六年级奥数学练习试卷思维培训资料 (12)

第六讲 期中测试题
一、 填空题 （本题共13道小题，每小题5分，满分65分）
1、（06年清华附中）
有n 个自然数相加：1+2+3+------+n=aaa (和恰好是三个相同数字组成的三位数)，那么n=______________. 解：(1)2
n n aaa +=，n n )1(+＝2×aaa ，所以n n )1(+＝2×a ×111=2×3×37×a ； 所以，重组的要点是围绕37来讨论，得37×36符合题意，其a=6；
如果这两个数中没有37,则最小要有37×2=74,所以根据连续数，另一个只可能为75，而a=25,不是一位数，不成立。

所以，n 必是36。

2、（来源101中学）
当A ＋B ＋C ＝30时(A 、B 、C 是非零的自然数)。

A×B×C 的最大值是＿＿＿＿，最小值是＿＿＿＿。

解：当为10×10×10时有A ×B ×C 的最大值，即为10×10×10＝1000；
当为1+1+28时有A ×B ×C 的最小值，即为1×1×28＝28。

3、（06年三帆中学） 计算：)333
33133333331()33333233343332(332123123123+++-++++÷ ＝__________. 解：原式＝123÷
332123332123+⨯＋333
332642++++ －33131+++ ＝333332＋333
3313323412-++-+- ＝333332＋333
166 ＝111166
4、有一个最简分数，把分子加上分母，分母也加上分母，所得到的新分数是原分数的8倍，这个最简分数是________________.
解： 115
不妨设原分数为
b a ，由题可得8a a b b b b +⨯=+ 822a a b b b b
⨯=+ 11822
a a
b b ⨯=⨯+ 11722a b ⨯=，所以b a =115
5、（来源清华附中）
一个两位数加上数字相同、排列顺序相反的两位数所得的和是一个平方数，这个两位数最大是______。

解：11()ab ba a b +=+=完全平方数，则()a b +=11 最大的两位数为92。

6、已知等腰直角三角形的面积是3平方厘米，求阴影部分的面积。

解：要点仍是转化条件和过程性条件的使用。

即只要知道r 2是多少，而不要知道r.
注意这里用到r 2=3×2×2=12,
所以，阴影部分的面积=12π×
18-3=1.71(平方厘米)
7、（来源101中学）
甲、乙二人在环形跑道上跑步，甲的速度是每秒跑4米，乙的速度是每秒跑4.8米。

甲跑__________圈后，乙可超过甲一圈。

解：设每圈长为“1”，有44
8.41⨯-＝5，所以甲跑5圈后满足条件。

提示：本题的关键是，不同地出发的路程差，可以理解为同时同地出发的路程差，也就是追及问题。

本题还可以用设而不求法：
设每圈的长为a 米,则有
454.84
a a ⨯=-，则应跑5圈。

这样很好理解。

__________种不
有___________个.
解：40个
设原来的两位数是abc ，则交换后的两位数是cba ，有abc －cba ＝495，解得5a b -=
所以有（a,c ）有：（9，4）；（8，3）；（7，2）；（6，1）这四组，每组中间的b 有十种选择，所以共有40个。

10、（来源首师大附中）
老师在黑板上写了七个自然数，让小明计算它们的平均数（保留小数点后面两位）．小明计算出的答数是14.73，老师说：“除最后一位数字外其它都对了．”那么，正确的得数应是______. 解：应该想到，小数部分等于7n ，所以，考虑只有57
≈0.71符合十分位上是7，所以原数14.71。

11、（06年清华附中）
清晨，小亮从镜子中看到挂钟的指针在6点20分，他赶快出去跑步，可跑步回来，妈妈告诉他刚到6点20分，那么小亮跑步用了_____________分.
解：从镜子中看到的应该是相反的，所以镜子中的6点20分，实际上是5：40，所以共用了6：20－5：
40＝40分钟
提示：要点，以“实际操作”降低抽象思维的难度：拿一张纸，在正面画钟面时间为6点20分，反过来看看是什么时间？
12、能被24整除且各位数字都是偶数的最小四位数是多少?
解：答案2040
末两位显然是8的倍数，可以有08 24 40 48 64 80 88的搭配
前2位最小是20 22 24 26 28… 要满足该数同时是3的倍数，因此该数最小是2040
13、（来源101中学）
一年定期的存款，年息为1.98％，到期取款时，需扣除利息的20％作为利息税上缴国家。

