高一下学期数学(理)
河南省漯河市高级-2021-2022学年高一下学期期末数学复习题
高一数学（理）期末备战试题3一、单选题1．复数5i 2-的共轭复数是（）A ．2i+B ．2i-+C ．2i--D ．2i-2．下列说法正确的是（）A ．直四棱柱是正四棱柱B ．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线C ．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台D ．以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥3．独角兽企业是指成立时间少于10年，估值超过10亿美元且未上市的企业．2021年中国独角兽企业行业分布广泛，覆盖居民生活的各个方面．如图为某研究机构统计的2021年我国独角兽企业的行业分布图（图中的数字表示各行业独角兽企业的数量），其中京、沪、粤三地的独角兽企业数量的总占比为70%．则下列说法不正确的是（）A ．2021年我国独角兽企业共有170家B ．京、沪、粤三地的独角兽企业共有119家C ．独角兽企业最多的三个行业的占比超过一半D ．各行业独角兽企业数量的中位数为134．△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ，设向量()()p a c b q b a c a =+=-- ，，，，若p q∥，则角C 的大小为（）A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π35．在下列判断两个平面α与β平行的4个命题中，真命题的个数是（）.（1）α、β都垂直于平面r ，那么α∥β.（2）α、β都平行于平面r ，那么α∥β.（3）α、β都垂直于直线l ，那么α∥β.（4）如果l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β，那么α∥βA ．0B ．1C ．2D ．36．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos cos a bA B=，222c a b ab =+-，则ABC ∆是（）A ．钝角三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形7．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，3cos 10C =，若92CB CA ⋅= ，则c 的最小值为（）A ．2B ．4C D ．178．《易·系辞上》有“河出图，洛出书，圣人则之”之说，河图、洛书是中华文化、易经八卦和阴阳五行术数之源．如图所示的河图中，白圈为阳数，黑点为阴数．若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数的概率为（）A ．14B ．13C ．12D ．239．已知a 与b 为单位向量，且a ⊥b ，向量c 满足||2b c a --=rr r ，则|c |的可能取值有（）A ．6B ．5C ．4D ．310．已知在正四面体P －ABC 中，D ，E ，F 分别在棱PA ，PB ，PC 上，若PE ＝4，PF ＝PD ＝2，则点P 到平面DEF 的距离为（）A 2B ．42211C D ．311．我国古代数学家刘徽在其《海岛算经》中给出了著名的望海岛问题及二次测望方法：今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表三相直.从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末三合.从后表却行一百二十七步，人目着地取望岛峰，亦与表末三合.问岛高及去表各几何?这一方法领先印度500多年，领先欧洲1300多年，其大意为：测量望海岛PQ 的高度及海岛离岸距离，在海岸边立两根等高标杆,AB CD （,,PQ AB CD 共面，均垂直于地面），使目测点E 与P 、B 共线，目测点F 与P 、D 共线，测出AE CF AC 、、，即可求出岛高PQ 和EQ 的距离（如图）.若,,,AB CD r AE a CF b EF d =====，则PQ =（）A ．drb a-B ．dr b a+C ．dr a b-D ．()d a r b a-+12．如图，在棱长为2的正四面体ABCD 中，点N ，M 分别为ABC 和ABD △的重心，P 为线段CM 上一点．（）A ．AP BP +的最小为2B ．若DP ⊥平面ABC ，则4CP CM= C ．若DP ⊥平面ABC ，则三棱锥P －ABC 外接球的表面积为92πD ．若F 为线段EN 的中点，且DP MF ∥，则25MP MC =二、填空题13．已知向量()2,3a =- ，()3,b m = ，且a b ⊥ ，则m =________.14．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(sin sin )()(sin sin )a A C b c B C -=-+，3b =，则ABC 的周长的最大值是______.15．在锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ,若2cos b a a C -=，则ac的取值范围是______．16．已知在三棱锥P －ABC 中，PA ＝4，BC =PB ＝PC ＝3，PA ⊥平面PBC ，则三棱锥P －ABC 的外接球的表面积是________.三、解答题17．根据要求完成下列问题：(1)关于x 的方程2(2i)i 10x a x a +--+=有实根，求实数a 的取值范围；(2)若复数22(2)(23)i z m m m m =+-+--（R m ∈）的共轭复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的集合．18．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且()2,cos n a c C =- 与(),cos m b B =共线.(1)求B ：(2)若2BD D C =，且1CD =，AD =，求ABC 的面积.19．如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PCD ⊥平面ABCD ，PCD 为等边三角形，112AB AD CD ===，90BAD ADC ∠=∠=︒，M 是棱上一点，且2CM MP = .(1)求证：AP ∥平面MBD ；(2)求二面角M －BD －C 的余弦值.20．第24届冬奥会于2022年2月在北京举行，志愿者的服务工作是冬奥会成功举办的重要保障．某高校承办了北京志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[85,95)，绘制成如图2所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．(1)求a ，b 的值；(2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第60%分位数（分位数精确到0.1）；(3)在第四、第五两组志愿者中，现采用分层抽样的方法，从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率．21．如图所示，在平面五边形ABCDE 中，已知120A ∠=︒，90B ∠=︒，120C ∠=︒，90E ∠=︒，3AB AE ==.(1)当2BC =时，求CD ；(2)当五边形ABCDE 的面积S ⎡∈⎣时，求BC 的取值范围.22．已知梯形ABCD 中，224CD CB BA ===，90ABC BCD ∠=∠= ，E 为线段CD 上一点（不在端点），沿线段AE 将ADE 折成AD E ' ，使得平面BD E '⊥平面ABC .(1)当点E 为CD 的中点时，证明：平面AD E '⊥平面CD E '；(2)若AD '与平面BD E '求平面D AE '与平面D BC '所成的锐二面角的余弦值.高一数学（理）期末备战试题3参考答案1．B2．B3．C4．B5．D6．B7．C8．C9．D10．B11．A12．D13．24．915．22⎝⎭16．43π17．(1)1a =±(2)312（，）【解析】(1)设0x 是其实根，代入原方程变形为200021()i 0x ax a x ++-+=，由复数相等的定义，得20002100x ax a x ⎧++=⎨+=⎩，解得1a =±；(2)由题意得22(2)(23)i z m m m m =+----，∴2220(23)0m m m m ⎧+->⎨--->⎩，即2220230m m m m ⎧+->⎨--<⎩，解得312m <<，故实数m 的集合为3(1,)2.18．(1)3π【解析】(1)解：在ABC 中，A B C π++=，因为向量n 与向量m共线，则()2cos cos a c B b C -⋅=⋅，由正弦定理可得()2sin sin cos sin cos A C B C -⋅=⋅，所以，()2sin cos sin sin A B B C A ⋅=+=，A 、()0,B π∈，则sin 0A >，所以，1cos 2B =，因此，3B π=.(2)解：2BD DC =，且1CD =，AD =，2BD ∴=，3BC =，在ABD △中，由余弦定理有2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅，即27422cos3AB AB π=+-⨯，即2230AB AB --=，0AB > ，解得3AB =，所以，11sin 922ABC S AB BC B =⋅⋅=⨯⨯△19．【解析】(1)连接AC ，记AC 与BD 的交点为H ，连接MH .由90BAD ADC ∠=∠=︒，得AB CD ∥，12AB AH CD HC ==，又12PM MC =，则AH PMHC MC=，∵平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD ＝CD ，∴PO ⊥平面ABC D.以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OP 为x 轴，建立空间直角坐标系，则()0,1,0D -，()0,0,3P ，1230,,33M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()1,0,0B ，()0,1,0C ，1231,,33BM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()1,1,0BD =-- .设平面BDM 的法向量(),,n x y z = ，则1230330n BM x y z n BD x y ⎧⋅=-++=⎪⎨⎪⋅=--=⎩，取x ＝1得231,1,3n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，平面BCD 的一个法向量()0,0,1m = .设二面角M －BD －C 的平面角为θ，则10cos 5m n m nθ⋅==⋅ .∴二面角M －BD －C 的余弦值为105.20．(1)0.005,0.025a b ==；(2)估计平均数为69.5，第60%分位数为71.7；(3)25.【解析】(1)()()20.0450.0201010.0450.020100.7a b a ⎧+++⨯=⎪⎨++⨯=⎪⎩，解得：0.0050.025a b =⎧⎨=⎩，所以0.005,0.025a b ==；(2)500.00510600.02510700.04510800.02010900.0051069.5⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，故估计这100名候选者面试成绩的平均数为69.5；前两组志愿者的频率为()0.0050.025100.30.6+⨯=<，前三组志愿者的频率为()0.0050.0250.045100.750.6++⨯=>，所以第60%分位数落在第三组志愿者中，设第60%分位数为x ，则()650.0450.60.3x -⨯=-，解得：71.7x ≈，故第60%分位数为71.7(3)第四、第五两组志愿者的频率比为4:1，故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为a b c d ,,,，第五组志愿者人数为1，设为e ，这5人中选出2人，所有情况有()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a e b c b d b e c d c e d e ，共有10种情况，其中选出的两人来自不同组的有()()()(),,,,,,,a e b e c e d e 共4种情况，故选出的两人来自不同组的概率为42105=21．(1)332；(2))3,33⎡⎣.120//901203060DEB CBE ∠=∠=︒，所以在ABE △中3AB AE ==，由余弦定理得2222cos12027BE AE AB AE AB =+-⋅︒=，∴33BE =，过C 点作CM BE ⊥于M ，可得33cos604BM BC =⋅︒=，∴3322CD BE BM =-=；(2)由193sin12024ABE S AB AE =⋅⋅⋅︒= ，又五边形ABCDE 的面积63,93S ⎡⎤∈⎣⎦，∴153273,44BCDE S ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭，设BC x =，则()()1133333222BCDE S BE CD CM x x=⨯+⨯=⨯+-⨯，整理得2156327x x ≤-<，解得333x ≤<或3353x <≤，又2330DC BE BM x =-=->，即33x <，∴BC 的取值范围是)3,33⎡⎣.22．【解析】(1)当点E 为CD 的中点时，由题得AE CD ⊥，故AE ED ⊥'，AE EC ⊥， ED EC E ⋂='且都在平面CD E '中，故AE ⊥平面 CD E '.又AE ⊂平面AD E '，故平面AD E '⊥平面CD E'(2)如图过A 作AO BE ⊥交BE 于点O ，连D O '，则平面 BD E '⊥平面 ABC ，平面 BD E '⋂平面 ABC BE =，AO BE ⊥，AO ⊂平面 ABC ，故AO ⊥平面BD E'所以D O '是直线AD '在平面BD E '上的投影直线AD '与平面BD E '所成角即为直线AD '与直线D O '所成角，即为AD O∠'10sin 5AD O ∠'∴=，又22AD AD =='，∴在Rt AD O ' 中，45230,55AO D O '==，∴在Rt ABO 中，25sin 5ABO ∠=，则tan tan 2BEC ABO ∠∠==251,5CE BO ∴==5BE ∴=，355EO =352303555cos cos 3D EB D EO ∠∠''∴==2BD ∴'=，则BD BE'⊥所以平面 BD E '⊥平面ABC ，平面BD E 'I 平面ABC BE =，BD BE '⊥，BD '⊂平面BD E '，故BD '⊥平面ABC 法1：由上易证AB ⊥平面,BCD CE '⊥平面BCD '所以BCD ' 是AED '△的投影三角形设平面D AE '与平面D BC '所成的锐二面角为θ则2cos 3BCD AED S S θ''== 法2：分别取AD AB '､的中点M N ､，连接,,MN EM EN 易证平面EMN ∥平面CD B'所以平面D AE '与平面D BC '所成的锐二面角即为二面角A EM N --所成角由上可得AN ⊥平面EMN ，且可得EMN 中，1,5,2MN EM EN ===AEM △中，2,5,5AM EM AE ===过N 作NH EM ⊥交EM 于点H ，连AH 由AN ⊥平面EMN ，且NH ⊂面EMN所以AN EM ⊥又NH EM ⊥，可证EM ⊥面AHN 所以AH EM⊥所以AHN ∠为二面角A EM N --的平面角在Rt AHN 中，2535,1,55HN AN AH ===所以2cos 3HN AH θ==。
