奇异的可对称化矩阵特征值的扰动界
矩阵的特征值
矩阵的特征值简介在线性代数中，矩阵的特征值是矩阵在特征向量上的投影，是一个重要的概念。
特征值可以帮助我们了解矩阵的性质和变换。
本文将介绍矩阵的特征值的定义、性质以及计算方法。
定义设 A 是一个 n × n 的矩阵，λ 是一个实数，如果存在一个非零向量 x 使得Ax = λx 成立，则称λ 是矩阵 A 的特征值，x 是对应的特征向量。
特征向量 x 满足Ax = λx，其中x ≠ 0，λ 可能是实数也可能是复数。
特征向量 x 的模长不影响特征向量的定义，通常我们会将特征向量标准化为单位向量。
性质1.矩阵 A 和其转置矩阵 A^T 具有相同的特征值。
2.若A 是一个对称矩阵，那么它的特征向量是正交的。
3.矩阵 A 的特征值的和等于它的迹，即λ1 + λ2 + … +λn = tr(A)。
4.矩阵 A 的特征值的积等于它的行列式，即λ1 * λ2* … * λn = |A|。
5.如果λ 是矩阵 A 的特征值，那么λ^k 是矩阵 A^k 的特征值，其中 k 是正整数。
6.矩阵 A 是奇异的（行列式为零）当且仅当它的零空间不为空，即存在非零向量使得 Ax = 0。
计算方法要计算矩阵的特征值，通常使用特征值问题的特征多项式。
设 A 是一个 n × n 的矩阵，特征多项式定义为f(λ) = |A - λI|，其中 I 是 n × n 的单位矩阵，|A - λI| 是矩阵 A - λI 的行列式。
1.求特征多项式的根：将特征多项式f(λ) = 0 的解称为特征值。
通过求解特征多项式的根，可以得到矩阵的特征值。
2.求解特征向量：对于每一个特征值λ，解齐次线性方程组 (A - λI)x = 0，得到相应的特征向量 x。
3.标准化特征向量：对于每一个特征值λ，将对应的特征向量 x 进行标准化处理，得到单位特征向量。
应用矩阵的特征值在很多领域有广泛的应用。
1.特征值可以帮助我们了解矩阵的变换性质。
2020年《长春师范大学学报》(自然科学)总目次
2020年」春师范大学学甘（自然科学）总丨丨次数学研究带有积分型边值条件的三阶边值问题两个正解的存在性..........................................潘凤，武晨（2・1）一类分数阶微分方程边值问题正解的存在性.....................................................许佰雁，田纪亚（2・5）带有离散Sobolev梯度流的图上热方程解的性质及数值模拟........................................马博超，辛巧（4-1）具有非线性趋化敏感函数的趋化模型解的局部存在性与唯一性...................................胡静，许璐（4・8）基于面板数据均值变点的气象数据统计分析许欢，朱华亮，温华洋（4・12）可对称化矩阵特征值的扰动上界孔祥强（6-1）脉冲时滞的SIRS模型的稳定性分析潘嵘(6・5)基于回归分析与灰色预测的中国人口影响因素相关性分析邹大伟，季金星，张莹，聂坤（6•10）带有小的对称a稳定噪声的Omstein-Uhlenbeck过程的参数估计及数值仿真贾朝勇（8-1）基于R语言的学生成绩分析谭景宝，郭琦,李曼丽（86)具有饱和接触率的SI传染病模型的稳定性分析马艳丽，褚正清，聂东明（101)具有交互作用中介效应的极大似然估计李国基，周跃进（106)下记录值样本下广义指数分布族的参数估计许莹(121)解析函数（A，4，B）和（A，4，B）的一些性质基于微分中值定理的基本不等式证明方法袁媛（12・6）梁静（12・10）物理学研究焊接参数对不锈钢矩形端面电极电阻点焊熔核尺寸的影响•…环形腔中的双稳性和三重光力诱导透明窗口的可调性....... 落球法测定液体粘滞系数实验的测时装置改进.............省级光传输网网管系统集中建设研究......................离心泵特性曲线及工作点的测定............................基于M综合的风力发电机组控制研究........................碳纳米管膜的制备和应用进展............................... 基于复系数PI控制器的电动汽车V2G充放电技术研究...... 土木工程结构设计中的抗震问题............................钢-混凝土组合框架结构的抗震性探讨...................... 简谐振动传统教学路径的探讨与改进......................电子信息工程类专业“天线设计”课程教学架构与实验平台建设激光投影和四步移相法在微型元件测量中的应用与实现……基于CAE技术的笔记本外壳体注塑浇口优化设计.................................张小奇，吴迪，王玥（2・10）.....................................王婧（2-14）.....................................郝杰（4-18）.....................................于昊（4-21）赵帅，苗昱辰，韦雪婷，李静，张雅，徐欢（4・24）..............余平，余跃，吴从兵，程军辉（6・18）..............................吴雅仙，章其林（6-25）..............................杨章林，贾会星（8•13）..............................尚天龙，钟春玲（8•19）.....................................谭启（10•13）.............................杨振东，顾国锋（10•17）.............王平，邵羽，王洋，李强（10・21）.............................陈镔，杨儒骁（12-16）.............................