第五章 函数
第五章 三角函数

圆周运动是一种常见的周期性变化现象.
思考1:如何刻画点P的位置变化?
借助角ɑ的大小变化刻画点P的 位置变化. 思考2:初中学过角的范围00~3600, 点P旋转一周即为3600,再旋转所 得的角如何表示?
有必要扩充角的范围!
P
ɑ
O
A
我们生活中随处可见的角
体操动作“李小鹏跳”:2002年在匈 牙利世锦赛上,李小鹏在跳马时做出 的“踺子后手翻转体180度接直体前 空翻转体900度”
在体操、花样滑冰、跳台跳水等比 赛中,常常听到“转体2周”、“转 体3周半”这些动作名词,你知道他 们转了多少角吗?
(1)时钟从12:00到12:15,分针转过了多少度? (2)时钟从12:00到13:15,分针转过了多少度?
机械齿轮
生活中很多的角 并不是静态的
引入新的角的定义、分类:
平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个 位置所成的图形.射线OA、OB分别是角的始边和终 边,端点O为角的顶点。
终边在y轴上:S={α|α=90°+k·180° ,k∈Z}. 终边在x轴上:S={α|α=0°+k·180° ,k∈Z}.
终边在坐标轴上:S={α|α=0°+k·90° ,k∈Z}.
例题讲解
例3 写出终边在y=x上的角的集合S,S中满足 不等式-360°≤β≤720°的元素β有哪些.
【解析】S={β|β=45°+k·180°,k∈Z}. S中适合不等式-360°≤β<720°的元素有: -315°,-135°,45°,225°,405°,585°.
角和终边的关系
一个角,对应一条终边; 一条终边,对应无数个角:终边相同的角
与α终边相同的角β可表示为:β=α+k·3600,k∈z, 即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α 整数个周角的和.
高一数学第五章函数知识点

高一数学第五章函数知识点函数是数学中一种重要的概念,广泛应用于各个领域。
在高中数学的学习中,函数是其中的一个重要内容。
本文将介绍高一数学第五章函数的知识点,包括函数的定义、函数的性质、函数的图像、函数的运算等内容。
一、函数的定义函数是一种特殊的关系,它将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一一个元素上。
具体而言,如果存在一个集合A和一个集合B,对于集合A中的任意一个元素a,都存在一个集合B中的唯一元素b与之对应,那么我们就说集合A与集合B之间存在一个函数。
函数通常用符号f来表示,表示为f:A→B。
二、函数的性质1. 定义域和值域:函数的定义域是指所有与自变量对应的值的集合,而值域是指函数所有可能的取值的集合。
2. 单调性:函数的单调性是指函数在定义域内的取值随自变量的增大或减小而增大或减小。
3. 奇偶性:如果对于函数中的任意一个x值,都有f(-x)=f(x),那么函数是偶函数;如果对于函数中的任意一个x值,都有f(-x)=-f(x),那么函数是奇函数。
4. 周期性:如果存在一个正数T,对于函数中的任意一个x值,都有f(x+T)=f(x),那么函数具有周期性。
三、函数的图像函数的图像是用来描述函数关系的一种方法。
在平面直角坐标系中,我们可以通过绘制函数的图像来研究函数的性质。
函数图像的特点包括:在平面直角坐标系中,函数图像是一条曲线;曲线上的每个点都对应着函数中的一个值对(x,y);曲线的形状可以反映函数的单调性、奇偶性等。
四、函数的运算1. 四则运算:对于给定的两个函数f(x)和g(x),我们可以进行加法、减法、乘法和除法运算。
加法和减法的运算规则与常规数的加减法类似,乘法和除法运算需要遵循特定的规则。
2. 复合函数:对于给定的函数f(x)和g(x),我们可以通过将函数g(x)的输出作为函数f(x)的输入来构造一个新的函数。
复合函数的定义为(f ∘ g)(x) = f(g(x))。
3. 反函数:如果一个函数f(x)满足任意两个不同的自变量x1和x2,都有f(x1)≠f(x2),那么我们称函数f(x)为可逆的,并将f(x)的逆函数记为f^{-1}(x)。
离散数学 函数部分

