2015年陕西省中考数学总复习考点跟踪突破：第14讲 函数的应用

考点跟踪突破14 函数的应用一、选择题(每小题6分，共30分) 1．(2013·青岛)已知矩形的面积为36 cm 2，相邻的两条边长为x cm 和y cm ，则y 与x 之间的函数图象大致是( A )2．(2013·嘉兴)若一次函数y ＝ax ＋b(a ≠0)的图象与x 轴的交点坐标为(－2，0)，则抛物线y ＝ax 2＋bx 的对称轴为( C )A ．直线x ＝1B ．直线x ＝－2C ．直线x ＝－1D ．直线x ＝－43．(2014·咸宁)如图，双曲线y ＝mx与直线y ＝kx ＋b 交于点M ，N ，并且点M 的坐标为(1，3)，点N 的纵坐标为－1，根据图象信息可得关于x 的方程mx＝kx ＋b 的解为( A )A ．－3，1B ．－3，3C ．－1，1D ．－1，34．(2014·德州)图象中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家．其中x 表示时间，y 表示张强离家的距离．根据图象提供的信息，以下四个说法错误的是( C )A ．体育场离张强家2.5千米B ．张强在体育场锻炼了15分钟C ．体育场离早餐店4千米D ．张强从早餐店回家的平均速度是187千米/小时5．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y ＝－x 2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( A )A ．4米B ．3米C ．2米D ．1米 二、填空题(每小题6分，共30分) 6．(2014·安徽)某厂今年一月份新产品的研发资金为a 元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x ，则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x 的函数关系式为y ＝__a(1＋x)2__．7．(2013·山西)如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平面交于A ，B 两点，桥拱最高点C 到直线AB 的距离为9 m ，AB ＝36 m ，D ，E 为拱桥底部的两点，且DE ∥AB ，点E 到直线AB 的距离为7 m ，则DE 的长为__48__m .8．(2014·莲湖区模拟)A 城市距某旅游景区50千米，十月一日早晨7：30小明和几个同学骑自己行车从A 城市前往该景区.2小时后，小明的父亲骑摩托车沿同一路线也从A 城市前往该景区，他们行驶的路程y(千米)与小明行驶的时间x(小时)之间的函数关系如图所示，小明父亲出发__23或43__小时时，行进中的两车相距8千米．9．(2014·苏州)如图，直线l 与半径为4的⊙O 相切于点A ，P 是⊙O 上的一个动点(不与点A 重合)，过点P 作PB ⊥l ，垂足为B ，连接PA.设PA ＝x ，PB ＝y ，则(x －y)的最大值是__2__．10．(2014·长春)如图，在平面直角坐标系中，点A 在第二象限，以A 为顶点的抛物线经过原点，与x 轴负半轴交于点B ，对称轴为直线x ＝－2，点C 在抛物线上，且位于点A ，B 之间(C 不与A ，B 重合)．若△ABC 的周长为a ，则四边形AOBC 的周长为__a ＋4__．(用含a 的式子表示)三、解答题(共40分) 11．(10分)(2014·孝感)我市荸荠喜获丰收，某生产基地收获荸荠40吨．经市场调查，可采用批发、零售、加工销售三种销售方式，这三种销售方式每吨荸荠的利润如下表：销售方式批发零售加工销售利润(百元/吨)12 22 30 15吨． (1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)若零售量不超过批发量的4倍，求该生产基地按计划全部售完荸荠后获得的最大利润．解：(1)依题意可知零售量为(25－x)吨，则y ＝12x ＋22(25－x)＋30×15，∴y ＝－10x ＋1 000(2)依题意有：⎩⎨⎧x ≥0，25－x ≥0，25－x ≤4x ，解得：5≤x ≤25.∵k ＝－10＜0，∴y 随x 的增大而减小．