江苏省扬州市求知中学2020年高一数学理下学期期末试题含解析
江苏省扬州市求知中学2020年高一数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的图象的一个对称中心是（）A.B.C.D.参考答案：B 解析：2. （5分）全集U={1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6}，M={1，﹣2，3，﹣4}，则?U M（）A．{1，3} B．{5，﹣6} C．{1，5} D．{﹣4，5}参考答案：B考点：补集及其运算．专题：集合．分析：直接利用补集概念得答案．解答：解：∵全集U={1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6}，M={1，﹣2，3，﹣4}，则?U M={5，﹣6}．故选：B．点评：本题考查了补集及其运算，是基础的会考题型．3. 下面四个命题：①“直线a∥直线b”的充要条件是“a平行于b所在的平面”；②“直线l⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l⊥平面α”；③“直线a、b为异面直线”的充分不必要条件是“直线a、b不相交”；④“平面α∥平面β”的必要不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等”．其中正确命题的序号是()A．①② B．②③C．②④ D．③④参考答案：C4. 某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，用茎叶图表示上述两组数据，对两块地抽取树苗的高度的平均数和中位数进行比较，下面结论正确的是（）A．B．C．D．参考答案：B5. 已知数列2016，2017，1，－2016，－2017，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2017项之和等于A. 0B. 2016C. 2017D. 4033参考答案：B6. 已知函数，则（）A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数参考答案：A7. 甲、乙二人从A地沿同一方向去B地，途中都使用两种不同的速度与（＜）. 甲前一半的路程使用速度，后一半的路程使用速度；乙前一半的时间使用速度，后一半时间使用速度.关于甲、乙二人从A地到达B地的路程与时间的函数图象及关系，有如图所示的四个不同的图示分析（其中横轴表示时间，纵轴表示路程，C是AB的中点），则其中可能正确的图示分析为（）A .（1） B. （2） C.（3） D . （4）参考答案：A8. 设a=log2π，b=logπ，c=π﹣2，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a参考答案：C【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据对数函数和幂函数的性质求出，a，b，c的取值范围，即可得到结论．【解答】解：log2π＞1，logπ＜0，0＜π﹣2＜1，即a＞1，b＜0，0＜c＜1，∴a＞c＞b，故选：C【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用对数函数和幂函数的性质是解决本题的关键，比较基础．9. （5分）要得到的图象，只需将y=3sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位参考答案：C考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：根据左加右减的原则进行左右平移即可．解答：∵，∴只需将y=3sin2x的图象向左平移个单位故选C．点评：本题主要考查三角函数的平移．三角函数进行平移时的原则是左加右减上加下减．10. 函数y=1﹣的图象是（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】函数的图象．【分析】把函数先向右平移一个单位，再关于x轴对称，再向上平移一个单位．【解答】解：把的图象向右平移一个单位得到的图象，把的图象关于x轴对称得到的图象，把的图象向上平移一个单位得到的图象．故选：B．【点评】本题考查函数图象的平移，对称，以及学生的作图能力．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. △ABC中，D为BC边上一点，BC=3BD,AD=,∠ADB=135°.若AC=AB,则BD=_____.参考答案：2+12. 已知三个不等式①ab>0；②>；③bc>ad.若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成________个正确命题．参考答案：3解析：①②?③，③①?②.(证明略)由②得>0，又由③得bc－ad>0.所以ab>0?①.所以可以组成3个正确命题．13. 已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则sinC＝________.参考答案：114. 将时钟拨快了10分钟，则时针转了度，分针转了弧度．参考答案：15. 已知均为正数且满足，则的最小值为_____________________参考答案：16. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若6a=4b=3c，则cosB= ．参考答案：【考点】余弦定理．【分析】由已知可用a表示b，c，代入余弦定理化简即可得解．【解答】解：在△ABC中，∵6a=4b=3c∴b=，c=2a，由余弦定理可得cosB===．故答案为：．【点评】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，用a表示b，c是解决问题的关键，属于基础题．17. 若不等式0≤x2﹣ax+a≤1，只有唯一解，则实数a的值为．参考答案：2【考点】一元二次不等式的解法．【分析】结合二次函数的性质知，不等式0≤x2﹣ax+a≤1有唯一解可化为x2﹣ax+a=1有唯一解，从而解得．【解答】解：∵不等式0≤x2﹣ax+a≤1有唯一解，∴x2﹣ax+a=1有唯一解，即△=a2﹣4（a﹣1）=0；即a2﹣4a+4=0，解得，a=2，故答案为：2．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
江苏省南京市钟英中学2021-2022学年高一数学理下学期期末试题含解析
江苏省南京市钟英中学2021-2022学年高一数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,则C=（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】首先通过正弦定理将边化角，于是求得，于是得到答案.【详解】根据正弦定理得：，即，而，所以，又为三角形内角，所以，故选B.【点睛】本题主要考查正弦定理的运用，难度不大.2. 下列各组中的两个三角函数值的大小关系正确的是A. B.C. D.参考答案：D3. 已知x，y满足约束条件，则函数的最小值为（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】由约束条件画出可行域，利用目标函数的几何意义求最小值．【详解】由已知得到可行域如图阴影所示：目标函数的几何意义是区域内的点到距离的平方，又，所以函数的最小值为故选：D．【点睛】本题考查了简单线性规划问题；正确画出可行域是解答的前提，利用目标函数求最值是关键．4. 某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1600辆、6000辆和2000辆，为检验公司的产品质量，现从这三种型号的轿车中抽取48辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取( )A．16，16，16 B．12，27，9 C．8，30，10 D．4，33，11参考答案：C5. 设△ABC的一个顶点是A（3，－1），∠B，∠C的平分线方程分别是x=0，y=x，则直线BC的方程是（）A．y=2x+5 B．y=2x+3 C．y=3x+5 D．参考答案：A6. 若，则等于A． B． C． D．参考答案：A7. 如果一扇形的弧长为，半径等于2，则扇形所对圆心角为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．参考答案：C略8. （5分）已知函数f（x）在定义在R上的奇函数，若对于任意给定的不等实数x1、x2，不等式x1f （x1）+x2f（x2）＜x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，则不等式f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，10） D．（1，+∞）参考答案：B考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：先将不等式转化为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0恒成立得到函数f（x）是定义在R上的减函数；再利用函数f（x）是定义在R上的奇函数得到函数f（x）过（0，0）点，即可求出不等式f （x）＜0的解集．解答：∵对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式x1f（x1）+x2f（x2）＜x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，∴不等式等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0恒成立，即函数f（x）是定义在R上的减函数．∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴函数f（x）过点（0，0）；故不等式f（x）＜0，解得x＞0．故选：B．点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的综合应用问题．将不等式进行转化判断出函数f（x）的单调性以及利用奇函数的性质得到函数f（x）过（0，0）点是解决本题的关键．9. 已知函数f（x）=7+a x﹣1的图象恒过点P，则P点的坐标是（）A．（1，8）B．（1，7）C．（0，8）D．（8，0）参考答案：A【考点】指数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题．【分析】根据指数函数的性质，我们易得指数函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象恒过（0，1）点，再根据函数图象的平移变换法则，求出平移量，进而可以得到函数图象平移后恒过的点A的坐标．【解答】解：由指数函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象恒过（0，1）点而要得到函数y=7+a x﹣1（a＞0，a≠1）的图象，可将指数函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象向右平移1个单位，再向上平移7个单位．则（0，1）点平移后得到（1，8）点．点P的坐标是（1，8）．故选A．【点评】本题考查的知识点是指数函数的图象与性质，其中根据函数y=7+a x﹣1（a＞0，a≠1）的解析式，结合函数图象平移变换法则，求出平移量是解答本题的关键．10. 已知等差数列{a n}的公差不为零，S n为其前n项和，，且，，构成等比数列，则（）A. 15B. -15C. 30D. 25参考答案：D 【分析】 设等差数列的公差为，由已知列关于首项与公差的方程组，求解得到首项与公差，再由等差数列的前项和公式求解． 【详解】解：设等差数列的公差为，由题意，，解得．∴ ．故选：D ．【点睛】本题考查等差数列的通项公式与前项和，考查等比数列的性质，是基础题．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设函数f (x )＝cos x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 013) ＋f (2 014)＝________。
2022年山东省济宁市梁山县梁山镇第一中学高一数学理下学期期末试题含解析
