2020_2021学年高中数学第1章数列4数列在日常经济生活中的应用课件北师大版必修5
北师版高中数学选择性必修第二册精品课件 第一章 §4 数列在日常经济生活中的应用
P(1+r)n.( × )
(4)分期付款问题一定可转化为数列问题求解.( × )
合作探究 释疑解惑
探究一
与等差数列有关的应用题
【例1】 从4月1日开始,有一新款服装投入某商场销售.4月1日该款服装售
出10件,第二天售出25件,第三天售出40件,以后每一天售出的服装都比前
一天多15件,直到4月12日销售量达到最大,其后每一天售出的服装都比前
据:1.00711≈1.080,1.00712≈1.087,1.0711≈2.105,1.0712≈2.252.精确到1元)
解:设每期应付款x元,第n期付款后欠款An元,则A1=2 000(1+0.007)-x
=2 000×1.007-x,
A2=(2 000×1.007-x)×1.007-x=2 000×1.0072-1.007x-x,
10%的复利计算,试比较两方案的优劣.(计算时,精确到0.01万元,取
1.110≈2.594,1.310≈13.79)
10
1-1.3
解:甲方案 10 年共获利 1+(1+30%)+…+(1+30%)9=
≈42.63.
1-1.3
到期时,银行贷款本息为10×(1+10%)10≈25.94.
所以按甲方案扣除贷款本息后,净收益为42.63-25.94=16.69(万元).
所以an=166+(n-13)×(-9)=-9n+283(13≤n≤30,且n∈N+).
综上,an=
15-5(1 ≤ ≤ 12,且∈N+),
-9 + 283(13 ≤ ≤ 30,且∈N+).
12(1 +12 )
高中数学第1章数列14数列在日常经济生活中的应用课件北师大版必修5
1 个月后 2 个月后 3 个月后
… 23 个月后 24 个月后
10 000 元贷款的本金与它的利息之和 10 000×1.004 575 元 10 000×1.004 5752 元 10 000×1.004 5753 元 … 10 000×1.004 57523 元 10 000×1.004 57524 元
第22页
(2)第 1 期付款 x 元后，过 10 个月款全部付清，所付款连同 利息之和为 x×1.00810 元．同理得第 2，3，4，5，6 期所付款额 全部付清时连同利息的和为 1.0088x(元)，1.0086x(元)，1.0084x(元)， 1.0082x(元)，x(元)．
(3)x＋1.0082x＋1.0084x＋…＋1.00810x＝5 000×1.00812.
第12页
最后根据到期偿还贷款的含义，即各所付款额连同到贷款付 清时所生利息之和，等于贷款本金及贷款付清时的利息之和，计 算每月应付款额．也就是说，
x ＋ 1.004 575x ＋ … ＋ 1.004 57522x ＋ 1.004 57523x ＝ 10 000×1.004 57524，
即 (1 ＋ 1.004 575 ＋ … ＋ 1.004 57522 ＋ 1.004 57523)·x ＝ 10 000×1.004 57524.
第18页
错误解答三中，主要是期数没有弄清，由于是在贷款后的第一个 月才分期付款，到贷款全部付清时，历时整整 24 个月(24 期)， 10 000 元增值到了 10 000×1.004 57524 元，而不是 10 000×1.004 57523 元．
第19页
例 3 顾客购买一件售价为 5 000 元的商品时如果采取分期 付款，一年内分 6 次付清，每 2 个月付 1 次款，月利率为 0.8%， 每月利息按复利计算，每期应付款多少，总共应付款多少，按下 列步骤逐步探究(假定每期付款 x 元)．
2021_2022学年高中数学第1章数列4数列在日常经济生活中的应用课件北师大版必修5
2．(变结论)在例 3 中，设甲方案可贷款 n 年，按此方案技术改造 第 n 年的累计净获利能够超过 100 万元，求 n 的最小值．(参考数据： 1.314≈39.374,1.315≈51.186,1.114≈3.798,1.115≈4.178)
＝127.913－37.98＝89.933＜100， 当 n＝15 时，130(1.315－1)－10×1.115＝130(51.186－1)－10×4.178 ＝167.287－41.78＝125.507＞100， 所以 n 的最小值为 15.
