广东省华南师大附中高三数学5月综合测试试题理

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2022-2023学年广东省广州市华南师大附中高三(下)月考数学试卷(5月份)+答案解析(附后)

2022-2023学年广东省广州市华南师大附中高三（下）月考数学试卷（5月份）1.设集合，，则( )A. B. C. D.2.复数，则的虚部为( )A. 1B.C.D. i3.，，，则( )A. B. C. D.4.已知向量，，满足，，，这三组向量中两两共线的不可能有且仅有组.( )A. 3B. 2C. 1D. 05.共有9人参加了某课程的学习，一项作业要求由3人组成的团队完成.不区分每个团队内3人的角色和作用，共有种可能的组队方案.( )A. 84B. 729C. 1680D. 2806.等比数列的前n项和为，，，则为( )A. 28B. 32C. 21D. 28或7.，，，则a，b，c的大小关系是( )A. B. C. D.8.已知O为坐标原点，是椭圆上一点，F为右焦点.延长PO，PF交椭圆E于D，G两点，，，则椭圆E的离心率为( )A. B. C. D.9.已知四面体ABCD的外接球球心为，内切球球心为，满足平面BCD，，P是线段AC上的动点，实数，满足，实数a，b，c，d满足，则下列说法正确的是( )A. ，B.C. 若，则D. 若，则平面BCD10.抛物线：焦点为F，且过点，直线AC，AD分别交于另一点C和D，，则下列说法正确的是( )A.B. 直线CD 过定点C.上任意一点到和的距离相等D.11.，，以下哪些a 值能使单调递增( )A.B. 2eC. eD. 312.设m 是大于1的整数，离散型随机变量X 的可能取值为1，2，…，m ，满足对任意一个正整数，，则的取值可以是( )A. B. C.D.13.展开式中项的系数是______ .14.设随机变量，则______ .15.G ：是椭圆内接的内切圆，且在y 轴右侧，则______ .16.，，则最小值为______ .若与无交点，则a的取值范围为______ .17.在中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边，求的大小.若，求的值.18.已知正数数列满足，且函数求导n 次可用表示求的通项公式.求证：对任意的，，都有19.如图所示，在正四棱锥中，底面ABCD 的中心为O ，于E ，BE 与PO 交点为F ，求证：平面求二面角的正弦值.20.最是一年春好处，运动健儿满华附.为吸引同学们积极参与运动，鼓励同学们持之以恒地参与锻炼，养成良好的习惯，弘扬“无体育，不华附”的精神理念，2023年3月华附举办了春季运动会.春季运动会的集体项目要求每个学生在足球绕杆、踢毽子和跳大绳3个项目中任意选择一个参加.来自高三的某学生为了在此次春季运动会中取得优秀成绩，决定每天训练一个集体项目.第一天在3个项目中任意选一项开始训练，从第二天起，每天都是从前一天没有训练的2个项目中任意选一项训练.若该学生进行了3天的训练，求第三天训练的是“足球绕杆”的概率.设该学生在赛前最后6天训练中选择“跳大绳”的天数为X，求X的分布列及数学期望.21.已知O为坐标原点，，是椭圆E的两个焦点，斜率为的直线与E交于A，B两点，线段AB的中点坐标为，直线过原点且与E交于C，D两点，椭圆E过C的切线为，OD 的中点为求椭圆E的方程.过G作直线的平行线与椭圆E交于M，N两点，在直线上取一点Q使，求证：四边形MQNC是平行四边形.判断四边形MQNC的面积是否为定值，若是定值请求出面积，若不是，请说明理由.22.讨论的零点个数.，若对任意均有唯一使，且恒成立，求证：答案和解析1.【答案】D【解析】解：，，故选：可求出集合A，B，然后进行并集的运算即可．本题考查了集合的描述法和区间的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：由得，所以，故的虚部为故选：根据复数的除法运算化简复数，由共轭复数的定义即可求解．本题主要考查了复数的运算，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：，，则有，，故选：由同角三角函数的关系，求出，再由两角差的正切公式求本题主要考查两角差的正切公式，考查同角三角函数的基本关系的应用，考查运算求解能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：已知向量，，满足，，，若向量，，均为非零向量，则向量，，共线或两两互相垂直，此时三组向量中两两共线的有0组或3组，故选项A和选项D错误；若其中一个为零向量，则另外两个向量一定不共线，则，零向量和另外两个向量组成两组共线向量，故选项B错误．显然，这三组向量中两两共线的不可能有且仅有1组．故选：根据已知条件进行分类讨论，列举出A，B，D三个选项的可能情况即可．本题主要考查平面向量数量积运算，向量共线问题，考查逻辑推理能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：因为有9人参加了某课程的学习，一项作业要求由3人组成的团队完成．不区分每个团队内3人的角色和作用，故将9名同学分成3组，每组3人，且组与组之间可以互换，所以共有可能的方案数为组．故选：根据题意得将9名同学分成3组，每组3人，从而可解．本题考查排列组合相关知识，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：设等比数列的公比为，当时，，，则，此方程组无解，故，，，，，则，即，解得或舍去，则，故选：根据等比数列前n项和公式，列出，的表达式，两式相除可得，可得，再根据，即可得出答案．本题考查等比数列的前n项和公式，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：，，，即，，由泰勒展开式得：，，故，故，综上所述a，b，c的大小关系是：故选：找中间值进行比较大小，再借助泰勒展开式即可比较大小．本题考查了三角函数的性质，考查泰勒公式的应用，是中档题．8.【答案】A【解析】解：设椭圆的左焦点，连接，，DF，，由椭圆的对称性可知四边形为平行四边形，因为，所以，所以可得四边形为矩形，因为，所以，设，则，由椭圆的定义可知，，，在中，，即，整理可得：，所以可得，在中，，即，所以离心率故选：连接，，DF，，由椭圆的对称性可得四边形为矩形，再由及椭圆的定义，可得，，，的关系，在两个直角三角形中可得a，c的关系，进而求出椭圆的离心率．本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，是中档题．9.【答案】ABCD【解析】解：根据空间向量“奔驰定理”可知，，因为四面体ABCD的内切球球心，所以，如图，平面BCD，平面BCD，所以，且，，AB，平面ABC，所以平面ABC，平面ABC，所以，因为，，所以，，即，，故A正确；因为和是有公共斜边的直角三角形，斜边AD的中点到顶点A，B，C，D的距离都相等，且为，所以四面体ABCD外接球的球心为AD的中点，所以，即，故B正确；因为平面ABC，平面ABC，所以，若，，CD，平面ACD，所以平面ACD，平面ACD，所以，故C正确；因为平面ABC，平面ACD，故平面平面ABC，过B作，垂足为H，因为面平面，平面ABC，故面ACD，而面ACD，故，若，则，而BH，平面ABC，故平面ABC，故，而平面BCD，平面BCD，所以平面BCD，故D正确．故选：根据空间向量的“奔驰定理”，即可判断A；首先确定点的位置，根据向量的线性运算，确定，的值，即可判断B；根据垂直关系的转化，转化为证明平面ACD，即可判断C；利用垂直，平行的位置关系，即可判断在空间向量的一些计算中，可以借助平面向量的中的某些定理如奔驰定理来处理空间向量中有关问题的计算，另外一些位置关系的判断应该利用基本的判定定理来处理，考查运算求解能力，是中档题．10.【答案】CD【解析】解：抛物线：过点，所以，，故D正确；所以抛物线：，上任意一点到和准线的距离相等，故C正确；设，，设，则，所以AC的方程为，即，联立，得，当时，，得，代换k，得到，所以，故A错误；直线CD：，即，不过定点，故B错误．故选：根据抛物线过点得到，即可判断选项C和D；根据已知条件直接求出C，D点的横坐标从而计算直线CD的斜率和方程，进而判断A和B选项．本题考查抛物线的几何性质，方程思想，化归转化思想，属中档题．11.【答案】BCD【解析】解：因为，，所以，，依题意恒成立，即恒成立，显然，所以恒成立，即，由，令，显然在上单调递增，即恒成立，所以恒成立，即恒成立，即恒成立，令，，则，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以在处取得极小值及最小值，所以，则，解得，故符合题意的有故选：依题意恒成立，即恒成立，可知，将式子变形为，根据的单调性，可得恒成立，即恒成立，再令，利用导数求出函数的最小值，即可得到不等式，从而求出a的取值范围．本题考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查同构思想及运算求解能力，属于中档题．12.【答案】ABD【解析】解：因为，则，由上式知，不恒等于一个常数，单调递减，则，又因为，则故选：根据已知条件，概率之和为1等知识求解范围进行判断即可．本题主要考查了离散型随机变量分布列的性质，属于基础题．13.【答案】320【解析】解：由，所以的系数为中的系数，展开式中为，故答案为：将问题转化为的系数为中的系数，利用二项式展开式的通项特征即可求解．本题主要考查二项式定理，属于基础题．14.【答案】【解析】解：随机变量服从，故答案为：根据二项分布的概率计算公式即可求解．本题主要考查二项分布的概率计算公式，属于基础题．15.【答案】【解析】解：由题意，在y轴右侧，作出图形，如图，由椭圆及圆的对称性知，轴，设，过圆心G作于点D，BC交x轴于H，由椭圆方程知，所以，，，又B在椭圆上，所以，又，即，可得，所以，化简可得，解得，或舍去故答案为：根据题意作出图形，利用内切圆的性质及点B在椭圆上建立方程求解．本题主要考查椭圆的性质，考查转化能力，属于中档题．16.【答案】0或【解析】解：若，则，则的最小值为0，若，由，得，令，得，当时，在上，单调递减，在上，单调递增，当时，在上，单调递减，在上，单调递增，所以的最小值为，综上所述，的最小值为0或；，因为与无交点，所以在上无解，由，得，令，则，当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，所以的最大值为，所以当时，直线与的图象无交点，即当时，方程在上无解，所以a的取值范围为故答案为：0或；当时，的最小值为0，当时，利用导数可求出最小值，由于，所以将问题转化为在上无解，构造函数，利用导数求出其最大值，从而可求出a的取值范围．本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．17.【答案】解：由可得，由正弦定理可得，所以，由于，所以，得，故【解析】根据正弦定理边化角，结合余弦定理的边角形式即可求解，由二倍角公式以及诱导公式即可求解．本题主要考查两角和与差的三角函数，属于中档题．18.【答案】解：由，得，所以或，因为，所以，所以，所以；证明：当时，恒成立，令，即，则，，，……，，，所以在上递增，所以，所以在上递增，所以，所以在上递增，……所以在上递增，所以，所以在上递增，所以，综上对任意的，，都有【解析】对已知的式分解因式，再结合可得，然后利用累乘法可求出；构造函数，然后对函数连续次求导，再结合和可判断出单调递增，从而可证得结论．此题考查利用数列的递推式求通项公式，考查利用导数证明不等式，第问解题的关键是根据题意构造函数，然后通过连续求导判断函数的单调性，从而可证明结论，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题．19.【答案】解：证明：延长FO至点M，使，连接MD，如图所示：底面ABCD的中心为O，平面ABCD，平面ABCD，，，，≌，，，，，又，，，平面PBC，平面PBC，平面PBC；由得E是PD的中点，，，不妨设，则，，是正四棱锥，底面ABCD的中心为O，，OD，OP两两垂直，建立以O为坐标原点的空间直角标系，如图所示：则，，，，，，，，，，，设平面PAB的一个法向量为，则，即，取，则，，平面PAB的一个法向量为，设平面ABE的一个法向量为，则，即，取，则，，平面ABE的一个法向量为，，二面角所成角的正弦值为【解析】延长FO至点M，使，连接MD，进而可证≌，可得，即可证明结论；由题意得OC，OD，OP两两垂直，建立以O为坐标原点的空间直角标系，求得平面APB与平面PBC 的一个法向量，利用向量法，即可得出答案．本题考查直线与平面平行和二面角，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．20.【答案】解：当第一天训练的是“足球绕杆”且第三天也是训练“足球绕杆”为事件A；当第一天训练的不是“足球绕杆”且第三天是训练“足球绕杆”为事件B；由题知，三天的训练过程中，总共的可能情况为种，所以，，，所以，第三天训练的是“足球绕杆”的概率由题知，X的可能取值为0，1，2，3，所以，考前最后6天训练中，所有可能的结果有种，所以，当时，第一天有两种选择，之后每天都有1种选择，故；当时，第一天选择“跳大绳”，则第二天有2种选择，之后每天只有1种选择，共2种选择；第二天选择“跳大绳”，则第一天有2种选择，第三天2种，后每天只有1种选择，共4种选择；第三天选择“跳大绳”，则第一天有2种选择，第二天有1种选择，第三天1种，第四天有2种选择，之后每天只有1种选择，共4种选择；第四天选择“跳大绳”，则第一天有2种选择，第二天，第三天，第四天，第六天有1种，第五天有2种选择，共4种选择；第五天选择“跳大绳”，则第一天有2种选择，第二天，第三天，第四天，第五天有1种，第六天有2种选择，共4种选择；第六天选择“跳大绳”，则第一天有2种选择，第二天，第三天，第四天，第五天，第六天都有1种选择，共2种选择；综上，当时，共有种选择，所以，；当时，第一天，第三天，第五天，选择“跳大绳”，有种选择；第一天，第三天，第六天，选择“跳大绳”，有种选择第一天，第四天，第六天，选择“跳大绳”，有种选择；第二天，第四天，第六天，选择“跳大绳”，有种选择；所以，当时，共有种选择，所以，；所以，当，所以，X的分布列为：X0123P所以，【解析】根据乘法原理，结合古典概型计算求解即可；由题知X的可能取值为0，1，2，3，再依次求对应的概率，列分布列，求期望即可．本题考查离散型随机变量的分布列以及数学期望，属于中档题．21.【答案】解：设椭圆方程为，再设：，，，联立，得，线段AB的中点坐标为，，，得，把代入得，，又，，椭圆E的方程为；证明：设，，，，则，，的中点为G，，由已知，过C点的切线的斜率为，又，知，：，即，整理得，联立，得，，可得，即G是MN的中点．又，是CQ的中点，由上可得，四边形MQNC是平行四边形；解：由知，，，，：，设点C到直线的距离为h，，，，四边形MQNC的面积为，即四边形MQNC的面积是定值，为【解析】设：，联立直线方程与椭圆方程，可得关于x的一元二次方程，利用韦达定理结合隐含条件即可求出，，得出椭圆的标准方程；设，，，，由已知得，，，求出过C点的切线的斜率为，得出，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理求出，判断出G是MN的中点，结合，即可得证；设点C到直线的距离为h，结合表示出MN和h，即可判断结果．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，综合性强，运算量大，属难题．22.【答案】解：由题意知，当时，函数单调递增，且当x趋近于0时，函数趋近于，当x趋近于时，函数趋近于，由零点存在性定理可知，函数有唯一零点，当时，函数，显然在0处存在唯一零点，当时，对函数，求导可得，则函数单调递增，，若时，，存在唯一零点，若时，且，在和上各有一个零点，若时，即为求的解个数，而右边随a单调递减，而时恰好相切有一个交点且，所以时无法取等，即不存在交点，也即原函数不存在零点，综上，当或时，函数存在唯一的零点；当时，函数不存在零点；当时，函数存在两个零点．证明：由易得，，由题意可知，为原函数的极小值点，由，可得，要证成立，即证，因为，则，令，则，即证明，又由恒成立和函数的单调性可得，对任意都有，令，则，又显然，，，因此，故，得证．【解析】根据函数的解析式分和，三种情况进行讨论，当和时利用零点存在性定理即可判断，时，对函数求导，利用导函数进行讨论即可求解；结合的结论可得，然后将问题进行等价转化为，也即证明，结合题意构造函数，利用导函数进而得证．本题考查了函数的单调性，最值，零点问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是难题．。

