河南省三门峡市陕州中学2018届高三上学期第二次强化训

2018-2018学年河南省三门峡市陕州中学高三（上）第二次强化训练数学试卷（理科）一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的．）1．已知全集U=R，集合M={x|x2﹣2x﹣3≤0}，N={y|y=3x2+1}，则M∩（∁U N）=（）A．{x|﹣1≤x＜1}B．{x|﹣1≤x≤1}C．{x|1≤x≤3}D．{x|1＜x≤3}2．i是虚数单位，若=a+bi（a，b∈R），则lg（a+b）的值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．3．已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且a1，，2a2成等差数列，则=（）A．1+B．1﹣C．3+2D．3﹣24．下列命题中正确命题的个数是（）（1）cosα≠0是的充分必要条件（2）f（x）=|sinx|+|cosx|，则f（x）最小正周期是π（3）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差不变（4）设随机变量ζ服从正态分布N（0，1），若P（ζ＞1）=p，则．A．4 B．3 C．2 D．15．已知菱形ABCD边长为2，∠B=，点P满足=λ，λ∈R，若•=﹣3，则λ的值为（）A．B．﹣C．D．﹣6．如图所示的程序框图的功能是（）A．求数列{}的前10项的和B．求数列{}的前11项的和C．求数列{}的前10项的和 D．求数列{}的前11项的和7．现有四个函数：①y=xsinx，②y=xcosx，③y=x|cosx|，④y=x•2x的部分图象如下，但顺序被打乱了，则按照从左到右将图象对应的函数序号排列正确的一组是（）A．①②③④B．②①③④C．③①④②D．①④②③8．设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（）A．y2=4x或y2=8x B．y2=2x或y2=8xC．y2=4x或y2=16x D．y2=2x或y2=16x9．变量x、y满足条件，则（x﹣2）2+y2的最小值为（）A．B．C．D．510．已知非零向量、满足，则与的夹角为（）A． B．C． D．11．设双曲线﹣=1的两条渐近线与直线x=分别交于A，B两点，F为该双曲线的右焦点．若60°＜∠AFB＜90°，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（，2）C．（1，2）D．（，+∞）12．设函数f（x）=e x（x3﹣3x+3）﹣ae x﹣x（x≥﹣2），若不等式f（x）≤0有解，则实数α的最小值为（）A．B．2﹣C．1﹣D．1+2e2二、填空题（本大题共四小题，每小题5分，共20分）13．若sin（π+x）+sin（+x）=，则sin2x=________．14．在（n∈N*）的展开式中，所有项系数的和为﹣32，则的系数等于________．15．已知函数f（x）=lnx﹣（m∈R）在区间[1，e]取得最小值4，则m=________．16．已知抛物线y2=4x的准线与双曲线=1（a＞0，b＞0）交于A、B两点，点F 为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是________．三、解答题（本大题共六小题共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知向量，，实数k为大于零的常数，函数f（x）=，x∈R，且函数f（x）的最大值为．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若＜A＜π，f（A）=0，且a=2，求的最小值．18．已知数列{a n}满足a1=1，且a n=2a n+2n（n≥2且n∈N*）．﹣1（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项之和S n，求S n，并证明：＞2n﹣3．19．市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士﹣﹣12369”的绿色环保活动小组对2018年1月﹣2018年12月（一月）内空气质量指数API进行监测，如表是在这一100（Ⅰ）若市某企业每天由空气污染造成的经济损失（单位：元）与空气质量指数（记为t）的关系为：，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失P∈若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成2 295%A参考公式：．20．椭圆C： +=1（a＞b＞0），作直线l交椭圆于P，Q两点．M为线段PQ的中点，O为坐标原点，设直线1的斜率为k1，直线OM的斜率为k2，k1k2=﹣．（I）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设直线l与x轴交于点D（﹣5，0），且满足=2，当△0PQ的面积最大时，求椭圆C的方程．21．