导数--对数函数与指数函数的导数练习题
对数函数与指数函数的导数
(3)对数求导法的优点:一是可使问题简单化(积、商 变和、差,幂、根变积式),二是可使较复杂函数求 导变为可能(无求导公式变为有求导公式).
例如我们利用上面例题中的(2)可知 (xn)nnx 1(nQ ) 中的n的范围可以扩大到全体实数.
又如下面一题我们就有两种不同的解法:
y
x
(2)两边取对数,得lny=g(x)lnf(x),两边对x求导,可得:
1 yyg(x)lnf(x)g(x)ff((xx)); yy[g(x)lnf(x)g(x)ff((x x))]
y[f(x)g(]x)[g (x)ln f(x)g (x)f(x)]. f(x)
说明:(1)解法可能对lny求导不易理解,事实上,若u=lny,
解:(1) y [f(lx )n ]f(lx )n (lx )n 1f(lx )n.
x
(2) y [f(ex2)]f(e x2)(e x2)f(e x2)(e x2)( x2)
2x x e 2f(e x2). (3)y [f(ex)]ef(x)f(ex)[ef(x)]f(ex)exef(x)
f(ex)ef(x)f(x )ef(x)[f(ex)exf(ex)f(x )].
y1 21lgx e2(1 2x2)x x2l ge1.
(3) y 2 e 2 x c 3 x o e 2 x ( s 3 s3 x i ) n e 2 x ( 2 c 3 x o 3 ss 3 x i )n .
(4) y a 5 xln a (5 x ) 5 a 5 xln a .
例2:求下列函数的导数:
2.指数函数的导数:
(1) (ex)ex.
(2 )(a x ) a x la n (a 0 ,a 1 ).
经典求导练习题
经典求导练习题在本文中，将给出一系列经典求导练习题，通过解答这些问题，我们可以加深对求导运算的理解和应用能力。
以下是各种类型的求导题目，每个题目后都有详细的步骤和解析。
1. 简单的多项式求导问题：给定函数 f(x) = 3x^2 + 5x - 2，求 f'(x)。
解析：首先，根据求导法则，对于多项式函数来说，求导后指数减1，系数不变。
因此，对 f(x) 进行求导，得到 f'(x) = 6x + 5。
2. 反函数求导问题：给定函数 f(x) = ln(x)，求 f'(x)。
解析：我们知道，ln(x) 的反函数是e^x，且根据反函数求导法则，反函数的导数等于原函数的导数的倒数。
因此，f'(x) = 1/x。
3. 三角函数求导问题：给定函数 f(x) = sin(x)，求 f'(x)。
解析：根据三角函数的求导法则，sin(x) 的导函数是cos(x)，因此，f'(x) = cos(x)。
4. 复合函数求导问题：给定函数 f(x) = (2x + 1)^3，求 f'(x)。
解析：这是一个复合函数求导的例子。
根据链式法则，复合函数的导数等于外函数对内函数求导的结果乘以内函数对自变量的导数。
应用链式法则，我们可以得到 f'(x) = 3(2x + 1)^2 * 2 = 6(2x + 1)^2。
5. 指数函数和对数函数求导问题：给定函数 f(x) = e^x，求 f'(x)。
解析：根据指数函数的求导法则，e^x 的导数等于其本身，因此f'(x) = e^x。
6. 隐函数求导问题：已知方程 x^2 + y^2 = 25，求当 x = 3 时，y 对 x 的导数。
解析：对方程两边同时求导，并利用隐函数求导法则，我们可以解得 dy/dx = -x/y。
当 x = 3 时，插入方程得到 y = 4，因此 dy/dx = -3/4。
通过以上一些经典求导练习题的解答，我们可以巩固和应用求导运算的方法和原则。
函数的和、差、积、商的导数
的 导 数
常见函数的导数
1、常函数：
C 0
特别： 特别：
2、一次函数： (kx b) k
n 1 3、幂函数： ( x ) nx n
x 1
( x 2 ) 2 x
1 1 ( ) 2 x x
4、指数函数：(a
x
) a ln a(a 0且a 1)
1 ( A) x x 1 ( B) x (C ) 2 x
3
1 ( D) 2x3
(3)点P在曲线y=x3-x+2/3上移动时,过点P的曲线的 切线的倾斜角的取值范围是( D )
3 3 3 3 ( A)[0, ] ( B )[ , ) (C )[0, ) ( , ] ( D)[0, ] [ , ) 4 4 2 2 4 2 4
例:某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足
(1)此物体什么时刻在始点? (2)什么时刻它的速度为零? 解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得: t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在 始点.
