阿氏圆(2018中考数学压轴热点)
中考数学复习之线段和差最值之阿氏圆问题,附练习题含参考答案
中考数学复习线段和差最值系列之阿氏圆问题在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kP A+PB ”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k ≠1），则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆．下给出证明法一：首先了解两个定理（1）角平分线定理：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，则AB DBAC DC=．证明：ABD ACDS BD SCD =，ABD ACDS AB DE AB SAC DF AC ⨯==⨯，即AB DBAC DC=（2）外角平分线定理：如图，在△ABC 中，外角CAE 的角平分线AD 交BC 的延长线于点D ，则AB DBAC DC=．证明：在BA 延长线上取点E 使得AE=AC ，连接BD ，则△ACD ≌△AED （SAS ），CD=ED 且AD 平分∠BDE ，则DB AB DE AE =，即AB DBAC DC=．接下来开始证明步骤：FEDCBAABCDE如图，PA ：PB=k ，作∠APB 的角平分线交AB 于M 点，根据角平分线定理，MA PAk MB PB ==，故M 点为定点，即∠APB 的角平分线交AB 于定点；作∠APB 外角平分线交直线AB 于N 点，根据外角平分线定理，NA PAk NB PB==，故N 点为定点，即∠APB 外角平分线交直线AB 于定点；又∠MPN=90°，定边对定角，故P 点轨迹是以MN 为直径的圆．法二：建系不妨将点A 、B 两点置于x 轴上且关于原点对称，设A （-m ，0），则B （m ，0），设P （x ，y ），PA=kP B ，即：()()()()()()22222222222222222122102201x m y k x m k y kx y m k m x k m m k mx y x m k ++=-+-+-++-=++-+=-解析式满足圆的一般方程，故P 点所构成的图形是圆，且圆心与AB 共线． 那么这个玩意和最值有什么关系呢？且来先看个例子：例：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、BC 于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则12PA PB +的最小值为__________．EABC DP【分析】这个问题最大的难点在于转化12PA ，此处P 点轨迹是圆，故转化方法与之前有所不同，如下，提供两种思路． 法一：构造相似三角形注意到圆C 半径为2，CA=4，连接CP ，构造包含线段AP 的△CPA ，在CA 边上取点M 使得CM=2，连接PM ，可得△CPA ∽△CMP ，故PA ：PM=2:1，即PM=12PA ．问题转化为PM+PB 最小值，直接连BM 即可． 【问题剖析】（1）这里为什么是12PA ？答：因为圆C 半径为2，CA=4，比值是1:2，所以构造的是12PA ，也只能构造12PA ．（2）如果问题设计为PA+kPB 最小值，k 应为多少？ 答：根据圆C 半径与CB 之比为2:3，k 应为23． 【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例，构造相似转化线段即可解决． 法二：阿氏圆模型对比一下这个题目的条件，P 点轨迹是圆，A 是定点，我们需要找出另一个定点M 使得PM:PA=1:2，这不就是把“阿氏圆”的条件与结论互换了一下嘛！而且这种问题里，给定的圆的位置、定点A 的位置、线段的比例等，往往都是搭配好的！ P 点轨迹圆的圆心C 点和A 点在直线AC 上，故所求M 点在AC 边上，考虑到PM ：PA=1:2，不妨让P 点与D 点重合，此时DM=12DA =1，即可确定M 点位置．已知PA 、圆确定PB已知PA 、PB 之比确定圆如果对这个结果不是很放心，不妨再取个特殊的位置检验一下，如下图，此时PM=3，PA=6，亦满足PM:PA=1:2．【小结】法二其实是开了上帝视角，在已知其是阿氏圆的前提下，通过特殊点找出所求M 点位置，虽不够严谨，却很实用．练习题1.如图，在ABC∆中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D．连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是．2.如图，已知正方ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，则12 PD PC-的最大值为_______．3.如图，已知菱形ABCD的边长为8，∠B＝60°，圆B的半径为4，点P是圆B上的一个动点，则PD﹣12PC的最大值为．A BCDAB CDP4.如图，在△ABC中，CB＝4，AB＝2AC，则△ABC面积的最大值为．5.如图所示，∠ACB＝60°，半径为2的圆O内切于∠ACB．P为圆O上一动点，过点P作PM、PN分别垂直于∠ACB的两边，垂足为M、N，则PM+2PN的取值范围为．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接P A，PB，则P A+14PB的最小值为．