2022年山东省济宁市梁山县梁山镇第一中学高一数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在边长为的等边三角形中，，则等于（）A、 B、 C、 D、参考答案：C略2. 已知函数f(x)=有3个零点，则实数a的取值范围是（）A．a＜1 B．a＞0 C．a≥1D．0＜a＜1参考答案：D【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】作出函数f（x）的图象，利用函数f（x）有3个零点，建立条件关系即可求出a的取值范围．【解答】解：函数f（x）有3个零点，须满足，即，即0＜a＜1，故选D．【点评】本题主要考查函数零点的应用，利用数形结合是解决本题的关键．3. 已知，是奇函数，直线与函数f(x)的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则（）A. f(x)在上单调递减B. f(x)在上单调递减C. f(x)在上单调递增D. f(x)在上单调递增参考答案：A【分析】首先整理函数的解析式为，由函数为奇函数可得，由最小正周期公式可得，结合三角函数的性质考查函数在给定区间的单调性即可.【详解】由函数的解析式可得：，函数为奇函数，则当时：.令可得.因为直线与函数的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为结合最小正周期公式可得：，解得：.故函数的解析式为：.当时，，函数在所给区间内单调递减；当时，，函数在所给区间内不具有单调性；据此可知，只有选项A的说法正确.故选A.【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用，考查了三角函数的周期性、单调性，三角函数解析式的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4. 设集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2≤x}，则M∩N=（）A．{0} B．{0，1} C．{﹣1，1} D．{﹣1，0，1}参考答案：B【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】求出集合N，然后直接求解M∩N即可．【解答】解：因为N={x|x2≤x}={x|0≤x≤1}，M={﹣1，0，1}，所以M∩N={0，1}．故选B．【点评】本题考查集合的基本运算，考查计算能力，送分题．5. 已知，则的大小关系是（）A. B． C. D．参考答案：A6. 在△ABC中， =， =，当＜0时，△ABC为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形参考答案：C【考点】9P：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】由＜0知∠BAC＞90°，由此可知△ABC的形状．【解答】解：∵＜0，∴，∴，∴△ABC为钝角三角形，故选C．7. 已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则?的值为（）A．﹣B．C．D．参考答案：C【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由题意画出图形，把、都用表示，然后代入数量积公式得答案．【解答】解：如图，∵D、E分别是边AB、BC的中点，且DE=2EF，∴?========．故选：C．8. 定义在上的偶函数在[0,+∞)上递减，且，则满足的x的取值范围是（）．A．B．C．D．参考答案：A解：因为偶函数在上递减，由偶函数性质可得，在上递增，因为，所以当时，或，解得．故选．9. 给定函数①，②，③y=|x﹣1|，④y=2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是( )A．①②B．②③C．③④D．①④参考答案：B考点：函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：本题所给的四个函数分别是幂函数型，对数函数型，指数函数型，含绝对值函数型，在解答时需要熟悉这些函数类型的图象和性质；①为增函数，②为定义域上的减函数，③y=|x﹣1|有两个单调区间，一增区间一个减区间，④y=2x+1为增函数．解答：解：①是幂函数，其在（0，+∞）上即第一象限内为增函数，故此项不符合要求；②中的函数是由函数向左平移1个单位长度得到的，因为原函数在（0，+∞）内为减函数，故此项符合要求；③中的函数图象是由函数y=x﹣1的图象保留x轴上方，下方图象翻折到x轴上方而得到的，故由其图象可知该项符合要求；④中的函数图象为指数函数，因其底数大于1，故其在R上单调递增，不合题意．故选B．点评：本题考查了函数的单调性，要注意每类函数中决定单调性的元素所满足的条件10. 设，则（）A． B．0 C． D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知角x终边上的一点P（-4，3），则的值为.参考答案：12. 命题，是（填“全称命题”或“特称命题”），它是命题（填“真”或“假”），它的否定命题，它是命题（填“真”或“假”）．参考答案：特称命题；假；，；真13. 若向量，若∥，则k=。
河北省衡水市冀州滏运中学高一数学理下学期期末试卷含解析
河北省衡水市冀州滏运中学高一数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 集合是指（）.第一象限内的所有点；.第三象限内的所有点；.第一象限和第三象限内的所有点；.不在第二象限、第四象限内的所有点.参考答案：由题意可知同号，或者是至少有一个为0，则答案选.2. 下列函数中,在上为减函数的是（）A. B. C. D.参考答案：D略3. 函数的图象大致是（）A B CD参考答案：D4. 若，，则与的关系是（）A． B． C． D．参考答案：A解析：，5. 下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上是单调递减的是（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】先判断各函数奇偶性，再找单调性符合题意的即可。
【详解】首先可以判断选项D，不是偶函数，排除；然后，由图像可知，在上不单调，在上单调递增，只有选项C：符合，故选C。
【点睛】本题主要考查函数的性质，奇偶性和单调性。
6. 已知，则下列不等式一定成立的是（）A．sin（α+β）＜sinα+sinβB．sin（α+β）＞sinα+sinβC．cos（α+β）＜sinα+sinβD．cos（α+β）＞cosα+cosβ参考答案：A【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】根据两角和的正弦、余弦公式即可得到结论．【解答】解：∵已知，sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，∴0＜cosβ＜1，0＜cosα＜1，∴sin（α+β）＜sinα+sinβ成立，故A正确．由于sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，0＜cosβ＜1，0＜cosα＜1，不能推出它大于sinα+sinβ，故B不正确．由于cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ，0＜cosβ＜1，0＜cosα＜1，不能推出它小于sinα+sinβ，故C错误．由于cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ，0＜cosβ＜1，0＜cosα＜1，不能推出它大于sinα+sinβ，故D错误．故选：A．7. 设数列{a n}的前n项和S n＝n2，则a8的值为（）A．15B．16C．49D．64参考答案：A略8. 若a，b，c都大于0，则直线ax+by+c=0的图象大致是图中的（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】直线的一般式方程．【分析】直线ax+by+c=0化为：y=﹣x﹣．可得a，b，c都大于0，可得﹣＜0，﹣＜0．即可得出．【解答】解：直线ax+by+c=0化为：y=﹣x﹣．∵a，b，c都大于0，∴﹣＜0，﹣＜0．∴直线ax+by+c=0的图象大致是图中的D．故选：D．9. 已知函数f（x）=，则f（f（5））的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：D【考点】对数的运算性质；函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用分段函数直接代入求值即可．【解答】解：∵f（5）=log24=2，∴f（f（5））=f（2）=22=4．故选：D．【点评】本题主要考查分段函数的求值问题，注意分段函数中变量的取值范围．10. 已知函数则的图象为（）参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如果满足∠A=60°，BC=6，AB=k的锐角△ABC有且只有一个，那么实数k的取值范围是．参考答案：【考点】HX：解三角形．【分析】依题意，可得C大于30°且小于90°，结合正弦定理解之即可．【解答】解：由题意，30°＜C＜90°，∴＜sinC＜1由正弦定理可得=，∴k=4sinC∴k∈，故答案为．12. 已知两条不同直线、，两个不同平面、，给出下列命题：①若垂直于内的两条相交直线，则⊥；②若∥，则平行于内的所有直线；③若，且⊥，则⊥；④若，，则⊥；⑤若，且∥，则∥；其中正确命题的序号是．（把你认为正确命题的序号都填上）参考答案：④略13. 给出下列四个命题：①某班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中另一位同学的编号为23；②一组有六个数的数据是1,2,3,3,4,5的平均数、众数、中位数都相同；③根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为中，则；其中正确的命题有（请填上所有正确命题的序号）参考答案：②③14. 若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是。
山东省德州市职业中等专业学校高一数学理下学期期末试题含解析
山东省德州市职业中等专业学校高一数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 定义在R上的函数f(x)满足且时，则（）A．－1 B．C．1 D．参考答案：D2. 函数f（x）=（）A．（-2,-1） B.（-1,0） C. （0,1） D. （1,2）参考答案：C3. 定义全集的子集的特征函数对于任意的集合、，下列说法错误的是（）．A．若，则，对于任意的成立B．，对于任意的成立C．，对于任意的成立D．若，则，对于任意的成立参考答案：C解：当且时，，，，所以，所以选项说法错误，故选．4. 已知函数，若方程有六个相异实根，则实数b的取值范围（）A．(－2,－1) B． C. D．(－2,0)参考答案：B令，则原函数方程等价为,作出函数f（x）的图象如图1：图象可知当由时，函数有3个交点，所以要使有六个相异实根，则等价为有两个根，，且，，令，则由根的分布（如图2）可得，即，即，解得，则实数的取值范围是，故选B.5. （5分）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）A．B．C．D．参考答案：A考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：设圆柱底面积半径为r，求出圆柱的高，然后求圆柱的全面积与侧面积的比．解答：设圆柱底面积半径为r，则高为2πr，全面积：侧面积=[（2πr）2+2πr2]：（2πr）2=．故选A．点评：本题考查圆柱的侧面积、表面积，考查计算能力，是基础题．6. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A．y=1，y=B．y=?，y=C．y=x与y=log a a x（a＞0且a≠1）D．y=|x|，参考答案：C【考点】判断两个函数是否为同一函数．【分析】利用函数的定义域相同，解析式相同，表示同一个函数，即可判断．【解答】解：对于A，B，D，函数的定义域不同；对于C，函数的定义域相同，解析式相同，表示同一个函数，故选C．7. 已知数列{a n}为等比数列，，，则的值为（）A. 7B. -5C. 5D. -7 参考答案：D【分析】利用等比数列的性质及通项公式，列方程组求解a1，q的值，再求解a1+a10的值【详解】a4+a7＝2，a5?a6＝﹣8，由等比数列的性质可知a5?a6＝a4?a7a4?a7＝﹣8，a4+a7＝2，∴a4＝﹣2，a7＝4或a4＝4，a7＝﹣2，a1＝1，q3＝﹣2或a1＝﹣8，q3a1+a10＝﹣7故选：D．【点睛】本题考查了数列的基本应用，考查等比数列的性质，熟记性质准确计算是关键，是基础题8. 如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）A． B． C． D．参考答案：B9. 下列函数f(x)与g(x)表示同一函数的是( )A．f(x)=x0与g(x)=1 B．f(x)=2 lgx与g(x)= lgx2C．f(x)= |x| 与g(x)= D．f(x)=x与g(x)=参考答案：D略10. 2sin75°cos75°的值为A．B．C．D．参考答案：C2sin75°?cos75°=sin150°=，故选；C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 数列{a n}的通项公式，其前n项和为S n，则等于_____．参考答案：﹣1010【分析】利用通项公式，然后分别求出，，，，得到，，…，明显，每4项相加等于2,进而利用进行求解即可【详解】解：数列的通项公式，则：当时，，当时，，当时，，当时，，…，，…，，故答案为：﹣1010．【点睛】本题考查数列递推式的运用，注意找到规律，属于基础题12. 若等比数列的前项和为，且，则=．参考答案：13. 我舰在敌岛A处南偏西50°的B处，且A，B距离为12海里，发现敌舰正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行．若我舰要用2小时追上敌舰，则其速度大小为海里/小时．参考答案：14【考点】解三角形的实际应用．【分析】由题意推出∠BAC=120°，利用余弦定理求出BC=28，然后推出我舰的速度．【解答】解：依题意，∠BAC=120°，AB=12，AC=10×2=20，在△ABC中，由余弦定理，得BC2=AB2+AC2﹣2AB×AC×cos∠BAC=122+202﹣2×12×20×cos120°=784．解得BC=28．所以渔船甲的速度为=14海里/小时．故我舰要用2小时追上敌舰速度大小为：14海里/小时．故答案为：14．14. 函数的定义域集合为。
吉林省长春十一中高一数学下学期期中试卷 理(含解析)-人教版高一全册数学试题
