天津市南开区2020届高三数学一模试题 理(无答案)
天津市南开区2020年高考数学模拟试卷(4月份) 含解析
天津市南开区2020年高考模拟考试（4月份）数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）设全集为U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合S＝{1，3，5}，T＝{3，6}，则∁U （S∪T）等于（）A．∅B．{1，3，5，6} C．{2，4，7} D．{2，4，6} 2．（3分）已知命题p：x2+2x﹣3＞0，命题q：x＞a，且q的一个必要不充分条件是p，则实数a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1] C．[﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣3] 3．（3分）为了调查学生的复习情况，高三某班的全体学生参加了一次在线测试；成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．若成绩在[60，80）的人数是16，则低于60分的人数是（）A．6 B．12 C．15 D．184．（3分）函数的部分图象可能是（）A．B．C．D．5．（3分）若圆C的圆心在第一象限，圆心到原点的距离为，且与直线4x﹣3y＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是（）A．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1C．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5 D．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝56．（3分）已知函数f（x）＝，设，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．b＞a＞c7．（3分）已知函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，则f （x）的解析式为（）A．B．C．D．8．（3分）已知点A是抛物线y2＝4x与双曲线﹣＝1（b＞0）的一个交点，若抛物线的焦点为F，且|AF|＝4，则点A到双曲线两条渐近线的距离之和为（）A．2B．4 C．2D．29．（3分）已知函数，若方程f（x）＝ax有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（0，1] D．（1，+∞）二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）10．（3分）若（i是虚数单位，a是实数），则a＝．11．（3分）二项式的展开式中，常数项为．12．（3分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是CC1上一点，设四棱锥D﹣A1ABB1的体积为V1，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V2，则V1：V2＝．13．（3分）甲、乙两名枪手进行射击比赛，每人各射击三次，甲三次射击命中率均为；乙第一次射击的命中率为，若第一次未射中，则乙进行第二次射击，射击的命中率为，如果又未中，则乙进行第三次射击，射击的命中率为．乙若射中，则不再继续射击．则甲三次射击命中次数5的期望为，乙射中的概率为．14．（3分）已知存在正数a，b使不等式成立，则x的取值范围．15．（3分）在平面四边形ABCD中，AB＝BC＝2CD＝2，∠ABC＝60°，∠ADC＝90°，若＝＝＝，则2•+•＝；若P为边BC上一动点，当•取最小值时，则cos∠PDC的值为．三、解答题（共5小题，满分75分）16．（14分）在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，若△ABC的面积为，a﹣b＝1，a cos C﹣c sin A＝0．（Ⅰ）求c及cos A；（Ⅱ）求cos （2A﹣C）的值．17．（15分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝AA1，AB⊥AC，p为线段BC1上一点．（Ⅰ）若BP＝PC1，求PC与AA1所成角的余弦值；（Ⅱ）若，求PC与平面ABB 1A1所成角的大小；（Ⅲ）若二面角A1﹣AC﹣P的大小为45°，求的值．18．（15分）已知数列{a n}的前n项和S n＝．数列{b n}满足：b1＝b2＝2，b n+1b n＝2n+1（n∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求．19．（15分）已知点F是椭圆b＞0）的右焦点，过点F的直线I交椭圆于M，N两点．当直线l过C的下顶点时，l的斜率为，当直线l垂直于C的长轴时，△OMN的面积为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）当|MF|＝2|FN|时，求直线l的方程；（Ⅲ）若直线l上存在点P满足|PM|，|PF|，|PN|成等比数列，且点P在椭圆外，证明：点P在定直线上．20．（16分）已知函数f（x）＝axlnx﹣x a，其中a∈R．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为x﹣y﹣e＝0，其中e＝2.71828…是自然对数的底数，求a的值：（Ⅱ）若函数f（x）是（1，+∞）内的减函数，求正数a的取值范围；（Ⅲ）若方程f（x）＝0无实数根，求实数a的取值范围．天津市南开区2020年高考模拟（4月份）数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）设全集为U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合S＝{1，3，5}，T＝{3，6}，则∁U （S∪T）等于（）A．∅B．{1，3，5，6} C．{2，4，7} D．{2，4，6}【分析】先算出S与T的并集，再算出S∪T关于U的补集即可．【解答】解：因为全集为U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合S＝{1，3，5}，T＝{3，6}，所以：S∪T＝{1，3，5，6}；∴∁U（S∪T）＝{2，4，7}；故选：C．【点评】本题主要考查了集合的并、交、补集混合运算，属于基础知识的考查．2．（3分）已知命题p：x2+2x﹣3＞0，命题q：x＞a，且q的一个必要不充分条件是p，则实数a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1] C．[﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣3] 【分析】先化简再判断充要性．【解答】解：命题p：x2+2x﹣3＞0，解之得x＜﹣3或x＞1，且q的一个必要不充分条件是p，则a≥1，故选：A．【点评】本题考查解不等式，以及充要性，属于基础题．3．（3分）为了调查学生的复习情况，高三某班的全体学生参加了一次在线测试；成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．若成绩在[60，80）的人数是16，则低于60分的人数是（）A．6 B．12 C．15 D．18【分析】根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系即可解答．【解答】解：有直方图得成绩在[60，80）的频率为1﹣（0.005+0.010+0.015）×20＝0.4，又成绩在[60，80）的人数是16，∴总人数＝40，则低于60分的人数是40×0.015×20＝12，故选：B．