7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝4，以点C为圆心，3为半径做⊙C，分别交AC，BC于D，E两点，点P是⊙C上一个动点，则13P A+PB的最小值为．8．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC的中点，以B为圆心，BE为半径作⊙B，点P是⊙B上一动点，连接PD、PC，则PD+12PC的最小值为．9．如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝6，C是OA的中点，D是OB上一点，OD＝5，P是弧AB上一动点，则PC+12PD的最小值为．10．如图所示的平面直角坐标系中，A（0，4），B（4，0），P是第一象限内一动点，OP＝2，连接AP、BP，则BP+12AP的最小值是．11．如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆O，P为圆O上一动点，则P A+PB的最小值为．12.如图，P为菱形ABCD内一点，且P到A、B两点的距离相等，若∠C＝60°，CD＝4，则PB+12PD的最小值为．13．如图，在⊙O 中，点A 、点B 在⊙O 上，∠AOB ＝90°，OA ＝6，点C 在OA 上，且OC ＝2AC ，点D 是OB 的中点，点M 是劣弧AB 上的动点，则CM +2DM 的最小值为 ．14. 如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c(a≠0)过A 、B 两点，OA=1，OB=5，抛物线与y 轴交于点C ，点C 的纵坐标与点B 的横坐标相同，抛物线的顶点为D.(1) 抛物线的解析式为_________________，顶点D 的坐标为__________.(2) 如图，已知⊙A 的半径为2，点M 是⊙A 上一动点，连接CM 、MB ，则13CM+BM 是否存在最小值？若存在，说明在何处取得最小值；若不存在，请说明理由.参考答案2.5 4.1635.6-6.2 8.5 9.13214.(1)y=x 2-6x+5 D(3,-4)(2)AH=13AM ，当H 、M 、B 13CM+BM 取最小值.。
阿氏圆
那么如何应用"阿氏圆"的性质解答带系数的两条线段和的最小值呢?我们来看一道基本题目:例：已知∠AOB=90°，OB=4,OA=6，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点(1)求12AP BP +的最小值为(2)求13AP BP +的最小值为第（1）问解题基本步骤：构造△OPC ∽△OBP,则PC OP OCk BP OB OP===（相似比）①分别连接圆心O 与系数不为1的线段BP 的两端点，即OP ，OB;②计算OP OB 的值，则12OP k OB ==（半径圆心到定点的距离） ③计算OC 的长度，由OC k OP =得：12OC OP =（相似比×半径） ④连接AC ，当A 、P 、C 三点共线时，12AP BP AP PC AC +=+≥⑤计算AC 的长度即为最小值.yx O C B A PCOPx yB O A P 实战练习：1、已知⊙O 半径为1，AC 、BD 为切线，AC=1，BD=2，P 为弧AB 上一动点， 试求2PD +的最小值2、已知点A （4，0），B （4，4），点P 在半径为2的⊙O 上运动，试求12AP BP +的最小值3、已知点A(-3,0)，B （0,3），C （1,0），若点P 为⊙C 上一动点，且⊙C 与y 轴相切，（1）14AP BP +的最小值;（2）PABS 的最小值.4、如图1，在平面直角坐标系xoy 中，半⊙O 交x 轴与点A 、B(2,0)两点，AD 、BC 均为半⊙O 的切线，AD=2，BC=7. (1)求OD 的长；（2）如图2，若点P 是半⊙O 上的动点，Q 为OD 的中点.连接PO 、PQ. ①求证：△OPQ ∽△ODP;②是否存在点P ，使2PD PC 有最小值，若存在，试求出点P 的坐标； 若不存在，请说明理由.5、（1）如图1，已知正方形ABC 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC +的最小值和12PD PC -的最大值.(2)如图2，已知正方形ABCD 的边长为9，圆B 的半径为6，点P 是圆B 上的一个动点，那么23PD PC +的最小值为 ；23PD PC -的最大值为（3）如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B=60°，圆B 的半径为2.点P 是圆B 上的一个动点.那么12PD PC +的最小值为 ；12PD PC -的最大值为6、（2016年＊ 济南28题）如图1，抛物线y ＝ax 2＋(a ＋3)x ＋3（a ≠0）与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点E （m ，0）（0＜m ＜4），过点E 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ，交抛物线于点P ，过点P 作PM ⊥AB 于点M ．