某某省某某十一中2014-2015学年高一下学期期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题4分，共48分）1．下列不等式中成立的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则＞2．数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（）A．a n=n2﹣（n﹣1）B．a n=n2﹣1 C．a n=D．3．已知A，B是以O为圆心的单位圆上的动点，且||=，则•=（）A．﹣1 B．1 C．﹣D．4．已知平面向量与的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）A．1 B．C．2 D．35．已知数列{a n}为等比数列，若a4+a6=10，则a7（a1+2a3）+a3a9的值为（）A．10 B．20 C．100 D．2006．等差数列{a n}中，已知a1=﹣12，S13=0，使得a n＜0的最大正整数n为（）A．6 B．7 C．8 D．97．给出下列图形：①角；②三角形；③平行四边形；④梯形；⑤四边形．其中表示平面图形的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．58．若两个等差数列{a n}、{b n}前n项和分别为A n，B n，且满足=，则的值为（）A．B．C．D．9．设数列{a n}是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n}是以1为首项，2为公比的等比数列，则=（）A．1033 B．1034 C．2057 D．205810．在等比数列{a n}中，若a1=2，a2+a5=0，{a n}的n项和为S n，则S2015+S2016=（）A．4032 B．2 C．﹣2 D．﹣403011．已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m、a n，使得a m a n=16a12，则+的最小值为（）A．B．C．D．不存在12．已知数列{a n}中，a n＞0，a1=1，a n+2=，a100=a96，则a2014+a3=（）A．B．C．D．二、填空题（每小题4分，共16分）13．在等差数列{a n}中，a7=m，a14=n，则a28=．14．已知数列{a n}为等比数列，且a1a13+2a72=5π，则cos（a5a9）的值为．15．若函数f（x）=x+（x＞2）在x=a处取最小值，则a=．16．数列{a n}中，a1=2，a2=7，a n+2是a n a n+1的个位数字，S n是{a n}的前n项和，则S242﹣10a6=．三．解答题：（本大题共5小题，共66分）17．已知向量、满足：||=1，||=4，且、的夹角为60°．（1）求（2﹣）•（+）；（2）若（+）⊥（λ﹣2），求λ的值．18．在△ABC中，，BC=1，．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）求的值．19．在三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c且b2+c2=bc+a2（1）求∠A；（2）若，求b2+c2的取值X围．20．已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n+log a n，S n=b1+b2+…+b n，求S n．21．数列{a n}的前n项和为S n， a n是S n和1的等差中项，等差数列{b n}满足b1+S4=0，b9=a1．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若=，求数列{}的前n项和W n．附加题（本小题满分10分，该题计入总分）22．已知数列{a n}的前n项和S n=，且a1=1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=lna n，是否存在k（k≥2，k∈N*），使得b k、b k+1、b k+2成等比数列．若存在，求出所有符合条件的k值；若不存在，请说明理由．某某省某某十一中2014-2015学年高一下学期期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题4分，共48分）1．下列不等式中成立的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则＞考点：不等式的基本性质．专题：不等式的解法及应用．分析：运用列举法和不等式的性质，逐一进行判断，即可得到结论．解答：解：对于A，若a＞b，c=0，则ac2=bc2，故A不成立；对于B，若a＞b，比如a=2，b=﹣2，则a2=b2，故B不成立；对于C，若a＜b＜0，比如a=﹣3，b=﹣2，则a2＞ab，故C不成立；对于D，若a＜b＜0，则a﹣b＜0，ab＞0，即有＜0，即＜，则＞，故D成立．故选：D．点评：本题考查不等式的性质和运用，注意运用列举法和不等式的性质是解题的关键．2．数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（）A．a n=n2﹣（n﹣1）B．a n=n2﹣1 C．a n=D．考点：数列的概念及简单表示法．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：仔细观察数列1，3，6，10，15…，便可发现其中的规律：第n项应该为1+2+3+4+…+n=，便可求出数列的通项公式．解答：解：设此数列为{ a n}，则由题意可得 a1=1，a2=3，a3=6，a4=10，…仔细观察数列1，3，6，10，15，…可以发现：1=1，3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，…∴第n项为1+2+3+4+…+n=，∴数列1，3，6，10，15…的通项公式为a n=，故选C．点评：本题考查了数列的基本知识，考查了学生的计算能力和观察能力，解题时要认真审题，仔细解答，避免错误，属于基础题．3．已知A，B是以O为圆心的单位圆上的动点，且||=，则•=（）A．﹣1 B．1 C．﹣D．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用勾股定理的逆定理，可得可得△OAB为等腰直角三角形，则，的夹角为45°，再由向量的数量积的定义计算即可得到．解答：解：由A，B是以O为圆心的单位圆上的动点，且||=，即有||2+||2=||2，可得△OAB为等腰直角三角形，则，的夹角为45°，即有•=||•||•cos45°=1××=1．故选：B．点评：本题考查向量的数量积的定义，运用勾股定理的逆定理得到向量的夹角是解题的关键．4．已知平面向量与的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）A．1 B．C．2 D．3考点：平面向量数量积的运算；向量的模．专题：计算题；平面向量及应用．分析：利用|+2|22+4•+42=12，根据向量数量积的运算，化简得出关于||的方程，求解即可．解答：解：∵|+2|=2，∴|+2|2=12，即2+4•+42=12，∴||2+4||×1×cos60°+4×12=12，化简得||2+2||﹣8=0，解得||=2，故选：C．点评：本题考查向量模的计算，向量数量积的计算，属于基础题．5．已知数列{a n}为等比数列，若a4+a6=10，则a7（a1+2a3）+a3a9的值为（）A．10 B．20 C．100 D．200考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等比数列的性质即可得出．解答：解：∵数列{a n}为等比数列，∴a7（a1+2a3）+a3a9=a7a1+2a7a3+a3a9===102=100，故选：C．点评：本题考查了等比数列的性质，属于基础题．6．等差数列{a n}中，已知a1=﹣12，S13=0，使得a n＜0的最大正整数n为（）A．6 B．7 C．8 D．9考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：设等差数列{a n}的公差为d，由于a1=﹣12，S13=0，利用等差数列的前n项和公式可得，解得a13=12．利用通项公式解得d．进而得到a n，解出a n≤0即可．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=﹣12，S13=0，∴，解得a13=12．∴12=a13=a1+12d=﹣12+12d，解得d=2．∴a n=﹣12+2（n﹣1）=2n﹣14，令a n=0，解得n=7．∴使得a n＜0的最大正整数n=6．故选：A．点评：本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题．7．给出下列图形：①角；②三角形；③平行四边形；④梯形；⑤四边形．其中表示平面图形的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5考点：平面的基本性质及推论．专题：空间位置关系与距离．分析：根据平面图形的定义，图形的所有部分都在同一平面内，由此得出正确的结论．解答：解：根据平面图形的定义，知①角，②三角形，③平行四边形，④梯形，都是平面图形；⑤四边形，不一定是平面图形．所以，以上表示平面图形的个数为4．故选：C．点评：本题考查了平面图形的概念与应用问题，是基础题目．8．若两个等差数列{a n}、{b n}前n项和分别为A n，B n，且满足=，则的值为（）A．B．C．D．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：把转化为，然后借助于已知得答案．解答：解：等差数列{a n}、{b n}前n项和分别为A n，B n，且=，得=．故选：B．点评：本题考查等差数列的性质，考查等差数列的前n项和，考查数学转化思想方法，是中档题．9．设数列{a n}是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n}是以1为首项，2为公比的等比数列，则=（）A．1033 B．1034 C．2057 D．2058考点：数列的求和．专题：计算题．分析：首先根据数列{a n}是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n}是以1为首项，2为公比的等比数列，求出等差数列和等比数列的通项公式，然后根据=1+2+23+25+…+29+10进行求和．解答：解：∵数列{a n}是以2为首项，1为公差的等差数列，∴a n=2+（n﹣1）×1=n+1，∵{b n}是以1为首项，2为公比的等比数列，∴b n=1×2n﹣1，依题意有：=1+2+23+25+…+29+10=1033，故选A．点评：本题主要考查数列求和的知识点，解答本题的关键是要求出数列{a n}和{b n}的通项公式，熟练掌握等比数列求和公式．10．在等比数列{a n}中，若a1=2，a2+a5=0，{a n}的n项和为S n，则S2015+S2016=（）A．4032 B．2 C．﹣2 D．﹣4030考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得公比q=﹣1，可得S2015=2，S2016=0，相加可得．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1=2，a2+a5=0，∴2q（1+q3）=0，解得q=﹣1，∴S2015=2，S2016=0∴S2015+S2016=2故选：B点评：本题考查等比数列的求和公式，求出公比是解决问题的关键，属基础题．11．已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m、a n，使得a m a n=16a12，则+的最小值为（）A．B．C．D．不存在考点：等比数列的通项公式；基本不等式．专题：等差数列与等比数列．分析：正项等比数列{a n}的公比为q，且q＞0，利用等比数列的通项公式化简a7=a6+2a5，求出公比q，代入a m a n=16a12化简得m，n的关系式，再利用“1”的代换和基本不等式求出式子的最大值．解答：解：设正项等比数列{a n}的公比为q，且q＞0，由a7=a6+2a5得：a6q=a6+，化简得，q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1（舍去），因为a m a n=16a12，所以=16a12，则q m+n﹣2=16，解得m+n=6，所以=（m+n）（）=（10+）≥=，当且仅当时取等号，所以的最小值是，故选：B．点评：本题考查等比数列的通项公式，利用“1”的代换和基本不等式求最值问题，考查化简、计算能力．12．已知数列{a n}中，a n＞0，a1=1，a n+2=，a100=a96，则a2014+a3=（）A．B．C．D．考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：由数列递推式求出a3，结合a100=a96求得a96，然后由a n+2=可得a2014=a96，则答案可求．解答：解：∵a1=1，a n+2=，∴，由a100=a96，得，即，解得（a n＞0）．∴．则a2014+a3=．故选：C．点评：本题考查了数列递推式，解答此题的关键是对数列规律性的发现，是中档题．二、填空题（每小题4分，共16分）13．在等差数列{a n}中，a7=m，a14=n，则a28=3n﹣2m．考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质可得a28=3a14﹣2a7，代入已知的值可求．解答：解：等差数列{a n}中，由性质可得：a28=a1+27d，3a14﹣2a7=3（a1+13d）﹣2（a1+6d）=a1+27d，∴a28=3a14﹣2a7，∵a7=m，a14=n，∴a28=3n﹣2m．故答案为：3n﹣2m．点评：本题为等差数列性质的应用，熟练利用性质是解决问题的关键，属基础题．14．已知数列{a n}为等比数列，且a1a13+2a72=5π，则cos（a5a9）的值为．考点：等比数列的性质；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列；三角函数的求值．分析：根据等比数列的性质进行求解即可．解答：解：∵a1a13+2a72=5π，∴a72+2a72=5π，即3a72=5π，则a72=，则cos（a5a9）=cos（a72）=cos=cos（2π）=cos=，故答案为：．点评：本题主要考查三角函数值的计算，利用等比数列的运算性质是解决本题的关键．15．若函数f（x）=x+（x＞2）在x=a处取最小值，则a=3．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：将f（x）=x+化成x﹣2++2，使x﹣2＞0，然后利用基本不等式可求出最小值，注意等号成立的条件，可求出a的值．解答：解：f（x）=x+=x﹣2++2≥4当x﹣2=1时，即x=3时等号成立．∵x=a处取最小值，∴a=3故答案为：3点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，注意“一正、二定、三相等”，属于基础题．16．数列{a n}中，a1=2，a2=7，a n+2是a n a n+1的个位数字，S n是{a n}的前n项和，则S242﹣10a6=909．考点：数列的求和．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：通过题意可得a1a2=14、a3=4，同理可得：a4=8，a5=2，a6=6，a7=2，a8=2，a9=4，a10=8，以此类推可得：a6n+k=a k（k∈N*，k≥3），进而可得结论．解答：解：∵a1=2，a2=7，a n+2是a n a n+1的个位数字，∴a1a2=14，∴a3=4．∴a2a3=28，∴a4=8，a3a4=32，∴a5=2，a4a5=16，∴a6=6，a5a6=12，∴a7=2，a6a7=12，∴a8=2，a7a8=4，∴a9=4，a8a9=8，∴a10=8，…以此类推可得：a6n+k=a k（k∈N*，k≥3）．∴S242=a1+a2+40（a3+a4+a5+a6+a7+a8）=2+7+40×（4+8+2+6+2+2）=969，∴S242﹣10a6=969﹣10×6=909．故答案为：909．点评：本题考查数列的周期性，考查推理能力与计算能力，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题．三．解答题：（本大题共5小题，共66分）17．已知向量、满足：||=1，||=4，且、的夹角为60°．（1）求（2﹣）•（+）；（2）若（+）⊥（λ﹣2），求λ的值．