矩阵的奇异值分解
奇异值分解及其应用
奇异值分解及其应用奇异值分解是一种常见的线性代数算法，它将矩阵分解为三个子矩阵的乘积：一个左奇异矩阵、一个奇异值矩阵和一个右奇异矩阵。
这种分解方法可以用于数据降维、数据压缩、信号处理、图像处理等领域，具有广泛的应用价值。
一、奇异值分解的定义在介绍奇异值分解之前，先来回忆一下什么是矩阵的秩。
矩阵的秩是指其行向量或列向量的极大无关组的向量个数。
如果一个矩阵A的秩为r，则可以写成以下形式：A = U * S * V'其中U是m x r的矩阵，S是r x r的对角矩阵，V是n x r的矩阵，'表示转置。
矩阵S上的对角线元素称为奇异值，它们按大小排列，用σ1, σ2, ..., σr表示。
由于奇异值矩阵是对角矩阵，因此可以忽略其中的零项。
这样，我们可以将矩阵A分解成三个子矩阵的乘积。
二、奇异值分解的意义奇异值分解的意义在于将矩阵的信息集中在奇异值上。
对于一个m x n的矩阵A，它有mn个元素，因此需要mn个数字来表示它。
但是，当A的秩较小时，可以用奇异值分解将其表示为r个左奇异向量、r个右奇异向量和r个奇异值的乘积，其中r是A的秩。
这样就大大减少了需要用来表示A的数字的数量。
奇异值分解还有另外一个重要的应用，就是在数据降维中。
假设有一个包含m条数据和n个特征的数据集，可以将这些数据按行排列成一个m x n的矩阵X。
但是由于数据可能存在噪声和冗余特征，因此需要将数据降维，以便更好地处理。
通过对X进行奇异值分解，可以得到其前k个奇异向量，它们是X所包含的信息的最主要部分。
然后，将原始数据乘以这k个奇异向量的转置，就可以得到一个k维向量，表示原始数据在最主要信息方面的投影。
这样就把原始数据从n维降到了k维，实现了数据降维。
三、奇异值分解的计算奇异值分解的计算通常使用迭代方法来求解。
其中一个比较常见的算法是Jacobi迭代法。
这种方法的基本思想是将矩阵A进行一系列相似变换，直到它变成对角矩阵。
当然，这个过程中会出现一些计算误差，因此需要对对角矩阵中接近零的元素进行特殊处理。
矩阵的奇异值分解
非对称矩阵分解
非对称矩阵的特征值分解
对于非对称矩阵，其特征值可能是复数，因此不能直接进行实数域上的特征值分 解。但是，可以通过引入复数域上的特征向量和特征值，将非对称矩阵分解为复 数域上的特征向量矩阵和特征值矩阵的乘积。
非对称矩阵的奇异值分解
对于任意实非对称矩阵，都可以进行奇异值分解，即$A = USigma V^T$，其中 $U$和$V$是正交矩阵，$Sigma$是对角矩阵，对角线上的元素是$A$的奇异值。 非对称矩阵的奇异值分解在数据降维、图像处理等领域有广泛应用。
通信信道均衡策略
信道均衡原理
在通信系统中，信道均衡是一种用于补偿信道失真、提高通信质量的技术。奇异值分解可用于信道均衡中的信道 矩阵分解，从而实现对信道特性的准确估计和补偿。
基于奇异值分解的信道均衡算法
利用奇异值分解对信道矩阵进行分解，根据得到的奇异值和左右奇异向量设计均衡器，实现对信道失真的有效补 偿。
3
个性化推荐
结合用户历史行为数据和相似度计算结果，为用 户推荐与其兴趣相似的物品或服务。
05 奇异值分解在信号处理和 通信中应用
信号降噪与重构技术
基于奇异值分解的信号降噪
利用奇异值分解能够将信号分解为多个独立成分的特点，对含噪信号进行降噪处理，提高信号质量。
信号重构技术
通过保留奇异值分解得到的主要成分，对信号进行重构，实现信号的压缩和恢复。
特殊类型矩阵分解
正定矩阵的Cholesky分解
