动态电路复频域分析
电路理论第十四章 动态电路的复频域分析与网络函数
M
di1 (t ) dt
1
i1 +
M
i2 + 2
u1 L1 L2 u2
+ UL(s) -
+ I1(s)
I2(s) +
sL1 -
sL-2
L1i1(0 )
U1(s)
+ +
sMI2
(s) --
L+2i2 +
(0 ) U2
(s)
s-MI1(s)
-
-
- 2'
Mi2(0 ) -+
+Mi1
(0 ) -
U1(s) sL1I1(s) L1i1(0 ) sMI2 (s) Mi2 (0 )
即有：
1,
2,1
4
f (t) 2 k1 et cos(t 1) (t) 2 0.5
即 f (t) 2et cos(2t ) (t)
2 et cos(2t ) (t)
4
4
3. D(s) 0 具有重根。
设D(s)中含有因式(s p1)3 ，其余为单根，F(s) 可分解为：
F (s)
则有：F (s)
s2
s3 2s 5
s
k1 (1
j2)
k2 s (1
j2)
即 N(s)
s3
k1
[ D(s) ]s p1
[ 2s
2 ]s1 j 2
0.5
j0.5
0.5
j
2e 4
N (s)
s3
j
k2 [ D(s) ]s p2 [ 2s 2]s1 j2 0.5 j0.5 0.5 2e 4
2.零极点的分布与频率响应。
第二节 拉普拉斯反变换的部分分式展开法动态电路的复频域分析.
第二节 拉频拉斯反变换的部 第九章 动态电路的复频域分析 分分式展开法 s3 F ( s ) 2 例9-9求 ( s 1)(s 2s 5) 的原函数f(t) 。
* K1 K2 K2 解：F ( s) ( s 1) ( s 1 j ) ( s 1 j ) s3 1 3 K1 [ F ( s )(s 1)]s 1 [ 2 ] | s 1 0.5 s 2s 5 1 2 5 s3 K 2 [ F ( s )(s 1 j 2)]s 1 j 2 [ ] |s 1 j 2 ( s 1)(s 1 j 2)
Kn K1 K2 F ( s) ... s p1 s p2 s pn
(9-3)
式中K1、 K2、 ... Kn、是待定系数。 确定系数，将上式两边同乘(s- p1)得
令s=p1
Kn K2 ( s p1 ) F ( s) K1 ( s p1 )( ... ) s p2 s pn
2
电路基本分析 第九章 动态电路 的复频域分析
第二节 拉频拉斯反变换的部 第九章 动态电路的复频域分析 分分式展开法 1 4 4 所以 F ( s ) s 1 s 2 s 3 原函数 f (t ) 1et 4e2t 4e3t
2 s 2 5s 5 的原函数f(t)。 例9-8 求 F ( s) 2 s 3s 2 2 2 2s 5s 5 2( s 3s 2) s 1 解：F ( s) 2 2 2 s 3s 2 s 3s 2 s 3s 2 s 1 K1 K2 2 2 ( s 1)(s 2) s 1 s 2 s 1 11 K1 [(s 1) ]t 1 2 ( s 1)(s 2) 1
电路分析第5章
《电路分析简明教程》
1、线性性质
§ 5-1
例 若f (t )= sinωt 的定义域在[0，∞），求其象函数。
解 根据欧拉公式
f (t) sin t e jt e jt
2j 根据拉氏变换的线性性质，得
《电路分析简明教程》
2、延迟性质 若
§5-1
则 例 试求延迟的阶跃函数f(t)=ε( t - t 0) 的象函数。 解 根据延迟性质和单位阶跃函数的象函数,得
（
s
K2 - p2
）
式中
《电路分析简明教程》
§5-2 复频域中的电路定律与电路模型
分析电阻电路的两类约束、定理乃至技巧都适用
于动态电路的复频域分析法（运算法）。
一、KVL、KCL的复频域形式
1、对任一节点 ΣI（s）=0
2、对任一回路 ΣU（s）=0
二、元件伏安关系（VAR)的复频域形式及电路模型
