【K12教育学习资料】2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(175)(无答案)
2017imo试题答案
2017imo试题答案2017年国际数学奥林匹克竞赛（IMO）试题答案【问题1】题目描述：给定一个正整数n，考虑所有长度为n的序列，其中每个元素都是1或2。
对于每个序列，计算所有相邻元素之差的绝对值的总和。
求所有序列中这个总和的最大可能值。
答案：对于长度为n的序列，最大总和可以通过构造一个序列来实现，该序列以1开始，然后是2，接着是1，以此类推，直到序列结束。
这样，每个1和2之间的差都是1，总和为n-1。
因此，最大总和为n-1。
【问题2】题目描述：在一个平面上，给定一个圆和三个不共线的点A、B、C。
圆和三个点形成一个三角形ABC。
求证：三角形ABC的面积等于由点A、B、C分别到圆的切点D、E、F形成的三角形DEF的面积。
答案：设圆的半径为r，利用相似三角形的性质，可以证明三角形ABC与三角形DEF相似。
由于相似三角形的面积比等于边长比的平方，而切线与半径垂直，所以三角形ABC和三角形DEF的高之比为1:r。
因此，它们的面积比为1:r^2。
由于三角形ABC和三角形DEF的底边相等，所以它们的面积相等。
【问题3】题目描述：给定一个正整数n，考虑所有由n个不同的正整数组成的序列，这些整数的和为S。
对于每个序列，计算序列中所有数的乘积，并除以S。
求所有序列中这个比值的最小可能值。
答案：设序列为a1, a2, ..., an，它们的和为S。
我们需要最小化比值(a1 * a2 * ... * an) / S。
通过数学归纳法，可以证明当序列中的数尽可能接近S/n时，比值最小。
因此，最小比值出现在序列为1, 2, ..., n-1, S-n时。
此时，比值为(1 * 2 * ... * (n-1) * (S-n)) / S，可以通过斯特林公式近似计算。
【问题4】题目描述：在一个平面上，给定一个凸四边形ABCD，其中AB平行于CD，AD平行于BC。
证明：对角线AC和BD的中点M和N分别与顶点A 和C的连线AM和CN垂直。
江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(180)(无答案)
江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（180）（无答案）第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1. 2014把椅子排成一圈，有n 个人坐在椅子上，使得再有一人坐入时，总与原来的n 个人中的一人坐在相邻的椅子上.则n 的最小值为.2. 在ABC ∆中，已知2,3,4A B A CB C ===.设O 为ABC ∆的内心，且A O A B B C λμ=+.则λμ+=.3. 已知一个球与棱长为a 的正四面体的六条棱均相切.则此球的体积为.4. 设函数233()(1)(1)f x k x x x x =-+--.若对任何[]0,1x ∈，均有()0f x ≥，则k 的最小值为.5. 在直角坐标平面上，若一个过原点且半径为r 的圆完全落在区域4y x ≥内，则r 的最大值为.6. 已知数列{}n a 满足211()n n n a a a n ++=-∈Z ，且1a =.7. 已知x y z +∈R 、、，且6x y z ++=.则x . 8. 将“马”“上”“成”“功”这四个字填在一个55⨯的方格表中，每个小方格内至多填1个字，“马”“上”始终按从左往右的顺序填写，“成”“功”也始终按从左往右的顺序填写，且“马”“上”必须在同一行或按从上往下的顺序在同一列，或者“成”“功”必须在同一行或按从上往下的顺序在同一列.则不同的填法种数为（用数字作答）.二、解答题（共56分）9.（16分）设{}12,,,n A a a a =⊂+Z .对所有不同的子集B C A ⊆、，有x B x C x x ∈∈≠∑∑.证明：121112na a a +++<.10.（20分）已知函数2()2f x x ax =-与2()1g x x =--的图像有两条公切线，且由这四个切点组成的四边形的周长为6.求实数a 的值.11.（20分）椭圆1C 与双曲线2C 有公共焦点(,0)(0)c c ±>，1C 与2C 的离心率之差不超过1，且2C 有一条渐近线斜率不小于34，12C C 、与x 轴正半轴分别交于A B 、，且两曲线在第一象限的交点为D .问：ABD ∆的面积是否有最大值？若有，求出最大值并给出12C C 、的方程；若没有，请说明理由.加 试一、（40分）将ABC ∆的边BC BA 、分别延长到点E F 、，使,A E B EB F C F ==，EA 与FC 交于点D ，设H O 、分别是ABC ∆的垂心、外心.证明：直线HO 过点D .二、（40分）设(3)n n ≥是给定的自然数，对于个给定的实数12,,,n a a a ，记(1)i j a a i j n -≤<≤的最小值为m .若222121n a a a +++=，求m 的最大值.三、（50分）证明：存在无数个满足如下条件的整数组(,,,)a b c d ：（1）0,(,)1a c a c >>=；（2）对任意给定的正整数k ，恰有k 个正整数n ，使得()()an b cn d ++.四、（50分）对给定自然数2n ≥，求满足下列条件的最大的N ：无论怎样21,2,,n 将填入一个n n ⨯的方格表，总存在同一行或同一列的两个数，它们的差不小于N .。
