第一讲 线性规划(第2次课件)

15
x1 x4 1 0 1 2 2 CB =(-1,1) 8 X B = ,X N = x 2 ,B= ,N= , C =(5,2,3) ,b= 0 1 3 4 1 N 7 x5 x 3
3 x1 B 0 0
x x 04 05 1 0 0 1
• 基变量是x3, x4, x5 • 非基变量是x1, x2 • 令非基变量x1=x2=0，得到一个基解 x3=16，x4=10， x5=32
1
第二节 线性规划的一般模型
二、线性规划之解的概念
1、线性规划解之关系
第二节 线性规划的一般模型
二、线性规划之解的概念
1、线性规划解之关系
基矩阵：一个非奇异的子矩阵（线性无关）。 矩阵A中任意m列的线性无关子矩阵B ，称为一个基。 组成基B的列为基向量，用Pj表示(j=1,2,…,n) 。 基变量： 与基向量Pj 相对应的m个变量xj称为基变量 其余的n - m个变量为非基变量 基解：令所有非基变量等于零，得出基变量的唯一解 。
可行解 满足约束条件AX=b, X≥0的解。 可行基 可行解对应的基矩阵。 基可行解 满足非负性约束的基解称为基可行解 最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。 最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。
可 行 解 非可行解
2
基解 基可行解
线性规划解的关系图
最优解？
线 性 规 划 问 题 解 的 概 念
选取x4为换出变量.
x4 8 2 -1 -1 =B b-B P3 x 3 = - x 3 7 1 x5
16
x1 x4 1 0 1 2 2 CB =(-1,1) 8 X B = ,X N = x 2 ,B= ,N= , C =(5,2,3) ,b= 0 1 3 4 1 N 7 x5 x 3
3
非可行解
可行解
基解
基可行解
解：
x1 x 2 x 3 x 4 x 5
线 性 规 划 问 题 解 的 概 念
4
z
5 17 10 20 15 17.5 22 19
是否基 可行解
1 2 3 4 5 6 7 8
0 0 0 4 5 0 0 5 10 0 5 2.5 5 4 2 4
5 5 0 5 -5 0 0 3
第二节 线性规划的一般模型
三、单纯形法的基本原理
2、单纯形的一般步骤
第一步，确定初始基可行解。 第二步，最优性检验与解的判别。
• 所有非基变量的检验数为负数，即已求得唯一最优解。 • 若所有非基变量的检验数非正，且存在某个非基变量xk的检 验数为0，让其进基，目标函数值不变，为无穷多最优解。 • 若某个非基变量xk的检验数为正，但对应的系数列向量的各 元素aik均非正数。即有进基变量但找不到离基变量，解无界。 • 若存在非基变量xk的检验数为正，对应的系数列向量中至少 有一个元素为正，既有进基变量又有离基变量，则进行下步。
6
第二节 线性规划的一般模型
三、单纯形法的基本原理
1、单纯形的代数解法 2 x1 0 x2 x3 16 0 x1 2 x2 x4 10 3x1 4 x2 x5 32 Z 3x1 5 x2 0 x3 0 x4 0 x5 0
1）初始基可行解

非 基 变 量 x1 的 系 数 1=3(检验数)为正 确定x1为进基变量
保持原非基变量x4 =0，x1进 基应保证 x3 , x2,, x5非负 x3 =16-2x1 ≥0 x2 =5 ≥0 x5=12 -3x1 ≥0 16 12 12 即x1 min{ ,, } 4 2 3 3
5
第二节 线性规划的一般模型
二、线性规划之解的概念
3、线性规划解题思路
• 先找到一个初始基可行解，也就是找到一个初始可 行基，想办法判断这个基可行解是不是最优解。 • 如果是最优解，就得到这个线性规划问题的最优解； • 如果判断出不是最优解，就想法由这个可行基按一 定规则变化到下一个可行基，然后再判断新得到的基 可行解是不是最优解； • 如果还不是，再接着进行下一个可行基变化，直到 得到最优解。
N =(1 , 2 , 3 ) (3, 0, 4)
（3）基本可行解 X=(0,0,0,8, 7)T 的改进
① 选取换入变量 因为max{3，4}=4，取x3为换入变量。 ②
1
选取换出变量
8 1 2 8 7 8 且 min , ， B b= , B P3 0 2 1 2 7 1
9
+ x3 =16 x2 +1/2 x4 =5 3x1 +4 x2 + x5=32 -Z+3x1 +5 x2 +0x3 +0x4 +0x5 =0 + x3 =16 x2 +1/2 x4 =5 3x1 + -2 x4 + x5=12 -Z+3x1 +0 x2 +0x3 –5/2x4 +0x5=-25 2x1
8
确定离基变量 保持原非基变量x1 =0，x2进 基变量用非基变量线性表示 基应保证 x , x ,, x 非负 3 4 5 x3 =16 –2x1 x3 =16≥0 x4 =10- 2x2 x4 =10- 2x2 ≥0 x5 =32 -3x1-4 x2 x5=32 -4 x2 ≥0 10 32 10 即x2 {, , } 5 2 4 2
2x1
2x1
第二节 线性规划的一般模型
三、单纯形法的基本原理
3）第二次迭代