已知f（x）=xlnx﹣ax，g（x）=﹣x2﹣2．（Ⅰ）对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=﹣1时，求函数f（x）在区间[m，m+3]（m＞0）上的最值；（Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.（本小题满分10分）[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在△ABC中，DC⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE交DC于点F，若BF=FC=3，DF=FE=2．（1）求证：AD•AB=AE•AC；（2）求线段BC的长度．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，曲线C的方程为，点，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．（1）求曲线C的直角坐标方程及点R的直角坐标；（2）设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值及此时点P的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．设实数a，b满足2a+b=9．（1）若|9﹣b|+|a|＜3，求a的取值范围；（2）求|3a﹣b|+|a﹣2b|的最小值．2018-2018学年河南省三门峡市陕州中学高三（上）第二次强化训练数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的．）1．已知全集U=R，集合M={x|x2﹣2x﹣3≤0}，N={y|y=3x2+1}，则M∩（∁U N）=（）A．{x|﹣1≤x＜1}B．{x|﹣1≤x≤1}C．{x|1≤x≤3}D．{x|1＜x≤3}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】解一元二次不等式求得M，求函数的值域得到N，根据补集的定义求得∁U N，再根据两个集合的交集的定义求得M∩（∁U N）．【解答】解：∵集合M={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，N={y|y=3x2+1}={y|y≥1}，∴∁U N={y|y＜1}，∴M∩（∁U N）={x|﹣1≤x＜1}，故选：A．2．i是虚数单位，若=a+bi（a，b∈R），则lg（a+b）的值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．【考点】复数相等的充要条件．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数、复数相等、对数的运算性质即可得出．【解答】解：∵===a+bi，∴，b=﹣．∴lg（a+b）=lg1=0．故选：C．3．已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且a1，，2a2成等差数列，则=（）A．1+B．1﹣C．3+2D．3﹣2【考点】等差数列的性质；等比数列的性质．【分析】先根据等差中项的性质可知得2×（）=a1+2a2，进而利用通项公式表示出q2=1+2q，求得q，代入中即可求得答案．【解答】解：依题意可得2×（）=a1+2a2，即，a3=a1+2a2，整理得q2=1+2q，求得q=1±，∵各项都是正数∴q＞0，q=1+∴==3+2故选C4．下列命题中正确命题的个数是（）（1）cosα≠0是的充分必要条件（2）f（x）=|sinx|+|cosx|，则f（x）最小正周期是π（3）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差不变（4）设随机变量ζ服从正态分布N（0，1），若P（ζ＞1）=p，则．A．4 B．3 C．2 D．1【考点】命题的真假判断与应用．【分析】（1）cosα≠0，根据图象可得α≠kπ；（2）根据诱导公式可知f（x）最小正周期是；（3）根据方差的计算公式可得结论；（4）利用正态分布的性质可解．【解答】解：（1）cosα≠0，则α≠kπ，故是的充分不必要条件，故错误；（2）f（x）=|sinx|+|cosx|，则f（x）最小正周期是，故错误，（3）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则每个数与平均数的差的平方不变，故样本的方差不变，故正确；（4）设随机变量ζ服从正态分布N（0，1），若P（ζ＞1）=p，由图象的对称性可得，若P（ξ＞1）=P，则P（ξ＜﹣1）=P，∴P（﹣1＜ξ＜1）=1﹣2P，则，故正确．故选：C．5．已知菱形ABCD边长为2，∠B=，点P满足=λ，λ∈R，若•=﹣3，则λ的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论．【解答】解：由题意可得=2×2×cos60°=2，•=（+）•（﹣）=（+）•[（﹣）﹣]=（+）•[（λ﹣1）•﹣]=（1﹣λ）﹣+（1﹣λ）•﹣=（1﹣λ）•4﹣2+2（1﹣λ）﹣4=﹣6λ=﹣3，∴λ=，故选：A．