函数h （x ）＝x 2g （x ）﹣1有2个零点B ．函数m(x)=32ef(x)−xg(x)在(12，1)上单调递增C ．g(x 2)=12x 1−1D ．1x 1−1+2x 2=0三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知正数a ，b 满足log 2a ＝log 3b ＝log 65，则ab ＝ ．14．已知正项数列{a n }的前n 项积为T n ，且满足a n （3T n ﹣1）＝T n （n ∈N *），则T n ＝ ． 15．已知球O 的体积为32π3，其内接圆锥与球面交线长为2√3π，则该圆锥的侧面积为 ．16．已知椭圆C ：x 29+y 2b 2=1（b ＞0）的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P(√6，1)在C 内，点Q 在C 上，则1|QF 1|+1|QF 2|的取值范围是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）如图，在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，4sin 2B sin 2C ＝sin2B sin2C ，P 为△ABC 所在平面内一点，且PB ＝2√3，∠PBC ＝90°，∠PBA 为锐角． （1）若c ＝1，求P A ；（2）若∠P AB ＝120°，求tan ∠PBA ．18．（12分）如图所示，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝2√3，AA 1＝5，D 为AC 中点，且∠ABD ＝30°，BE =35BB 1，CF =15CC 1． （1）求证：BD ⊥A 1F ；（2）求平面AEF 与平面A 1EF 夹角的余弦值．19．（12分）已知数列{a n }满足a n =32n−1，正项数列{b n }满足b n2−2（n ﹣1）b n ﹣4n ＝0．当n ≥4时，记s i＝min {a 1，a 2，…，a i }，t i ＝max {a i +1，a i +2，…，a n }（i ＝1，2，…，n ﹣1），c i ＝s i +t i ． （1）证明：c 1，c 2，…，c n ﹣1是等比数列； （2）求b 1c n ﹣1+b 2c n ﹣2+…+b n ﹣1c 1．20．（12分）某果农种植了200亩桃，有10多个品种，各品种的成熟期不同，从五月初一直持续到十月底．根据以往的经验可知，上市初期和后期会因供不应求使价格连续上涨，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数：①f （x ）＝e x ﹣sin （x +p ）+q ；②f （x ）＝x 2+px +q ；③f （x ）=12x 2+px +36ln(2x +2)+q （x 表示时间，以上三式中p ，q 均为常数，且﹣30＜p ＜﹣11）． （1）为准确研究其价格走势，应选择哪个价格模拟函数，并说明理由； （2）若f （5）＝6.78，f （11）＝7.62，①求出所选函数f （x ）的解析式（注：2≤x ≤12且x ∈N *，其中x ＝2表示5月份下半月，x ＝3表示6月份上半月，…，x ＝12表示10月份下半月）；②若上市初期（5月份上半月）以7元销售，为保证果农的收益，计划价格在7元以下期间进行促销活动，请你预测该果农应在哪个时间段进行促销活动，并说明理由．（ln 2＝0.69，ln 3＝1.10，ln 5＝1.60，ln 11＝2.40）21．（12分）已知函数f （x ）=ax e x +12x 2−x （a ＞0）． （1）若f （x ）＜12x 2−lnx 恒成立，求a 的范围； （2）讨论f （x ）的零点个数． 22．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线的倾斜角为30°，右焦点F 到渐近线的距离为1．（1）求双曲线C 的方程；（2）设动直线l ：y ＝kx +m 与C 相切于点A ，且与直线x =32相交于点B ，点P 为平面内一点，直线P A ，PB 的倾斜角分别为α，β．证明：存在定点P ，使得|α﹣β|=π2．2023-2024学年山东省泰安市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知A ＝{1，2，a +4}，B ＝{a ，6}，若A ∩B ＝B ，则实数a ＝（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3解：A ＝{1，2，a +4}，B ＝{a ，6}，A ∩B ＝B ， ∴B ⊆A ，∴a ＝2且a +4＝6或a ＝1且a +4＝6， 解得实数a ＝2． 故选：C ．2．设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，且z 1＝1﹣i ，则z 1z 2＝（ ） A ．2B ．0C ．﹣2iD ．﹣2解：复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，且z 1＝1﹣i ， ∴z 2＝1+i ，则z 1z 2＝（1﹣i ）（1+i ）＝1﹣i 2＝2． 故选：A ． 3．“x ＞0”是“2x +12x ＞2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：当x ＞0时，2x ＞1，则2x +12x ＞2成立； 当2x +12x ＞2，等价于4x +1＞2×2x ，即（2x ﹣1）2＞0，只需x ≠0； 所以“x ＞0”是“2x +12x ＞2”的充分不必要条件． 故选：A ．4．已知向量a →=(2，n)，b →=(m ，3)，若a →−b →=(−2，−4)，则向量a →在向量b →上的投影向量为（ ） A ．1B ．√55C ．（4，3）D ．(45，35)解：根据题意，向量a →=(2，n)，b →=(m ，3)，a →−b →=(−2，−4)，则有{2−m =−2n −3=−4，解可得{m =4n =−1，即a →=（2，﹣1），b →=（4，3），向量a →在向量b →上的投影向量为a →⋅b →|b →|b→|b →|=2×4−1×325b →=（45，35）．故选：D ．5．已知f （x ）＝ax 3﹣2x 2+bx +a 2（a ，b ∈R ）在x ＝1处的极大值为5，则a +b ＝（ ） A ．﹣2B ．6C ．﹣2或6D ．﹣6或2解：∵f （x ）＝ax 3﹣2x 2+bx +a 2，∴f ′（x ）＝3ax 2﹣4x +b ， 又f （x ）＝ax 3﹣2x 2+bx +a 2（a ，b ∈R ）在x ＝1处的极大值为5， ∴f ′（1）＝3a ﹣4+b ＝0，f （1）＝a ﹣2+b +a 2＝5， 解得{a =3b =−5或{a =−1b =7，经检验可知当a ＝3，b ＝﹣5时，f （x ）在x ＝1处取得极小值，不满足题意， ∴a ＝﹣1，b ＝7， ∴a +b ＝6． 故选：B ． 6．已知sin(θ−π4)cos2θ=−2√2，则sin2θ＝（ ）A ．1516B ．−1516C ．34D ．−34解：∵sin(θ−π4)cos2θ=√22(sinθ−cosθ)cos 2θ−sin 2θ=−√22cosθ+sinθ=−2√2，∴cosθ+sinθ=14， ∴1+sin2θ=116， ∴sin2θ=−1516． 故选：B ．7．已知f(x)=(45)|x−1|，则下列不等关系正确的是（ ） A ．f （log 26）＜f （log 0.51.25）＜f （1） B ．f （log 0.51.25）＜f （log 26）＜f （1） C ．f （1）＜f （log 0.51.25）＜f （log 26）D ．f （1）＜f （log 26）＜f （log 0.51.25） 解：画出函数f(x)=(45)|x−1|的大致图像， 如图所示：，函数f （x ）的图像关于直线x ＝1对称， 由函数f （x ）的图像可知，f （1）是最大值． ∵|log 26﹣1|＝|log 26﹣log 22|＝log 23， |log 0.51.25﹣1|＝|log 0.51.25﹣log 0.50.5| ＝|log 0.52.5|＝|log 225|＝log 25﹣1=log 252． 由于log 252＜log 23，∴f （log 26）＜f （log 0.51.25）， ∴f （1）＞f （log 0.51.25）＞f （log 26）． 故选：A ．8．设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左，右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过点F 1，若点F 2关于l 的对称点P 恰好在椭圆C 上，且F 1P →⋅F 1F 2→=b 2，则C 的离心率为（ ） A ．13B ．23C ．√17−23D ．√13−23解：由题意直线l 过点F 1，若点F 2关于l 的对称点P 恰好在椭圆C 上，可得|PF 1|＝|F 1F 2|＝2c ，∴|PF 2|＝2a ﹣2c ，cos ∠F 1PF 2=4c 2+4c 2−(2a−2c)22⋅2c⋅2c =4c 2+8ac−4a 28c 2， ∵F 1P →⋅F 1F 2→=b 2，∴2c ×2c ×4c 2+8ac−4a 28c2=b 2， ∴4c 2+8ac ﹣4a 2＝2a 2﹣2c 2，∴3a 2﹣4ac ﹣3c 2＝0， ∴3e 2+4e ﹣3＝0，e ∈（0，1），∴e =√13−23．故选：D ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知直线l ：kx ﹣y +2k +1＝0与圆O ：x 2+y 2＝9，则下列结论正确的是（ ） A ．直线恒过定点（2，﹣1）B ．直线l 与圆O 相交C ．若k =34，直线l 被圆O 截得的弦长为2√5 D ．若直线l 与直线x +4k 2y +k 2＝0垂直，则k =14解：直线l ：kx ﹣y +2k +1＝0即为k （x +2）+1﹣y ＝0，故直线l 过定点（﹣2，1），故A 错误； 因为（﹣2）2+12＝5＜9，即点（﹣2，1）在圆O 的内部，故直线l 与圆O 相交，故B 正确； 当k =34时，直线l 的方程为3x ﹣4y +10＝0，圆O ：x 2+y 2＝9的圆心为O （0，0），半径r ＝3， 所以圆心为O （0，0）到直线l 的距离d =105=2，所以直线l 被圆O 截得的弦长为2√r 2−d 2=2√5，故C 正确；若直线l 与直线x +4k 2y +k 2＝0垂直，则k ﹣4k 2＝0，解得k ＝0或k =14，故D 错误． 故选：BC ．10．已知函数f(x)=12−12cos(2x +2φ)(0＜φ＜π2)的图象的一个对称中心为(π12，12)，则下列结论正确的是（ ）A ．f （x ）的最小正周期为πB ．f(0)=14C ．f （x ）在(π3，2π3)上单调递增 D ．f （x ）图象向右平移2π3个单位长度后关于y 轴对称解：∵函数f(x)=12−12cos(2x +2φ)(0＜φ＜π2)的图象的一个对称中心为(π12，12)， ∴12−12cos （π6+2φ）=12，即cos （π6+2φ）＝0． 故π6+2φ＝k π+π2，k ∈Z ，求得φ=kπ2+π6，k ∈Z ， ∴φ=π6，f （x ）=12−12cos （2x +π3）． 显然，函数f （x ）的的最小正周期为2π2=π，故A 正确．由于f （0）=12−12cosπ3=14，故B 正确．在(π3，2π3)上，2x +π3∈（π，5π3），函数f （x ）单调递增，故C 正确． 把f （x ）图象向右平移2π3个单位长度后，得到y =12−12cos （2x −4π3+π3）=12−12cos （2x ﹣π））=12+12cos2x 的图象， 显然，所得函数的图象关于y 轴对称，故D 正确． 故选：ABCD ．11．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，点M 是CD 的中点，将△ADM 沿AM 翻折到△APM 位置，连接PB ，PC ，且F 为PC 中点，4AE →=AB →，在△ADM 翻折到△APM 的过程中，下列说法正确的是（ ）A ．EF ∥平面P AMB ．存在某个位置，使得CM ⊥PEC ．当翻折到二面角P ﹣AM ﹣B 为直二面角时，E 到PC 的距离为√356D ．当翻折到二面角P ﹣AM ﹣B 为直二面角时，AC 与平面PMB 所成角的正弦值为3√510解：取MC 中点O ，连接FO ，EO ，所以MO =12MC =14DC =AE ， 又MO ∥AE ，所以四边形MOEA 为平行四边形，故EO ∥AM ，AM ⊂平面P AM ，EO ⊄平面P AM ，故EO ∥平面P AM ， FO ∥PM ，PM ⊂平面P AM ，FO ⊄平面P AM ，故FO ∥平面P AM ， FO ∩EO ＝O ，FO ，EO ⊂平面EOF ， 因此平面EOF ∥平面P AM ，EF ⊂平面EOF ， 所以EF ∥平面P AM ，A 正确；当AB ⊥PE 时，由于AP ＝2，AE ＝1，则PE =√3， 此时PB =√PE 2+EB 2=√(√3)2+32=2√3， 故只需要在翻折过程中使得PB =2√3 即可满足AB ⊥PE ，即CM ⊥PE ，故B 正确； 对于C ，取AM 中点N ，由于P A ＝PM ＝2，∴PN ⊥AM ，又AM =√2AP =2√2，BM =√2BC =2√2，AB =4，所以AM ⊥BM ，取AB 中点Q ，则AN ⊥NQ ， 当二面角P ﹣AM ﹣B 为直二面角时，则∠PNQ =π2，故以NP →，NQ →，NA →为正方向为z ，y ，x ，建立如图所示的空间直角坐标系， 则P(0，0，√2)，C(−2√2，√2，0)，F(−√2，√22，√22)，E(√22，√22，0)， A(√2，0，0)，B(−√2，2√2，0)，M(−√2，0，0)， 所以PC →=(−2√2，√2，−√2)，PE →=(√22，√22，−√2)， 则PE →2=12+12+2=3， PC →⋅PE →=−2√2×√22+√2×√22+√2×√2=1，|PC →|=√8+2+2=2√3， 故E 到PC 的距离为： √PE →2−(PE →⋅PC →|PC →|)2=√3−(12√3)2=√1056，故C 错误；PM →=(−√2，0，−√2)，PB →=(−√2，2√2，−√2)，AC →=(−3√2，√2，0)， 设平面PMB 的法向量为m →=(x ，y ，z)， 则{PM →⋅m →=−√2x −√2z =0PB →⋅m →=−√2x +2√2y −√2z =0，取x ＝1，则y ＝0，z ＝﹣1，则m →=(1，0，−1)，故直线AC 与平面PMB 所成角的正弦值为|cos〈AC →，m →〉|=|m →⋅AC →||AC →||m →|=3√2√2×2√5=3√510，故D 正确．故选：ABD ．12．已知曲线C 1：f （x ）＝ln （2x ﹣1）在点M （x 1，y 1）处的切线与曲线C 2：g （x ）＝e 2x﹣1相切于点N（x2，y2），则下列结论正确的是（）A．函数h（x）＝x2g（x）﹣1有2个零点B．函数m(x)=32ef(x)−xg(x)在(12，1)上单调递增C．g(x2)=12x1−1D．1x1−1+2x2=0解：A．h（x）＝x2g（x）﹣1＝x2e2x﹣1﹣1⇒h′（x）＝2x（x+1）e2x﹣1，当x＞0时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，当﹣1＜x＜0时，h′（x）＞0，h（x）单调递减，当x＜﹣1时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，函数h（x）的极大值为h（﹣1）＝e﹣3﹣1＜0，极小值为h（0）＝﹣1＜0，因此当x＜﹣1时，h（x）＜0；当﹣1＜x＜0时，h（x）＜0，当x→+∞时，h（x）→+∞，因此函数h（x）只有一个零点，故A错误；B.m(x)=32ef(x)−xg(x)=32eln(2x−1)−xe2x−1，则m′(x)=3e2x−1−(2x+1)e2x−1，当x∈(12，1)时，根据函数单调性的性质可知，函数m′（x）单调递减，所以当x∈(12，1)时，m′（x）＞m′（1）＝0，所以函数m(x)=32ef(x)−xg(x)在(12，1)上单调递增，故B正确；C.f(x)=ln(2x−1)⇒f′(x)=22x−1，因此曲线C1：f（x）＝ln（2x﹣1）在点M（x1，y1）处的切线方程为y−ln(2x1−1)=22x1−1(x−x1)⇒y=2x12x1−1+ln(2x1−1)−2x12x1−1，g（x）＝e2x﹣1⇒g′（x）＝2e2x﹣1，因此曲线C2：g(x)=e2x−1相切方程为y−e2x2−1=2e2x2−1(x−x2)⇒y=2e2x2−1x+e2x2−1−2e2x2−1x2，因此g(x2)=e2x2−1=12x1−1，故C错误；D．由上可知，{12x1−1=e2x2−1ln(2x1−1)−2x12x1−1=e2x2−1−2e2x2−1x2，因此ln(2x1−1)−2x12x1−1=e2x2−1−2e2x2−1x2⇒lne−(2x2−1)−2x12x1−1=12x1−1−2x22x1−1⇒−2x 2+1−2x 12x 1−1=12x 1−1−2x 22x 1−1⇒2x 1x 2−2x 2+1=0⇒2x 2(x 1−1)=−1⇒1x 1−1+2x 2=0，故D 正确． 故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知正数a ，b 满足log 2a ＝log 3b ＝log 65，则ab ＝ 5 ． 解：设log 2a ＝log 3b ＝log 65＝k ， 则a ＝2k ，b ＝3k ，5＝6k ；所以ab ＝2k •3k ＝（2×3）k ＝6k ＝5． 故答案为：5．14．已知正项数列{a n }的前n 项积为T n ，且满足a n （3T n ﹣1）＝T n （n ∈N *），则T n ＝ 12⋅(13)n +12．解：∵a n （3T n ﹣1）＝T n ， ∴T n T n−1(3T n −1)=T n ，n ≥2，∴3T n ﹣1＝T n ﹣1，∴T n −12=13(T n−1−12)，n ≥2， 又a 1（3a 1﹣1）＝a 1，又a 1＞0， 解得a 1=23，∴a 1−12=16， ∴{T n −12}是以16为首项，13为公比的等比数列， ∴T n −12=16×(13)n−1， ∴T n =12⋅(13)n +12． 故答案为：12⋅(13)n +12． 15．已知球O 的体积为32π3，其内接圆锥与球面交线长为2√3π，则该圆锥的侧面积为 6π或2√3π ．解：设圆锥底面圆的半径为r ，高为h ，母线长为l ，则2πr =2√3π，即r =√3， 设球的半径为R ，则4π3R 3=32π3，即R ＝2，由射影定理可得r 2＝h （2R ﹣h ）， 则3＝h （4﹣h ）， 即h ＝1或h ＝3， 又l =√r 2+ℎ2，则l 的值为2或2√3， 又圆锥的侧面积公式为πrl ， 则该圆锥的侧面积为2√3π或6π． 