魏清兰，林明山（12-24）-1-高渗透率可再生能源微电网稳定性控制研究王德真（12-30）计算机科学与技术研究基于心态指标记分函数的四参数区间直觉模糊多准则决策方法林增坦，黄紫成，林增钰（219)基于信息熵加权的Word2vec中文文本分类研究吴萍萍（228)教育数据挖掘研究与探索张志刚（234)以太网交换机环路防范技术研究孙中全（237)基于公有链的分布式链上能源交易模式探究魏彬，刘晓锋，苟航（241)基于单片机系统的人体生理参数远程监控系统模拟设计张毅（428)国家公园生态旅游植被覆盖度提取模型构建章建秋（432)基于Spring Boot的代码自动生成系统设计与实现胡春玲，王恒，李娟，闵德海（437)基于LeaderRank的社区及核心节点发现算法研究吴清寿，罗远华，芦佳雄（442)基于Python的函数式并行编程语言特征提取研究陶婧（448)云环境下虚拟机管理研究综述熊章瑞，陈毅红，陆旭（453)基于主成分和BP神经网络的行驶工况辨别研究王楠楠，徐小东，李建松（635)基于卷积神经网络的目标检测算法研究王婷婷，潘祥（642)基于多列深度卷积神经网络的车型识别算法研究程艳艳（649)基于Lucene的医疗搜索引擎排序算法的研究许雪晶，陈捷,林辰玮（654)一种改进的烟花算法王苏霞，陈得宝，邹锋（659)基于局部联合边缘和方向模式的多光谱掌纹融合识别李梦雯，施汉琴（669)基于改进残差亚像素卷积神经网络的超分辨率图像重建方法研究李岚，张云，杜佳，马少斌（823)基于深度强化学习的云计算调度优化研究韩晓镭（830)边云协同计算中安全感知的工作流任务调度策略石文玉，张蕊（835) Hadoop云平台下基于P-WAP的大数据聚类挖掘算法顾东虎（1029)有效距离搜索的智能电网WSN多跳自适应路由算法王丽，陈帅，沈晓波（1036)路径选择效用度模型中有效因子的分析季峰，沈陈强，栾玉佳，马明，张爱芳（1044)基于人机具身交互的听力学习神经回路设计刘长勇，孟世敏（1049)一种快速的单比特压缩感知SAR成像算法王峥，余平，刘发林（1235)一种改进偏微分方程的图像去噪模型朱洪军，伍祥，朱伟杰，吴锦华，刘晴晴,余星星（1241)深度学习的基本模型及其应用研究徐洪学，汪安祺，杜英魁,孙万有（1247)基于日志通讯行为轮廓的隐式依赖变化挖掘方法孙书亚，李朋（1255)基于复杂网络理论的信息传输可靠性研究刘芳（1261)计算机技术应用研究基于关联度的智能荐菜系统设计与实现蒲东兵，孙英娟，贾龙洋（2-48）基于数据挖掘与决策分析模型的高校实验室个性化服务研究马杰（2・53）基于支持向量机的燃气表示数识别宋延卫，杨玉东，于悦，王志军（2・59）-2-基于AT89C51单片机的精密数字电压表设计朱志珍，王哲（264)基于二维码加密的乘客信息保密系统的设计与实现姚丽莎，张绍雷，房波，葛永军，王南争（268)基于多细节特征薄壁产品的点云数据处理应用研究黄加福，林明山（460)基于机器视觉的马口铁金属罐盖缺陷检测研究黄艳（467)优化LS-SVM在油浸式变压器故障诊断中的应用杨春玲，王晓波，郑安豫，张艳（471)基于数据挖掘技术的图书馆个性化系统设计张登科（475) Web应用防火墙在高校信息安全中的应用王乐，王叶静，葛永兴，王唯（480)基于物联网技术的远程中医诊疗系统的设计与实现俞磊,殷亚婷，李亚，李爱玉，黄方亮（483)基于实战化的网络空间安全攻防特点与对抗策略研究宋严（681)基于障碍检测技术的卷帘门设计与实现沈周锋（686)基于模拟开关器件的视频切换器设计冯志斌，江华丽，苏宝玺（692)基于ERP的智能化会计一体化内部控制系统设计李艳(698)基于图像处理的矩阵理论可视化教学方法仇海全，潘花(6-104)基于差异图和块分类的雷达图像变化检测王平(842)一种多机器人编队行进控制算法杨凤滨，于大庆,任丽莉，康冰(850)基于Logistic模型的度假酒店客流量预测系统设计杨晶晶（854)车载无线自组织网络性能优化策略陈常晖（1054)基于STM32、ZigBee技术的果蔬大棚自动化监测系统设计与实现林军，杨成菊（1061)基于ROI自适应定位的复杂场景车道线检测刘丹萍（1066)智能点滴监控系统的设计与实现林梅燕，郭红英（1266)基于拼接方法的劳务派遣人员合理调度方法研究罗小琴（1272)基于大数据的多媒体信息安全检测方法丛荣华（1277)图形图像处理在视觉传达设计中的应用研究谢陈梅（1282)基于WebGIS与云计算的图书馆座位管理系统张继伟，刘家福，王丽丽，王双（1285)化学研究小儿退热颗粒组分挥发油提取及0-环糊精包合工艺研究…福州、泉州两地沿海贝类重金属污染状况及其健康风险……吲哚布芬酰胺化合物的设计、合成与抗血小板聚集研究……伯胺直接转化为相应伯醇的反应........................聚氯乙烯-吡啶离子液体对牛血清白蛋白的萃取率研究••…理论与经验结合角度下“药事管理与法规”教学研究.......土茯苓抑制CYP3A4酶活性的研究.......................直接进样-超高效液相色谱-串联质谱法测定水中4种农药3-酯基/酰胺基-5-羟基吡啶衍生物的合成............不同产地、部位的虎眼万年青中芦丁含量测定与分析...........................................马春娟，刘卫（2・78）..............................................黄玉英（2-81）..............................汤泉,付映林，张晖（4-89）张敏，刘丹丹，丁鹏，边江鱼，王秀丽，唐艳茹，赵仑（4・94）............................................谢江霞（6-109）............................张语迟，赵晶华，李赛男（6・114）......王梦雪，戴寒鹏，李金明，苏娅,韩欣然，李丽（8・60）.....................................罗鑫申，戚雁俊（8•64）............................................范威（10•71）.....于艳华，石美玲，陈海怡，岳显文，鲍慧玮，徐阳（10・75）-3-紫娟茶花青素提取物抑制酪氨酸酶活性研究..................基于随机森林的紫苏抗氧化活性成分分析.....................反相高效液相色谱法测定龙葵果中澳洲茄碱和澳洲茄边碱的含量2,4,5,6-四氨基嘧啶硫酸盐的合成工艺研究...................