（1）求a 的值和直线AB 的函数表达式；（2）设△PMN 的周长为C 1，△AEN 的周长为C 2，若12C C ＝65，求m 的値；（3）如图2，在（2）的条件下，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE ′，旋转角为α(0°＜α＜90°)，连接E ′A 、E ′B ，求E ′A ＋23E ′B 的最小值．xyMNPB AOE E'第28题图1xyMNPBAOE7、（2017年＊遵义27题）如图，抛物线y=ax2+bx﹣a﹣b（a＜0，a、b为常数）与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，直线AB的函数关系式为y=89x+163．（1）求该抛物线的函数关系式与C点坐标；（2）已知点M（m，0）是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？（3）在（2）问条件下，当△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形时，动点M相应位置记为点M′，将OM′绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转角在0°到90°之间）；i：探究：线段OB上是否存在定点P（P不与O、B重合），无论ON如何旋转，NPNB始终保持不变，若存在，试求出P点坐标；若不存在，请说明理由；ii：试求出此旋转过程中，（NA+34NB）的最小值．。
中考数学最值—阿氏圆问题(解析+例题)
中考数学最值——阿氏圆问题（点在圆上运动）（PA+k·PB型最值）【问题背景】与两个定点距离之比为一个不为0的常数的点的轨迹是一个圆，这个圆为阿氏圆。
这个定理叫阿波罗尼斯定理。
【知识储备】①三角形三边关系：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边。
②两点之间线段最短。
③连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
【模型分析】①条件：已知A、B为定点，P为 O上一动点，OPOB=k（0＜k＜1）。
②问题：P在何处时，PA+k·PB的值最小。
③方法：连接OP，OB，在OB上取点C，使OCOP =k，可得△POC∽△BOP，所以CPPB=OPOB=k，所以得CP=k·PB。
所以PA+k·PB=PA+CP≥AC，当P为AC与 O的交点时，PA+k·PB的最小值为AC。
总结：构造母子三角形相似若能直接构造△相似计算的，直接计算，不能直接构造△相似计算的，先把k提到括号外边，将其中一条线段的系数化成，再构造△相似进行计算。
【经典例题】已知∠ACB=90°，CB=4,CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点.（1）求12AP BP+的最小值为。
（2）求13AP BP+的最小值为。
【巩固训练】练习1：如图，点A、B在⊙O 上，且OA=OB=6，且OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB 上，且OD=4，动点P在⊙O 上，则2PC+PD的最小值为；练习2：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AC的中点，M为BD的中点，将线段AD绕A点任意旋转（旋转过程中始终保持点M为BD的中点），若AC=4，BC=3，那么在旋转过程中，线段CM长度的取值范围是__________。
练习3：Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D 为△ABC 内一动点，满足CD=2，则AD+32BD 的最小值为_______.练习4：如图，菱形ABCD 的边长为2，锐角大小为60°，⊙A 与BC 相切于点E ，在⊙A 上任取一点P ，则PB+23PD 的最小值为________.练习5：如图，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B=60°，圆B 的半径为2，P 为圆B 上一动点，则PD+21PC 的最小值为_________.练习6：如图，等边△ABC 的边长为6，内切圆记为⊙O ，P 是圆上动点，求2PB+PC 的最小值.值。
57、经典几何模型之“阿氏圆”
经典几何模型之“阿氏圆”一.模型名称由来【模型背景】“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。
当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。
而当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。
此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。
即点P在直线上运动和点P 在圆上运动。
其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足PA=k·PB（k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