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率、频数与样本容量的应用问题，是基础题．4．（3分）函数的部分图象可能是（）A．B．C．D．【分析】由f（0）＞0，函数不具有奇偶性，以及x＞0时，函数值大于0，结合选项即可得解．【解答】解：，则可排除A；又函数不具有奇偶性，则可排除C；当x＞0时，e x+sin x＞0，3+cos x＞0，则可排除B．故选：D．【点评】本题考查利用函数性质确定函数图象，属于基础题．5．（3分）若圆C的圆心在第一象限，圆心到原点的距离为，且与直线4x﹣3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（）A．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1C．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5 D．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5【分析】根据题意，设圆心C的坐标为（m，n），分析可得n＝r，由两点间距离公式可得m2+n2＝5，由直线圆相切的性质可得r＝，联立解可得m、n的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，设圆C的圆心C的坐标为（m，n），（m＞0，n＞0）由于圆C 与x轴相切，则圆C的半径n＝r，又由圆心到原点的距离为，则有m2+n2＝5，圆C与4x﹣3y＝0相切，则有r＝，即n2＝，解可得m＝2，n＝1，则圆的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1；故选：B．【点评】本题考查圆的标准方程的计算，涉及直线与圆相切的性质，属于基础题．6．（3分）已知函数f（x）＝，设，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．b＞a＞c【分析】分析得函数f（x）为奇函数且在R上单调递减，通过化简比较0.312，log20.31，ln4的大小，根据函数的单调性，比较a，b，c的大小关系．【解答】解：函数f（x）＝，f（﹣x）＝＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数．∵y＝e x在R上为增函数，∴f（x）在R上为减函数．a＝f（0.312），，c＝f（2ln2）＝f（ln4）．∵，∴b＞a＞c．故选：D．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性，需要熟练掌握常见函数的性质和图象，属基础题目．7．（3分）已知函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，则f （x）的解析式为（）A．B．C．D．【分析】先据图象的最高点与最低点求出A，然后根据零点间的横向距离是四分之一周期的倍数求出T，进而求出ω的值，最后利用对应的观点结合范围求出φ的值．【解答】解：易知A＝2．，T＝π，∴．∴，∴，又﹣π＜φ＜0，k＝0时，φ＝符合题意．故f（x）＝2cos（2x﹣）．故选：C．【点评】本题考查了利用五点法作图根据图象求解析式，要注意最后求φ时的对应思想．属于中档题．8．（3分）已知点A是抛物线y2＝4x与双曲线﹣＝1（b＞0）的一个交点，若抛物线的焦点为F，且|AF|＝4，则点A到双曲线两条渐近线的距离之和为（）A．2B．4 C．2D．2【分析】求出A的坐标，代入双曲线方程求出b，然后求解双曲线的渐近线方程．【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点为F，且F A＝4，可得F（1，0），则A（3，±2），点A是抛物线y2＝4x与双曲线﹣＝1（b＞0）一个交点，a＝，可得，解得b＝，则渐近线方程为y＝±x，不妨令A（3，2），则点A到这两条渐近线的距离之和d＝+＝2，故选：A．【点评】本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属于中档题．9．（3分）已知函数，若方程f（x）＝ax有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（0，1] D．（1，+∞）【分析】显然x＝0满足，然后当x≠0时，研究与y＝a产生三个根，显然在x＜0时一个，在x＞0时，一元二次方程有两个正根，问题可求解．【解答】解：由题意x＝0满足方程f（x）＝ax．①当x＜0时，只需有一个负根，即，解得0＜a＜1；②当x＞0时，只需x2﹣（a+1）x+a＝0有两个正根即可．方程可化为（x﹣1）（x﹣a）＝0，故两根为1，或a．由题意只需a＞0且a≠1．综合①②可知，当0＜a＜1时，方程f（x）＝ax有4个不同的实数根．故选：B．【点评】本题考查了函数零点个数的判断方法，本题是直接解方程进行判断．注意方程与不等式的相互应用．同时考查学生运用转化与化归思想、函数与方程思想解题的能力．是一道中档题．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）10．（3分）若（i是虚数单位，a是实数），则a＝2．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为0且实部大于求解a值．【解答】解：∵＞，∴，解得a＝2．故答案为：2．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．11．（3分）二项式的展开式中，常数项为﹣．【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得结论．【解答】解：二项式的展开式的通项公式为：T r+1＝•（）5﹣r•（﹣）r＝（﹣1）r•••x；令＝0⇒r＝3；∴展开式中，常数项为：（﹣1）3••＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．12．（3分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是CC1上一点，设四棱锥D﹣A1ABB1的体积为V1，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V2，则V1：V2＝2：3．【分析】设点D到底面ABC，A1B1C1的距离分别为h1，h2．三棱柱ABC﹣A1B1C1的高为H，则h1+h2＝H．利用三棱锥、三棱柱的体积计算公式即可得出．【解答】解：设点D到底面ABC，A1B1C1的距离分别为h1，h2．三棱柱ABC﹣A1B1C1的高为H，则h1+h2＝H．＝＝＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了三棱锥、三棱柱的体积计算公式，考查考生的计算能力，属于基础题．13．（3分）甲、乙两名枪手进行射击比赛，每人各射击三次，甲三次射击命中率均为；乙第一次射击的命中率为，若第一次未射中，则乙进行第二次射击，射击的命中率为，如果又未中，则乙进行第三次射击，射击的命中率为．乙若射中，则不再继续射击．则甲三次射击命中次数5的期望为，乙射中的概率为．【分析】甲击中的次数X～B（3，），由此能求出甲三次射击命中次数的期望，利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率加法公式能求出乙射中的概率．【解答】解：甲、乙两名枪手进行射击比赛，每人各射击三次，甲三次射击命中率均为，则甲击中的次数X～B（3，），∴甲三次射击命中次数的期望为E（X）＝3×＝，乙第一次射击的命中率为，第一次未射中，则乙进行第二次射击，射击的命中率为，如果又未中，则乙进行第三次射击，射击的命中率为．乙若射中，则不再继续射击．则乙射中的概率为：P＝＝．故答案为：，．【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布、互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．