6．如图所示的程序框图的功能是（）A．求数列{}的前10项的和B．求数列{}的前11项的和C．求数列{}的前10项的和 D．求数列{}的前11项的和【考点】程序框图．【分析】分析程序中循环变量的初值，终值，步长及累加项的通项公式，可得程序的功能．【解答】解：由已知框图可得：循环变量k的初值为1，终值为10，步长为1，故循环共进而10次，又由循环变量n的初值为1，步长为2，故终值为20，由S=S+可得：该程序的功能是计算S=的值，即数列{}的前10项的和，故选：C．7．现有四个函数：①y=xsinx，②y=xcosx，③y=x|cosx|，④y=x•2x的部分图象如下，但顺序被打乱了，则按照从左到右将图象对应的函数序号排列正确的一组是（）A．①②③④B．②①③④C．③①④②D．①④②③【考点】函数的图象．【分析】依据函数的性质与图象的图象对应来确定函数与图象之间的对应关系，对函数的解析式研究发现，四个函数中有一个是偶函数，有两个是奇函数，还有一个是指数型递增较快的函数，由这些特征接合图象上的某些特殊点判断即可．【解答】解：研究发现①是一个偶函数，其图象关于y轴对称，故它对应第一个图象②③都是奇函数，但②在y轴的右侧图象在x轴上方与下方都存在，而③在y轴右侧图象只存在于x轴上方，故②对应第三个图象，③对应第四个图象，④与第二个图象对应，易判断．故按照从左到右与图象对应的函数序号①④②③故选：D．8．设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（）A．y2=4x或y2=8x B．y2=2x或y2=8xC．y2=4x或y2=16x D．y2=2x或y2=16x【考点】抛物线的标准方程．【分析】根据抛物线方程算出|OF|=，设以MF为直径的圆过点A（0，2），在Rt△AOF 中利用勾股定理算出|AF|=．再由直线AO与以MF为直径的圆相切得到∠OAF=∠AMF，Rt△AMF中利用∠AMF的正弦建立关系式，从而得到关于p的方程，解之得到实数p的值，进而得到抛物线C的方程．【解答】解：∵抛物线C方程为y2=2px（p＞0），∴焦点F坐标为（，0），可得|OF|=，∵以MF为直径的圆过点（0，2），∴设A（0，2），可得AF⊥AM，Rt△AOF中，|AF|==，∴sin∠OAF==，∵根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于A点，∴∠OAF=∠AMF，可得Rt△AMF中，sin∠AMF==，∵|MF|=5，|AF|=∴=，整理得4+=，解之可得p=2或p=8因此，抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x．故选：C．方法二：∵抛物线C方程为y2=2px（p＞0），∴焦点F（，0），设M（x，y），由抛物线性质|MF|=x+=5，可得x=5﹣，因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为=，由已知圆半径也为，据此可知该圆与y轴相切于点（0，2），故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，即M（5﹣，4），代入抛物线方程得p2﹣10p+16=0，所以p=2或p=8．所以抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x．故答案C．9．变量x、y满足条件，则（x﹣2）2+y2的最小值为（）A．B．C．D．5【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=（x﹣2）2+y2，利用距离公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，设z=（x﹣2）2+y2，则z的几何意义为区域内的点到定点D（2，0）的距离的平方，由图象知CD的距离最小，此时z最小．由得，即C（0，1），此时z=（x﹣2）2+y2=4+1=5，故选：D．10．已知非零向量、满足，则与的夹角为（）A． B．C． D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】对平方得出，=．从而得到=．计算（）•（）==．代入向量的夹角公式计算夹角的余弦．【解答】解：∵，∴，=．∴=．∴（）•（）==．∴cos＜＞=．∴＜＞=．故选：D．11．设双曲线﹣=1的两条渐近线与直线x=分别交于A，B两点，F为该双曲线的右焦点．若60°＜∠AFB＜90°，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（，2）C．（1，2）D．（，+∞）【考点】双曲线的简单性质．【分析】确定双曲线﹣=1的两条渐近线方程，求得A，B的坐标，利用60°＜∠AFB＜90°，可得，由此可求双曲线的离心率的取值范围．【解答】解：双曲线﹣=1的两条渐近线方程为，x=时，y=，∴A（，），B（，﹣），∵60°＜∠AFB＜90°，∴，∴，∴，∴，∴1＜e2﹣1＜3，∴．故选B．12．设函数f（x）=e x（x3﹣3x+3）﹣ae x﹣x（x≥﹣2），若不等式f（x）≤0有解，则实数α的最小值为（）A．