故答案为：2√3π或6π． 16．已知椭圆C ：x 29+y 2b 2=1（b ＞0）的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P(√6，1)在C 内，点Q 在C 上，则1|QF 1|+1|QF 2|的取值范围是 [23，2) ．解：椭圆C 的焦点左右分布，说明焦点在x 轴上，因此可得0＜b 2＜9． ∵点P(√6，1)在C 内，∴69+1b 2＜1，∴3＜b 2＜9，设|QF 1|＝m ，令Q 坐标为（x 0，y 0），F 1坐标为（﹣c ，0），其中c ＞0且有b 2+c 2＝9，因此可得0＜c ＜√6， 则m =√(x 0+c)2+y 02=√x 02+2cx 0+c 2+b 2−b 29x 02=√c 29x 02+2cx 0+9=3+x03c(−3⩽x ⩽3)，因此3﹣c ⩽m ⩽3+c ，由于|QF 1|+|QF 2|=2√9=6，因此|QF 2|＝6﹣m ， 则1|QF 1|+1|QF 2|=1m+16−m=6−m 2+6m，对于﹣m 2+6m ，当m =62=3时其取最大值，最大值为9， 当x ＝3﹣c 或3+c 时取最小值，最小值为9﹣c 2＞9﹣6＝3， 因此23⩽6−m 2+6m ⩽69−c2＜63=2，故1|QF 1|+1|QF 2|取值范围为[23，2)．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）如图，在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，4sin 2B sin 2C ＝sin2B sin2C ，P 为△ABC 所在平面内一点，且PB ＝2√3，∠PBC ＝90°，∠PBA 为锐角． （1）若c ＝1，求P A ；（2）若∠P AB ＝120°，求tan ∠PBA ．解：因为4sin 2B sin 2C ＝sin2B sin2C ， 所以4sin 2B sin 2C ＝4sin B cos B •sin C cos C ，因为sin B sin C＞0，所以cos B cos C﹣sin B sin C＝cos（B+C）＝0，又0°＜B＜180°，0°＜C＜180°，所以B+C＝90°，即A＝90°，（1）由上可知，∠BAC＝90°，因为a＝2，c＝1，所以cos∠ABC=ca=12，因为0°＜∠ABC＜180°，所以∠ABC＝60°，又∠PBC＝90°，所以∠PBA＝90°﹣60°＝30°，在△P AB中，由余弦定理知，P A2＝PB2+AB2﹣2PB•AB cos∠PBA＝12+1﹣2×2√3×1×√32=7，所以P A=√7．（2）设∠PBA＝α，则sin P＝sin（120°+α），∠ABC＝90°﹣α，在Rt△ABC中，AB＝BC cos∠ABC＝2cos（90°﹣α）＝2sinα，在△P AB中，由正弦定理知，ABsinP =PBsin∠PAB，所以2sinαsin(120°+α)=2√3sin120°=√3√32=4，所以sinα＝2sin（120°+α）=√3cosα﹣sinα，所以2sinα=√3cosα，所以tan∠PBA＝tanα=sinαcosα=√32．18．（12分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝2√3，AA1＝5，D为AC中点，且∠ABD＝30°，BE=35BB1，CF=15CC1．（1）求证：BD⊥A1F；（2）求平面AEF与平面A1EF夹角的余弦值．解：（1）证明：因为AB＝AC＝2√3，D为AC中点，所以AD=√3，又∠ABD＝30°，所以由余弦定理得，BD＝3，所以AB2＝AD2+BD2，所以BD⊥AC，由直棱柱性质有，AA 1⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ， 所以AA 1⊥BD ，又AA 1∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面ACC 1A 1，又F 在CC 1上，所以A 1F ⊂平面ACC 1A 1， 所以BD ⊥A 1F ．（2）过D 作侧棱AA 1的平行线，交A 1C 1于点G ，则DG ⊥平面ABC ， 则在D 处有DA 、DB 、DC 两两互相垂直，以D 为原点，DA 、DB 、DC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：则A （√3，0，0），B （0，3，0），C （−√3，0，0），E （0，3，3），F （−√3，0，1），A 1（√3，0，5）， AE →=(−√3，3，3)，EF →=(−√3，−3，−2)，A 1E →=(−√3，3，−2)， 设平面AEF 的一个法向量为m →=(x ，y ，z)，则{m →⋅AE →=−√3x +3y +3z =0m →⋅EF →=−√3x −3y −2z =0，令x =√3，则y ＝﹣5，z ＝6， 所以m →=(√3，−5，6)，设平面A 1EF 的一个法向量为n →=(a ，b ，c)，则{n →⋅A 1E →=−√3a +3b −2c =0n →⋅EF →=−√3a −3b −2c =0，令a =√3，则b ＝0，c =−32， 所以n →=(√3，0，−32)，设平面AEF 与平面A 1EF 的夹角为θ，则cos θ=|cos ＜m →，n →＞|=|m →⋅n →||m →||n →|=3+25+36×3+94=√2114．平面AEF 与平面A 1EF 夹角的余弦值为√2114．19．（12分）已知数列{a n }满足a n =32n−1，正项数列{b n }满足b n2−2（n ﹣1）b n ﹣4n ＝0．当n ≥4时，记s i＝min {a 1，a 2，…，a i }，t i ＝max {a i +1，a i +2，…，a n }（i ＝1，2，…，n ﹣1），c i ＝s i +t i ． （1）证明：c 1，c 2，…，c n ﹣1是等比数列； （2）求b 1c n ﹣1+b 2c n ﹣2+…+b n ﹣1c 1． （1）证明：∵a n =32n−1为递减数列，∴s i =a i =32i−1，t i =a i−1=32i ， ∴c i =s i +t i =32i−1+32i =92i ， ∴c n−1c n−2=92n−192n−2=12(n ⩾3)，又c 1=92，∴c 1，c 2，⋯，c n ﹣1是以92为首项，12为公比的等比数列；（2）解：∵b n2−2(n −1)b n −4n =0，∴（b n ﹣2n ）（b n +2）＝0， ∵b n ＞0，∴b n ＝2n ，设S =b 1c n −1+b 2c −2+⋯+b n−1c 1=2⋅92n−1+4⋅92n−2+⋯+(2n −2)⋅92①，则2S =2⋅92n−2+4⋅92n−3+⋯+(2n −4)⋅92+(2n −2)⋅9②， ①﹣②得：﹣S =2⋅92n−1+2⋅92n−2+⋯+2⋅92−(2n −2)⋅9=18×[1−(12)n−1]−18n +18，∴S =182n−1+18n −36， ∴b 1c n ﹣1+b 2c n ﹣2+⋯+b n ﹣1c 1=182n−1+18n −36． 20．（12分）某果农种植了200亩桃，有10多个品种，各品种的成熟期不同，从五月初一直持续到十月底．根据以往的经验可知，上市初期和后期会因供不应求使价格连续上涨，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数：①f （x ）＝e x ﹣sin （x +p ）+q ；②f （x ）＝x 2+px +q ；③f （x ）=12x 2+px +36ln(2x +2)+q （x 表示时间，以上三式中p ，q 均为常数，且﹣30＜p ＜﹣11）． （1）为准确研究其价格走势，应选择哪个价格模拟函数，并说明理由； （2）若f （5）＝6.78，f （11）＝7.62，①求出所选函数f （x ）的解析式（注：2≤x ≤12且x ∈N *，其中x ＝2表示5月份下半月，x ＝3表示6月份上半月，…，x ＝12表示10月份下半月）；②若上市初期（5月份上半月）以7元销售，为保证果农的收益，计划价格在7元以下期间进行促销活动，请你预测该果农应在哪个时间段进行促销活动，并说明理由．（ln 2＝0.69，ln 3＝1.10，ln 5＝1.60，ln 11＝2.40）解：（1）对于函数①，f （x ）＝e x ﹣sin （x +p ）+q ， ∴f ′（x ）＝e x ﹣cos （x +p ）＞0在（0，+∞）上恒成立， ∴f （x ）在（0，+∞）上单调递增，不具有先升后降再升的特点， 对于函数②，f （x ）＝x 2+px +q ，其不具有先升后降再升的特点， 对于函数③，f(x)=12x 2+px +36ln(2x +2)+q ， ∵f ′(x)=x +p +36x+1=x 2+(p+1)x+36+px+1， 设方程x 2+（p +1）x +36+p ＝0两根为x 1，x 2，不妨设x 1＜x 2， ∵﹣30＜p ＜﹣11，∴x 1+x 2＞0，x 1，x 2＞0，∴0＜x 1＜x 2，∴在（0，x 1）和（x 2，+∞）上f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，在（x 1，x 2）上f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减，∴函数③符合先升后降再升的特点，故选③； （2）①由f （5）＝6.78及f （11）＝7.62， 得{5p +q =−9511p +q =−167，解得{p =−12q =−35， ∴f(x)=12x 2−12x +36ln(2x +2)−35，2⩽x ⩽12且x ∈N *， ②设g(x)=12x 2−12x +36ln(2x +2)−35(x ＞0)， 则g ′(x)=(x−3)(x−8)x+1， ∴g （x ）在（0，3），（8，+∞）上单调递增，在（3，8）上单调递减， 又f （2）＝36ln 6﹣57＝36（ln 2+ln 3）﹣57＝7.44， f （4）＝36ln 10﹣75＝36（ln 2+ln 5）﹣75＝7.44＞7， f （5）＝6.78＜7，f （10）＝36ln 22﹣105＝36（ln 2+ln 11）﹣105＝6.24＜7， f （11）＝7.62＞7，∴当5⩽x ⩽10时，f （x ）＜7，∴该果农应在7月初到9月底进行促销活动． 21．（12分）已知函数f （x ）=ax e x +12x 2−x （a ＞0）． （1）若f （x ）＜12x 2−lnx 恒成立，求a 的范围；（2）讨论f （x ）的零点个数．解：（1）因为f(x)＜12x 2−lnx 恒成立，所以ax e x−x +lnx ＜0恒成立，令g(x)=ax e x −x +lnx ，则g ′(x)=a(1−x)e x +1x −1=(1−x)(e x +ax)xe x， 因为x ＞0，a ＞0，所以e x +ax ＞0，当0＜x ＜1时，g ′（x ）＞0，当x ＞1时，g ′（x ）＜0，所以函数g （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， 所以g(x)max =g(1)=ae −1，所以a e −1＜0，即a e＜1， 所以，a 的取值范围为{a |0＜a ＜e }． （2）令f （x ）＝0，得ax e x+12x 2−x =0，所以x(a e x +12x −1)=0，解得x ＝0或a =e x (1−12x)， 令ℎ(x)=e x (1−12x)，则ℎ′(x)=12e x (1−x)， 当x ＜1时，h ′（x ）＞0，当x ＞1时，h ′（x ）＜0，所以函数h （x ）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， 所以ℎ(x)max =ℎ(1)=e 2，又当x →﹣∞时，h （x ）＞0且h （x ）→0，当x →∞时，h （x ）→﹣∞， 如图，作出函数h （x ）的图象如下．当0＜a ＜e2时，函数y ＝h （x ），y ＝a 的图象有2个交点，且h （0）＝1； 当a =e2时，函数y ＝h （x ），y ＝a 的图象有1个交点； 当a ＞e2时，函数y ＝h （x ），y ＝a 的图象有0个交点． 综上，当0＜a ＜1或1＜a ＜e 2时，函数f （x ）的零点个数为3； 当a ＝1或a =e2时，函数f （x ）的零点个数为2；当a ＞e2时，函数f （x ）的零点个数为1． 22．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线的倾斜角为30°，右焦点F 到渐近线的距离为1．（1）求双曲线C 的方程；（2）设动直线l ：y ＝kx +m 与C 相切于点A ，且与直线x =32相交于点B ，点P 为平面内一点，直线P A ，PB 的倾斜角分别为α，β．证明：存在定点P ，使得|α﹣β|=π2． 解：（1）因为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的渐近线方程为y =±√33x ， 右焦点F （c ，0）到渐近线的距离为1=√33c 2+(√33)2，所以c ＝2，所以双曲线C 的方程是x 23−y 2=1．（2）证明：由{y =kx +mx 23−y 2=1，得（1﹣3k 2）x 2﹣6kmx ﹣3m 2﹣3＝0．因为动直线l 与双曲线C 有且只有一个公共点M （x 0，y 0），所以Δ＝36k 2m 2﹣4（1﹣3k 2）（﹣3m 2﹣3）＝0，所以3k 2﹣m 2﹣1＝0（*）． 此时x 0=−3km 1−3k2=−3k m ，y 0=kx 0+m =−1m ，所以A(−3k m ，−1m )，由{x =32y =kx +m，得B(32，32k +m)．假设平面内存在定点P 满足条件，由图形对称性知，点P 必在x 轴上．设P （x 1，0），要使|α−β|=π2，则P A ⊥PB ，则PA →⋅PB →=0对满足（*）式的m ，k 恒成立．因为PA →=(−3k m −x 1，−1m )，PB →=(32−x 1，32k +m)，由PA →⋅PB →=0，得−6k m +3kx 1m −32x 1+x 12−1=0， 所以(x 1−2)3k m +x 12−32x 1−1=0．(∗∗) 因为（**）式对满足（*）式的m ，k 恒成立， 所以{x 1−2=0x 12−32x 1−1=0，解得x 1＝2．故存在定点P （2，0），使得|α−β|=π2．。
年山东泰安肥城市2024年数学六上期末综合测试试题含解析
年山东泰安肥城市2024年数学六上期末综合测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、用心思考，我会填。
(每小题2分，共22分) 1．3L :250mL 4的最简单的整数比是（________），比值是（________）。
2．小明用15分钟走了1千米，平均每分钟走（ ）（ ）千米。
3．冰化成水，体积减少了111。
水结成冰，体积增加（______）。
4．一个八位数，最高位上是最小的合数，百万位上是最小的质数，千位上是最大一位数，其他数位上都是0，这个数写作（_______），改写成用“万”作单位是（_______）． 5．单位换算1040 L ＝（________）m 3 5600立方厘米=（________）立方米9.87升＝（_______）升（_______）毫升 905mL ＝（_______）cm 3＝（_______）dm 36．用长4厘米，宽3厘米的小长方形拼成正方形，拼成的正方形的边长最小是（________）厘米，一共要用到（________）个小长方形。
7．今年小明12岁，是妈妈年龄的。
等量关系是_______________________。
8．双向细目表题号所属领域目标指向难度系数考查内容及意图数与代数图形与几何概率统计综合与实践 了解理解掌握运用32●▲0.9考查学生综合运用知识去绘制平面图及用转化的思想求不规则图形的面积。
2023-2024学年山东省泰安市部分学校高二下学期期末测试数学试题(含答案)
2023-2024学年山东省泰安市部分学校高二下学期期末测试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={−1,0,1,2}，B ={x|x >0}，则下列结论不正确的是( )A. 1∈A ∩B B. ⌀⊆A ∩B C. {2}⊆A ∩BD. {x|x >0}=A ∪B2.关于x 的不等式(ax−1)2<x 2恰有2个整数解，则实数a 的取值范围是( )A. (−32,−1)∪(1,32)B. (−32,−43]∪[43,32)C. (−32,−1]∪[1,32)D. (−32,−43)∪(43,32)3.某同学喜爱球类和游泳运动，在暑假期间，该同学上午去打球的概率为13，若该同学上午不去打球，则下午一定去游泳;若上午去打球，则下午去游泳的概率为14.已知该同学在某天下午去游了泳，则上午打球的概率为( )A. 34B. 23C. 19D. 124.下列说法中，正确的个数为( )①样本相关系数r 的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度；②用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好；③随机变量ξ服从正态分布N (1,σ2)，若P (ξ<3)=0.8，则P (1<ξ<3)=0.3；④随机变量X 服从二项分布B (4,p )，若方差D (X )=34，则P (X =1)=364．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5.已知a =e 0.1−1，b =19，c =ln 1.1，则( )A. c <a <bB. a <b <cC. c <b <aD. a <c <b6.若一个四位数的各位数字之和为4，则称该四位数为“F 数”，这样的“F 数”有( )A. 17个B. 19个C. 20个D. 21个7.已知函数f(x)=e 2ax −3lnx ，若f(x)>x 3−2ax 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A. (0,32e )B. (32e ,+∞)C. (0,3e )D. (3e ,+∞)8.设动直线x =t(12≤t ≤2)与函数f(x)=12x 2，g(x)=ln x 的图象分别交于点M,N ，已知ln2<34，则|MN |的最小值与最大值之积为( )A. 2−ln2 B. (18+ln 2)(2−ln2)C. 1−ln2D. 1−12ln2二、多选题：本题共3小题，共18分。
2023-2024学年山东省泰安市高一(上)期末数学试卷(含解析)