3 2 (2) s (t ) t 12t 32t , 令s(t ) 0, 即t3-12t2+32t=0, 解得:t1=0,t2=4,t3=8,
2
练习1:已知曲线C:y=3x4-2x3-9x2+4;(1)求曲线C上横坐 标为1的点的切线方程;(2)第(1)小题中切线与曲线C是 否还有其它公共点?如果有,求出这些点的坐标. 解:(1)把x=1代入曲线C的方程得切点(1,-4). y 12x 3 6 x 2 18x ,所以切线的斜率k=12-6-18= -12.故切线方程为y+4=-12(x-1),即y=-12x+8. y 3x4 2x3 9x2 4 ( 2)由 3 x 4 2 x 3 9 x 2 12x 4 0, y 12x 8
专题03 指数函数与对数函数-函数与导数——2019高考理数热点题型追踪
1.指数式与对数式的运算与互化【例1】【2017全国卷I 】设x ,y ,z 为正数,且235x y z ==,则 A ．235x y z << B ．523z x y << C ．352y z x <<D ．325y x z <<【答案】D2.指数型与对数型函数的图象【例2】函数()lg 11x f x x ⎛⎫=- ⎪ ⎪-⎝⎭的大致图象是【答案】A【解析】由()2lg10f ==,可排除C 、D,由()13lg 02f =<,排除B,故选A ． 3.比较数与式的大小【例3】【2018年全国卷Ⅲ】设,则A ．B ．C ．D ．【答案】B4. 指数型与对数型函数的奇偶性【例4】【2015全国卷I 】若函数()(ln =+f x x x 为偶函数,则=a .【答案】1【解析】由题意可知函数(ln y x =是奇函数,所以(ln x ++(ln 0x -=,即 ()22ln ln 0a x x a +-==,解得1a =．5. 指数型与对数型函数的单调性及应用【例5】若113232b aa b ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则A ．0a b ->B ．0a b -<C ．0a b +>D ．0a b +<【答案】C【解析】设()132x xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,因为3xy =是增函数,12xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是增函数,由复合函数的性质可知()f x 是增函数.由113232b a a b ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得113322a ba b --⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即()()f a f b >-,所以a b >- ,即0a b +>,故选C ．6. 指数型与对数型函数与方程问题的交汇【例6】【2018年全国卷I 】已知函数．若g （x ）存在2个零点,则a的取值范围是 A ．[–1,0） B ．[0,+∞） C ．[–1,+∞）D ．[1,+∞）【答案】C1.进行指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,运算时应注意以下几点：①必须同底数幂相乘（除）,指数才能相加（减）；②运算的先后顺序：有括号先算括号内的,无括号先进行指数的乘方、开方运算,再乘除,最后后加减；③当底数是负数时,先确定符号,把底数化为正数；④运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数．2.n：n a 的n 次方根,是一个恒有意义的式子,不受n 的奇偶性的限制,a ∈R ,但其值受n 的奇偶性的限制,当n 为大于1的奇数时a ,当n 为偶数时nn 次幂,当n 为奇数时,n=a ,a ∈R ,当n 为偶数时,n=()0a a ≥.3.下列关系式在指数幂的运算中经常用到：①()()22220,1且x xx x a a a a a a --±=+±>≠,②2111222x x x x --⎛⎫±=+± ⎪⎝⎭,③21111133333x x x x x x---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥±±=± ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,④()()211333x x x x x x ---⎡⎤±±=±⎢⎥⎣⎦,⑤()0,0a b a b -=>>.4.已知()f x =(0a >且1a ≠),则()()11f x f x +-=.5.判断一个函数是否是指数函数,只需判定是否符合xy a =(0a >且1a ≠)这一形式,即底数为不等于1的正数,指数只能是x ,x a 的系数为1,另外不要把指数函数与幂函数ay x =混淆,后者自变量x 在底数位置上.6.xy a = (0a >且1a ≠)的图象与1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称.7.