∴当x ＝5时，y 有最大值，且y 最大＝950(百元)．∴最大利润为950百元12．(10分)(2014·湖州)已知某市2013年企业用水量x(吨)与该月应交的水费y(元)之间的函数关系如图．(1)当x ≥50时，求y 关于x 的函数关系式；(2)若某企业2013年10月份的水费为620元，求该企业2013年10月份的用水量； (3)为贯彻省委“五水共治”发展战略，鼓励企业节约用水，该市自2014年1月开始对月用水量超过80吨的企业加收污水处理费，规定：若企业月用水量x 超过80吨，则除按2013年收费标准收取水费外，超过80吨部分每吨另加收x20元，若某企业2014年3月份的水费和污水处理费共600元，求这个企业该月的用水量．解：(1)设y 关于x 的函数关系式y ＝kx ＋b ，∵直线y ＝kx ＋b 经过点(50，200)，(60，260)，∴⎩⎨⎧50k ＋b ＝200，60k ＋b ＝260，解得⎩⎨⎧k ＝6，b ＝－100，∴y 关于x 的函数关系式是y ＝6x －100 (2)由图可知，当y ＝620时，x ＞50，∴6x －100＝620，解得x ＝120.答：该企业2013年10月份的用水量为120吨(3)由题意得6x －100＋x20(x －80)＝600，化简得x 2＋40x －14 000＝0，解得：x 1＝100，x 2＝－140(不合题意，舍去)．答：这个企业2014年3月份的用水量是100吨13．(10分)(2013·哈尔滨)某水渠的横截面呈抛物线形，水面的宽为AB(单位：米)，现以AB 所在直线为x 轴，以抛物线的对称轴为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设坐标原点为O ，已知AB ＝8米，设抛物线解析式为y ＝ax 2－4.(1)求a 的值；(2)点C(－1，m)是抛物线上一点，点C 关于原点O 的对称点为点D ，连接CD ，BC ，BD ，求△BCD 的面积．解：(1)∵AB ＝8，由抛物线的对称性可知OB ＝4，∴B(4，0)，0＝16a －4，∴a ＝14(2)过点C 作CE ⊥AB 于E ，过点D 作DF ⊥AB 于F ，∵a ＝14，∴y ＝14x 2－4，令x ＝－1，∴m ＝14×(－1)2－4＝－154，∴C(－1，－154)，∵点C 关于原点对称点为点D ，∴D(1，154)，∴CE ＝DF ＝154，S △BCD ＝S △BOD ＋S △BOC ＝12OB·DF ＋12OB·CE ＝12×4×154＋12×4×154＝15，∴△BCD 的面积为15平方米14．(10分)(2014·鄂州)大学生小张利用暑假50天在一超市勤工俭学，被安排销售一款成本为40元/件的新型商品，此类新型商品在第x 天的销售量p 件与销售的天数x 的关系如下表：x(天)1 2 3 … 50 p(件)118116114…20销售单价q(元/件)与x 满足：当1≤x ＜25时，q ＝x ＋60；当25≤x ≤50时，q ＝40＋1125x. (1)请分析表格中销售量p 与x 的关系，求出销售量p 与x 的函数关系； (2)求该超市销售该新商品第x 天获得的利润y 元关于x 的函数关系式； (3)这50天中，该超市第几天获得利润最大？最大利润为多少？ 解：(1)p ＝120－2x (2)y ＝p·(q －40)＝ ⎩⎪⎨⎪⎧（120－2x ）·（60＋x －40）（1≤x ＜25）（40＋1 125x －40）·（120－2x ）（25≤x ≤50）＝ ⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋80x ＋2 400（1≤x ＜25）135 000x－2250（25≤x ≤50）(3)当1≤x ＜25时，y ＝－2(x －20)2＋3 200，∴x ＝20时，y 的最大值为3 200元；当25≤x ≤50时，y ＝135 000x－2 250，∴x ＝25时，y 的最大值为3 150元，∵3 150＜3 200，∴该超市第20天获得最大利润为3 200元第三章 函数及其图象自我测试一、选择题(每小题4分，共32分)1．(2014·娄底)函数y ＝x －2中自变量x 的取值范围是( C ) A ．x ≥0 B ．x ≥－2 C ．x ≥2 D ．x ≤－22．