广东省华南师范大学附属中学高三数学5月综合测试试题理(含解析)

广东省华南师范大学附属中学2016届高三数学5月综合测试试题理（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){},1x y y x P ==+，{}Q x y y e ==，则Q P =（） A ．(){}0,1 B ．{}0 C ．{}1 D ．∅【答案】D考点：集合的意义2.在复平面内与复数512i z i=+所对应的点关于虚轴对称的点为A ，则A 对应的复数为（） A ．12i + B ．12i - C ．2i -+D ．2i +【答案】C【解析】试题分析：复数()()()51252121212i i i z i i i i ⋅-===+++-所对应的点为()2,1，其关于虚轴对称的点为A ()2,1-，故A 对应的复数为2i -+，选C考点：复数的意义及其运算3.函数()()sin f x x ωϕ=+（其中0ω>，2πϕ<）的图象如图所示，为了得到()f x 的图象，则只要将函数()sin g x x ω=的图象（）A ．向右平移6π个单位 B ．向右平移12π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向左平移12π个单位【答案】C考点：函数()sin y A x ωϕ=+的图像和性质4.已知空间直角坐标系xyz O -中有一点()1,1,2A --，点B 是平面x y O 内的直线1x y +=上的动点，则A ，B 两点的最短距离是（）A ．3 D 【答案】B【解析】试题分析：∵点B 是平面x y O 内的直线1x y +=上的动点， ∴可设点10B m m -（，，）由空间两点之间的距离公式，得AB = 令22117229222t m m m =-+=-+（）当12m =时，t 的最小值为172∴当12m =时，AB =A ，B 两点的最短距离是2 故选B 考点：空间两点之间的距离公式5.已知直线a ，b ，平面α，β，且a α⊥，b β⊂，则“a b ⊥”是“//αβ”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B考点：直线与平面的位置关系6.某学校周五安排有语文、数学、英语、物理、化学、体育六节课，要求体育不排在第一节课，数学不排在第四节课，则这天课表的不同排法种数为（）A．600 B．288 C．480 D．504【答案】D【解析】试题分析：学校安排六节课程可看做是用6个不同的元素填6个空的问题，要求体育不排在第一节课，数学不排在第四节课的排法可分两类．一类是体育课排在第四节，则满足了体育课不在第一节，同时满足了数学课不在第四节，排法种数是55120A=种；一类是体育课不排第四节，数学课也不排在第四节，则第四节课只能从语文、英语、物理、化学课中任取1节来安排，有4种安排方法，然后安排第一节课，第一节课可从语文、英语、物理、化学课中剩下的3各科目及数学科目4个科目中任选1节，有4种安排方法，最后剩余的4各科目和4节课可全排列有4424A=种排法，由分步计数原理，第二类安排方法共有4424384⨯⨯=种．所以这天课表的不同排法种数为120384504+=种．故选D．考点：排列组合实际应用问题7.如图，在C ∆AB 中，设a AB =，C b A =，AP 的中点为Q ，Q B 的中点为R ，CR 的中点为P ，若ma nb AP =+，则m ，n 对应的值为（）A ．27，47 B ．12，14 C ．16，27 D ．16，37【答案】A考点：平面向量基本定理8.已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为（）A ． D【答案】C【解析】试题分析：由三视图知：该几何体是四棱锥，其直观图如图所示；四棱锥的一个侧面SAB 与底面ABCD 垂直，过S 作SO AB ⊥，垂足为O ，2SO ABCD SO ∴⊥==底面，底面为边长为2的正方形，∴几何体的体积1223V =⨯⨯=.故答案为C. 考点：三视图，几何体的体积9.已知集合{}1,2,3,4,5,6,7,8,9A =，在集合A 中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，记这个三位数为a ，现将组成a 的三个数字按从小到大排成的三位数记为()a I ，按从大到小排成的三位数记为()D a （例如219a =，则()129a I =，()D 921a =），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则下面四个数中有可能被输出的是（）A ．792B ．693C ．594D ．495【答案】D【解析】试题分析： A ，如果输出的值为792，则792a =，279972972279693I a D a b D a I a ===-=-=（），（），（）（），不满足题意．B ，如果输出的值为693，则693,a =，369963963369594I a D a b D a I a ===-=-=（），（），（）（），不满足题意．C ，如果输出的值为594，则594a =，459954954459495I a D a b D a I a ===-=-=（），（），（）（），，不满足题意．D ，如果输出的值为495，则495a =，，459954954459495I a D a b D a I a ===-=-=（），（），（）（），满足题意．故选D ．考点：程序框图10.在C ∆AB 中，若1tan A ，1tan B ，1tan C依次成等差数列，则（）A ．a ，b ，c 依次成等差数列 BC ．2a ，2b ，2c 依次成等差数列D ．2a ，2b ，2c 依次成等比数列【答案】C考点：正弦定理，余弦定理11.已知直线1:l 210x y --=，直线2:l 10ax by -+=，其中a ，{}1,2,3,4,5,6b ∈．则直线1l 与2l 的交点位于第一象限的概率为（）A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】A【解析】试题分析：由题意知本题是一个古典概型，试验发生所包含的事件是,a b 分别从集合中选一个元素，共有6636⨯=种结果，直线1l 与2l 联立，可得解得2212b x b a a y b a ⎧+⎪⎪-⎨+⎪⎪-⎩＝＝∵直线1l 与2l 的交点位于第一象限，2022102b x b a b a a y b a ⎧+>⎪⎪-∴∴>⎨+⎪>⎪-⎩＝＝ ∴满足条件的实数对(),a b （a ，b ）有131415162526（，）、（，）、（，）、（，）、（，）、（，）共六种． ∴所求概率为61366=.故答案为A 考点：古典概型12.非空集合G 关于运算⊕满足：（1）对任意a ，G b ∈，都有G a b ⊕∈；（2）存在G e ∈，使得对一切G a ∈，都有a e e a a ⊕=⊕=，则称G 关于运算⊕为“融洽集”．现给出下列集合和运算：①{}G =非负整数，⊕为整数的加法；②{}G =偶数，⊕为整数的乘法；③{}G =平面向量，⊕为平面向量的加法；④{}G =二次三项式，⊕为多项式的加法；⑤{}G =虚数，⊕为复数的乘法．其中G 关于运算⊕为“融洽集”的是（）A ．①③B ．②③C ．①⑤D ．②③④【答案】B考点：演绎推理【名师点睛】本题考查学生的阅读理解能力及演绎推理，属中档题.解题时正确理解题意是解题的关键第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13.已知点(),x y P 的坐标满足条件11350x y x x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪+-≤⎩，那么点P 到直线34130x y --=的最小值为【答案】2考点：简单的线性规划，点到直线的距离14.在()nx y +的展开式中，若第七项系数最大，则n 的值可能等于．【答案】n 的值可能等于11，12，13；【解析】试题分析：根据题意，分三种情况：①若仅7T 系数最大，则共有13项，12n =；②若7T 与6T 系数相等且最大，则共有12项，11n =；③若7T 与8T 系数相等且最大，则共有14项，13n =；所以n 的值可能等于11，12，13；．考点：二项式定理15.已知椭圆C :22193x y +=，直线:l 2y kx =-与椭圆C 交于A ，B 两点，点()0,1P ，且PA =PB ，则直线l 的方程为．【答案】20x y --=或20x y ++=考点：椭圆的简单性质16.已知C ∆AB 的三个内角A 、B 、C 满足2C A +B =，11cos cosC cos +=-A B ，则C cos 2A -的值为．【答案】2【解析】考点：三角恒等变换三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数()21322f x x x =+，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(),n n S （n *∈N ）均在函数()y f x =的图象上．（I ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（II ）令11n n n n na a c a a ++=+，证明：121222n n c c c n <++⋅⋅⋅+<+．【答案】（I ）1n a n =+;（II ）见解析【解析】试题分析：（I ）点(),n n S 均在函数()y f x =的图象上，则21322n S n n =+,可得11n n n a S S n -=-=+，并验证1a 即可；（II ）证明：由1112221n n n n n a a n n c a a n n ++++=+=+>++，得122n c c c n ++⋅⋅⋅+>；由121122112n n n c n n n n ++=+=+-++++，得121111112233412n c c c n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11122222n n n =+-<++；即证．考点：数列与函数的综合，18.在一个圆锥体的培养房内培养了40只蜜蜂，准备进行某种实验，过圆锥高的中点有一个不计厚度且平行于圆锥底面的平面把培养房分成两个实验区，其中小锥体叫第一实验区，圆台叫第二实验区，且两个实验区是互通的．假设蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的．（I ）求蜜蜂落入第二实验区的概率；（II ）若其中有10只蜜蜂被染上了红色，求恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率；（III ）记X 为落入第一实验区的蜜蜂数，求随机变量X 的数学期望()E X ．【答案】（I ）蜜蜂落入第二实验区的概率为78；（II ）恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率为30702；（III ）5EX =（III ）因为蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的，所以变量X 满足二项分布，即140,8⎛⎫X⎪⎝⎭∴随机变量X 的数学期望14058EX =⨯=考点：几何概型，离散型随机变量的分布列及其期望19.在三棱柱111C C AB -A B 中，底面C AB 为正三角形，1a AB =A A =，1C BA ⊥A ，1C A ⊥AB ．（I ）求证：1C AA ⊥B ；（II ）把四棱锥111CC A -B B 绕直线C B 旋转一个角到C C '''A -BB ，使平面C AB 与C C ''BB 重合，求该旋转角的余弦值．【答案】（I ）见解析；（II（II ）由题知所求旋转过的角就是二面角1C 'B -B -B11//AA BB ．由（I ）知1C BB ⊥B ，从而C 'BB ⊥B∴1'∠B BB 为二面角1C 'B -B -B 的平面角又//'BB AH （在底面内AH 、'BB 同垂直于C B ）∴11'∠B BB =∠A AH （1'∠B BB 与1∠A AH 的两边分别平行，且方向相同）．1a AB =AA =，又H 为C ∆AB 的垂心，C ∆AB 为正三角形，∴H 为C ∆AB 的中心在1Rt ∆A AH中，1123cos 3a ⎫⨯⎪AH ⎝⎭∠A AH ===AA ，∴1cos '∠B BB =考点：线面垂直的判定定理，二面角的求法20.已知C ∆AB 的边AB 在直角坐标平面的x 轴上，AB 的中点为坐标原点，若C 12AB⋅A =AB，C 32BA⋅B =BA，又E 点在C B 边上，且满足32C BE =E ，以A 、B 为焦点的双曲线经过C 、E 两点．（I ）求AB 及此双曲线的方程；（II ）若圆心为()0,0x T 的圆与双曲线右支在第一象限交于不同两点M ，N ，求T 点横坐标0x 取值范围．【答案】（I ）2AB =，双曲线方程为22177x y -=；（II）0x取值范围为)+∞、（II ）设()11,x y M ，()22,x y N ，由条件知TM =TN ，=∴()()()()222222122010210122y y x x x x x x x x x -=---=-+- ① 又M 、N 在双曲线上，满足22117716x y -=，22227716x y -=，∴()222212126y y x x -=- ②将②代入①，()()221201272x x x x x -=-，由条件知12x x ≠，∴()12072x x x +=又17x >，27x >，12x x ≠，∴()01272x x x =+>∴0x取值范围为)+∞考点：平面向量数量积的定，双曲线的标准方程，直线与双曲线的位置关系 21.设函数()xf x e ax b =++（a ，R b ∈），()212g x x =．（I ）当0a b ==时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程()y h x =，并证明()()f x h x ≥（0x ≥）恒成立；（II ）当1b =-时，若()()f x g x ≥对于任意[)0,x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围；（III ）求证：()11211222ln 1nn kk e g n n k +=⎡⎤⎛⎫->++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦∑（n *∈N ）．【答案】（I ）曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y x =+．证明见解析；（II ）1a ≥-；（III ）见解析试题解析：（I ）当0a =，0b =时，()x f x e =，()xf x e '=，所以()()001f f '==，求得曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y x =+．（III ）要证：()1ln211222ln 1nk k e g n n k +=⎛⎫⎛⎫->++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑，即证()111222ln 1nk k e g n n k =⎛⎫⎛⎫->++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑，也就是()1211ln 12nkk e n n k =⎛⎫->++ ⎪⎝⎭∑，由（II ）可知1a =-；212xx e x ≥++，令1x k =，121112ke k k ≥++，则121112k e k k-≥+ ∴1211112nnkk k e n k k ==⎛⎫->+ ⎪⎝⎭∑∑．又由（I ）可知：1xe x >+（0x >），所以()ln 1x x >+，令1x k=，k *∈N ，所以11ln 1k k ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，有()()11111ln 1ln 1ln ln 1nn nk k k k k n k k ===⎛⎫⎛⎫>+=+-=+⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭∑∑∑，即()1211ln 12nk k e n n k =⎛⎫->++ ⎪⎝⎭∑，故()1ln211222ln 1n k k e g n n k +=⎛⎫⎛⎫->++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑（n *∈N ）．考点：利用导数研究函数的性质请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.如图，半圆O 的直径AB 的长为4，点C 平分AE ，过C 作AB 的垂线交AB 于D ，交AE 于F ．（I ）求证：2C F E =AE⋅A ；（II ）若AE 平分C ∠AB ，求CD 的长．【答案】（I ）见解析；（II ）CD考点：相似三角形的判定和性质 23. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系x y O 中，曲线1C的参数方程为1x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（其中θ为参数），点M 是曲线1C 上的动点，点P 在曲线2C 上，且满足2OP =OM ．（I ）求曲线2C 的普通方程；（II ）以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线3πθ=与曲线1C ，2C 分别交于A ，B 两点，求AB ．【答案】（I ）2C 的普通方程为()22212x y -+=；（II ）2AB =（II ）曲线1C 的极坐标方程为22cos 20ρρθ--=，将3πθ=代入，可得2ρ=，因此A 的极坐标为2,3π⎛⎫⎪⎝⎭；曲线2C 的极坐标方程为24cos 80ρρθ--=，将3πθ=代入，可得4ρ=，因此B 的极坐标为4,3π⎛⎫⎪⎝⎭．所以422AB =-=．考点：极坐标方程与参数方程、普通方程的互化 24. 选修4-5：不等式选讲已知函数()1f x x a x =-+-，R a ∈．（I ）当3a =时，解不等式()4f x ≤；（II ）当()2,1x ∈-时，()21f x x a >--恒成立，求a 的取值范围．【答案】（I ）{}04x x ≤≤；（II ）a 的取值范围为(],2-∞-（II ）()()()1121f x x a x x a x x a =-+-≥-+-=--，当()()10x a x --≥时，()21f x x a =--；当()()10x a x --<时，()21f x x a >--．记不等式()()10x a x --<的解集为A ，则()2,1-⊆A ，故2a ≤-，- 21 -所以a 的取值范围为(],2-∞-．考点：绝对值不等式。