B．2﹣C．1﹣D．1+2e2【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】化简a≥x3﹣3x+3﹣，从而令F（x）=x3﹣3x+3﹣，求导以确定函数的单调性，从而解得．【解答】解：f（x）≤0可化为e x（x3﹣3x+3）﹣ae x﹣x≤0，即a≥x3﹣3x+3﹣，令F（x）=x3﹣3x+3﹣，则F′（x）=3x2﹣3+=（x﹣1）（3x+3+e﹣x），令G（x）=3x+3+e﹣x，则G′（x）=3﹣e﹣x，故当e﹣x=3，即x=﹣ln3时，G（x）=3x+3+e﹣x有最小值G（﹣ln3）=﹣3ln3+6=3（2﹣ln3）＞0，故当x∈[﹣2，1）时，F′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，F′（x）＞0；故F（x）有最小值F（1）=1﹣3+3﹣=1﹣；故实数α的最小值为1﹣．故选：C．二、填空题（本大题共四小题，每小题5分，共20分）13．若sin（π+x）+sin（+x）=，则sin2x=﹣．【考点】二倍角的正弦．【分析】由条件可得sinx﹣cosx=，平方可得1+sin2x=，由此求得sin2x的值．【解答】解：∵sin（π+x）+sin（+x）=﹣sinx﹣cosx=，平方可得1+sin2x=，由此求得sin2x=﹣，故答案为：﹣．14．在（n∈N*）的展开式中，所有项系数的和为﹣32，则的系数等于﹣270．【考点】二项式定理的应用．【分析】根据题意，在中，令x=1可得，其展开式所有项系数的和为（﹣2）n，结合题意可得n的值，进而由二项式定理可得其展开式的通项，令的指数为2，可得r 的值，将r的值代入展开式的通项，可得答案．【解答】解：在中，令x=1可得，其展开式所有项系数的和为（﹣2）n，又由题意可得，（﹣2）n=﹣32，则n=5，则（﹣3）5的展开式的通项为T r+1=C5r（）5﹣r（﹣3）r，令5﹣r=2，可得r=3，则含的为T4=C53（）2（﹣3）3=﹣270，故答案为﹣270．15．已知函数f（x）=lnx﹣（m∈R）在区间[1，e]取得最小值4，则m=．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】求出函数的导函数，然后分m的范围讨论函数的单调性，根据函数的单调性求出函数的最小值，利用最小值等于4求m的值．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），．当f′（x）=0时，，此时x=﹣m，如果m≥0，则无解．所以，当m≥0时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，所以f（x）min=f（1）=﹣m=4，m=﹣4，矛盾舍去；当m＜0时，若x∈（0，﹣m），f′（x）＜0，f（x）为减函数，若x∈（﹣m，+∞），f′（x）＞0，f（x）为增函数，所以f（﹣m）=ln（﹣m）+1为极小值，也是最小值；①当﹣m＜1，即﹣1＜m＜0时，f（x）在[1，e]上单调递增，所以f（x）min=f（1）=﹣m=4，所以m=﹣4（矛盾）；②当﹣m＞e，即m＜﹣e时，f（x）在[1，e]上单调递减，f（x）min=f（e）=1﹣=4．所以m=﹣3e．③当﹣1≤﹣m≤e，即﹣e≤m≤1时，f（x）在[1，e]上的最小值为f（﹣m）=ln（﹣m）+1=4．此时m=﹣e3＜﹣e（矛盾）．综上m=﹣3e．16．已知抛物线y2=4x的准线与双曲线=1（a＞0，b＞0）交于A、B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用三角形是直角三角形求出顶点坐标，代入双曲线方程，利用双曲线的几何量之间的关系，求出离心率的表达式，然后求解即可．【解答】解：抛物线焦点F（1，0），由题意0＜a＜1，且∠AFB=90°并被x轴平分，所以点（﹣1，2）在双曲线上，得，即，即，所以，∵0＜a＜1，∴e2＞5，故．故答案为：．三、解答题（本大题共六小题共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知向量，，实数k为大于零的常数，函数f（x）=，x∈R，且函数f（x）的最大值为．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若＜A＜π，f（A）=0，且a=2，求的最小值．【考点】余弦定理的应用；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数．【分析】（Ⅰ）通过斜率的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后通过解函数的最大值，求k的值；（Ⅱ）利用f（A）=0，得到A的值，然后利用余弦定理通过a=2得到bc范围，然后求的最小值．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知=…=…因为x∈R，所以f（x）的最大值为，则k=1…（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，所以化简得因为，所以则，解得…因为，所以则，所以…则所以的最小值为…18．