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三、函数的合成运算
定义 考虑g:A→B,f:B→C是两个函数,则合成 关系f•g是从A到C的函数,记为 f•g:A→C,
称为函数g与f的合成函数。
显然,对任意x∈A,有 f•g(x)=f(g(x))。
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例
例1 设f:R→R,满足: 1)f={<x,x2>|x∈R}; 2)f={<x,x+1>|x∈R}。求f-1。
解 1)对任意x∈R,有f(x)=x2与之对应,所以 f不是单射函数,即f非双射函数,因此f的逆函 数不存在。 2)因f是双射函数,所以f-1存在,且有: f-1={<x,x-1>|x∈R}。
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例2
设A={a,b},B={1,2},A×B={<a,1>,<a,2>,<b,1>,<b,2>},
此时从A到B的不同的关系有24=16个。分别如下:
R0=Φ R1={<a,1>} R2={<a,2>} R3={<b,1>};
R4={<b,2>};R5={<a,1>,<b,1>} R6={<a,1>,<b,2>}
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例2
设An={a1,a2,a3,…,an}是n个元素的有限集, Bn={b1b2b3…bn|bi∈{0,1}},对An的每一个子 集S(即对任意S(An)),令
第5章 函数

第5章函数及其应用5.1 函数种类5.1.1 命令函数,例如:getchar(),putchar()等。
5.1.2标准C++库函数,fabs(), pow(), rand(),sin(x), sqrt(), fexp()等,要使用头文件。
5.1.3自定义函数5.2 自定义函数的概念及使用方法例1:求两个数中的最大数#include <iostream.h>int imax (int a, int b){return (a>b ? a:b); }void main(){int a=6,b=9;cout<<"max="<<imax(a,b)<<endl;}例2:求x的n次方#include "iostream.h"main(){ float mpow(float a,int n);cout<<"pow="<<mpow(3.,3)<<endl;}float mpow(float a,int n){int i;float k=1;for(i=1;i<=n;i++)k=k*a;return (k); }5.3 自定义函数的三种形式5.3.1 无参函数,例如main(),getchar()等。
主函数与子函数之间不传输数据例:输出字符四方形************************************************void print(){int i;for(i=1;i<5;i++)cout<<(“************\n”;}5.3.2. 空函数例:null(){ }5.3.3. 有参函数如例1,例2说明:1.C++语言程序由一个主函数和若干个子函数(模块)组成。
1.子函数也有类型和函数值。
2.子函数程序体可以作为单独的文件存放,如果单独存放,应在主函数中作为头文件进行说明。
第5章 函数1

第5章 函数
(2) A到B的所有不同的满射有6个, 分别为 f1={(a, g1), (b, g1 ), (c, g2)} f2={(a, g1 ), (b, g2), (c, g1 )} f3={(a, g1 ), (b, g2), (c, g2)} f4={(a, g2), (b, g1 ), (c, g2)} f5={(a, g1 ), (b, g2), (c, g1 )} f6={(a, g1 ), (b, g2), (c, g2)}
p: A→A是双射, 则称p为集合A上的n阶置换 记为 阶置换, 阶置换
a1 p= p( a1 )
a2 L an p ( a2 ) L p ( an )
第5章 函数
例2 若A={1, 2, 3}, 试写出A上的全部置换。 解 A上的全部置换有3!=6个,分别为
1 p1 = 1 1 p3 = 2
第5章 函数
定义 5.1 ― 2 设有函数f: A→B, g: C→D, 若 有A=C、 B=D且对所有的x∈A, 有f(x)=g(x), 则称 函数f和g相等, 记为f=g。 定义 5.1 ― 3 集合A到集合B的所有函数的集合记 为BA, 即 BA={f|f: A→B}
第5章 函数
定理 5.1 ― 1 当A和B是有限集合时,有 |BA|=|B||A| 证明 设|A|=m, |B|=n(m, n∈N); 又设A={a1, a2, …, am}。 因为 Df=A,所以 f={(a1, f(a1)), (a2, f(a2)), …, (am , f(am))}。 , 而每个f(ai)(i∈Nm)都有n种可能,所以A到B的不 同函数共有 {n·n·…·n } =n m个 M个 即 |BA|=|B||A|
第5章 函数
第五章-贝塞尔函数