高三试卷数学 -广东省广州市华南师范大学附属中学2023届高三下学期5月第三次模拟考试数学试卷及参考

2023届高三综合测试数学2023年5月注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{}1,0,1M =−，2{|1,}N y y x x M ==−∈，则M N 等于A ．{}1,0−B ．{}0,1C ．{}1,1−D ．{}1,0,1−2. 已知复数z 满足(1)|2|z i i +=−，则复数z 对应的点在第（）象限 A ．一B ．二C ．三D ．四3. 已知向量()()3,4,4,m ==a b ，且a b a b +=−，则b = A ．3B ．4C ．5D ．64. 在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数. 当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染1个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数呈指数级增长. 当基本传染数持续低于1时，疫情才可能逐渐消散. 接种疫苗是预防病毒感染的有效手段.已知某病毒的基本传染数05R =，若1个感染者在每个传染期会接触到N 个新人，这N 人中有V 个人接种过疫苗（VN称为接种率），那么1个感染者新的传染人数为()0R N V N−，为了有效控制病毒传染（使1个感染者传染人数不超过1），我国疫苗的接种率至少为 A ．75%B ．80%C ．85%D ．90% 5. 设n S 为正项等差数列{}n a 的前n 项和．若20232023S =，则4202014a a +的最小值为 A ．52B ．5C ．9D ．926. 已知π31cos1,2),a b c −+===，则 A ．a <b <cB ．c <a <bC ．c <b <aD ．a <c <b7. 已知克列尔公式：对任意四面体，其体积V 和外接球半径R 满足6RV =1111(),2p aa bb cc =++ 111,,,,,a a b b c c分别为四面体的三组对棱的长.在四面体ABCD 中，若AB CD AC BD ====21AD BC ==,则该四面体的外接球的表面积为A ．52π B ．3π C ．73π D ．5π8. 在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线2:2C y px =的准线与圆22:(1)1M x y ++=相切于点A ，直线AB 与抛物线C 切于点B ，点N 在圆M 上，则AB AN ⋅的取值范围为A ． [0,8]B ． [2−+C ． [4−+D ． 4]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广东省广州市华南师范大学附属中学2024届高三下学期5月月考数学试题(含解析)