已知数列{a n}满足a1=1，且a n=2a n+2n（n≥2且n∈N*）．﹣1（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项之和S n，求S n，并证明：＞2n﹣3．【考点】数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）由（n≥2，且n∈N*），得数列{}是等差数列，公差d=1，首项，由此能求出数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）由（n﹣）•2n，利用错位相减法能够得到，由此能够证明＞2n﹣3．【解答】解：（Ⅰ）∵（n≥2，且n∈N*），∴，即（n≥2，且n∈N*），…所以，数列{}是等差数列，公差d=1，首项，…于是===n﹣，∴．…（Ⅱ）∵（n﹣）•2n，①∴2S n=+…+，②…①﹣②，得﹣=2+22+23+…+==（3﹣2n）•2n﹣3，…∴＞（2n﹣3）•2n，∴＞2n﹣3．…19．市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士﹣﹣12369”的绿色环保活动小组对2018年1月﹣2018年12月（一月）内空气质量指数API进行监测，如表是在这一100为t）的关系为：，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失P∈若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成2 295%A参考公式：．【考点】独立性检验．【分析】（Ⅰ）由200＜4t﹣400≤600，得150＜t≤250，频数为39，即可求出概率；（Ⅱ）根据所给的数据，列出列联表，根据所给的观测值的公式，代入数据做出观测值，同临界值进行比较，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失P∈=…．K2的观测值K2=≈4.575＞3.841…所以有95%的把握认为A市本年度空气重度污染与供暖有关．…20．椭圆C： +=1（a＞b＞0），作直线l交椭圆于P，Q两点．M为线段PQ的中点，O为坐标原点，设直线1的斜率为k1，直线OM的斜率为k2，k1k2=﹣．（I）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设直线l与x轴交于点D（﹣5，0），且满足=2，当△0PQ的面积最大时，求椭圆C的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）设点，代入椭圆方程，利用点差法，结合线段PQ的中点为M，再由离心率公式，即可得到结论；（Ⅱ）由（1）知可得椭圆的方程为2x2+3y2=6c2，设直线l的方程为x=my﹣5，代入椭圆方程，利用韦达定理及=2，确定P，Q坐标之间的关系，表示出面积，利用基本不等式求出S△OPQ的最大值，即可得到椭圆的方程．【解答】解：（I）设P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x0，y0），由题意可得+=1， +=1，两式相减可得， +=0，由k1=，k2==，即有k1k2=﹣=﹣，即为2a2=3b2=3（a2﹣c2），即c2=a2，e==；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a2=3c2，b2=2c2，椭圆的方程为2x2+3y2=6c2，①可设直线l的方程为x=my﹣5②，将②代入①中整理得（3+2m2）y2﹣20my+50﹣6c2=0，因为直线l与椭圆交于P，Q两点，所以△=4（12m2c2+18c2﹣150）＞0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=，|y1﹣y2|==又=2，可得（x1+5，y1）=2（﹣5﹣x2，﹣y2），即为y1=﹣2y2，代入韦达定理，可得c2=，即有|y1﹣y2|==≤=5，当且仅当2|m|=，即为m=±时，取得等号．又△0PQ的面积为S=|OD|•|y1﹣y2|=|y1﹣y2|的最大值为，此时，m2=，c2==，所求椭圆的方程为2x2+3y2=250，即+=1．21．已知f（x）=xlnx﹣ax，g（x）=﹣x2﹣2．（Ⅰ）对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=﹣1时，求函数f（x）在区间[m，m+3]（m＞0）上的最值；（Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，即xlnx﹣ax≥﹣x2﹣2恒成立，可化为a≤lnx+x+在x∈（0，+∞）上恒成立．