第五章-贝塞尔函数n阶第一类贝塞尔函数()J xn第二类贝塞尔函数,或称Neumann函数()Y xn第三类贝塞尔函数汉克尔(Hankel)函数,(1)()H xn第一类变形的贝塞尔函数()I xn开尔文函数(或称汤姆孙函数)n阶第一类开尔文(Kelvin)第五章贝塞尔函数在第二章中,用分离变量法求解了一些定解问题。
从§2.3可以看出,当我们采用极坐标系后,经过分离变量就会出现变系数的线性常微分方程。
在那里,由于只考虑圆盘在稳恒状态下的温度分布,所以得到了欧拉方程。
如果不是考虑稳恒状态而是考虑瞬时状态,就会得到一种特殊类型的常微分方程。
本章将通过在柱坐标系中对定解问题进行分离变量,引出在§2.6中曾经指出过的贝塞尔方程,并讨论这个方程解的一些性质。
下面将看到,在一般情况下,贝塞尔方程的解不能用初等函数表出,从而就导入一类特殊函数,称为贝塞尔函数。
贝塞尔函数具有一系列性质,在求解数学物理问题时主要是引用正交完备性。
§5.1 贝塞尔方程的引出下面以圆盘的瞬时温度分布为例推导出贝塞尔方程。
设有半径为R 的薄圆盘,其侧面绝缘,若圆盘边界上的温度恒保持为零摄氏度,且初始温度为已知,求圆盘内瞬时温度分布规律。
这个问题可以归结为求解下述定解问题:222222222222220(),,0, (5.1)(,),, (5.2)0, t x y R u u u a x y R t t x y u x y x y R u ϕ=+=∂∂∂=++<>∂∂∂=+≤= (5.3)⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩用分离变量法解这个问题,先令(,,)(,)()u x y t V x y T t =代入方程(5.1)得22222()V VVT a T x y∂∂'=+∂∂或22222 (0)V V T x y a T Vλλ∂∂+'∂∂==-> 由此得到下面关于函数()T t 和(,)V x y 的方程20T a T λ'+=(5.4)22220V VV x y λ∂∂++=∂∂ (5.5)从(5.4)得2()a t T t Ae λ-=方程(5.5)称为亥姆霍兹(Helmholtz )方程。
离散数学第五章 函数

像与逆像: 映射的“提升”
设U和V是两个集合, f : U→V 是从U到V的一个函数, ρ(U)是U的幂集,ρ(V)是V的幂集。
像与逆像将从U到V的一个映射 f : U→V “提升” 为从U的幂集 ρ(U) 到V的幂集 ρ(V) 的映射
集合 A 在函数 f 下的 像 f (A)
U
f
V
A
f(A)
集合 B 在函数 f 下的 逆像 f -1(B)
U
f
V
-1
f (B)
B
例5.1.3 设 A={a, b, c, d, e} , B={1, 2, 3, 4} , φ: A→B, φ的定义如图所示。则
φ({a, b, c})={1, 2}
例:设 U={1,2,3,4},V={1,2,…,16},关系 f1={ <1,1>, <2,4>, <3,9>, <4,16> }, f2={ <1,1>, <2,3>, <4,4> }, f3={ <1,1>, <1,2>, <2,15>, <3,16>, <4,1> },
试判断哪些是函数?
解:f1 是,且 f1(a)=a2。 f2 不是,因为f2(3)=? f3 不是,因为两个f3(1)。
n×n×…×n = nm
m
映射:递归定义
例5.1.8 (1) 阶乘 n! f: N→N, f(0)=1, f(n+1)=f(n)(n+1), n∈N。
(但需要检查,是否都有射,是否没有一射多)
离散数学第5章_函数