14．（3分）已知存在正数a，b使不等式成立，则x的取值范围（1﹣，1）．【分析】存在性问题转化为最大值，运用均值不等式＝≤＝，求出的最大值，转化成解对数不等式log2（1﹣x）＜，进而解出x．【解答】解：∵＝≤＝，由于a＞0，b＞0，则2a+3b＞0，∴≤，当且仅当2b＝2a+3b时，∴有最大值，＞＞＞＞＞又存在正数a，b使不等式成立，则log2（1﹣x）＜，即0＜1﹣x＜2，∴1﹣＜x＜1．故答案为：（1﹣，1）．【点评】本题考查均值不等式的应用，对数不等式的解法，和存在性问题，属于中档题．15．（3分）在平面四边形ABCD中，AB＝BC＝2CD＝2，∠ABC＝60°，∠ADC＝90°，若＝＝＝，则2•+•＝；若P为边BC上一动点，当•取最小值时，则cos∠PDC的值为．【分析】根据题意可知△ABC是等边三角形，△ADC是有一个内角为60°的直角三角形．又知道它们的边长，所以可以建立坐标系，将问题坐标化后进行计算求解．【解答】解：∵平面四边形ABCD中，AB＝BC＝2CD＝2，∠ABC＝60°，∠ADC＝90°，∴△ABC是边长为2的等边三角，在Rt△ADC中，AC＝2，CD＝1，所以∠ACD＝60°．又＝＝＝，∴E，F，G是BC边的四等分点．如图建立坐标系：则：A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），D（），E（﹣），F（0，0），G（）．所以2•+•＝2（）•（）+（）•（0，）＝．再设P（x，0），∴•＝•（1﹣x，0）＝x2﹣x＝（x﹣）2﹣．（﹣1≤x≤1）显然x＝时，•最小，此时P（）．∴＝＝．故答案为：，．【点评】本题考查平面向量在几何问题中的应用，通过建系将问题坐标化是一种常见的求角或距离的解题方法．同时考查学生运用转化思想、数形结合思想、函数思想等的解题能力．属于中档题．三、解答题（共5小题，满分75分）16．（14分）在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，若△ABC的面积为，a﹣b＝1，a cos C﹣c sin A＝0．（Ⅰ）求c及cos A；（Ⅱ）求cos （2A﹣C）的值．【分析】（Ⅰ）由已知利用正弦定理，同角三角函数基本关系式结合sin A≠0可求tan C＝，结合范围C∈（0，π），可求C的值，利用三角形的面积公式可求ab的值，结合已知可求a，b的值，根据余弦定理即可求解．（Ⅱ）由（Ⅰ）利用同角三角函数基本关系式可得sin A，利用二倍角公式可求sin2A，cos2A 的值，进而根据两角差的余弦函数公式即可计算得解．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a cos C﹣c sin A＝0，∴sin A cos C﹣sin C sin A＝0，∵sin A≠0，∴cos C﹣sin C＝0，即tan C＝，∵C∈（0，π），∴C＝，∴S△ABC＝ab＝，解得ab＝6，又a﹣b＝1，解得a＝3，b＝2，又余弦定理可得c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝7，解得c＝，∴cos A＝＝，（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sin A＝，∴sin2A＝2sin A cos A＝，cos2A＝2cos2A﹣1＝﹣，∴cos（2A﹣C）＝cos2A cos C+sin2A sin C＝（﹣）×+＝﹣．【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，余弦定理，二倍角公式，两角差的余弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．17．（15分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝AA1，AB⊥AC，p为线段BC1上一点．（Ⅰ）若BP＝PC1，求PC与AA1所成角的余弦值；（Ⅱ）若，求PC与平面ABB 1A1所成角的大小；（Ⅲ）若二面角A1﹣AC﹣P的大小为45°，求的值．【分析】（Ⅰ）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PC与AA1所成角的余弦值．（Ⅱ）设P（a，b，c），由，得P（，2﹣，2﹣），从而＝（，1﹣，2﹣），求出平面ABB1A1的法向量，由此能求出PC与平面ABB1A1所成角的大小．（Ⅲ）求出平面ACP的法向量和平面A1AC的法向量，利用同量法能求出当二面角A1﹣AC﹣P的大小为45°时的值．【解答】解：（Ⅰ）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝AA1，AB⊥AC，p为线段BC1上一点．以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝1，则B（1，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，1），C1（0，1，1），∵BP＝PC1，∴P（），∴＝（），＝（0，0，1），设PC与AA1所成角为θ，则PC与AA1所成角的余弦值为：cosθ＝＝．（Ⅱ）设P（a，b，c），由，得（a﹣1，b，c）＝（﹣a，1﹣b，1﹣c），解得P（，2﹣，2﹣），∴＝（，1﹣，2﹣），设PC与平面ABB1A1所成角为α，∵平面ABB1A1的法向量为＝（0，1，0），∴sinα＝＝＝，∴PC与平面ABB1A1所成角的大小为30°．（Ⅲ）设＝＝（﹣λ，λ，λ），则＝＝（1，﹣1，0）+（﹣λ，λ，λ），＝（1﹣λ，λ﹣1，λ），设平面ACP的法向量＝（a，b，c），则，取z＝λ﹣1，得＝（λ，0，λ﹣1），平面A1AC的法向量＝（1，0，0），∵二面角A1﹣AC﹣P的大小为45°，∴cos45°＝＝，解得．∴当二面角A1﹣AC﹣P的大小为45°时，＝1．【点评】本题考查民面直线所成角的余弦值、线面角的大小、满足二面角的两线段比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18．（15分）已知数列{a n}的前n项和S n＝．数列{b n}满足：b1＝b2＝2，b n+1b n＝2n+1（n∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求．【分析】（Ⅰ）直接根据前n项和与通项的关系求出数列{a n}的通项公式，再根据递推关系式求出数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）先根据a i（b2i﹣1﹣）＝i•2i﹣；然后利用错位相减求和法分别求和，整理即可求得结论．【解答】解：（Ⅰ）当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝﹣＝n；n＝1时，a1＝S1＝1适合上式，所以：a n＝n；∵b1＝b2＝2，b n+1b n＝2n+1；∴b n b n﹣1＝2n（n≥2）；∴b n+1＝2b n﹣1，（n≥2）；∴数列{b n}的奇数项和偶数项都是首项为2，公比为2的等比数列；∴b n＝．（Ⅱ）∵a i（b2i﹣1﹣）＝i•2i﹣；设M＝1•x+2•x2+3•x3+…+（n﹣1）•x n﹣1+n•x n，（x≠0，1）①∴xM＝1•x2+2•x3+…+（n﹣1）•x n+n•x n+1；②①﹣②得（1﹣x）M＝x+x2+x3+…+x n﹣n•x n+1＝﹣n•x n+1；∴M＝；∴i•2i＝＝（n﹣1）•2n+1+2；＝＝2﹣；∴a i（b2i﹣1﹣）＝（n﹣1）•2n+1+．【点评】本题主要考查数列递推公式的应用以及错位相减求和的应用，计算量较大，学生易错．19．（15分）已知点F是椭圆b＞0）的右焦点，过点F的直线I交椭圆于M，N两点．