噁唑菌酮的合成工艺研究.....................................生命科学研究陈荣达，史玉蕊，刘桂明，陶彦舟，范阳扬，李丽（12・90）......................王媛媛，胡卫，胡殿文（12・94）.王强，徐建，王宏伟（12•100）.............张恩立，王杰，陈飞剑，王章翠（12•103）............................宗智慧，沈婧祎（12-106）基于16SrRNA基因高通量测序聚类算法综述非甾体抗炎药塞来昔布在癌痛治疗中的应用李莉(2・87)林依凡，侯俊杰，王磊，杨影，芦小单，谭岩，方艳秋（2・93）啤酒摄入对青年大学生心率变异性的影响陈玉娥，朱文婕，华田田，赵凡凡（6-117）肥皂草研究进展及引种驯化栽培试验刘君，崔凯峰,邰志娟，于长宝，马宏宇（6・122）人参对蟾蜍离体心脏功能活动影响的研究韩国军，王雪，付立波,杨燕平，谢莹，吕航（6・129）雾化吸入佰润多肽抗菌液辅助治疗脑卒中吸入性肺炎的临床观察农业废弃物好氧堆肥理化指标特性研究.......................合肥市几种常绿灌木春季叶片滞尘量的测定................... 丹皮酚酯类化合物的设计与抗血小板聚集活性研究............柚皮总黄酮的提取优化及其对亚硝酸盐清除作用的影响.......中医导引运动处方对久坐大学生功能性运动能力的干预研究...生物学科核心素养视角下“免疫学”活动型课堂的构建......... PDCA循环法在生物技术专业本科毕业论文指导中的应用..................李玲,王平平，韩成勋，张维杰（6・132）..............................盛蒂，朱兰保（8-68）..............杨帆，唐文莉，王根红，姚雪晗（8・74）..............陈晓嫚，张晖,付映林，王杰（8・78）谢建华，陈思杨，张桂云，郑俊峰,林理专，庞杰（8・82）..............张忠兴，余千春,盛治进，蔡俊（8・89）.............卜庆吩，朱妮娜，倪秀珍,付立波（10・79）.....................崔婧，时东方，郑梅竹（10-83）植物蜡质的研究进展吕艳秋，翟丽华，刘佳越，付月，韩德复（12•110）不同玉米自交系对东北地区玉米线虫矮化病的抗性鉴定大豆异黄酮对大鼠脑缺血再灌注损伤的保护作用……两种不同干燥方式对软枣猕猴桃成分的影响.......... 干旱胁迫对牛蒡种子萌发和幼苗生长的影响.......... 盐胁迫下黑玉米发芽期间各生理指标和GABA含量变化响应面优化冻干方便面的配方.......................城市与环境科学研究沈彦岐，王梓钰，闻竞，李世界,韩四平，张艳，胡勇军（12•113）陈明惠，周密，王文丽，李明鸽，陈颖，李卓潼，郑梅竹（12-119）......................孙志远，董晓雅，燕娟，时东方（12•124）......................韩国军，张硕，姜志远，韦贤秀（12・130）......................黄爱兰，陈晓嫚，曹凤红，胡静（12•134）.....................................邹少强，谢建华（12-140）基于蚁群模型的吉林西部土地利用安全格局情景模拟研究•基于SBE法的合肥市翡翠湖公园植物群落美景度分析……美国现代环保运动公众参与机制及启示................... 安徽省城市垃圾产生量影响因素的计量分析..............城市印迹平台中历史地理信息建库方法研究..............徐州市区PM2,浓度与气象因素的相关性研究.............精准扶贫视角下的安徽省乡村旅游开发模式与规划布局研究.......................杨沁瑜，张尧，刘家福（2・97）..............姚雪晗，丁童，杨帆,唐文莉（2-104）.....................................高智艳（2-109）...............................朱家明，杨阳（4-99）.....................................田江博（4-105）宋海啸，于守超，翟付顺，逢润卿，董月，张雪梅（4-112）..............................洪占东，殷滋言（4-117）-4-旅游扶贫下桂北地区游客对民族旅游工艺品的认知现状调查研究王建华，曹权玺（4123)基于SuperMap的城市地下三维管网动态管理和研究高益忠，何瑞棉,欧阳松南（6135)地域文化元素在城市公园设计中的应用——以巢湖市有巢氏文化主题公园为例赵弼皇，韩平（6140)可持续生计下乡村旅游的多功能协调发展研究李朝军，李冬杰（6148)基于双因素理论视角的乡村旅游竞争力提升研究崔郁，牛自成，闵勇（6151)广西非物质文化遗产空间分布及旅游开发模式王聪，王荣（6156)地理信息服务处理的方法研究田江博（8•92）基于Voronoi图构建中心地等级体系的方法何瑞棉，倪建华，高益忠，欧阳松南（8・98）过滤-臭氧氧化-混凝沉淀-膜过滤处理高含油废水的试验研究皖南山区社屋坑泥石流特征及防治对策研究陈艺敏，陈建发（8-104）朱洪,张承云,费玲玲（10-86）无锡市农业与旅游产业融合态势测度与评价............................................................周晓倩（10・91）夏热冬冷地区高校教学楼夏季室内热环境研究..........................................................付晓惠（10・97）印度暴雨洪灾风险评估.................................不同专业学生自然地理野外实习线路与内容的对比研究•…城市道路对蝙蝠活动的影响..............................合肥市休闲农业的空间分异特征及影响因素.............基于SBE法的安庆新河景观带植物景观评价..............基于亲子互动需求的公园景观设计......................