2．小明存入 1 万元定期存款，存期 5 年，年利率为 2%，若按单 利计算，5 年后共获得本息和为多少元？
若按复利计算，5 年后共获得本息和多少元？ [提示] 按单利计算：5 年后共获(1＋5×2%)＝1.1 万元； 按复利计算：5 年后共获(1＋2%)5＝1.104 万元．
3．在实际问题中，涉及一组与顺序有关的数的问题时，应考虑 用什么方法解决？解决此问题的关键是什么？
[解] 设按照甲方案进行技术改造，n 年的累计净获利超过 100 万元，
由题意知，每年获利数构成等比数列，首项为 1，公比为 1＋30%， 前 n 项和为 Sn＝1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)n－1＝ 11..33n－－11＝130(1.3n－1)，
又贷款本息总数为 10(1＋10%)n＝10×1.1n， 则甲方案的净获利为130(1.3n－1)－10×1.1n， 由题意知130(1.3n－1)－10×1.1n＞100， 经验证，当 n＝14 时，130(1.314－1)－10×1.114 ＝130(39.374－1)－10×3.798
2021_2022学年高中数学第一章数列4数列在日常经济生活中的应用学案含解析北师大版必修
§4 数列在日常经济生活中的应用学习目标1.理解单利、复利的含义(数学抽象)2.能在具体的问题情境中发现数列的等差、等比关系,并解决相应的问题(数学建模)必备知识·自主学习导思1.数学中常见的定期存款利率计算方法有哪些?2.建立数学模型的关键是什么?1.三种常见的应用模型(1)零存整取:每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取,规定每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税).(2)定期自动转存:例如,储户某日存入一笔1年期定期存款,1年后,如果储户不取出本利和,则银行自动办理转存业务,第2年的本金就是第1年的本利和.(3)分期付款:分期付款是购物的一种付款方式.即将所购物的款数在规定的期限内按照一定的要求,分期付清.数列在日常经济生活中的应用主要有哪些?提示:零存整取,定期自动转存,分期付款等.2.常用公式(1)复利公式:按复利计算的一种储蓄,本金为P元,每期利率为r,存期为n,则本利和S=P(1+r)n.(2)产值模型:原来产值的基础数为N,平均增长率为r,对于时间x的总产值y=N(1+r)x.(3)单利公式:利息按单利计算,本金为P元,每期利率为r,存期为n,则本利和为S=P(1+nr). 复利与单利的区别是什么?提示:(1)复利在第二次以后计算时,将上一次得到的利息也作为了本金,而单利每一次的计算都是将开始的本金作为本金计息.(2)单利和复利分别以等差数列和等比数列作为模型,即单利的实质是等差数列,复利的实质是等比数列.1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).(1)银行的定期自动转存是复利计息方式. ( )(2)企业对某一项目投资,每年比上一年递增50万元,则各年的投资额构成等差数列.( )(3)企业对某一项目投资,每年比上一年递增10%,则各年的投资额也构成等差数列. ( ) 提示:(1)√.(2)√.(3)×.应是等比数列.2.某工厂生产总值连续两年的年平均增长率依次为p%,q%,则这两年的平均增长率是( )A.B.p%·q%C.D. -1【解析】选D.设该工厂最初的产值为1,这两年的平均增长率为r,则(1+p%)(1+q%)=(1+r)2. 于是r=-1.3.我国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则.例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷影长的记录中,冬至和夏至的晷影长是实测得到的,其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的.下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录,其中115.1寸表示115寸1分(1寸=10分).节气冬至小寒(大雪)大寒(小雪)立春(立冬)雨水(霜降)惊蛰(寒露)春分(秋分)晷影长(寸)135 125.115.1105.295.385.475.5节气清明(白露) 谷雨(处暑)立夏(立秋)小满(大暑)芒种(小暑)夏至晷影长(寸)65.5 55.645.735.825.916.0已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸,夏至晷影长为14.8寸,那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为寸.【解析】设晷影长为等差数列{a n},公差为d,a1=130.0,a13=14.8,则130.0+12d=14.8,解得d=-9.6.