高中数学数列的类型

高中数学：《递推数列》经典题型全面解析
类型1 )(1n f a a n n +=+
解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。

例:已知数列{}n a 满足
211=
a ，n n a a n n ++=+2
11
，求n a 。

例：在数列{a n }中，a1=1,a n+1=n n n a n
21)1
1(+++
（1）设n
a b n
n =
，求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{a n }的前n 项和。

类型2 n n a n f a )(1=+
解法：把原递推公式转化为)(1
n f a a n
n =+，利用累乘法(逐商相乘法)
求解。

例:已知数列{}n a 满足321=
a ，n
n a n n
a 11+=+，求n a 。

例:已知31=a ，
n
n a n n a 23131+-=
+ )1(≥n ，求n a 。

例已知数列{a n }，满足a 1=1,a n =a 1+2a 2+3a 3+…+(n －1)a n －1(n ≥2)，则{a n }的通项a n =_____
类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。

解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其
中
p q
t -=
1，再利用换元法转化为等比数列求解。

例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .
例：设数列{a n }满足a 1 =a,a n +1=c a n +1－c,n ∈N *，其中a 、c 为实数，且c ≠0
求数列{a n }的通项公式； 类型4 n
n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。

（
1n
n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 。

解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1
+n q ，得：
q q a q p q a n n n n 111+•=++引入辅助数列{}n b （其中n n n q a b =），得：
q b q p b n
n 1
1+=+再待定系数法解决。

例:已知数列{}n a 中，
651=
a ,11)21
(31+++=n n n a a ，求n a 。

例：设数列{a n }的前n 项的和...3,2,1,3
2231341=+⨯-=+n a s n n n 求首项a 1与通项a n 。

例：设数列{a n }的前n 项的和24,1,11+==+n n n a s a s 已知
（1）设n n n a a b 21-=+，证明数列{b n }是等比数列； （2）求数列{a n }的通项公式。

【例】、已知数列}
{n a 满足
1
1=a ，
)
2(311≥+=--n a a n n n ，则通项公式
=n a 312n
-
类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。

解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为)
(112n n n n sa a t sa a -=-+++其中s ，t 满足⎩⎨
⎧-==+q st p
t s
解法二(特征根法)：对于由递推公式n n n qa pa a +=++12，
βα==21,a a 给出的数列{}n a ，方程02
=--q px x ，叫做数列{}n a 的特征方程。

若2
1,x x 是特征方程的两个根，当21x x ≠时，数列{}n a 的通项为
1
2
11--+=n n n Bx Ax a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和
2,1=n ，代入1
211--+=n n n Bx Ax a ，得到关于A 、B 的方程组）；当2
1x x =时，数列{}n a 的通项为11)(-+=n n x Bn A a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决
定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入11)(-+=n n x Bn A a ，得到关于A 、B
的方程组）。

解法一（待定系数——迭加法）:
数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式。

解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++，
b a a a ==21,的特征方程是：02532=+-x x 。

32,121=
=x x ,∴1211--+=n n n Bx Ax a 1
)
32(-⋅+=n B A 。

又由b a a a ==21,，于是
⎩⎨⎧-=-=⇒⎪⎩⎪
⎨⎧+=+=)(32332b a B a b A B A b B
A a 故1
)32)((323--+-=n n
b a a b a
例:已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 31
3212+=++，求n a 。

例：已知数列{a n }满足1a =1,2a =3，2132n n n a a a ++=-（n N *∈）。

（1）证明：数列{}2n n a a +-是等比数列； （2）求数列{a n }的通项公式； 类型6 递推公式为n S 与n a 的关系式。

(或()n n S f a =) 例：已知数列{}n a 前n 项和221
4--
-=n n n a S .（1）求1+n a 与n a 的关系；
（2）求通项公式n a . （2）应用类型4（
n
n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，
)0)1)(1((≠--q p pq ））的方法，上式两边同乘以12+n
例：已知数列{a n }的前项和S n = -n a -1
12n -⎛⎫
⎪⎝⎭
+2（n 为正整数）
，令n b =2n n a ，求证数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式
类型7 b an pa a n n ++=+1)001
(≠≠，a 、p 解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令
)
()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转
化为{}y xn a n ++是公比为p 的等比数列。

例:设数列{}n a ：)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ，求n a .
例：已知数列{a n }中，1a =12
，点()1,2n n n a a +-在直线y x =上，其中
1,2,3
n =
（Ⅰ）令13n n n b a a +=--，求证数列{b n }是等比数列； （Ⅱ）求数列{a n }的通项。

类型8
1r a pa n n
=+（p ＞0, n a ＞0）
解法思路：这种类型一般是等式两边取对数后转化为1n n a pa q +=+，再利用待定系数法求解。

例：已知12a =，点()1,n n a a +在函数()22f x x x =+的图像上，其中
1,2,3
n =证明数列
(){}lg 1n
a +是等比数列
类型9 ()1()()
f n a
n a
n g n a h n n
=++
解法思路：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为1
n a pa q n =++。

例17（2006，江西，理，22，本大题满分14分） 已知数列{}n a 满足：*11133
,(2,)221
n n n a na a n n N a n --=
=≥∈+-且 求数列{}n a 的通项公式；。