(2) 绘出电路的复频域模型。注意不要遗漏附加电 源，且要特别注意附加电源的方向。
(3) 根据电路两类约束的复频域形式，对复频域模型 列写电路方程，求出响应的象函数。这里可以采用第一、 第二章中分析电阻电路的各种方法。
(4) 用部分分式展开法和查阅拉氏变换表，将以求的 的象函数进行拉氏逆变换，求出待求的时域响应。
（s
K11 - p1）2
（ K2 s - p2
）
对于单根，待定系数仍采用
公式计算。
而待定系数K11和K12，可以用下面方法求得。 将式两边都乘以(s-p1)2，则K11被单独分离出来，即
K11 （ [ s - p1）2F(s)] S=P1
《电路分析简明教程》
又因为
d ds
[（s
电路动态分析的方法
电路动态分析的方法电路动态分析是指对电路中各个元件和节点的电压和电流随时间的变化进行分析。
在电路动态分析中，可以使用多种方法来求解电路的动态响应。
下面将介绍几种常用的电路动态分析方法。
1. 拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法是一种在时间域和频率域之间进行转换的方法。
通过将电路中的微分方程转换为复频域中的代数方程，可以求解电路的动态响应。
在电路动态分析中，可以利用拉普拉斯变换法求解电路的响应和传输函数，并通过逆拉普拉斯变换将结果转换回时间域。
这种方法适用于线性时间不变系统和输入信号为简单波形的情况。
2. 时域响应法时域响应法是直接求解电路微分方程的方法。
通过对电路中的每个元件应用基尔霍夫定律和欧姆定律，可以得到电路中各个节点和元件的微分方程。
然后，可以采用常微分方程的求解方法，如欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔法等，来求解电路的动态响应。
时域响应法适用于任何输入信号和非线性电路。
3. 复频域法复频域法是通过复频域分析电路的动态响应。
它利用频率响应函数来描述系统的响应特性，并通过计算复频域中的传输函数和频率响应来求解电路的动态响应。
复频域法常用的分析工具包括频域响应函数、波特图、极点分析等。
复频域法适用于频率变化较大的信号和线性时不变系统。
4. 有限差分法有限差分法是将微分方程转化为差分方程求解的方法。
通过将时间连续的差分方程转换为时间离散的差分方程，可以用数值方法求解电路的动态响应。
有限差分法可以采用欧拉法、梯形法、显式或隐式的Runge-Kutta等方法来求解。
这种方法适用于任何非线性系统和任意输入信号。
5. 传递函数法传递函数法是通过传递函数来描述电路的响应特性。
传递函数是表示输入和输出关系的函数，可以通过对电路进行小信号线性化得到。
利用传递函数可以方便地计算和分析电路的动态响应。
传递函数法适用于线性时不变系统和复频域分析。
在实际应用中，根据具体问题和所需求解的电路，可以选择适合的动态分析方法。
不同方法有各自的优缺点，需要根据具体情况进行选择。
动态电路瞬态过程的时域分析与复频域分析
动态电路瞬态过程的时域分析与复频域分析动态电路瞬态过程的时域分析与复频域分析动态电路是现代电子技术中的重要内容之一，它涉及到大量的瞬态过程。
对于这些瞬态过程的分析，常使用时域分析和复频域分析两种方法。
本文将分别对这两种方法进行介绍和分析。
一、时域分析时域分析是指对电路的时间响应进行分析。
在分析中，假设电路中的各种参数以及输入信号都是时间函数，因此需要将它们表示为某种数学形式，然后通过对这些数学形式的运算进行分析。
其中，最基本的数学工具是微积分，因为微积分可以表示出电路中的各种参数以及输入信号的变化规律。
对于时域分析来说，最常用的工具是拉普拉斯变换和傅里叶变换。
其中，拉普拉斯变换是把时间域函数转变为复频域函数的一种数学方法，它可以方便地求出电路的瞬态响应和稳态响应。
而傅里叶变换是把一个周期信号转化为谱函数的一种数学方法，它可以对电路中的各种波形进行分析和处理。