所以a6=130.0-9.6×5=82.0.所以《易经》中所记录的惊蛰的晷影长是82.0寸.答案:82.04.(教材二次开发:习题改编)2020年5月小刘在中国银行存入10万元定期存款,存期1年,年利率为2.25%,那么10年后共得本息为万元.(精确到0.001)【解析】10年后的本息a10=10×(1+0.022 5)10≈12.492(万元).答案:12.492关键能力·合作学习类型一等差数列模型(数学建模、逻辑推理)【典例】我国古代著名的《周髀算经》中提到:凡八节二十四气,气损益九寸九分六分分之一;冬至晷长一丈三尺五寸,夏至晷长一尺六寸.意思是:一年有二十四个节气,每相邻两个节气之间的日影长度差为99分;且“冬至”时日影长度最大,为1 350分;“夏至”时日影长度最小,为160分.则“立春”时日影长度为( )A.953分B.1 052分C.1 151分D.1 250分【思路导引】首先“冬至”时日影长度最大,为1 350分,“夏至”时日影长度最小,为160分,即可求出d=-,进而求出立春”时日影长度为1 052分.【解析】选B.一年有二十四个节气,每相邻两个节气之间的日影长度差为99分,且“冬至”时日影长度最大,为1350分;“夏至”时日影长度最小,为160分.所以1 350+12d=160,解得d=-,所以“立春”时日影长度为1 350+×3=1 052(分).等差数列模型的判定(1)认真审题:解决实际应用问题,首先要认真领会题意,根据题目条件,寻找有用的信息.(2)抓住关键:若一组数按次序“定量”增加或减少时,则这组数成等差数列.(3)常见问题:银行的单利计息;出租车费用;电话计费等.某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房,共需1 150万元,购买当天先付150万元,以后每月这一天都交付50万元,并加付欠款利息,月利率为1%,若交付150万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月,问分期付款的第10个月应付多少钱?全部按期付清后,买这40套住房实际花了多少钱?【解析】因购房时付150万元,则欠款1 000万元,依题意分20次付款,则每次付款的数额顺次构成数列{a n}.则a1=50+1 000×1%=60,a2=50+(1 000-50)×1%=59.5,a3=50+(1 000-50×2)×1%=59,a4=50+(1 000-50×3)×1%=58.5,…所以a n=50+[1 000-50(n-1)]×1%=60-(n-1)(1≤n≤20,n∈N+).所以{a n}是以60为首项,-为公差的等差数列.所以a10=60-9×=55.5.所以第10个月应付55.5(万元).a20=60-19×=50.5.所以S20=×(a1+a20)×20=10×(60+50.5)=1 105.所以实际共付1 105+150=1 255(万元).类型二等比数列模型(数学建模、逻辑推理)【典例】(2020·安福高一检测)某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费,于2018年8月20号从银行贷款a元,为还清这笔贷款,该家长从2019年起每年的8月20号便去银行偿还相同的金额,计划恰好在贷款的m年后还清,若银行按年利率为p的复利计息(复利:即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息),则该学生家长每年的偿还金额是( )A. B.C. D.【思路导引】根据题意建立方程a=x+x++…+x,再结合等比数列求和公式,即可求出x的值.【解析】选 D.设每年偿还的金额为x,则a=x+x+x+ (x)所以a=x,解得x=.等比数列模型的判定(1)复利的计算是把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的.复利的计算公式为:本利和=本金×(1+利率)n.定期自动转存(复利)是等比数列求和在经济方面的应用.(2)在数列应用题中,通过阅读题目题意,发现a n+1与a n之间的关系满足=q (q为常数,且q ≠0),则数列{a n}为等比数列.所以这一类题目可用等比数列的模型解决.某大学张教授年初向银行贷款20万元用于购房,银行贷款的年利率为10%,按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息).若这笔款要分10次等额还清,每年年初还一次,并且在贷款后次年年初开始归还,问:每年应还多少万元?(参考数据:1.110≈2.594)【解析】设每年还款x万元,则每年还款后的余额为:第一年:20×(1+10%)-x,第二年:(20×1.1-x)×1.1-x=20×1.12-(1.1+1)x,第三年:[20×1.12-(1.1+1)x]×1.1-x=20×1.13-(1.12+1.1+1)x,第n年:20×1.1n-(1.1n-1+1.1n-2+…+1.1+1)x.a n=20×1.1n-x=20×1.1n-x,十年还清,即十年以后余额为零,所以20×1.110-x=0,x=≈3.255(万元)答:如果10年还清,每年应还约3.255万元.