电路分析-第九章 线性动态电路的复频域分析
(完整版)邱关源电路教材重点分析兼复习纲要-武汉大学电路
第一章电路模型和电路定律，第二章电阻电路的等效变换，第三章电阻电路的一般分析，第四章电路定理。
这四章是电路理论的基础，全部都考，都要认真看，打好电路基础。
第一章1-2电流和电压的参考方向要注意哈，个人认为搞清楚方向是解电路最重要的一步了，老师出题，喜欢把教材上常规的一些方向标号给标反，这样子，很多式子就得自己重推，这也是考验你学习能力的方式，不是死学，比如变压器那章，方向如果标反，式子是怎样，需要自己推导一遍。
第二章都要认真看。
第三章3-1 电路的图。
图论是一门很重要的学科，电路的图要好好理解，因为写电路的矩阵方程是考试重点，也是送分题，而矩阵方程是以电路图论为基础的。
第四章4-7对偶原理。
自己看一下，懂得什么意思就行了。
其他小节都是重点，特别是特勒跟和互易。
这几年真题第一题都考这个知识点。
第五章含有运算放大器的电阻电路。
这个知识点是武大电路考试内容，一定要懂，虚短和虚断在题目中是怎么用的，多做几个这章的题就很清楚了。
5-2 比例电路的分析。
这一节真题其实不怎么常见，跟第三节应该是一个内容，还是好好看一下吧。
第六章储能元件。
亲，这是电路基础知识，老老实实认真看吧。
清楚C和L的能量计算哦。
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析。
一阶电路的都是重点，二阶电路的时域分析，其实不怎么重要，建议前期看一下，从来没有出现过真性二阶电路让考生用时域法解的，当然不是不可以解，只是解微分方程有点坑爹，而且基本上大家都是要背下来那么多种情况的解。
所以，这章的课后习题中，二阶的题用时域解的就不用做了，一般后面考试都是用运算法解。
7-1 7-2 7-3 7-4 都是重点，每年都考。
好好看。
7-5,7-6，两节，看一下即可，其实也不难懂，只是很难记。
7-7，7-8很重要，主要就是涉及到阶跃和冲激两个函数的定义和应用，是重点。
7-9，卷积积分，这个方法很有用，也不难懂，不过我没看过也不会用也不会做，每次遇到题目都是死算，建议好好研究下卷积。
第九章 线性动态电路的复频域分析
sM * sL1
L1i1 (0 ) Mi2 (0 )
* sL2
L2 i2 (0 )
U1 ( s)
Mi1 (0 )
U 1 ( s ) L1 sI 1 ( s ) L1 i1 ( 0 ) MsI 2 ( s ) Mi2 ( 0 ) U ( s ) U ( s ) MsI ( s ) Mi ( 0 ) 1 1 2 L2 sI 2 ( s ) L2 i 2 ( 0 )
2．单边拉氏反变换
0
f ( t )e dt L[ f ( t )]
s t
j st 1 1 f (t ) [ F ( s )e d s ] ( t ) L [ f ( t )] 2 π j j
f(t)←→F(s) F(s)称为f(t)的象函数，f(t)称为F(s)的原函数
上题也可先去耦等效有
(t=0)
S
2.5 i1 1H 1H i2 2H 2.5 I2 ( s ) s 2 + s 2s 2.5 i3 + 2.5 10V -
i1 (0 ) i3 (0 ) 2A i2 (0 ) 0
画出s域模型如图
I1 ( s) 2.5 + 10 s -
4 +
(2.5 s 2s) I1 ( s) 2sI 2 ( s) 10 6 s 2sI1 ( s) (2.5 2s s) I 2 ( s) 4
i2 (t ) (e
0.5t
e
2.5t
)A , t 0
例．电路换路前已达稳态，求tu >0的全响应i(t) . + C2 2 F + 解: i L (0 ) 10 2.5A S
9-拉普拉斯变换分析法
K m1 Km2 K mn 2 s pm ( s pm ) ( s pm ) n 1 d l 1 n K ml [( s p ) F ( s)] m l 1 (l 1)! ds s p
对应这 n 个部分分式的原函数为
m
K ml K ml l 1 pmt t e (t ) l ( s pm ) (l 1)!