数学奥林匹克高中训练题(17)及答案
数学奥林匹克高中训练题（17）第一试一、选择题（本题满分36分；每小题6分）1．(训练题22)集合111{|log 2,}23nn n N -<<-∈的真子集的个数是(A)． (A) 7 (B)8 (C)31 (D)322．(训练题22)从1到9这九个自然数中任取两个；分别作为对数的真数和底数；共得不同的对数值(B)．(A) 52个 (B) 53个 (C) 57个 (D) 72个3．(训练题22)空间有四张不同的平面；则这四张平面可能形成的交线条数取值的集合是(C)．(A){1,2,3,4,5,6} (B) {0,1,2,3,4,5,6} (C) {0,1,3,4,5,6} (D) {0,1,2,3,5,6}4．(训练题22) 函数(),()y f x y g x ==的定义域及值域都是R ；且都存在反函数；则11((()))y f g f x --=的反函数是(B)．(A)1((()))y f g f x -= (B) 1((()))y f g f x -= (C) 11((()))y f g f x --= (D) 11((()))y f g f x --=5．(训练题22) 若cos 40sin 40o o ω=+,则1239239ωωωω-++++等于(D)． (A)1cos 2018o (B) 1sin 409o (C) 1cos 409o (D) 2sin 209o 6．(训练题22) 当01x <<时；222sin sin sin ,(),x x x x x x的大小关系是(B)． (A) 222sin sin sin ()x x x x x x << (B) 222sin sin sin ()x x x x x x<< (C) 222sin sin sin ()x x x x x x << (D) 222sin sin sin ()x x x x x x<< 二、填空题（本题满分54分；每小题9分）1．(训练题22) 已知211(),()5,()2f x xg x x g x -==-+表示)(x g 的反函数；设11()(())(())F x f g x g f x --=-．则()F x 的最小值是 703． 2．(训练题22) 在1000和9999之间由四个不同数字组成；且个位数字与千位数字之差的绝对值是2的整数共有 840 个．3．(训练题22) 四面体P ABC -中；,8,6,9,120o PC ABC AB BC PC ABC ⊥===∠=面；则二面角B AP C --的余弦值是 148． 4．(训练题22) 设{}P =不少于3的自然数；在P 上定义函数f 如下：若,()n P f n ∈表示不是n 的约数的最小自然数；则(360360)f = 16 ．5．(训练题22)n 为不超过1996的正整数；如果有一个θ；使(sin cos )sin cos n i n i n θθθθ+=+成立；则满足上述条件的n 值共有 498 个．6．(训练题22)在自然数列中由1开始依次按如下规则将某些数染成红色．先染1；再染两个偶数2,4；再染4后最邻近的三个连续奇数5；7；9；再染9后最邻近的四个连续偶数10；12；14；16；再染此后最邻近的五个连续奇数17；19；21；23；25；按此规则一直染下去；得一红色子列1；2；4；5；7；9；10；12；14；16；17；…；则红色子列中由1开始数起的第1996个数是 3929 ．第二试一、(训练题22)(本题满分25分) 点M 是正三角形内一点；证明：由线段,MA MB 和MC 为边组成的三角形面积不超过原正三角形面积的13． 二、(训练题22)(本题满分25分) 若21x y +≥；试求函数2224u y y x x =-++的最小值．95-三、(训练题22)(本题满分35分) 证明：从任意四个正整数中一定可以选出两个数x 和y ；使得如下不等式成立0212x y x y xy-≤<+++． 四、(训练题22)(本题满分35分)连结圆周上九个不同点的36条弦要么染成红色；要么染成蓝色；我们称它们为“红边”或“蓝边”；假定由这九个点中每三个点为顶点的三角形中都含有“红边”；证明：这九个点中存在四个点；两两连结的六条边都是红边．。
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【配套K12】2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(200)(无答案)
江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（200）（无答案）第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1.设函数2log 2x y =的定义域为[],m n ，值域为[]0,2。