土壤碳改良剂对沙化土壤紫花苜蓿产量及品质的影响……生态文明研究少数民族地区推进生态文明建设研究.................... 2010—2015年绥德县退耕还林还草生态效应调查与评估•…“中国制造2025”下的木质家居产业循环经济发展模式探究…福建永泰白云乡生态旅游发展规划探讨..................绿色建筑理念在建筑设计中的应用分析................... 沈阳市生态文明建设的现状及路径研究................... 城市污泥重金属污染生态风险及健康风险评价...........基于“三生”协同的濛洼蓄洪区乡村振兴策略研究.........基于生态系统服务价值的喀斯特贫困地区乡村土地利用优化......................杨福川，刘家福,王鑫全（10•103）......王晓东，卢冠军，许振文，李晓强，王桂君（10•110）许振文，高志宽，王瑞环，万卓成，靳淑惠，卢冠军（12-148）......................杨..倩，吴雷，台芳（12-153）范志强，吴乐荣，丁元春，凌张军（12•163）王相，韩荣勋，王淮梁（12•168）......王桂君，纪星坤，崔亚男，张文，卢文晓（12・171）..............李飞跃，李军刚（2-113）罗仪宁，吴笛，宗时屹，王晓岩（2・117）......................毛轶超（4-129）..............方伟国，黄强风（4-135）......................董玥（6•165）......张丹，漆昌彬，苗耀辉（6・168）杜庆才，石先阳，丁艳，朱兰保（6・171）................李冉，韦一（8-109）.......................................................韩会庆，马庚，颜政纲，陈思盈，徐晶，龙超群，罗瑞尧（8•117）污泥活性炭去除废水COD工艺研究............................................朱兰保，盛蒂，马莉，黄洁（10・113）基于非期望产出SBM-Malmquist模型的安徽省工业用水效率研究......................傅妍芳，贾莉，孙建平（10・117）体育科学研究“课程思政”理念下高校武术教育定位思考.......................................................董宇，张镜宇（2・121）普通高校篮球课程对培养大学生团队合作能力的探索与研究陈宇(2•123)-5-搏击运动节目化运营发展的研究..............................................................韩矞，孙岩（4・139）“体育+精准扶贫”联动与共进模式建构研究...................................................黄兆媛，蒋艳杰（4-143）弹力带处方式训练对老年肌少症患者下肢肌力与功能性运动能力的影响........................刘燕，蔡俊（10•123）普通高校瑜伽课程线上线下混合教学模式的构建.....................................................陈尧（10•127）教育教学研究新工科背景下地方性高校创新创业教育体系的改革与完善张凤涛（2126)面向工程实践能力培养的实验教学改革探索郭立强，刘恋（2129)项目驱动大学生科研能力培养的实践探索谢东，臧大进，焦俊生，丁方莉（2136)指导生物科学专业大学生参加学科竞赛的探索与思考莫金钢，倪秀珍（2140)实验教学示范中心在学科竞赛管理中的作用与实践官丽莉，金周雨，李雨婷，付璐，李海燕，崔喜艳（2143)新工科人才创新创业能力培养模式探索与实践丁颂，国宇（4148)谈大学校园文化的共性与特质高春倩（4151)中美高校新教师培训模式探讨徐丽娜，牛雷,谢新颖，赵旭（4153)创新创业教育的路径研究与实践探索邱天（4156)校企合作应用型人才培养的优势、困境与出路刘仁云，赵志欣，李东平（6179)新媒体时代吉林省地方本科院校招生宣传策略李洪源（6181)创新型研究生培养中师生关系探讨孙晓悦，毕淑云（6184)中职学校专业基础课程专业化人才培养模式探索国宇，丁颂，邵帅（6186)场域视角下吉林省旅游教育研究李秋雨,朱麟奇（6189)文化在对外汉语教学中的应用研究陈碧泓（6193)转型发展背景下地方高师院校机械类专业毕业设计改革实践张小奇，杨树臣，丁颂（8124)南怀瑾做人教育理念对师范教育的启示张倓（8130)基于实践三阶教学模式的跨专业人才培养路径研究苏丹丹（8132)以学生为主体的教学模式在网络教学中的实践李辉（8135)农业院校大学生创新创业能力培养模式构建的研究与实践崔喜艳，李海燕（8137)探究式教学在翻转课堂中的实施刘冬妮（8140)高中信息技术教材对比分析金雪婷，肖巍（8143)线上教学模式分析姜懿烊，赵东（8149)与专业教育相融合的创新创业实践教学体系构建探究李悦，陈向阳，钱晓芸，童川，赵晨晨（10130)新媒体背景下高师数学研究生教学模式创新研究苗凤华，黄大勇，战珊珊（10135)民办高校实验课程教学方法探索田迎春，彭永丽，赵贺芳（10137)高校工科实验教师专业发展的影响因素与对策分析刘斯津（10139)师范院校俄语专业人才培养方案改革梁红刚（10142)艺术类高校“双创”教育政策保障体系建设研究恽鹏伟，刘向军，祝婷婷（12175)幼儿园教师合作存在的问题及对策夏晶伊，刘霖芳（12178) 