二.模型建立如图1所示，⊙O的半径为r，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB，连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？模型解读：最早见“PA+PB”型问题应该是在“将军饮马”问题中，而本题多了一个“k”，故如何确定“k·PB”的大小是关键，如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。
故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点,P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。
如图3三.“阿氏圆”模型破解策略【破解策略详细步骤解析】第一步：连接动点于圆心O （一般将含有k 的线段两端点分别与圆心O 相连），即连接OB 、OP ；第二步：计算出线段OP 与OB 及OP 与OA 的线段比，找到线段比为k 的情况，如例子中的k OBOP =第三步：在OB 上取点C ，使得OB OP OP OC =；（核心关键步骤）第四步：连接AC ，与⊙O 的交点即为点P 【核心步骤另单独解析】回顾图2，在OB 上取点C 构建OBOP OP OC =的目的是为了形成“母子型相似模型”，“母子型相似”的构建是“阿氏圆”模型破解的“核武器”，“母子型相似”一出，“阿氏圆”直接秒杀。
阿氏圆(2018中考数学压轴热点)
精心整理阿氏圆(阿波罗尼斯圆)：已知平面上两定点A 、B ，则所有满足PA/PB=k(k 不等于1)的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆。
在初中的题目中往往利用逆向思维构造"斜A"型相似(也叫"母子型相似"或"美人鱼相似")+两点间线段最短解决带系数两线段之和的最值问题。
观察下面的图形，当P 在在圆上运动时，PA 、PB 的长在不断的发生变化，但它们的比值却始终保持不变。
（1）14AP BP +（2）PAB S V 的最小值.4、如图1轴与点A 、B(2,0)两点，AD 、BC 均为半⊙O 的切线，AD=2，BC=7.(1)求OD 的长；（2）如图2，若点P 是半⊙O 上的动点，Q 为OD 的中点.连接PO 、PQ.①求证：△OPQ ∽△ODP;②是否存在点P ，使2PD PC +有最小值，若存在，试求出点P 的坐标； 若不存在，请说明理由. 5、（1）如图1，已知正方形ABC 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC +的最小值和12PD PC -的最大值. (2)如图2，已知正方形ABCD 的边长为9，圆B 的半径为6，点P 是圆B 上的一个动点，那么23PD PC +的最小值为；23PD PC -的最大值为 （3）如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B=60°，圆B 的半径为2.点P 是圆B 上的一个动点.那么12PD PC +的最小值为；12PD PC -的最大值为 巩固练习：1、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ﹦90°，CB ﹦4，CA ﹦6，圆C 半径为2，P 为圆上一动点，连接AP ，BP ，12AP BP +最小值为（） A 、37B 、6C 、217D 、42、如图，在△ABC 中，∠B ﹦90°，AB ﹦CB ﹦2，以点B 为圆心作圆B 与AC 相切，点P 为圆B 上任一动点，则22PA PC +的最小值是． 3、如图，菱形ABCD 的边长为2，锐角大小为60°，⊙A 与BC 相切于点E ，在⊙A 上任取一点P ，则32PB PD +的最小值为． 4、在平面直角坐标系中，A （2，0），B （0，2），C （4，0），D （3，2），P 是△AOB 外部的第一象限内一动点，且∠BPA ﹦135°，则2PD ﹢PC 的最小值是．5、（1）如图1，已知正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC +的最小值和12PD PC -的最大值． （2）如图2，已知正方形ABCD 的边长为9，圆B 的半径为6，点P 是圆B 上的一个动点，求23PD PC +的最小值和23PD PC -的最大值． （3）如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B ﹦90°，圆B 的半径为,2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC +的最小值和12PD PC -的最大值． 图1图2图3套路总结阿氏圆基本解法：构造相似阿氏圆一般解题步骤：PC kPD +y x第一步：连接动点至圆心O（将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心相连接），则连接OP、OD；第二步：计算出所连接的这两条线段OP、OD长度；第三步：计算这两条线段长度的比OPm OD=；第四步：在OD上取点M，使得OMm OP=；第五步：连接CM，与圆O交点即为点P．1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP，BP，AP+BP的最小值为（）2．如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC=1，BD=2，P为上一动点，求PC+PD 的最小值．。