底数对指数函数的影响如图是指数函数(1)y ＝a x ,(2)y ＝b x ,(3)y ＝c x ,(4)y ＝d x 的图象,要比较底数a ,b ,c ,d 与1之间的大小,可作直线1x =,由直线1x =与四个图象交点的上下位置关系可得c >d >1>a >B ．由此我们还可得到以下规律：在第一象限内,指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象越高,底数越大．8.xy a =(0a >且1a ≠)的图象经过定点()0,1,x my an -=+的图象经过定点(),1m n +.9.指数函数()xf x a =的单调性取决于底数a 的大小,若1a >,指数函数()xf x a =单调递减；若01a <<,指数函数()xf x a =单调递减；若指数函数的底数a 为参数,解题时通常分01a <<和1a >进行分类讨论．10.比较两个指数幂的大小时,尽量化为同底或同指,当底数相同,指数不同时,构造同一指数函 数,利用指数函数的单调性比较大小;当指数相同,底数不同时,常用作商法或利用函数图象比 较大小;当底数、指数均不同时,可以利用中间值0,1比较,同时注意结合图像及特殊值. 对于 三个（或三个以上）数的大小比较,则应先根据值的大小对其分类,常将其分为三类：一 类是小于0的数,一类是大于0小于1的数,一类是大于1的数.11.指数型函数的图象,一般可由基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到．如把x y a =(0a >且1a ≠)的图象经过平移、翻折、对称变换可得到(),0bx c x y a y a b b +==-≠的图象,注意()01,0bx cy aa ab +=>≠≠且的图象关于直线0bxc +=对称.12.形如若bx cy a +=(0a >且1a ≠,0b ≠)的函数的性质若()bx cf x a+=(0a >且1a ≠,0b ≠),则()f x 的定义域为(),-∞+∞,当1a >时()f x 在,c b ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上是减函数,在,c b ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上是增函数,()f x 的值域为[)1,+∞；当01a <<时()f x 在,c b ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上是增函数,在,c b ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上是减函数,()f x 的值域为(]0,1. 13. 形如2bx cx dy a ++=(0a >且1a ≠,0b ≠)的函数的性质若()2bxcx df x a ++=(0a >且1a ≠,0b ≠),则()f x 的定义域为(),-∞+∞,当1a >时()f x 的单调性与2y bx cx d =++的单调性一致,当01a <<时()f x 的单调性与2y bx cx d =++的单调性相反；当1a b >⎧⎨>⎩或010a b <<⎧⎨<⎩时()f x 的值域为244,bd c b a -⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎢⎣⎭；当10a b >⎧⎨<⎩或010a b <<⎧⎨>⎩时()f x 的值域为2440,bd c ba -⎛⎤⎥ ⎥⎝⎦；()f x 的图象关于直线2cx b=-对称. 14.研究函数2xx y ab ac =+⋅+的性质通常采用换元法转化为二次函数进行研究.换元时,应注意确定新元的范围,以达到等价转化的目的,避免失误.求与指数函数有关的函数的定义域时,首先观察是()x y f a =型,还是()f x y a=型,前者的定义域受()f x 的定义域的影响,后者的定义域与()f x 的定义域相同,而求y =型的定义域时,往往转化为解指数不等式(组).15.给出函数定义域与值域的关系求参数的取值或取值范围,通常是先确定所给函数的单调性,然后根据函数单调性列出关于参数的方程或不等式,通过解方程或不等式(组)求参数的值或取值范围. 16.指数型函数的奇偶性是高考考查的一个热点,且常以以下函数为生长点：,xxy a a -=+,111,,112x xxx xa y a a y y a a --=-==++- (a >0且a ≠1). 17.一般地,如果b a ＝N (a >0,且a ≠1),那么数b 叫做以a 为底N 的对数,记作b ＝log a N ,其中a 叫做对数的底数,N叫做真数．a b ＝N ⇔b ＝log a N (a >0且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,它不仅体现了两者之间的相互关系,而且为对数的计算、化简、证明等问题提供了更多的解题途径.log a Na＝N (a >0,且a ≠1).18.如果a >0且a ≠1,M >0,N >0,那么①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a MN＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R )．