类型三等差数列、等比数列的综合应用(逻辑推理、数学建模)【典例】某企业进行技术改造,有两种方案:甲方案,一次性贷款10万元,第一年便可获利1万元,以后每年比前一年增加30%的利润;乙方案,每年贷款1万元,第一年便可获利1万元,以后每年比前年多获利5千元.两种方案,使用期限都是十年,到期一次性归还本息,若银行贷款利息按年息10%的复利计算,比较两种方案,哪个获利更多?(计算数据精确到千元,1.110≈2.594,1.310≈13.786)【思路导引】分清两种方案分别属于什么数列模型,然后分别建立不同数列模型解决.【解析】方案甲:十年获利中,每年获利数构成等比数列,首项为1,公比为1+30%,前10项和为S10=1+(1+30%)+(1+30%)2+…+(1+30%)9,所以S10=≈42.62(万元).又贷款本息总数为10(1+10%)10=10×1.110≈25.94(万元),甲方案净获利42.62-25.94≈16.7(万元).乙方案获利构成等差数列,首项为1,公差为,前10项和为T10=1+++…+==32.50(万元),而贷款本息总数为1.1×[1+(1+10%)+…+(1+10%)9]=1.1×≈17.53(万元),乙方案净获利32.50-17.53≈15.0(万元).比较两方案可得甲方案获利较多.将实际问题转化为数列问题的注意事项(1)分清是等差数列还是等比数列.(2)分清是求a n,还是求S n,特别要准确确定项数n.(3)递推关系的发现是数列建模的重要方式.甲、乙两超市同时开业,第一年的全年销售额为a万元,由于经营方式不同,甲超市前n年的总销售额为(n2-n+2)万元,乙超市第n年的销售额比前一年销售额多a万元.(1)求甲、乙两超市第n年销售额的表达式,(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%,则该超市将被另一超市收购,判断哪一超市有可能被收购?如果有这种情况,将会出现在第几年?【解析】(1)设甲、乙两超市第n年的销售额分别为a n,b n.则有a1=a,当n≥2时,a n=(n2-n+2)-[(n-1)2-(n-1)+2]=(n-1)a,所以a n=b n=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(b n-b n-1)=a(n∈N+).(2)易知b n<3a,所以乙超市将被甲超市收购,由b n<a n,得a<(n-1)a.所以n+4>7,所以n≥7,即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半,乙超市将被甲超市收购.课堂检测·素养达标1.某工厂总产值月平均增长率为p,则年平均增长率为( )A.pB.12pC.(1+p)12D.(1+p)12-1【解析】选D.设原有总产值为a,年平均增长率为r,则a(1+p)12=a(1+r),解得r=(1+p)12-1.2.通过测量知道,温度每降低6℃,某电子元件的电子数目就减少一半.已知在零下34℃时,该电子元件的电子数目为3个,则在室温27℃时,该元件的电子数目接近( )A.860个B.1 730个C.3 072个D.3 900个【解析】选C.由题设知,该元件的电子数目变化为等比数列,且a1=3,q=2,由27-(-34)=61,=10,可得a11=3·210=3 072.3.(教材二次开发:习题改编)根据市场调查,预测某种日用品从年初开始的n个月内累计的需求量S n(单位:万件)大约是S n=(n=1,2,…,12).据此预测,本年度内,需求量超过5万件的月份是( )A.5月、6月B.6月、7月C.7月、8月D.8月、9月【解题指南】现根据题意得到第n个月时的需求量,再由需求量大于5得到n的范围,进而得到结果.【解析】选 C.日用品从年初开始的n个月内累计的需求量S n(单位:万件)大约是S n=(n=1,2,…,12),则第n个月的需求量a n=S n-S n-1=>5⇒3n2-45n+27×6<0,n2-15n+54<0,6<n<9.4.一个热气球在第一分钟上升了25米的高度,在以后的每一分钟里,它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125米吗?【解析】用a n表示热气球在第n分钟上升的高度,由题意,得a n+1=a n,因此,数列{a n}是首项a1=25,公比q=的等比数列.热气球在前n分钟内上升的总高度为:S n=a1+a2+…+a n===125×<125.故这个热气球上升的高度不可能超过125米.。
高中数学北师大版必修五1.4《数列在日常经济生活中的应用》ppt参考课件3
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
分析1:考虑小华每次还款后,还欠商场的金额.