6孔子仁学思想对研究生思想政治教育的启示王娜(12-181)分析化学课程“金课”建设的探索与实践毕淑云（12-183）细胞生物学课程教学改革与实践齐文靖，卜庆吩，莫金钢,倪秀珍（12-186）“健康中国”背景下大学生校园网球联赛对体育锻炼的影响研究冯作龙，张亚飞，李佳郁，马子龙（12-189）学科教育研究以学科竞赛为导向的应用型高校机械工程专业实践教学体系研究蒋东霖，邵丽颖，丁颂（2146)嵌入式系统原理课外实验教学方法研究卢延辉，李向瑜,周淑辉（2151)案例教学在C语言程序设计课程中的应用邢旭峰，黄妙芬，彭小红，吴卫祖（2155)生物化学课程全英文教学的实践探索田野，邓旭东，高永光,骞爱荣（2160)创新创业教育在土壤和生物地理学课程教学中的应用董炜华，李晓强，王桂君（2163)医学院校化工原理实验教学改革研究张恩立，宗智慧，王媛媛，李慧娟，孙远东（2166)以育人为核心的细胞生物学课程思政体系构建卜庆吩，齐文靖，莫金钢（4160)分子生物学实验课程自主实验设计教学改革探讨范亚军，郑梅竹，宋相伟，章有知（4163)移动学习在生物化学课程混合式教学中的应用研究汉丽萍，倪秀珍，高立宏，李晓易，梁雪（4165)中学地理线上教学思考陈聪,许振文（4168)以学生为主体的教学模式在地方本科高校旅游管理专业的渐进式推行研究李辉（4171)吉林省旅游专业教育教学现状及提升策略研究李秋雨,朱麟奇（4174)专业认证背景下空气调节课程体系教学改革新思路许登科，张文清（4178)基于BOPPPS模式的财政学课程在线教学课堂设计与实践罗斯丹，许梦博，高鹤文（8152)基于OBE教育理念的高等数学模块化教学改革策略研究刘煦，李秀玲（8159)基于“专赛创”融合的工程力学课程教学改革研究张恒,唐根丽（8162)基于超星泛雅平台的大学物理混合教学模式研究焦健，韩飞，齐海燕（8166)依托长白山生态环境和特色资源的校本课程开发时东方，樊丽娜（8170)基于语料库的介词on方位空间的认知研究陈洪宇，管彬尧,牛萌颖（8172)健美操线上线下混合式教学模式研究孙毅，肖宁宁，董大伟，鲁承琨（8177)高等师范院校舞蹈教育专业实践环节教学研究关冠（8180)行动导向教学法在中职机械基础课程教学中的应用魏文净，蒋东霖（10149)新工科建设背景下机械类课程实验教学探索朱晓翠，李春光，王继利，李博骁，胡炜(10153)师范院校化学专业开展“全程导师”培养模式研究白鹤龙，陈佳明，付伟伟，刘春宇，宋哲(10156)基于任务驱动的学生综合编程能力提升教学实践黄妙芬，邢旭峰，彭小红，吴卫祖，王晗（10159)智慧课堂在高校规划设计类课程中的应用张婷婷,吴姗姗，殷滋言（10163)语法隐喻框架下学科语篇中名词化词组的使用研究苗宁，于晖（10166)艺术研究核心素养下艺术类高校在线音乐教育创新研究涂蓓，王衍婷（2-169）高师声乐实践课在艺术人才培养及教学模式创新中的作用宫妮(2-171)-7-传统民间布艺在高校教学中的应用.....................................................................黄萍（2・173）寿州窑陶瓷产品创新设计研究.........................................................................张明坤（4-182）徽州传统村落公共空间优化策略.......................................................................秦晓亚（4-186）基于模块化的城市家具设计探索.......................................................陈洋平，陈雷音，王淮梁（4・189）现代服装设计与少数民族刺绣的融合...................................................................黄磊晶（4-192）鄂西土家族民歌《龙船调》衬词变异研究................................................................许虹（4-196）传统美术色彩中的五色观与现代招贴设计的融合与应用.................................................周心懿（6・195）由三部舞剧探索斯特拉文斯基的早期俄国民族主义风格.................................................程妍（6-198）普朗克《十五首钢琴即兴曲》研究.....................................................................范晶晶（10•173）古琴曲《梅花三弄》的艺术特征.......................................................................林颖（10•177）壁画艺术在现代城市景观空间中的应用及表现.......................................................秦晓亚（10•181）理论研究虚拟现实心理治疗的应用进展段姗姗，王静，范崇菲（2•176）我国高阶能力培养研究热点与内容聚焦张晓君，丁雪梅，程宣霖，曲大为，唐明祥，包国章（2182)中学生自主学习执行阶段行动控制的作用机制冯墨女，汪仔健（2187)关于我国中医药期刊发展的几点思考张海洋，赵阳，欧阳亚萍（8183)数字化背景下沉浸式虚拟现实交互艺术设计的原则及评价..............................................彭帆（8-186）互联网时代企业网络与现实营销环境中消费者行为比较研究............................................周文山（8-190）啄食理论视角下中小企业融资顺序及影响因素实证研究----以福建茶企为例.............................宗文娟（8•195）“破四唯”背景下高校学报的改革创新方法探究.......................................................丁筠（10・184）后勤管理信息系统建设思考...................................................................胡杰华，杨晓薇（10•187）基于SWOT与AHP分析的吉林航空物流发展战略研究.................................................冯森（10•189）基于平台经济的农产品流通业创新机制与路径.......................................................陈红霞（10•193）乡村产业振兴背景下农村电商物流服务水平评价研究.................................................