at
L
0
e
0
( s a )t
dt
1 ( s a )t ∞ e 0 sa 1 sa
《电路》课程讲义 Professor Rui-Xiang Yin(PhD) etrxyin@
8
常用拉普拉斯变换对
No 原函数 象函数
1 2
3
4
5
《电路》课程讲义 Professor Rui-Xiang Yin(PhD) etrxyin@
0 ∞ 0
∞
t
0
f ( )d e dt
st
t
0
e s
st
t
1 st f ( )d d(e ) s
0
f ( )d
0
∞
0
1 st f (t ) e dt s
1 F (s) s
《电路》课程讲义 Professor Rui-Xiang Yin(PhD) etrxyin@
d d d an n u an1 n 1 u a1 u a0u e(t ) dt dt dt d n 1 d 初始条件： n 1 u (0), u (0), u (0) dt dt
直接求解将是十分困难的。
电路教案线性动态电路的复频域分析
本章重点：(1) 拉普拉斯变换的基本原理和性质(2) 掌握用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤 (3) 网络函数的概念(4) 网络函数的极点和零点14.1 拉普拉斯变换的定义1. 拉氏变换法拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f (t)与复变函数F (s)联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时域的高阶微分方程变换为频域的代数方程以便求解。
应用拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析法，又称运算法。
2. 拉氏变换的定义定义 [ 0 , ∞)区间函数 f (t )的拉普拉斯变换式： ⎪⎩⎪⎨⎧⎰=⎰=∞+∞-+∞--d )(πj 21)( d )()(0反变换正变换se s F tf t e t f s F stj c j c st [][])s (L )( )(L )s ( F t f t f F -1，简写==S: 复频率，ωσj s +=注意：● 积分域：0-：积分下限从0- 开始，称为0- 拉氏变换 。
0+：积分下限从0+ 开始，称为0+ 拉氏变换 。
今后讨论的均为0 - 拉氏变换。
t e t f t e t f t e t f s F st st st d )(d )( d )()(0000⎰+⎰=⎰=∞--+∞-++--（[0- ,0＋]区间f (t) = δ (t) 时，此项≠0）● 象函数F(s) 存在的条件：∞<⎰∞--t e t f st d )(0如果存在有限常数M 和 c 使函数 f(t) 满足：),0[ )(∞∈≤t Me t f ct ，即：cs Mt Me t e t f tc t -=⎰≤⎰∞---∞--d d )(0)s (s 0 则f(t)的拉氏变换式F(s)总存在，因为总可以找到一个合适的s 值使上式积分为有限值。
象函数F(s) 用大写字母表示,如I(s)，U(s)；原函数f(t) 用小写字母表示，如 i(t), u(t)。
3.典型函数的拉氏变换变换公式： d )()(0t e t f s F st⎰=+∞--(1)单位阶跃函数)()(t t f ε=的象函数s e s t e t e t t s F st st st 101d d )()]([L )(00=∞-=⎰=⎰==--∞--∞--εε(2)单位冲激函数)()(t t f δ=的象函数1d )(d )()]([L )(0000==⎰=⎰==---∞+--s st st e t e t t e t t s F δδδ(3)指数函数at e t f =)(的象函数[]a s e a s t e e e s F t a s st at at -=∞--=⎰==----∞-101d L )()(0 14.2 拉普拉斯变换的基本性质1.线性性质)(])(L[ , )(])(L[ 2211s F t f s F t f ==若 ，[][][])()()(L )( L )()( L 221122112211s F A s F A t f A t f A t f A t f A +=+=+则证明：[][]t e t f A t f A t f A t f A std )()()()( L 022112211-∞⎰+=+-)()(d )(d )(2211022011s F A s F A t e t f A t e t f A st st +=⎰+⎰=-∞-∞--结论：根据拉氏变换的线性性质，求函数与常数相乘及几个函数相加减的象函数时，可以先求各函数的象函数再进行相乘及加减计算。