在运算性质log a M n ＝n log a M 中,要特别注意条件,在无M >0的条件下应为log a M n ＝n log a |M |(n ∈N ＋,且n 为偶数)．对数式的化简、求值问题,要注意对数运算性质的逆向运用,如：当0,0M N >>时,log log log a a a M N MN +=,其中a >0且a ≠1.19.对数运算法则是在化为同底的情况下进行的,因此经常用到换底公式及其推论. 对数的换底公式：log a b ＝log c blog c a(a >0且a ≠1；c >0且c ≠1；b >0)．换底公式的两个重要结论：(1)log a b ＝1log b a ；(2)log log .m n a a n b b m=其中a >0且a ≠1,b >0且b ≠1,m ,n ∈R .20.对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．(3)对于含指数式的等式,有时通过两边取对数,可以把乘方运算转化为乘法运算,这种运算法则的改编或能简化运算,或能改变运算式子的结构,从而有利于寻找解题思路.21.y ＝log a x (a ＞0,且a ≠1)的图象过定点()1,0对称,作y ＝log a x (a ＞0,且a ≠1)的图象应抓住三个关键点⎝⎛⎭⎫1a ，－1,(1,0),(a ,1)．log a y x =的图象与1log ay x =的图象关于x 轴对称；log a y x =的图象与()log a y x =-的图象关于y 轴对称.22.多个对数函数图象比较底数大小的问题,可通过图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定．如图,作直线y ＝1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0<c <d <1<a <B ．由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．23.比较对数式大小的类型及相应的方法：①若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论．②若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较．③若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较．24.若a ＞0,且a ≠1,则()()log 0110a b a b >⇔-->,()()log 0110a b a b <⇔--<.25.一些简单的对数不等式,一般先利用对数的运算性质化为同底数的对数值,再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解,一些含有对数式的不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.具体做法是：对不等式变形,不等号两边对应两个函数．在同一坐标系下作出两个函数的图象,比较当x 在某一范围内取值时图象的上下位置及交点的个数,来确定参数的取值或解的情况.26.指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数,它们的图象关于直线y ＝x 对称．27.作一些复杂函数的图象,首先应分析它可以从哪一个基本函数的图象变换过来．一般是先作出基本函数的图象,通过平移、对称、翻折等方法,得出所求函数的图象．28.对于形如()log a y bx c =+( a >0,a ≠1,0b ≠)的函数,高考考查重点是其图象的应用及根据函数在给定区间上的单调性,求参数取值范围,对于后一类问题,一定要注意定义域优先原则.对于形如()2log a y bx cx d =++的函数,要求会求该类函数的定义域、值域及单调区间.其中判断该类函数单调性的步骤为：1.求定义域2.判断对数函数的底数与1的关系,当底数是含字母的代数式(包含单独一个字母)时,要考查其单调性,就必须对底数进行分类讨论．3.判断内层函数和外层函数的单调性,运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调.29.对数型函数的奇偶性是高考的一个热点,高考考查时常以以下几类函数为载体：log a b x y b x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭,)log ay mx =+,()2ln 1e x y x =+-.1．【2018山东日照高三校际联考】若满足,则A ．B ．C ．D ．2．【2018浙江杭州高三第二次教学质量检测】设为自然对数的底数.若,则A ．B ．C ．D ．3．【2018湖南张家界高三第三次模拟】已知关于x 的不等式()22e 1e x x m x x -+≥在(],0-∞上恒成立,则实数m 的取值范围为 A ．[)1,-+∞B ．[)0,+∞C ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭4．