在进行时域分析时，需要注意以下几点：1.需要对电路进行合理简化：电路越简单，分析就越容易。
2.需要根据电路的性质选择合适的求解方法：对于不同的电路，可以采用不同的求解方法，例如微积分、拉普拉斯变换或傅里叶变换等。
3.需要进行量化分析：对于电路中的各种参数和信号，需要进行量化分析，例如幅度、相位角、频率等。
二、复频域分析复频域分析是指对电路的复频特性进行分析。
在分析中，假设电路中的各种参数都是复数函数，因此需要对这些复数函数进行分析。
其中，最常用的工具是复数函数的运算和分析。
与时域分析相比，复频域分析更注重电路的频率响应特性，例如幅频特性、相频特性、群延迟特性等。
而复频域分析最重要的工具是频谱分析和极坐标分析。
在进行复频域分析时，需要注意以下几点：1.需要正确理解电路的频域特性：对于不同的电路，具有不同的频域特性，例如低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器等。
2.需要正确分析电路的复频域函数：对于电路中的各种复数函数，需要进行运算和分析，例如求导、求积、傅里叶变换等。
动态电路的复频域分析
例1.9 试求 e及t sin t 的e拉t氏co变s换t 。
解：
ℒ
[sin t]
s2
2
ℒ
[cost]
s
s2 2
根据频移性质可求得
ℒ
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
[et
sin
t]
(s
)2
2
ℒ
[et cost] s (s )2 2
六、初值定理
若ℒ[f(t)] = F(s)，且lim sF(s存) 在，则 s
1拉普拉斯变换及其性质
1.1 拉普拉斯变换的定义
设时域函数f(t)在区间 [0，∞ )内的定积分为
f (t)estdt 0-
式中，s=σ+jω为复频率。若该定积分在s某一域内收敛，
则由此积分确定的复频域函数可表示为
F(s) f (t)estdt 0-
8
cos t
9
et sin t
t
ℒ[ f (])d 0
1 F(s) s
拉氏变换的积分性质表明，时域中由0到t的积分运算，对
应于复频域中除以s的运算
例1.6 试求电感元件电压——电流关系的复频域形式。 解：在时域中线性非时变电感元件
iL
iL (0 )
1 L
t
0 uL ( )d
对电感电压、电流进行拉氏变换，并由积分性质和线 性性质可得
例2.3 试求
F (s)
(s2
s的2 原3s函数7 f(t)。
4s 13)(s 1)
解： F(s)极点分别为p1 = 2+j3，p2 = 2 j3， 则F(s)的p部3 =分分1式。展. 开式
第14章 线性动态电路的复频域分析
0
s
证
令
t
L[ f (t)dt] (s)
0
应用微分性质
L[ f (t)] L
d dt
t 0 t
f
(t)dt
0
F (s) s(s) 0 f (t)dt t0
(s) F (s)
s
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例 求: f (t) t ( t)和f (t) t2 (t)的象函数
解
L t (t)
解 dsin( t) cos(t)
dt
cos(t) 1 d(sint) dt
L[cos
t]
L1
d dt
(sin(
t
)
1
s
s2
2
0
s2
s
2
返回 上页 下页
(2) f (t) δ( t)的象函数
解 (t) d (t)
dt
L[ (t)] 1
s
L (t) L[d (t)] s 1 0 1
pi )
lim N '(s)(s pi ) N (s)
spi
D' (s)
Ki
N ( pi ) D' ( pi )
例 求 F(s) 4s 5 的原函数
s2 5s 6
解法1
F (s) 4s 5 K1 K2 s2 5s 6 s 2 s 3
4s 5 K1 s 3 S2 3