2023-2024学年山东省泰安市高一（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U ={1,2,3,4,5}，集合A ={1,3,5}，集合B ={2,3,4}，则A ∩(∁U B)=( )A. {1,3,5}B. {1}C. {1,5}D. {5}2.已知p ：x >0，y >0q ：xy >0，则p 是q 的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.方程log 3x =−x +3的解所在的区间是( )A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,+∞) 4.已知函数f(x)={sinπx,x <0−√ x,x ⩾0，则f[f(49)]=( ) A. √ 32 B. −√ 32 C. 12D. −12 5.已知函数y =cos2x ，若将它的图象向左平移π12个单位长度，再将横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变)，则得到的函数解析式是( )A. y =cos(6x +π6)B. y =cos(6x +π12)C. y =cos(23x +π18)D. y =cos(23x +π6) 6.已知2tanθ−tan(θ−π4)=−7，则tanθ=( )A. −2B. −1C. 1D. 27.心理学家有时用函数L(t)=A(1−e −kt )测定在时间t(单位：min)内能够记忆的量L ，其中A 表示需要记忆的量，k 表示记忆率.假设某个学生需要记忆的量为100个成语，此时L 表示在时间t 内该生能够记忆的成语个数.已知该生在3min 内能够记忆10个成语，则k 的值约为(ln0.9≈−0.105,ln0.1≈−2.303)( )A. 0.035B. 0.35C. 0.461D. 0.768 8.已知定义域为R 的函数f(x)=2|x−m|−1(m ∈R)为偶函数，记a =f(log 314),b =f(2−32),c =f(2−23)，则( )A. a >b >cB. a >c >bC. b >a >cD. c >b >a二、多选题：本题共4小题，共20分。
山东省泰安市2024届高三上学期期末数学含答案解析
泰安市高三年级期末考试数学试题2024.01注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知{}{}1,2,4,,6A a B a =+=，若A B B = ，则实数=a （）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】因为A B B = ，所以B A ⊆，因此有1a =，或2a =，或4a a =+，显然4a a =+不成立，当1a =时，456a +=≠，不符合题意；当2a =时，46a +=，符合题意故选：C 2.设复数12,z z 在复平面内对应的点关于实轴对称，且11i z =-，则12z z =（）A.2 B.0C.2i- D.2-【答案】A【解析】因为复数12,z z 在复平面内对应的点关于实轴对称，且11i z =-，所以21i z =+，所以()()121i 1i 2z z =-+=.故选：A.3.“0x >”是“1222xx +>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若0x >，则1222x x +≥=,由于122x x ≠，所以1222x x +>，充分性成立，当=1x -时，1112,1,222--==满足1222x x +>，但是0x <，必要性不成立，因此“0x >”是“1222x x+>”的充分不必要条件，故选：A ，4.已知向量()()2,,,3a n b m == ，若()2,4a b -=-- ，则向量a在向量b 上的投影向量为（）A.1B.C.()4,3 D.43,55⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】由()()()2242,42,1,4,3341m m a b a b n n -=-=⎧⎧-=--⇒⇒⇒=-=⎨⎨-=-=-⎩⎩，向量a 在向量b 上的投影向量为()()14,34,3a b a a b b ⋅⋅⋅⋅==⋅43,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选：D.5.已知()()3222,f x ax x bx aa b =-++∈R 在1x =处的极大值为5，则a b +=（）A.2-B.6C.2-或6D.6-或2【答案】B【解析】()234f x ax x b '=-+，因为()()3222,f x ax x bx aa b =-++∈R 在1x =处的极大值为5，所以()()1510f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩，即225340a b a a b ⎧-++=⎨-+=⎩，解得35a b =⎧⎨=-⎩或17a b =-⎧⎨=⎩，当35a b =⎧⎨=-⎩时，()()()2945195f x x x x x =--=-+'，当1x >或59x <-时，()0f x '>，当519x -<<时，()0f x '<，所以()f x 在1x =处取得极小值，不符题意，当17a b =-⎧⎨=⎩时，()()()2347371f x x x x x =--+=-+-'，当713x -<<时，()0f x '>，当1x >或73x <-时，()0f x '<，所以()f x 在1x =处取得极大值，符合题意，综上所述，17a b =-⎧⎨=⎩，所以6a b +=.故选：B.6.已知πsin 4cos2θθ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-，则sin2θ=（）A.1516B.1516-C.34D.34-【答案】B【解析】由题意()22π22sin sin cos 422cos2cos sin 2sin cos θθθθθθθθ⎛⎫-- ⎪⎝⎭==-=--+，所以1sin cos 4θθ+=，()21sin cos 1sin 216θθθ+=+=，解得15sin216θ=-.故选：B.7.已知()145x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列不等关系正确的是（）A.()()()20.5log 6log 1.251f f f <<B.()()()0.52log 1.25log 61f f f <<C.()()()0.521log 1.25log 6f f f <<D.()()()20.51log 6log 1.25f f f <<【答案】A【解析】由题意()1114,15455,14x x x x f x x ---⎧⎛⎫≥⎪ ⎪⎪⎝⎭⎛⎫==⎨ ⎪⎝⎭⎛⎫⎪< ⎪⎪⎝⎭⎩，所以()()11f x f x +=-，即()f x 的对称轴为1x =，且当1x <时，()f x 单调递增，当1x ≥时，()f x 单调递减，所以()()()()()0.50.50.50.50.52log 1.252log 1.25log 0.25log 1.25log 0.2log 5f f f f f =-=-==，所以()()()()20.52log 6log 1.25log 51f f f f <=<.故选：A.8.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为12,F F ，直线l 过点1F ，若点2F 关于l 的对称点P恰好在椭圆C 上，且2112F P F F b ⋅=，则C 的离心率为（）A.13B.23C.23D.1323-【答案】D【解析】设12PF F θ∠=，由已知可得，1122PF F F c ==，根据椭圆的定义有21222PF a PF a c =-=-，又2112F P F F b ⋅=，所以224cos c b θ=，在12PF F △中，由余弦定理可得，22221121122cos PF PF F F PF F F θ=+-⋅，即()222222288cos 82a c c c c b θ-=-=-，即()2222248482a ac c c a c-+=--，化简得223430a ac c --=，则224330c c a a--=，所以23430e e +-=，解得1323e -=或23e +=（舍去），所以1323e -=.故选：D.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知直线:210l kx y k -++=与圆22:9O x y +=，则下列结论正确的是（）A.直线恒过定点()2,1-B.直线l 与圆O 相交C.若34k =，直线l 被圆O 截得的弦长为D.若直线l 与直线2240x k y k ++=垂直，则14k =【答案】BC【解析】直线:210l kx y k -++=，即1(2)y k x -=+，则直线恒过定点()2,1-，故A 错误；因为()222159-+=<，所以定点()2,1-在圆22:9O x y +=内部，∴直线l 与圆O 相交，故B 正确：当34k =时，直线:03542l x y -+=,即34100x y -+=圆心O 到直线的距离1025d ==，直线l 被圆O 截得的弦长为=，故C 正确若:210l kx y k -++=与直线2240x k y k ++=垂直，故240k k -=，则14k =或0k =，故D 不正确；故选：BC10.已知函数()()11πcos 220222f x x ϕϕ⎛⎫=-+<< ⎪⎝⎭的图象的一个对称中心为π1,122⎛⎫ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A.()f x 的最小正周期为πB.()104f =C.()f x 在π2π,33⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D.()f x 图象向右平移2π3个单位长度后关于y 轴对称【答案】ABD【解析】因为函数()()11πcos 220222f x x ϕϕ⎛⎫=-+<< ⎪⎝⎭的图象的一个对称中心为π1,122⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以函数()()11πcos 220222f x x ϕϕ⎛⎫=-+<< ⎪⎝⎭的图象向下平移12个单位，得到函数()g x 图象的一个对称中心为π,012⎛⎫⎪⎝⎭，即()()1cos 222g x x ϕ=-+的一个对称中心为π,012⎛⎫⎪⎝⎭，因此()()π1πππππcos 2202πZ Z 122126226k g k k k ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫=-⨯+=⇒+=+∈⇒=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为π02ϕ<<，所以令π06k ϕ=⇒=，即()11πcos 2223f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.A ：()f x 的最小正周期为2ππ2=，因此本选项正确；B ：()11π11110cos 2232224f =-=-⨯=，因此本选项正确；C ：当π2π,33x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()π5π2π,π,2π33x ⎛⎫+∈⊆ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在π2π,33⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，因此本选项不正确；D ：()f x 图象向右平移2π3个单位长度后得到函数的解析式为2π112ππ1cos 2cos 2322332f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--+=+ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，显然函数2π3y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭是偶函数，其图象关于y 轴对称，因此本选项正确，故选：ABD 11.如图，在矩形ABCD 中，4,2AB AD ==，点M 是CD 的中点，将ADM △沿AM 翻折到APM △位置，连接,PB PC ，且F 为PC 中点，4AE AB =，在ADM △翻折到APM △的过程中，下列说法正确的是（）A.//EF 平面PAMB.存在某个位置，使得CM PE⊥C.当翻折到二面角P AM B --为直二面角时，E 到PC 的距离为356D.当翻折到二面角P AM B --为直二面角时，AC 与平面PMB所成角的正弦值为10【答案】ABD【解析】取MC 中点O ，连接,FO EO ，所以11,24MO MC DC AE ===又//MO AE ，所以四边形MOEA 为平行四边形，故//,EO AM AM ⊂平面PAM ，EO ⊄平面PAM ，故//EO 平面PAM ，//,FO PM PM ⊂平面PAM ，FO ⊄平面PAM ，故//FO 平面PAM ，,,FO EO O FO EO ⋂=⊂平面EOF ，因此平面//EOF 平面PAM ，EF ⊂平面EOF ，所以//EF 平面PAM ，A 正确，当AB PE ⊥时，由于2,1,AP AE ==则PE =，此时PB ==，故只需要在翻折过程中使得PB =，即可满足AB PE ⊥，即CM PE ⊥，故B 正确，对于C ，取AM 中点N ，由于2,PA PM PN AM ==∴⊥，又4AM BM AB =====，所以AM BM ⊥，取AB 中点Q ，则AN NQ ⊥，当二面角P AM B --为直二面角时，则π2PNQ ∠=，故以,,NP NQ NA为正方向为,,z yx ，建立如图所示的空间直角坐标系，则(()2222,,,,,,02222P C F E ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，)()(),,,AB M所以(22,,22PC PE ⎛=-= ⎝ ，则2112322PE =++=，122PC PE ⋅=-++=，PC ==故E到PC1056=，故C错误，((,PM PB==，()AC=-，设平面PMB的法向量为(),,m x y z=，则PM mPB m⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，取1,x=则()1,0,1m=-，故直线AC与平面PMB所成角的正弦值为cos,10m ACAC mAC m⋅==，故D正确，故选：ABD12.已知曲线()()1:ln21C f x x=-在点()11,M x y处的切线与曲线()212:e xC g x-=相切于点()22,N x y，则下列结论正确的是（）A.函数()()21h x x g x=-有2个零点 B.函数()()()3e2m x f x xg x=-在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C.()21121g xx=-D.211201xx+=-【答案】BCD【解析】A：()()()()22221111e21ex xh x x g x h x x xx---'=+⇒=-=，当0x>时，()()0,h x h x'>单调递增，当10x-<<时，()()0,h x h x'>单调递减，当1x<-时，()()0,h x h x'>单调递增，函数()h x的极大值为()31e10h--=-<，极小值为()010h=-<，因此当1x<-时，()0h x<，当10x-<<时，()0h x<，当x→+∞时，()h x→+∞，因此函数()h x只有一个零点，因此本选项不正确；B：()()()()2133e eln21e22xm x f x xg x x x-=-=--，()()213e21e21xm x xx-'=-+-，当1,12x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，根据函数单调性的性质可知函数()m x'单调递减，所以当1,12x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()10m x m''>=，所以函数()()()3e 2m x f x xg x =-在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，本选项正确；C ：()()()2ln 2121f x x f x x '=-⇒=-，因此曲线()()1:ln 21C f x x =-在点()11,M x y 处的切线方程为：()()()1111111222ln 21ln 21212121x xy x x x y x x x x --=-⇒=+-----，()()2121e 2e x x g x g x --'=⇒=，因此曲线()212:e x C g x -=相切方程为：()22222212121212122e 2e 2e e 2e x x x x x y x x y x x ------=-⇒=+-，因为曲线()()1:ln 21C f x x =-在点()11,M x y 处的切线与曲线()212:ex C g x -=相切于点()22,N x y ，所以()()2222222121112121212111121211212e e212122ln 21e 2e ln 21e 2e 2121x x x x x x x x x x x x x x x x ------⎧⎧==⎪⎪--⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪--=---=-⎪⎪--⎩⎩，因此()221211e21x g x x -==-，所以本选项正确；D ：由上可知：()222211212111211e 212ln 21e 2e 21x x x x x x xx ---⎧=⎪-⎪⎨⎪--=-⎪-⎩，因此有()22212111212ln 21e 2e 21x x x x x x ----=--()22112111221ln e 212121x x x x x x --⇒-=----12211122121212121x x x x x x ⇒-+-=----()122212112210211201x x x x x x x ⇒-+=⇒-=-⇒+=-，因此本选项正确，故选：BCD 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知正数,a b 满足236log log log 5a b ==，则ab =__________.【答案】5【解析】不妨设236log log log 5a b k ===，所以2,3k k a b ==，所以6log 523665k k k ab =⋅===.14.已知正项数列{}n a 的前n 项积为n T ，且满足()()*31Nn n n a T T n -=∈，则nT=__________.