当直线l过C的下顶点时，l的斜率为，当直线l垂直于C的长轴时，△OMN的面积为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）当|MF|＝2|FN|时，求直线l的方程；（Ⅲ）若直线l上存在点P满足|PM|，|PF|，|PN|成等比数列，且点P在椭圆外，证明：点P在定直线上．【分析】（Ⅰ）根据题意得：＝，，及a2＝b2+c2，解得a，b，进而可得椭圆得方程．（Ⅱ）分两种情况：当直线l与x轴重合时，|MF|＝3|FN|，不合题意．当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为x＝ty+1，M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线与椭圆得方程，结合根与系数关系得y1+y2，y1y2，由|MF|＝2|FN|，得y1＝﹣2y2，组成方程组解得t，进而可得直线l得方程．（Ⅲ）设P（x0，y0），分两种情况讨论，当直线l与x轴重合时，当直线l与x轴不重合时，由|PM|•|PN|＝|PF|2，解得x0＝，所以点p在定直线x＝上．【解答】解：（Ⅰ）由题设：＝，，解得a＝2，b＝，所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）当直线l与x轴重合时，|MF|＝3|FN|，不合题意．当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为x＝ty+1，M（x1，y1），N（x2，y2），联立，消去x整理得（3t2+4）y2+6ty﹣9＝0，有y1+y2＝①，y1y2＝②，由|MF|＝2|FN|，得y1＝﹣2y2③，联立①②③得＝，解得t＝±．所以直线l的方程为x±2y﹣＝0．（Ⅲ）设P（x0，y0）当直线l与x轴重合时，因为点p在椭圆外，所以x0+2，x0﹣2同号，由|PM|•|PN|＝|PF|2，得（x0+2）（x0﹣2）＝（x0﹣1）2，解得x0＝，当直线l与x轴不重合时，由（Ⅱ）知y1+y2＝，y1y2＝，因为|PM|＝，|PN|＝，|PF|＝，因为点p在椭圆外，所以y1﹣y0，y2﹣y0同号，由|PM|•|PN|＝|PF|2，得（y1﹣y0）（y2﹣y0）＝y02，解得x0＝，整理得y1y2﹣y0（y1+y2）＝0，即，解得y0＝，代入直线l方程x＝ty+1，得x0＝，所以点p在定直线x＝上．【点评】本题考查椭圆得标准方程，直线与椭圆相交，等比数列，考查转化能力和计算能力．20．（16分）已知函数f（x）＝axlnx﹣x a，其中a∈R．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为x﹣y﹣e＝0，其中e＝2.71828…是自然对数的底数，求a的值：（Ⅱ）若函数f（x）是（1，+∞）内的减函数，求正数a的取值范围；（Ⅲ）若方程f（x）＝0无实数根，求实数a的取值范围．【分析】（I）先对函数求导，然后根据导数的几何意义及已知切线方程即可求解；（II）结合导数与单调性的关系可转化为f′（x）＝a（lnx+1）﹣ax a﹣1≤0在（1，+∞）内恒成立，结合函数的性质可求；（III）结合导数及函数的性质，进行合理的转化后结合导数可求．【解答】解：（I）f′（x）＝a（lnx+1）﹣ax a﹣1，由曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为x﹣y﹣e＝0可得e﹣f（e）﹣e＝0即f（e）＝ae﹣e a＝0，f′（e）＝2a﹣ae a﹣1＝1，故a＝1，（II）若函数f（x）是（1，+∞）内的减函数，则f′（x）＝a（lnx+1）﹣ax a﹣1≤0在（1，+∞）内恒成立，令g（x）＝lnx+1﹣x a﹣1，则，①0＜a≤1时，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上单调递增，所以g（x）＞g（1）＝0，②若1＜a＜2，当x，g′（x）＞0，g（x）单调递增，g（x）＞g（1）＝0，③a≥2时，x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，g（x）＜g（1）＝9综上，a≥2时，满足题意；（III）由f（x）＝0可得alnx﹣x a﹣1＝0，若a＝1，则x＝1是方程alnx﹣x a﹣1＝0的根，故a≠1，令t＝x a﹣1，则＝x，原方程可化为，①a＝0时，没有实根，②a≠0，a≠1时，方程可化为，令h（t）＝，则，当t∈（0，e）时，h′（t）＞0，h（t）单调递增，当t∈（e，+∞）时，h′（t）＜0，h（t）单调递减，所以h（t）≤h（e）＝，若没有实根，则，解可得a＜0或a＞，综上a≤0或a＞【点评】本题综合考查了导数的几何意义，导数与单调性，导数与零点的综合应用，属于综合性试题．。
南开区2019～2020学年度第二学期高三年级总复习质量检测(一)参考答案
（10）2；
（11）– 5 ； 2
（12）2∶3；
（13） 12 ， 63 ；（第一个空 2 分，第二个空 3 分） 5 64
（14）(1– 2 ，1)； （15） 13 ， 5 7 ．（第一个空 2 分，第二个空 3 分） 2 14
三、解答题：（其他正确解法请比照给分）
（16）解：（Ⅰ）由 3 acosC–csinA=0 得 3 sinAcosC–sinCsinA=0， …………1 分
∵sinA＞0，∴ 3 cosC–sinC=0，即 tanC= 3 ，
∵0＜C＜，∴C= ． 3
∴S△ABC=
3 ab= 3 3 ，即 ab=6，
4
2
又 a–b=1，解得 a=3，b=2．
由余弦定理得 c2=a2+b2–2abcosC=7，解得 c= 7 ，
…………2 分 …………3 分
…………6 分 …………7 分
∴g(x)＜g(1)=0．
综上，a≥2 时，f(x)是(1，+∞)内的减函数．
…………10 分
（Ⅲ）方程 f(x)=0方程 alnx–xa–1=0．
若 a=1，则 x=1 是方程 alnx–xa–1=0 的解，∴a≠1．
1
令 t=xa–1，则 x= t a1 ，
∴方程 alnx–xa–1=0方程 a lnt=t． a 1
南开区高三年级模拟考试(一)参考答案 第 5 页（共 7 页）
知 e–f(e)–e=0，即 f(e)=ae–ea=0，f(e)=2a–aea–1=1，
解得 a=1．
………5 分
（Ⅱ）若函数 f(x)是(1，+∞)内的减函数，
则 f(x)=a(lnx+1)–axa–1≤0 在(1，+∞)恒成立．
2020届天津市南开区高三下学期一模考试数学(理)试题(解析版)
由 SF=2FE 得 F( , , ) 平面
平面 SBC
Ⅱ.设 （x1，y1，z1）是平面 SBD 的一个法向量，
由于
，则有
令
，则
，即
。
设直线 SA 与平面 SBD 所成的角为 ，而
为锐角
而
（II）
，
，
，又
，
【点睛】
本题考查三角恒等变换中两角和差的余弦公式、利用正弦定理和余弦定理解三角形的问
题，属于基础题.
16．现有长分别为 、 、 的钢管各 3 根（每根钢管的质地均匀、粗细相同且富
有不同的编号），从中随机抽取 根（假设各钢管被抽取的可能性是均等的，
），
再将抽取的钢管相接焊成笔直的一根.
【解析】由已知得 求得结果. 【详解】 由
，将
变为
，利用基本不等式
又 均为正实数，则
当且仅当
时取最小值
本题正确结果： 【点睛】 本题考查利用基本不等式求和的最小值问题，关键在于能够通过已知条件将所求式子凑 出乘积为定值的形式.
14．设函数
，若函数
离你单之和的取值范围是_____．
有三个零点，则这三个
的取值范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式 ；②只需要根据一个条件 第 5 页 共 19 页
得到关于 的齐次式，转化为 的齐次式，然后转化为关于 的方程(不等式)，解方 程(不等式)，即可得 ( 的取值范围)．
8．如图，在 中，
，
， 为 上一点，且满足
，
若
的面积为 ，则 的最小值为（ ）
A．
第 12 页 共 19 页
（III）在线段 上是否存在点 ，使二面角 长；若不存在，请说明理由.