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待定常数的确定： 方法1
Ki F (s)(s pi ) s pi i 1、2、3、 n
(s
令s
p1 ) F (s)
= p1
K1
(s
p1)
s
K2 p2sKn pn源自方法2求极限的方法
动态电路分析方法
动态电路分析方法在动态电路分析中，常用的方法包括微分方程分析法、相量分析法、拉普拉斯变换法和复频域分析法等。
微分方程分析法是最常用且基础的动态电路分析方法之一、该方法基于电路元件之间的关系和电流和电压之间的微分关系建立微分方程组。
首先，根据电路元件的特性和基尔霍夫电流定律和电压定律，可以得到电路中各个节点的微分方程。
然后，通过对这些微分方程进行求解，可以获得电路中各个元件的电流和电压随时间的变化情况。
微分方程分析法常用于研究电路中的瞬态响应和频率响应。
相量分析法是一种将电路中的信号分解为基本频率的正弦波的方法。
该方法将电压和电流表示为相量的形式，即幅值和相位。
通过对电路中各个元件的阻抗、电流和电压的相位关系进行分析，可以得到电路中各个频率分量的幅值和相位差。
相量分析法常用于研究电路中的频率响应和稳态响应。
拉普拉斯变换法是一种将时域信号转换为复频域信号的方法。
该方法将电路中的微分方程转换为代数方程，通过对复频域信号的求解，可以得到电路中各个元件的频率响应。
拉普拉斯变换法常用于研究电路中的瞬态响应和频率响应。
复频域分析法是一种将复频域信号分解为基本频率分量的方法。
该方法通过对复频域信号的频谱进行分析，可以得到电路中各个频率分量的幅值和相位。
复频域分析法常用于研究电路中的频率响应和稳态响应。
总结起来，动态电路分析方法包括微分方程分析法、相量分析法、拉普拉斯变换法和复频域分析法等。
这些方法可以分析电路中信号的变化过程，以及电路中各个元件的响应特性。
通过深入研究这些分析方法，我们可以更好地理解电路中的信号传输和处理过程，从而设计和优化电路性能。
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[解题方法] （1）作出时域电路的域模型如图5-4()所示。其电压 源电压的象函数是，复频域感抗，复频域容抗
（2）求电压.应用节点分析法，列出节点方程为
计算待定常数
进行拉氏反变换得出 （3）求 电路的域阻抗为
故 计算待定常数
进行拉氏反变换得出
A [例5-3] 激励为指数函数RLC电路的域分析计算。如图5-5()所示 电路，V，V，.试用域分析法求电阻元件两端电压.
称为原函数的时域函数，经下式积分变换后，便得出的象函数为
因是复数，即复频率，故象函数是复频域函数或S域函数，其变量是 复数S，而不是时间t。由原函数经上式变换为象函数，称为拉氏正变 换。拉氏正变换的符号为
若已知复频域函数，则可按下式积分进行反变换为原函数，即
由象函数经过上式积分求出原函数，称为拉氏反变换。拉氏反变换
（3）的部分分式为 （4）进行拉氏反变换，查拉氏变换表得出
2. （1） （2）计算各待定常数
（3）的部分分式为 （4）进行拉氏反变换，查拉氏变换表得出
或
本题反变换中应用的变换式有 以及欧拉公式
3. （1） （2）计算各项待定系数
（3）的部分分式为 （4）进行拉氏反变换，查拉氏变换表得出 本题计算待定常数时，应用微分公式为 反变换中应用拉氏变换公式有
1.S域中的电压和电流 在S域模型中，时域电源激励函数变换为象函数，各支路电压用象函 数表示。通常时域激励函数由查拉氏变换表得出它的象函数，如，是常 数；；等。电路中的电压和电流用它的象函数表示，如，，，等。 2.R，L，C元件VAR的S域形式及其S模型 （1）电阻元件R：VAR的S域形式为
，或 S域模型如图5-1,所示。
是微分和积分关系。所以，由拉氏变换的微分性质和积分性质，必然得 出拉氏变换式中自动包含有初始状态和值的结果。