假如某人存入一年的定期储蓄2000元，到期扣税后共可取出__________元。

解： 2000+2000×1.98％×(1-20％)＝2000+31.68＝2031.68元。

二、解答题 （本题共4道大题，每题10分，满分40分）
1、(101中学05年最新入学试题)
100千克刚采下的鲜蘑菇含水量为99%，稍微晾晒后，含水量下降到98%，那么这100千克的蘑菇现在还有多少千克呢？
解：有蘑菇干的重量不变，开始为100×(1－99％)＝1千克，后来蘑菇干占1－98％＝2％，所以后来的蘑菇共重1÷2％＝50千克．
2、（理工附05年最新入学试题）
一个学校参加兴趣活动的学生不到100人，其中男同学人数超过总数的47 ，女同学的人数超过总数的25。

问男女生至少各多少人？
解：要点：不能出现恐怖的“分数人数”，则总人数是7和5的公倍数，为[7，5]n=35n.
再根据 47
<男生人数<35, 即2035<男生人数<2135
，说明总人数不是35，因为男生人数不可能是分数；
再40
70
<男生人数<
42
70
，知男生可为41人，且总人数只能是70人，不能更大了。

3、（北大附中04年入学试题）
如图，正方形ABCD的边长为4厘米，EF和BC平行，ECH的面积是7平方厘米，求EG的长。

解：1
2
×EG×AE +
1
2
×EG×EB = 7平方厘米即
1
2
×EG×AB=7平方厘米；EG=3.5厘米
提示：其实用了等积变形思想，见图2。

4、由26=12+52=12+32+42，可以断定26最多能表示为3个互不相等的非零自然数的平方和，请你判定
200最多能表示为多少个互不相等的非零自然数的平方之和?
答案.7个
解：12+22+32+……..72+82=204
204-200=4=22
200=12+32+42+52+62+72+82
200最多能表示为7个互不相等的非零自然数的平方之和。

三、操作题（本题共1道大题，满分15分）
1．如图，画一条直线，将下面的七个圆的图形面积平分为相等的两部分，并请说明理由。

提示：仍然是一个大中心对称图形减一个小中心对称图形的知识点，注意借来还去思想，以及，其中大中心点是“平行四边形的中心点”。

四、附加题（本题共两道大题，每题10分）
（首师大附06年3月考题）
1、甲、乙两地相距150千米，客车和货车同时从甲地出发驶向乙地，客车到达乙地后立即沿原路返回，在途中的丙地与货车相遇。

之后，客车和货车继续前进，各自到达甲地和乙地后又马上折回，结果两车又恰好在丙地相遇。

已知两车在出发后的4小时首次相遇，那么客车的速度是每小时多少千米?
解：
第一次相遇，两车合走2个全程，第二次相遇，两车又比第一次相遇时多走2个全程，∴ 客车、货车第一次相遇时各自走的路程与第一次相遇到第二次相遇时各自走的路程分别相等。

两次相遇都在丙点，设乙丙之间路程为1份，可得甲丙之间路程为2份，∴ 乙丙间路程＝150÷3＝50，
客车速度为（150＋50）÷4＝50（千米/小时）
2、 计算：
1111212312341＋＋＋...＋＋＋＋＋＋＋1＋2＋3＋...＋99
解： a n=1123n +++⋅⋅⋅+=2(1)n n +=112()1
n n ⨯-+ 原式=2×(1-
12+12-13+……+199-1100) =9950
（这套试卷考试时间为1小时30分钟，老师注意提醒学生做题的速度）。