对于正定矩阵，可以进行Cholesky分解，即$A = LL^T$，其中$L$是下三角 矩阵。Cholesky分解在求解线性方程组、最优化问题等场景中具有重要作用。
稀疏矩阵的分解
对于稀疏矩阵，可以采用特定的分解方法，如LU分解、QR分解等，以便更有效 地进行存储和计算。这些分解方法在数值计算、科学计算等领域有广泛应用。
奇异值分解定理
奇异值分解定理奇异值分解（Singular Value Decomposition，简称SVD）是线性代数中一种重要的矩阵分解方法，常用于数据分析、信号处理、图像压缩等领域。
SVD的定理表明，任何矩阵都可以分解成三个矩阵的乘积，其中一个矩阵是正交矩阵，另外两个矩阵是对角矩阵，且对角线上的元素称为奇异值。
奇异值分解定理的数学概念比较复杂，需要一定的线性代数基础。
下面将对奇异值分解定理进行详细解释。
给定一个m行n列的实数矩阵A，假设rank(A)为r.那么存在两个实数方阵U(m×r)和V(n×r)，使得：A = UΣV^T其中，U的每一列是A^TA的特征向量，V的每一列是AA^T的特征向量，Σ是一个对角矩阵，对角线上的元素称为奇异值。
奇异值分解定理的证明比较复杂，这里只给出一个简要的证明思路。
假设A的列向量为{a1, a2, ..., an}，它们构成了一个n维向量空间的一组基。
我们可以将这组基转化为标准正交基，得到一组正交矩阵U和V。
然后我们可以通过对U和V进行一些数学操作，得到UΣV^T形式的矩阵。
最后，我们可以证明这个矩阵确实满足奇异值分解定理的要求。
奇异值分解定理在数据分析中有广泛的应用。
例如，在推荐系统中，我们可以通过SVD将用户对物品的评分矩阵分解，得到用户和物品的特征矩阵，从而进行个性化推荐。
在语音识别中，我们可以通过SVD将语音信号分解成一组基本声音的叠加，从而实现语音信号的降噪和特征提取。
在图像压缩中，我们可以通过SVD将图像分解成一组基本的图像模式，从而实现图像的降噪和压缩。
奇异值分解定理的应用不仅局限于上述领域，还可以应用于信号处理、图像处理、文本处理等其他领域。
通过奇异值分解，我们可以将复杂的问题转化为简单的线性代数运算，从而大大简化问题的求解过程。
然而，奇异值分解也有一些限制。
首先，奇异值分解是一种数值方法，对计算精度要求较高。
其次，奇异值分解的计算复杂度较高，对于大规模矩阵的分解可能会很耗时。
矩阵分解4矩阵的奇异值分解
，
1
1
1
x1 1, x2 1, x3 1
2
0
1
从而正交矩阵
1
6
V
1
6 2
6
1 2 1 2
0
1
3
1
3 1
3
,
，
以及
rankA
2, Σ
3 0
10
计算
U1
AV1 Σ
1
1 0
0
0 1 0
1
11 0
6 1
6 2
6
1 1
6 2
，V1
1
6 2
6
1
2
1 2
例10 求矩阵 A 0 0 的奇异值分解.
0 0
解: 可以求得矩阵
1 2
A
H
A
1 2
0 0
0 0
0 0
0 0
1 2
42
的特征值是 1 5, 2 0 ,对应的特征向量可取为
x1 (1, 2)T , x2 (2,1)T，于是可得 rankA rankAH A 1
，奇异值为 1 5, 2 0 ， Σ ( 5)11 ，且使得
A Pdiag (1 , 2 , , n )Q 1
称上式是A的正交对角分解.
性质4 (1) 设 AC mn ,则A酉相似于对角阵的充分必要条件
是A为正规矩阵;
(2) 设 A R nn ,且A的特征值都是实数,则正交相似于对角矩
阵的充要条件A是为正规矩阵.