林禄苑（10•197）演唱实践中声乐表演曲目的选择与运用..............................................................关贺元（12・192）浅析我国快递业面临的问题及应对策略周二鹏，魏进,滕宝芝（12194)“互联网+”背景下学术期刊数字化转型探讨周巧姝，胡运梅（12-197）大学生创新创业训练研究专栏白腹管鼻蝠食性组成多样性...................................朱红靓，李跃鹏，史迪，陈英明，许振文，卢冠军（2•190）P204体系从含钒硫酸浸出液中提取五氧化二钒的清洁工艺研究.................吕浩，成宝海，刘芳，包贤慧（2・194）火焰原子吸收光谱法测定山竹、油桃、菠萝蜜中七种微量元素含量..............................................................杨昊华，蔡奇林，王馨雪，李梦婷，王继红,毕淑云（2-197）8。
奇异矩阵（转载）
奇异矩阵（转载）⼀、奇异值与特征值基础知识：特征值分解和奇异值分解在机器学习领域都是属于满地可见的⽅法。
两者有着很紧密的关系，我在接下来会谈到，特征值分解和奇异值分解的⽬的都是⼀样，就是提取出⼀个矩阵最重要的特征。
先谈谈特征值分解吧：1）特征值：如果说⼀个向量v是⽅阵A的特征向量，将⼀定可以表⽰成下⾯的形式：这时候λ就被称为特征向量v对应的特征值，⼀个矩阵的⼀组特征向量是⼀组正交向量。
特征值分解是将⼀个矩阵分解成下⾯的形式：其中Q是这个矩阵A的特征向量组成的矩阵，Σ是⼀个对⾓阵，每⼀个对⾓线上的元素就是⼀个特征值。
我这⾥引⽤了⼀些参考⽂献中的内容来说明⼀下。
⾸先，要明确的是，⼀个矩阵其实就是⼀个线性变换，因为⼀个矩阵乘以⼀个向量后得到的向量，其实就相当于将这个向量进⾏了线性变换。
⽐如说下⾯的⼀个矩阵：它其实对应的线性变换是下⾯的形式：因为这个矩阵M乘以⼀个向量(x,y)的结果是：上⾯的矩阵是对称的，所以这个变换是⼀个对x，y轴的⽅向⼀个拉伸变换（每⼀个对⾓线上的元素将会对⼀个维度进⾏拉伸变换，当值>1时，是拉长，当值<1时时缩短），当矩阵不是对称的时候，假如说矩阵是下⾯的样⼦：它所描述的变换是下⾯的样⼦：这其实是在平⾯上对⼀个轴进⾏的拉伸变换（如蓝⾊的箭头所⽰），在图中，蓝⾊的箭头是⼀个最主要的变化⽅向（变化⽅向可能有不⽌⼀个），如果我们想要描述好⼀个变换，那我们就描述好这个变换主要的变化⽅向就好了。
反过头来看看之前特征值分解的式⼦，分解得到的Σ矩阵是⼀个对⾓阵，⾥⾯的特征值是由⼤到⼩排列的，这些特征值所对应的特征向量就是描述这个矩阵变化⽅向（从主要的变化到次要的变化排列）当矩阵是⾼维的情况下，那么这个矩阵就是⾼维空间下的⼀个线性变换，这个线性变化可能没法通过图⽚来表⽰，但是可以想象，这个变换也同样有很多的变换⽅向，我们通过特征值分解得到的前N个特征向量，那么就对应了这个矩阵最主要的N个变化⽅向。
矩阵特征分解计算矩阵的特征值分解和奇异值分解
矩阵特征分解计算矩阵的特征值分解和奇异值分解矩阵特征分解是一种常见的矩阵分解方法，用于计算矩阵的特征值和特征向量。
而奇异值分解也是一种重要的矩阵分解技术，可以将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积。
本文将详细介绍矩阵特征分解和奇异值分解的原理以及其在计算机科学和工程领域中的应用。
一、矩阵特征分解矩阵特征分解是一种将一个方阵分解为特征向量和特征值的方法。
对于一个n × n的方阵A，如果存在一个非零向量x和标量λ，使得Ax = λx，那么x称为A的特征向量，λ称为A的特征值。
特征向量和特征值是成对出现的，每个特征值对应一个特征向量。
特征分解的过程可以表述为：A = QΛQ^(-1)，其中Q是一个由特征向量构成的矩阵，Λ是一个对角阵，对角线上的元素是A的特征值。
矩阵特征分解在很多领域都有广泛的应用，比如在物理学中用于描述振动模式，化学中用于描述分子的电子云运动，图像处理中用于特征提取和图像压缩等。
二、奇异值分解奇异值分解是一种将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积的方法。
对于一个m × n的矩阵A，它的奇异值分解可以表述为：A = UΣV^T，其中U是m × m的正交矩阵，Σ是一个对角阵，对角线上的元素是矩阵A的奇异值，V^T是n × n的正交矩阵的转置。
奇异值分解广泛应用于数据降维、图像压缩和推荐系统等领域。
在数据降维中，通过保留较大的奇异值可以有效地提取出重要的特征，减少数据的维度；在图像压缩中，利用奇异值分解可以将图像矩阵分解为若干个部分，其中一部分的奇异值较大，可以用于恢复图像的大部分信息。
三、特征分解与奇异值分解的联系和区别虽然特征分解和奇异值分解都为矩阵分解的方法，但两者在应用场景和结果解释上有所不同。
特征分解更适用于方阵，可以得到矩阵的特征向量和特征值，用于描述矩阵的振动模式、电子云运动等。
而奇异值分解适用于任意矩阵，可以得到矩阵的奇异值和正交矩阵，常用于数据降维和图像压缩。
矩阵特征值的几个扰动定理
矩阵特征值的几个扰动定理（1）矩阵特征值性质扰动定理矩阵特征值性质扰动定理指出，对于任意实对称矩阵A，如果将A中的某几个元素（可以是增加也可以是减少）做给定的扰动，则新生成的矩阵B的特征值λi和特征向量xi（i=1,2,⋯,n）之间存在某种关系。
具体地，可用以下式来表示：λi(B)= λi(A)+Ddii+2Σi≤j≤mDdijxiXj其中，Ddii和Ddij是给定的扰动元素，其第i行第j列的元素值是扰动的数量。
（2）矩阵特征值扰动周期定理矩阵特征值扰动周期定理指出，任意给定的实对称矩阵A，若它的特征值经历了批量扰动，可得到它的修正特征值λi(B)，那么当它经历一次独立的扰动，使其修正特征值恢复至初始状态，即λi(A)时，要经历的回归周期T有：T=1/∣Δλi∣其中，Δλi=λi(A)-λi(B)是矩阵A的特征值改变了一次扰动对应的变化量。
（3）特征值扰动不可撤销定理特征值扰动不可撤销定理指出，不论矩阵A经历任意次特征值扰动，这些扰动发生后仍无法把原来的特征值λi恢复，也就是说这些扰动是不可撤销的。
通俗来讲，就是说扰动后矩阵A的特征值会产生永久的变化，无法恢复到原先的状态。