中考必考的阿氏圆原理应用
中考必考的阿氏圆原理应用什么是阿氏圆原理阿氏圆原理是由法国数学家阿氏发现的一种几何学原理。
根据阿氏圆原理，对于平面上一个确定的圆，通过圆上任意三个非共线点，都可以确定这个圆。
这个原理在实际生活中有着广泛的应用，特别是在中学数学中的几何部分经常被考察。
阿氏圆原理的重要性阿氏圆原理在中学数学中被广泛应用，不仅在解题中起到了重要的作用，而且在培养学生的几何思维和逻辑推理能力方面也是非常重要的。
因此，掌握阿氏圆原理的应用是中学数学学习中必不可少的一部分。
阿氏圆原理的应用范围阿氏圆原理的应用范围广泛，下面列举几个常见的应用：1.圆心和半径已知，求圆上任意一点的坐标2.通过圆上三点的坐标求圆心坐标和半径3.平面上两条切线交点的连线与圆心连线垂直4.求过已知点的切线方程5.求两条切线的交点坐标案例分析：通过圆上三点的坐标求圆心坐标和半径假设有一个平面上的圆O，已知圆上的三个点A(x1, y1)、B(x2, y2)、C(x3, y3)，现在要求解这个圆的圆心坐标和半径。
根据阿氏圆原理，我们可以采用以下步骤来求解：1.求取点A和B之间的中垂线的方程，设中垂线的方程为L1。
2.求取点B和C之间的中垂线的方程，设中垂线的方程为L2。
3.求解L1和L2的交点坐标，即为圆心坐标。
4.计算圆心坐标和点A、B、C之间的距离，即为圆的半径。
通过以上步骤，我们可以利用阿氏圆原理求解出圆的圆心坐标和半径。
小结阿氏圆原理作为中学数学中的重要部分，在中考中经常被考察。
掌握了阿氏圆原理的应用，可以帮助我们解决一些与圆相关的几何题目。
在学习过程中，我们不仅要理解阿氏圆原理的概念，还要掌握它的具体应用方法，并运用到实际的解题中去。
通过不断的练习和实践，我们能够提高我们的几何思维和解题能力。
以上就是中考必考的阿氏圆原理应用的文档内容，简单介绍了阿氏圆原理的定义和重要性，列举了其常见的应用范围，并以通过圆上三点的坐标求圆心坐标和半径为例进行了分析。
完整版阿氏圆
中考数学压轴之阿氏圆模型专题训练阿氏圆（阿波罗尼斯圆）：已知平面上两定点一 B ,则所有满足PC k （ k 不等于1）的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹PB最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现， 故称阿氏圆。
在初中的题目中往往利用逆向思维构造" 斜A"型相似（也叫"母子型相似"）+两点间线段最短解决带系数两线段之和的最值问题。
在几何画板上观察下面的图形，当 P 在在圆A 上运动时，PC PB 的长在不断的发生变化，但 PC 的比值却始终保持不变。
PB解决阿氏圆问题，首先要熟练掌握母子型相似三角形的性质和构造方法。
如图，在△ APB 的边AB 上找一点C,使得AP AC ,贝吐匕时厶APS A ABPAB AP母子型相似（共角共边）A -C⑤计算AC 的长度即为最小值.②计算0P 的值，则k 0P 丄 OB OB 2的线段BP 的两端点, 半径 "圆心到定点的距离 OC ③计算OC 的长度，由一一k 得：OCOP④ 连接AC ,当A 、P 、C 三点共线时， 1OP （相似比X 半径）AP 1 -BP AP PC AC 2 那么如何应用"阿氏圆"的性质解答带系数的两条线段和的最小值呢 ?我们来看一道基本题目：①分别连接圆心0与系数不为1 即 OP 0B;实战练习：- 已知O O半径为1, AC BD为切线，AC=1, BD=2试求上2 PC PD的最小值25、(1)如图1,已知正方形ABC的边长为4,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点，求PD -PC 的2、已知点3、已知点(1)-AP4 A(-3,0) , B( 0,3 ), C (1,0 ),若点P为。
C上一动点，且。
C与y轴相切, BP的最小值;(2)S VPAB的最小值.4、如图1,在平面直角坐标系xoy中，半O O交x轴与点A B(2,0)两点，AD BC均为半O O 的切线，AD=2 BC=7.(1)求OD的长；(2)如图2,若点P是半O O上的动点，Q为OD的中点.连接PO PQ.①求证：△OP GA ODP;②是否存在点P,使PD 2PC有最小值，若存在，试求出点P的坐标；若不存在，请说明理由•A(4, 0)，B(4最小值和PD - PC的最大值.2 2⑵如图2,已知正方形ABCD勺边长为9,圆B的半径为6,点P是圆B上的一个动点，那么PD - PC的最小值为；PD -PC的最大值为3 ----------- 3 --------------(3)如图3,已知菱形ABCD勺边长为4,/ B=60°,圆B的半径为2.点P是圆B上的一个1 1动点.那么PD 1 PC的最小值为；PD 1 PC的最大值为2 26、(2016年*济南28题)如图1,抛物线y = ax2+ (a+ 3)x+ 3 (0)与x轴交于点A (4, 0),与y轴交于点B,在x轴上有一动点E ( m, 0) (0v m v 4),过点E作x轴的垂线交直线AB于点N,交抛物线于点P,过点P作PM丄AB于点M.