概率论与数理统计2.3

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概率论与数理统计
秒表最小刻度值为0.01秒. 若计时精度是取 例3 秒表最小刻度值为 秒 最近的刻度值, 最近的刻度值 求使用该表计时产生的随机误差 X 的 d.f. , 并计算误差的绝对值不超过 并计算误差的绝对值不超过0.004秒 秒 的概率. 的概率 解 X 等可能地取得区间 上的任一值， 上的任一值，则 X ~ U[− 0.005 0.005] , x ≤ 0.005 100 f (x) = 0, 其 他
x<0 0, F( x) = −λ x 1− e , x ≥ 0
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f ( x)
0 F( x) 1
x
0
x
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对于任意的 0 < a < b,
P(a < X < b) = ∫a λe dx
b −λx
= F(b) − F(a)
应用场合
=e
−λa
−e
−λb
用指数分布描述的实例有： 用指数分布描述的实例有：
密度 长度 线段质量
f ( x)∆x 在连续型 理论中所起的作用与 在连续型r.v理论中所起的作用与 P( X = xk ) = pk在离散型 理论中所起的 在离散型r.v理论中所起的 作用相类似. 作用相类似
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f (x)
o
x
要注意的是, 在某点处a的高 要注意的是 密度函数 f (x)在某点处 的高 在某点处 取值的概率. 但是, 度, 并不反映 X 取值的概率 但是 这个高度越 附近的值的概率就越大. 大, 则 X 取a附近的值的概率就越大 也可以说 附近的值的概率就越大 也可以说, 在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点 附近的程度. 附近的程度
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a a ( 2) P{ − a < X < } = F( ) − F(−a) 2 2
1 1 a = + arcsin( ) − 0 2 π 2a
1 1 π 2 = + × = . 2 π 6 3
( 3) 随机变量 X 的概率密度为
1 π a 2 − x 2 , − a < x < a , f ( x ) = F ′( x ) = 其它 . 0,
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∆x
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这一点的值, 故 X 的密度 f (x) 在 x0 这一点的值 恰好 是 X 落在区间 (x0 , x0 + ∆x] 上的概率与区间长 之比的极限. 这里, 度 ∆x之比的极限 这里 如果把概率理解为质 量, f (x)相当于线密度 相当于线密度. 相当于线密度
f (x0 ) ∆x ≈ P(x0 < X ≤ x0 + ∆x)
= ∫ f ( x) d x − ∫ f ( x) d x
−∞ −∞
∞
a
=∫
∞
−∞
f ( x)d x + ∫
−∞
a
f ( x)d x = ∫ f ( x) d x.
a
∞
④ 若 f ( x) 在点 x 处连续 , 则有 F ′( x) = f ( x).
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注意 对于任意可能值 a ,连续型随机变量 连续型随机变量 的概率等于零.即 取 a 的概率等于零 即
的集合中无法找到身高很接近164厘米的人，这样， 厘米的人，这样， 的集合中无法找到身高很接近 厘米的人
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我们就认为此事件的概率为零。 我们就认为此事件的概率为零。如果我们讨论 选择身高在163厘米至 厘米之间的人时，情 厘米至165厘米之间的人时 厘米之间的人时， 选择身高在 厘米至 况与上面就不一样了，这时， 况与上面就不一样了，这时，我们计算的是随 机变量在一个区间而不是一点的值。 机变量在一个区间而不是一点的值。
0.004
[−0.005
0.005]
所以 P( X ≤ 0.004) =
−0.004
∫100dx = 0.8
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(2) 指数分布
若 X 的d.f. 为
λe−λ x , x > 0 f ( x) = 0, 其他
λ > 0 为常数
则称 X 服从 参数为 λ 的指数分布 记作 X ~ E(λ) X 的分布函数为
解 (1) 由 ∫
∞
−∞
f ( x ) d x = 1,
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得
x ∫0 kx d x + ∫3 (2 − 2 ) d x = 1, 解之得
3 4
1 k= . 6
1 ( 2 ) 由 k = 知 X 的概率密度为 6 x 0 ≤ x < 3, 6 , x f ( x ) = 2 − , 3 ≤ x ≤ 4, 2 0, 其它.