二.矩阵的奇异值分解
现在开始论述矩阵的奇异值分解。
λ1 V H ( AH A)V
成立的正交矩阵为
λn
矩阵分析,矩阵论,降维,浅语义分析,奇异值分解,
定义2. 紧奇异值分解： 只留下奇异值非零的那部分。
的矩阵，可以视为 的前 列组成 的矩阵； 矩阵中非零的那部分 ；
的矩阵，可以视为 的前 列组成的矩阵 。
紧奇异值分解对应着无损压缩。
定义3. 截断奇异值分解: 只取最大的 个奇异值对应的部分。
求 阶正交矩阵 对 的前 个正奇异值， 令
得到
求 的零空间的一组标准正交基
,令
并令
得到奇异值分解
的矩阵； 阶对角矩阵；
的矩阵 。
截断奇异值分解对应着有损压缩。
(二). 主要的性质
奇异值分解与
和
的关系。
（
）（
）
（
）（分解存在，且可以由矩阵 的奇异值分解的矩阵表示。
b). 的列向量是
的特征向量， 的列向量是
的特征向量。
c). 奇异值是
与
的特征值的平方根。
矩阵的奇异值分解中奇异值
这里的 表示非零奇异值的个数。 这是矩阵 的左奇异值和奇异值、右奇异值向量的关系。
这些关系在后面计算奇异值分解的时候，已知了 或者 的时候能够直接用于计算另一个矩阵。
正交基
是 的一组标准正交基，因而也是
的一组标准正交基。
构成 的零空间
的一组标准正交基。
构成值域
的一组标准正交基。
构成 的零空间
的一组标准正交基。
是唯一的，而 和 不是唯一的。
矩阵 和 的秩相等，等于正奇异值 的个数 (包含重复的奇异值)。
在矩阵A的奇异值分解中，奇异值、左奇异向量和右奇异向量之间存在对应关系
因为 是正交矩阵所有由
矩阵的奇异值分解
矩阵的奇异值分解
奇异值分解（Singular Value Decomposition,SVD）是一种常见的矩阵分解技术，也被称为矩阵奇异值分解。
它是一种比较复杂的矩阵运算技术，它的本质是将一个矩阵通过线性变换分解成三个不同的矩阵，这三个矩阵有特定的性质，可以用来进一步进行矩阵操作。
最常见的应用场景是用来压缩数据，通常先将原始数据进行SVD 分解，然后再去掉一些次要的特征，从而进行数据压缩。
此外，SVD还可用于探索数据之间的关系、数据预测，它也是推荐系统及机器学习中的一种常用技术手段。
不管是在压缩空间还是数据处理上，都可以利用这一技术。
虽然它的表面上看起来很复杂，但SVD实际上具有很多共享的特性，它可以将任何m × n的实矩阵分解为矩阵的乘积。
它也是有着丰富的表示力，可以把其它分解算法通过一种简单统一的视角来分析。
总的来说，奇异值分解是一种有着广泛应用场景的计算技术，即使是比较复杂的数据处理，也可以利用它来获得有效的结果。
它可以帮助我们分析数据之间的关系，发现有价值的洞察，从而辅助机器学习和推荐引擎，使它们的效果更加的出色。
矩阵奇异值分解的计算方法
矩阵奇异值分解的计算方法矩阵奇异值分解是一种重要的矩阵分解方法，广泛应用于信号处理、压缩、图像处理、数据降维等领域。
本文主要介绍矩阵奇异值分解的计算方法。
一、矩阵奇异值分解的基本概念与定义矩阵是实数或复数元素排成矩形的数表，是线性代数的基础概念之一。
矩阵奇异值分解是将一个任意形状的矩阵分解成三个矩阵乘积的形式，即A=UΣV^T其中，A是一个m×n的矩阵，U是一个m×r的矩阵，V是一个n×r的矩阵，Σ是一个r×r的对角矩阵，其中r=min(m,n)。
在矩阵奇异值分解中，U和V都是酉矩阵，即满足U^TU=I和V^TV=I的矩阵，Σ是非负实数矩阵，对角线上的元素称为矩阵A 的奇异值，按降序排列。
若A是实矩阵，则U和V的列向量都是正交基，若A是复矩阵，则U和V的列向量都是规范正交基。
二、矩阵奇异值分解的计算方法1.传统方法传统的矩阵奇异值分解方法包括Jacobi和Golub-Kahan方法。
Jacobi方法是一种迭代方法，用于将对称矩阵对角化，时间复杂度为O(n^3)，在大规模矩阵分解上效率较低。