(1)求a的值和直线AB的函数表达式；(2)设厶PMN的周长为AEN的周长为C2,若§ =-，求m的値；C25(3)如图2,在(2)的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE',旋转角为皿0 ° av 90°)，连2接E'A、E'B,求E'A+ ；E B的最小值.x7、(2017年*遵义27题)如图，抛物线y=ax2+bx-a - b (a v 0, a、b为常数)与x轴交于A、C两点，与y轴交于B 点，直线AB的函数关系式为y= 8x + 16.9 3(1)求该抛物线的函数关系式与C点坐标；(2)已知点M( m, 0)是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线I分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，△ BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？(3)在(2)问条件下，当厶BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形时，动点M相应位置记为点M，将OM绕原点O顺时针旋转得到ON(旋转角在0°到90°之间)；NPi :探究：线段OB上是否存在定点P( P不与OB重合)，无论ON如何旋转，竺始终保持不变，若存在,NB试求出P点坐标；若不存在，请说明理由；ii :试求出此旋转过程中，(NA+?NB的最小值.4。
中考数学总复习系列之最值系列——阿氏圆问题
最值系列之阿氏圆问题在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k≠1），则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆．下给出证明法一：首先了解两个定理（1）角平分线定理：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，则AB DBAC DC=． FEDCBA证明：ABD ACDS BD SCD =，ABD ACDS AB DE AB SAC DF AC ⨯==⨯，即AB DBAC DC=（2）外角平分线定理：如图，在△ABC 中，外角CAE 的角平分线AD 交BC 的延长线于点D ，则AB DBAC DC=． ABCDE证明：在BA 延长线上取点E 使得AE=AC ，连接BD ，则△ACD ≌△AED （SAS ），CD=ED 且AD 平分∠BDE ，则DB AB DE AE =，即AB DBAC DC=．接下来开始证明步骤：如图，PA ：PB=k ，作∠APB 的角平分线交AB 于M 点，根据角平分线定理，MA PAk MB PB==，故M 点为定点，即∠APB 的角平分线交AB 于定点；作∠APB 外角平分线交直线AB 于N 点，根据外角平分线定理，NA PAk NB PB==，故N 点为定点，即∠APB 外角平分线交直线AB 于定点；又∠MPN=90°，定边对定角，故P 点轨迹是以MN 为直径的圆．法二：建系不妨将点A 、B 两点置于x 轴上且关于原点对称，设A （-m ，0），则B （m ，0），设P （x ，y ），PA=kPB，即：()()()()()()22222222222222222122102201x m y k x m k y kx y m k m x k m m k mx y x m k ++=-+-+-++-=++-+=-解析式满足圆的一般方程，故P 点所构成的图形是圆，且圆心与AB 共线．那么这个玩意和最值有什么关系呢？且来先看个例子：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、BC 于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则12PA PB 的最小值为__________．EABC DP【分析】这个问题最大的难点在于转化12PA ，此处P 点轨迹是圆，故转化方法与之前有所不同，如下，提供两种思路．法一：构造相似三角形注意到圆C 半径为2，CA=4，连接CP ，构造包含线段AP 的△CPA ，在CA 边上取点M 使得CM=2，连接PM ，可得△CPA ∽△CMP ，故PA ：PM=2:1，即PM=12PA ．问题转化为PM+PB 最小值，直接连BM 即可．【问题剖析】（1）这里为什么是12PA ？答：因为圆C 半径为2，CA=4，比值是1:2，所以构造的是12PA ，也只能构造12PA ．（2）如果问题设计为PA+kPB 最小值，k 应为多少？ 答：根据圆C 半径与CB 之比为2:3，k 应为23．【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例，构造相似转化线段即可解决．法二：阿氏圆模型对比一下这个题目的条件，P 点轨迹是圆，A 是定点，我们需要找出另一个定点M 使得PM:PA=1:2，这不就是把“阿氏圆”的条件与结论互换了一下嘛！已知PA 、圆确定PB已知PA 、PB 之比确定圆而且这种问题里，给定的圆的位置、定点A 的位置、线段的比例等，往往都是搭配好的！P 点轨迹圆的圆心C 点和A 点在直线AC 上，故所求M 点在AC 边上，考虑到PM ：PA=1:2，不妨让P 点与D 点重合，此时DM=12DA =1，即可确定M 点位置．如果对这个结果不是很放心，不妨再取个特殊的位置检验一下，如下图，此时PM=3，PA=6，亦满足PM:PA=1:2．