令F（x）=lnx+x+，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出；（Ⅱ）把a=﹣1代入f（x），再求出f′（x），由f'（x）=0得，然后分类讨论，当时，在上f'（x）＜0，在上f'（x）＞0，因此f（x）在处取得极小值，由于f（m）=m（lnm+1）＜0，f（m+3）=（m+3）[ln（m+3）+1]＞0，因此f（x）max=f（m+3）=（m+3）[ln（m+3）+1]，当时，f'（x）≥0，因此f（x）在[m，m+3]上单调递增，从而可求出函数f（x）在区间[m，m+3]（m＞0）上的最值；（Ⅲ）要证成立，即证，由（Ⅱ）知a=﹣1时，f（x）的最小值是，当且仅当时取等号．设，x∈（0，+∞），则，易知，当且仅当x=1时取到，即可证得结论．【解答】（Ⅰ）解：对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，即xlnx﹣ax≥﹣x2﹣2恒成立．也就是在x∈（0，+∞）上恒成立．令，则．x∈（0，1）时，F'（x）＜0，x∈（1，+∞）时，F'（x）＞0．因此F（x）在x=1处取极小值，也是最小值，即F（x）min=F（1）=3，∴a≤3；（Ⅱ）解：当a=﹣1时，f（x）=xlnx+x，f′（x）=lnx+2，由f'（x）=0得．当时，在上f'（x）＜0，在上f'（x）＞0．因此f（x）在处取得极小值，也是最小值．故．由于f（m）=m（lnm+1）＜0，f（m+3）=（m+3）[ln（m+3）+1]＞0，因此f（x）max=f（m+3）=（m+3）[ln（m+3）+1]．当时，f'（x）≥0，因此f（x）在[m，m+3]上单调递增，故f（x）min=f（m）=m（lnm+1），f（x）max=f（m+3）=（m+3）[ln（m+3）+1]；（Ⅲ）证明：要证成立，即证，x∈（0，+∞）．由（Ⅱ）知a=﹣1时，f（x）=xlnx+x的最小值是，当且仅当时取等号．设，x∈（0，+∞），则，易知，当且仅当x=1时取到．从而可知对一切x∈（0，+∞），都有．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.（本小题满分10分）[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在△ABC中，DC⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE交DC于点F，若BF=FC=3，DF=FE=2．（1）求证：AD•AB=AE•AC；（2）求线段BC的长度．【考点】与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定．【分析】（1）推导出B，C，D，E四点在以BC为直径的圆上，由割线定理能证明AD•AB=AE•AC．（2）过点F作FG⊥BC于点G，推导出B，G，F，D四点共圆，F，G，C，E四点共圆，由此利用割线定理能求出BC的长．【解答】证明：（1）由已知∠BDC=∠BEC=90°，所以B，C，D，E四点在以BC为直径的圆上，由割线定理知：AD•AB=AE•AC．…解：（2）如图，过点F作FG⊥BC于点G，由已知，∠BDC=90°，又因为FG⊥BC，所以B，G，F，D四点共圆，所以由割线定理知：CG•CB=CF•CD，①…同理，F，G，C，E四点共圆，由割线定理知：BF•BE=BG•BC，②…①+②得：CG•CB+BG•BC=CF•CD+BF•BE，即BC2=CF•CD+BF•BE=3×5+3×5=30，…所以BC=．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，曲线C的方程为，点，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．（1）求曲线C的直角坐标方程及点R的直角坐标；（2）设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值及此时点P的直角坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由极坐标转化为直角坐标即可；（2）由参数方程，设出P的坐标，得到矩形的周长，根据三角函数的图象和性质即可求出最值．【解答】解：（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为，点R的直角坐标为（2，2），（2）曲线C的参数方程为为参数，α∈[0，2π）），设，如图，依题意可得：|PQ|=2﹣cosα，，∴矩形周长=，∴当时，周长的最小值为4，此时，点P的坐标为．[选修4-5：不等式选讲]24．设实数a，b满足2a+b=9．（1）若|9﹣b|+|a|＜3，求a的取值范围；（2）求|3a﹣b|+|a﹣2b|的最小值．【考点】绝对值三角不等式．【分析】（1）由条件可得3|a|＜3，利用绝对值不等式的解法，求得a的范围．（2）要求的式子即|5a﹣9|+|5a﹣18|，再利用绝对值三角不等式求得它的最小值．【解答】解：实数a，b满足2a+b=9．（1）∵|9﹣b|+|a|=|2a|+|a|=3|a|＜3，∴|a|＜1，∴﹣1＜a＜1，故要求的a的取值范围为（﹣1，1）．（2）求|3a﹣b|+|a﹣2b|=|3a﹣（9﹣2a）|+|a﹣2（9﹣2a）|=|5a﹣9|+|5a﹣18|≥|（5a﹣9）﹣（5a﹣18）|=9，故|3a﹣b|+|a﹣2b|的最小值为9．2018年9月7日。