则区间[],m n 长度的最小值为 。
2.已知向量a b 、满足2,a b a b ===且()()0a c b c --=。
则2b c -的最小值为3.若复数z 满足2z =的最大值为 。
4.设函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>。
若()f x 在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性，且2236f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()f x 的最小正周期为 。
5.已知方程22ay b x c =+中的{}3,2,,3a b c ∈--、、…，且a b c 、、互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有 条。
6.已知高为4的四棱锥S ABCD -的底面是边长为1的正方形，点S A B C D 、、、、均在半径为1的同一球面上。
则侧棱SA 长度的最大值为 。
7.设函数2()1f x x x =-+。
定义()()n fx 如下：(1)()(1)()(),()(())n n f x f x f x f f x -==。
记n r 为()()0n f x =的所有根的算术平均值，则2015r = 。
8.已知数列{}1222:121n n n n a a +=-+。
记01n n T a a a =…，则lim n →+∞n T = 。
二、解答题（共56分）9.（16分）设常数a R ∈，函数()()f x a x x =-存在反函数1()f x -。
若关于x 的不等式12()()f x m f x -+<对所有的[]2,2x ∈-恒成立，求实数m 的取值范围。
10.（20分）已知椭圆22:1,2x C y O +=为原点，若动点A 在椭圆C 上，动点B在直线y =上，且OA OB ⊥,证明：点O 到直线AB 的距离为定值。
【精品】高中数学奥林匹克竞赛训练题(219)(无答案)
江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（219）（无答案）第一试一、填空题1.等比数列3927log 20172log 20174log 2017a a a -++-+、、的公比为 .2.二次曲线222321x xy y ++=的离心率为 。
3.在复数范围内，方程41z z +=与方程1z =的公共解的个数为 。
4.将边长为10、12、14的三角形沿三条中位线折起来围成四面体，则四面体的外接球直径为 。
5.设正整数列{}n a满足11a =，1121(1,2,)2n n n n a n S S +++==++…，其中，n S 为n a 的前n 项和，则数列的通项公式为 。
6.在ABC ∆中，A B C ∠≤∠≤∠，若sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++=++sin sin 2B B +的值为 。
7.掷四个色子，四个点数的乘积被6整除的概率为 。
8.正方体任两个顶点确定一条直线，这些直线中垂直异面的直线共有 对。
二、解答题9.设奇数(1)n n >，方程1n z =的n 个根为1，121,,,n x x x -…。
求表达式1111+n i i x -=∑的值。
10.已知数列{}n a 满足126,20a a ==，11(8)12n n n n a a a a -+-=-①记{}[]x x x =-，[]x 表示不超过实数x 的最大整数，求lim n →+∞的值。
11.如图1，椭圆22143x y +=的左、右焦点为12F F 、，点A 、B 在上半椭圆，且12//F A F B ,设BF 1与AF 2交于点P 。
求点P 纵坐标的最大值。
加试一、求方程1917151741740x x x --+=的所有正实数解。
二、设正整数1n >，已知76n n -为素数的幂，证明：n 为素数。
三、如图2，AD 为ABC ∆的角平分线，直线BC 不含点A 的一侧有两点P 、Q ，满足////BP CQ AD ，BP CQ AB AC =，作ABHC ,且H 为PQR ∆的垂心，证明：AR AD ⊥。
高中数学奥林匹克竞赛训练题218(共5页)
县中学2021-2021学年高中数学奥林匹克竞赛(jìngsài)训练题〔218〕〔无答案〕第一试一、填空题1.设为正实数，且，假设，且，那么 .2.设，且正实数满足那么的最大可能值为—A1B1C1D1中，M、N分别为棱BB1、B1C1的中点，假设P为平面DMN内一个动点，当点P到平面CBC1B1的间隔等于PD的长时，点P轨迹的离心率为。
的焦点之间的间隔为。
满足，且那么，满足，那么。
随机排成，那么的概率为 .，计算。
二、解答(jiědá)题的外心，的面积值依次成等差数列，求的最小值，并求出此时三个内角的值。
，且满足，求的最大值。
11.设A为正常(zhèngcháng)数，直线与双曲线所围成的有限局部的面积为A，证明：〔1〕直线l被双曲线C所截线段的中点的轨迹为双曲线；〔2〕直线l总是〔1〕中轨迹曲线的切线。