设小华每期还款x元,第k个月末还款后的本利欠款数 为Ak元,则
A2 50001 0.0082 x
A4 A2 1 0.0082 x [[[[ 50001 0.0084 1.0082 x x
A6 A4 1 0.0082 x [[[[ 5000 1 0.0086 1.0084 x 1.0082 x x
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
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谢谢欣赏！
[[ 880.8(元)
思考交流
商场出售电脑,提出了如下的3种付款方式,以供顾客 选择.请分别算出各种付款方式每次应付款金额.
方案 分几次 类别 付清
付款方法
1
3次
购买后4个月第1次付款,再过4个月第2 次付款,再过4个月第3次付款
2
6次
购买后2个月第1次付款,再过2个月第2 次付款, ……,再过12个月第6次付款
高中数学第一章数列第4节数列在日常经济生活中的应用课件北师大版必修5
2．常用公式 (1)复利公式：按复利计算的一种储蓄，本金为 P 元，每期利率为 r，存期为 n，则本利和 S＝P(1＋r)n . (2)产值模型：原来产值的基础数为 N，平均增长率为 r，对于时间 x 的总产 值 y＝ N(1＋r)x. (3)单利公式：利息按单利计算，本金为 P 元，每期利率为 r，存期为 n，则 本利和为 S＝ p(1＋nr)．
∴2n≥101，∴n≥7，则所求为 7 秒钟． 【答案】 B
我还有这些不足： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________
(2)定期自动转存：银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存，例如，储 户某日存入一笔存期为 1 年的存款，1 年后，如果储户不取出本利和，则银行自 动办理转存业务，第 2 年的本金就是第 1 年的 本利和 ．
(3)分期付款：分期付款是购物的一种付款方式，即将所购物的款数在规定 的期限内按照一定的要求，分期付清．
探究 1 复利与单利的区别是什么？
【提示】 (1)复利在第二次以后计息时，将上一次得到的利息也作为了本 金，而单利每一次的计息都是将开始的本金作为本金计息．
(2)单利和复利分别以等差数列和等比数列作为模型，即单利的实质是等差 数列，复利的实质是等比数列．
高中数学北师大版必修5课件：第1章§4《数列在日常经济生活中的应用》
等比数列模型(复利问题)
复利问题的数列模型为等比数列，可利用
等比数列的有关知识灵活求解．
例2
陈老师购买工程集资房 92 m2 ，单价为
1000 元 /m2 ，一次性国家财政补贴 28800 元，学校 补贴 14400 元，余款由个人负担．房地产开发公
司对教师实行分期付款 ( 注① ) ，经过一年付款一
利息，对本金所产生的利息不再计算利息，其公 式为利息＝本金×利率×存期．以符号P代表本 金，n代表存期， r代表利率， S代表本金和利息 和(以下简称本利和)，则有S＝P(1＋nr)．
自挑战1
李先生为今年上高中的儿子办理了
“教育储蓄”．从8月1号开始，每个月的1号都 存入100元，存期三年． (1)已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7‰.
an＝a1＋(n－1)d 等差数列的通项公式为：___________________ ；
na1＋an nn－1 ＝na1＋ d 前 n 项和公式为 Sn＝_________________________. 2 2
an＋1 ＝q(q≠0，n∈N＋) a n 2．数列{an}为等比数列⇔______________________ ；
n－ 1 a ＝ a q n 1 等比数列的通项公式为：______________ ；
前 n 项和公式为
na1 q＝1 n Sn＝a11－q q≠1 1－q ________________________.