华南师范大学附属中学2024届高三5月月考数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名､考号和座位号填写在答题卡指定区域内，并用2B 铅笔填涂相关信息.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔涂黑答题卡上对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在问卷上则答案无效.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的.1.设常数a ∈R ，集合()(){}{}10,1A x x x a B xx a =--≥=≥-∣∣，若A B ⋃=R ，则a 的取值范围为（）A.(),2∞-B.(],2∞-C.()2,∞+D.[)2,∞+2.在ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若2cos cos cos cos b c B C B C+=，则a =（）A.12 C.1 D.23.在0,1,2,3,4中不重复地选取4个数字，共能组成（）个不同的四位数.A.96B.18C.120D.844.“0x 是函数()f x 的一个极值点”是“()f x 在0x 处导数为0”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5.已知复数12,z z 的模长为1，且1212z z z z +=，则12z z +的值是（）A.1B.-1C.iD.i-6.已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，则下列命题中正确的是（）A.若m ∥,n n α⊂，则m ∥αB.若,αγβγ⊥⊥，则α∥βC.若,,,m n m n ααβγ⊥⊥⊂⊂，则β∥γD.若m ∥,n α∥α，则,m n 平行､相交､异面均有可能7.已知正实数,a b 满足21a b +=的取值范围是（）A.⎡⎢⎣B.⎡⎢⎣C.D.⎡⎢⎣8.已知在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()2211221:1,0x y E a b a b -=>的右焦点为F ，点D 为双曲线右支上一点，直线OD 交双曲线于另一点G ，且,2GF DF OD DF ⊥=，直线GF 经过椭圆()2222222:10x y E a b a b +=>>的下顶点，记1E 的离心率为12,e E 的离心率为2e ，则（）A.2212117e e += B.22121115e e +=C.221212115e e += D.22124115e e +=二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.使用统计手段科学预测传染病可以保障人民群众的生命健康.下表和散点图为某段时间内全球某传染病感染病例在第一次监测到之后数量随时间的变化，以时间为自变量x （单位为天），以监测到的病例总数为因变量y ，选择以下两个回归模型拟合y 随x 的变化：回归模型一：11(0)y k x b x =+>；回归模型二：2(0)mx y k e x =>，通过计算得出1125.14,16.3; 2.5,0.2k b k m ==-==，则下列说法正确的是（）x 157121620y29122963101A.使用回归模型一拟合的决定系数2R 大于使用回归模型二的决定系数2R B.通过模型二得出的经验回归方程的预报效果好于通过模型一得出的经验回归方程C.在首例病例出现后45天，该传染病感染人数很有可能在200人左右D.在首例病例出现后45天，该传染病的感染人数很有可能超过10000人10.函数()f x 和()g x 的定义域为R ，若()f x 的最小正周期为(),a g x 的最小正周期为b ，则（）A.()()f x g x +为周期函数B.()()f x g x 为周期函数C.x x f g b a ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为周期函数D.x x f g b a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为周期函数11.如图所示，在五面体EBDCA 中，,,ABE BCE DCE 都是等腰直角三角形，2AB AE DE DC ====，且平面ABE ⊥平面BCE ，平面DCE ⊥平面BCE ，则下列说法正确的有（）A.AD ∥平面BECB.五面体EBDCA 的外接球半径为2C.五面体EBDCA 的体积为D.五面体EBDCA 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.直线1l 的斜率为1k ，直线2l 的斜率为2k ，直线1l 不与直线2l 垂直，且直线1l 和直线2l 夹角的角平分线的斜率为122k k +，则1k 的取值范围是__________.13.在平面直角坐标系中，若以原点为中心的双曲线经过旋转变换后为函数()f x 的图象，函数()g x 的定义域为()0,∞+且()()(0)g x f x x =>，若()g x 在定义域内存在反函数，则双曲线离心率的取值范围为__________.14.已知实数,a b 满足()cos ae a b a ++=，则a 的值是__________，b 的取值集合是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（13分）已知ABC 的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且ABC 的面积cos S ac B =.（1）求角B 的大小；（2）若2a =，且ππ43A ≤≤，求边c 的取值范围16.（15分）如图，已知长方形ABCD 中，2,1,AB AD M ==为DC 的中点.将ADM 沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM .（1）求证：AD BM ⊥；（2）若(01)DE DB λλ=<< ，当二面角E AM D --大小为π3时，求λ的值.17.（15分）在一条只能沿单向行驶的高速公路上，共有()2n n ≥个服务区.现有一辆车从第n 个服务区向第1个服务区行驶，且当它从第(1)k k n <≤个服务区开出后，将等可能地停靠在第11k ~-个服务区，直到它抵达第1个服务区为止，记随机变量n X 为这辆车全程一共进入的服务区总数.（1）求3X 的分布列及期望；（2）证明：()()11n n E X E X +⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭是等差数列.18.（17分）已知椭圆2222:1(,0)x y E a b a b +=>的焦距为(),1,,2,1A B D ⎛⎛- ⎝⎝中恰有两点在椭圆E 上.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）椭圆E 上有三点,,G S T ，直线ST 过点()2,2C ，直线GS 与y 轴交于()0,h ，点M 为GS 中点，,,M O C 三点共线，直线GT 与直线OC 的交点为Q ，求三角形QGS 的面积关于h 的表达式.19.（17分）对给定的在定义域内连续且存在导函数的函数()f x ，若对在()f x 定义域内的给定常数a ，存在数列{}n a 满足1a 在()f x 的定义域内且1a a >，且对()*2,N ,n n y f x ∀≥∈=在区间()1,n a a -的图象上有且仅有在n x a =一个点处的切线平行于()(),a f a 和()()11,n n a f a --的连线，则称数列{}n a 为函数()f x 的“a 关联切线伴随数列”.（1）若函数()2f x x =，证明(),a f x ∀∈R 都存在“a 关联切线伴随数列”；（2）若函数()3(1)g x x =-，数列{}n a 为函数()f x 的“1关联切线伴随数列”，且11a =，求{}n a 的通项公式；（3）若函数()36sin h x mx x =+，数列{}n b 为函数()f x 的“b 关联切线伴随数列”，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，证明：当1,0m b ≥≥时，()112n n S b n b b +≥-+.华南师范大学附属中学2024届高三5月月考数学参考答案一､单选题12345678BDADADCB部分题目解析：3.四位数首位不能为零，故为544496A A -=种不同的四位数，答案选A .4.()3f x x =在0x =处导数为0，但0不是它的极值点，()f x x =在0x =处导数不存在，但0是它的极值点，因此是既不充分也不必要条件，答案选D.7.考虑椭圆2221x y +=和斜率为12-，纵截距和横截距均非负的直线2x y m +=，直线纵截距为2m，易得，答案选C.8.易得,D G 关于原点对称，连,DF FG ，设,2DF x OD x ==，则由勾股定理得,GF GF =的中点为M 则OM 为三角形GDF 对应DF 边的中位线，则,2x OM MF x ==且OM MF ⊥，由勾股定理解得2OF x =，椭圆()2222222:10x y E a b a b +=>>的下顶点为N ，则易得OMN FMO ~ ，解得2ON b x ==，则()2222222:10x y E a b a b +=>>的焦距2c 满足2222222415c a b a x =-=-，则22222224115c x e a a ==-，同时22124x e a=，因此22121115e e +=，答案选B ｡二､多选题91011BDCDABC部分题目解析：10.当R aQ b∈ð时，两个函数周期不存在最小整数公倍数，()()f x g x +和()()f x g x 可能不为周期函数，故AB 选项错误，但,x x f g b a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的周期均为ab ，因此x x f g b a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和x x f g b a ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭均有为ab 的周期，CD选项正确.11.过,A D 分别作平面BEC 的垂线，则容易证明,A D 两点到平面BEC 距离相等，且其在平面BEC 同侧，故A 选项正确，五面体EBDCA 的外接球球心位于BC 中点，其半径为2，故B 选项正确，五面体EBDCA的体积为C 选项正确，假设五面体EBDCA 存在内切球，设其半径为r ，则其平行于底面的球大圆内切于距底面高度为r 的梯形，梯形高为2r，下底为4-，两腰与下底的夹角均为π4，但容易验证此时梯形并不存在半径为r 的内切圆，故五面体EBDCA 不存在内切球，D 选项错误.三､填空题12.()1,1-13.)∞+14.（1）0；（2）()2πZ k k ∈部分题目解析：12.由于平移不影响斜率，不妨两条直线都过原点，设分别交(0)x m m =>于,,A B C 为AB 中点，则OC 斜率为122k k +，又两直线夹角为锐角，故必有π2BOA ∠<，且其为两直线夹角（否则角平分线在BOA ∠上方，无法满足过C 点），在AOB 中由三线合一，得OA OB =，故12k k =-，又成角为锐角，则111k -<<.13.由题得旋转变换后的图象为函数()f x 的图象，可知对于每一个x 都有唯一()f x ，故其一条渐近线必然为y 轴，又因0x >时每一个()f x 都有唯一x ，则另一条渐近线斜率0≤，故离心率为)∞+14.由1x e x ≥+（当且仅当0x =取等）和cos 1x ≤得0,cos 1a b ==，故(){}0,2πa bb k k Z ==∈∣.四､解答题15.（1）π3B =（2）21c ≤≤+解：（1）1πcos sin tan 23S B ac B B B ==∴=∴=.（2）：π2,3a B ∴==，2π2sin 2sin 3,11sin sin sin sin A a c C c A C A A ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴=∴===+=.ππ,2143A c ≤≤∴≤≤+16.（1）证明见解析（2）3λ=-取AM 的中点,O AB 的中点N ，则,,ON OA OD 两两垂直，以O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，如图，根据已知条件，得,,,A B M D ⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭⎝⎭⎝⎭⎝（1）由于(),0,AD BM ⎛== ⎝，则0AD BM ⋅=，故AD BM ⊥.（2）设存在满足条件的点E则,,E E E x y z λ⎛⎛= ⎝⎝则点E的坐标为⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.（其中[]0,1λ∈）易得平面ADM 的法向量可以取()10,1,0n =，设平面AME 的法向量为()2,,n x y z =，则(),AM AE ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭则)2200n AM n AE x y z ⎧⋅==⎪⎛⎫⎨⋅=++-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩解得()0:1:2x y z λλ=⎧⎨=-⎩，取()20,1,2n λλ=-由于二面角E AM D --大小为π3，则121212π1cos cos ,32n n n n n n ⋅====⋅，由于[]0,1λ∈，故解得3λ=.17.（1）分布列如下表，期望为（2）证明见解析（1）由题，3X 的可能取值为2，3，32X =当且仅当不进入第2个服务区，()3122P X ==，()()3313122P X P X ==-==，故分布列为X 23P1212期望为()1123 2.522E X =⋅+⋅=.（2）()()2nn ni E X iP Xi ===∑当共有1n +个服务区时，设事件“这辆车停靠在第n 个服务区”为A ，则()1P A n=，由于停靠在第n 个服务区后，后续过程可视为从第n 个服务区出发，总停靠次数为1n X +，若不停靠，则第n 个服务区对过程无影响，总停靠次数为n X ，故()()()()()()()()11111111n n n n n n n n E X E X E X E X E X E X n n n n n+--=++=++=+，因此()()11n n n E X E X +=-，为等差数列.18.（1）22:14xE y +=（212h h ⎫<<≠⎪⎪⎭（1）设222c a b =-，则c =，由椭圆的对称性，,1,A B ⎛⎛ ⎝⎝在椭圆上，代入得221314a b +=，联立解得222,1,:14x a b E y ==+=.（2）设()()1122,,,G x y S x y ，则222212121,144x x y y +=+=，相减得12211221122112211242x x y y x x y y y y x x y y x x +-+-⋅=⋅=-+-+-，而1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭，且,,M O C 三点共线，得121222x x y y ++=，故GS 斜率为14-，设1:4GS y x h =-+，其中1114h x y =+，联立得()()2211115244160x x y x x y -+++-=，因此1111111222283823,,555x y x y x y x x x y +-+++===设()33,T x y ，则()11333113235:835x y y GT y x x y y x x +-=-+--，与y x =联立得()()1313133113135382y y x x x x y x y y y x x +--=-++-，而由ST 过()2,2，设():22ST y k x -=-.联立得()()222241161616(1)40k x k k x k ++-+--=，故22131322161616(1)4,4141k k k x x x x k k ---+==++代入解得25x =，因此22,55Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且1:4GS y x h =-+，作QH ∥y 轴交GS 于21,510H h ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则QGS面积为212111||,||,22QH x x QH h x x -=--==12h h ⎫<<≠⎪⎪⎭.19.（1）证明见解析（2）1231nna -=+（3）证明见解析11证明：（1）由题得，()()()11n n n f a f a f a a a ---=-'，故12n n a a a -=+，即(){}12,n n n a a a a a a --=--为以1a a-为首项，12为公比的等比数列，显然这样的数列对于给定的1a a >是存在的.（2）设()()()11n n n g a g a g a a a ---=-'，即()()221311n n a a --=-，由题得1n a >（区间()1,n a a -），故)(){}111,1n n n a a a --=--为以11a -=为公比的等比数列，因此1213n n a --=，原数列通项公式为1231n n a -=+.（3）先证明12n n b b b ++<：设函数()()()()n n h b h b s x h x x b b -=--，则()()n s b s b =，()()()()n n h b h b s x h x b b --'=-'，则()10n s b +'=，定义()h x '的导函数为()(),h x h x ''''的导函数为()h x ''，则()()()()66sin ,66cos 66cos 0,00h x mx x h x m x x h x h '='''='''-≥≥'--≥=，且()()s x h x =''''，()()s x h x ='''''，令()()()()110n n w x s b x s b x x ++=+--≥，则()()()11n n w x s b x s b x ++=+'+'-'，()()()()()()1111,n n n n w x s b x s b x w x s b x s b x ++++''''''''=++-=+'--，()()()110n n w x s b x s b x ++=+''''''+'-'≥'，故()w x ''单调递增，()()00w x w ''≥'='，同理得()()00w x w '≥='，()()00w x w ≥=，故()()11(0)n n s b x s b x x +++>->，又()()()()()00,00,h x h s x s s x ''≥=≥='''''''单调递增在()1,n b b +有()()10,,n n s x b b +<'有()0s x '>因此取1n n x b b +=-，有()()()12n n n s b s b s b b +=>-，又()s x 在()1,n b b +单调递减，在()1,n n b b +单调递增，故12n n b b b ++<，即12n n b b b +<-，累加得()112n n S b n b b +≥-+.。