（4）互不相容特征值扰动定理互不相容特征值扰动定理指出，任意的实对称矩阵A经历任意次特征值扰动，其扰动后的特征值项必不可能成为原特征值项的任何线性组合。
也就是说，两次特征值扰动后新生成的特征值向量彼此之间不可能只有一个关联系数可以将这些特征值恢复到原来的特征值向量。
（5）有限特征值扰动定理有限特征值扰动定理指出，对于任意给定的实对称矩阵A，多次特征值扰动后生成的新矩阵B特征值的变化量是有限的，而特征值的变化量|λ1 - λ2|的上界值被称为特征值immediately上界改变量（IUIBC）。
经典的有限特征值扰动定理实际上就是求IUIBC的过程。
奇异值分解与特征值分解的比较分析(Ⅰ)
奇异值分解与特征值分解是线性代数中两个重要的矩阵分解方法。
它们在数据分析、信号处理、图像压缩等领域都有着广泛的应用。
本文将对这两种分解方法进行比较分析，探讨它们的优缺点及适用范围。
一、奇异值分解（SVD）奇异值分解是一种将一个矩阵分解成三个矩阵的方法，即将一个m×n的矩阵A分解为U、Σ和V三个矩阵的乘积，其中U是一个m×m的酉矩阵，Σ是一个m×n的对角矩阵，V是一个n×n的酉矩阵。
奇异值分解有着许多优点，比如对于任意的矩阵A，都存在奇异值分解。
并且，对于奇异值分解的性质有许多重要的应用，比如在矩阵压缩和降维、矩阵逆的计算等方面。
二、特征值分解（EVD）特征值分解是一种将一个方阵分解成三个矩阵的方法，即将一个n×n的方阵A分解为P、Λ和P-1三个矩阵的乘积，其中P是一个n×n的可逆矩阵，Λ是一个n×n的对角矩阵，P-1是P的逆矩阵。
特征值分解也有着诸多优点，比如对于对称矩阵来说，特征值分解是唯一的，而且特征值分解在对称矩阵的对角化、矩阵对称化等方面有着重要的应用。
三、奇异值分解与特征值分解的比较分析1. 计算复杂度在计算复杂度方面，特征值分解的计算复杂度通常比奇异值分解高。
特征值分解需要解特征值问题，而奇异值分解只需要进行奇异值分解，因此在计算复杂度上，奇异值分解更加高效。
2. 适用范围特征值分解对于对称矩阵有着很好的适用性，而奇异值分解对于任意矩阵都有着适用性。
因此，在实际应用中，奇异值分解的适用范围更广。
3. 稳定性在矩阵的微小扰动下，特征值分解的结果可能会有较大的变化，而奇异值分解对于矩阵的微小扰动具有更好的稳定性。
因此在数值计算中，奇异值分解更加稳定可靠。
四、结论奇异值分解与特征值分解是两种重要的矩阵分解方法，它们在不同的领域有着不同的应用。
在计算复杂度、适用范围和稳定性等方面，奇异值分解相对于特征值分解具有更多的优势。
新的矩阵特征值扰动上界
Ｉ 一 ｌ 一∑ ｊ ｌ Ｍ ｌ Ａ 。 ．
厂 ———— ——— ——ｉ— ——— 一
由 规 偏 度 定 △（ 一／Ａｌ ∑ ｌｌ， 合 理２ 得△（ 一ｌ ． 正 性 离 的 义 ） ＾ｌ 一 。结 引 可 ， ） ｛ ｌ Ａ ｛ｌ ｝ Ａ Ｍ
引 ３ 设 Ｃ ， △Ａ≤（ ） ｌＨ—Ａ 理 Ａ 则 ） ・Ａ Ａ Ｅ （ ｌＡ
／… （ 口（ Ａ Ａ） １Ａ）
， ＼ ／
一
’
其 中 （ Ａ）和 （ Ａ）分别 为矩 阵 Ａ 的最大 和最小 奇异 值．
引 理 １１ ｌ＿ 设 Ａ， 均为正 规 阵 ， ∈ ｃ 为 Ｈｅｍｉ 阵 且 ｘ 为正 定阵 ， ０ Ｂ ｘ ｒ ｔ ｅ 则
ｌ ｌ Ａ—Ｂ ｌ ｝≤ ｌ Ｘ — Ｘ ｌ ｌ ｌ Ａ Ｂｌ ｌ ｌ
即 ＤＩ Ｉ 一 Ｃ —Ｕ 曰一 Ａ） Ｖ— Ｕ Ｑ（ Ｐ” Ｍ２ ＋ ＩＶ Ｖ． Ｆ Ｍ ，
ｌＯ ２
延边大学学报（ 自然 科 学 版 ）
第 ３ 卷 ８
由引理 １有 ｌ Ｉ Ｄ— Ｃ【 Ｉ ｝≤ ｌ ｌ
一 ｃ
【 Ｉ
Ｄ— ｃ
ｌ， ｌ 而 ｌ Ｅ — ｃ ｌ 一 ｌ （ Ｄ— ｌ Ｄ ｌ ｌ
口 ≥ … ≥ ＞ ０ Ｕ和 Ｖ为酉 阵 ， Ｖ １ ， Ａ 一ｕ 一Ｑ（ Ｖ Ａ１ Ｂ—Ａ） ”一Ｍｚ Ｉ ＋Ｕ Ｉ ， Ｐ Ｕ￣ Ｖ ＩＶ Ｍ 将该 式
左 边 乘 【“， ， 右边乘 Ｖ， ｕ Ａ２ 一 Ｖ Ａ Ｖ＝ｕ Ｑ（ －Ａ） “ 得 ＝ Ｂ－ Ｐ Ｖ—ｕ Ｍ ２ ＋ Ｖ Ｍ １ 令 Ｄ＝Ｕ Ａ２ ， ＝ 【 Ｖ． ， 【 Ｃ—Ｖ Ａ Ｖ， Ｄ， 则 ｃ分别 酉相似 于Ａ Ａ ， Ｄ， ， 故 ｃ均为 正规 阵 ， Ｄ， 且 ｃ的特征值 分别 等于 Ｂ， Ａ的特征值 ，
关于矩阵特征值有关性质的探讨
关于矩阵特征值有关性质的探讨矩阵的特征值是线性代数中一个重要的概念，广泛应用于各个研究领域中。
特征值是矩阵的一种特征，它可以帮助我们理解矩阵的性质和行为。
在本文中，我们将探讨关于矩阵特征值的一些重要性质。
我们来定义矩阵特征值的概念。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个标量λ和一个非零向量v，使得下面这个方程成立：Av = λv那么λ就是矩阵A的一个特征值，v就是对应的特征向量。
特征值和特征向量都有重要的意义，它们能够帮助我们研究矩阵的性质和行为。
第一个重要的特征是特征值的数量。
对于一个n阶方阵A，它最多有n个不同的特征值。
这是因为特征值的个数等于矩阵的秩，而矩阵的秩等于它的非零特征值的个数。
第二个重要的特征是特征值的重复性。
一个特征值可能对应多个线性无关的特征向量。
这种情况下，我们称特征值λ的几何重数为它对应的特征向量的个数。
而特征值λ的代数重数则是它在特征多项式中的重数。
对于每个特征值，它的几何重数不会超过它的代数重数。
特征值的重复性对于理解矩阵的性质和行为非常重要。
如果一个矩阵有重复的特征值，那么它可能是不可对角化的。
这意味着我们不能找到一个特征向量矩阵P，使得P^-1AP变成一个对角矩阵。
相反，我们需要使用Jordan标准型来表示它。
第三个重要的特征是特征值的性质。
特征值对矩阵的性质有很大的影响，它可以告诉我们关于矩阵的对称性、奇异性和稳定性等方面的信息。
如果一个方阵是对称的，并且所有的特征值都是实数，那么它是一个正定矩阵。
这意味着它的所有特征值都大于零。
而如果一个方阵的所有特征值都小于零，那么它就是一个负定矩阵。
特征值还可以告诉我们矩阵的奇异性。
一个矩阵是奇异的当且仅当它的特征值包含零。
在这种情况下，我们称它的零特征值为它的奇异值。
特征值还可以帮助我们理解矩阵的稳定性。
在控制系统和物理模型中，矩阵的特征值可以告诉我们系统的稳定性。
如果矩阵的所有特征值的实部都小于零，那么系统是稳定的。