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：（1）由条件利用两个向量的数量积的定义，求得的值，可得（2﹣）•（+）的值．（2）由条件利用两个向量垂直的性质，可得，由此求得λ的值．解答：解：（1）由题意得，∴．（2）∵，∴，∴，∴λ+2（λ﹣2）﹣32=0，∴λ=12．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，属于基础题．18．在△ABC中，，BC=1，．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）求的值．考点：正弦定理；平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：（1）利用同角三角函数基本关系，根据cosC，求得sinC，进而利用正弦定理求得sinA．（2）先根据余弦定理求得b，进而根据=BC•CA•cos（π﹣C）求得答案．解答：解：（1）在△ABC中，由，得，又由正弦定理：得：．（2）由余弦定理：AB2=AC2+BC2﹣2AC•BC•cosC得：，即，解得b=2或（舍去），所以AC=2．所以，=BC•CA•cos（π﹣C）=即．点评：本题主要考查了正弦定理的应用，平面向量数量积的计算．考查了学生综合运用所学知识的能力．19．在三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c且b2+c2=bc+a2（1）求∠A；（2）若，求b2+c2的取值X围．考点：解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用．专题：计算题．分析：（1）由余弦定理表示出cosA，把已知的等式代入即可求出cosA的值，由A的X 围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；（2）由a和sinA的值，根据正弦定理表示出b和c，代入所求的式子中，利用二倍角的余弦函数公式及两角差的余弦函数公式化简，去括号合并后再利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据角度的X围求出正弦函数的值域，进而得到所求式子的X围．解答：解：（1）由余弦定理知：cosA==，又A∈（0，π）∴∠A=（2）由正弦定理得：∴b=2sinB，c=2sinC∴b2+c2=4（sin2B+sin2C）=2（1﹣cos2B+1﹣cos2C）=4﹣2cos2B﹣2cos2（﹣B）=4﹣2cos2B﹣2cos（﹣2B）=4﹣2cos2B﹣2（﹣cos2B﹣sin2B）=4﹣cos2B+sin2B=4+2sin（2B﹣），又∵0＜∠B＜，∴＜2B﹣＜∴﹣1＜2sin（2B﹣）≤2∴3＜b2+c2≤6．点评：此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理化简求值，灵活运用两角和与差的正弦、余弦函数公式及二倍角的余弦函数公式化简求值，掌握正弦函数的值域，是一道中档题．20．已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n+log a n，S n=b1+b2+…+b n，求S n．考点：数列的求和；等比数列的性质．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（I）根据a3+2是a2，a4的等差中项和a2+a3+a4=28，求出a3、a2+a4的值，进而得出首项和a1，即可求得通项公式；（II）先求出数列{b n}的通项公式，然后分组求和，即可得出结论．解答：解：（I）设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q∵a3+2是a2，a4的等差中项∴2（a3+2）=a2+a4代入a2+a3+a4=28，得a3=8∴a2+a4=20解得或∵数列{a n}单调递增∴a n=2n（II）∵a n=2n，∴b n=a n+log a n=a n﹣n，∴S n=﹣=2n+1﹣2﹣，点评：本题考查了等比数列的通项公式以及数列的前n项和，考查学生的计算能力，属于中档题．21．数列{a n}的前n项和为S n，a n是S n和1的等差中项，等差数列{b n}满足b1+S4=0，b9=a1．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若=，求数列{}的前n项和W n．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（1）由a n是S n和1的等差中项，可得S n=2a n﹣1，再写一式，可得数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列，可求数列{a n}的通项公式，求出等差数列{b n}的首项与公差，可得{b n}的通项公式；（2）利用裂项求和，可得数列{}的前n项和W n．解答：解：（1）∵a n是S n和1的等差中项，∴S n=2a n﹣1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（2a n﹣1）﹣（2a n﹣1﹣1）=2a n﹣2a n﹣1，∴a n=2a n﹣1，当n=1时，a1=1，∴数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列，∴a n=2n﹣1∴S n=2n﹣1；设{b n}的公差为d，b1=﹣S4=﹣15，b9=a1=﹣15+8d=1，∴d=2，∴b n=2n﹣17；（2）==（﹣），∴W n=[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（1﹣）=点评：本题考查数列的通项与求和，考查裂项法，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．附加题（本小题满分10分，该题计入总分）22．已知数列{a n}的前n项和S n=，且a1=1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=lna n，是否存在k（k≥2，k∈N*），使得b k、b k+1、b k+2成等比数列．若存在，求出所有符合条件的k值；若不存在，请说明理由．考点：等比关系的确定；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：（1）直接利用a n=S n﹣S n﹣1（n≥2）求解数列的通项公式即可（注意要验证n=1时通项是否成立）．（2）先利用（1）的结论求出数列{b n}的通项，再求出b k b k+2的表达式，利用基本不等式得出不存在k（k≥2，k∈N*），使得b k、b k+1、b k+2成等比数列．解答：解：（1）当n≥2时，，即（n≥2）．所以数列是首项为的常数列．所以，即a n=n（n∈N*）．所以数列{a n}的通项公式为a n=n（n∈N*）．（2）假设存在k（k≥2，m，k∈N*），使得b k、b k+1、b k+2成等比数列，则b k b k+2=b k+12．因为b n=lna n=lnn（n≥2），所以．这与b k b k+2=b k+12矛盾．故不存在k（k≥2，k∈N*），使得b k、b k+1、b k+2成等比数列．点评：本题考查了已知前n项和为S n求数列{a n}的通项公式，根据a n和S n的关系：a n=S n ﹣S n﹣1（n≥2）求解数列的通项公式．另外，须注意公式成立的前提是n≥2，所以要验证n=1时通项是否成立，若成立则：a n=S n﹣S n﹣1（n≥1）；若不成立，则通项公式为分段函数．。
四川省成都市2023-2024学年高一下学期开学考试数学(理科)试卷含答案
2023-2024学年四川省成都市高一（下）入学数学试卷（理科）一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.（答案在最后）1.已知全集U =R ，能表示集合2{N |30}A x x x =∈-≤与{}1,2B =关系的Venn 图是（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】解不等式化简集合A ，根据集合的关系即可求解.【详解】全集U =R ，集合{}2{N |30}{N |03}0,1,2,3A x x x x x =∈-≤=∈≤≤=，{}1,2B =，所以B A ，所以能表示集合A 、B 关系的Venn 图是选项B ．故选：B2.已知向量()1,2a =- ，()3,2b = ，则a b + 在a b - 方向上投影长度为（）A.4 B.2- C.2D.4-【答案】B 【解析】【分析】根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．【详解】解：()1,2a =-，()3,2b = ，则()2,4a b += ，()4,0a b -=-，故a b + 在a b - 方向上的投影长度为：()()22824a b a b a b a b a b-⋅+--===--- ．故选：B ．3.5G 技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G 手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：时间x12345销售量y （千只）0.50.81.01.2 1.5若y 与x 线性相关，且线性回归方程为ˆˆ0.24yx a =+，则下列说法不正确的是（）A.由题中数据可知，变量y 与x 正相关，且相关系数1r <B.线性回归方程ˆˆ0.24yx a =+中ˆ0.26a =C.残差()1,2,3,4,5ˆi ei =的最大值与最小值之和为0D.可以预测6x =时该商场5G 手机销量约为1.72（千只）【答案】B 【解析】【分析】根据已知数据，分析总体单调性，并注意到增量不相等，不是严格在一条直线上，从而判定A ；求得样本中心点坐标，代入已给出的回归方程，求解，从而判定B ；根据残差定义求得各个残差，进而得到残差的最大值与最小值，从而判定C ；利用回归方程预测计算即可判定D.【详解】从数据看y 随x 的增加而增加，故变量y 与x 正相关，由于各增量并不相等，故相关系数1r <，故A 正确；由已知数据易得3,1,x y ==代入ˆˆ0.24yx a =+中得到ˆ130.2410.720.28a =-⨯=-=，故B 错误；ˆ0.240.28yx =+，1ˆ0.240.280.52y=+=，2ˆ0.2420.280.76y =⨯+=，3ˆ0.2430.28 1.00y =⨯+=，4ˆ0.2440.28 1.24y=⨯+=，5ˆ0.2450.28 1.48y =⨯+=，1ˆ0.50.520.02e=-=-，2ˆ0.80.760.04e =-=，3ˆ110e =-=，4ˆ 1.2 1.240.04e =-=-，5ˆ 1.5 1.480.02e=-=，残差()1,2,3,4,5ˆi ei =的最大值2ˆ0.04e =与最小值4ˆ0.04e =-之和为0，故C 正确；6x =时该商场5G 手机销量约为ˆ0.2460.28 1.72y=⨯+=，故D 正确.故选：B4.方程22131x y m m +=+-表示双曲线的必要不充分条件可以是（）A.()3,1m ∈- B.()()3,11,1m ∈--⋃-C.()3,m ∞∈-+D.()3,1m ∈--【答案】C 【解析】【分析】利用双曲线方程，求解m 的范围，然后根据集合关系，推出选项．【详解】如果方程22131x y m m +=+-表示双曲线，则()()310m m +-<，解得：31m -<<，则方程22131x y m m +=+-表示双曲线的必要不充分条件所对应的集合必须真包含{|31}m m -<<．只有选项C 满足题意．故选：C ．5.执行如图所示的程序框图，若依次输入ln22m =，ln33n =，ln55p =，则输出的结果为（）A.ln22B.ln33C.ln55D.以上都不对【答案】C 【解析】【分析】根据题意，该流程图的作用是求出m 、n 、p 中的最小数，再结合对数的运算性质比较出m ，n ，p 的大小关系即可．【详解】根据题意，该流程图的作用是求出m 、n 、p 中的最小数，5252ln2ln525ln2ln55ln22ln525>⇔>⇔>⇔>，2323ln3ln232ln3ln22ln33ln232>⇔>⇔>⇔>，p m n ∴<<，即输出的结果为ln55．故选：C ．6.在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且ABC 的面积ABC S =，()2224ABCS a c b =+- ，则AB BC ⋅= （）A.B. C.2 D.2-【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件，结合余弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解．【详解】解：ABC 的面积1sin 2ABC S ac B ==，sin ac B ∴=，()2224ABC S a c b =+- ，则()2221sin 42a cb ac B +-=，222sin 2os a c b B a B c +-==，sintan cos BB B∴==()0,πB ∈ ，π3B ∴=，1cos 2B =，3sin 2B =，4ac ∴=，()cos π2AB BC ac B ∴⋅=-=-．故选：D ．7.设等差数列的前n 项和为n S ，已知636S =，6144n S -=，324nS =，则n 的值为（）A.15B.16C.17D.18【答案】D 【解析】【分析】由已知条件利用等差数列的下标定理即可求解.【详解】解：由题意可得612345324144180n n n n n n n n S S a a a a a a -------=+++++=-=即12345180n n n n n n a a a a a a -----+++++=①612345636S a a a a a a =+++++= ②且等差数列满足12132435465n n n n n n a a a a a a a a a a a a -----+=+=+=+=+=+∴①②两式相加得16()18036216n a a +=+=∴136n a a +=代入求和公式可得1()183242n n n a a S n +===解得18n =故选：D.8.如图是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的高为（）A.1B.2C.5D.5【答案】D 【解析】【分析】根据三视图得到直观图，P 作PE AD ⊥，可证PE 即为锥体的高，再利用等面积法求出高即可；【详解】解：由三视图，可得如下直观图：,,P A B 是棱长为2的正方体的顶点.,C D 是所在棱的中点.四棱锥P ABCD -过P 作,PE AD ⊥在正方体中有CD ⊥平面PAD ，PE ⊂平面PAD .所以,CD PE ⊥又AD CD D = ，,AD CD ⊂平面,ABCD 所以PE ⊥平面,ABCD 所以四棱锥的高为,PE由三视图可知2,AB CD AD PD ====，因为22PE =⨯所以455PE =故四棱锥的高为5故选：D .9.