广东省华南师大附中高三数学5月月考试题理新人教A版

广东省华南师大附中2013届高三（下）5月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的1．（5分）已知i是虚数单位，则复数z=i+2i2+3i3所对应的点落在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：根据=i+2i2+3i3=1﹣2﹣3i=﹣1﹣3i复数z对应的点为（﹣1，﹣3），得出结论．解答：解：z=i+2i2+3i3=1﹣2﹣3i=﹣1﹣3i复数z对应的点为（﹣1，﹣3）所以复数z=i+2i2+3i3所对应的点落在第三象限．故选C点评：本题考查两个复数代数形式的乘法，复数与复平面内对应点之间的关系，是一道基础题．2．（5分）已知全集U=R，A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|x≥0}，则C U（A∪B）（）A．{x|0≤x＜2} B．{x|x≥0}C．{x|x≤﹣1} D．{x|x＞﹣1}考点：交、并、补集的混合运算．专题：常规题型．分析：本题为集合的运算问题，结合数轴有集合运算的定义求解即可．解答：解：∵A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|x≥0}，∴A∪B={x|x＞﹣1}，C U（A∪B）={x|x≤﹣1}．故选C．点评：本题考查集合的运算问题，考查数形集合思想解题．属基本运算的考查．3．（5分）公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a2a12=16，则log2a9=（）A．4B．5C．6D．7考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由等比数列的公比结合a2a12=16求出a2，则a9可求，代入log2a9可得答案．解答：解：因为等比数列的公比q=2，则由a2a12=16，得，即，解得，因为等比数列{a n}的各项都是正数，所以．则．所以log2a9=log216=4．故选A．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了对数式的求值，是基础的运算题．4．（5分）若则2x+y的取值范围是（）A．[，] B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]考点：简单线性规划的应用．专题：数形结合．分析：先画出可行域，将目标函数变形，画出目标函数对应的直线，再将直线平移由图求出函数值的范围．解答：解：画出可行域，如图阴影部分．将z=2x+y变形得y=﹣2x+z，画出对应的直线，由⇒A（﹣，）由图知当直线过A（﹣，）时，z最小为﹣；由⇒x2+（z﹣2x）2=1，⇒5x2﹣4zx+z2﹣1=0，由△=0得z=±，当直线与半圆相切时时，z最大为，所以z的取值范围是[﹣，]，故选C．点评：画不等式组表示的平面区域、利用图形求二元函数的最值，用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键．5．（5分）M、N分别是正方体AC1的棱A1B1、A1D1的中点，如图是过M、N、A和D、N、C1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为（）A．B．C．D．考点：简单空间图形的三视图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：正视图是光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图，结合三视图的作法，即可判断出其正视图．解答：解：由正视图的定义可知：点A、B、B1在后面的投影点分别是点D、C、C1，线段AN在后面的投影面上的投影是以D为端点且与线段CC1平行且相等的线段，即正视图为正方形，另外线段AM在后面的投影线要画成实线，被遮挡的线段DC1要画成虚线，即答案B正确．故选B．点评：本题考查三视图与几何体的关系，从正视图的定义可以判断出题中的正视图，同时要注意能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示．6．（5分）若将函数f（x）=2x5表示为f（x）=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a5（1+x）5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3=（）A．10 B．20 C．﹣20 D．﹣10考点：二项式定理的应用．专题：计算题；概率与统计．分析：可得f（x）=2x5=2[（x+1）﹣1]5，可知a3为展开式中（1+x）3的系数，由二项展开式可得．解答：解：由题意可得f（x）=2x5=2[（x+1）﹣1]5，可知a3为展开式中（1+x）3的系数，故可得含（1+x）3的项为2×（1+x）3×（﹣1）2，故a3=2×（﹣1）2=20，故选B点评：本题考查二项式定理的应用，配成关于（x+1）的二项式的展开形式是解决问题的关键，属中档题．7．（5分）（2012•陕西三模）在△ABC中，已知向量，，则△ABC的面积等于（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：计算题．分析：由向量模的求法，可得||、||，进而由数量积的应用，可得cos＜，＞=，可得sinB，由三角形面积公式，计算可得答案．解答：解：根据题意，=（cos18°，sin18°），易得||=1，=2（cos27°，sin27°），易得||=2，由数量积的性质，可得cos＜，＞=2×=，则sinB=，则S△ABC=×||×||×sinB=，故选A．点评：本题考查向量的数量积的运算与运用，要求学生能熟练计算数量积并通过数量积来求出向量的模和夹角．8．（5分）（2011•丰台区一模）对于定义域和值域均为[0，1]的函数f（x），定义f1（x）=f （x），f2（x）=f（f1（x）），，…，f n（x）=f（f n﹣1（x）），n=1，2，3，…．满足f n（x）=x的点x∈[0，1]称为f的n阶周期点．设f（x）=，则f的n阶周期点的个数是（）A．2n B．2（2n﹣1）C．2n D．2n2考点：函数与方程的综合运用．专题：压轴题；新定义．分析：本题考查的知识点是归纳推理，方法是根据已知条件和递推关系，先求出f的1阶周期点的个数，2阶周期点的个数，然后总结归纳其中的规律，f的n阶周期点的个数．解答：解：当x∈[0，]时，f1（x）=2x=x，解得x=0当x∈（，1]时，f1（x）=2﹣2x=x，解得x=∴f的1阶周期点的个数是2当x∈[0，]时，f1（x）=2x，f2（x）=4x=x解得x=0当x∈（，]时，f1（x）=2x，f2（x）=2﹣4x=x解得x=当x∈（，]时，f1（x）=2﹣2x，f2（x）=﹣2+4x=x解得x=当x∈（，1]时，f1（x）=2﹣2x，f2（x）=4﹣4x=x解得x=∴f的2阶周期点的个数是22依此类推∴f的n阶周期点的个数是2n故选C．点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想），属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分．（一）必作题（9～13题）9．（5分）（2005•上海）双曲线9x2﹣16y2=1的焦距是考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：先把双曲线方程化为标准方程，然后求出c，从而得到焦距2c．解答：解：将双曲线方程化为标准方程得﹣=1．∴a2=，b2=，c2=a2+b2=+=．∴c=，2c=．答案：．点评：先把双曲线化为标准形式后再求解，能够避免出错．10．（5分）= π2+1 ．考点：定积分．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：运用微积分基本定理和定积分的运算律计算即可．解答：解：=（x2﹣cosx）=π2﹣（﹣1）=π2+1故答案为：π2+1．点评：本题主要考查了定积分，运用微积分基本定理计算定积分．11．（5分）（2012•江西模拟）已知sin（﹣x）=，则sin2x的值为．考点：二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：利用诱导公式和两角和公式对sin2x化简整理，然后把sin（﹣x）=代入即可得到答案．解答：解：sin2x=cos（﹣2x）=1﹣2sin2（﹣x）=故答案为点评：本题主要考查了三角函数中的二倍角公式．属基础题．12．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是．考点：程序框图．专题：图表型．分析：题目给出了当型循环结构框图，首先引入累加变量s和循环变量n，由判断框得知，算法执行的是求的正弦值的和，n从1取到212．解答：解：通过分析知该算法是求和sin +sin +sin +…+sin ，在该和式中，从第一项起，每6项和为0，故sin +sin +sin +…+sin =35（sin +sin +sin +sin+sin +sin ）+sin +sin =．故答案为：．点评：本题考查了程序框图中的当型循环结构，当型循环结构是先判断再执行，若满足条件进入循环，否则结束循环，循环结构主要用在一些规律的重复计算，如累加、累积等，在循环结构中框图中，特别要注意条件应用，如计数变量和累加变量等．13．（5分）（2012•衡阳模拟）已知命题“∃x∈R，|x﹣a|+|x+1|≤2”是假命题，则实数a 的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．考点：命题的真假判断与应用．专题：综合题．分析：利用已知判断出否命题为真命题；构造函数，利用绝对值的几何意义求出函数的最小值，令最小值大于2，求出a的范围．解答：解：∵“∃x∈R，|x﹣a|+|x+1|≤2”是假命题∴“∃x∈R，|x﹣a|+|x+1|≤2”的否定“∀x∈R，|x﹣a|+|x+1|＞2”为真命题令y=|x﹣a|+|x+1|，y表示数轴上的点x到数a及﹣1的距离，所以y的最小值为|a+1|∴|a+1|＞2解得a＞1或a＜﹣3故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）点评：本题考查命题p与￢p真假相反、考查绝对值的几何意义、考查解决不等式恒成立常转化为求函数的最值．三.选作题（请考生在以下两个小题中任选一题作答）14．（5分）（2011•韶关一模）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知圆C极坐标方程是ρ=4cosθ直线l（t参数），圆心C到直线l的距离等于．考点：简单曲线的极坐标方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程．专题：计算题．分析：将直线的参数方程：与圆的极坐标方程ρ=4cosθ都化为普通方程，求出圆心坐标，再结合直角坐标系下的点到直线的距离公式求解即得．解答：解：直线l的参数方程为，（t为参数）消去参数t得：x+y﹣1=0．圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ．化成直角坐标方程得：x2+y2﹣4x=0，圆心C（2，0）圆心到直线的距离为：d，故答案为：．点评：考查圆的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式．要求学生能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．属于中等题15．（2013•河西区一模）（几何证明选做题）如图，已知P是⊙O外一点，PD为⊙O的切线，D为切点，割线PEF经过圆心O，若PF=12，PD=4，则⊙O的半径长为 4 ．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题．分析：利用切割线定理，可得PD2=PE×P F，代入计算即可得到圆的半径．解答：解：∵PD为⊙O的切线，D为切点，割线PEF经过圆心O∴PD2=PE×PF设圆的半径为r，∵PF=12，PD=4，∴48=（12﹣2r）×12∴r=4故答案为：4点评：本题考查圆的切线，考查切割线定理，考查计算能力，属于基础题．四、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象的一部分如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当时，求函数y=f（x）+f（x+2）的最大值与最小值及相应的值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的定义域和值域．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（1）由图象知A=2，T=8，从而可求得ω，继而可求得φ；（2）利用三角函数间的关系可求得y=f（x）+f（x+2）=2cos x，利用余弦函数的性质可求得x∈[﹣6，﹣]时y的最大值与最小值及相应的值．解答：解：（1）由图象知A=2，T=8．∴T==8．∴ω=．图象过点（﹣1，0），则2sin（﹣+φ）=0，∵|φ|＜，∴φ=，于是有f（x）=2sin（x+）．（2）y=f（x）+f（x+2）=2sin（x+）+2sin（x++）=2sin（x+）+2cos（x+）=2sin（x+）=2cos x．∵x∈[﹣6，﹣]，∴﹣π≤x≤﹣．当x=﹣，即x=﹣时，y max=；当x=﹣π，即x=﹣4时，y min=﹣2．点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查余弦函数的性质，考查规范分析与解答的能力，属于中档题．17．（12分）近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重，大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病，为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查，得到如下的列联表．患心肺疾病不患心肺疾病合计男 5女10合计50已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为，（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；（3）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行其它方面的排查，记选出患胃病的女性人数为ξ，求ξ的分布列、数学期望以及方差．下面的临界值表仅供参考：P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001K 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828考点：独立性检验．专题：概率与统计．分析：（1）根据在全部50人中随机抽取1人抽到患心肺疾病的概率为，可得患心肺疾病的人数，即可得到列联表；（2）利用公式求得K2，与临界值比较，即可得到结论．解答：解：（1）根据在全部50人中随机抽取1人抽到患心肺疾病生的概率为，可得患心肺疾病的为30人，故可得列联表补充如下患心肺疾病不患心肺疾病合计男20 5 25女10 15 25合计30 20 50（2）因为 K2=，即K2==，所以 K2≈8.333又 P（k2≥7.789）=0.005=0.5%，所以，我们有 99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的．点评：本题考查独立性检验知识，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（14分）数列{a n}是公差为正数的等差数列，a2、a5且是方程x2﹣12x+27=0的两根，数列{b n}的前n项和为T n，且T n=1﹣，（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）记c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和S n．考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（1）依题意，解方程x2﹣12x+27=0可得a2、a5，从而可得数列{a n}的通项公式；由T n=1﹣b n可求得数列{b n}的通项公式；（2）c n=a n•b n，利用错位相减法可求数列{c n}的前n项和S n．解答：解：（1）∵等差数列{a n}的公差d＞0，a2、a5且是方程x2﹣12x+27=0的两根，∴a2=3，a5=9．∴d==2，∴a n=a2+（n﹣2）d=3+2（n﹣2）=2n﹣1；又数列{b n}中，T n=1﹣b n，①∴T n+1=1﹣b n+1，②②﹣①得：=，又T1=1﹣b1=b1，∴b1=，∴数列{b n}是以为首项，为公比的等比数列，∴b n=；综上所述，a n=2n﹣1，b n=；（2）∵c n=a n•b n=（2n﹣1）•，∴S n=a1b1+a2b2+…+a n b n=1×+3×+…+（2n﹣1）×，③∴S n=1×+3×+…+（2n﹣3）×+（2n﹣1）×，④∴③﹣④得：S n=+2[++…+]﹣（2n﹣1）×，=+2×﹣（2n﹣1）×=﹣（2n+2）×，∴S n=4﹣（4n+4）×．点评：本题考查数列的求和，着重考查等差数列与等比数列的通项公式，突出考查错位相减法求和，属于中档题．19．（14分）（2012•商丘二模）如图，AA1、BB1为圆柱OO1的母线，BC是底面圆O的直径，D、E分别是AA1、CB1的中点，DE⊥面CBB1（Ⅰ）证明：DE∥面ABC；（Ⅱ）若BB1=BC，求CA1与面BB1C所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．专题：综合题．分析：（1）要证DE∥面ABC，可已由DE∥OA证得，而DE∥OA通过证明四边形AOED是平行四边形得出．（2）作过C的母线CC1，连接B1C1，连接CO1，则∠A1CO1为CA1与面BB1C所成角，在RT△A1O1C中求解．解答：（1）证明：连接EO，OA．∵E，O分别是CB1、BC的中点，∴EO∥BB1，又DA∥BB1，且DA=EO=BB1，∴四边形AOED是平行四边形，即DE∥OA，DE⊄面ABC，∴DE∥面ABC．（2）解：作过C的母线CC1，连接B1C1，则B1C1是上底面的直径，连接A1O1，得A1O1∥AO，又AO⊥面CBB1C1，所以，A1O1⊥面CBB1C1，连接CO1，则∠A1CO1为CA1与面BB1C所成角，设BB1=BC=2，则A1C==，A1O1=1，在RT△A1O1C中，sin∠A1CO1==点评：本题考查空间直线、平面位置关系的判定，线面角求解．考查空间想象能力、推理论证、转化计算能力．20．（14分）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆C：=1的上、下顶点分别为A、B，点P在椭圆C上且异于点A、B，直线AP、BP与直线l：y=﹣2分别交于点M、N；（I）设直线AP、BP的斜率分别为k1，k2求证：k1•k2为定值；（Ⅱ）求线段MN长的最小值；（Ⅲ）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由椭圆方程求出两个顶点A，B的坐标，设出P点坐标，写出直线AP、BP的斜率k1，k2，结合P的坐标适合椭圆方程可证结论；（Ⅱ）分别求出M和N点的坐标，由（Ⅰ）中的结论得到两直线斜率间的关系，把|MN|用含有一个字母的代数式表示，然后利用基本不等式求最值；（Ⅲ）设出以MN为直径的圆上的动点Q的坐标，由列式得到圆的方程，化为圆系方程后联立方程组可求解圆所过定点的坐标．解答：（Ⅰ）证明：由题设椭圆C：=1可知，点A（0，1），B（0，﹣1）．令P（x0，y0），则由题设可知x0≠0．∴直线AP的斜率，PB的斜率为．又点P在椭圆上，所以，从而有=；（Ⅱ）解：由题设可得直线AP的方程为y﹣1=k1（x﹣0），直线PB的方程为y﹣（﹣1）=k2（x﹣0）．由，解得；由，解得．∴直线AP与直线l的交点N（），直线PB与直线l的交点M（）．∴|MN|=||，又．∴|MN|=||=．等号成立的条件是，即．故线段MN 长的最小值为．（Ⅲ）解：以MN 为直径的圆恒过定点或．事实上，设点Q （x ，y ）是以MN 为直径圆上的任意一点，则，故有．又．所以以MN 为直径圆的方程为．令，解得或．所以以MN 为直径的圆恒过定点或．点评：本题考查了直线的斜率，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了代入法，考查了利用基本不等式求最值，考查了圆系方程，考查了学生的计算能力，是有一定难度题目．21．（14分）（2007•福建）已知函数f （x ）=e x﹣kx ，（1）若k=e ，试确定函数f （x ）的单调区间；（2）若k ＞0，且对于任意x ∈R ，f （|x|）＞0恒成立，试确定实数k 的取值范围；（3）设函数F （x ）=f （x ）+f （﹣x ），求证：F （1）F （2）…F （n ）＞（n ∈N +）．考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值；不等式的证明．专题：计算题；压轴题．分析：（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x ），在函数的定义域内解不等式fˊ（x ）＞0，f′（x ）＜0 （2）f （|x|）是偶函数，只需研究f （x ）＞0对任意x≥0成立即可，即当x≥0时f （x ）min ＞0（3）观察结论，要证F （1）F （2）…F（n ）＞，即证[F （1）F （2）…F（n ）]2＞（e n+1+2）n，变形可得[F （1）F （n ）][F （2）F （n ﹣1）]…[F（n ）F （1）]＞（e n+1+2）n ，可证F （1）F （n ）＞e n+1+2，F （2）F （n ﹣1）＞e n+1+2，F （n ）F （1）＞e n+1+2．问题得以解决．解答：解：（Ⅰ）由k=e 得f （x ）=e x ﹣ex ，所以f'（x ）=e x﹣e ．由f'（x ）＞0得x ＞1，故f （x ）的单调递增区间是（1，+∞），由f'（x ）＜0得x ＜1，故f （x ）的单调递减区间是（﹣∞，1）．（Ⅱ）由f （|﹣x|）=f （|x|）可知f （|x|）是偶函数．于是f （|x|）＞0对任意x ∈R 成立等价于f （x ）＞0对任意x≥0成立．由f'（x ）=e x﹣k=0得x=lnk ．①当k ∈（0，1]时，f'（x ）=e x﹣k ＞1﹣k≥0（x ＞0）．此时f （x ）在[0，+∞）上单调递增．故f （x ）≥f（0）=1＞0，符合题意． ②当k ∈（1，+∞）时，lnk ＞0．当x 变化时f'（x ），f （x ）的变化情况如下表： x （0，lnk ） lnk （lnk ，+∞） f′（x ） ﹣ 0 + f （x ）单调递减极小值单调递增由此可得，在[0，+∞）上，f （x ）≥f（lnk ）=k ﹣klnk ．依题意，k ﹣klnk ＞0，又k ＞1，∴1＜k ＜e ．综合①，②得，实数k 的取值范围是0＜k ＜e ．（Ⅲ）∵F（x ）=f （x ）+f （﹣x ）=e x +e ﹣x，∴F（x 1）F （x 2）=，∴F（1）F （n ）＞e n+1+2，F （2）F （n ﹣1）＞e n+1+2，F （n ）F （1）＞e n+1+2．由此得，[F （1）F （2）F （n ）]2=[F （1）F （n ）][F （2）F （n ﹣1）][F （n ）F （1）]＞（e n+1+2）n故，n ∈N *．点评：本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．。