相反，如果矩阵的任何特征值的实部大于零，那么系统是不稳定的。
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苏
州
大
学
学
报 ( 自然科学版 )
Vo l .28
N o . 3
JOU R N AL OF SOOC H OW U N I V E R SIT Y ( N AT U R AL SC I E N C E ED IT ION )
Ju l .2012
奇异的可对称化矩阵特征值的扰动界
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Ko ng X ia ngq ia ng
( D ep art m ent o f M at hem at ics ， H eze U nivers ity， H eze 27 4000， C hina)
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a : Us ing t he Jo rd an d eco m po s it io n，Schu r d eco m po s it io n and cal cu l at io n o f m at rix ，t hree
， 称为矩阵 A 的条件数 .A 叫做 A 的
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� � � 定义 4 ( � 见［ 5］ ) � 设A C ， 满足方程 A A = A ， A = ， (A )H =A ， ( A ) H = A 的解
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� � 广义逆， 记作 A ; 设 A C ， 满足方程 A A = A ， A = ， A = A 的解
收稿日期: 201 2- 0 2 - 13
叫做 A 的群逆， 记作 A .
基金项目: 山东省统计局重点课题( K T 1 1 048 ) ; 山东省教育科学 "十二五" 规划重点课题( 20 11GG0 49) 作者简介: 孔祥强( 198 3 - ) ， 男， 山东菏泽人， 硕士， 主要从事应用数学研究.
2
，
� ， �， )� ， � R， 则称 A 为可对称化矩阵 ; 设 A C ， 如果存在非奇异阵 ， 使得 A A =d iag( ， ， �， ) ， 则称 A 为可对角化矩阵 .
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为对角矩阵， 即
- 1 � 1 2
� � � ( 见［ 6］ ) 设A C ， 且d et ( A ) 0， Co nd( A ) = A � A 的谱条件数( 即取 = 2) 又记为 ( A ) .
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� � 1 1 1
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- 1 � 引理 � � 1 ( 见［ 7 � ］ ) 设A� C 为奇异的可对称化矩阵， 其特征值分解为 A = ， 其中 = diag(
1
)， � .设 B = A + E C ， E 为 A 的扰动矩阵， 2， � ， 的某个排列 ， 为非奇异矩阵 � 则存在 1， 当 B 的任意 非零特征值 ( ) > ( ) E 2 时 ， 有 其中
孔祥强
( 菏泽学院数学系， 40 00) 山东 菏泽 27
摘
要: 利用矩阵的分解和矩阵计算方面的技巧， 得到了奇异的可对称化矩阵特征值新的扰动上界， 所得结论
改进了以往的结果， 得到了三个全新的上界定理. 关键词: 奇异矩阵; 可对称化矩阵; 矩阵特征值; 扰动上界 中图分类号: O241. 6 文献标志码: A 文章编号: 1 00 0 - 20 7 3( 20 1 2) 0 3-0 00 1 - 05
new r el at ive p ert u r bat io n bo u ndso f s ingu l ar s ym m et rizabl e m at rixare o bt ained . W e get t he res ul t s ， w hich im p ro ve and ex t end t he co r res po nd ing res ul t sin o t her p ap er s . K : s ingu l ar m at rix ; s ym m et rizabl e m at rix ; m at rixeig enval u es ; u p p er bo u ndo f p ert u r bat io n
0
引
言
矩阵特征值的扰动理论包括绝对扰动理论和相对扰动理论， 主要是研究矩阵在某种特定的结构下 ， 其特 1 ］ 2］ 3］ 征值的扰动上界问题.文献［ 和［ 均研究了矩阵特征值的乘法扰动; 文献［ 研究了矩阵特征值的加法扰 动， 但这些研究得到的均是非奇异的矩阵特征值的扰动上界 .本文研究了奇异的可对称化矩阵特征值的扰动 上界， 进一步得到了全新的定理形式.
2
苏
州
大
学
学
报 ( 自然科学版 )
第 28 卷
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定义 5 ( 见［ 5］ ) C
设A
C
， A HA 的 及 ， 使得
H
个特征值的非负平方根称为 A 的奇异值 .如果把 A H A 的非负特
� 征值记为 � ( A H A ) (� = 1， 2 ， �，) ， 则 A 的奇异值是指 = � ( A H A ) ， = 1， 2， �，.A 的奇异值全体记为 � ( A ) .设 A ， 则存在酉阵
1
几个定义及引理
定义 1 ( 见［ 4］ ) 若矩阵 A C ， 满足 A H A = A A H ， 则 A 为正规矩阵; 若满足 A
- 1 H
� � � � � �
=A
- 1
- 1
， 则 A 为酉矩阵 .
1
� � 定义 2 ( 见［ � 5］ ) � 设A C� ， 如果存在非奇异矩阵 ， 使得 A 为实对角矩阵， 即 - 1A = d iag(