【2018安徽安庆二模】函数()1log 1a x f x x x +=+（01a <<）的图象的大致形状是A ．B ．C ．D ．5．【2018河南信阳联考】如图,点O 为坐标原点,点()1,1A .若函数(0,xy a a =>且1)a ≠及log (0,b y x b =>且1)b ≠的图像与线段OA 分别交于,,M N 且,,M N 恰好是OA 的两个三等分点,则,a b 满足A ．1a b <<B ．1b a <<C ．1b a >>D ．1a b >>6．【2018河南省商丘模拟】已知()()ln 1f x x =-,设75a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭, ()4b f =, 32c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则,,a b c 的大小关系是A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．c b a >>7．【2018湖北省黄冈中学三模】已知函数,若,则 A ． B ． C ．D ．8．【2018山东威海二模】设均为小于1的正数,且,则A ．B ．C ．D ．9．【2018云南省昆明模拟】函数与函数的图象关于直线对称,则函数与二次函数在同一坐标系内的图像可能是A ．B ．C ．D ．10．【2018山西运城高三模拟】已知函数,则使得f (2x )>f (x +3) 成立的x 的取值范围是A ．(-1,3)B ．C ．D ．11．【2018重庆市綦江区5月预测】已知函数,函数有四个不同的零点,且满足：, 则的取值范围是A ．B ．C ．D ．12．【2018福建省三明高中联盟校段考】设p ： 51,2x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭,使()()2lg 44f x a x x =+-有意义.若p ⌝为假命题,则实数a 的取值范围是______________.13．【2018年佛山市普通高中高三教学质量检测】若使得10101017n-⎛⎫< ⎪⎝⎭成立的最小整数44n =,则使得4171010m⎛⎫> ⎪⎝⎭成立的最小整数m =__________． 14．【2018四川省高三“联测促改”活动】已知()93xxf x t =-⋅, ()2121x x g x -=+,若存在实数a , b 同时满足()()0g a g b +=和()()0f a f b +=,则实数t 的取值范围是__________．2.【答案】C 【解析】不妨令,代入得,则,故选C ．3.【答案】C【解析】由原不等式等价于()221e 10x mx mx --+≥,若0m =时,不等式成立,若0m ≠时,可令()()221e 1x f x mx mx =--+,则()()221e x f x mx m =--',又e 0x y =>,且为单调递增函数,构造函数()221g x mx m =--,则()g x 在()0-∞，的最值为()021g m =--,当0m >时,易知()g x 在()0-∞，上递减,此时()f x 为减函数,不等式成立,当0m <时,且210m --≤,即102m -≤<,满足不等式,综合得m 的范围为12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，. 4.【答案】C故选C ．6.【答案】C【解析】()()ln 1f x x =-的图象关于x 1=轴对称,且在()1∞+，上单调递增, 又731452<<<∴()73 452f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选C ．7.【答案】C 【解析】先判断函数的单调性,时,,所以函数,在为增函数,通过平移可得,在为增函数,作出与的图象,,可得,故,故选C ．8.【答案】B 【解析】设=m,因为均为小于1的正数,所以m ＜0,所以所以所以,同理,故选为B ．9.【答案】A 【解析】∵函数与函数的图像关于直线对称∴当时,对数函数在上是增函数,且二次函数的对称轴为正数,则二次函数的图象开口向上,过坐标原点；当时,对数函数在上是减函数,且二次函数开口向下,过原点.综上,图象可能是A ．故选A ．11.【答案】B【解析】,由二次函数的对称性可得由可得,函数有四个不同的零点,等价于的图象与的图象有四个不同的交点,画出的图象与的图象,由图可得,∴∴=令,∴,故选B ．12.【答案】()1,-+∞【解析】根据题意,由p ⌝为假命题,则p 为真命题,即51,2x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭,使2440ax x +->成立, 若0a >,则()41{ 210a f -≤>或4522{ 502a f -≥⎛⎫> ⎪⎝⎭,解得0a >；若0a =,则当51,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,总有440x ->成立； 若0a <,则24160{ 12512a a a ∆=+>⇒>-<-<,即10a -<<.综上得,所求实数a 的取值范围为()1,-+∞.14.【答案】[)1+∞，【解析】∵()()211221=211221x x x x x x g x g x ------==-=-+++,∴函数()g x 为奇函数,又()()0g a g b +=,∴a b =-． ∴()()()()0f a f b f a f a +=+-=有解,即93930aaaat t ---⋅+-⋅=有解,即9933a aa at --+=+有解． 令()332aam m -=+≥,则2992233a a a am m m m--+-==-+, ∵()2m m mϕ=-在[)2,+∞上单调递增,∴()()21m ϕϕ≥=． ∴1t ≥．故实数t 的取值范围是[)1,+∞．。
