“4道”保分题专练卷(一)

“4道”保分题专练卷(一)
建议时间（40-50分钟）
1．已知△ABC 为锐角三角形，向量m ＝(3cos 2A ，sin A )，n ＝(1，－sin A )，且m ⊥n .
(1)求A 的大小； (2)当AB ＝pm ，AC ＝qn (p >0，q >0)，且满足p ＋q ＝6时，求△ABC 面积的最大值．
2．某工厂有120名工人，且年龄都在20岁到60岁之间，各年龄段人数按[20,30)，[30,40)，
[40,50)，[50,60]分组，其频率分布直方图如图所示．工厂为了开发新产品，引进了新的生产设备，要求每名工人都要参加A 、B 两项培训，培训结束后进行结业考试．已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如下表所示．假设两项培训是相互独立的，结业考试也互不影响．
(1)若用分层抽样法从全厂工人中抽取一个容量为40的样本，求各年龄段应分别抽取的人数；
(2)随机从年龄段[20,30)和[30,40)内各抽取1人，设这两人中A 、B 两项培训结业考试成绩都优秀的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．
3．设正项数列{a n }的前n 项和是S n ，若{a n }和{S n }都是等差数列，且公差相等．
(1)求{a n }的通项公式；
(2)若a 1，a 2，a 5恰为等比数列{b n }的前三项，记c n ＝1log 34b n ＋1·log 34b n ＋2
，数列{c n }的前n 项和为T n ，求T n .
4.如图，正三棱柱ABC -A
1B 1C 1的所有棱长都为2，CD ＝λ1CC
(λ∈R)．
(1)当λ＝12时，求证：AB 1⊥平面A 1BD;
(2)当二面角A -A 1D -B 的大小为π3时，求实数λ的值．。