高三数学对数函数与指数函数的导数1

x lge ( 1 x ) 2 . (2)法1: y 2 2 2 x 1 1 x 1 x 1 x
2
lge
lge
x
1 2 y lg 1 x lg( 1 x ); (2)法2: 2
2
1 lge x lge 2 y (1 x ) 2 . 2 2 1 x x 1 2x 2x 2x (3) y 2e cos3 x e (3 sin3 x) e (2 cos3 x 3 sin3 x). (4) y a 5 x lna (5 x) 5a 5 x lna.
2
例6:求下列函数的导数:(1)y=xx(x>0);(2)y=[f(x)]g(x). 解:(1)两边取对数,得lny=xlnx. 由于y是x的函数,由复合函数的求导法则对上式 两边对x求导,可得: 1 1 y ln x x , y y(ln x 1), y x x (ln x 1). y x (2)两边取对数,得lny=g(x)lnf(x),两边对x求导,可得:
二、新课——指数、对函数的导数：
1.对数函数的导数:
(1 x ) e . 下面给出公式的证明,中间用到重要极限 lim x 0 证: y f ( x ) ln x , x x x y ln(x x ) ln x ln ln( 1 ); x x x
1 x
log3 x
(3) y 1 lnx
(4) y sin(ln x) sinx lnx
答案:
ln 2 (1) y 2 2 . x
(3) y 1 . 2x 1 ln x
1 x
2log3 x ln 2 ( 2) y . x ln3
( 4) y sin x cos(ln x) cos x ln x. x
x 1 2
x ln x

1 2 x
(ln x 2).
四、小结：
(1)对数函数、指数函数的导数是常用的导数公式中较 难的两类函数的导数,要熟记公式,会用公式,用活公 式. (2)解决指、对数函数的导数问题,应充分重视指数、对 数的运算性质的准确使用,以保证变换过程的等价性. (3)在求指、对数函数的导数过程中,要遵循先化简,再 求导的原则;要结合导数的四则运算法则和复合函数 的求导法则进行求导.
1 x
.
例3:已知f(x)为可导函数,试求下列函数的导数: f ( x) x2 x e (1)y=f(lnx); (2)y=f( e ); (3)y=f(e ) . 1 解:(1) y [ f (ln x )] f (ln x ) (ln x ) f (ln x ). (2) y [ f (e
1 f ( x ) y g( x ) ln f ( x ) g( x ) ; y y[ g( x ) ln f ( x ) g( x ) f ( x ) ] y f ( x) f ( x)
g( x )
f ( x ) y [ f ( x )] [ g( x ) ln f ( x ) g( x ) ]. f ( x) 说明:(1)解法可能对lny求导不易理解,事实上,若u=lny, 1 y=f(x),则 ux uy yx f ( x ). y
x
x
x
1 2
(ln x 2).
方法二: y 2 x
y e ln 2 2x
x
x
x ln x
e
ln 2 x
x
e
ln 2 x ln x
.
1 ( ln x x ) x 2 x 1
(ln2 x ln x ) e ln 2 (ln x 2) x
3.5对数函数 与指数函数 的导数
一、复习与引入：
1. 函数的导数的定义与几何意义. 2.常见函数的导数公式. 3.导数的四则运算法则. 4.复合函数的导数公式. 5.由前面几节课的知识,我们已经掌握了初等函数中的 幂函数、三角函数的导数,但还缺少指数函数、对数 函数的导数,而这就是我们今天要新学的内容. 有了指数函数、对数函数的导数,也就解决了初等函 数的可导性.
2e 2t sin( t ) e 2t cos( t ).
故当t=1/2时,质点运动速度v0为: 1 v0 s | 1 [2 sin( ) cos( )].
t 2
e
2
2
例5:求曲线y=xlnx的平行于直线x-y+1=0的切线方程. 解:设该切线与曲线相切的切点为(x0,x0lnx0). 1 y x ln x x(ln x ) ln x x ln x 1. x 故曲线在点(x0,x0lnx0)处的切线斜率为lnx0+1.
例4:设一质点的运动规律为 s e 2t sin( t ), ,为 常数,试求t=1/2时质点运动的速度v0.
2t 2 t ( e ) sin( t ) e [sin( t )] 解:v s t
e 2t (2t ) sin( t ) e 2t cos( t ) (t )
(2) ya
cos x
(a 0, a 1)
cos 1 x
解:设y=au,u=cosv,v=1/x,则:
y (a ) u uv v x a
u
1 1 l na ( si n ) ( 2 ) x x
l na 1 2 si n a x x
cos
练习:用两种不同的解法求函数 y 2x x 的导数. 方法一:由于y>0,故两边取对数,得 ln y ln2 x ln x.