华南师大附中高三综合测试(三)(理数参考答案)

数学（理科）参考答案一、ADCC ABBD3．由题意知，一元二次方程 x 2 + mx + 1 = 0有两不等实根，可得Δ > 0，即m 2－4 > 0，解得m > 2或m < －2.4．几何体为锥体，且底面积为 S = 12 ×2×2 = 2，高 h = 1 ⇒ V = 235．直线 x + y = 0与圆 x 2 + (y －a ) 2 = 1相切 ⇔ d =| a |2= 1 ⇔ a = ±2 6．由y = x 及y = x －2可得，x = 4，所以由y = x 及y = x －2及y 轴所围成的封闭图形面积为 ⎠⎛ 0 4(x －x + 2) dx = (23 x 32 －12 x 2 + 2x ) |04 = 163. 7．由仓库的存量知，五号仓库向左边相邻仓库运输的费用为 40×10×0.5，而一号，二号仓库加起来向右边相邻仓库运输的费用为 30×10×0.5，故想运费最少，必定要把货物运到五号仓库，故得 (10×40 + 20×30)×0.5 = 500 元8．由面积的增长由慢到快，再由快到慢得，曲线的切线方向由平转向陡，再由陡转向平，故选 D 二、9.12510. －1 11. 3 12. －8 13. (－∞,0) 14. 1或 5 11．∵12 = 4x + 3y ≥24x ×3y ，∴xy ≤3.当且仅当⎩⎨⎧4x = 3y4x + 3y = 12 即⎩⎨⎧x = 32 y = 2时xy 取得最大值312．作出可行域如图，在顶点 (－3,5) 达到最小值 13．∵ f’(x ) = 5ax 4 + 1x ，x ∈(0,+∞)，∴由题意知5ax 4 +1x= 0 在 (0,+∞) 上有解. 即 a = －15x5 在 (0,+∞) 上有解.∵ x ∈(0,+∞)，∴－15x 5 ∈(－∞,0).∴a ∈(－∞,0).14．a n = p 为奇常数 ⇒ a n +1 = 3p + 5 为偶数 ⇒ a n +2 = a n +12 k = 3p + 52 k 为奇数，故 3p + 52 k= p ⇒ p =52 k －3 ，由p 为正整数得 k = 2 或 k = 3 ⇒ p = 5 或 p = 1三、15．解：(1) 证明：由题设 a n +1 = 4a n －3n + 1，得 a n +1－(n + 1) = 4 (a n －n ) 又 a 1－1 = 1∴ 数列 {a n －n } 是首项为 1，且公比为 4的等比数列.(2) 由 (1) 可知 a n －n = 4 n －1∴ a n = 4 n －1 + n(∴ S n = 1－4 n 1－4 + n (n + 1)2 = 4 n －13 + n (n + 1)216．解：(1) 因为函数 f (x ) 的最小正周期为π，且 ω > 0 ∴2πω= π ⇒ ω = 2∴ f (x ) = 3 sin (2x + φ)∵ 函数 f (x ) 的图象经过点 (2π3 ,0)∴ 3 sin (2×2π3 + φ) = 0得4π3 + φ = k π，k ∈Z ，即φ = k π－ 4π3，k ∈Z . 由－π2 < φ < 0 ⇒ φ = －π3 ∴ f (x ) = 3 sin (2x －π3)(2) 依题意有g (x ) = 3sin [2×(x 2 + 5π12 )－π3 ] = 3sin (x + π2 ) =3 cos x由g (α) = 3cos α = 1，得cos α = 13由g (β) = 3 cos β = 324 ，得cos β = 24∵ α，β∈(0,π) ∴ sin α =223 ，sin β = 144∴ g (α－β) = 3cos (α－β) = 3 (cos α cos β + sin α sin β) = 3× (13 ×24 + 223 ×144 ) = 2 + 47417．解：(1) 取CE 中点M ，连结FM 、BM ， ∵ F 为CD 的中点 ∴ FM ∥ 12 DE又 AB ∥ 12DE∴ AB ∥ FM∴ ABMF 为平行四边形， ∴ AF ∥BM又 ∵ AF ⊄ 平面BCE ，BP ⊂ 平面BCE ， ∴ AF ∥平面BCE(2) AD = AC = 2，且 F 是 CD 的中点 ⇒ AF ⊥CD ∵ AB ⊥平面ACD ，DE ∥AB ∴ DE ⊥平面ACDABCD EFGM∴ DE ⊥AF又 AF ⊥CD ，CD ∩DE = D ∴ AF ⊥平面CDE 又BP ∥AF∴ BP ⊥平面CDE 又∵ BP ⊂平面BCE∴ 平面BCE ⊥平面CDE(3) ∵ AF = 3 ⇒ CD = 2 ∴ △ACD 为正三角形过C 作 CG ⊥AD 于G ，连结EG ，则G 为AD 中点. ∵ AB ⊥平面ACD ，CG ⊂ 平面ACD ∴ AB ⊥CG∵ CG ⊥AD ，CG ∩AD = G ∴ CG ⊥平面ADEB ∴ CG ⊥EG∴ ∠CEG 为直线CE 与面ADEB 所成的角.在 Rt △EDG 中，EG = DG 2 + EG 2 = 1 2 + 2 2 = 5 在 Rt △CDG 中，CG =CD 2－DG 2 = 2 2－1 2 = 3在 Rt △CEG 中，tan ∠CEG = CG GE = 35 = 155即直线CE 与面ADEB 所成的角的正切值为155. 解法二：AD = AC = 2，且 F 是 CD 的中点 ⇒ AF ⊥CD∵ AF = 3 ⇒ CD = 2 ∴ △ACD 为正三角形∵ AB ⊥平面ACD ，DE ∥AB ∴ DE ⊥平面ACD如图，以AF 延长线为 x 轴，FD 为 y 轴，过F 垂直于平面ACD 的垂线为 z 轴建立空间直角坐标系，则各顶点坐标为F (0,0,0)、C (0,－1,0)、D (0,1,0)、A (－ 3 ,0,0)、B (－ 3 ,0,1)、E (0,1,2) (1) CB → = (－ 3 ,1,1)，CE →= (0,2,2) 设平面BCE 的一个法向量为 m 1 = (x 1,y 1,z 1)则 m 1⊥CB → ，m 1⊥CE → ⇒ m 1·CB → = 0，m 1·CE →= 0 ⇒ － 3 x 1 + y 1 + z1 = 0，2y 1 + 2z 1 = 0 ⇒ x 1 = 0 ⇒ m 1 = (0,y 1,z 1) F A →= (－ 3 ,0,0) ∴F A → ·m 2 = 0又 AF ⊄ 平面BCEC(2) 显然，平面CDE 的一个法向量为 m 2 = (1,0,0) ⇒ m 1·m 2 = 0∴ 平面BCE ⊥平面CDE(3) AB → = (0,0,1)，AD → = ( 3 ,1,0)，CE →= (0,2,2) 设平面ABED 的法向量为 n = (x ,y ,z )则 n ⊥AB → ，n ⊥AD → ⇒ n ·AB → = 0，n ·AD →= 0 ⇒ z = 0， 3 x + y = 0取 x = 1 ⇒ y = － 3 ⇒ n = (1,－ 3 ,0) 设直线CE 与面ADEB 所成的角为 θ 则 sin θ = | n ·CE →|| n |·|CE →| = 232×22 = 64⇒ tan θ =155即直线CE 与面ADEB 所成的角的正切值为155.18．解：(1) 由题意：当0 < x ≤50时，v (x ) = 30当50 < x ≤200时，由于 v (x ) = 40－k250－x再由已知可知，当x = 200时，v (200) = 0 代入解得k = 2000∴ v (x ) = ⎩⎪⎨⎪⎧ 30，0 < x ≤5040－2000250－x ，50 < x ≤200 (2) 依题意并由(1)可得 f (x ) = ⎩⎪⎨⎪⎧ 30x ，0 < x ≤5040x －2000x 250－x ，50 < x ≤200 当0≤x ≤50时，f (x ) = 30x ，当x = 50时取最大值1500当50 < x ≤200时，f (x ) = 40x －2000x250－x= 40 {300－[(250－x ) + 12500250－x]} ≤40 [300－2(250－x )·12500250－x]= 40×(300－100 5 )≈4000×(3－2.236) = 3056取等号当且仅当 250－x = 12500250－x即 x = 250－50 5 ≈138时，f (x ) 取最大值 3056 > 1500综上，当车流密度为138 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3056辆/小时.答：当车流密度为138 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3056辆/小时.解二：(2) 依题意并由(1)可得 f (x ) = ⎩⎪⎨⎪⎧ 30x ，0 < x ≤5040x －2000x 250－x ，50 < x ≤200 当0≤x ≤50时，f (x ) = 30x ，当x = 50时取最大值1500当50 < x ≤200时，f (x ) = 40x －2000x 250－x = 40 (x + 50 + 12500x －250)∴ f ' (x ) = 40 [1－12500(x －250) 2 ] = 0 ⇒ x = 250－50 5f (x )max = f (250－50 5 ) = 4000 (3－ 5 )≈4000×(3－2.236) = 3056 > 1500综上，当车流密度为138 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3056辆/小时. 答：当车流密度为138 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3056辆/小时.19．解：(1) 设椭圆C 的方程为 x 2a 2 + y 2b 2 = 1(a > b > 0)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ e = c a =12 1a 2 + 94b 2 = 1 a 2 = b 2 + c 2解得 a 2 = 4，b 2 = 3 ∴ 椭圆 C ：x 24 + y 23 = 1(2) (i ) 易得 F (1,0)① 若直线 l 斜率不存在，则 l ：x = 1，此时 M (1, 32 )，N (1,－32 )，∴ FM → ·FN →= －94② 若直线 l 斜率存在，设 l ：y = k (x －1)，M (x 1,y 1)、N (x 2,y 2)，则由 ⎩⎪⎨⎪⎧ y =k (x －1) x 24 + y 23 = 1 消去 y 得：(4k 2 + 3) x 2－8k 2 x + 4k 2－12 = 0∴ x 1 + x 2 = 8k 24k 2 + 3 ，x 1 x 2 = 4k 2－124k 2 + 3又 y 1 = k (x 1－1)，y 2 = k (x 2－1)∴ FM → ·FN →= (x 1－1,y 1)·(x 2－1,y 2) = (x 1－1, k (x 1－1))·(x 2－1, k (x 2－1))= (1 + k 2) [x 1 x 2－(x 1 + x 2) + 1] = (1 + k 2) (4k 2－124k 2 + 3 －8k 24k 2 + 3 + 1) = －94－11 + k 2∵ k 2≥0 ∴ 0 <11 + k 2 ≤1 ∴ 3≤4－11 + k 2< 4 ∴ －3≤FM → ·FN →< －94综上，FM → ·FN →的取值范围为 [－3,－94](ii ) 线段MN 的中点为Q ，显然，MN 斜率存在，否则 T 在 x 轴上由 (i ) 可得，x Q = x 1 + x 22 = 4k 24k 2 + 3 ，y Q = k (x Q －1) = －3k4k 2 + 3∴ 直线OT 的斜率 k ' =y Q x Q = －34k， ∴ 直线OT 的方程为：y = －34k x从而 T (4,－3k)此时TF 的斜率 k TF = －3k －04－1 = －1k∴ k TF ·k MN = －1k·k = －1∴ TF ⊥MN20．解：(1) a > 0时，f’(x ) = e x －a ，令 f’(x ) = 0，解得 x = ln a ∵ x < ln a 时，f’(x ) < 0，f (x ) 单调递减； x > ln a 时，f’(x ) > 0，f (x ) 单调递增。