加试的外接圆为的平分线与BC交于点D，M为BC的中点，假一、如图1，设ABC设的外接圆与AC、AB分别交于点P、Q，N为PQ的中点，证明：。
二、设，，证明(zhèngmíng)：对所有正整数恒成立的充分必要条件为三、求满足以下条件的正整数的最大值：集合中任意五个500元子集，均存在两个集至少有r个一样的元素。
四、设，其中(qízhōng)，为正奇数，定义数列满足。
假设正整数，使得为素数，证明：内容总结（1）县中学2021-2021学年高中数学奥林匹克竞赛训练题〔218〕〔无答案〕第一试一、填空题1.设为正实数，且，假设，且，那么 .2.设，且正实数满足那么的最大可能值为—A1B1C1D1中，M、N分别为棱BB1、B1C1的中点，假设P为平面DMN 内一个动点，当点P到平面CBC1B1的间隔等于PD的长时，点P轨迹的离心率为。
安徽省2017-2018学年高二上学期实验班竞赛数学试题 Word版含答案
安徽省2017-2018学年高二上学期实验班竞赛数学试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若集合中三个元素为边可构成一个三角形，则该三角形一定不可能是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角三角形2. 抛物线24x y =的准线方程是( )A. 1x =-B.116x =-C.116x = D. 1x = 3. 已知向量(2,),(1,2)a m b ==- ，若22(2)a a b b m ⋅-=+ ，则实数m 等于（ ）A.21B.25C.45 D.454. 函数2ln ||xy x =的图象大致为（ ）5.若13tan ,,tan 242ππααα⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，则sin 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ． C ． 6. 下列选项错误的是（ ）A ．命题：“若2x ≠，则2560x x -+≠”的逆否命题是“若2560x x -+=，则2x =”B ．“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件C. 若命题“2:,10p x R x x ∀∈++≠”，则“2000:,10p x R x x ⌝∃∈++=” D ．若“p q ∨”为真命题，则,p q 均为真命题7. 若实数y x ,满足条件1022010x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则y x z 345+-=的最大值为（ ）A.815-B. 45-C.21-D.1-8. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．73 B ．83π－ C ．83D ．73π－9. 在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，P 为底面正方形ABCD 内一个动点，Q 为棱1AA 上的一个动点，若2PQ =，则PQ 的中点M 的轨迹所形成图形的面积是 A．4B ． 2πC ． 3D ． 4π10.如图，1F ，2F 是双曲线222124x y a -=（0a >）的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线交于点A 、B ，若2ABF ∆为等边三角形，则12BF F ∆的面积为（ ） A ．8 B．C．．1611. 阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为58，则判断框中应填入的条件为（ ）A ．3k ≤B ．4k ≤C ．5k ≤D ．6k ≤12. 若分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数．我们可以把1分拆为若干个不同的单位分数之和．如：1111236=++，1111124612=+++，1111112561220=++++，……， 依此类推可得：1111111111111126123042567290110132156m n =++++++++++++， 其中n m ≤，*,m n ∈N ．设n y m x ≤≤≤≤1,1，则12+++x y x 的最小值为（ ）A ．223 B ．25 C ．78 D ．334 第II 卷二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
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江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题
（175）（无答案）
第一试
一、填空题（每小题8分，共64分）
1. 已知I 是ABC ∆的内心，2,3,4AC BC AB ===.若AI xAB yAC =+，则x y +=.