知新益能 1．有关增长率、利率等的计算 增长量 增长前的量 ； (1)增长率＝____________ 购买商品获得的优惠额 商品标价 (2)优惠率＝______________________ ； 利息 存款额 (3)存款利率＝_________.
北师大版高中数学必修5课件1.4数列在日常经济生活中的应用 课件
例2 定期自动转存模型
银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存。
例：储户某日存入一笔1年期定期存款，1年后，如果储户不取出本利和，则银行自动办理转存业务
，第2年的本金就是第1年的本利和。按照定期存款自动转存的储蓄业务(暂不考虑利息税)，我们来
讨论以下问题 (1)如果储户存入定期为1年的P元存款，定期年利率为r，连存n年后，再取出本利和。试求出储户n
点评：由于各期所付的款额连同到最后一次付款时所生的利息和，等于商品售价 及从购买到最后一次付款的利息和。由题意可知，小华要在12个月后还给商场的 金额总值为5 000×(1＋0.008)12元，其中包括电脑价格和一年的利息。这样，假 定小华每期还款x元，则有x(1＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810)＝5 000×1.00812。 这是一个关于x的一次方程，利用等比数列求和公式及计算器可求得x≈880.8。这
(2)每月存入500元，月利率为0.3%，根据 ①式，本利和 (1) 若每月存入金额为 x个月存入的 元，月利率 r保持不变，存期为 n 个月，试推导出 解： (1) 根据题意，第1 x元，到期利息为 x•r•n；第 2 个月存入的x元， y＝ 500 ×(36 ×37)/2 × 0.3%) ＝ 18 (3) 依题意，在①式中， ＝ 2 000 ， r＝ 0.3%， 到期利息为 x•r•(n －＋ 1)(36 元…… 第ny 个月存入的 x 元，到期利息为 xr元。不难看出，这 到期整取时本利和的公式； 999( 元 )。 n＝ 12 。500元，月利率为0.3%，到第36个月末整取时的本利和 是一个等差数列求和的问题。 (2) 若每月初存入 x＝y/(n＋ n(n+1)r/2) ＝ 各月利息之和为 xr(1 ＋2＋…＋ n)＝n(n+1)r/2 x (元)， 是多少？ 2000/(12+(12 ×(12+1)×0.3%)/2)≈163.48(元 而本金为 nx元，这样 就得到本利和公式 y＝nx＋n(n+1)r/2 x (元)， (3) 若每月初存入一定金额，月利率是 )。 即 y＝[n＋ n(n+1)r/2]x (元)(n∈N＋)。① 0.3%，希望到第12个月末整取时 取得本利和2 答：每月应存入 000元。那么每月初应存入的金额是多少？ 163.48元。
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[解] 设从2018年年初到2028年年初每年存入a元的本利和组成
数列{an}(1≤n≤10)． 则a1＝a(1＋p)10，a2＝a(1＋p)9，…，a10＝a(1＋p)，
故数列{an}(1≤n≤10)是以a1＝a(1＋p)10为首项，q＝
1 1＋p
为公
比的等比数列．
所以2028年初这个家庭应取出的钱数为
于26＝64,27＝128，则n＋1≥7，即n≥6．]
分期付款问题 [探究问题] 1．复利与单利的区别是什么？ [提示] (1)复利在第二次以后计算时，将上一次得到的利息也 作为了本金，而单利每一次的计算都是将开始的本金作为本金计 息． (2)单利和复利分别以等差数列和等比数列作为模型，即单利的 实质是等差数列，复利的实质是等比数列．
[提示] 在实际问题中，若涉及一组与顺序有关的数的问题， 可考虑用数列方法解决，其关键是①弄清楚是什么数列；②分清首 项、项数；③是求和还是求项等问题．
【例3】 某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案，一次性 贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的 利润；乙方案，每年贷款1万元，第一年便可获利1万元，以后每年 比前年多获利5千元．两种方案，使用期限都是十年，到期一次性归 还本息，若银行贷款利息按年息10%的复利计算，比较两种方案， 哪个获利更多？(计算数据精确到千元， 1．110≈2．594,1．310≈13．786)