华南师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期月考(二)数学含答案

华南师大附中2023届高三月考（二）数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号等填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂.2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3．回答第Ⅱ卷时，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答卷各题目指定区域内，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}=0A x R x ∈≤，{}=11B x R x −∈≤≤，则()()RR A B =（）A ．(,0)−∞B ．[1,0]−C ．[0,1]D ．(1,)+∞2．如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的向量分别是OA ，OB ，则12z z 对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．函数()sin tan f x x x =⋅的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．4．赤岗塔是广州市级文物保护单位，是广州市明代建筑中较具特色的古塔之一，与琶洲塔、莲花塔并称为广州明代三塔，如图，在A 点测得塔底位于北偏东60°方向上的点D 处，塔顶C 的仰角为30°，在A 的正东方向且距D 点61m 的B 点测得塔底位于北偏西45°方向上（A ，B ，D 在同一水平面），则塔的高度CD 约为（）2.45≈）A ．40mB ．45mC ．50mD ．55m5．在ABC ∆中，D 为BC 边上的点，当2ABD ADC S S =△△，AB xAD y AC =+，则（） A ．3x =，2y =− B ．32x =，12y =− C ．2x =−，3y =D ．12x =−，32y =6．在ABC ∆中，2cos cos cos c bc A ac B ab C =++，则此三角形必是（） A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．钝角三角形7．设实数,a b 满足0b >，且2a b +=，则18a a b+的最小值是（） A ．98B ．916 C ．716D ．148．已知函数()2ln f x x x x =−的图象上有且仅有两个不同的点关于直线1y =的对称点在10kx y +−=的图象上，则实数k 的取值范围是（）A ．(),1−∞B ．[)0+∞，C ．[)0,1D ．(),1−∞−二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9．设,m n 为不同的直线，αβ，为不同的平面，则下列结论中正确的是（） A ．若//m α,//n α,则//m n B ．若,,m n αα⊥⊥则//m n C ．若//m α,m β⊂,则//αβ D ．若,,m n m n αβ⊥⊥⊥则αβ⊥ 10．函数()()sin f x x ωϕ=+(0,20,A πωϕ><>）的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（）A ．直线6x π=−是函数()f x 图象的一条对称轴B ．函数()f x 的图象关于点(),062k k Z ππ⎛⎫−+∈ ⎪⎝⎭对称 C ．函数()f x 的单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤−++∈⎢⎥⎣⎦D ．将函数()f x 的图象向由右平移12π个单位得到函数()sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象11．分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，分形几何学不仅让人们感悟到数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义．按照如图甲所示的分形规律可得如图乙所示的一个树形图：记图乙中第n 行白圈的个数为n a ，黑圈的个数为n b ，则下列结论中正确的是（） A ．1239a a a +=+B ．12n n n a b b +=+C ．当1k =±时，{}n n a kb +均为等比数列D ．1236179b b b b ++++=12．曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度，曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大．曲线()y f x =在点(,())x f x 处的曲率()()() 1.52''()1f x K x f x '=⎡⎤+⎣⎦，其中()''f x 是()f x '的导函数．下面说法正确的是（）A ．若函数3()f x x =，则曲线()y f x =在点3(,)a a −−与点3(,)a a 处的弯曲程度相同B ．若()f x 是二次函数，则曲线()y f x =的曲率在顶点处取得最小值C ．若函数()sin f x x =，则函数()K x 的值域为[0,1]D ．若函数1()(0)f x x x =>，则曲线()y fx =第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知向量,a b 夹角为4π，且||1a =，||2b =，则2a b +=______． 14．已知1sin 83πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则sin2cos2αα+=__________．15．某学生在研究函数()3f x x x =−时，发现该函数的两条性质：①是奇函数；②单调性是先增后减再增．该学生继续深入研究后发现将该函数乘以一个函数()g x 后得到一个新函数()()()h x g x f x =，此时()h x 除具备上述两条性质之外，还具备另一条性质：③()'00h =．写出一个符合条件的函数解析式()g x =__________．16．已知数列{}n a 的通项公式为n a n t =+，数列{}n b 为公比小于1的等比数列，且满足148b b ⋅=，236b b +=，设22n n n n n a b a b c −+=+，在数列{}n c 中，若4()n c c n N *≤∈，则实数t 的取值范围为__________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos cos tan 2sin sin B AB A+=−A ．(1)求C ；(2)若6a =，ABC S ∆=c 的值．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，122n n a S +=+． (1)求{}n a 的通项公式； (2)若23n n a b n =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．（本小题满分12分）某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”，收集了使用该型号电动汽车1年以上的部分客户的相关数据，得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”．从年龄在40岁以下的客户中抽取10位归为A 组，从年龄在40岁及以上的客户中抽取10位归为B 组，将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成下图，其中“+”表示A 组的客户，“⊙”表示B 组的客户．注：“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值．(1)记A ，B 两组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值分别为m ，n ，根据图中数据，试比较m ，n 的大小（直接写结论）；(2)从抽取的20位客户中随机抽取2位，求其中至少有1位是A 组的客户的概率；(3)如果客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”不小于350，那么称该客户为“驾驶达人”，现从该市使用这种电动汽车的所有客户中，随机抽取年龄40岁以下和40岁以上的客户各1位，记“驾驶达人”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望． 20．（本小题满分12分）在斜三棱柱111ABC A B C −中，1AA BC ⊥，11AB AC AA AC ====，1B C = (1)证明：1A 在底面ABC 上的射影是线段BC 中点； (2)求平面11A B C 与平面111A B C 夹角的余弦值．已知()2,0A ，()0,1B 是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的两个顶点．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)过点()2,1P 的直线l 与椭圆E 交于C ，D 两点，与直线AB 交于点M ，求PM PMPC PD+的值．22．（本小题满分12分）设函数1()e ,()ln x f x m g x x n −==+，m n 、为实数，()()g x F x x=有最大值为21e ．(1)求n 的值； (2)若2()()e f x xg x >，求实数m 的最小整数值．华南师大附中2023届高三月考（二）数学参考答案一、单项选择题：1．D 2．C 3．A 4．C 5．A 6．B 7．C 8．A 二、多项选择题：9．BD 10．BCD 11．BCD 12．ACD 11. 【答案】BCD【详解】易得-1113,2,2n n n n n n n n n a b a a b b b a +++==+=+，且有111,0a b ==，故有11113()n n n n n n n n a b a b a b a b +++++=+⎧⎨−=−⎩，故131n n n n na b a b −⎧+=⎪⎨−=⎪⎩ 故11312312n n n n a b −−⎧+=⎪⎪⎨−⎪=⎪⎩，进而易判断BCD 正确，A 错误.故选：BCD. 12.【答案】ACD【详解】对于A ，2()3f x x '=，()6f x x ''=，则22 1.56()[1(3)]x K x x =+，又()()K x K x =−，所以()K x 为偶函数，曲线在两点的弯曲长度相同，故A 正确；对于B ，设2()(0)f x ax bx c a =++≠，()2()2f x ax b f x a '''=+=，，则 1.52|2|()1(2)a K x ax b =⎡⎤++⎣⎦，当且仅当20ax b +=，即2bx a=−时，曲率取得最大值，故B 错误；对于C ，()cos ()sin f x x f x x '''==−，，()()1.51.522|sin |()(|sin |[0,1])1cos 2x tK x t x x t −===∈+−，当0t =时，()0K x =；当01t <≤时，函数()1.52()2tp t t =−为增函数，所以()p t 的最大值为(1)1p =，故C 正确；对于D ，2312()()f x f x x x '''=−=，，3 1.542()11x K x x =≤⎛⎫+ ⎪⎝⎭，当且仅当1x =时，等号成立，故D 正确．故选ACD ．三、填空题：13.14.915. 2x （答案不唯一） 16. []4,2−− 16.【详解】在等比数列{}n b 中，由142388b b b b ⋅=⇒⋅=，又236b b +=，且公比小于1，323214,2,2b b b q b ∴==∴==，因此242211422n n n n b b q −−−⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由22n nn n n a b a b c +=+－，得到()(){},n n n n n n nn b a b c c a a b ⎧≤⎪=∴⎨>⎪⎩是取,n n a b 中最大值. 4()n c c n N *≤∈，4c ∴是数列{}n c 中的最小项，又412n n b −⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，n a n t =+单调递增，∴当44c a =时，4n c c ≤，即44,n a c a ≤∴是数列{}n c 中的最小项，则必须满足443b a b <≤，即得44341143222t t −−⎛⎫⎛⎫<+≤⇒−<≤− ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当44c b =时，4n c c ≤，即4n b c ≤，4b ∴是数列{}n c 中的最小项，则必须满足445a b a ≤≤，即得44145432t t t −⎛⎫+≤≤+⇒−≤≤− ⎪⎝⎭，综上所述，实数t 的取值范围是[]4,2−−，故答案为[]4,2−−.四、解答题： 17．（1）由2cos cos tan 2sin sin B A A B A +=−得2cos cos sin 2sin sin cos B A AB A A+=−，(1分)即222cos cos cos 2sin sin sin B A A B A A +=−，()222cos cos sin sin cos sin B A B A A A ∴−=−−， ()1cos 2B A ∴+=−，(3分)()0A B π+∈，，2π3A B ∴+=，(4分) π3C =∴．(5分) （2）由6a =，π3C =，1sin 2ABC S ab C ∆== 解得2b =，(7分)22212cos 364262282c a b ab C ∴=+−=+−⨯⨯⨯=，c ∴=．(10分) 18．解： (1)122n n a S +=+，① 当2n ≥时，122n n a S −=+，②(1分) ①-②得()1122n n n n n a a S S a +−−=−=，(2分) ∴13(2)n n a a n +=≥，∴13n na a +=，(3分)∵12a =，∴21226a S =+=，∴21632a a ==也满足上式，（4分) ∴数列{}n a 为等比数列且首项为2，公比为3，∴111323n n n a a −−=⋅=⋅.即{}n a 的通项公式为123n n a −=⨯.(5分)(2)由（1）知123n n a −=⨯，所以233n n n n nb a ==，(6分) 令211213333n n n n nT −−=++++，①(7分)得231112133333n n n n nT +−=++++，②(8分) ①-②得23121111333333n n n nT +=++++−(9分)1111331313n n n +⎛⎫− ⎪⎝⎭=−− (10分)1111233n n n +⎛⎫=−− ⎪⎝⎭ (11分) 所以323443n nn T +=−⨯.(12分) 19．解：（1）m n <；(1分)（2）设“从抽取的20位客户中随机抽取2位，至少有1位是A 组的客户”为事件M ，则()112101010220C C C 29C 38P M +==，所以从抽取的20位客户中随机抽取2位，至少有1位是A 组的客户的概率是2938；(4分) （3）题图，知A 组“驾驶达人”的人数为1人，B 组“驾驶达人”的人数为2人，(5分) 则可估计该市使用这种电动汽车的所有客户中，在年龄40岁以下的客户中随机抽取1位，该客户为“驾驶达人”的概率为110，在年龄40岁以上的客户中随机抽取1位，该客户为“驾驶达人”的概率为21105=；(6分) 依题意，X 所有可能取值为0，1，2.(7分)则()111801110525P X ⎛⎫⎛⎫==−⨯−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(8分)()11111311110510550P X ⎛⎫⎛⎫==−⨯+⨯−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(9分)()111210550P X ==⨯=，(10分) 所以随机变量X 的分布列为故X 数学期望为181313()01225505010E X =⨯+⨯+⨯=.(12分)20. 解：（1）法一：取BC AC 、的中点M N 、，连接11,,,AM MN A M A N ∵AB AC =且M 为BC 的中点，则AM BC ⊥(1分) 又∵1AA BC ⊥，1AMAA A =，且1,AM AA ⊂平面1AA M∴BC ⊥平面1AA M (2分)1A M ⊂平面1AA M ，1A M ∴⊥BC (3分)由题意可得1BB BC ⊥，则2BC == ∴222BC AC AB =+，则AB AC ⊥ ∵MN AB ∥，则MN AC ⊥(4分)又∵1AAC △为等边三角形且N 为AC 的中点，则1A N AC ⊥ 1MNA N N =，且1,MN A N ⊂平面1A MN∴AC ⊥平面1A MN1A M ⊂平面1A MN ，则1A M ⊥AC (5分)又ACBC C =，且,AC BC ⊂平面ABC∴1A M ⊥平面ABC 即1A 在底面ABC 上的射影是线段BC 中点M (6分) 法二：取BC 的中点M ，连接1,M 由=AB AC 得AM BC ⊥(1分) 又由A A BC A AAM A ⊥１１，＝得BC A AM⊥１平面(2分) 因为A M A AM ⊂１１平面，所以BC A M ⊥１(3分) 由于11//BB AA ，1AA BC ⊥得1BB BC ⊥在1Rt BB C ∆中，2BC ===，112MC BC ==在1Rt A MC ∆中，11A M ===，(4分)同理1AM =在1A AM ∆中，22211+2A M AM A A ==，因此1A M AM ⊥(5分)又由于AM BC M =，所以1A M ⊥平面ABC 即1A 在底面ABC 上的射影是线段BC 中点M (6分)（2）如图，以M 为坐标原点，以1MC MA MA ，，所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，(7分)则()()()()10,0,1,0,1,0,1,0,0,1,0,0A A B C −，∴()()1111,1,0,1,0,1B A BA CA ===−(8分)设平面11A B C 的法向量(),,m x y z =，则11100m B A m CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即00x y x z +=⎧⎨−+=⎩ 令1x =，则1,1y z =−=，即()1,1,1m =−(9分) 平面111A B C 的法向量()0,0,1n =(10分) ∴13cos 33m n m n m n⋅⋅===(11分)即平面11A B C 与平面111A B C .(12分)21．解：（1）由()2,0A ，()0,1B 是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的两个顶点，得2a =，1b =，即22:14x E y +=；(3分) （2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 与椭圆有且只有一个公共点，不成立，(4分) 所以设()11,C x y ，()22,D x y ，()33,M x y ，直线l 的斜率为k ，则(12P x x P C x =−=− 同理(22x PD =−(32x PM =−，则33122222x x x x PMPMPC PD −−=+−−+ (5分) 设l ：()12y k x −=−，而AB ：12x y +=，联立解得3421k x k =+，所以342222121k x k k −=−=++ (6分) 联立直线l 与椭圆E 方程，消去y 得：()()2224182116160k x k k x k k +−−+−=，(7分) ()()()222=82144116160k k k k k ∆⎡−⎤−+−>⎣⎦解得0k > 所以()12282141k k x x k −+=+，2122161641k k x x k −=+，(8分) 所以()()()1212121212124411222224x x x x x x x x x x x x +−+−+=−=−−−−−−++(9分) ()()2222821441218211616244141k k k k k k k k k k −−+=−=+−−−⨯+++，(11分) 所以()33122222122221x x k x x k −−+=⨯+=−−+，即2PM PM PC PD+=．(12分) 22．解：(1)()ln ()g x x n F x x x +==，定义域为()0,∞+， 21ln ()x n F x x −−='，(1分) 当10e n x −<<时，()0F x '>，当1e n x −>时，()0F x '<，所以()F x 在1e n x −=处取得极大值，也是最大值，(2分) 所以1211()e en n n F x −−+==，解得：1n =−；(3分) (2)()12e ln 1e x m x x −>−，即()3e ln 1x m x x −>−,()3ln 1e x x x m −−>，(4分) 令()()3ln 1e x x x h x −−=，定义域为()0,+∞，()3ln ln e x x x x x h x −'−+=，(5分) 令()ln ln x x x x x ϕ=−+，0x >，则()11ln 11ln x x x x x ϕ=−−+=−'，可以看出()1ln x x xϕ=−'在()0,+∞单调递减，(6分) 又()110ϕ'=>，()12ln 202ϕ=−<'，由零点存在性定理可知：()01,2x ∃∈，使得()00x ϕ'=，即001ln x x =，(7分) 当()00,x x ∈时，()0x ϕ'>，当()0,x x ∈+∞时，()0x ϕ'<， ()x ϕ在0x x =处取得极大值，也是最大值， ()()000000max 01ln ln 111x x x x x x x x ϕϕ==−+=−+>=，(8分) 1112110e e e e ϕ⎛⎫=−++=−< ⎪⎝⎭，7777775717ln ln ln 75ln 022********ϕ⎛⎫⎛⎫=−+=−=−> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()446ln 20ϕ=−<，故存在101,e x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，27,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()()120,0x x ϕϕ==，(9分) 所以当()12,x x x ∈时，()0x ϕ>，当()()120,,x x x ∞∈⋃+时，()0x ϕ<，所以()3ln ln ex x x x x h x −'−+=在()12,x x x ∈上大于0，在()()120,,x x x ∞∈⋃+上小于0，所以()()3ln 1e x x x h x −−=在()12,x x x ∈单调递增，在()()120,,,x x +∞上单调递减，且当e x <时，()()3ln 10e x x x h x −−=<恒成立，(10分) 所以()()3ln 1ex x x h x −−=在2x x =处取得极大值，也是最大值，其中2222ln ln 0x x x x −+=， ()()22222233ln 1ln e ex x x x x h x −−−==，27,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭(11分) 令()3ln e x x x φ−=，7,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ()31ln e x x x x φ−'−=，当7,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()31ln 0ex x x x φ−−=<'，故()7327ln 21ex φ−<<，所以实数m 的最小整数值为1. (12分)。