Golub-Kahan方法是一种求解一般矩阵奇异值分解的有效算法，它使用基于QR分解的方法来计算矩阵的奇异值分解，时间复杂度为O(mn^2)，但由于需要计算矩阵的QR分解，因此效率仍然不高。
2.基于迭代的方法基于迭代的矩阵奇异值分解方法主要包括基于幂迭代的方法和基于分解的方法。
(1) 基于幂迭代的方法幂迭代是一种求解矩阵特征值和特征向量的迭代方法，可以使用幂迭代求解矩阵的奇异值分解。
幂迭代可以计算出矩阵的最大奇异值及其对应的左右奇异向量，但不适用于计算非最大奇异值。
为解决这个问题，可以使用反迭代求解非最大奇异值，时间复杂度为O(mnr)，其中r为矩阵的秩。
(2) 基于分解的方法基于分解的矩阵奇异值分解方法主要包括Lanczos算法、Arnoldi算法和Krylov子空间方法等。
矩阵奇异值分解
1 5 2 5
2 5 1 5
因此 A UAV
H
1 0 0 5 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0
1 5 2 5
2 5 1 5
酉等价：设 A, B C mn , 若存在m阶酉矩阵U和n阶酉矩阵
U H AV B, 则称A与B酉等价。 V，使得
矩阵的奇异值分解就是矩阵在酉等价下的一种标准型。
引理1
设A C
则
mn
, A A与AA 的特征值均为非负实数 。
H H
证明 设是AHA的特征值，x是相应的特征向量， AHAx= x
由于AHA为Hermite 矩阵，故是实数。又
0 ( Ax, Ax) ( Ax) ( Ax) x x
H H
x x 0, 0
H
同理可证AAH的特征值也是非负实数。
引理2
设A C
证明
mn r
, 则rank( A A) rank( AA ) rank( A)
T T T x1 1,1,2 ,x2 1,1,0 , x3 1,1,1 ,
3 0 0 1 ,
令 V V1 , V2 ,
1 2 1 2 0 1 2 1 2 0
1 1 1 x3 V1 x1 , x2 , V2 2 3 6
H H
设x是方程组AHAx=0的非0解，
H H
Ax C
m
则由 ( Ax, Ax) x ( A Ax) 0 得 Ax 0; 反之，Ax 0的解也是AH Ax 0的解；
因此, 线性方程组Ax 0与AH Ax 0同解。
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k1 y1 k2 y2 k p y p 0 k1, k2 ,, k p全为零 Ay1, Ay2 ,, Ay p线性无关
AH A的特征子空间V 的维数不大于AAH的
特征子空间V的维数 同理可证： AAH的特征子空间V 的维数
不大于AH A特征子空间V的维数
§5 矩阵的奇异值分解
定理 1 设 A Crmn , 则有 (1) rank( A) rank( AH A) rank( AAH )
(2) AH A、AAH的特征值均为非负实数
(3) AH A、AAH的非零特征值相同.
证 设 rank( AH A) r
AH Ax 0 的解空间
为n r 维，记为X 设 x1 X x1H AH Ax1 0
0 0
0 0 0 0 1
定义 z (cos i sin )
一阶复矩阵的极分解 定理 4 设A Cnnn，则必存在酉矩阵U与两个 正定Hermite 矩阵H1、H2，使得
A H1U UH2 而且这种分解式是唯一的.
证 A Cnnn AH A正定 i 0 故 i 0
A U1DV1 U1DU1HU1V1 H1U
推论 1 设A Rnnn，则必存在唯一正交矩阵Q 两个正定实对称矩阵H1、H2，使得
A H1Q QH2
推论 2 设A Cnnn，则必存在酉矩阵U1、U2 , 使得
U2 AU1 diag(1,2,,n ) 其中1 2 n 0是A的n个正奇异值.
证 A Cnnn A UH
AH A H 2
并且H12 AAH，H22 AH A.