拉普拉斯变换l
➢变量 s 称为复频率。应用拉氏变换法进行电路分 析称为电路的一种复频域分析方法，又称运算法。
➢ 拉氏变换的积分从t=0-开始，可以计及t=0时f(t)包 含的冲激的情况，从而给计算存在冲激函数电压和 电流的电路带来方便。
例2 求单位冲激函数 (t)的拉普拉斯象函数。
解:
[ (t)]
(t )estdt
0
est
t0
1
收敛域包括整个s平面。
[ (t)] 1
例3 求单位阶跃函数 ( t )的拉普拉斯象函数。
解:
[ (t )] (t )estdt 0
estdt est 1
0
s s
0
[ (t)] 1
熟悉的变换 相量法 把时域的正弦运算变换为复数运算
正弦量 i1 i2 i
相量
拉氏变换：
时域函数f(t)(原函数)
I1 I2 I
对应 复频域函数F(s)(象函数)
二、拉普拉斯变换的定义
傅立叶变换
F ( j) f (t)e jtdt
条件：绝对可积 很难满足！！
乘以指数 衰减函数
f (t)ete jt dt
1 2
e
j t
(t
)
1 2
e
j t
(t
)
1 ejt (t) 1 ejt (t)
2
2
同理可得
11
1
s
( 2s
j
s
)
j
s2
2
[sint (t)]
s2
2
2. 微分定理 (differentiation theorem)
拉普拉斯变换及其基本性质(“函数”相关文档)共62张
K 2(s2j3)F (s)s 2j3s s2 5j3s 2j30.5j0.50.52ej45
即
F (s )
K 1
K 2
0 .52 e j4 5 0 .52 e j4 5
(s 2 j3 ) (s 2 j3 ) (s 2 j3 ) (s 2 j3 )
其中α=2,ω=3,θ=–45°，查表可得出
(2) K的象函数为
F(s)L[K]K estdtK(e sst) 0K s
0
(3) 单位冲击函数δ(t) 的象函数
δ(t)函数定义
(t ) 0
t 0
t
0
(t)dt 1
δ(t)函数意义:t≠0时,δ(t)=0 。当t=0 时是一个面积
为1，但宽度极为窄小而幅度极大的脉冲。
δ(t) 的象函数为
F(s)K1 K2 Kn
sp1 sp2
spn
式中K1、K2…Kn是待定系数。上式两边都乘以(s–P1)，则
(sp1)F (s)K 1(sp1) s K 2 p2s K n pn
令s=P1 代入，则等号右边除K1项之外其余项为零，故得
同理得出
K 1(s p 1 )F (s)s p 1 K2 (sp2)F(s) sp2
f(t)
把
改写为
由象函数求原函数
【例9-1】求下列原函数的象函数
(1) 单位阶跃函数ε(t)；
(2) 实常数K；
(3) 单位冲击函数δ(t) ；
(4) 指数函数 e;at
解 对于以上几个原函数，直接用拉普拉斯变
换式
(1)
ε(Ft)(的s)象0函 求f(数t取)e为。stdt
F (s ) L [(t)]0 (t)e s td t0 e s td t e s s t 0 1 s
拉氏反变换
求 K12：上式两边对 s 求导一次，则K12被分离出来。
d K 12 ( s p1 )3 F ( s ) s p1 ds 1 d2 3 K 13 ( s p ) F ( s ) s p1 1 2 2! ds
同理
第9章 动态电路的复频域分析
s2 [例9-10] 求 F ( s ) 的原函数 f (t) 。 2 ( s 1) ( s 3)
解：
K 11 K 12 K2 F ( s) 2 ( s 1) s1 s 3 s2 1 2 K 11 ( s 1) F ( s ) s 1 s 1 s3 2 d ( s 3) ( s 2) 1 2 K 12 ( s 1) F ( s ) s 1 s 1 2 ds ( s 3) 4 s2 1 K 2 ( s 3)F ( s ) s 3 2 s 3 ( s 1) 4 1 1 1 1 t 1 t 1 3t 2 4 4 f ( t ) te e e F ( s) 2 2 4 4 ( s 1) s1 s 3
第9章 动态电路的复频域分析
拉氏反变换： F (s) → f (t) 求解方法：部分分式展开法。 1. 电路中的象函数通常是两个有理多项式之比。 N ( s ) a0 s m a1 s m 1 an F ( s) n m n n 1 D( s ) b0 s b1 s bn
s 1
1 4
s 2
第9章 动态电路的复频域分析
s2 s 2 [例9-7] 求 F ( s ) 3 的原函数 f (t) 。 2 s 6 s 11s 6
解： 已求得
电路复频域 频域 时域 相量关系 分析