【小结】法二其实是开了上帝视角，在已知其是阿氏圆的前提下，通过特殊点找出所求M 点位置，虽不够严谨，却很实用．【练习1】如图，在ABC ∆中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C 为圆心，6为半径的圆上有一个动点D ．连接AD 、BD 、CD ，则2AD+3BD 的最小值是 ．ABCD【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=233AD BD ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故求23AD BD +最小值即可．考虑到D 点轨迹是圆，A 是定点，且要求构造23AD ，条件已经足够明显．当D 点运动到AC 边时，DA=3，此时在线段CD 上取点M 使得DM=2，则在点D 运动过程中，始终存在23DM DA =．问题转化为DM+DB 的最小值，直接连接BM ，BM 长度的3倍即为本题答案．【练习2】如图，已知正方ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，则12PD PC的最大值为_______．AB CDP【分析】当P点运动到BC边上时，此时PC=2，根据题意要求构造12PC，在BC上取M使得此时PM=1，则在点P运动的任意时刻，均有PM=12PC，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，对于△PDM，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值．。
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阿氏圆模型专题训练
阿氏圆(阿波罗尼斯圆)：
已知平面上两定点A 、B ，则所有满足PA/PB=k(k 不等于1)的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆。
在初中的题目中往往利用逆向思维构造"斜A"型相似(也叫"母子型相似"或"美人鱼相似")+两点间线段最短解决带系数两线段之和的最值问题。
观察下面的图形，当P 在在圆上运动时，PA 、PB 的长在不断的发生变化，但它们的比值却始终保持不变。
（1）4AP BP +（2）PAB S 的最小值.
4、如图1轴与点A 、B(2,0)两点，AD 、BC 均为半⊙O 的切线，AD=2，BC=7.
(1)求OD 的长；
（2）如图2，若点P 是半⊙O 上的动点，Q 为OD 的中点.连接PO 、PQ.
①求证：△OPQ ∽△ODP;
②是否存在点P ，使PD 有最小值，若存在，试求出点P 的坐标；
若不存在，请说明理由.
5、（1）如图1，已知正方形ABC 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12
PD PC +的最小值和12
PD PC -的最大值. (2)如图2，已知正方形ABCD 的边长为9，圆B 的半径为6，点P 是圆B 上的一个动点，那么23
PD PC +的最小值为；23
PD PC -的最大值为 （3）如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B=60°，圆B 的半径为2.点P 是圆B 上的一个动点.
那么1、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ﹦90°，CB ﹦4，CA ﹦6，圆C 半径为2，P 为圆上一动点，连接AP ，
BP ，BP 最小值为（） A B 、6C 、217D 、4
2、如图，在△ABC 中，∠B ﹦90°，AB ﹦CB ﹦2，以点B 为圆心作圆B 与AC 相切，点B 上任22
PA PC +的最小值是． 3、如图，菱形ABCD 的边长为2，锐角大小为60°，⊙A 与BC 相切于点E ，在⊙A 上任取一点P ，则PB 45、（1已知正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为212
PC +的最大值． （2）已知正方形ABCD 的边长为9，圆B 的半径为623
PC +（3）如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B ﹦90°，圆B 的半径为,2，点P 是圆B 上的一个动点，
求12PD PC +的最小值和12
PD PC -的最大值． 图1图2图3
套路总结
阿氏圆基本解法：构造相似
阿氏圆一般解题步骤：PC kPD +
第一步：连接动点至圆心O （将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心相连接），则连接OP 、OD ； 第二步：计算出所连接的这两条线段OP 、OD 长度；
y
第三步：计算这两条线段长度的比OP
m OD
=；
第四步：在OD上取点M，使得OM
m OP
=；
第五步：连接CM，与圆O交点即为点P．
1．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP，BP，
AP+BP的最小值为（）
2．如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC=1，BD=2，P为上一动点，求PC+PD。