高三数学对数函数与指数函数的导数1
导数练习题及答案
导数练习题及答案导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
掌握导数的概念和计算方法对于解决实际问题和理解数学原理都至关重要。
在学习导数的过程中，练习题是必不可少的一环。
本文将介绍一些常见的导数练习题及其答案，帮助读者更好地理解和掌握导数的概念和计算方法。
一、基本函数的导数1. 常数函数的导数常数函数f(x) = c的导数为0，其中c为常数。
这是因为常数函数在任意一点的变化率都为0，即斜率为0。
2. 幂函数的导数幂函数f(x) = x^n的导数为f'(x) = nx^(n-1)，其中n为正整数。
这是根据导数的定义和幂函数的性质得出的。
3. 指数函数的导数指数函数f(x) = a^x的导数为f'(x) = a^x * ln(a)，其中a为正实数，ln(a)为以e为底的对数。
这是根据指数函数和对数函数的性质以及导数的定义得出的。
4. 对数函数的导数对数函数f(x) = ln(x)的导数为f'(x) = 1/x，其中x为正实数。
这是根据对数函数和指数函数的性质以及导数的定义得出的。
二、基本运算法则1. 和差法则如果函数f(x)和g(x)都可导，则它们的和函数(f+g)(x)和差函数(f-g)(x)也可导，并且有以下公式：(f+g)'(x) = f'(x) + g'(x)(f-g)'(x) = f'(x) - g'(x)2. 积法则如果函数f(x)和g(x)都可导，则它们的乘积函数(f*g)(x)也可导，并且有以下公式：(f*g)'(x) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)3. 商法则如果函数f(x)和g(x)都可导，并且g(x)不为0，则它们的商函数(f/g)(x)也可导，并且有以下公式：(f/g)'(x) = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / g(x)^2三、常见函数的导数1. 正弦函数和余弦函数的导数正弦函数f(x) = sin(x)的导数为f'(x) = cos(x)。
35对数函数与指数函数的导数.docx
3. 5对数函数与指数函数的导数一. 复习：1. 常见函数的导数公式:(兀")'=zu"T ； (sinx)'= cosx ； (cos%)'= -sinx ・3. 复合函数的导数：设函数u=(p (x)在点兀处有导数/ x =(p f ⑴，函数尸働)在点x 的对应点比处有导数u =f (H ),则复合函数y=fi (p (兀))在点兀处也有导数，且儿=儿必;或 f A ( (p(w) (p '(X ).4. 复合函数的求导法则复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的 导数・5. 复合函数求导的基本步骤是：分解一一求导一一相乘一一回代.・二、1•对数函数的导数(1)： (lnx)'=—・Av 1 , 心、1 x 、“ 心、 1 ,——=——ln(l H ---- ) = ln(l H )二—ln(l H ) Ak即 (lnx)'= — ・附：重要极限lim(l +丄)' =£或lim(l + Q ：=幺<2)： (log t/ xy=-\og a e证明：根据对数的换底公式c = o ；2 •法则 1法则2[w(x)v(x)]z = u *(x)v(x) + w(x)v*(x), [Cw(x )y = Cu *(x)・法则3/= lim 0 =丄 lim ln(l + —=-ln[lim(l + —)^] =丄 1叱=丄X 山 T() XXXzkr x x Ar x x x 证明：T y = /(x) = lnxz Inx v 11 1 ]（log 。
x ） = （—） = ---- = -log. e •Inc Inc 兀 x根据对数函数的求导公式以及函数的四则运算的求导法则、复合函数的求导法则，我 们可以求一些简单函数的导数.2. 指数函数的导数：（e A ）'= e x ・（6Z A ）'= a x \x\a ・这两个公式的证明需耍用到反函数的求导法则，这超出了目前的学习范围，所以这里就 不再证明.只需记住它的结论，以幺为底数的指数函数的导数是它本身，以。
35对数函数与指数函数的导数
＝(n＋1)lnxxn.
∴y′＝n＋1xln
xn·y＝n＋1ln
xn·xln x
xn
＝(n＋1)(ln x)n·x(ln x)n－1.