天津市南开区2020届高三高考模拟理科综合测试(一)物理试题 PDF版含答案
由
e v B
v2 m
（2 分）
r
故最小磁感应强度为 5mv
12ae
解得 B 5mv （1 分） 12ae
（3）由电流定义式 I q ne （2 分） tt
时间 t 内由 M 口射出的电子数 n = It e
时间
t
内从
M
单位面积射出的电子数：n0
=
n dh
=
3It （2 ahe
分）
时间 t 内从 A 中发射的电子数
第1页
11．（16 分）
解：（1）由图像乙可知，当 t1＝1 s 时，线框完全进入磁场，此后线框内无感应电流，F 恒 定不变。即 t＝1 s 时，F1＝2.0 N（1 分），有 F1＝ma（2 分），得 a＝2 m/s2
线框的边长
L＝v0t–
1 2
at2（2
分），得
L＝3
m
当
t0＝0
时，F0＝1.0
2019-2020 学年度第二学期南开区高三年级模拟考试（一）
物理答案
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
A
C
B
D
C
AC
AB
ACD
9． （1）①11.07 ② 如图所示 ③ 0.52（0.51～0.53） （2）① F，D，A ② C ③ ka，k–R2
10．（14 分）
解：（1）从 A 到 B 过程中，物体受力分析如图所示
30πIt N = n0S = n0 2πbh = e
（2 分）
圆柱体 A 发射电子的功率为
P
W
N 1 mv2 2
15 Imv2
（2+1+1
天津市南开区2020届高三数学第一次模拟考试 理(无答案)
南开区2020学年度第二学期高三年级总复习质量检测(一)数学试卷(理工类) 201 4．03本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ｉ卷1至3页，第II卷4至10页．祝各位考生考试顺利！第I卷注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上；2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：·如果事件A，B互斥，那么()()()P A B P A P B=+U ·如果事件A，B相互独立，那么()()()P AB P A P B=g·棱柱的体积公式V Sh=柱体，其中S表示棱柱的底面积， h表示棱柱的高·球的体积公式343V Rπ=球，其中R表示球的半径．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)若集合A={|10x x-≥}，B={|||2x x>}，则集合A BU等于( )．(A) {|1x x≥} (B) {|21x x x<->或}(C) {|22x x x<->或} (D) {|21x x x<-≥或}(2)已知实数x，y满足约束条件503x yx yx-+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则24z x y=+的最小值是（）.(A) 5 (B) -6(C) 10 (D) -l0(3)若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B等于( )．(A) 7 (B) 15(C) 31 (D) 63(4)已知下列三个命题：①棱长为2的正方体外接球的体积为43π；②如果将一组数据中的每一个数都加上同一个非零常数，那么这组数据的平均数和方差都改变；③直线310x y-+=被圆22(1)4x y-+=截得的弦长为23．其中真命题的序号是( )。
天津市南开区2019-2020学年高考第一次大联考数学试卷含解析
天津市南开区2019-2020学年高考第一次大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．()6321x x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项为( ) A ．－60 B ．240 C ．－80 D ．180【答案】D 【解析】 【分析】求()6321x x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项，可转化为求62x ⎫⎪⎭展开式中的常数项和31x 项，再求和即可得出答案. 【详解】由题意，62x ⎫⎪⎭中常数项为2426260C x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，62x ⎫⎪⎭中31x 项为4246321240C x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()6321x x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项为：3x ⨯31240160180x-⨯=. 故选：D 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用和二项式展开式的通项公式，考查学生计算能力，属于基础题.2．抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，若点(1,0)A -，则PFPA的最小值为（ ）A ．12B ．2C D ．3【答案】B 【解析】 【分析】通过抛物线的定义，转化PF PN =，要使||||PF PA 有最小值，只需APN ∠最大即可，作出切线方程即可求出比值的最小值． 【详解】解：由题意可知，抛物线24y x =的准线方程为1x =-，(1,0)A -，过P 作PN 垂直直线1x =-于N ，由抛物线的定义可知PF PN =，连结PA ，当PA 是抛物线的切线时，||||PF PA 有最小值，则APN ∠最大，即PAF ∠最大，就是直线PA 的斜率最大， 设在PA 的方程为：(1)y k x =+，所以2(1)4y k x y x =+⎧⎨=⎩， 解得：2222(24)0kx k x k -++=，所以224()2440k k ∆=--=，解得1k =±， 所以45NPA ∠=︒，||2cos ||2PF NPA PA =∠=． 故选：B ．【点睛】本题考查抛物线的基本性质，直线与抛物线的位置关系，转化思想的应用，属于基础题．3．已知数列{}n a 的首项1(0)a a a =≠，且+1n n a ka t =+，其中k ，t R ∈，*n N ∈，下列叙述正确的是（ ）A ．若{}n a 是等差数列，则一定有1k =B ．若{}n a 是等比数列，则一定有0t =C ．若{}n a 不是等差数列，则一定有 1k ≠D ．若{}n a 不是等比数列，则一定有0t ≠【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列的定义进行判断即可. 【详解】A ：当0,k t a ==时，+1n a a =，显然符合{}n a 是等差数列，但是此时1k =不成立，故本说法不正确；B ：当0,k t a ==时，+1n a a =，显然符合{}n a 是等比数列，但是此时0t =不成立，故本说法不正确；C ：当1k =时，因此有+1n n n n a a ka t a t -=+-==常数，因此{}n a 是等差数列，因此当{}n a 不是等差数列时，一定有1k ≠，故本说法正确；D ：当 0t a =≠时，若0k =时，显然数列{}n a 是等比数列，故本说法不正确. 故选：C 【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的定义，考查了推理论证能力，属于基础题.4．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线l 交双曲线的右支于点P ，以双曲线的实轴为直径的圆与直线l 相切，切点为H ，若113F P F H =，则双曲线C 的离心率为（ ） AB．C．D【答案】A 【解析】 【分析】在12PF F ∆中，由余弦定理，得到2||PF ，再利用12||||2PF PF a -=即可建立,,a b c 的方程. 【详解】由已知，1||HF b ===，在12PF F ∆中，由余弦定理，得2||PF ===1133PF HF b ==，12||||2PF PF a -=，所以32b a =，32b a ⇒=2e =∴=， 故选：A. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算问题，处理双曲线离心率问题的关键是建立,,a b c 三者间的关系，本题是一道中档题.5．已知实数,x y 满足约束条件30202x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则3z x y =+的最小值为（ ）A ．-5B ．2C ．7D ．11【答案】A 【解析】 【分析】根据约束条件画出可行域，再将目标函数化成斜截式，找到截距的最小值. 【详解】由约束条件30202x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，画出可行域ABC V 如图3z x y =+变为3y x z =-+为斜率为-3的一簇平行线，z 为在y 轴的截距， ∴z 最小的时候为过C 点的时候，解3020x y x y -+=⎧⎨+=⎩得21x y =-⎧⎨=⎩所以()2,1C -，此时()33215z x y =+=⨯-+=- 故选A 项【点睛】本题考查线性规划求一次相加的目标函数，属于常规题型，是简单题.6．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点为12,F F ，一条渐近线方程为:b l y x a=-，过点1F 且与l 垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于,P Q ，满足11122OP OF OQ =+u u u r u u u r u u u r，则该双曲线的离心率为（ ）A 10B ．3C 5D ．