3. 拉氏变换表的应用 在电路分析中，常用的时域函数如，，，、和等，它们的拉氏变换 式，都已积分得出，教材中制表列出，以备查用。我们要熟悉这些常用 函数的拉氏变换，了解这些变换式的依据，以便在进行电路分析时能熟 练查表应用。 （三）关于进行拉氏反变换的部分分式展开法 应用拉普拉斯变换分析线性动态电路时，要经过拉氏正变换和拉氏
图5-5
[解题思路] 本题是非直流激励二阶电路的分析。分析时关键在于作 出域模型，激励函数查表得出它的象函数，同时要注意电感元件和电容 元件由于初始状态产生的附加电压源或附加电流源并正确确定它们的参 考方向。作出域模型后，按域分析方法的基本步骤进行分析计算得出结 果。
[解题方法] （1）作出域模型，如图5-5所示。其中电源象函数；由 于，故电容元件域模型的附加电压源电压为；又因，故电感元件域模型 中没附加电压源电压。
反变换两个重要步骤。正变换一般可以根据原函数查表得出它的象函 数，比较简捷。但是，经过复频域分析计算得出向量的象函数，往往比 较复杂，一般不能直接通过查表得出它的原函数。因此，需要找出求取 原函数反变换的方法。求取较复杂象函数的原函数的拉氏反变换，通常 有两种方法，即围线积分法和部分分式展开法。围线积分法是直接进行 拉氏反变换的积分，这是一种复变函数积分，运算比较困难，但它的适 用范围较宽。部分分式展开法，是将象函数分解为若干简单变换式之 和，然后分别查表求取原函数，这种方法适用于象函数是有理函数的情 况。在集总线性电路中，常见的响应量电压和电流的象函数往往是S的 有理函数。因此，它的拉氏反变换，可以将象函数展开为部分分式后， 再逐项反变换为原函数。
由于R，L，C元件阻抗和导纳两种S域模型，故一个时域动态电路 便可以作出两种S域模型。电路分析时宜采用哪一种S域模型呢？应视电 路的结构而定。一般而言，串联电路宜采用阻抗S域模型，并联电路则 宜采导纳抗S域模型。
3.KVL和KCL的S域形式
（1）KVL：在S域中沿任一闭合回路各支路电压象函数的代数和为 零，即
应用拉普拉斯变换分析动态电路，有两种方法，即变换方程和变换 电路法。前者是将描述动态电路的微分方程，经拉氏变换为复频域代数 方程，在复频域求解后，反变换为时域响应；后者是时域电路直接变换 为复频域电路，即S域模型。根据S域模型进行分析计算，得出响应量的 S域形式，最后反变换为时域响应。本课程主要讨论后一种方法。
（2）电感元件L：VAR的S域形式为 或
S域模型如图5-2,所示。其中称为复频域感抗，称为复频域感纳。是由 电感元件初始状态产生的附加电压源复频域电压，与为非关联参考方 向；是由电感元件初始状态产生的附加电流源电流，与中电流参考方向 相同。
（3）电容元件C：VAR的S域形式为
或 S域模型如图5-3,所示。其中称为复频域容纳。是由电容元件初始状态 产生的附加电压源复频域电压，与参考方向一致，是由电容元件初始状 态产生的附加电流源电流，与为非关联参考方向。
（2）列KVL方程为
上式等号两边乘s得出 移项得出
域经典法分析计算时，确定初始条件和积分常数计算很麻烦，然而，这 时应用拉普拉斯变换的复频域分析法，可以简化分析的计算。
拉普拉斯变换是积分变化，它可以将时域电路描述动态过程的常系 数线形微分方程变换为复频域的复数代数方程，在复频域求解代数方 程，得出待求响应量的复频域函数，最后经拉氏反变换为所求解的时域 响应。这种变换分析方法，其实质就是时域问题变换为复频域来求解， 使分析计算抑郁易于进行。
第5章 动态电路复频域分析
学习指导与题解
一、基本要求
1.了解拉普拉斯变换的定义，明确其基本性质和应用拉普拉斯变换 分析电路的概念。
2.会查表得出电路中常用函数的拉氏变换；掌握运用部分分式展开 和查表方法进行拉普拉斯反变换。
3.掌握基尔霍夫定律和元件伏安关系的复频域形式，复频域阻抗与 导钠，会建立动态电路的复频域模型。
三、解题指导
（一）例题分析
[例题5-1] 拉普拉斯反变换中，展开为部分分式的计算，下列复频 域象函数进行拉氏反变换为原函数.
