第一讲 不等式和绝对值不等式 知识归纳 课件(人教A选修4-5)

的符号，转化为不含绝对值的不等式去解．
[例4] 解下列关于x的不等式： (1)|x＋1|>|x－3|； (2)|x－2|－|2x＋5|>2x； [解] (1)法一：|x＋1|>|x－3|， 两边平方得(x＋1)2>(x－3)2，∴8x>8.∴x>1. ∴ 原不等式的解集为{x|x>1}． 法二：分段讨论：
[解析]
x＋3z 由 x－2y＋3z＝0 得 y＝ ， 2
2 2 y2 x ＋9z ＋6xz 6xz＋6xz 则xz＝ ≥ ＝3， 4xz 4xz
当且仅当 x＝3z 时取“＝”．
[答案]
3
1 1 1 [例 3] 设 a， c 为正实数， b， 求证：3＋ 3＋ 3＋abc≥2 3. a b c 1 [证明]因为 a，b，c 为正实数，由平均不等式可得 3＋ a
当x≤－1时，有－x－1>－x＋3，此时x∈∅；
当－1<x≤3时，有x＋1>－x＋3，
即x>1，.∴此时1<x≤3；
当x>3时，有x＋1>x－3成立，∴x>3.
∴原不等式解集为{x|x>1}．
5 (2)分段讨论：①当 x<－ 时，原不等式变形为 2 2－x＋2x＋5>2x，解得 x<7， 5 ∴解集为{x|x<－ }． 2
5 ②当－ ≤x≤2 时， 2 3 原不等式变形为 2－x－2x－5>2x，解得 x<－ . 5 5 3 ∴解集为{x|－ ≤x<－ }． 2 5 ③当 x>2 时，原不等式变形为 x－2－2x－5>2x， 7 解得 x<－ ，∴原不等式无解． 3 3 综上可得，原不等式的解集为{x|x<－ }. 5
1.公式法 |f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<－g(x)； |f(x)|<g(x)⇔－g(x)<f(x)<g(x)．
2．平方法
|f(x)|>|g(x)|⇔[f(x)]2>[g(x)]2.
3．零点分段法
含有两个以上绝对值符号的不等式，可先求出使每 个含绝对值符号的代数式值等于零的未知数的值，将这 些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区 间，讨论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间上
真题体验
1．(2012· 湖南高考)不等式|2x＋1|－2|x－1|＞0的解集为 ________．
解析：原不等式即|2x＋1|＞2|x－1|，两端平方后解得 1 12x＞3，即 x＞ . 4 1 答案：{x|x> } 4
2．(2011· 江西高考)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1， 则|x－2y＋1|的最大值为________． 解析：|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2(y－2)＋
对于不等式恒成立求参数范围问题，常见类型及其解法
如下：
(1)分离参数法：
运用“f(x)≤a⇔f(x)max≤a，f(x)≥a⇔f(x)min≥a”可解决恒成立
中的参数范围问题．
(2)更换主元法：
不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常 困难或不可能时，可转换思维角度，将主元与参数互换，
常可得到简捷的解法．
2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.
答案：5
3．(2011· 陕西高考)若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R 恒成立，则a的取值范围是________．
解析：令 f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＝ －2x＋1x≤－1， 3－1<x<2， 2x－1x≥2， ∴f(x)≥3. ∵|x＋1|＋|x－2|≥a 对任意 x∈R 恒成立，∴a≤3.
3 1 1 1 1 1 ＋ ≥3 ··. b3 c3 a3 b3 c3 1 1 1 3 即 3＋ 3＋ 3≥abc. a b c 1 1 1 3 所以 3＋ 3＋ 3＋abc≥abc＋abc， a b c 3 而abc＋abc≥2 3 abc＝2 3. abc·
1 1 1 所以 3＋ 3＋ 3＋abc≥2 3. a b c
－3<x<7， 或 10>10， x≤－3， 或 4－2x>10，
⇔|x＋3|＋|x－7|>10，
x≥7， ⇔ 2x－4>10，
⇔x>7 或 x<－3. 所以不等式的解集为{x|x<－3 或 x>7}． (2)设 f(x)＝|x＋3|＋|x－7|，则有 f(x)≥|(x＋3)－(x－ 7)|＝10，当且仅当(x＋3)(x－7)≤0， 即－3≤x≤7 时．f(x)取得最小值 10. ∴lg(|x＋3|＋|x－7|)≥1. 要使 lg(|x＋3|＋|x－7|)>a 的解集为 R，只要 a<1.
(2)f(x)≤|x－4|⇔|x－4|－|x－2|≥|x＋a|.
当x∈[1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|
⇔4－x－(2－x)≥|x＋a| ⇔－2－a≤x≤2－a. 由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0. 故满足条件的a的取值范围为[－3,0]．
1 5．(2012· 江苏高考)已知实数 x，y 满足：|x＋y|＜ ，|2x 3 1 5 －y|＜ ，求证：|y|＜ . 6 18
答案：(－∞，3]
4．(2012· 全国新课标)已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.
(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集； (2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．
－2x＋5，x≤2， 解： (1)当 a＝－3 时， f(x)＝1，2<x<3， 2x－5，x≥3. 当 x≤2 时， f(x)≥3 得－2x＋5≥3， 由 解得 x≤1； 当 2<x<3 时，f(x)≥3 无解； 当 x≥3 时， f(x)≥3 得 2x－5≥3， 由 解得 x≥4； 所以 f(x)≥3 的解集为{x|x≤1 或 x≥4}．
考情分析
从近两年的高考试题来看，绝对值不等式主要考查 解法及简单的应用，题目难度中档偏下，着重考查学生 的分类讨论思想及应用能力．
解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号，化成不
含绝对值的不等式，其一是依据绝对值的意义；其二是 先令每一个绝对值等于零，找到分界点，通过讨论每一 区间内的代数式的符号去掉绝对值．
法： 在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示 问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思维各自的 优势，可直观地解决问题．
[例5] 设有关于x的不等式lg(|x＋3|＋|x－7|)>a. (1)当a＝1时， 解此不等式；
(2)当a为何值时，此不等式的解集是R.
[解]
(1)当 a＝1 时，lg(|x＋3|＋|x－7|)>1，
解：因为 3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y|＋|2x 1 1 －y|，由题设知|x＋y|＜ ，|2x－y|＜ ， 3 6 2 1 5 5 从而 3|y|＜ ＋ ＝ ，所以|y|＜ . 3 6 6 18
利用不等式的性质判断不等式或有关结论是否成立， 再就是利用不等式性质，进行数值或代数式大小的比较， 常用到分类讨论的思想． [例1] “a＋c>b＋d”是“a>b且c>d”的 ( )
A．必要不充分条件
C．充分必要条件 [解析] [答案] 时，则可能有a>b且c>d. A
B．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
易得a>b且c>d时必有a＋c>b＋d.若a＋c>b＋d
利用基本不等式求最值问题一般有两种类型：①和为 定值时， 积有最大值；②积为定值时，和有最小值，在具 体应用基本不等式解题时， 一定要注意适用的范围和条 件：“一正、二定、三相等”． [例 2] ________． y2 x，y，z∈R＋，x－2y＋3z＝0， xz的最小值为