【答案】()1*111N 632n n -⎛⎫⨯+∈ ⎪⎝⎭【解析】由题意()()1111113131a T a a a T -=-==，因为10a >，所以123a =，又因为()*N 31n n n T a n T =∈-，且当()*12,N n n n Ta n T n -=≥∈，所以()*1312,N n n T n n T --=≥∈，1111232n n T T -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以数列12n T ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以112112326T -=-=为首项，13为公比的等比数列，所以1111263n n T -⎛⎫-=⨯ ⎪⎝⎭，所以()1*111N 632n n T n -⎛⎫=⨯+∈ ⎪⎝⎭.故答案为：()1*111N 632n n -⎛⎫⨯+∈ ⎪⎝⎭.15.已知球O 的体积为32π3，其内接圆锥与球面交线长为，则该圆锥的侧面积为__________.【答案】6π或【解析】设圆锥的底面圆的半径为r ，高为h ，母线长为l ，球O 的半径为R ，则2πr =，所以r =，3432ππ33R =，解得2R =，如图，为圆锥的轴截面，由勾股定理得，()222R r h R =+-，即()2432h =+-，解得3h =或1h =，当3h =时圆锥的母线l ==，所以圆锥的侧面积为π6πrl =，当1h =时圆锥的母线2l ==，所以圆锥的侧面积为πrl =，故答案为：6π或.16.已知椭圆222:1(0)9x y C b b +=>的左，右焦点分别为12,F F，点)P在C 内，点Q 在C 上，则1211QF QF +的取值范围是__________.【答案】)226,,33b b ⎡⎤<<⎢⎥⎣⎦【解析】由题意得30a b =>>，1226QF QF a +==，又因为点)P在C 内，所以22113b+<3b <<，而()1211111111666QF QF QF QF QF QF +=+=--，不妨设1QF t =，则33a c t a c -=≤≤+=，所以()()()221166626,63639t t b QF QF t ⎡⎤==∈⎢⎥--⎣⎦--+.故答案为：)226,,33b b ⎡⎤<<⎢⎥⎣⎦.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.如图，在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222,4sin sin sin2sin2,a B C B C P ==为ABC所在平面内一点，且90,PB PBC PBA ∠∠== 为锐角.（1）若1c =，求PA ；（2）若120PAB ∠= ，求tan PBA ∠.【解析】（1）由224sin sin sin2sin2B C B C =可得224sin sin 2sin cos 2sin cos B C B B C C =⋅，又因为sin sin 0B C ≠，所以可得sin sin cos cos B C B C =，即cos cos sin sin 0B C B C -=，可得()cos 0B C +=；又()0,πB C +∈，所以可得90B C += ；因此90A = ，又2a =，若1c =，可得1cos 2ABC ∠=，可得60ABC ∠= ；又90PBC ∠= ，所以o 30PBA ∠=；由余弦定理可得222cos 22AB PB PA PBA AB PB ∠+-==⋅，解得PA =；（2）设AB x =，则cos 2x ABC ∠=，由90PBC ∠= 可得cos sin 2x ABC PBA ∠∠==，在PAB 由正弦定理可得sin sin PB PAPAB PBA=∠∠2PAx =，可得2PAx =，利用余弦定理可得224121cos 222x x PAB x x ∠+-==-⋅，解得2217x =；所以可得7s n i 2x PBA ∠==，又PBA ∠为锐角，所以27cos 7PBA ∠=；可得sin tan co 1s 227277PBA PBA PBA ∠∠∠==.18.如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ==15,AA D =为AC 中点，且30ABD ∠= ，135BE BB =，115CF CC =.（1）求证：1BD A F ⊥；（2）求平面AEF 与平面1A EF 夹角的余弦值.【解析】（1）由题意AB AC ==D 为AC 中点，且30ABD ∠=所以AD =，所以231222BD BD =+-⨯⨯，解得3BD =，所以222BD AD BA +=，所以BD AD ⊥，即BD CD ⊥，取11A C 中点1D ，则11//DD AA ，又1AA ⊥面ABC ，所以1DD ⊥面ABC ，又,DB DC ⊂面ABC ，所以11,DD DB DD DC ⊥⊥，所以1,,DD DB DC 两两互相垂直，故以点D 为坐标原点，1,,DB DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：由题意AB AC ==15AA =，115CF CC =，135BE BB =.所以()()()()()()10,0,0,3,0,0,0,,0,,3,0,3,0,D B A F E A ，所以()()13,0,0,0,4DB A F ==-，所以10DB A F ⋅= ，所以1DB A F ⊥，即1BD A F ⊥.（2）由（1）可知()()()()10,,0,,3,0,3,0,A F E A ，所以()()()12,3,2,3,3EF EA EA =--=-=-- ，不妨设平面AEF 与平面1A EF 的法向量分别为()()11112222,,,,,n x y z n x y z == ，所以222212222320320EF n x z EA n x z ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩ ，不妨取22y =，解得220,x z ==，即可取平面1A EF的一个法向量为(20,n = ，同理有11111111320330EF n x z EA n x z ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=---=⎪⎩，不妨取1y =115,6x z ==-，即可取平面AEF的一个法向量为()16n =- ，不妨设平面AEF 与平面1A EF 夹角为θ，所以212121cos cos ,14n n n n n n θ⋅====⋅ ，即平面AEF 与平面1A EF 夹角的余弦值为2114.19.已知数列{}n a 满足132n n a -=，正项数列{}n b 满足()22140n n b n b n ---=.当4n ≥时，记{}{}()1212min ,,,,max ,,,1,2,,1,i i i i i n i i i s a a a t a a a i n c s t ++===-=+ .（1）证明：121,,,n c c c - 是等比数列；（2）求112211n n n b c b c b c ---+++ .【解析】（1）由数列{}n a 的通项公式132n n a -=，可知数列{}n a 为单调递减数列，所以当4n ≥时，{}1213min ,,,2i i i i s a a a a -=== ，{}1213max ,,,2i i i n i i t a a a a +++===，则1339222i i ii i i c s t -++===，()1,2,,1i n =-因为()11229123922n n n n c n c ----==≥，又192c =所以121,,,n c c c - 是首项为92，公比为12的等比数列；（2）因为()22140n n b n b n ---=，即()()220n n b n b -+=，则2n b n =，或2n b =-（舍），当4n ≥时，()1122111299922221222n n n n n S b c b c b c n -----=+++=⋅+⨯⋅+⋯+-⋅ ，①则()()2399922424229222n n S n n --=⋅+⋅++-⋅+-⋅ ，②①-②：()12999222229222n n S n ---=+⋅++⋅--⋅ 1118118182n n -⎡⎤⎛⎫=⨯--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以，11818362n S n -=+-，即11221111818362n n n n b c b c b c n ----+++=+- .20.某果农种植了200亩桃，有10多个品种，各品种的成熟期不同，从五月初一直持续到十月底.根据以往的经验可知，上市初期和后期会因供不应求使价格连续上涨，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数：①()()e sin x f x x p q =-++；②()2f x x px q =++；③()()2136ln 222f x x px x q =++++(x 表示时间，以上三式中,p q 均为常数，且3011)p -<<-.（1）为准确研究其价格走势，应选择哪个价格模拟函数，并说明理由；（2）若()()5 6.78,117.62f f ==，①求出所选函数()f x 的解析式（注：212x ≤≤且*N x ∈，其中2x =表示5月份下半月，3x =表示6月份上半月，,12x = 表示10月份下半月）；②若上市初期（5月份上半月）以7元销售，为保证果农的收益，计划价格在7元以下期间进行促销活动，请你预测该果农应在哪个时间段进行促销活动，并说明理由.()ln20.69,ln3 1.10,ln5 1.60,ln11 2.40====【解析】（1）对于函数①()()e sin xf x x p q =-++，()()()e cos 0,0x f x x p x '=-+>>，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增，不具有先升后降再升的特征；对于函数②()2f x x px q =++，其不具有先升后降再升的特征；对于函数③()()2136ln 222f x x px x q =++++，()()21363611x p x p f x x p x x ++++'=++=++，因为3011p -<<-，则()()()()2143613110p p p p ∆=+-+=-+>，设方程()21360x p x p ++++=的两根为()1212,x x x x <，所以121210,360x x p x x p +=-->=+>，所以120x x <<，当10x x <<或2x x >时，()0f x ¢>，当12x x x <<时，()0f x '<，所以函数()f x 在()10,x 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，所以函数③具有先升后降再升的特征，故选③；（2）①，由()()5 6.78,117.62f f ==，得25536ln12 6.7821211136ln 247.622p q p q ⎧+++=⎪⎪⎨⎪+++=⎪⎩，即()()255362ln 2ln 3 6.78212111363ln 2ln 37.622p q p q ⎧++++=⎪⎪⎨⎪++++=⎪⎩，所以59511167p q p q +=-⎧⎨+=-⎩，解得1235p q =-⎧⎨=-⎩，所以()()211236ln 22352f x x x x =-++-，212x ≤≤且*N x ∈；②令()()211236ln 2235,02g x x x x x =-++->，则()()()381x x g x x --'=+，当03x <<或8x >时，()0g x '>，当38x <<时，()0g x '<，所以函数()g x 在()0,3上单调递增，在()3,8上单调递减，在()8,+∞上单调递增，又()()236ln 65736ln 2ln 3577.447f =-=+-=>，()()436ln107536ln 2ln 5757.447f =-=+-=>，()5 6.787f =<，()()1036ln 2210536ln 2ln11 1.5 6.247f =-=+-=<，()117.627f =>，所以当510,N x x ≤≤∈时，()7f x <，所以该果农应在7月上半月到9月下半月进行促销活动.21.已知函数()21(0)e 2x ax f x x x a =+->.（1）若()21ln 2f x x x <-恒成立，求a 的范围；（2）讨论()f x 的零点个数.【解析】（1）因为()21ln 2f x x x <-恒成立，所以ln 0ex ax x x -+<恒成立，令()ln e x ax g x x x =-+，则()()()()1e 111e ex x x x ax a x g x x x -+-=+-='，因为0,0x a >>，所以e 0x ax +>，当01x <<时，()0g x '>，当1x >时，()0g x '<，所以函数()g x 在()0,1上单调递增，在()1,∞+上单调递减，所以()()max 11e a g x g ==-，所以10e a -<，即1ea <，所以0e a <<；（2）令()0f x =，得210e 2x ax x x +-=，所以110e 2x a x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得0x =或1e 12x a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令()1e 12x h x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()()1e 12x h x x ='-，当1x <时，()0h x '>，当1x >时，()0h x '<，所以函数()h x 在(),1∞-上单调递增，在()1,∞+上单调递减，所以()()max e 12h x h ==，又当x →-∞时，()0h x >且()0h x →，当x →∞时，()h x ∞→-，如图，作出函数()h x 的大致图象，当0e 2a <<时，函数(),y h x y a ==的图象有2个交点，且()01h =，当e 2a =时，函数(),y h x y a ==的图象有1个交点，当2e a >时，函数(),y h x y a ==的图象有0个交点，综上所述，当01a <<或e 12a <<时，函数()f x 的零点个数为3；当1a =或e 2a =时，函数()f x 的零点个数为2；当2e a >时，函数()f x 的零点个数为1.22.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为30 ，右焦点F 到渐近线的距离为1.（1）求双曲线C 的方程；（2）设动直线:l y kx m =+与C 相切于点A ，且与直线32x =相交于点B ，点P 为平面内一点，直线,PA PB 的倾斜角分别为,αβ.证明：存在定点P ，使得π2αβ-=.【解析】（1） 椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的渐近线方程为3y x =±，右焦点(),0F c到渐近线的距离为1=，故2c =，又3b a =且222c b a =+，解得：12a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩故双曲线C 的方程是2213x y -=．（2）由2213y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得222(13)6330----=k x kmx m ． 动直线l 与双曲线C 有且只有一个公共点0(M x ,0)y ，所以2222364(13)(33)0k m k m ∆=----=，化简得22310k m --=．(*)此时023313km k x k m =-=--，001y kx m m -=+=，31,k A m m ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭，由32x y kx m ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，得33,22B k m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．假设平面内存在定点P 满足条件，由图形对称性知，点P 必在x 轴上．设1(P x ，0)，要使π2αβ-=，则PA PB ⊥,则0PA PB ⋅= 对满足(*)式的m ,k 恒成立． 13(k PA x m =-- ,1)m -，13(2PB x =- ,3)2k m +，由0PA PB ⋅= ，得2111363102kx k x x m m -+-+-=，整理，得211133(2)102k x x x m -+--=．(**)由于(**)式对满足(*)式的m ，k 恒成立，∴1211203102x x x -=⎧⎪⎨--=⎪⎩，解得12x =．故存在定点()2,0P ，使得π2αβ-=。