抛物线24x y =的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足AF BF ⊥，P 为线段AB 的中点，设P 在l 上的射影为Q ，则PQ AB的最大值是（）A.23B.3C.2D.2【答案】C 【解析】【分析】设=AF a ，=BF b ，连接AF 、BF ，由抛物线定义得2a bPQ +=，由勾股定理可得|AB |222=a b +，进而根据基本不等式求得|AB |的取值范围，再利用此结论求PQ AB的取值范围．【详解】设=AF a ，=BF b ，A ，B 在l 上的射影分别为M ，N ，则AF AM =，BF BN =，故22AM BNa bPQ ++==，又AF BF ⊥，所以AB ==，因为222222()()()2()22a b a b a b a b ab a b +++=+-≥+-=，)2a b +≥，当且仅当a b =时等号成立，故222PQAB=≤．故选：C．【点睛】本题着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值等知识，属于中档题．10.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段1CD 上有两个动点E ，F ，且12EF =，点P ，Q 分别为11A B ，1BB 的中点，G 在侧面11CDD C 上运动，且满足1//B G 平面1CD PQ ，以下命题错误的是（）A.1AB EF⊥B.多面体1AEFB 的体积为定值C.侧面11CDD C 上存在点G ，使得11B G CD ⊥D.直线1B G 与直线BC 所成的角可能为π6【答案】D 【解析】【分析】根据题意，结合线线垂直的判定定理、线面垂直的性质，以及异面直线夹角的求解方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A ：连接1C D ，作图如下：因为1111ABCD A B C D -为正方体，故可得1DC //1AB ，又11DC CD ⊥，EF 与1CD 是同一条直线，故可得1DC EF ⊥，则1AB EF ⊥，故A 正确；对B ：根据题意，12EF =，且线段EF 在1CD 上运动，且点A 到直线1CD 的距离不变，故△AEF 的面积为定值，又点1B 到平面1ACD 的距离h 也为定值，故三棱锥1AEFB 的体积113AEFB AEF V S h =⨯ 为定值，故B 正确；对C ：取111,C D C C 的中点分别为,M N ，连接11,,B M MN NB ，作图如下：容易知在△11C D C 中，//MN 1CD ，又1//PD 1B M ，1111,MN B M M CD PD D ⋂=⋂=，1,MN B M ⊂面111,,B MN CD PD ⊂面1PD CQ ，故面1//B MN 面1PD CQ ，又G 在侧面11CDD C 上运动，且满足1//B G 平面1CD PQ ，故G 的轨迹即为线段MN ；又因为1111ABCD A B C D -为正方体，故CD ⊥面111,BCC B B N ⊂面11BCC B ，故1B N CD ⊥，则当G 与N 重合时，1B G CD ⊥，故C 正确；对D ：因为//BC 11B C ，故直线1B G 与BC 所成角即为直线1B G 与11B C 所成角，即11C B G ∠，在11Rt B C G 中，111max11min 111222,222C M C N C G C N C G MN ⨯⨯=====故11111121tan ,42C GC B G C G B C ⎤∠==∈⎥⎣⎦，而当直线1B G 与直线BC 所成的角为π6时，π321tan ,6342⎤=∉⎥⎣⎦，故直线1B G 与直线BC 所成的角不可能为π6，故D 错误.故选：D.11.已知直线1l ：40x y +-=与圆心为()M 0，1且半径为3的圆相交于A ，B 两点，直线2l ：22350mx y m +--=与圆M 交于C ，D 两点，则四边形ACBD 的面积的最大值是（）A.93B.92C.62D.)921+【答案】B 【解析】【分析】由已知可得圆M 的方程，求得交点A ，B 坐标，进而可得AB 与中点坐标，求得直线2l 恒过定点N ，当CD 与AB 垂直时，四边形ACBD 的面积最大，可求得四边形ACBD 的面积的最大值．【详解】解：根据题意，圆M 的圆心为()01M ，且半径为3，所以圆M 的方程为22(1)9x y +-=，即22280x y y +--=，直线1l ：40x y +-=与圆M 相交于A ，B 两点，则有2228040x y y x y ⎧+--=⎨+-=⎩，解得31x y =⎧⎨=⎩或04x y =⎧⎨=⎩，所以A 、B 的坐标为()04，，()31，，则AB ==，且AB 的中点为3522⎛⎫⎪⎝⎭，，直线2l ：22350mx y m +--=，变形可得()23250m x y -+-=，直线2l 恒过定点3522N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，当CD 与AB 垂直时，四边形ACBD 的面积最大，此时CD 的方程为5322y x -=-，变形可得1y x =+，经过点()01M ，，所以26CD r ==，故四边形ACBD 的面积的最大值162ACB ADB S S =+=⨯⨯= ，故ACBD S ≤四边形所以四边形ACBD 的面积的最大值为．故选：B ．12.已知函数()πsin (0)4f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间[]0,π上有且仅有4个极值点，给出下列四个结论：①()f x 在区间()0,π上有且仅有3个不同的零点；②()f x 的最小正周期可能是π2；③ω的取值范围是1317,44⎛⎤ ⎝⎦；④()f x 在区间ππ,2319⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.其中正期结论的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】令π2ππ4x k ω+=+，Z k ∈，则44ππk x ω+=,Z k ∈，结合条件可得π4π0π4k ω+<<有4个整数k 符合题意，可求出ω的取值范围，再利用三角函数图象性质逐项分析即可得出结论.【详解】由函数()πsin (0)4f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，令π2ππ4x k ω+=+，Z k ∈可得44ππk x ω+=，Z k ∈，因为()f x 在区间[0,]π上有且仅有4个极值点，即可得π4π0π4k ω+<<有且仅有4个整数k 符合题意，解得14014k ω+<<，即0144k ω<+<，可得0,1,2,3k =，即1434144ω+⨯<≤+⨯，解得1317,44ω⎛⎤∈⎥⎝⎦，即③正确；对于①，当()0,πx ∈时，πππ,π444x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，即可得π7π9ππ,422ω⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦，显然当π7ππ,4π42ω⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦时，()f x 在区间()0,π上有且仅有3个不同的零点；当π9ππ4π,42ω⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦时，()f x 在区间()0,π上有且仅有4个不同的零点；即①错误；对于②，()f x 的最小正周期为2π8π8π,1713T ω⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，易知π8π8π,21713⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，所以()f x 的最小正周期可能是π2，即②正确；对于④，当ππ,2319x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πππππ,4234194x ωωω⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭；由1317,44ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦可知ππππ9π9π,,2341942319ωω⎛⎫⎛⎫++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由三角函数图象性质可知()f x 在区间ππ,2319⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，即④正确；即可得②③④正确.故选：C【点睛】方法点睛：求解三角函数中ω的取值范围时，经常利用整体代换法由图象性质限定出取值范围即可求得结果，特别注意端点处的取值能否取到等号即可.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若()2i 3i -⋅=z ，则z 的共轭复数为______．【答案】36i 55--【解析】【分析】化简复数z ，可得z 的共轭复数．【详解】依题意，()()()3i 2i 3i 36i 2i 2i 2i 55z +===-+--+.所以z 的共轭复数为36i 55--.故答案为：36i 55--.14.在()31(1)x x x +-的展开式中，含2x 的项的系数是______.(用数字作答)【答案】2【解析】【分析】首先得出3(1)x -展开式的通项为313C (1)-+=⋅⋅-r r r r T x ，然后分别令3r =和2r =得出其展开式的常数项和含x 的项，分两类情形即可得出所求的答案．【详解】解：因为()()3231(1)(1)+-=+-x x x x x x ，又因为3(1)x -展开式的通项为313C (1)-+=⋅⋅-r r r r T x，所以令3r =，则其常数项为41T =-；令2r =，则其含x 的项为233C 3=⋅=T x x ，所以原展开式中含2x 的项的系数为：()11132⨯-+⨯=．故答案为：2．【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查学生的逻辑思维能力，属中档题．15.已知ABC 为等腰三角形，其中AB AC =，点D 为边AC 上一点，1cos 3B =.以点B 、D 为焦点的椭圆E 经过点A 与C ，则椭圆E 的离心率的值为______.【答案】3【解析】【分析】借助椭圆定义与所给数量关系，结合余弦定理计算即可得.【详解】连接点A 与BC 中点M ，即有BM CM =，由AB AC =，故AM BC ⊥，由1cos 3ABC ∠=，则13BM AB =，即23BC AB =，由椭圆定义可得2AB AD a +=、2BC CA a +=，故843AB AD BC CA AB AC BC AB a +++=++==，即32AB a =，则BC a =、2CD a a a =-=，由AB AC =故1cos cos 3BCA ABC ∠=∠=，则22241cos 23a a c BCA a a +-∠==⨯，即22222411223a c e a -=-=，解得3e =（负值舍去）.故答案为：3.【点睛】求离心率的常用方法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程并求解.16.若函数()(01)x f x a a a =>≠，与()2g x x =的图像在实数集R 上有且只有3个交点，则实数a 的取值范围为______．【答案】22e e e ,11,e -⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】问题等价于2x a x =仅有3个解，进一步可等价于2ln ln x a x =仅有3个解，设()()2ln 0x h x x x =≠，，利用导数研究函数()h x 的性质，作出其图像，利用图像即可得解．【详解】解：依题意，2x a x =仅有3个解，0x =显然不是该方程的解，则2ln ln x a x =，即2ln ln x a x =仅有3个解，设()()2ln 0x h x x x =≠，定义域关于原点对称，且满足()()2ln x h x h x x-==--，即()h x 为奇函数，考虑0x >时的情况，()2ln x h x x =，()()221ln x h x x-'=，当e x >时，()0h x '<，即()h x 在()e,∞+上单调递减，当0e x <<时，()0h x '>，即()h x 在()0,e 上单调递增，则函数极大值为()2e eh =，且当1x >时，()0h x >；当01x <<时，()0h x <；作出函数()h x 的大致图像如图所示：由于2ln ln x a x =仅有3个解，故ln y a =与函数()2ln x h x x=的图像仅有3个交点，结合图像可得2ln 0e a -<<或20ln ea <<，解得2e e 1a -<<或2e 1e a <<．故答案为：22e e e ,11,e -⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．三、解答题：本题共7小题，共82分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 的首项为11a =，且满足()11n n na n a +=+，数列{}n b 满足131n b n =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设数列2n a n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T ．【答案】17.()*Nn a n n =∈18.()18342n n T n +=+-⋅【解析】【分析】（1）由数列的递推式推得n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列，可得所求通项公式；（2）由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和．【小问1详解】()11n n na n a +=+ ，112111121n n n a a a a a n n n +-∴======+- ，()*N n a n n ∴=∈；【小问2详解】由（1）得()2231n a n nn b =⨯-，()()1231225282342312n n n T n n -∴=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ①，()()23412225282342312n n n T n n +∴=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ②，∴-①②得，()()2341432222312n n n T n +-=+⨯++++--⨯ ()()2112124331212n n n -+⨯-=+⨯--⨯-()18342n n +=---⨯()18342n n T n +∴=+-⋅．