2【答案】A 【解析】 【分析】设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 的方程为b x y c a =-，联立方程得到()312222ab y y b a c +=-，()2412222a b y y b a c=-，根据向量关系化简到229b a =，得到离心率.设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 的方程为bx y c a=-. 联立2222,1,b x y c a x y a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩整理得()44232420b a y ab cy a b --+=， 则()()3241212222222,ab a b y y y y b a c b a c +==--.因为11122OP OF OQ =+u u u r u u u r u u u r，所以P 为线段1QF 的中点，所以212y y =，()()()()22622221222222224124942a b b a c y y b y y b a b a c a b -+===⋅--，整理得229b a =， 故该双曲线的离心率10e =. 故选：A .【点睛】本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.7．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）若从八卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为（ ）A ．356B ．328C ．314D ．14【答案】C 【解析】分类讨论，仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦，从中取两卦；从仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦中取一个，再取没有阳爻的坤卦，计算满足条件的种数，利用古典概型即得解. 【详解】由图可知，仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦，从中取两卦满足条件，其种数是233C =；仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦，没有阳爻的是坤卦，此时取两卦满足条件的种数是133C =，于是所求的概率2833314P C +==． 故选：C 【点睛】本题考查了古典概型的应用，考查了学生综合分析，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题. 8．已知复数z 满足i z11=-，则z =（ ） A ．1122i + B ．1122i - C ．1122-+iD ．1122i --【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的代数运算法则化简即可得到结论. 【详解】由i z11=-，得()()11111111222i i z i i i i ++====+--+， 所以，1122z i =-. 故选：B. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题. 9．下列结论中正确的个数是（ ）①已知函数()f x 是一次函数，若数列{}n a 通项公式为()n a f n =，则该数列是等差数列； ②若直线l 上有两个不同的点到平面α的距离相等，则//l α； ③在ABC ∆中，“cos cos A B >”是“B A >”的必要不充分条件； ④若0,0,24a b a b >>+=，则ab 的最大值为2. A ．1B ．2C ．3D ．0【解析】 【分析】根据等差数列的定义，线面关系，余弦函数以及基本不等式一一判断即可； 【详解】解：①已知函数()f x 是一次函数，若数列{}n a 的通项公式为()n a f n =， 可得1(n n a a k k +-=为一次项系数），则该数列是等差数列，故①正确；②若直线l 上有两个不同的点到平面α的距离相等，则l 与α可以相交或平行，故②错误；③在ABC ∆中，(),0,B A π∈，而余弦函数在区间()0,π上单调递减，故 “cos cos A B >”可得“B A >”，由“B A >”可得“cos cos A B >”，故“cos cos A B >”是“B A >”的充要条件，故③错误；④若0,0,24a b a b >>+=，则4222a b a b =+≥⋅，所以2ab ≤，当且仅当22a b ==时取等号，故④正确；综上可得正确的有①④共2个； 故选：B 【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是正弦定理的运用和等比数列的求和公式、等差数列的定义和不等式的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题．10．为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复．若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（ ）A ．该市总有 15000 户低收入家庭B ．在该市从业人员中，低收入家庭共有1800户C ．在该市无业人员中，低收入家庭有4350户D ．在该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有 800 户 【答案】D 【解析】 【分析】根据给出的统计图表，对选项进行逐一判断，即可得到正确答案. 【详解】解：由题意知，该市老年低收入家庭共有900户，所占比例为6%， 则该市总有低收入家庭900÷6%＝15000（户），A 正确，该市从业人员中，低收入家庭共有15000×12%＝1800（户），B 正确， 该市无业人员中，低收入家庭有15000×29%%＝4350（户），C 正确， 该市大于18 岁在读学生中，低收入家庭有15000×4%＝600（户），D 错误． 故选：D. 【点睛】本题主要考查对统计图表的认识和分析，这类题要认真分析图表的内容，读懂图表反映出的信息是解题的关键,属于基础题.11．已知函数1212log ,18()2,12x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，若()()()f a f b a b =<，则ab 的最小值为（ ） 参考数据：2ln 20.69,ln 20.48≈≈A ．12B．4C．2log D．2【答案】A 【解析】 【分析】首先()f x 的单调性，由此判断出11412a b ⎧≤<⎪⎨⎪<≤⎩，由()()f a f b =求得,a b 的关系式.利用导数求得2log ab 的最小值，由此求得ab 的最小值. 【详解】由于函数1212log ,18()2,12x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，所以()f x 在1,18⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减，在[]1,2上递增.由于()()()f a f b a b =<，()212112log 5,22488f f ⎛⎫=+=== ⎪⎝⎭，令122log 4x +=，解得14x =，所以11412a b ⎧≤<⎪⎨⎪<≤⎩，且122log 2b a +=，化简得2log 22b a =-，所以2222log log log 22log b ab a b b =+=-+，构造函数()()222log 12xg x x x =-+<≤，()2'112ln 22ln 2ln 2ln 2x xx g x x x -⋅⋅=-+=.构造函数()()212ln 212x h x x x =-⋅⋅<≤，()()'21ln 22ln 20x h x x =-+⋅⋅<，所以()h x 在区间(]1,2上递减，而()2112ln 2120.480.040h =-≈-⨯=>，()2218ln 2180.48 2.840h =-≈-⨯=-<，所以存在()01,2x ∈，使()00h x =.所以()'g x 在()01,x 上大于零，在()02x ,上小于零.所以()g x 在区间()01,x 上递增，在区间()02x ,上递减.而()()2210,222log 21g g ==-+=-，所以()g x 在区间(]1,2上的最小值为1-，也即2log ab 的最小值为1-，所以ab 的最小值为1122-=. 故选：A【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查分段函数的图像与性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.12．已知x,y 满足不等式组2202100x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩,则点(),P x y 所在区域的面积是( )A ．1B ．2C ．54D ．45【答案】C 【解析】 【分析】画出不等式表示的平面区域，计算面积即可. 【详解】不等式表示的平面区域如图：直线220x y +-=的斜率为2-，直线21x y --的斜率为12，所以两直线垂直，故BCD ∆为直角三角形，易得(1,0)B ，1(0,)2D -，(0,2)C ，52BD =，5BC =115552224BCD S BD BC ∆=⋅=⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查不等式组表示的平面区域面积的求法，考查数形结合思想和运算能力，属于常考题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届天津市南开区高三基础训练数学(理)试题Word版含解析