2023-2024学年山东省泰安市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省泰安市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合A ＝{1，3，5}，集合B ＝{2，3，4}，则A ∩（∁U B ）＝（ ） A ．{1，3，5}B ．{1}C ．{1，5}D ．{5}2．已知p ：x ＞0，y ＞0，q ：xy ＞0，则p 是q 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．方程log 3x ＝﹣x +3的解所在的区间是（ ） A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，+∞）4．已知函数f(x)={sinπx ，x ＜0−√x ，x ⩾0，则f[f(49)]=（ ）A ．√32B ．−√32C ．12D ．−125．已知函数y ＝cos2x ，若将它的图象向左平移π12个单位长度，再将横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），则得到的函数解析式是（ ） A ．y =cos(6x +π6)B ．y =cos(6x +π12) C ．y =cos(23x +π18)D ．y =cos(23x +π6)6．已知2tanθ−tan(θ−π4)=−7，则tan θ＝（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．27．心理学家有时用函数L （t ）＝A （1﹣e ﹣kt）测定在时间t （单位：min ）内能够记忆的量L ，其中A 表示需要记忆的量，k 表示记忆率．假设某个学生需要记忆的量为100个成语，此时L 表示在时间t 内该生能够记忆的成语个数．已知该生在3min 内能够记忆10个成语，则k 的值约为（ ）（ln 0.9≈﹣0.105，ln 0.1≈﹣2.303） A ．0.035B ．0.35C ．0.461D ．0.7688．已知定义域为R 的函数f （x ）＝2|x ﹣m |﹣1（m ∈R ）为偶函数，记a =f(log 314)，b =f(2−32)，c =f(2−23)，则（ ） A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．c ＞b ＞a二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知a ＜b ＜1a＜0，则下列结论正确的是（ ）A ．a ＜﹣1B ．ac 2＜bc 2C ．1a ＞1bD ．a 2+ab ＞210．已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，P(−3，3√3)是α终边上一点，则下列结论正确的是（ ） A ．α=2π3B ．tan2α=√3C ．若α是弧长为43π的扇形的圆心角，0＜α＜2π，则扇形的半径为2D ．3sinα−cosαsinα+cosα=5−2√311．已知函数f(x)=sinxcosx −√3cos 2x +√32，则下列结论正确的是（ ）A ．函数f （x ）的图象关于点(π3，0)对称B ．函数f （x ）图象的一条对称轴是直线x =−π12C ．f(x −π3)是奇函数D ．f （x ）在(−π6，π3)上单调递增12．已知函数f(x)=x x−1−2x (x ＞1)，g(x)=x x−1+log 12x(x ＞1)，则下列结论正确的是（ ） A ．若m ⩾2，则方程g(x)−f(x)=2log 12x +m 有实根B ．若函数h （x ）是定义在（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）上的奇函数，当x ＞1时，h （x ）＝f （x ），则ℎ(x)={xx−1−2x ，x ＞1−x x+1+12x，x ＜−1 C ．若f （x ），g （x ）的零点分别为α，β，则1α+1β=1D ．若f （x ），g （x ）的零点分别为α，β，则α+β＞4 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．函数y ＝log 2（3x ﹣2）1√1−x的定义域为 ． 14．若“∃x ∈[0，π3]，tanx ＞m ”的否定是真命题，则实数m 的最小值是 ．15．已知a ，b ∈R ，且a ﹣3b +6＝0，当2a +18b 取最小值时，a +b ＝ ．16．当0＜x⩽12时，4x＜log a x（a＞0且a≠1）恒成立，则a的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|2x＜2或2x＞64}，B＝{x|﹣2＜x﹣a＜2}．（1）若a＝2，求A∩B；（2）若B⊆A，求实数a的取值范围．18．（12分）已和函数f（x）＝a2x2﹣4ax﹣5．（1）若f（x）＜0的解集为{x|−53＜x＜13}，求实数a的值，（2）若f（x）＞3a恒成立，求实数a的取值范围．19．（12分）已知cos(α−π)sin(4π−α)sin(5π2+α)=13．（1）若α为第二象限角，求tanα的值；（2）若α，β均为锐角且cos(α+β)=−15，求sin（α﹣β）的值．20．（12分）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示．（1）若f(x)=√3，求x的值；（2）求g(x)=f(x)+2√3sin(3x+π3)在[0，7π18]上的最值．21．（12分）某动力电池生产企业为提高产能，计划投入7200万元购买一批智能工业机器人，使用该批智能机器人后前x（x∈N*）年的维护成本为（800x2﹣400x）万元，每年电池销售收入为7600万元，设使用该批智能机器人后前x年的总盈利额为y万元．（1）写出y关于x的函数关系式，并求该电池生产企业从第几年开始盈利；（2）使用若干年后对该批智能机器人处理方案有两种．方案一：当总盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以2000万价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以5200万元的价格处理．问哪种方案更合理？并说明理由．22．（12分）已知f(x)=ax−log12(4x+1)是偶函数．（1）若函数g(x)=m2f(x)+22x+14x的最小值为﹣3，求实数m的值；（2）若f（3m﹣1）＜f（m2+1）恒成立，求实数m的取值范围．2023-2024学年山东省泰安市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合A ＝{1，3，5}，集合B ＝{2，3，4}，则A ∩（∁U B ）＝（ ） A ．{1，3，5}B ．{1}C ．{1，5}D ．{5}解：∵全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合B ＝{2，3，4}，∴∁U B ＝{1，5}， 又∵集合A ＝{1，3，5}，∴A ∩（∁U B ）＝{1，5}． 故选：C ．2．已知p ：x ＞0，y ＞0，q ：xy ＞0，则p 是q 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：因为：x ＞0，y ＞0，⇒xy ＞0，即p ⇒q ；而xy ＞0，表明x ，y 同号，即可推得，x ＞0，y ＞0，或x ＜0，y ＜0， 即不能由q 推得p ，故p 是q 的充分不必要条件． 故选：A ．3．方程log 3x ＝﹣x +3的解所在的区间是（ ） A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，+∞）解：令f （x ）＝log 3x ﹣3+x ，则方程log 3x ＝3﹣x 的近似解x ＝x 0∈（k ，k +1），k ∈Z ，即 函数f （x ）的零点，在（k ，k +1）上，k ∈Z ，∵f （2）＝log 32﹣3+2＜0，f （3）＝log 33﹣3+3＞0， ∴函数f （x ）的零点在（2，3）上， 故选：C ．4．已知函数f(x)={sinπx ，x ＜0−√x ，x ⩾0，则f[f(49)]=（ ）A ．√32B ．−√32C ．12D ．−12解：因为f(x)={sinπx ，x ＜0−√x ，x ⩾0，所以f （49）=−√49=−23，则f[f(49)]=f （−23）＝sin （−2π3）＝﹣sin 2π3=−sin π3=−√32．故选：B ．5．已知函数y ＝cos2x ，若将它的图象向左平移π12个单位长度，再将横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），则得到的函数解析式是（ ） A ．y =cos(6x +π6)B ．y =cos(6x +π12)C ．y =cos(23x +π18)D ．y =cos(23x +π6)解：函数y ＝cos2x ，若将它的图象向左平移π12个单位长度，得到y ＝cos （2x +π6）的图象，再将横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），得到函数y ＝cos （23x +π6）的图象．故选：D ．6．已知2tanθ−tan(θ−π4)=−7，则tan θ＝（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．2解：∵2tanθ−tan(θ−π4)=−7，∴2tanθ−tanθ−11+tanθ=−7，即2tan θ+2tan 2θ﹣tan θ+1＝﹣7﹣7tan θ，即2tan 2θ+8tan θ+8＝0，即2（tan θ+2）2＝0，解得tan θ＝﹣2． 故选：A ．7．心理学家有时用函数L （t ）＝A （1﹣e﹣kt）测定在时间t （单位：min ）内能够记忆的量L ，其中A 表示需要记忆的量，k 表示记忆率．假设某个学生需要记忆的量为100个成语，此时L 表示在时间t 内该生能够记忆的成语个数．已知该生在3min 内能够记忆10个成语，则k 的值约为（ ）（ln 0.9≈﹣0.105，ln 0.1≈﹣2.303） A ．0.035B ．0.35C ．0.461D ．0.768解：由题意可得，100（1﹣e ﹣3k）＝10，即e﹣3k＝0.9，所以﹣3k ＝ln 0.9≈﹣0.105，所以k ≈0.035．故选：A ．8．已知定义域为R 的函数f （x ）＝2|x ﹣m |﹣1（m ∈R ）为偶函数，记a =f(log 314)，b =f(2−32)，c =f(2−23)，则（ ） A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．b ＞a ＞c D ．c ＞b ＞a解：∵f （x ）＝2|x﹣m |﹣1（m ∈R ）为偶函数，∴f （﹣x ）＝f （x ），即2|﹣x ﹣m |﹣1＝2|x﹣m |﹣1，解得m ＝0，∴f （x ）＝2|x |﹣1，且在[0，+∞）上单调递增．∵a =f(log 314)=f （﹣log 34）＝f （log 34），b ＝f （2−32），c ＝f （2−23），又log 34＞1＞2−23＞2−32＞0，∴a ＞c ＞b ． 故选：B ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知a ＜b ＜1a＜0，则下列结论正确的是（ ）A ．a ＜﹣1B ．ac 2＜bc 2C ．1a ＞1bD ．a 2+ab ＞2解：因为a ＜b ＜1a ＜0，所以a ＜b ＜0，a ＜1a，所以a 2＞1，即a ＞1（舍）或a ＜﹣1，A 正确；当c ＝0时，B 显然错误；由a ＜b ＜0可得，1a ＞1b ，C 正确；由a ＜b ＜1a＜0，可得a 2＞ab ＞1，故a 2+ab ＞2，D 正确．故选：ACD ．10．已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，P(−3，3√3)是α终边上一点，则下列结论正确的是（ ） A ．α=2π3B ．tan2α=√3C ．若α是弧长为43π的扇形的圆心角，0＜α＜2π，则扇形的半径为2D ．3sinα−cosαsinα+cosα=5−2√3解：因为，P(−3，3√3)是α终边上一点，所以tan α=−√3且α为第二象限角， 所以α=2π3+2kπ，k ∈Z ，A 错误； 所以tan2α＝tan （4π3+4kπ）＝tan π3=√3，B 正确；若α是弧长为43π的扇形的圆心角，0＜α＜2π，则α=2π3，故扇形的半径r =4π32π3=2，C 正确；3sinα−cosαsinα+cosα=3×√32+12√32−12=5+2√3，D 错误．故选：BC ．11．已知函数f(x)=sinxcosx −√3cos 2x +√32，则下列结论正确的是（ ）A ．函数f （x ）的图象关于点(π3，0)对称B．函数f（x）图象的一条对称轴是直线x=−π12C．f(x−π3)是奇函数D．f（x）在(−π6，π3)上单调递增解：由于f(x)=sinxcosx−√3cos2x+√32=12sin2x−√3(cos2x+1)2+√32=12sin2x−√32cos2x=sin(2x−π3 )；对于A：当x=π3时，f（π3）=sinπ3=√32，故A错误；对于B：当x=−π12时，f（−−π12）＝sin（−π2）＝﹣1，故B正确；对于C：f（x−π3）＝sin（2x﹣π）＝﹣sin2x，故该函数为奇函数，故C正确；对于D：由于x∈(−π6，π3)，所以2x−π3∈(−2π3，π3)，故函数在该区间上不单调，故D错误．故选：BC．12．已知函数f(x)=xx−1−2x(x＞1)，g(x)=x x−1+log12x(x＞1)，则下列结论正确的是（）A．若m⩾2，则方程g(x)−f(x)=2log12x+m有实根B．若函数h（x）是定义在（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）上的奇函数，当x＞1时，h（x）＝f（x），则ℎ(x)={xx−1−2x，x＞1−x x+1+12x，x＜−1C．若f（x），g（x）的零点分别为α，β，则1α+1β=1D．若f（x），g（x）的零点分别为α，β，则α+β＞4解：对于A：因为函数f(x)=xx−1−2x(x＞1)，g(x)=x x−1+log12x(x＞1)，所以g（x）﹣f（x）=log12x+2x=2log12x+m，即2x=log12x+m，所以m=2x−log12x=2x+log2x，因为y＝2x和y＝log a x在（1，+∞）上是增函数，所以f（x）＞f（1）＝2，即f（x）＞2在（1，+∞）上恒成立，所以m＝2时，m＝2x+log2x无解，即原方程无解，故A错误；对于B ：因为函数h （x ）是定义在（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）上的奇函数，当x ＞1时，h （x ）＝f （x ）， 所以x ＞1时，h （x ）=xx−1−2x ， 令x ＜﹣1，则﹣x ＞1， 所以f （﹣x ）=−x −x−1−2−x =x x+1−12x ， 因为f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 所以﹣f （x ）=x x+1−12x ， 即f （x ）=−x x−1+12x ， 综上：ℎ(x)={xx−1−2x ，x ＞1−x x+1+12x，x ＜−1，故B 正确； 对于C ：由函数y =x x−1，得x =yy−1，所以y =xx−1的图象关于直线 y ＝x 对称， α，β是函数y ＝2x 和y ＝log 2x 的图象与函数y =xx−1的图象的交点的横坐标， 已知α＝log 2β，β＝2a ， 又β=αα−1=1α−1+1， 所以（α﹣1）（β﹣1）＝1，即α+β＝a β，所以1α+1β=1，故C 正确；对于D ：由于α+β=α+αα−1=α−1+1α−1+2≥4， 当且仅当α﹣1=1α−1，即α＝2时等号成立， 但f(2)=22−1−22=−2≠0，因而α≠2，上式等号不成立，所以α+β＞4，故D 正确． 故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．函数y ＝log 2（3x ﹣2）1√1−x 的定义域为 （23，1） ． 解：要使原函数有意义，则{3x −2＞01−x ＞0，解得23＜x ＜1．∴函数y ＝log 2（3x ﹣2）1√1−x 的定义域为（23，1）． 故答案为：（23，1）．14．若“∃x ∈[0，π3]，tanx ＞m ”的否定是真命题，则实数m 的最小值是 √3 ．解：“∃x ∈[0，π3]，tanx ＞m ”的否定是“∀x ∈[0，π3]，tan x ≤m ”，它是真命题，因为x ∈[0，π3]时，tan x ∈[0，√3]，所以m ≥√3，即实数m 的最小值是√3．故答案为：√3．15．已知a ，b ∈R ，且a ﹣3b +6＝0，当2a +18b 取最小值时，a +b ＝ ﹣2 ． 解：a ﹣3b +6＝0，即a ﹣3b ＝﹣6， 则2a +18b ≥2√2a ⋅18b =2√2a−3b =14，当且仅当a ＝﹣3b ，即a ＝﹣3，b ＝1时取等号，此时a +b ＝﹣2． 故答案为：﹣2．16．当0＜x ⩽12时，4x ＜log a x （a ＞0且a ≠1）恒成立，则a 的取值范围是 [√22，1) ．解：x ∈（0，12）时，函数y ＝4x 的图象如下图所示；对任意的x ∈（0，12），4x ＜log a x ，即不等式4x ＜log a x 恒成立，∴y ＝log a x 的图象恒在y ＝4x 图象的上方（如图中虚线所示）；又函数y ＝log a x 的图象与y ＝4x 的图象交于（12，2）点时，a 2＝2，解得a =√22，∴虚线所示的y ＝log a x 的图象对应的底数a 应满足√22＜a ＜1．即a 的取值范围为：(√22，1)． 故答案为：(√22，1)．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A ＝{x |2x ＜2或2x ＞64}，B ＝{x |﹣2＜x ﹣a ＜2}． （1）若a ＝2，求A ∩B ；（2）若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解：A ＝{x |2x ＜2或2x ＞64}＝{x |x ＜1或x ＞6}．（1）当a＝2时，B＝{x|0＜x＜4}，∴A∩B＝{x|0＜x＜1}；（2）B＝{x|a﹣2＜x＜a+2}，∵B⊆A，∴a+2⩽1或a﹣2⩾6，∴a⩽﹣1或a⩾8．实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[8，+∞）．18．（12分）已和函数f（x）＝a2x2﹣4ax﹣5．（1）若f（x）＜0的解集为{x|−53＜x＜13}，求实数a的值，（2）若f（x）＞3a恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）∵a2x2﹣4ax﹣5＜0的解集为{x|−53＜x＜13}，∴a≠0且−53，13是方程a2x2﹣4ax﹣5＝0两个实数根，由韦达定理得{−53+13=4a (−53)×13=−5a2，∴a＝﹣3；（2）由题意，a2x2﹣4ax﹣3a﹣5＞0恒成立，当a＝0时，﹣5＞0不成立，当a≠0时，Δ＝16a2+4a2（3a+5）＜0，∴a＜﹣3，故a的取值范围为{a|a＜﹣3}．19．（12分）已知cos(α−π)sin(4π−α)sin(5π2+α)=13．（1）若α为第二象限角，求tanα的值；（2）若α，β均为锐角且cos(α+β)=−15，求sin（α﹣β）的值．解：cos(α−π)sin(4π−α)sin(5π2+α)=13，∴(−cosα)(−sinα)cosα=13，∴sinα=1 3．（1）∵α为第二象限角，∴cosα=−√1−sin2α=−2√2 3，∴tanα=sinαcosα=−√24．（2）∵sinα=13，0＜α＜π2，∴cosα=2√2 3，∴sin2α＝2sinαcosα=4√29，cos2α＝2cos2α﹣1=79，又∵cos(α+β)=−15，0＜α+β＜π，∴sin(α+β)=2√6 5，∴sin（α﹣β）＝sin[2α﹣（α+β）]＝sin2αcos（α+β）﹣cos2αsin（α+β）=4√29×(−15)−79×2√65=−4√2−14√645．20．（12分）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示．（1）若f(x)=√3，求x的值；（2）求g(x)=f(x)+2√3sin(3x+π3)在[0，7π18]上的最值．解：（1）由函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象知，A=2，T=(π18+5π18)×2=23π，∴ω=2πT=2π2π3=3，∴f（x）＝2sin（3x+φ），将(−π9，−2)代入f（x）＝2sin（3x+φ），可得2sin(−π3+φ)=−2，∴−π3+φ=−π2+2kπ，k∈Z，∴φ=−π6+2kπ，k∈Z，又∵|φ|＜π2，∴φ=−π6，∴f(x)=2sin(3x−π6 )，∵2sin(3x−π6)=√3，∴sin(3x−π6)=√32，∴3x−π6=π3+2kπ或3x−π6=2π3+2kπ，k∈Z，∴x=π6+23kπ或x=5π18+23kπ，k∈Z；（2）g(x)=2sin(3x−π6)+2√3sin(3x+π3)=−2cos[(3x−π6)+π2]+2√3sin(3x+π3)=−2cos(3x+π3)+2√3sin(3x+π3)=4sin(3x+π6 )，∵x∈[0，7π18]，∴3x+π6∈[π6，4π3]，∴当3x+π6=4π3，即x=7π18时，g(x)min=−2√3，当3x+π6=π2，即x=π9时，g（x）max＝4．