6．246 [10年后的本息：a10＝5×(1＋0．022 5)10≈6．246(万 元)．]
合作 探究 释疑 难
等差数列模型
【例1】 某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需 1150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元， 并加付欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的第一个月开始 算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部 按期付清后，买这40套住房实际花了多少钱？
10(1＋10%)10＝10×1．110≈25．94(万元)， 甲方案净获利 42．62－25．94≈16．7(万元)．
乙方案获利构成等差数列，首项为1，公差为12，前10项和为 T10＝1＋1＋12＋1＋2×12＋…＋1＋9×12 ＝101212＋1＝32．50(万元)， 而贷款本息总数为 1．1×[1＋(1＋10%)＋…＋(1＋10%)9] ＝1．1×11.1.110－－11≈17．53(万元)，
所以an＝50＋[1 000－50(n－1)]×1%＝60－12(n－1)(1≤n≤20， n∈N＋)．
所以{an}是以60为首项，－12为公差的等差数列． 所以a10＝60－9×12＝55．5． 所以第10个月应付55．5(万元)． a20＝60－19×12＝50．5．
所以S20＝12×(a1＋a20)×20＝10×(60＋50．5)＝1 105． 所以实际共付1 105＋150＝1 255(万元)．
B．a(1－q%)3
C．1－aq%3
D．1＋aq%3
C [设现在的成本为x元， 则有x(1－q%)3＝a． ∴x＝1－aq%3．故选C．]
3．过圆x2＋y2＝10x内一点(5,3)有k条弦的长度组成等差数列，
且最短弦长为首项a1 ，最长弦长为末项ak，若公差d∈13，21，则k的 取值不可能是( )
则甲方案的净获利为130(1．3n－1)－10×1．1n， 由题意知130(1．3n－1)－10×1．1n＞100， 经验证，当n＝14时，130(1．314－1)－10×1．114 ＝130(39．374－1)－10×3．798 ＝127．913－37．98＝89．933＜100，
当n＝15时，
1．按单利计算公式 单利的计算仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不 再计算利息，其公式为利息＝本金×利率×存期．
2．按单利分期付款问题的三个关键问题 (1)规定多少时间内付清全部款额． (2)在规定的时间内分几期付款，并且规定每期所付款额相同． (3)规定多长时间段结算一次利息，及在规定时间段内利息的计 算公式．
[跟进训练] 1．某人在一年12个月中，每月10日向银行存入1 000元，假设 银行的月利率为5‰(按单利计算)，则到第二年的元月10日，此项存 款一年的利息之和是( ) A．5(1＋2＋3＋…＋12)元 B．5(1＋2＋3＋…＋11)元 C．1 000[1＋5‰＋(5‰)2＋…＋(5‰)11]元 D．1 000[1＋5‰＋(5‰)2＋…＋(5‰)12]元
乙方案净获利 32．50－17．53≈15．0(万元)． 比较两方案可得甲方案获利较多．
1．(变条件)在例3中，若该企业还有两种技术改造的方案，丙 方案：一次性贷款40万元，第一年获利是贷款额的10%，以后每年 比上一年增加25%的利润，丁方案：一次性贷款20万元，第一年获 利是贷款额的15%，以后每年都比上一年增加利润1．5万元，两种 方案使用期限都是10年，到期一次性还本付息，两种方案均按年息 2%的复利计算．(参考数据： 1．259≈7．45,1．2510≈9．3,1．029≈1．20,1．0210≈1．22)，试比 较两种方案，哪种方案净获利更多？
2．小明存入1万元定期存款，存期5年，年利率为2%，若按单 利计算，5年后共获得本息和为多少元？
若按复利计算，5年后共获得本息和多少元？
[提示] 按单利计算：5年后共获(1＋5×2%)＝1．1万元； 按复利计算：5年后共获(1＋2%)5＝1．104万元．
3．在实际问题中，涉及一组与顺序有关的数的问题时，应考虑 用什么方法解决？解决此问题的关键是什么？
[跟进训练]