(2014·北京)园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间．已知绿化面积S(单位：平方米)与工作时间t(单位：小时)的函数关系的图象如图所示，则休息后园林队每小时绿化面积为( B )A ．40平方米B ．50平方米C ．80平方米D ．100平方米 3．(2014·滨州)下列函数中，图象经过原点的是( A ) A ．y ＝3x B ．y ＝1－2xC ．y ＝4xD ．y ＝x 2－14．(2014·孝感)如图，直线y ＝－x ＋m 与y ＝nx ＋4n(n ≠0)的交点的横坐标为－2，则关于x 的不等式－x ＋m ＞nx ＋4n ＞0的整数解为( D )A ．－1B ．－5C ．－4D ．－3 5．(2014·淄博)已知二次函数y ＝a(x －h)2＋k(a ＞0)，其图象过点A(0，2)，B(8，3)，则h 的值可以是( D )A ．6B ．5C ．4D ．36．(2014·黔东南州)如图，正比例函数y ＝x 与反比例函数y ＝1x的图象相交于A ，B 两点，BC ⊥x 轴于点C ，则△ABC 的面积为( A )A ．1B ．2C .32D .527．(2013·资阳)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)过点(1，0)和点(0，－2)，且顶点在第三象限，设P ＝a －b ＋c ，则P 的取值范围是( A )A ．－4＜P ＜0B ．－4＜P ＜－2C ．－2＜P ＜0D ．－1＜P ＜08．(2014·威海)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图，则下列说法：①c ＝0；②该抛物线的对称轴是直线x ＝－1；③当x ＝1时，y ＝2a ；④am 2＋bm ＋a ＞0(m ≠－1)．其中正确的个数有( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 二、填空题(每小题6分，共36分)9．(2013·包头)设有反比例函数y ＝k －2x，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为其图象上两点，若x 1＜0＜x 2，y 1＞y 2，则k 的取值范围__k ＜2__．10．(2013·黄石)若关于x 的函数y ＝kx 2＋2x －1与x 轴仅有一个公共点，则实数k 的值为__k ＝0或k ＝－1__．11．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）2－1（x ≤3），（x －5）2－1（x ＞3）使y ＝k 成立的x 值恰好有三个，则k 的值为__3__．12．(2014·北京)如图，在平面直角坐标系xOy 中，正方形OABC 的边长为2.写出一个函数y ＝k x (k ≠0)，使它的图象与正方形OABC 有公共点，这个函数的表达式为__y ＝1x，y ＝kx(0＜k ≤4)(答案不唯一)__．13．(2014·东营)如图，函数y ＝1x 和y ＝－3x的图象分别是l 1和l 2.设点P 在l 1上，PC ⊥x轴，垂足为C ，交l 2于点A ，PD ⊥y 轴，垂足为D ，交l 2于点B ，则三角形PAB 的面积为__8__．14．如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O ，且正方形的一组对边与x 轴平行，点P(3a ，a)是反比例函数y ＝kx(k ＞0)的图象上与正方形的一个交点．若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为__y ＝3x__．三、解答题(共32分)15．(10分)(2014·宜宾)如图，一次函数y ＝－x ＋2的图象与反比例函数y ＝－3x的图象交于A ，B 两点，与x 轴交于D 点，且C ，D 两点关于y 轴对称．(1)求A ，B 两点的坐标； (2)求△ABC 的面积．