21．（12分）某动力电池生产企业为提高产能，计划投入7200万元购买一批智能工业机器人，使用该批智能机器人后前x（x∈N*）年的维护成本为（800x2﹣400x）万元，每年电池销售收入为7600万元，设使用该批智能机器人后前x年的总盈利额为y万元．（1）写出y关于x的函数关系式，并求该电池生产企业从第几年开始盈利；（2）使用若干年后对该批智能机器人处理方案有两种．方案一：当总盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以2000万价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以5200万元的价格处理．问哪种方案更合理？并说明理由．解：（1）由题意可得y＝7600x﹣（800x2﹣400x）﹣7200＝﹣800（x2﹣10x+9）（x∈N*），令y＞0，可得1＜x＜9，又因为x∈N*．所以该企业从第2年开始盈利．（2）方案二更合理，理由如下：方案一：因为y＝﹣800（x2﹣10x+9）＝﹣800（x﹣5）2+12800，x∈N*，所以当x＝5时，y取到最大值12800，若此时处理掉智能机器人，总利润为12800+2000＝14800万元，方案二：年平均盈利额yx=−800(x+9x)+8000⩽−1600√x⋅9x+8000=3200万元，当且仅当x＝3时，等号成立，此时年平均盈利额最大，若此时处理掉智能机器人，总利润为3200×3+5200＝14800万元，两种方案总利润都是14800万元，但方案二仅需三年即可，故方案二更合理．22．（12分）已知f(x)=ax−log12(4x+1)是偶函数．（1）若函数g(x)=m2f(x)+22x+14x的最小值为﹣3，求实数m的值；（2）若f（3m﹣1）＜f（m2+1）恒成立，求实数m的取值范围．解：∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）＝f（x）恒成立，即−ax+log2(4−x+1)=ax+log2(4x+1)恒成立，∴−2ax=log2(4x+1)−log2(4−x+1)=log24x+1(4−x+1)=log2(4x+1)4x(4x+1)=log24x=2x恒成立，∴﹣2a＝2，解得a＝﹣1，∴f(x)=log2(4x+1)−x；（1）∵2f（x）=2log24x+12x=4x+12x=2x+2﹣x，∴g（x）＝m（2x+2﹣x）+22x+2﹣2x，令2x+2﹣x＝t，t≥2，h（t）＝t2+mt﹣2（t≥2），∵g（x）的最小值为﹣3，即h（t）的最小值为﹣3，等价于{−m2≤2ℎ(2)=2m+2=−3或{−m2＞2ℎ(−m2)=−m24−2=−3，∴m=−5 2；（2）∵f(x)=log2(4x+1)−x=log24x+12x=log2(2x+2−x)，设φ（x）＝2x+2﹣x（x≥0），任取x1，x2∈[0，+∞），x1＜x2，则φ(x1)−φ(x2)=2x1+2−x1−2x2−2−x2=2x1−2x2+12x1−12x2=(2x1−2x2)(2x1+x2−1)2x1+x2，∵0≤x1＜x2，∴2x1−2x2＜0，2x1+x2−1＞0，∴φ（x1）﹣φ（x2）＜0，∴φ（x）单调递增，又∵y＝log2x单调递增，∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，∵f（3m﹣1）＜f（m2+1），f（x）是偶函数，∴|3m﹣1|＜m2+1，∴﹣（m2+1）＜3m﹣1＜m2+1，∴{−m2−3m＜0m2−3m+2＞0，∴m＜﹣3或0＜m＜1或m＞2，∴实数m的取值范围为（﹣∞，﹣3）∪（0，1）∪（2，+∞）．。
山东省泰安市2023-2024学年高二下学期7月期末考试 物理含答案
高二年级考试物理试题（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共50分。
在每小题给出的四个选项中，第1~10题只有一项符合题目要求，每题3分。
1.关于固体、液体的性质，下列说法正确的是（）A.虽然金属具有确定的熔点，但金属没有规则的形状，因此金属不属于晶体B.可根据各向同性或各向异性来鉴别晶体和非晶体C.玻璃管的裂口放在火焰上烧熔，其尖端变钝，是液体表面张力作用的结果D.唐诗《观荷叶露珠》中有“霏微晓露成珠颗”的诗句，诗中荷叶和露水表现为浸润2.胶片电影利用光电管把“声音的照片”还原成声音，原理如图所示，在电影放映机中用频率为 的一极窄光束照射声音轨道，由于胶片上各处的声音轨道宽窄不同，在胶片移动的过程中，通过声音轨道后的光强随之变化，射向光电管后，在电路中产生变化的电流，b为电源负极，经放大电路放大后，通过喇叭就可以把声音放出来。
则（）A.保持光的频率不变，把滑动变阻器的滑动触头向左滑，电路中的电流一定增大B.减小光的频率，增加光照强度，一定可以还原出声音C.只增大光的频率，一定可以还原出声音D.逸出光电子的最大初动能与照射光频率成正比3.如图所示为钳形电流表的结构图和外形图，据图判断下列说法正确的是（）A.钳型电流表的变压器是一个降压变压器B.通过钳型表的导线增加为两圈，所测得的电流将会加倍C.读数时要使铁芯保持张开D.载流导线中的电流在铁芯中产生了稳定的磁场4.一定量的理想气体从状态a变化到状态b，其过程如V-T图中的实线ab所示，线ab与过原点的虚线斜率相同。
在该过程中（）A.气体压强不变B.气体压强减小C.气体从外界吸热D.外界对气体做正功5.某时刻LC振荡电路的自感线圈L中的电流产生的磁场的磁感应强度方向如图所示。
山东省泰安市部分学校2023-2024学年高二下学期期末考试物理试题(含答案)
泰安市部分学校2023-2024学年高二下学期期末考试物理试卷本试题考试时间90分钟，满分100分。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，满分24分。
每小题只有一个选项符合题目要求。
1. 某质点做匀加速直线运动，经过时间t 速度由v 变为kv （），位移大小为s ，则在随后的2t 时间内，质点的位移为（ ）A. B. C. D. 2. 2023年8月24日，日本启动核污染水排海，排放的核污染水里含64种放射性元素，将对全人类和海洋生命产生长久的重大威胁。
核污染水中发生衰变时的核反应方程为，该核反应过程中释放的能量为Q ，光在真空中的传播速度为c ，下列说法正确的是（ ）A. 利用海水稀释可以使的半衰期缩短B. 该核反应中发生了β衰变C. 衰变后与X 粒子的结合能之和小于衰变前的结合能D.该核反应过程中的质量亏损为3. 某兴趣小组设计了一款金属探测仪，探测仪内部的线圈与电容器构成LC 振荡电路，其原理图如图所示。
当探测仪检测到金属物体时，金属物体中的涡流会影响原来的电磁场，探测仪检测到这个变化就会使蜂鸣器发出声响。
已知某时刻，该振荡电路的电流方向由a 流向b ，且电流强度正在增强。
下列说法正确的是（ ）A 该时刻电容器上极板带正电荷.1k >2(32)1-+k s k 4(21)1-+k s k 2(21)1--k s k 3(53)4(1)k s k -+21084Po 2102068482Po Pb X →+21084Po 21084Po 20682Pb 21084Po 2QcB. 该时刻线圈的自感电动势在增大C. 若线圈自感系数增大，振荡电流的频率降低D. 探测仪靠近金属，并保持相对静止时，金属中不会产生涡流4. 如图甲所示，小型交流发电机通过电刷和理想变压器原线圈连接，变压器副线圈两端接电阻R 。
2023-2024学年山东省泰安市高二(上)期末数学试卷(含答案)
2023-2024学年山东省泰安市高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线x +3y +2=0的倾斜角为( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°2.在等比数列{a n }中，若a 5a 7a 9a 11=36，则a 2a 14=( )A. 6B. 9C. ±6D. ±93.点P(2,3)关于直线x +y +2=0的对称点的坐标为( )A. (−3,−2)B. (−2,−3)C. (−5,−4)D. (−4,−5)4.已知直线l 的方向向量为u =(1,−2,2)，则向量a =(−1,1,2)在直线l 上的投影向量坐标为( )A. (13,−23,23)B. (−13,13,23)C. (−19,19,29)D. (19,−29,29)5.已知两个等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，且S nT n =3n +15n−2，则a 7b 6的值为( )A. 35B. 4053C. 1114D. 236.已知圆C ：x 2+y 2=4，直线l ：y =kx +m ，若当k 的值发生变化时，直线l 被圆C 所截得的弦长的最小值为23，则实数m 的取值为( )A. ±2B. ±3C. ±1D. ±327.已知A ，F 分别为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左顶点和左焦点，B ，C 是椭圆上关于原点对称的点，若直线CF 交线段AB 于M,AM =12MB ，则椭圆的离心率为( )A.23B. 12C.154D. 2658.已知直线l ：y =−x2+m 与曲线C ：y =12|4−x 2|恰有三个不同交点，则实数m 的取值范围是( )A. (− 2,0)∪(0,2) B. [1,2)C. (0,2)D. (1,2)二、多选题：本题共4小题，共20分。
2023-2024学年山东省泰安市泰山外国语学校高三(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省泰安市泰山外国语学校高三（上）期末数学试卷一、单选题1．已知集合M ＝{（x ，y ）|y ＝f （x ）}，若对于任意（x 1，y 1）∈M ，存在（x 2，y 2）∈M ，使得x 1x 2+y 1y 2＝0成立，则称集合M 是“Ω集合”．给出下列4个集合： ①M ＝{（x ，y ）|y =1x} ②M ＝{（x ，y ）|y ＝e x ﹣2} ③M ＝{（x ，y ）|y ＝cos x } ④M ＝{（x ，y ）|y ＝lnx }其中所有“Ω集合”的序号是（ ） A ．②③B ．③④C ．①②④D ．①③④2．“φ=−π6”是“函数y ＝sin （2x ﹣φ）的图象关于直线x =π6对称”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．下列结论中不正确的个数是（ ）①命题“所有的四边形都是平行四边形”是存在量词命题； ②命题“∃x ∈R ，x 2+1＜1”是全称量词命题；③命题p ：∃x ∈R ，x 2+3x +7＞0．则¬p ：∀x ∈R ，x 2+3x +7＜0． A ．0B ．1C ．2D ．34．（多选）函数y =sinx ，x ∈(π3，2π)与直线y ＝t （t 为常数）公共点个数可能是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．35．围棋起源于中国，已有四千多年的历史，“琴棋书画”之“棋”指的就是围棋．围棋棋盘有19×19个交叉点，从上往下、从左往右数，第m 行第n 列的交叉点记为P （m ，n ），例如，第3行第2列的交叉点记为P （3，2）．在所有的P(19，1)P(1，1)→⋅P(19，1)P(m ，n)→(1≤m ≤19，1≤n ≤19，m ，n ∈N)中，不同数值的个数为（ ） A ．17B ．18C ．19D ．206．过直线y ＝2x 上的点P 作圆C ：（x +2）2+（y ﹣4）2＝4的两条切线l 1，l 2，当直线l 1，l 2关于直线y ＝2x 对称时，点P 的坐标为（ ） A ．(35，65)B ．(65，125)C ．（1，2）D ．(32，3)7．设复数z 的共轭复数是z ，且|z |＝1，又复数z 对应的点为Z ，A （﹣1，0）与B （0，﹣1）为定点，则函数f （z ）＝|（z +1）（z −i ）|取最大值时在复平面上以Z ，A ，B 三点为顶点的图形是（ ） A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形8．下列函数的最小值为2√2的是（ ） A ．y =|cosx|+2|cosx|B ．y =√x +√8−xC ．y ＝2x +22﹣xD ．y =2x 4+8x 2+10x 2+2二、多选题9．若(2x −1√x )n 展开式的二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（ ）A ．该展开式中共有6项B ．各项系数之和为1C ．常数项为﹣60D ．只有第4项的二项式系数最大10．山东省某地区2013年至2022年生产总值指数分别为112.2，108.1，108.7，108.7，109.5，108.9，108.1，104.0，107.3，104.3，则（ ） A ．这组数据的极差为8.2B ．这组数据的众数为108.1C ．这组数据的中位数为108.4D ．这组数据的上四分位数为108.9 11．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n 2−12a n+1=a n+1−1a n，则a 2023的值可能为（ ）A ．1B ．﹣1C ．22022D ．(12)202212．已知圆C ：（x ﹣a ）2+（y ﹣lna ）2＝1，则（ ） A ．存在2个不同的a ，使得圆C 与x 轴相切B ．存在2个不同的a ，使得圆C 在两坐标轴上截得的线段长度相等 C ．存在2个不同的a ，使得圆C 过坐标原点D ．存在2个不同的a ，使得圆C 的面积被直线y ＝x ﹣1平分 三、填空题13．已知集合{1，a ，ba }＝{0，a 2，a +b }，则a 2022+b 2023＝ ．14．设a 1，a 2，…，a n 是各项不为零的n （n ≥4）项等差数列，且公差d ≠0．若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数对(n ，a1d )所组成的集合为 ．15．两位数m 和两位数n ，它们各个数位上的数字都不为0，将数m 和数n 的个位数字与十位数字交叉相乘再求和所得的结果记为F （m ，n ）．例如：F （13，24）＝1×4+3×2＝10．又如：F （35，16）＝3×6+5×1＝23．则F （36，72）＝ ；若一个两位数m ＝21a +b ，两位数n ＝53+b （1≤a ≤4，1≤b≤5，且a，b都取整数），交换m的十位数字和个位数字得到新两位数m'，当m'与n的个位数字的5倍的和能被11整除时，称这样的两个数m和n为“快乐数对”，则所有“快乐数对”F（m，n）的最大值为．16．已知函数f（x）＝2a x﹣ex2+18，其中a＞0且a≠1．若f（x）存在两个极值点x1，x2，则实数a的取值范围为．四、解答题17．在△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=45，tan B＝2．（1）求tan2A的值；（2）求tan（2A﹣2B）的值．18．已知等差数列{a n}满足a2＝4，2a4﹣a5＝7，公比不为﹣1的等比数列{b n}满足b3＝4，b4+b5＝8（b1+b2）．（1）求{a n}与{b n}通项公式；（2）设c n=3a n⋅a n+1(n∈N∗)，求{c n}的前n项和S n．19．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点M为正方形A1B1C1D1的内切圆O1上的动点．（1）在线段CC1上是否存在点N，使得AM⊥NM恒成立，若存在，求出点N的位置，若不存在，说明理由；（2）当点M落在线段B1D1（靠近D1点）上时，求二面角A﹣MB﹣C的余弦值．20．已知圆心为C的圆经过点A（﹣1，1）和B（﹣2，﹣2），且圆心在直线l：x+y﹣1＝0上，求：（1）求圆心为C的圆的标准方程；（2）若过点（0，3）作圆C的切线，求该切线方程；（3）若圆C上恰有3个点到直线：3x+4y+m＝0的距离为1，求实数m的值．21．轻食是餐饮的一种形态、轻的不仅仅是食材分量，更是食材烹饪方式简约，保留食材本来的营养和味道，近年来随着消费者健康意识的提升及美颜经济的火热，轻食行业迎来快速发展．某传媒公司为了获得轻食行业消费者行为数据，对中国轻食消费者进行抽样调查．统计其中400名中国轻食消费者（表中4个年龄段的人数各100人）食用轻食的频率与年龄得到如下的频数分布表．（1）若把年龄在[12，38）的消费者称为青少年，年龄在[38，64]的消费者称为中老年，每周食用轻食的频率不超过3次的称为食用轻食频率低，不低于4次的称为食用轻食频率高，根据小概率值α＝0.01的独立性检验判断食用轻食频率的高低与年龄是否有关联；（2）从每天食用轻食1次及以上的样本消费者中按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，从中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在[25，38）与[51，64]的人数分别为X ，Y ，ξ＝|X ﹣Y |，求ξ的分布列与期望；（3）已知小李每天早餐、晚餐都食用轻食，且早餐与晚餐在低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁3种轻食中选择一种，已知小李在某天早餐随机选择一种轻食，如果早餐选择低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁，则晚餐选择低卡甜品的概率分别为15，25，23，求小李晚餐选择低卡甜品的概率．参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ．附：22．（1）设x ，y ∈R 用反证法证明：若x +y ＞2，则x ＞1或y ＞1． （2）设a ∈R ，比较（a +1）2与a 2﹣a +1的值的大小．2023-2024学年山东省泰安市泰山外国语学校高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题1．已知集合M＝{（x，y）|y＝f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2＝0成立，则称集合M是“Ω集合”．给出下列4个集合：①M＝{（x，y）|y=1 x }②M＝{（x，y）|y＝e x﹣2}③M＝{（x，y）|y＝cos x}④M＝{（x，y）|y＝lnx}其中所有“Ω集合”的序号是（）A．②③B．③④C．①②④D．