2020届天津市南开区高三基础训练数学（理）试题一、单选题1．设集合，，则等于（）. A．B．C．D．【答案】D【解析】所以，故选D2．若变量满足约束条件则的最小值为（）.A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：画出约束条件表示的可行域，如图，平移直线，直线经过点时，取得最大值，故选C．【考点】线性规划．3．下列判断错误的是（）A．若为假命题，则至少之一为假命题B ．命题“，”的否定是“”C ．若向量且，则是真命题 D ．若，则否命题是假命题【答案】C 【解析】, 若为假命题，则，至少之一为假命题，正确；，命题“，”的否定是“，”，正确；，且，则是真命题，不一定正确，例如当时；，若，则的否命题是，则是假命题，时，大小关系是任意的； 故答案选4．下列函数中，即是奇函数又是增函数的为（ ） A ．3ln y x = B ．2y x =- C ．y x x = D ．1y x -=【答案】C【解析】根据奇函数定义域的特点，奇函数、偶函数的定义，二次函数、分段函数，及反比例函数的单调性便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项． 【详解】A ．y=lnx 3的定义域为（0，+∞），不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误；B ．y=-x 2为偶函数，不是奇函数，∴该选项错误；C ．y=x|x|的定义域为R ，且（-x ）|-x|=-x|x|；∴该函数为奇函数；y x x =22,0,0x x x x ⎧≥=⎨-<⎩,∴该函数在[0，+∞），（-∞，0）上都是增函数，且02=-02；∴该函数在R 上为增函数，∴该选项正确；D.1y x=在定义域上没有单调性，∴该选项错误． 故选：C ．【点睛】考查奇函数、偶函数的定义，奇函数定义域的对称性，以及二次函数、分段函数，和反比例函数的单调性．5．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】几何体为一个四棱锥（高为，底面为长位，宽为3的矩形）与一个半圆柱（半圆半径为2，高为3）的组合体，所以条件为选A.6．关于x 的方程20ax x a -+=有四个不同的解，则实数a 的值可能是（ ）.A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】A【解析】首先将原问题转化为两个函数有四个交点的问题，然后结合函数的性质得到a 的取值范围即可确定a 的可能的值. 【详解】将方程20ax x a -+=整理变形可得：2||1x a x =+， 则方程20ax x a -+=有四个不同的解等价于函数y a =与函数2||1x y x =+有四个不同的交点，注意到函数2||1x y x =+是定义在R 上的偶函数，且0x >时，2111x y x x x==++，结合对勾函数的性质和复合函数的性质可知函数2||1x y x =+在区间()0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减，当1x =时，2||112x y x ==+， 据此绘制函数图像如图所示，结合函数图像可知满足题意的实数a 的取值范围是10,2⎛⎫⎪⎝⎭，结合选项可知：实数a 的值可能是14. 故选：A . 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的单调性，由函数零点个数确定参数的取值范围的方法，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．以双曲线上一点为圆心作圆，该圆与轴相切于的一个焦点，与轴交于两点，若，则双曲线的离心率是（ ）.A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】首先确定点M的坐标，然后利用几何关系得到a,b,c的齐次方程，最后由离心率的方程可得双曲线的离心率.【详解】不妨设点M位于第一象限，由双曲线的性质可得，由圆的弦长公式可得：，结合可得，整理变形可得：，即，双曲线中，故.故选：B.【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．8．已知，，若对，，使得成立，若在区间上的值域为，则实数的取值不可能是（）. A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意首先确定函数的值域，然后数形结合得到关于的不等式，求解不等式可得的取值范围，据此可得选项.【详解】，其中，由题意可知：，即：，则函数的值域为的子集，设函数的最小正周期为，在区间上的值域为，则：，即：，解得.结合选项可知实数的取值不可能是.故选：D.【点睛】本题主要考查双量词问题的处理方法，三角函数的图像与性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题9．随机抽取100名年龄在年龄段的市民进行问卷调査，由此得到样本的频率分布直方图如图所示，从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，则在年龄段抽取的人数为__________．【答案】2.【解析】分析：根据频率分布直方图，求出样本中不小于40岁的人的频率与频数，再求用分层抽样方法抽取的人数.详解：根据频率分布直方图，得样本中不小于40岁的人的频率是，所以不小于40岁的人的频数是；从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，在年龄段抽取的人数为，故答案为2.点睛：该题考查的是有关频率分布直方图的问题，在解题的过程中，需要时刻关注直方图的意义，以及相关的公式，注意频率、频数以及样本容量之间的关系，再者就是抽样过程中每个个体被抽到的概率是相等的，从而求得结果.10．若为实数，且，则____________.【答案】4【解析】由题意结合复数的运算法则和复数相等的充分必要条件确定a的值即可.【详解】由题意可得：，结合复数相等的充分必要条件可得：.故答案为：4．【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数相等的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为________________。
2020届天津市南开区高考一模数学试题(word无答案)
2020届天津市南开区高考一模数学试题一、单选题(★) 1 . 设全集为，集合，，则等于（）A．B．{1，3，5，6}C．{2，4，7}D．{2，4，6}(★) 2 . 已知命题，命题，且的一个必要不充分条件是，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．(★) 3 . 为了调查学生的复习情况，高三某班的全体学生参加了一次在线测试；成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．若成绩在[60，80）的人数是16，则低于60分的人数是（）A．6B．12C．15D．18(★) 4 . 函数的部分图象可能是（）A．B．C．D．(★★) 5 . 若圆的圆心在第一象限，圆心到原点的距离为，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是（）A．B．C．D．(★★) 6 . 已知函数，设，则的大小关系是（）A．B．C．D．(★★) 7 . 已知函数.的部分图象如图所示，则的解析式为（）A．B．C．D．(★★) 8 . 已知点是抛物线与双曲线的一个交点，若抛物线的焦点为，且，则点到双曲线两条渐近线的距离之和为（）A．B．4C．D．2(★★★★) 9 . 已知函数，若方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（0，1]D．（1，+∞）二、填空题(★) 10 . 若（是虚数单位，是实数），则＝_____．(★) 11 . 二项式的展开式中，常数项为_____．(★★) 12 . 如图，在三棱柱中，是上一点，设四棱锥的体积，三棱柱的体积为，则＝_____．三、双空题(★★) 13 . 甲、乙两名枪手进行射击比赛，每人各射击三次，甲三次射击命中率均为；乙第一次射击的命中率为，若第一次未射中，则乙进行第二次射击，射击的命中率为，如果又未中，则乙进行第三次射击，射击的命中率为．乙若射中，则不再继续射击．则甲三次射击命中次数的期望为_____，乙射中的概率为_____．四、填空题(★★★★) 14 . 已知存在正数使不等式成立，则的取值范围_____ ．五、双空题(★★★★★) 15 . 在平面四边形中，，，若，则_____；若为边上一动点，当取最小值时，则的值为_____．六、解答题(★★) 16 . 在中，分别为三个内角的对边，若的面积为，，．（Ⅰ）求及；（Ⅱ）求的值．(★★★★) 17 . 在三棱柱中，⊥底面，，，为线段上一点．（Ⅰ）若，求与所成角的余弦值；（Ⅱ）若，求与平面所成角的大小；（Ⅲ）若二面角的大小为，求的值．(★★★★) 18 . 已知数列的前项和，数列满足：，.（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）求．(★★★★★) 19 . 已知点是椭圆的右焦点，过点的直线交椭圆于两点，当直线过的下顶点时，的斜率为，当直线垂直于的长轴时，的面积为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）当时，求直线的方程；（Ⅲ）若直线上存在点满足成等比数列，且点在椭圆外，证明：点在定直线上．(★★★★★) 20 . 已知函数，其中．（Ⅰ）若曲线在点处的切线方程为，其中是自然对数的底数，求的值：（Ⅱ）若函数是内的减函数，求正数的取值范围；（Ⅲ）若方程无实数根，求实数的取值范围．。