解：(1)根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝－3x ，解方程组得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝3，或⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－1，所以A 点坐标为(－1，3)，B 点坐标为(3，－1)(2)把y ＝0代入y ＝－x ＋2得－x ＋2＝0，解得x ＝2，所以D 点坐标为(2，0)，因为C ，D 两点关于y 轴对称，所以C 点坐标为(－2，0)，所以S △ABC ＝S △ACD ＋S △BCD ＝12×(2＋2)×3＋12×(2＋2)×1＝816．(10分)(2014·遵义)为倡导低碳生活，绿色出行，某自行车俱乐部利用周末组织“远游骑行”活动．自行车队从甲地出发，途经乙地短暂休息完成补给后，继续骑行至目的地丙地，自行车队出发1小时后，恰有一辆邮政车从甲地出发，沿自行车队行进路线前往丙地，在丙地完成2小时装卸工作后按原路返回甲地，自行车队与邮政车行驶速度均保持不变，并且邮政车行驶速度是自行车队行驶速度的2.5倍，如图表示自行车队、邮政车离甲地的路程y(km )与自行车队离开甲地时间x(h )的函数关系图象，请根据图象提供的信息解答下列各题：(1)自行车队行驶的速度是__24__km /h ；(2)邮政车出发多少小时与自行车队首次相遇？(3)邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地多远？解：(1)由题意得自行车队行驶的速度是：72÷3＝24 km /h .故答案为：24(2)由题意得邮政车的速度为：24×2.5＝60 km /h .设邮政车出发a 小时两车相遇，由题意得24(a ＋1)＝60a ，解得：a ＝23.答：邮政车出发23小时与自行车队首次相遇(3)由题意，得邮政车到达丙地的时间为：135÷60＝94，∴邮政车从丙地出发的时间为：94＋2＋1＝214，∴B(214，135)，C(7.5，0)．自行车队到达丙地的时间为：135÷24＋0.5＝458＋0.5＝498，∴D(498，135)．设BC 的解析式为y 1＝k 1x ＋b 1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧135＝214k 1＋b 1，0＝7.5k 1＋b 1，∴⎩⎨⎧k 1＝－60，b 1＝450，∴y 1＝－60x ＋450，设ED 的解析式为y 2＝k 2x ＋b 2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧72＝3.5k 2＋b 2，135＝498k 2＋b 2，解得：⎩⎨⎧k 2＝24，b 2＝－12，∴y 2＝24x －12.当y 1＝y 2时，－60x ＋450＝24x －12，解得：x ＝5.5.y 1＝－60×5.5＋450＝120.答：邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地120 km17．(12分)(2013·丽水)如图，已知抛物线y ＝12x 2＋bx 与直线y ＝2x 交于点O(0，0)，A(a ，12)，点B 是抛物线上O ，A 之间的一个动点，过点B 分别作x 轴、y 轴的平行线与直线OA 交于点C ，E.(1)求抛物线的函数解析式；(2)若点C 为OA 的中点，求BC 的长；(3)以BC ，BE 为边构造矩形BCDE ，设点D 的坐标为(m ，n)，求出m ，n 之间的关系式．解：(1)∵点A(a ，12)在直线y ＝2x 上，∴12＝2a ，即a ＝6.∴点A 的坐标是(6，12)，又∵点A(6，12)在抛物线y ＝12x 2＋bx 上，∴把A(6，12)代入y ＝12x 2＋bx ，得b ＝－1.∴抛物线的函数解析式为y ＝12x 2－x (2)∵点C 为OA 的中点，∴点C 的坐标是(3，6)，把y ＝6代入y＝12x 2－x ，解得x 1＝1＋13，x 2＝1－13(舍去)，∴BC ＝1＋13－3＝13－2 (3)∵点D的坐标为(m ，n)，∴点E 的坐标为(12n ，n)，点C 的坐标为(m ，2m)，∴点B 的坐标为(12n ，2m)．把(12n ，2m)代入y ＝12x 2－x ，得2m ＝12(12n)2－(12n)，即m ＝116n 2－14n ，∴m ，n 之间的关系式为m ＝116n 2－14n。