①③④解：对于①y=1x是以x，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角是90°，所以在同一支上，任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，满足Ω集合的定义；在另一支上对任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2＝0成立，所以不满足Ω集合的定义，不是Ω集合．对于②M＝{（x，y）|y＝e x﹣2}，如图（2）如图红线的直角始终存在，对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2＝0成立，例如取M（0，﹣1），则N（ln2，0），满足Ω集合的定义，所以是Ω集合；正确．对于③M＝{（x，y）|y＝cos x}，如图（3），对于任意（x 1，y 1）∈M ，存在（x 2，y 2）∈M ，使得x 1x 2+y 1y 2＝0成立， 例如（0，1）、（π2，0），满足Ω集合的定义，所以M 是Ω集合；正确．对于④M ＝{（x ，y ）|y ＝lnx }，如图（4）取点（1，0），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是Ω集合．所以②③正确． 故选：A ．2．“φ=−π6”是“函数y ＝sin （2x ﹣φ）的图象关于直线x =π6对称”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：若φ=−π6，则当x =π6，可得y =sin(2×π6+π6)=sin π2=1，为最大值， 所以函数y ＝sin （2x ﹣φ）的图象关于直线x =π6对称，即充分性成立； 若函数y ＝sin （2x ﹣φ）的图象关于直线x =π6对称， 则2×π6−φ=kπ+π2，k ∈Z ，解得φ=−kπ−π6，k ∈Z ， φ=−π6不一定成立，即必要性不成立；综上所述：“φ=−π6”是“函数y ＝sin （2x ﹣φ）的图象关于直线x =π6对称”的充分不必要条件． 故选：A ．3．下列结论中不正确的个数是（ ）①命题“所有的四边形都是平行四边形”是存在量词命题； ②命题“∃x ∈R ，x 2+1＜1”是全称量词命题；③命题p ：∃x ∈R ，x 2+3x +7＞0．则¬p ：∀x ∈R ，x 2+3x +7＜0． A ．0B ．1C ．2D ．3解：对于①，“所有的四边形都是平行四边形”，是全称量词命题，故①错误； 对于②，“∃x ∈R ，x 2+1＜1”，是存在量词命题，故②错误；对于③，命题p ：∃x ∈R ，x 2+3x +7＞0，则¬p ：∀x ∈R ，x 2+3x +7≤0，故③错误． 故选：D ．4．函数y =sinx ，x ∈(π3，2π)与直线y ＝t （t 为常数）公共点个数可能是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3解：作出y =sinx ，x ∈(π3，2π)的图象（实线部分），当t ＞1或t ＜﹣1时，y ＝sin x 与y ＝t 没有交点；当t ＝1或t ＝﹣1或t ＝0时，y ＝sin x 与y ＝t 只有1个交点； 当﹣1＜t ＜0时，y ＝sin x 与y ＝t 有2个交点； 当0＜t ≤√32时，y ＝sin x 与y ＝t 只有1个交点； 当√32＜t ＜1时，y ＝sin x 与y ＝t 有2个交点； 所以函数y =sinx ，x ∈(π3，2π)与直线y ＝t （t 为常数）公共点个数可能是0，1，2． 故选：ABC ．5．围棋起源于中国，已有四千多年的历史，“琴棋书画”之“棋”指的就是围棋．围棋棋盘有19×19个交叉点，从上往下、从左往右数，第m 行第n 列的交叉点记为P （m ，n ），例如，第3行第2列的交叉点记为P （3，2）．在所有的P(19，1)P(1，1)→⋅P(19，1)P(m ，n)→(1≤m ≤19，1≤n ≤19，m ，n ∈N)中，不同数值的个数为（ ） A ．17B ．18C ．19D ．20解：如图，以围棋棋盘所在的平面建立平面直角坐标系，并使最下一行恰好在直线y ＝1上，最左一列恰好在直线x ＝1上．则P （19，1）的坐标对应坐标系中的P 1（1，1）点，P （1，1）的坐标对应坐标系中的P 2（19，1）点，点P （m ，n ）的坐标对应坐标系中的P m ，n （20﹣m ，n ）点．所以P(19，1)P(1，1)→=P 1P 2→=(18，0)，P(19，1)P(m ，n)→=P 1P m ，n →=(19−m ，n −1)，所以，P(19，1)P(1，1)→⋅P(19，1)P(m ，n)→=P 1P 2→⋅P 1P m ，n →=（18，0）•（19﹣m ，n ﹣1）＝18（19﹣m ）．因为1≤m ≤19，且m ∈N ，所以m 有19个不同数值，19﹣m 也有19个不同数值，所以，P(19，1)P(1，1)→⋅P(19，1)P(m ，n)→也有19个不同数值． 故选：C ．6．过直线y ＝2x 上的点P 作圆C ：（x +2）2+（y ﹣4）2＝4的两条切线l 1，l 2，当直线l 1，l 2关于直线y ＝2x 对称时，点P 的坐标为（ ） A ．(35，65)B ．(65，125) C ．（1，2） D ．(32，3)解：圆C ：（x +2）2+（y ﹣4）2＝4的圆心为C （﹣2，4），直线l 1，l 2关于直线y ＝2x 对称时，CP 与直线y ＝2x 垂直， 所以直线CP 的方程为y −4=−12(x +2)，x +2y −6=0， 由{x +2y −6=0y =2x，解得{x =65y =125，所以P(65，125)．故选：B ．7．设复数z 的共轭复数是z ，且|z |＝1，又复数z 对应的点为Z ，A （﹣1，0）与B （0，﹣1）为定点，则函数f （z ）＝|（z +1）（z −i ）|取最大值时在复平面上以Z ，A ，B 三点为顶点的图形是（ ） A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形解：∵|z |＝1， ∴设z ＝cos θ+i sin θ，则（z +1）（z −i ）＝[（1+cos θ）+i sin θ][（cos θ﹣i （sin θ+1）]＝（sin θ+cos θ+1）﹣（1+sin θ+cos θ）i ， 则f （z ）=√(1+sinθ+cosθ)2+(1+sinθ+cosθ)2=√2[1+√2sin(θ+π4)]2， ∴当sin （θ+π4）＝1，即θ+π4=2k π+π2，θ＝2k π+π4时取得最大值， 最大值为√2(1+√2)2=√2⋅（1+√2）＝2+√2，此时z ＝cos π4+i sin π4=√22+√22i ， |ZA →|2＝（√22+1）2+（√22）2＝2+√2，|ZB →|2＝（√22+1）2+（√22）2＝2+√2，|AB →|2＝2， 则|ZA |＝|ZB |，则对应三角形为等腰三角形． 故选：D ．8．下列函数的最小值为2√2的是（ ） A ．y =|cosx|+2|cosx| B ．y =√x +√8−x C ．y ＝2x +22﹣xD ．y =2x 4+8x 2+10x 2+2解：A 中，令|cos x |＝t ∈（0，1]，可得y ＝t +2t在（0，1]单调递减，所以y min ＝1+2＝3，所以A 不正确； B 中，因为y =√x +√8−x ＞0，所以y 2＝x +8﹣x +2√x(8−x)=8+2√−(x −4)2+16∈∈[8，16]，所以y ∈[2√2，4]，所以B 正确；C 中，y ＝2x +22﹣x ≥2√2x ⋅22−x =2√22=4，所以y 的最小值为4，所以C 不正确；D 中，y =2x 4+8x 2+10x 2+2=2(x 2+2)2+2x 2+2=2[x 2+2+1x 2+2]，设t ＝x 2+2≥2，所以f （t ）＝t +1t 在[2，+∞）单调递增，所以f （t ）min ＝f （2）＝2+12=52， 所以y ≥2⋅52=5，即y 的最小值为5，所以D 不正确． 故选：B ． 二、多选题9．若(2x −1√x )n 展开式的二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（ ）A ．该展开式中共有6项B ．各项系数之和为1C ．常数项为﹣60D ．只有第4项的二项式系数最大解：因为二项式系数之和为64，即有2n ＝64，所以n ＝6， 则该展开式中共有7项，A 错误；令x ＝1，得该展开式的各项系数之和为1，B 正确；通项T r+1=C 6r⋅(2x)6−r ⋅1√x)r =(−1)r ⋅C 6r⋅26−r ⋅x 6−32r ， 令6−32r =0，得r ＝4，T 5=(−1)4×C 64×22=60，C 错误； 二项式系数最大的是C 63，它是第4项的二项式系数，D 正确．故选：BD ．10．山东省某地区2013年至2022年生产总值指数分别为112.2，108.1，108.7，108.7，109.5，108.9，108.1，104.0，107.3，104.3，则（ ） A ．这组数据的极差为8.2B ．这组数据的众数为108.1C ．这组数据的中位数为108.4D ．这组数据的上四分位数为108.9解：根据题意，这组数据从小到大依次为104.0，104.3，107.3，108.1，108.1，108.7，108.7，108.9，109.5，112.2，则这组数据的极差为112.2﹣104.0＝8.2，众数为108.1和108.7，中位数为108.1+108.72=108.4．因为10×85%＝8.5，所以这组样本数据的85%分位数为109.5， 分析选项：可知ACD 正确． 故选：ACD ．11．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n 2−12a n+1=a n+1−1a n，则a 2023的值可能为（ ）A ．1B ．﹣1C ．22022D ．(12)2022解：依题意，由a n 2−12a n+1=a n+1−1a n，可得1a n−12a n+1=a n+1−a n2，即2a n+1−a n 2a n+1a n=2a n+1−a n2，化简整理，得（a n +1a n ﹣1）（2a n +1﹣a n ）＝0， ∴a n+1=12a n ，或a n +1a n ＝1，①当a n+1=12a n 时，∵a 1＝1，∴数列{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，∴a 2023=1×(12)2023−1=(12)2022，②当a n +1a n ＝1时，可得a n ＝1，下面用数学归纳法证明： 当n ＝1时，a 1＝1，命题成立，当n ＝k （k ≥1，k ∈N *），假设a k ＝1成立， 则当n ＝k +1时，∵a k +1a k ＝1， ∴a k+1=1a k=1，命题成立，由上可知，a n ＝1成立，此时a 2023＝1， ∴a 2023＝1或a 2023＝（12）2022．故选：AD ．12．已知圆C ：（x ﹣a ）2+（y ﹣lna ）2＝1，则（ ） A ．存在2个不同的a ，使得圆C 与x 轴相切B ．存在2个不同的a ，使得圆C 在两坐标轴上截得的线段长度相等 C ．存在2个不同的a ，使得圆C 过坐标原点D ．存在2个不同的a ，使得圆C 的面积被直线y ＝x ﹣1平分 解：由题意可知，a ＞0，且圆C 的圆心为C （a ，lna ），半径为1． 对于A 选项，若圆C 与x 轴相切，则|lna |＝1，解得a ＝e 或a =1e，A 对；对于B 选项，若圆C 在两坐标轴上截得的线段长度相等，则{|a|＜1|lna|＜1，可得1e ＜a ＜1，圆C 截x 轴所得弦长为2√1−(lna)2，圆C 截y 轴所得弦长为2√1−a 2， 所以，2√1−(lna)2=2√1−a 2，所以，a 2﹣（lna ）2＝（a ﹣lna ）（a +lna ）＝0， 令f （a ）＝a ﹣lna ，g （a ）＝a +lna ，其中1e ＜a ＜1，所以，f ′(a)=1−1a =a−1a ＜0，g ′(a)=1+1a ＞0，所以，函数f （a ）在(1e ，1)上单调递减，g （a ）在(1e ，1)上单调递增，所以，当1e ＜a ＜1时，f （a ）＞f （1）＝1＞0，g(1e )=1e −1＜0，g （1）＝1＞0，所以，函数f （a ）在(1e ，1)上无零点，函数g （a ）在(1e ，1)上只有一个零点，B 错；对于C选项，若圆C过原点，则a2+（lna）2＝1，由图可知，y＝lnx与x2+y2＝1有两个交点，所以满足要求的a有2个，故C正确；对于D选项，若圆C的面积被直线y＝x﹣1平分，则直线y＝x﹣1过圆心C，所以，a﹣1＝lna，即a﹣lna﹣1＝0，令h（a）＝a﹣lna﹣1，其中a＞0，则ℎ′(a)=1−1a=a−1a．当0＜a＜1时，h′（a）＜0，此时函数h（a）单调递减，当a＞1时，h′（a）＞0，此时函数h（a）单调递增，所以，h（a）≥h（1）＝0，因此，存在唯一的a，使得圆C的面积被直线y＝x﹣1平分，D错．故选：AC．三、填空题13．已知集合{1，a，ba}＝{0，a2，a+b}，则a2022+b2023＝1．解：∵集合{1，a，ba}＝{0，a2，a+b}，且a≠0，∴ba=0，∴b＝0，∴集合{1，a，0}＝{0，a2，a}，∴a2＝1，即a＝±1，当a＝1时，集合为{1，1，0}，不满足元素的互异性，舍去，当a＝﹣1时，集合为{1，﹣1，0}，满足题意，∴a＝﹣1，b＝0，∴a2022+b2023＝（﹣1）2022+02023＝1+0＝1．故答案为：1．14．设a1，a2，…，a n是各项不为零的n（n≥4）项等差数列，且公差d≠0．若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数对(n，a1d)所组成的集合为{（4，﹣4），（4，1）}．解：设数列{a n}的公差为d，则各项分别为：a1，a1+d，a1+2d，…，a1+（n﹣1）d，且a1≠0，d≠0，假设去掉第一项，则有（a 1+d ）（a 1+3d ）＝（a 1+2d ）2，解得d ＝0，不合题意；去掉第二项，有a 1（a 1+3d ）＝（a 1+2d ）2，化简得：4d 2+a 1d ＝0即d （4d +a 1）＝0，解得d =−a14，因为数列的各项不为零，所以数列不会出现第五项（a 1+4d ＝0），所以数对(n ，a 1d)=（4，﹣4）； 去掉第三项，有a 1（a 1+3d ）＝（a 1+d ）2，化简得：d 2﹣a 1d ＝0即d （d ﹣a 1）＝0，解得d ＝a 1 则此数列为：a ，2a ，3a ，4a ，…此数列仍然不会出现第五项， 因为出现第五项，数列不为等比数列，所以数对(n ，a 1d)=（4，1）； 去掉第四项时，有a 1（a 1+2d ）＝（a 1+d ）2，化简得：d ＝0，不合题意；当去掉第五项或更远的项时，必然出现上述去掉第一项和第四项时的情况，即d ＝0，不合题意． 所以满足题意的数对有两个，组成的集合为{（4，﹣4），（4，1）}． 故答案为：{（4，﹣4），（4，1）}15．两位数m 和两位数n ，它们各个数位上的数字都不为0，将数m 和数n 的个位数字与十位数字交叉相乘再求和所得的结果记为F （m ，n ）．例如：F （13，24）＝1×4+3×2＝10．又如：F （35，16）＝3×6+5×1＝23．则F （36，72）＝ 48 ；若一个两位数m ＝21a +b ，两位数n ＝53+b （1≤a ≤4，1≤b ≤5，且a ，b 都取整数），交换m 的十位数字和个位数字得到新两位数m '，当m '与n 的个位数字的5倍的和能被11整除时，称这样的两个数m 和n 为“快乐数对”，则所有“快乐数对”F （m ，n ）的最大值为 58 ．解：F （36，72）＝3×2+6×7＝48． 由已知1≤a ≤4，1≤b ≤5得2≤a +b ≤9．两位数m ＝21a +b ＝（2×10+1）a +b ＝2a ×10+a +b ，个位数：a +b ，十位数：2a ， 新的两位数m '＝10（a +b ）+2a ．两位数n ＝53+b ＝5×10+3+b ，个位数：3+b ．m '+5（3+b ）＝10（a +b ）+2a +5（3+b ）＝12a +15b +15， 因为m '+5（3+b ）能被11整除，即12a+15b+1511=a +b +1+a+4b+411， 所以a+4b+411为整数，而9≤a +4b +4≤28，当a +4b +4＝11时，a ＝3，b ＝1， 当a +4b +4＝22时，a ＝2，b ＝4，所以，当a ＝3，b ＝1时，m ＝64，n ＝54，此时F （64，54）＝6×4+4×5＝44． 当a ＝2，b ＝4时，m ＝46，n ＝57，此时F （46，57）＝4×7+6×5＝58．则所有“快乐数对”F （m ，n ）的最大值为：58． 故答案为：48；58．16．已知函数f （x ）＝2a x ﹣ex 2+18，其中a ＞0且a ≠1．若f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，则实数a 的取值范围为 (1e ，1)∪(1，e) ．解：对函数f （x ）＝2a x ﹣ex 2求导得：f ′（x ）＝2a x lna ﹣2ex ＝2（a x lna ﹣ex ）， 令f ′（x ）＝0，即有a x lna ＝ex 有两个不同的变号零点， 令h （x ）＝a x lna ，g （x ）＝ex ，当a ＞1时，设h （x ）＝a x lna 过原点的切线的切点坐标为（x 0，a x 0lna ），切线斜率为k =a x 0ln 2a ， 切线方程为：y −a x 0lna =a x 0ln 2a(x −x 0)， 将（0，0）代入切线方程得x 0=1lna， 此时切线的斜率为：k =a 1lna ln 2a=eln 2a ，现在需要a x lna ＝ex 有两个交点，即k ＝eln 2a ＜e ，所以1＜a ＜e ．同理知当0＜a ＜1时，k ＝eln 2a ＜e ，所以1e ＜a ＜1．综上知：a 的取值范围为(1e ，1)∪(1，e)． 四、解答题17．在△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cosA =45，tan B ＝2． （1）求tan2A 的值； （2）求tan （2A ﹣2B ）的值．解：（1）因为cosA =45＞0，A 为三角形内角，所以A 为锐角，可得sin A =√1−cos 2A =35，可得tan A =sinA cosA =34，所以tan2A =2tanA 1−tan 2A =2×341−(34)2=247；（2）因为tan B ＝2， 所以tan2B =2tanB 1−tan 2B=−43，所以tan （2A ﹣2B ）=tan2A−tan2B 1+tan2Atan2B =247−(−43)1+247×(−43)=−43． 18．已知等差数列{a n }满足a 2＝4，2a 4﹣a 5＝7，公比不为﹣1的等比数列{b n }满足b 3＝4，b 4+b 5＝8（b 1+b 2）． （1）求{a n }与{b n }通项公式；（2）设c n =3a n ⋅a n+1(n ∈N ∗)，求{c n }的前n 项和S n ．