华南师大附中高三数学综合测试(文,五月word版)

华南师大附中高三综合测试数学(文科)2009.5 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号填写在答题卡的密封线内．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回．参考公式：如果事件A、B互斥，那么P (A+B) = P (A) + P (B)锥体的体积公式V = 13Sh，其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高第一部分选择题(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果复数(2－bi)i (其中b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b＝(***)(A) －2 (B) 2 (C) －1 (D) 12．己知集合P={1,3}，集合Q={x| mx－1=0}，若Q⊆P，则实数m的取值集合为(***)(A) {1} (B) { 13} (C) {1，13} (D) {0，1，13}3．已知某个几何体的三视图如右，其中主视图和左视图（侧视图）都是边长为a的正方形，俯视图是直角边长为a的等腰直角三角形，则此几何体的表面积为(***)(A) (3+ 2 )a2 (B) 4a2(C) (4+ 2 )a2(D) 3 2 a24．若曲线y = 2x －x 3在点(－1，－1)处的切线为l ，则点P (2，4)到直线l 的距离为(***)(A) 4 2 (B) 2 2 (C) 8 (D) 4 5．右边框图表示的程序所输出的结果是(***)(A) 3 (B) 5(C) 15 (D) 1056．一个公司有N 个员工，下设一些部门，现采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为n 的样本 (N 是n 的倍数)．已知某部门被抽取了m 个员工，那么这一部门的员工数是 (***)(A) mn N (B) mN n (C) nN m (D) Nn +m7．已知 f (x ) = x 2－2x +8，如果g (x ) = f (x+2) ，则g (x ) (***)(A) 在区间(－∞，1]上是单调减函数，在区间[1, +∞)上是单调增函数； (B) 在区间(－∞，0]上是单调减函数，在区间[0, +∞)上是单调增函数； (C) 在区间(－∞，－1]上是单调减函数，在区间[－1, +∞)上是单调增函数； (D) 在区间(－∞，3]上是单调减函数，在区间[3, +∞)上是单调增函数．8．不等式a +b > |a -b |成立的一个充分不必要条件是(***) (A) a <1, b <1 (B) a >1, b <1 (C) a <1, b >1 (D) a >1, b >19．已知F 1、F 2为椭圆E 的左右两个焦点，以F 1为顶点，F 2为焦点的抛物线C 恰好经过椭圆短轴的两个端点，则椭圆离心率为(***)(A) 19 (B) 16 (C) 13 (D) 1210．已知⎪⎪⎪⎪a b c d = ad －bc ，则⎪⎪⎪⎪3 57 9 +⎪⎪⎪⎪11 1315 17 +……+⎪⎪⎪⎪2003 20052007 2009 = (***) (A) －2007 (B) －2008 (C) 2008 (D) 2009第二部分非选择题(共100分)二、填空题：本大题共5小题，其中11～13是必做题，14～15是选做题，每小题5分，满分20分．11．若投掷两次骰子，先后得到的点数为n m ,，则向量),(n m 与向量(－1，2)垂直的概率是*** ．12．已知实数x , y 满足不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧ y ≤xx +y ≤2 y ≥0，那么目标函数z =x +3y 的最大值是*** ．13．给出以下四个命题，所有正确命题的序号为 *** ． (1) 若定义在R 上的偶函数f (x )在（0，+∞）上单调递增，则f (x )在（－∞，0）上单调递减； (2) 函数962+-=kx kx y 的定义域为R ，则k 的取值范围是0<k ≤1； (3) 要得到y = 3sin (2x + π4 )的图象，只需将y =3sin 2x 的图象右移 π4 个单位； (4) 若函数 f (x ) = x 3－ax 在[1,+∞)上是单调递增函数，则a 的最大值是3．请从下面两题中选做一题，如果两题都做，以第一题的得分为最后得分．14． (坐标系与参数方程)设P (x , y ) 是曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧ x = －2 + cos θ y = sin θ (θ 为参数)上任意一点，则 yx 的取值范围是*** ．15．（几何证明选讲）如图，已知EB 是半圆O 的直径，A 是BE 延长线上一点，AC 是半圆O 的切线， BC ⊥AC 于C ，若BC =6，AC =8，则AE =*** ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程．CDA E OB·一个袋子里装有大小、形状完全相同的红球、黄球各3个，现从中取两个球，求两球颜色相同的概率。

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广东省华南师大附中2010-2011学年高三下学期5月综合测试数学
试题（理）
本试卷共21小题满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹铅笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位
号填写在答题卡上，用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答，漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：球体体积公式343
V π=，其中R 为球的半径。

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合{(,)|2},{(,)|4}A x y x y B x y x y =+==-=，那么集合A B 为（） A ．3,1x y ==- B ．(3,1)- C ．{3,1}- D ．{(3,1)}-
2．已知复数z 的实部为-1，虚部为2，则5i z = （）
A ．2+i
B ．2-i
C ．-2-i
D ．-2+i 3．已知随机变量~(,)B n p ξ，且12, 2.4,
E D ξξ==则n 与p 的值分别是（）
A ．15与0.8
B ．16与0.8
C ．20与0.4
D ．12与0.6 4．如图，该程序运行后输出的结果为
（） A ．5
B ．6
C ．9
D ．10 5．为了得到函数3lg 10
x y +=的图像，只需把函数lg y x = 的图像上所有的点（）
A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
6．O 为平面内的动点，A 、B 、C 是平面内不共线的三点，满足0OA OB OC λ+=≠，则点O 轨迹必过ABC ∆的
（） A ．垂心 B ．外心 C ．重心 D ．内心
7．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，则“()f x 是周期函数”的一个充要条件是
（）
A ．()cos f x x =
B ．,()()a R f a x f a x ∀∈+=-
C ．(1)(1)f x f x +=-
D ．(0),()()a R a f a x f a x ∃∈≠+=- 8．函数2(0)y x x =>的图象在点2(,)n n a a 处的切线与x 轴交点的横坐标为*1()n a n N +∈，
若116a =，
则数列{}n a 的通项公式为
（） A ．*()n a n n N =∈
B ．5*2()n n a n N -=∈
C ．2*2()
n n a n N -=∈ D ．52(2)n n a n -=≥ 二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分）
（一）必做题（9~13题）
9．6
的展开式中常数项是。

10．已知1
220()(2)f a ax a x dx =-⎰，则函数()f a 的最大值为。

11．已知直线:0l ax by c ++=与圆22:1O x y +=相交于A 、B 两点，||3,AB =则OA OB ⋅= 。

12．某体育彩票规定：从01到36共36个号码中抽出7个号码为一注，每注2元。

某人想
先选定吉利号18，然后再从01至17中选3个连续的号，从19至29中选2个连续的号，从30至36中选1个号组成一注，则此人把这种要求的号买全，至少要花花。

13．已知m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，有下列命题：
①若,//,//;m n m n αα⊂则 ②//,//,//m m αβαβ若则； ③若,,//m m n n αα⊥⊥则； ④若,,//m m αβαβ⊥⊥则；其中真命题的个数是个。

（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）极坐标系中，直线l 的极坐标方程
为sin()26π
ρθ+=，则极点在直线l 上的射影的极坐标是。

15．（几何证明选做题）如图，PA 切圆O 于点A ，割线PBC 经过
圆心O ，OB=PB=1，OA 绕点O 逆时针旋转60︒到OD ，则
PD 的长为。

三、解答题：本大题共6小题，满分80分。

解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）
已知A 、B 是单位圆O 上的动点，且A 、B 分别在第一、二象限，C 是圆O 与x 轴
正半轴的交点，AOB ∆为等腰直角三角形，记.AOC α∠=
（1）求A 点的坐标为34(,)55，求22sin sin 2cos cos 2αααα
++的值；（2）求|BC|的取值范围。

17．（本小题满分12分）
口袋里装有大小相同的卡片八张，其中三张标有数字1，三张标有数学2，二张标
有数字3，第一次从口袋里任里任意抽取一张，放回口袋里后第二次再任意抽取一张，记第一次与第二次取到卡片上数字这和为.ξ
（1）ξ为何值时，其发生的概率最大？说明理由；
（2）求随机变量ξ的期望.E ξ
18．（本小题满分14分）
如图，在斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧面11AA B B ⊥底面ABC ，
侧棱AA 1与底面ABC 成60︒ 的角，AA 1=2。

底面ABC 是边长为2的正三角形，其重心为G 点，E 是线段BC 1上一点，且
11.3
BE BC = （1）求证：GE//侧面AA 1BB ；
（2）求平面B 1GE 与底面ABC 所成锐二面角的正切值。

19．（本小题满分14分）
已知函数2()log ,f t t t =∈
（1）求()f t 的值域G ；
（2）若对于G 内的所有实数x ，不等式22
221x mx m m -+-+≤成立，求实数m 的取值范围。

20．（本小题满分14分）已知A 、B 分别为曲线2
22:1(0)x C y a a
+=>与x 轴的左、右两个交点，直线l 过点B 且与x 轴垂直，P 为l 上异于点B 的点，连结AP 与曲线C 交于点M 。

（1）若曲线C 为圆，M 为圆弧AB 的三等分点，试求点P 的坐标；
（2）设N 是以BP 为直径的圆与线段BM 的交点，若O 、N 、P 三点共线，求a 的值。

21．（本小题满分14分）
设函数2()f x x ax b =++（a ，b 为实常数），数列{},{}n n a b 定义为：
*1111,2()15,().22n n n n
a a f a
b n N a +==+=∈+已知不等式2|()||2430|f x x x ≤+-对任意实数x 均成立。

（1）求实数a ，b 的值；
（2）若将数列{}n b 的前n 项和与乘积分别记为n S 和n T ，证明：对任意正整数
1,2n n n n T S ++为定值；
（3）证明：对任意正整数n ，都有42[1()] 2.5n
n S -≤<。