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天津市南开区2020届高三一模数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上；2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．本卷共8小题，每小题5分，共40分．参考公式：·如果事件A，B互斥，那么·如果事件A，B相互独立，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)．P(AB)=P(A)•P(B)．·棱柱的体积公式V柱体=Sh，·球的体积公式V球=pR3，其中S表示棱柱的底面积，其中R表示球的半径．h表示棱柱的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）i是虚数单位，复数=（）．（A）–i （B）i（C）––i （D）–+i（2）已知实数x，y满足约束条件，则目标函数z=x–2y的最小值是（）．（A）0 （B）–6（C）–8 （D）–12（3）设A，B为两个不相等的集合，条件p：xÏ(A∩B)，条件q：xÏ(A∪B)，则p是q的（）．（A）充分不必要条件（B）充要条件（C）必要不充分条件（D）既不充分也不必要条件（4）已知双曲线ax2–by2=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是x–y=0，它的一个焦点在抛物线y2=–4x的准线上，则双曲线的方程为（）．（A）4x2–12y2=1 （B）4x2–y2=1（C）12x2–4y2=1 （D）x2–4y2=1（5）函数y=log0.4(–x2+3x+4)的值域是（）．（A）(0，–2] （B）[–2，+∞)（C）(–∞，–2] （D）[2，+∞)（6）如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的体积为（）．（A）（B）（C）（D）（7）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2=a2+bc，A=，则内角C=（）．（A）（B）（C）（D）或（8）已知函数f(x)=|mx|–|x–n|（0＜n＜1+m），若关于x的不等式f(x)＜0的解集中的整数恰有3个，则实数m的取值范围为（）．（A）3＜m＜6 （B）1＜m＜3（C）0＜m＜1 （D）–1＜m＜0南开区2020～2020学年度第二学期高三年级总复习质量检测（一）题号二三总分(15) (16) (17) (18) (19) (20)得分第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题；110分．得分评卷人二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上。
（9）如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率依次成等差数列，第2小组的频数为15，则抽取的学生人数为．（10）已知a＞0，(x–)6的二项展开式中，常数项等于60，则(x–)6的展开式中各项系数和为（用数字作答）．（11）如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S= ．（12）已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为：（j为参数），以Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：cosq–sinq=0，则圆C截直线l所得弦长为．（13）如图，圆O的割线PAB交圆O于A、B两点，割线PCD经过圆心O．已知PA=AB=2，PO=8．则BD的长为．（14）已知正三角形ABC的边长为2，点D，E分别在边AB，AC上，且=l ，=l．若点F为线段BE的中点，点O为△ADE 的重心，则•= ．6个小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（15）（本小题满分13分）设函数f(x)=cos(2x+)+2cos2x，x∈R．（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期和单调减区间；（Ⅱ）将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间上的最小值．（16）（本小题满分13分）将编号为1，2，3，4的4个小球随机放到A、B、C三个不同的小盒中，每个小盒至少放一个小球．（Ⅰ）求编号为1，2的小球同时放到A盒的概率；（Ⅱ）设随机变量x为放入A盒的小球的个数，求x的分布列与数学期望．（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，PC⊥底面ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=2a，E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P-AC-E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．（18）（本小题满分13分）已知椭圆C：（a＞b＞0）与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），F为左焦点，原点O到直线FA的距离为b．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设b=2，直线y=kx+4与椭圆C交于不同的两点M，N，求证：直线BM与直线AN 的交点G在定直线上．（19）（本小题满分14分）设数列{an}满足：a1=1，an+1=3an，n∈N*．设Sn为数列{bn}的前n项和，已知b1≠0，2bn–b1=S1•Sn，n∈N*．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn=bn•log3an，求数列{cn}的前n项和Tn；（Ⅲ）证明：对任意n∈N*且n≥2，有++…+＜．（20）（本小题满分14分）已知函数f(x)=，曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x+(e–1)2y–e=0．其中e =2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）如果当x≠0时，f(2x)＜，求实数k 的取值范围．南开区2020～2020学年度第二学期高三年级总复习质量检测（一）数学试卷（理工类）参考答案2020.04（9）60；（10）1；（11）2500；（12）2；（13）2；（14）0三、解答题：（其他正确解法请比照给分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得g(x)=cos(2(x–)+)+1=cos(2x–)+1．…………10分因为0≤x≤，所以–≤2x–≤，所以–≤cos(2x–)≤1，…………12分因此≤cos(2x–)+1≤2，即f(x)的取值范围为[，2]．…………13分（16）解：（Ⅰ）设编号为1，2的小球同时放到A盒的概率为P，P==．…………4分（Ⅱ）x=1，2，………… 5分P(x=1)==，P(x=2)==，所以x的分布列为…………11分x的数学期望E(x)=1×+2×=．…………13分（17）解：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC．∵AB=4，AD=CD=2，∴AC=BC=．∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC．又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC．∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．…………5分（Ⅱ）如图，以点C为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(2，2，0)，B(2，–2，0)．设P(0，0，2a)（a＞0），则E(1，–1，a)，=(2，2，0)，＝(0，0，2a)，=(1，–1，a)．取m=(1，–1，0)，则m·=m·=0，m为面PAC的法向量．设n=(x，y，z)为面EAC的法向量，则n·=n·=0，即，取x=a，y=–a，z=–2，则n=(a，–a，–2)，依题意，|cos<m，n>|===，则a=2．…………10分于是n=(2，–2，–2)，=(2，2，–4)．设直线PA与平面EAC所成角为q，则sinq=|cos<，n>|==，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．…………13分（18）解：（Ⅰ）设F的坐标为(–c，0)，依题意有bc=ab，∴椭圆C的离心率e==．…………3分（Ⅱ）若b=2，由（Ⅰ）得a=2，∴椭圆方程为．…………5分联立方程组化简得：(2k2+1)x2+16kx+24=0，由△=32(2k2–3)＞0，解得：k2＞由韦达定理得：xM+xN=…①，xMxN=…②…………7分设M(xM，kxM+4)，N(xN，kxN+4)，MB方程为：y=x–2，……③NA方程为：y=x+2，……④…………9分由③④解得：y=…………11分===1即yG=1，∴直线BM与直线AN的交点G在定直线上．…………13分（19）解：（Ⅰ）∵an+1=3an，∴{an}是公比为3，首项a1=1的等比数列，∴通项公式为an=3n–1．………… 2分∵2bn–b1=S1•Sn，∴当n=1时，2b1–b1=S1•S1，∵S1=b1，b1≠0，∴b1=1．………… 3分∴当n＞1时，bn=Sn–Sn–1=2bn–2bn–1，∴bn=2bn–1，∴{bn}是公比为2，首项a1=1的等比数列，∴通项公式为bn=2n–1．…………5分（Ⅱ）cn=bn•log3an=2n–1log33n–1=(n–1)2n–1，………… 6分Tn=0•20+1•21+2•22+…+(n–2)2n–2+(n–1)2n–1 ……①2Tn= 0•21+1•22+2•23+……+(n–2)2n–1+(n–1) 2n ……②①–②得：–Tn=0•20+21+22+23+……+2n–1–(n–1)2n=2n–2–(n–1)2n =–2–(n–2)2n∴Tn=(n–2)2n+2．………… 10分（Ⅲ）===≤。