解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ， 则{a 2=a 1+d =42a 4−a 5=2(a 1+3d)−(a 1+4d)=7， 解得a 1＝1，d ＝3，则a n ＝3n ﹣2； {b 3=b 1q 2=4b 4+b 5=q 3(b 1+b 2)=8(b 1+b 2)， 由于q ≠﹣1，则b 1+b 2＝b 1（1+q ）≠0， 解得b 1＝1，q ＝2， 则b n =2n−1． （2）c n =3a n ⋅a n+1=3(3n−2)(3n+1)=13n−2−13n+1，∴S n =1−14+14−17+⋯+13n−2−13n+1=1−13n+1=3n3n+1． 19．如图，已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点M 为正方形A 1B 1C 1D 1的内切圆O 1上的动点． （1）在线段CC 1上是否存在点N ，使得AM ⊥NM 恒成立，若存在，求出点N 的位置，若不存在，说明理由；（2）当点M 落在线段B 1D 1（靠近D 1点）上时，求二面角A ﹣MB ﹣C 的余弦值．解：（1）如图，连接AC ，BD ，设AC ∩BD ＝O ，连接OO 1， 分别以OA ，OB ，OO 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，可得A(√2，0，0)，B(0，√2，0)，设N(−√2，0，n)，M （x ，y ，2），且有x 2+y 2＝1，则AM →=(x −√2，y ，2)，NM →=(x +√2，y ，2−n)，设AM →⋅NM →=x 2−2+y 2+4−2n =0，可得n =32，此时，|CN|=34|CC 1|， 所以线段CC 1上存在点N ，位于线段CC 1靠近C 1的四等分点时， 可使得AM ⊥NM 恒成立；（2）由题设，可得M （0，﹣1，2），连接AM ，MB ，MC ，MO ，则AM →=(−√2，−1，2)，BC →=(−√2，−√2，0)，MB →=(0，1+√2，−2)， 设平面AMB 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)， 则由n →⊥AM →，n →⊥MB →，可得{n →⋅AM →=0n →⋅MB →=0， 即{−√2x −y +2z =0(1+√2)y −2z =0，取y ＝2，则x =2，z =√2+1，所以n →=(2，2，√2+1)是平面AMB 的一个法向量， 设平面CMB 的法向量为m →=(a ，b ，c)， 则由m →⊥BC →，m →⊥MB →，可得{m →⋅BC →=0m →⋅MB →=0， 即{−√2a −√2b =0(1+√2)b −2c =0，取a ＝2，则b ＝﹣2，c =−√2−1，所以m →=(2，−2，−√2−1)是平面CMB 的一个法向量， 所以cos ＜m →，n →＞=n →⋅m →|n →||m →|=−(3+2√2)√11+2√2×√11+2√2=−(3+2√2)11+22， 由图可知二面角A ﹣MB ﹣C 为钝角， 所以二面角A ﹣MB ﹣C 的余弦值为√2)11+2√2．20．已知圆心为C 的圆经过点A （﹣1，1）和B （﹣2，﹣2），且圆心在直线l ：x +y ﹣1＝0上，求： （1）求圆心为C 的圆的标准方程；（2）若过点（0，3）作圆C 的切线，求该切线方程；（3）若圆C 上恰有3个点到直线：3x +4y +m ＝0的距离为1，求实数m 的值．（1）解：因为点A （﹣1，1）和B （﹣2，﹣2），所以线段AB 的中点为(−32，−12)，k AB ＝3， 则线段AB 的中垂线方程为y +12=−13(x +32)，即 x +3y +3＝0，由 {x +3y +3=0x +y −1=0，解得 {x =3y =−2，则圆心为（3，﹣2），r =√(3+1)2+(−2−1)2=5，所以圆的方程为：（x ﹣3）2+（y +2）2＝25； （2）当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝0， 则圆心到直线的距离d ＝3≠r ＝5，不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为y ﹣3＝kx ，即kx ﹣y +3＝0， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即d =|3k+5|√1+k=5，解得k ＝0或k =158，所以切线方程为；15x ﹣8y +24＝0或y ＝3；（3）因为圆C 上恰有3个点到直线：3x +4y +m ＝0的距离为1， 所以圆心到直线的距离为|1+m|5=r −1=4，解得m ＝21或m ＝19．21．轻食是餐饮的一种形态、轻的不仅仅是食材分量，更是食材烹饪方式简约，保留食材本来的营养和味道，近年来随着消费者健康意识的提升及美颜经济的火热，轻食行业迎来快速发展．某传媒公司为了获得轻食行业消费者行为数据，对中国轻食消费者进行抽样调查．统计其中400名中国轻食消费者（表中4个年龄段的人数各100人）食用轻食的频率与年龄得到如下的频数分布表．（1）若把年龄在[12，38）的消费者称为青少年，年龄在[38，64]的消费者称为中老年，每周食用轻食的频率不超过3次的称为食用轻食频率低，不低于4次的称为食用轻食频率高，根据小概率值α＝0.01的独立性检验判断食用轻食频率的高低与年龄是否有关联；（2）从每天食用轻食1次及以上的样本消费者中按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，从中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在[25，38）与[51，64]的人数分别为X ，Y ，ξ＝|X ﹣Y |，求ξ的分布列与期望；（3）已知小李每天早餐、晚餐都食用轻食，且早餐与晚餐在低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁3种轻食中选择一种，已知小李在某天早餐随机选择一种轻食，如果早餐选择低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁，则晚餐选择低卡甜品的概率分别为15，25，23，求小李晚餐选择低卡甜品的概率．参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ．附：解：（1）补全的2×2列联表如下：所以χ2=400×(125×105−75×95)2200×200×220×180≈9.091＞6.635， 所以有99%的把握认为食用轻食频率的高低与年龄有关；（2）由数表知，利用分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在[25，38），[51，64]内的人数分别为1，2， 依题意，ξ的所有可能取值分别为0，1，2，所以P(ξ=0)=P(X =0，Y =0)+P(X =1，Y =1)=C 53C 83+C 51C 21C 83=2056，P(ξ=1)=P(X =0，Y =1)+P(X =1，Y =0)+P(X =1，Y =2)=C 52C 21C 83+C 52C 83+1C 83=3156， P(ξ=2)=P(X =0，Y =2)=C 51C 83=556，所以ξ的分布列为：所以ξ的数学期望为E(ξ)=0×2056+1×3156+2×556=4156；（3）记小李在某天早餐选择低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁，分别为事件A ，B ，C ， 晚餐选择低卡甜品为事件D ，则P(A)=13，P(B)=13，P(C)=13，P(D|A)=15，P(D|B)=25，P(D|C)=23， 所以P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(D|C)，P(C)=13×15+13×25+13×23=1945， 所以小李晚餐选择低卡甜品的概率为1945．22．（1）设x，y∈R用反证法证明：若x+y＞2，则x＞1或y＞1．（2）设a∈R，比较（a+1）2与a2﹣a+1的值的大小．解：（1）假设x≤1且y≤1，则x+y≤2，与已知条件x+y＞2矛盾，所以假设不成立，即x＞1或y＞1．（2）（a+1）2﹣（a2﹣a+1）＝a2+2a+1﹣a2+a﹣1＝3a，当a＞0时，（a+1）2＞a2﹣a+1，当a＝0时，（a+1）2＝a2﹣a+1，当a＜0时，（a+1）2＜a2﹣a+1．。
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泰安市2011届高三期末考试英语试题第Ⅰ卷（三部分，共105分）第二部分英语知识运用（共两节，满分35分）第一节语法和词汇（共15小题；每小题1分，满分15分）从A、B、C、D四个选项中，选出可以填入空白处的最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。
21.—I have got a chance to be a volunteer at the London Olympic Games.—！Me, too.A.CongratulationsB.Good luckC.That’s greatD.No problem22.Though Jack has failed twice in PE test, he decided to have third try.A.the；theB.a；theC.a；aD.the；a23.Bolt broke his own record at the 2008 Beijing Olympics by 9.58 seconds inBerlin.A.to setB.settingC.setD.having set24.His sister has become a doctor, is what he wants to be.A.whoB.whoseC.thatD.which25.According to the school rules, no student go out of the schoolafter nine o’clock at night without the teacher’s permission.A.shallB.willC.mustD.may26. fashions differ from country to country may reflect theculture difference from one aspect.A.WhatB.ThatC.ThisD.Which27.—I’ve been working really hard at English recently, but it still remains poor.—Don’t give up.Sometimes things don’t like youwant right away.A.turn outB.turn upC.turn downD.turn in28.—How do you think I should receive the reporter?— you feel about him, try to be polite.A.HowB.WhatC.WhateverD.However29.She not only entered the competition—she won it!A.hopefullyB.especiallyC.actuallyD.exactly30.—Since you love pets so much, why not adopt one?—That’s exactly what I .A.have thoughtB.was thinkingC.had thoughtD.will think31.Parents should educate their children to well while attendinga party.A.celebrateB.observeC.acceptD.behave32.—I haven’t found any money though I’ve searched the drawer bottom up.—Then, I’m afraid there is left.A.nothingB.no oneC.noneD.neither33.Exploring the moon is a(n) to China as well as the whole world.A.opportunityB.challengeC.reactionD.threat34.Sometimes, the entrance tickets are free of charge from the university.A.availableB.valuableC.imaginablefortable35.Jobs are hard to get and, , more young people are continuing their education.A.above allB.as a resultC.after allD.on the contrary第二节完形填空（共20小题；每小题1分，满分20分）阅读下面短文，掌握其大意，然后从36-55各题所给的四个选项（A、B、C 和D）中选出最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。
In 1989 an 8.2 earthquake almost flattened Los Angeles, killing over 30,000 people in less than four minutes.A father rushed to where his son was 36 to be, only to discover that the building was flattened.But he remembered the 37 he had made his son：“I’ll always be there for you!” Tears began to fill his eyes.Although it looked 38 , he remembered his words.39 his son’s classroom would be in the back right corner of the building, he rushed there and started 40 .Other parents tried to pull him off what was left of the school, saying “It’s too late!They're all dead!You can’t 41 !”To each he 42 ：“Are you going to help me?”And then he went back to his digging.The fire fighter 43 and tried to pull him away:“Fires are breaking out, explosions are happening everywhere.You’re 44 .”To which this loving, 45 father asked:“Are you going to help me?”He went on 46 he needed to know,“Is my boy alive or is he dead?”He dug for eight hours…l2 hours…36 hours…then, in the 38th hours, he pulled back a large stone and 47 his son.He 48 ：“ARMAND!”He heardback：“Dad？It’s me, Dad!I told the other kids not to 49 .I told them that if you were 50 ,you’d save me and when you saved me, they'd be saved.You 51 ,no matter what happens, I’ll always be there for you!”“What’s going on in there?”the father asked.“There are l4 of us 52 out of 33, Dad.We’re scared but 53 you’re here.When the building collapsed, it 54 a triang1e(三角形),and it saved us.”“ 55 ,boy!”“Let the other kids out first, because I know you’ll get me! I know you’ll always be there for me!”36.A.reported B.supposed C.announced D.said37.A.decision B.mistake C.promise D.suggestion38.A.annoying B.satisfactory C.embarrassing D.hopeless39.A.Recalling B.Seeing C.Hearing D.Predicting40.A.wandering B.digging C.crying D.filling41.A.help B.wait C.suffer D.fail42.A.whispered B.murmured C.responded D.explained43.A.looked up B.stood up C.climbed up D.showed up44.A.in place B.in danger C.in charge D.in relief45.A.caring B.smiling C.leading D.promising46.A.when B.after C.if D.because47.A.saw B.met C.heard D.felt48.A.screamed B.waved C.nodded D.argued49.A.relax B.worry C.hurry D.flee50.A.brave B.active C.alive D.strongplained B.promised C.remarked D.stated52.A.lying B.sleeping C.discouraged D.left53.A.thankful B.hopeful C.careful eful54.A.built B.designed C.made D.circled55.A.Stand out B.Keep up C.Take it easy e out第三部分阅读理解（共20小题；每小题2分，满分40分）阅读下列短文，从每题所给的四个选项（A、B、C和D）中，选出最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。