（1） （2） （3） 解[解题思路]本题中各复频域象函数，都是有理函数，并较为复 杂，不能直接查拉氏变换表得出原函数，需经部分分式展开为简单复频 域函数之和，然后逐项查表得出原函数。进行复频域函数部分分式展开 时，第一步将分母多项式，求出极点；第二步，写出函数含有待定常数 的部分分式；第三步是分别计算出各待定常数；最后，根据线性定律逐 项查表得出原函数. [解题方法] 1. （1） （2）计算待定常数
4.熟练掌握应用复频域方法分析电路中过拉斯变换分析电路的方法，是现代电路与系统分析的重要 方法，是本课程的重要内容。本章教学内容可以分为如下三:部分：
1.拉普拉斯变换及其基本性质； 2.动态电路的S域模型与S域分析； 3.拉普拉斯反变换与部分分式展开法。 着重套路拉普拉斯变换及其基本性质，拉普拉斯表的使用S域模型的 建立与S域分析，以及拉普拉斯变换的部分分式展开法。 现就教学内容中的几个问题分述如下。 （一）关于变换域分析法的概念 变换域分析电路的概念，我们从本课程第五章以来已经应用，就是 正弦交流电路分析计算电压和电流的向量法。向量法是一中变换域分析 法，它是将时域电路中的正弦函数变换为频域对应的相量，如，；将时 域单一频率正弦交流电路变换为频域的相量模型；即， ，，或，或。根据相量形式的，和元件，分析计算得出相量形式的电压 和电流，最后反变为时域正弦电压或正弦电流。相量法实质是将时域正 弦交流电路求解微分方程的计算，转化为频域求解复数代数方程问题， 从而使分析计算简易有效。 动态电路的分析，除有时域分析法外，也还有变换域分析法，应用 拉普拉斯变换的复频域分析法，是一中主要的变换域分析法。时域分析 法易于一阶电路和简单二阶电路的分析，这是因为对于高阶电路采用时
或 5.S域方法分析电路过渡过程的基本步骤 （1）作出时域电路时电路的S域模型。作S域模型时，注意电感和电 容元件由于初始状态产生的附加电压源和附加电流源，以及电容电压是 复频域阻抗与附加电压源串联支路两端的电压，电感电压则是复频域阻 抗与附加电压源串联支路两端的电压，并要正确标定它们的参考方向。 （2）根据S域模型，以KVL，KCL和元件的VAR的S域形式为依据， 应用等效化简、节点分析法、网孔分析法、叠加定律和戴维南定律应用 等基本分析方法进行分析计算，得出待求电量的象函数。 （3）将待求电量的象函数展开为部分分式。 （4）进行拉氏反变换。采用查拉氏反变换表方法，逐项进行反变换 为时域原函数，最后解出时域响应。 本章学习的重点内容是S域模型的建立和S域电路的分析计算。通过例 题和做习题以熟练掌握。
[例5-2] 应用域分析法求一般二阶电路的阶跃响应。如图5-4(a)所 示电路，求阶跃响应和。
解 [解题思路] 本题是一般直流二阶电路求阶跃响应，即零状态响 应。作域模型时，初始状态为零，电感元件和电容元件域模型中没有附 加电压源。域分析计算的步骤是，首先作出时域电路的域模型，然后应 用节点分析法求解出待求量的象函数，并将其展开为部分分式，最后反 变换为时域响应。
如果象函数是S的有理数，它可以表示 两个S的多项式之比，即 若n>m,是真分式。这时分母多项式可以用代数分解定律，求出的极 点，有如下三种情况。 1.单极点情况 ，得出n个不同的单实.则便可展开部分分式为
待定常数 计算的一般公式为
计算得出待定常数后，根据部分分式，逐项进行拉氏反变换，求出原函 数为
2.复数极点情况 分母多项式，得出含有复数根，复数根一般都是以共扼形式出现 的。如果有一对共扼复极点，，，则象函数为
上部分分式中的待定常数，仍按单极点情况方法进行计算得出。应该指 出复极点项的待定常数是的共扼关系，即。
计算出部分分式各项的待定常数后，便可逐项进行拉氏反变换求出 原函数。即
其中共扼极点项的拉氏反变换，按如下变换关系式得出。即
3.多重极点情况 若分母，得出含为m个重根时，则的部分分式展开为
计算上部分分式中重积点各项的m个待定常数的一般公式为
其余单极点项的待定常数，仍按单极点情况方法进行计算。 部分分式各项的待定常数确定后，便可逐项进行拉氏反变换得出原