1 1 1 ln x 2 y ( x ) ln x x (ln x ) ln x x , y x 2 x 2 x
ln x 2 y 2x 2 x
1 (1) (ln x ) . x
1 x
y 1 x 1 x x 1 x x ln( 1 ) ln( 1 ) ln( 1 ) , x x x x x x x x x x y 1 x x 1 x x y lim lim ln ( 1 ) ln [lim(1 ) ] x 0 x x x 0 x x x 0 x 1 1 ln e . x x
由已知可得:lnx0+1=1,即x0=1,故切点为(1,0). 所以所求切线方程为y-0=x-1,即x-y-1=0. 练习2:分别求曲线①y=logxe;② y e xe ln x 在点(e,1)处 的切线方程. 答案:①x+ey-2e=0,②(1+e)x-ey-e2=0. 延伸:设点P是曲线y=ex上任意一点,求点P到直线y=x的 最小距离. 2 . 答案:
f (e ) e
x
f ( x)
f ( x) x x x f ( x ) e [ f (e )e f (e ) f ( x )].
解此类题应注意: (1)分清是由哪些函数复合而成的. (2)用逐步的方法来进行求导.
练习:求下列函数的导数:
(1) y 2 ; (2) y 2(2)本题用的求导方法习惯上称为对数求导法,即先两 边取对数,再对x求导.一般适用于下列两类函数: ①形如y=(x-a1)(x-a2)…(x-an)的函数,取对数后,可
( x a1 )( x an ) 将积转化为和的形式,或 y ( x b )( x b ) , 1 n
取对数后,可转化为代数和的形式. ②无理函数或形如y=[f(x)]g(x)这类幂指函数. (3)对数求导法的优点:一是可使问题简单化(积、商 变和、差,幂、根变积式),二是可使较复杂函数求 导变为可能(无求导公式变为有求导公式). 又如下面一题我们就有两种不同的解法:
x
2
)] f (e f (e
x2
x
2
) (e
x
2
) f (e
x
x2
) (e
x2
) ( x 2 )
2 xe
x2
).
(3) y [ f (e x )]e f ( x ) f (e x ) [e f ( x ) ] f (e x ) e x e f ( x )
例2:求下列函数的导数:
e 2 x e 2 x (1) y x x ; e e
(e x e x ) 2 2 x x 2 x x x x 解: y e e ; ( e e ) e e ; x x x x e e e e x 2 x 2 2 e ( 1 e ) x x x x x x y e e x x 2 ( e e ) e e . 2x 2 (e e ) (1 e ) 1
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分为六队，到朝凰大陆位面传送阵那里集合，记住不要让任何人发现你们的行踪。” 底下的人高声回答：“属下领命！”然后快速的 两两组队飞身离开，期间没有造出一丁点的响动。而梦瑶几人看着夜北冥手底下的人的高度的执行力，看着夜北冥的眼神越发的崇拜， 自豪感油然而生。而月如两姐妹看着那十二人都领命离开，于是月媚忍不急的问道：“主上，那我们呢？您不带我们一起吗？”月如也 跟着点头，眼神焦急的看着夜北冥，夜北冥闻言说道：“因为第一次到陌生的地方，所以我不能带太多人，等我在那边的势力稳定后， 我还会叫人过去的，这次我先带着月如过去，月媚先留在梦之境，有事我会让月如通知你。”月如月媚立即单膝跪地低头说道：“属下 领命！”然后月如起身走到夜北冥身后跟随夜北冥一起离开，留下满脸羡慕的月媚。夜北冥到达位面传送阵的时候，自己的属下已经双 双到场排好队等着自己。第010章 低等位面——未央大陆未央大陆的位面传送阵位于大陆西侧，也就是距离死亡森林不远处的一处山谷。 传送阵的的面积有一个足球场那么大，脚底下踩得石头上遍布了一圈一圈的神秘符文。而符文的最中间，也就是传送阵的中心有一个婴 儿拳头大小的小凹槽。夜北冥从自己的空间戒指中取出一个黑色的小石头，弹入传送阵最中间的小凹槽。石头刚一嵌入凹槽，整个传送 阵就一阵抖动，地面的符文则开始缓慢的转动，每一圈的转动顺序都不一样，有的逆时针转动，有的顺时针转动，而最中心的位置，开 始聚起一团光。光团越来越亮越来越大，最终包围了整个传送阵，夜北冥等人一直站在传送阵里面一动不动，然后整个光团好像再也不 能更大了，就竖起一道光，直冲云霄。只持续了一息时间，非常的短，还没有引起任何人的注意就消失在天空中，而夜北冥等人所站的 传送阵，已经开始了翻天覆地的变化。原本镶嵌小石头的凹槽已经凸出来，小石头不见了，凸出来的中心是一个大约一米长的成人手臂 粗的柱子，而柱子的最上方是一个透明的平面板，好像现代科幻电影里的平面投影电脑。此刻，那透明的面板上显示几个大字：当前位 面处于高等位面朝凰大陆，请选择传送等级位面。并且伴随着一道缥缈的女声，然后下面有三个方框，每个方框里面写着四个字，从左 到右依次是：高等位面，中等位面，低等位面。夜北冥说道：“低等位面，未央大陆。”说完，那道缥缈的女声又响起来：“低等位面、 未央大陆，传送阵启动!”接着整个传送阵上面的每一个转动的符文撒发出一阵耀眼的白光，当白光覆盖了夜北冥等人的身体就快速的 退回到符文当中，而夜北冥等人也已经消失不见，整个传送阵又回到夜北冥等人刚来时的样子。此刻未央大陆的某片空地中，一阵白光 闪过，夜