基变换 基变量用非基变量线性表示 x3=16 –2x1 x2=5- 1/2x4 x5=12 -3x1+2 x4 令非基变量x1=x4=0得另一基可行解 x1=0, x2 =5,x3 =16,x4 =0, x5 =12 即X1=(0,5,16,0,12) T 目标函数Z=25
第三步，进行基变换。
• 进基变量的确定 • 离基变量的确定
第四步，进行函数迭代。
令非基变量为0，就得到一个新的基可行解。转入第二步。
13
课堂练习1：
maxZ=5x1 2x 2 3x3 x 4 x5 8 x1 2x 2 2x 3 x 4 x5 7 3x1 4x 2 x 3 x ,x ,x ,x ,x 0 1 2 3 4 5
14
x1 x4 1 0 1 2 2 CB =(-1,1) 8 X B = ,X N = x 2 ,B= ,N= , C =(5,2,3) ,b= 0 1 3 4 1 N 7 x5 x 3
11
第二节 线性规划的一般模型
三、单纯形法的基本原理
基变换：变主元为1，主列为单位列向量 2 x1 + x3 =16 2 x1 + x3 =16 x2 +1/2 x4 =5 x2 +1/2 x4 =5 3x1 + -2 x4 + x5=12 x1 + -2/3 x4 + 1/3x5=4 -Z+3x1 +0 x2 +0x3 –5/2x4 +0x5 =-25 -Z+3x1 +0 x2 +0x3 –5/2x4 +0x5 =-25
10 4 2 0 5 4 0 -1 0 4 0 1.5 -3 0 0 0
最优解
Y Y Y N N Y N Y
第二节 线性规划的一般模型
二、线性规划之解的概念
2、线性规划基本原理
定理1. 若线性规划问题存在可行域，则其可行域一定是凸集。 引理1. 线性规划问题的可行解为基可行解的充分必要条件是其 正分量对应的系数列向量线性无关。 定理2. 线性规划问题的基可行解对应可行域的顶点。 引理2. 若可行域是有界凸集，则凸集内任何一点都可以表示为 凸集顶点的凸组合。 定理3. 若可行域有界，线性规划的目标函数一定可以在可行域 的顶点上达到最优。 定理4. 线性规划如果有可行解，则一定有基可行解；如果有最 优解，则一定有基可行解是最优解。
(2) 检验 X=(0,0,0,8, 7)T 是否最优。
检验向量 σ N =C N -C B B-1 N=(5,2,3)-(-1,1)
1 3
2 4
2 1
=(5,2,3)-(2,2,-1)=(3, 0, 4) σ1 σ 2 σ 3
因为σ1=3，σ3=4 均大于零，
所以 X=(0,0,0,8, 7)T 不是最优解。
12
x3 +4/3 x4 -2/3x5 =8 x2 +1/2 x4 =5 x1 + -2/3 x4 +1/3x5=4 -Z+0x1 +0x2 +0x3 -1/2x4 - x5 =-37

令非基变量x4=x5=0得另一基可行解 x1=4, x2 =5,x3 =8,x4 =0, x5 =0 即X1=(4,5,8,0,0) T 目标函数Z=37
7
第二节 线性规划的一般模型
三、单纯形法的基本原理
2）第一次迭代 确定进基变量
2 x1 0 x2 x3 16 0 x1 2 x2 x4 10 3x1 4 x2 x5 4 0 x5 0

非 基变 量x1 和 x2 系数 为正，生产增加利润 x2的系数>x1的系数， 优先多生产乙产品
C=(5,2,3, 1 ,1)
解： (１)确定初始的基本可行解。
8 1 2 2 1 0 A= b 7 3 4 1 0 1
1 0 B=(P4 P5 )= ，基变量 0 1
x 4 ,x 5，非基变量 x1 ,x 2 , x3 。