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1．(2009 年高考全国卷Ⅰ)已知直线 y＝x＋1 与曲线 y＝ln(x＋a)相切，则 a 的值为( ) (A)1 (B)2 (C)－1 (D)－2 解析：设切点为 P(x0，y0)，则 y0＝x0＋1，y0＝ln(x0＋a)，又∵y′|x＝x0＝x0＋1 a＝1， ∴x0＋a＝1，∴y0＝0，x0＝－1， ∴a＝2. 故选 B.
解析：∵曲线 y＝eax 在点(0,1)处的切线与直线 x＋2y＋1＝0 垂直，故切线斜率为 2. ∵y＝eax，∴y′＝aeax. ∵y′|x＝0＝2，∴ae0＝2. ∴a＝2.
答案：2
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能力提升
8．函数 y＝12(ex＋e－x)的导数是( A ) (A)y′＝12(ex－e－x) (B)y′＝12(ex＋e－x) (C)y′＝ex－e－x (D)y′＝ex＋e－x
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10 ． 曲 线 y ＝ ex － eln x 在 点 (e ， 1) 处 的 切 线 方 程 为 ________________________________________________________________________．
解析：∵y′＝ex－e·1x＋ex－eln x， ∴曲线在点(e，1)处的切线斜率为 k＝1e＋1＝1＋e e， ∴y－1＝1＋e e(x－e)， 即 y＝1＋e ex－e. 答案：y＝1＋e ex－e
3．函数 y＝ 10x的导数为( B ) (A)y′＝ 10x·ln 10 (B)y′＝12 10x·ln 10 (C)y′＝12 10x·ln 10 (D)y′＝1x0 10x
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高三第三章导数--对数函数与指数函数的导数练习题
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1.下列求导数运算正确的是
A.（x +x 1)′=1+21x
B.(log 2x )′=2ln 1x
C.(3x )′=3x log 3e
D.(x 2cos x )′=－2x sin x
2.函数y =ln(3－2x －x 2)的导数为 A.32+x B.2231x x -- C.32222-++x x x D.3
2222-+-x x x 3.函数y =lncos2x 的导数为 A.－tan2x B.－2tan2x C.2tan x
D.2tan2x 4.函数y =x x
a 22-(a >0且a ≠1),那么y ′为 A.x x a 22-ln a B.2(ln a ) x x a 22- C.2(x －1) x x a 22-·ln a D.(x －1) x x a 22-ln a
5.函数y =x ln 的导数为
A.2x x ln
B.x x
ln 2 C.x x ln 1
D.x x ln 21
6.函数y =sin32x 的导数为
A.2(cos32x )·32x ·ln3
B.(ln3)·32x ·cos32x
C.cos32x
D.32x ·cos32x
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
7.设y =x x e
e 2
)12(+,则y ′=___________. 8.在曲线y =5
9++x x 的切线中，经过原点的切线为 9.函数y =x
22的导数为y ′=___________.
10.函数y =log 3cos x 的导数为___________.
11.曲线y =e x －e ln x 在点（e ,1)处的切线方程为___________.
三、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
12.求函数y =ln(21x +－x )的导数.
13.求函数y =x x (x >0)的导数.
14.设函数f (x )满足：af (x )+bf (
x 1)=x
c (其中a 、b 、c 均为常数，且|a |≠|b |),试求f ′(x ).
对数函数与指数函数的导数
1.B
2.C
3.B
4.C
5.D
6.A
7.4e x －
x e 1 8.y =－x ,y =－25
1x 9.22x +x ·ln 22 10.－tan x log 3e 11.y =x e e +1－e 三、12.解：y =ln u ,u =21x +－x
y ′=(ln u )′(21x +－x )′ =)121121(12
-⋅+⋅x x u =)11(11
22-+⋅-+x x x x =2221111
x x x x
x ++-⋅-+ =－211
x +
13.解：∵y =x x =x x e ln
∴y ′=e x ln x ·(x ln x )′=e x ln x (ln x +1)=x x (ln x +1)
14.解：以
x 1代x ,得 af (x
1)+bf (x )=cx ∴f (x 1)=)(x f a
b x a
c - 代入af (x )+bf (x 1)=x
c ,得 af (x )+b ［x
c x f a b x a c =-)]( ∴f (x )=)(22bx c
a b a c -- ∴f ′(x )=－)(222b x
a b a c +-。