随机服务系统中的服务时间 电话问题中的通话时间 无线电元件的寿命 动物的寿命 指数分布 常作为各种“寿命” 常作为各种“寿命” 分布的近似
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指数分布的“无记忆性” 指数分布的“无记忆性” λ 则 命题 若 X ~Ｅ(λ),则 事实上
x
− ∞ < x < +∞
的连续点, 若x是 f(x)的连续点 则: 是 的连续点
F(x0 + ∆x) − F(x0 ) F′(x0 ) = lim ∆x→+0 ∆x
∫ = lim
∆x→0
x0 +∆x
x0
f (t)dt
P(x0 < X ≤ x0 + ∆x) = lim = f (x0 ) ∆x→+0 ∆x
P { X = a } = 0.
a + ∆x ∆x → 0
证明 P{ X = a } = lim ∫ a
f ( x ) d x = 0.
初看好象这个是令人吃惊的, 但当我们考虑一 初看好象这个是令人吃惊的 个特殊例子时它变得可以接受。 个特殊例子时它变得可以接受。我们来讨论一个 随机变量，它表示所有21岁以上人的身高 岁以上人的身高。 随机变量，它表示所有 岁以上人的身高。在任 意两个值中, 厘米之间, 意两个值中 即163.5 和164.5 厘米之间 甚至 163.99 和164.01 厘米之间 有无数个值 其中之一 厘米之间, 有无数个值, 厘米。随机选择一个人， 是164 厘米。随机选择一个人，但在含有很多人
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是连续型随机变量, 解 (1) 因为 X 是连续型随机变量 所以 F ( x ) 连续 , 故有 F ( −a ) = lim F ( x ),
x → −a
F (a ) = lim F ( x ) ,
x→a
即
− a= A− πB A + B arcsin 2 a
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2.3 连续型随机变量的概率密度
2.3.1 连续型 r.v.的概念 的概念 定义 设 X 是随机变量 若存在一个非负 是随机变量, 可积函数 f ( x ), 使得
F(x) = ∫−∞ f (t)dt
x
− ∞ < x < +∞
其中F 其中 ( x )是它的分布函数 是它的分布函数 是它的概率 则称 X 是 连续型 r.v. ，f ( x )是它的概率 是它的 密度函数( 简记为d.f. 密度函数 p.d.f. )，简记为 简记为
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由 F ( x) = ∫
x
−∞
f ( x)d x 得
0, x < 0, xx ∫ d x , 0 ≤ x < 3, 0 6 F ( x) = 3x x x ∫0 6 d x + ∫3 (2 − 2 ) d x , 3 ≤ x < 4, 1, x ≥ 4.
X ~ U(a,b)
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X 的分布函数为
0, x x − a F(x) = ∫ f (t) dt = , −∞ b − a 1
x < a, a ≤ x < b, x ≥b
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f ( x)
a F( x)
b
x
a
b
x
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1 d −c ∀(c, d) ⊂ (a, b) , P(c < X < d) = ∫ dx = c b−a b−a
= ∫ f ( x ) d x − ∫ f ( x) d x = ∫ −∞ −∞
x2 x1
x1
f ( x) d x
x2
x1
f ( x ) d x.
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同时得以下计算公式
P{ X ≤ a} = F (a) = ∫
a −∞
f ( x)d x,
P{ X > a} = 1 − P{ X ≤ a} = 1 − F (a )
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例2 设连续型随机变量 X 的分布函数为
x ≤ −a, 0, x F ( x ) = A + B arcsin , − a < x ≤ a , a x > a. 1, 求 : (1) 系数 A, B 的值; a ( 2) P {− a < X < }; 2 ( 3) 随机变量 X 的概率密度 .
= 0,
π a A + B arcsin = A + B = 1, 2 a
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解之得
1 A= , 2
1 B= . π
所以
x ≤ −a, 0, 1 1 x F ( x ) = + arcsin , − a < x ≤ a , a 2 π x > a. 1,