18.某企业有甲、乙、丙三个部门，其员工人数分别为6，9，12，员工A 隶属于甲部门．现在医务室通过血检进行一种流行疾病的检查，已知该种疾病随机抽取一人血检呈阳性的概率为12，且每个人血检是否呈阳性相互独立．（1）现采用分层抽样的方法从中抽取9人进行前期调查，求从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人，并求员工A 被抽到的概率；（2）将甲部门的6名员工随机平均分成2组，先将每组的血样混在一起化验，若结果呈阴性，则可断定本组血样全部为阴性，不必再化验；若结果呈阳性，则本组中至少有一人呈阳性，再逐个化验．记X 为甲部门此次检查中血样化验的总次数，求X 的分布列和期望．【答案】（1）分别抽2人，3人，4人，13；（2）分布列见解析，294.【解析】【分析】（1）根据分层抽样规则求出从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取的人数，再根据古典概型的概率公式计算可得；（2）记“每组血样化验结果呈阴性”为事件B ，利用相互独立事件的概率公式求出()P B ，则X 可取值2,5,8，分别求出概率，列出分布列，求出数学期望即可；【详解】（1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为2:3:4，由于采用分层抽样的方法从中抽取9人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取2人，3人，4人.记事件M ：“员工A 被抽到”，由于每位员工被抽到的概率相等，所以员工A 被抽到的概率为()2163P M ==.（2）甲部门的6名员工随机平均分成2组，每组3人，记“每组血样化验结果呈阴性”为事件B ，由于每个人血检是否呈阳性相互独立，所以()331121128P B ⎛⎫== ⎪⎝⎭=-，则X 可取值：2，5，8，()()()22112864P X P B ====﹔()()()1211147521886432P X C P B P B ⎛⎫===⨯-⨯== ⎪⎝⎭()()()222214986481P X C P B ⎫==⎛=⎪⎭- =⎝，所以X 的分布列为下表：X258P 1647324964则X 的期望为()417258964464296644324E X =⨯++=⨯⨯=．【点睛】方法点睛：本题考查分层抽样，古典概率､相互独立事件的概率以及离散型随机变量的分布列和数学期望，求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X 的取值情况，然后利用排列，组合，概率知识求出X 取各个值时对应的概率，对应服从某种特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，考查学生逻辑推理能力与计算能力，属于中档题.19.如图，已知梯形CDEF 与ADE V 所在平面垂直，AD DE ⊥，CD DE ⊥，////AB CD EF ，28==AE DE ，3AB =，9EF =，12CD =，连接BC ，BF ．（1）若G 为AD 边上一点，13DG DA =，求证：//EG 平面BCF ；（2）求二面角E BF C --的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）26-【解析】【分析】（1）作∥GM CD ，交BC 于点M ，连接MF ，作//BH AD ，交GM 于点N ，交DC 于点H ，接着证明9GM GN NM =+=，以及GM EF ，可得四边形GMFE 为平行四边形，可得证（2）求出平面BEF 的法向量和平面BFC 的法向量，利用向量法能求出二面角E-BF-C 的余弦值．【小问1详解】如图，作∥GM CD ，交BC 于点M ，连接MF ，作//BH AD ，交GM 于点N ，交DC 于点H ．因为////AB CD EF ，GM EF ∴ ，所以3GN DH AB ===，9HC =，AB GM DC ，23NM BM AG HC BC AD ∴===，6NM ∴=，9GM GN NM ∴=+=，//EF CD ，∥GM CD ，GM EF ∴ ，且GM EF =，∴四边形GMFE 为平行四边形．EG MF ∴ ，又MF ⊂平面BCF ，EG ⊄平面BCF ，//EG ∴平面BCF ．【小问2详解】平面ADE ⊥平面CDEF ，平面ADE 平面CDEF =DE ，AD DE ⊥，AD ⊂平面ADE ，AD ∴⊥平面CDEF ．以D 为坐标原点，DC ，DE ，DA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -．则()()()(0,4,0,9,4,0,12,0,0,3,0,4E F C B ，()(9,0,0,3,4,EF EB ∴==- ，设平面EBF 的法向量为()1111.n x y z = ，，1111119000340x n EF x y n EB ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒=⎨⎨-+⋅=⎪⎪⎩⎩ ，取1y =，得()1n = ．()(3,4,0,6,4,FC FB =-=-- ，设平面BCF 的法向量为()2222,,n x y z = ，由222222234000640x y n FC x y n FB ⎧-=⎧⋅=⎪⎪⇒=⎨⎨--+⋅=⎪⎪⎩⎩ ，取24x =，得(2n =，121212cos ,26n n n n n n ⋅∴== ， 二面角E BF C --为钝二面角，∴二面角E BF C --的余弦值为33926-.20.已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率为2，焦距为2，过E 的左焦点F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，与直线2x =-相交于点M ．（1）若()2,1M --，求证：MA BF MB AF ⋅=⋅；（2）过点F 作直线l 的垂线m 与E 相交于C 、D 两点，与直线2x =-相交于点N ．求1111MA MB NC ND+++的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据已知条件求出直线l 的方程，将直线l 的方程与椭圆E 的方程联立，求出点A 、B 的横坐标，再利用弦长公式可证得MA BF MB AF ⋅=⋅成立；（2）分析可知直线l 的斜率存在且不为零，设直线l 方程为()1y k x =+，则直线m 方程为()11y x k =-+，其中0k ≠，将直线l 的方程与椭圆E 的方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式可得出11MA MB+的表达式，同理可得出11NC ND +的表达式，利用基本不等式可求得1111MA MB NC ND+++的最大值.【小问1详解】证明：设()1,0F c -、()2,0F c ，因为椭圆E 的焦距为2，所以22c =，解得1c =．又因为椭圆E 的离心率2c e a ==，所以a =222211b a c =-=-=，所以椭圆E 的方程为2212x y +=.因为直线l 经过()2,1M --、()1,0F -，()10121MF k --==---，所以，直线l 的方程为1y x =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立22122y x x y =+⎧⎨+=⎩可得2340x x +=，由2340x x +=，得143x =-，20x =.所以1224212133MA BF ⋅=++=⨯⨯=，2114212233MB AF ⋅=++=⨯⨯=，因此，MA BF MB AF ⋅=⋅.【小问2详解】证明：若直线l 、m 中两条直线分别与两条坐标轴垂直，则其中有一条必与直线2x =-平行，不合乎题意，所以，直线l 的斜率存在且不为零，设直线l 方程为()1y k x =+，则直线m 方程为()11y x k=-+，其中0k ≠．联立()22122y k x x y ⎧=+⎨+=⎩可得()2222124220k x k x k +++-=，设()111,A x y 、()22,B x y ，则()()()4222168211810k k k k ∆=-+-=+>，由韦达定理可得2122421k x x k +=-+，21222221k x x k -=+，易知12x >-且22x >-，将2x =-代入直线l 的方程可得y k =-，即点()2,M k --，所以11MA MB +=)()121212124112224x x x x x x x x ++=+=+++++222222224444122282241212k k k k k k k k -+++===--+++++同理可得11C N N D ==+，所以1111MA MB NC ND ==+=++≤=，当且仅当1k =±时，等号成立，因此，1111MA MB NC ND+++的最大值为.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．21.已知函数()()()21,ln f x x ax g x x a a R =-+=+∈.（1）若()()1,a f x g x =>在区间()0,t 上恒成立，求实数t 的取值范围；（2）若函数()f x 和()g x 有公切线，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(]0,1（2）(],1-∞【解析】【分析】（1）设()()()h x f x g x =-，用导数法解()min 0h x >即可；（2）设函数()f x 在点()()11,x f x 处与函数()g x 在点()()22,x g x 处有相同的切线，由()()()()212112121122121ln 1,2f x g x x ax x a f x g x x a x x x x x --+--==∴-=='--'，化简得到222221ln 20424a a x a x x ++++-=，然后将问题转化为关于x 的方程221ln 20424a a x a x x ++++-=有解求解.【小问1详解】由题意，当1a =时，设()()()hx f x g x =-，则()221ln 11ln (0)h x x x x x x x x =-+--=-->，()()()221112121x x x x h x x x x x+---='=--=，令()0h x '=，得1x =（舍负）()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()min ()10h x h ∴==.根据题意t 的取值范围为(]0,1.【小问2详解】设函数()f x 在点()()11,x f x 处与函数()g x 在点()()22,x g x 处有相同的切线，则()()()()212112121122121ln 1,2f x g x x ax x a f x g x x a x x x x x --+--==∴-=='--'，12122a x x ∴=+，代入21211221ln x x x ax x a x -=-+--得222221ln 20424a a x a x x ++++-=.∴问题转化为：关于x 的方程221ln 20424a a x a x x ++++-=有解，设()221ln 2(0)424a a F x x a x x x =++++->，则函数()F x 有零点，()211ln 24F x a x a x ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭，当2a x e -=时，()2ln 20,e 0a x a F -+-=∴>.∴问题转化为：()F x 的最小值小于或等于0.()23231121222a x ax F x x x x x--=--+='，设()20002100x ax x --=>，则当00x x <<时，()0F x '<，当0x x >时，()0F x '>.()F x ∴在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，()F x ∴的最小值为()2002001ln 2424a a F x x a x x =++++-.由200210x ax --=知0012a x x =-，故()20000012ln 2F x x x x x =+-+-.设()212ln 2(0)x x x x x xϕ=+-+->，则()211220x x x xϕ=+++>'，故()x ϕ在()0,∞+上单调递增，()10,ϕ=∴ 当(]0,1x ∈时，()0x ϕ≤，()F x ∴的最小值()00F x ≤等价于001x ≤≤.又 函数12y x x=-在(]0,1上单调递增，(]0012,1a x x ∞∴=-∈-.【点睛】方法点睛：对于函数()f x 与函数有相同的切线问题，一般设函数()f x 在点()()11,x f x 处与函数()g x 在点()()22,x g x 处有相同的切线，由()()()()121212f xg x f x g x x x -''==-，利用消元法，转化为方程有解求解.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为()222211231t x t y t ⎧-⎪=⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线lcos sin 0θρθ--=．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）[)0,2πθ∈，直线l 与C 交于M ，N 两点，其中N 点在第一象限，求M 点的极坐标及N 点的极径．【答案】（1）()221243x y x +=≠-0y -=；（2）M点的极坐标为3π2⎫⎪⎭，N点的极径为5．【解析】【分析】（1）根据已知条件，消去参数t ，即可求出曲线C 的直角坐标方程，再结合极坐标公式，即可求解；（2）联立两个直角坐标方程，再结合极坐标公式，即可求解．【小问1详解】曲线C 的参数方程为()2222111t x t y t ⎧-⎪=⎪+⎨⎪=⎪+⎩，（t 为参数），则2421x t =-++，即2421x t +=+，2x ≠-，①，2421x t +=+与21y t=+相除得2y t x =+②，联立①②，解得()221243x y x +=≠-，故曲线C 的直角坐标方程为()221243x y x +=≠-；直线lcos sin 0θρθ--=．其中cos x ρθ=，sin y ρθ=，0y -=，故直线l的直角坐标方程为0y -=；【小问2详解】设()11,M x y ，()22,N x y ，联立221430x y y ⎧+=⎪-=，解得110x y =⎧⎪⎨=⎪⎩22855x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，N 点在第一象限，则M点的坐标为(0,，N 点的坐标为833,55⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，故点M的极坐标为3π2⎫⎪⎭，N5=．23.已知函数()2322f x x x =++-，()sin 2g x x =．（1）求函数()()f x g x +的最小值；（2）设,(1,1)a b ∈-，求证：211222a b ab +--<+．【答案】（1）4（2）证明见解析【解析】【分析】（1）写出()f x 分段函数形式，分析()f x 、()g x 的性质及最值，即可确定最小值；（2）利用分析法，将问题化为证明||1a b ab +<+，进一步转化为证22()11(0)a b -->即可.【小问1详解】由题设()341,235,1241,1x x f x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪+>⎪⎪⎩，而()sin 2g x x =在3(,]2-∞-、3(,1]2-、(1,)+∞上均能取到最小值1-，对于()f x 在3(,2-∞-上递减，3(,1]2-上为常数，(1,)+∞上递增，且连续，所以()()f x g x +的最小值在3(,1]2-上取得，即π4x =-时，最小值为4.【小问2详解】由211221122||a b a b a b +--≤+-+=+，仅当(21)(12)0a b +-≥取等号，要证211222a b ab +--<+，即证||1a b ab +<+，则22()(1)a b ab +<+，需证22222()1(1)(1)0ab a b a b --+=-->，而,(1,1)a b ∈-，即22,[0,1)a b ∈，所以22()11(0)a b -->恒成立，故211222a b ab +--<+得证.。