哈为啥有这些呢，产生这些概念的前提：正弦量被广泛采用，原因如下1. 电力工程，发电输电用电，正弦量使设备简单，效率高，经济2. 实验室易于产生标准的正弦量3. 有一套成熟的正弦电路的算法4. 正弦量可以利用傅里叶级数分解为不同频率的正弦量对于正弦的使用以及电路分析有这样的解释：对电路的分析其实就是对电路的建模，包括对每个元器件的建模。
纯阻性元件的数学模型很简单，只有一个方程。
而理想电感的方程会复杂一点，电压电流满足一个微分方程，而且还有关于磁链的方程。
对于非线性的二极管等等，就有更复杂的数学模型。
数学模型建立起来之后就要求解。
在求解过程中，人们发现，只有e^x和正弦函数具有一个特殊的性质，那就是不管求导多少次，都满足函数的相似性。
人们就开始研究，能否把输入都用正弦信号或者指数信号的叠加代替，带入电路的数学模型之后，计算非常简便，得到输出之后，再把输出恢复成实际的信号。
这就是傅立叶和拉普拉斯解法。
在用正弦信号求解的时候，指数函数和正弦函数又有一个牛逼的公式将两者联系起来，这就是欧拉公式，这样正弦函数的相位信息就可以放到指数函数中去。
/question/23290060/answer/24128688（转自知乎）所以与其相关的算法如期而至首先，时域算法，最容易理解，首先描述正弦量的是时域的算法（其定义的时候就是用的时间，随时间按正弦规律变化的电压和电流就是正弦量）基本的单位有：频率，周期，角频率，瞬时值，最大值，有效值相位（瞬时值变化进程）初相位相位差（前提，频率相同，反映了两个正弦量变化进程差异，而非产生波形先后，超前滞后同相反相正交）①时域——相量（将时域分析换为频域分析）细节一点，在时域的正弦表示中，根据欧拉公式，转化为了相量的形式，这其中，相量形式保持了原来正弦量的幅值、初相位信息，即两者联系为通过欧拉公式实数范围的正弦时间函数和复数范围的复指数常数一一对应但是需要注意的是，此时，我们取到的仅仅是复指数的实数部分，而且不研究旋转因子e^jwt ,原因是，在线性的电路中，全部的稳态响应也是同频率的正弦函数，没有新的频率，w显然不是研究问题的中心，也就在相量分析中放在了一边。
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H0 2
j
j2
2
j2
4、H(s)与网络的频率特性
若网络函数H(s)的收敛域包含j，则令s= j
m
H(
jω)
H(s)
s jω
H0
( jω
i 1
n
( jω
zi ) pr )
|
H( jω) | (ω)
r 1
频率响应： H ( jω) ~ω曲线 : 幅频特性曲线;
(ω) ~ω曲线 : 相频特性曲线
2F+ uC -
S
+(t=0) 5-iL
i(t
)
- + 2
10V
iL
2
2H
画出s域模型如图
IL(s)
10 s
5
2s 2
2.5(s 2) s(s 1)
１ 2s
17.5 + s-
+ I(s)
I
(
s
)
2s[5
I
L
(
s
)
17.5 s
]
I
L
(
s
)
5-IL(s)
- + 2 IL(s)
10/s 2
2s
5
+
10
2．单边拉氏反变换
f (t) [ 1 j F(s)estds] (t) L 1[ f (t)]
2π j j
f(t)←→F(s)
F(s)称为f(t)的象函数，f(t)称为F(s)的原函数
3、常见函数的拉氏变换对
冲激函数： (t ) 1
L[ (t)]
(t )estdt
(t)dt 1
件为y(0-)=2，y'(0-)=1，试求系统的零输入响应、零
状态响应和全响应。
y(t) 3 y(t) 2 y(t) 2 f (t) 6 f (t)
解：对微分方程拉普拉斯变换
Ly(t) 3 y(t) 2 y(t) L2 f (t) 6 f (t)
[s2Y (s) sy(0 ) y(0 )] 3[sY (s) y(0 )] 2Y (s)
复频域阻抗与复频域导纳：
I(s)
在零状态下
Z(s)
U(s) I(s)
,
Y
( s)
I(s) U(s)
+
N0
U(s) 无源、
-
零状态
I(s)
Z(s) R sL 1 , sC
Y(s) 1 R sL
1
+ U(s)
sC -
R sL
1 sC
有s域形式的欧姆定律
U(s) Z(s)I(s) , I(s) Y(s)U(s)
2[sF (s) f (0 )] 6F(s)
Y (s)
2s 6 s2 3s
2
F(s)
sy(0 ) y(0 ) 3 y(0 ) s2 3s 2
Y f (s) Yx (s)
Yf
(s)
2(s 3) s2 3s 2
1 s
3 s
(4) s1
s
1
2
y f (t) (3 4et e2t ) (t)
-
i 1
+ L1-M
u 1
-
i 2
L2-M +
u
M
2
-
I1(s)
(L1 M )i1(0 )
-
+
L1-M
U1(s)
+ - (L2 M )i2(0 )
sM -
Mi (0 )
+- 1 -
Mi (0 )
+2 -
I2(s)
L2sL称为复频域感抗，(1/sLs)称域为模复型