2. 已知函数2()23f x x x =-+.若当12x <<时，不等式()2f x a -≥的解集是空集，则实数a 的取值范围是.
3. 若a b c 、、成等比数列，log log log c b a a c b 、、成等差数列，则该等差数列的公差为.
4. 已知双曲线22
221(0)x y a b x b
-=>、的两个焦点分别为(1,0),(1,0)A B -，过点B 的直线l 与该双曲线的右去交于M N 、两点，且AMN ∆是以N 为直角顶点的等腰直角三角形.则该双曲线的实轴长为.
5. 已知函数()(sin cos )x f x e x x =+，其中，20112013,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
.过点1,02M π-⎛⎫ ⎪⎝⎭作函数()f x 图像的切线，令各切点点的横坐标构成数列{}n x .则数列{}n x 的所有项之和S 的值为.
6. 如图1，已知直线l ⊥平面α，垂足为O ，在R t A B C ∆
中，1,2,BC AC AB ==该直角三角形的空间做符
合以下条件的自由运动：①A l ∈，②C α∈.则B O 、两
点间的最大距离为.
7. 集合{}2,4,,2014A =，B 是集合A 的任意非空子
集，i j a a 、是集合B 中任意两个元素，以i j a a 、为边长的等腰三角形有且只有一个.则集合B 中元素个数的最大值为.
8.已知实系数一元二次方程2
0ax bx c ++=有实根.则使得2222()()()a b b c c a ra -+-+-≥成立的正实数r 的最大值为.
二、解答题（共56分）
9.（16分）当0x ≥时，求函数2()2(1)f x x x a =+--的最小值()g a 的表达式.
10. （20分）已知数列{}n a 满足1241411,,0,1()n n n n a a a a a n -++====∈Z .
（1）是否存在正整数T ，使得对任意的n +∈Z ，有n T n a a +=？
（2）设122101010n n a a a S =
++++，问：S 是否为有理数？说明理由.
11. （20分）设点(2,0)A -和22:4O x y +=，AB 是O 的直径，从左到右M O N 、、依次是AB 的四等分点，P （异于A B 、）是O 上的动点，PD AB ⊥于点D ，PE ED λ=，直线PA 与BE 交于点C ，CM CN +为定值.
（1）求λ的值及点C 的轨迹曲线E 的方程；
（2）若点Q R 、是曲线E 上不同的两点，且PQ PR 、与曲线E 相切，求OQR ∆面
积的最小值.
加 试
一、（40分）如图2，已知()ABC AB AC ∆≠的内心为I ，B 相对的旁切圆圆心为O ，BC 的中点为M ，MI 与AC 交于点P .证明：OP BC ‖.
二、（40分）设x 是一个大于1的正整数，p 是素数，11
p x d x --. （1）证明：0(mod )d P ≡或1(mod )d P ≡；
（2）若d 是不同于p 的素数，则10(mod )d x p -≡恰有d 个不同的解（即模p 互不同
余）.
三、（50分）设4n ≥，M 为三维空间中n 个点组成的有限集，其中任意四点不在一个平面上.将集合M 中的点染成白色或黑色，使得任意一个与集合M 至少交于四个点的球面具有这样的性质：这些交点中恰有一半的点为白色的.证明：集合M 中所有的点均在一个球面上.
四、（50分）设α为实数，12α<<.证明：
（1）把α写成无穷乘积有唯一的表达式111i i n α+∞=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
∏，其中，i n 为正整数，满足
21i i n n +≤；
（2）α是有理数，当且仅当它的无穷乘积具有下列性质：存在m ，对所有的k m ≥，满
足21k k n n +=.。