第5章 函数
证明 f和ρf的图示如图5 ― 2所示。 1) 任取a∈A, 有f(a)=f(a), 所以 (a, a)∈ρf, 故ρf自反; 任取a, b∈A, 若(a, b)∈ρf, 则f(a)=f(b), 所以 f(b)=f(a), 即(b 任取a, b, c∈A, 若(a, b)∈ρf, (b, c)∈ρf, 则f(a)=f(b), f(b)=f(c) , 所以 f(a)=f(c), 即(a, c)∈ρf; 故ρf传递。 综上ρf是A上的等价关系。
第5章 函数
任取b∈Rf, 由Rf的定义, 有a∈A, 使f(a)=b, 即有[a]∈A/ρf, 使得 g([a])=f(a)=b。 所以 g是满射。 综上g是双射。 定义 5.1 ― 5 恒等关系IA={(a, a)|a∈A}是A 到A的双射, 它称为A上的恒等函数。 定义 5.1 ― 6 若函数f: A→B, 对一切a∈A, 都 有f(a)=b, b∈B, 则f称为常函数。
第5章 函数
定义 5.1 ― 2 设有函数f: A→B, g: C→D, 若 有A=C、 B=D且对所有的x∈A, 有f(x)=g(x), 则称 函数f和g相等, 记为f=g。 定义 5.1 ― 3 集合A到集合B的所有函数的集合记 为BA, 即 BA={f|f: A→B}
第5章 函数
定理 5.1 ― 1 当A和B是有限集合时,有 |BA|=|B||A| 证明 设|A|=m, |B|=n(m, n∈N); 又设A={a1, a2, …, am}。 因为 Df=A,所以 f={(a1, f(a1)), (a2, f(a2)), …, (am , f(am))}。 而每个f(ai)(i∈Nm)都有n种可能, {n·n·…·n } =n +m个 m个即 |BA|=|B||A|
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第五章函数
一. 单项选择题
1.假设a,b,c,e,f,g都已正确定义,则函数调用语句“f(a+b,c,(e,f,g));”中参数的个数是(B )
A.2
B.3
C.5
D.6
2.以下对C 语言函数的有关描述中,正确的是(A )
A.在C 语言中,调用函数时,只能把实参的值传递给形参,形参的值不能传递给实参
B.C 函数既可以嵌套定义,又可以递归调用
C.函数必须有返回值,否则不能定义成函数
D.C 程序中,有调用关系的所有函数必须放在同一个源程序文件中
3.以下程序的输出结果是:
#include <stdio.h>
float sum(int n)
{
int s=0,i;
for(i=1;i<=n;i++)
s+=i;
return s;
}
void main()
{
int n;
printf("sum=%f\n",sum(10)); D
}
A.sum=10
B.sum=55
C.sum=10.000000
D.sum=55.000000
4.以下程序的输出结果是:
#include <stdio.h>
fun(int n)
{
double x=3.14159;
if(n>0) return x*n;
else return x*n*(-1);
}
void main()
{
printf("%d\n",abs(-3));
}
D
A.-9.42477
B.9.42477
C.-9
D.9
二. 填空题:
1.阅读函数,写出函数的主要功能:
float av(int a[],int n)
{ int i;
float s;
for(i=0,s=0;i<n;i++)s=s+a[i];
return s/n;
}
2. 函数的形式参数的作用域为_____,全局的外部变量和函数体内定义的局部变量重名时,________变量优先。
3.以下程序的输出结果是:
#include <stdio.h>
void main()
{
void swap();
extern int a,b;
a=3;
b=10;
swap();
printf("a=%d,b=%d\n",a,b);
}
int a,b;
void swap()
{
int temp;
temp=a;a=b;b=temp;
}
4.以下程序的输出结果是:
int f(int a)
{ auto int b=0;
static int c=3;
b=b+1;
c=c+1;
return (a+b+c);
}
void main()
{ int a=2,i;
for (i=0;i<3;i++)
printf(“%d\n”,f(a));
}
5.以下程序的运行结果是:
#include <stdio.h>
int func(int a,int b);
void main()
{
int k=4,m=1,p;
p=func(k,m);printf("%d,",p);
p=func(k,m);printf("%d\n",p); }
int func(int a,int b)
{
static int m=0,i=2;
i+=m+1;
m=i+a+b;
return m;
}
6.以下程序的运行结果是:
#include <stdio.h>
int func(int a,int b);
void main()
{
static int k=4,m=1,p;
p=func(k,m);printf("%d,",p);
p=func(k,m);printf("%d\n",p); }
int func(int a,int b)
{
static int m=0,i=2;
i+=m+1;
m=i+a+b;
return m;
}
7.以下程序的运行结果是:
#include <stdio.h>
int fun(int k);
int w=3;
void main()
{
int w=10;
printf("%d\n",fun(5)*w);
}
int fun(int k)
{
if(k==0) return w;
return(fun(k-1)*k);
}。