频域感纳；(1/sC)称为复频域容抗，sC称为复频 域容纳。独立电源称为附加电源或内激励。
L
di L (t ) dt
UL(s) L[sIL(s) iL(0 )] UL(s) sLIL(s) LiL(0 )
i L (t )
iL (0
)
1 L
t
u( )d
0
IL(s)
iL (0 s
)
1 L
UL(s) s
I
L
( s)
UL(s) sL
iL
(0 s
)
1/sL
L i(t)
＋ u(t) －
I(s)
复频域分析法步骤
1. 求换路前电路的状态 uC(0-)、iL(0-)； 2.求激励f(t)的象函数F(s)；
3.画出s域电路模型
4.用s域形式的各种分析法建立方程，解出响应
变量的象函数；
5. 拉氏反变换的求出响应的时域表达式，画出 响应的波形。
例: 图示电路，试求零状态响应uC1 、uC1 、u
U1(s) L1sI1(s) L1i1(0 )
U
2
(
s
)U
2
(
s
)
MsI 2 (s MsI1(s)
) Mi2 (0 Mi1(0 )
)
Mi2 (0 )
Mi1(0 )
L2sI 2 (s) L2i2 (0 )
当耦合电感为三端接法时的s域模型
i 1
+*
u 1
L1
-
i
M
2
*+
L2
u 2
元件：VAR 相应的s域形式 s域模型
1、电阻元件：
u(t) R i(t) U(s) R I(s)
i(t) G u(t) I(s) G U(s)
i(t)
I(s)
u(t)
U (s)
2、电容元件：
ic (t)
C
duc (t) dt
Ic (s) C[sUc (s) uc (0 )] Ic (s) sCUc (s) Cuc (0 )
若
f (t) F(s)则
df (t) dt sF (s) f (0 )
推论：
f (n)(t) snF(s)
sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1)(0 )
§9–3 拉普拉斯反变换
部分分式展开法
F(s)
N(s) D(s)
bm sm bm1sm1 b1s b0 sn an1sn1 a1s a0
2s 2.5 3s
4
i2 (t ) (e0.5t e2.5t )A , t 0
去耦等效
i1(0 ) i3 (0 ) 2A i2(0 ) 0
画出s域模型如图
S
(t=0)
+ 2.5 10V -
2.5 i1 1H
1H i2
i3 2H 2.5
I1(s)
I2(s)
2.5 +
10
s
-
2+
s 2s
H(s)
Y f (s) F(s)
bm sm bm1sm1 sn an1sn1
b1s a1s
b0 a0
N(s) D(s)
将分子、分母因式分解(设为单根情况)得
m
H(s)
bm (s (s
z1 )(s z2 ) (s zm ) p1 )(s p2 ) (s pn )
H0
(s
Yx (s)
2s 1 3 2 s2 3s 2
s
5 1
(3) s2
yx (t) 5et 3e2t , t 0
故 y(t) y f (t) yx (t) 3 et 2e2t , t 0
二、电路的s域模型
由拉氏变换的线性特性有 KCL： i(t)=0 I(s)=0
KVL： u(t)=0 U(s)=0
0
0
阶跃函数： (t ) 1
s
斜坡函数： t (t ) 1
s2
L[t (t)]
testdt 1
0
s
tdest
0
1 s2
指数函数：
e t (t) 1 s
L[et (t )] etestdt e(s )tdt
0
0
1
s
e ( s )t
0
1
s
正幂函数：
t n (t)
I(s) sL LiL(0 )
iL(0 ) s
＋
U(s)
－＋
U(s)
－
4．耦合电感的s域模型
i 1
*
u1(t ) L1
i 2
M * L2 u2 (t )
u1 u2
L1 M
di1 dt di1 dt
M L2
di2 dt di2 dt
sM
*
sL1
U1(s)
L1i1 (0 )
* sL2
L2i2 (0 )
例:电路换路前已达稳态，求t>0的全响应i2(t) .
S
(t=0)
+ 2.5 10V -
2.5 i1 2H *
3H
i2
* 3H 2.5
解：画出0-等效电路，有：
2.5
i1(0-)
i2(0-)
+ 2.5 10V -
2.5
例2
i1(0
)
10 2.5 2.5
2A
,
i2(0
)
0
画出s域模型如图
n! s n1
(n为正整数)
余弦函数： 正弦函数：
cos0t (t) sin0t (t)
s
s2 0 02 s2 02
§9–2 拉普拉斯变换的性质
一、拉氏变换的基本性质：
1、线性特性： 若 f1(t) F1(s) , f2(t) F2(s)
则 af1(t) bf2(t) aF1(s) bF2(s) 2、时域的微分性：