2．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每
天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N＋)等于 ________．
6 [每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，其
前n项和Sn＝
21－2n 1－2
＝2n＋1－2．由2n＋1－2≥100，得2n＋1≥102．由
[解] 方案丙：由题意知，每年的利润an成等比数列， 且a1＝4，公比q＝1＋25%＝1．25，n＝10， 收入S丙＝411－－11..225510＝490..32－5 1＝132．8(万元)． 净获利W丙＝132．8－40(1＋2%)10＝132．8－48．8＝84(万 元)， 方案丁：由题意，每年的利润记为数列{bn}，它是等差数列， 且b1＝3，公差为1．5，n＝10，
第一章 数列
§4 数列在日常经济生活中的应用
学习目标
核心素养
1．掌握单利、复利的概念．(重点) 1．通过数列在日常生活中的
2．掌握零存整取、定期自动转存、 应用，提升数学建模素养．
分期付款三种模型及应用．(重点) 2．通过数列在经济生活中的
3．掌握数列在日常经济生活中的应 应用，提升数学运算素养．
收入S丁＝10×3＋12×10×9×1．5＝30＋67．5＝97．5(万元)． 净获利：W丁＝97．5－20(1＋2%)10＝97．5－24．4＝73．1(万 元) 所以方案丙净获利更多．
2．(变结论)在例3中，设甲方案可贷款n年，按此方案技术改造 第n年的累计净获利能够超过100万元，求n的最小值．(参考数据： 1．314≈39．374,1．315≈51．186,1．114≈3．798,1．115≈4．178)
思路探究：分清两种方案分别属于什么数列模型，然后分别建 立不同数列模型解决．
[解] 方案甲：十年获利中，每年获利数构成等比数列，首项 为1，公比为1＋30%，前10项和为S10＝1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2 ＋…＋(1＋30%)9，所以S10＝11.3.310－－11≈42．62(万元)．又贷款本息总 数为
③分期付款：分期付款是购物的一种付款方式．即将所购物的 款数在规定的期限内按照一定的要求，分期付清．
(2)常用公式
①复利公式：按复利计算的一种储蓄，本金为P元，每期利率 为r，存期为n，则本利和S＝ P(1＋r)n ．
②产值模型：原来产值的基础数为N，平均增长率为r，对于时 间x的总产值y＝ N(1＋r)x ．
A．10 000×1．0363 B．10 000×1．0364 C．10 000×1．0365 D．10 000×1．0366
C [由复利公式得S＝10000×(1＋3．60%)5＝10 000×1．0365．]
2．某产品计划每年成本降低q%，若三年后成本为a元，则现在
的成本是( )
A．a(1＋q%)3
[解] 设按照甲方案进行技术改造，n年的累计净获利超过100 万元，
由题意知，每年获利数构成等比数列，首项为1，公比为1＋ 30%，
前n项和为Sn＝1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)n－1＝ 11..33n－－11＝130(1．3n－1)，
又贷款本息总数为10(1＋10%)n＝10×1．1n，
A．4
B．5
C．6
D．7
A [x2＋y2＝10x化简得(x－5)2＋y2＝25 过点(5,3)的最短弦长为8，最长弦长为10， 则由题意d＝1k0－－18＝k－2 1∈13，12，5≤k≤7．]
4．阿明存入5万元定期存款，存期1年，年利率为2．25%，那 么10年后共得本息和为________万元．(精确到0．001)
10 3
(1．315－1)－10×1．115＝
10 3
(51．186－1)－
10×4．178＝167．287－41．78＝125．507＞100，
所以n的最小值为15．
1．等差、等比数列的应用题常见问题 产量增减、价格的升降、细胞繁殖、贷款利率、增长率等方面 的问题，解决方法是建立数列模型，应用数列知识解决问题． 2．将实际问题转化为数列问题时应注意 (1)分清是等差数列还是等比数列． (2)分清是求an，还是求Sn，特别要准确确定项数n． (3)递推关系的发现是数列建模的重要方式．