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高 一 年 级数 学 试 题(理)时间：120分钟 满分：150分 命题人：一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.）1．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝2a sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°2．设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是( ) A ．163 B ．133C ．4D ．03．已知等差数列{a n }中，a 5＝13，S 5＝35，则公差d ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．34．某位居民站在离地20 m 高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为60°，小高层底部的俯角为45°，那么这栋小高层的高度为( )A ．20⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋33mB ．20(1＋3)mC ．10(2＋6)mD ．20(2＋6)m5．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定6．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝( )A ．－233B ．±233C ．－1D ．±17．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝13，sin C＝3sin B ，且S △ABC ＝2，则b ＝( )A ．1B ．2 3C ．3 2D ．38.在等差数列{a n }中，a 3＋a 9＝27－a 6，S n 表示数列{a n }的前n 项和，则S 11＝( )A ．18B ．99C ．198D ．2979．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高为( ) A ．32B ．332C ．34D ． 310.若α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α－β)＝1010，则cos β＝( )A ．22B ．210C ．22或－210D ．22或21011．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 4＜0，a 5＞|a 4|，则使S n ＞0成立的最小正整数n 为( )A ．6B ．7C ．8D ．912.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin A －sinB ＝13sin C,3b ＝2a,2≤a 2＋ac ≤18，设△ABC 的面积为S ，p ＝2a －S ，则p 的最大值是( )A.529B.729C. 2D.92 8二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设S n为等差数列{a n}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝________．14．若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝________.15．一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°，距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为________海里/小时．16．在△ABC中，B＝120°，AB＝2，A的角平分线AD＝3，则AC＝________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，已知c－b＝2b cos A.(1)若a＝26，b＝3，求c；(2)若C＝π2，求角B.18．已知递增等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2a3＝15，S4＝16.(1)求数列{a n}的通项公式以及S n的表达式；(2)若数列{b n}满足：b1＝1，b n＋1－b n＝1anan＋1，求数列{b n}的通项公式．19．各项均为正数的数列{a n }满足a 2n ＝4S n －2a n －1(n ∈N *)，其中S n 为{a n }的前n项和．(1)求a 1，a 2的值； (2)求数列{a n }的通项公式．20．已知函数f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x2＋sin x ＋b .(1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调增区间；(2)若x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5，8]，求a ，b 的值．21．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足cos 2C －cos 2A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋C ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－C .(1)求角A 的值；(2)若a ＝3且b ≥a ，求2b －c 的取值范围．22.如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝2，BD＝5，∠BCD＝2∠ABD，△ABD的面积为2.(1)求AD的长；(2)求△CBD的面积．13． －72 14. 12 15. 176216. 617．[解] (1)由c －b ＝2b cos A 及余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，得c －b ＝2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－a 2c ，即a 2＝b 2＋bc ，所以(26)2＝32＋3c ，解得c ＝5.(2)因为c －b ＝2b cos A ，所以由正弦定理得sin C －sin B ＝2sin B cos A ，又C ＝π2，所以1－sin B ＝2sin B cos A ，所以1－sin B ＝2sin B cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ，所以1－sin B ＝2sin 2B ，即(2sin B －1)(sin B ＋1)＝0，所以sin B ＝12或sin B ＝－1(舍去)，因为0＜B ＜π2，所以B ＝π6.18解：(1)设数列{a n }的公差为d (d >0)，则⎩⎨⎧a 2a 3a 1＋d a 1＋2d 15，S 4＝4a 1＋6d ＝16，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎨⎧a 1＝7，d ＝－2(舍去)，∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，S n ＝n 1＋2n －12＝n 2，n ∈N *.(2)由(1)知，b n ＋1－b n ＝1a n a n ＋1＝12n －12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， b n －b 1＝(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1) ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫12n －3－12n －1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n －1＝n －12n －1(n ≥2)， ∴b n ＝3n －22n －1.当n ＝1时，b 1＝1也符合上式，∴b n ＝3n －22n －1(n ∈N *)．19．[解] (1)当n ＝1时，a 21＝4S 1－2a 1－1，即(a 1－1)2＝0，解得a 1＝1. 当n ＝2时，a 22＝4S 2－2a 2－1＝4a 1＋2a 2－1＝3＋2a 2， 解得a 2＝3或a 2＝－1(舍去)． (2)a 2n ＝4S n －2a n －1，① a 2n ＋1＝4S n ＋1－2a n ＋1－1.②②－①得a 2n ＋1－a 2n ＝4a n ＋1－2a n ＋1＋2a n ＝2(a n ＋1＋a n )， 即(a n ＋1－a n )(a n ＋1＋a n )＝2(a n ＋1＋a n )．因为数列{a n }各项均为正数，所以a n ＋1＋a n >0，a n ＋1－a n ＝2， 所以数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列． 所以a n ＝2n －1.20[解] f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b＝2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a ＋b .(1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋b －1，由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z)，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z)，所以f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π4，2k π＋5π4，k ∈Z.(2)因为0≤x ≤π，所以π4≤x ＋π4≤5π4，所以－22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0.①当a >0时，⎩⎨⎧2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，所以a ＝32－3，b ＝5.②当a <0时，⎩⎨⎧b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5.所以a ＝3－32，b ＝8.综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.21[解] (1)由已知得2sin 2A －2sin 2C＝2⎝⎛⎭⎪⎫34cos 2C －14sin 2C ， 化简得sin A ＝±32，因为A 为△ABC 的内角，所以sin A ＝32，故A ＝π3或2π3.(2)因为b ≥a ，所以A ＝π3.由正弦定理得bsin B ＝csin C ＝asin A＝2，得b ＝2sin B ，c ＝2sin C ， 故2b －c ＝4sin B －2sin C＝4sin B －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝3sin B －3cos B ＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6.因为b ≥a ，所以π3≤B <2π3，则π6≤B －π6<π2， 所以2b －c ＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6∈[3，23)．22.解：(1)由已知S △ABD ＝12AB ·BD ·sin ∠ABD ＝12×2×5×sin ∠ABD ＝2，可得sin ∠ABD ＝255， 又∠BCD ＝2∠ABD ，所以∠ABD ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos ∠ABD ＝55. 在△ABD 中，由余弦定理AD 2＝AB 2＋BD 2－2·AB ·BD ·cos ∠ABD ，可得AD 2＝5，所以AD ＝ 5.(2)由AB ⊥BC ，得∠ABD ＋∠CBD ＝π2，所以sin ∠CBD ＝cos ∠ABD ＝55. 又∠BCD ＝2∠ABD ，所以sin ∠BCD ＝2sin ∠ABD ·cos ∠ABD ＝45，∠BDC ＝π－∠CBD －∠BCD ＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－∠ABD －2∠ABD ＝π2－∠ABD ＝∠CBD ，所以△CBD 为等腰三角形，即CB ＝CD .在△CBD 中，由正弦定理BD sin ∠BCD ＝CD sin ∠CBD，得CD ＝BD ·sin ∠CBDsin ∠BCD ＝5×5545＝54， 所以S △CBD ＝12CB ·CD ·sin ∠BCD ＝12×54×54×45＝58.。