证
A C nn
A
U1
Dr 0
0 0V1
A
U1
Dr 0
00U1HU1V1 H1U
同理
A
U1V1V1H
同理 A U1DV1 U1V1V1H DV1 UH2
唯一性：A H11U1 H12U2 H11 H12U2U1H H121 H11H1H1 H12U2U1H (H12U2U1H )H
H12U2U1HU1U2H H1H2 H12H1H2 H122 H11 H12 U1 U2
x1H AH Ax1 ( Ax1)H Ax1 0
Ax1 0
rank( A) rank( AH A)
rank( A) rank( AH A)
(2) AH A
0 ( A , A )
(, AH A ) ( , ) ( , )
0
(3) 设 AH A的特征值为
1 2 r r1 n 0
A
U
0
0V
其中, D diag(1, 2 , , r ).
证 AH A为n阶正规矩阵
VAH AV H
D
H
D
0
diag(
2 1
,
2 2
,,
2 r
,0,,0)
0 0
V
VV12 ,
V1
C
rn r
,
V2 Cn(nrr)n
V1 V2
AH AH
AV1H AV1H
V1 AH V2 AH
AV2H AV2H
AAH 的特征值为
1 2 r r1 m 0
AH Ai ii
( AAH )Ai A( AH Ai )
( AAH )Ai i Ai
i 也是 AAH 的非零特征值
同理可证: AAH的非零特征值也是 AH A的非零特征值 设y1,, y p是AH A的特征子空间V一组基
k1Ay1 k2 Ay2 k p Ay p 0 k1AH Ay1 k2 AH Ay2 k p AH Ay p 0
DH 0
D
0
0
V1AH AV1H DH D, V2 AH AV2H 0
V2 AH AV2H ( AV2H )H AV2H 0
AV2H 0
U1H (DH )1V1AH C rm
UH
U1H
U
H 2
U2HU1 U2H AV1H D1 0
U2H AV1H 0 (1)
U1H AV1H (DH )1V1AH AV1H (DH )1 DH D
H U1diag(1,2,,n )U1H
A UU1diag(1,2,,n )U1H
U
H 2
UU1
A U2H diag(1,2,,n )U1H
U2 AU1 diag(1,2,,n )
定理 5 设A C nn，则必存在酉矩阵U与两个
半正定Hermite 矩阵H1、H2，使得
A H1U UH2
定理 2 若A与B酉等价，则A与B有相同正Βιβλιοθήκη 奇异值. 证 A与B酉等价
A UBV
AAH
UBV(UBV )H UBVV H BHU H UBBHU H
AAH ~ BBH
A与B有相同正奇异值.
定理 3
设
mn
AC
r
,
1,
2 ,,
r
是A的r个正
奇异值，则存在酉矩阵 U C mm和V C nn,
使得
D 0
0 0
1 0
10
三、构造酉矩阵U :
1 2
1.
U1H (DH )1V1AH
1 1
5
0
0 0
0
0 0
1 2
5 5
2. 将U1H扩充成酉矩阵
U1H x 0
U
H 2
2 5
1 5
1
U
5 2
5
2 5
1 5
四、结论：
1
A
5 2
5
2
5 1
5
5 0
0
0
1 0
0 1
U1H AV1H D (2)
AV2H 0
U1H AV2H U2H AV2H 0 (3)
U H AV H
U1H
U
H 2
A
V1H
V2H
UU12HH
AV1H AV1H
U1H
U
H 2
AV2H AV2H
D
0
0 0
例
求矩阵
A
1 2
0 0
00 的 奇 异 值 分 解.
一、求AH A的特征值及特征向量
AH A与AAH的非零特征值的代数重复度相同.
定义 1 设 A Crmn, AH A的特征值为
1 2 r r1 n 0
则称 i i (i 1,2,, r)为A的正奇异值.
定义 2 设 A、B C mn, 如果存在酉矩阵
U C mm和V C nn, 使得
A UBV
则称A与B酉等价.
A
H
A
1 0
0
002
1 2
0 0
00
5 0 0
0 0 0
0 0 0
1 5, 2 0, 2 0; 1 5 (i E AH A)x 0
1
1 0
0
0
2 1
0
0
1 0
1
二、构造酉矩阵V：
1 0 0
V 0 0
1 0
0 1
V1
V2
其中，
V1 1
0
0, V2